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Soit $A$ une partie d’un espace normé de dimension finie, $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, $f$ une fonction définie sur $A\times I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ telle que :
– pour tout $t\in I$, $f(\cdot,t)$ est continue ;
– pour tout $x\in A$, $f(x,\cdot)$ est continue par morceaux ;
– il existe une fonction $\varphi$ intégrable sur $I$ telle que, pour tout $x$ de $A$, $\lvert f(x,\cdot)\rvert\leqslant\varphi$.
Alors $x\mapsto\displaystyle\int_I f(x,t)\,\mathrm{d}t$ est définie et continue sur $A$.

En pratique, on vérifie l’hypothèse de domination sur tout segment de $A$, ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.

Soit $I$ et $A$ deux intervalles de $\mathbb{R}$, $f$ une fonction définie sur $A\times I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ telle que :
– pour tout $t\in I$, $f(\cdot,t)$ est de classe $\mathscr{C}^1$ sur $A$ ;
– pour tout $x\in A$, $f(x,\cdot)$ est intégrable sur $I$ ;
– pour tout $x\in A$, $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,\cdot)$ est continue par morceaux sur $I$ ;
– il existe une fonction $\varphi$ positive intégrable sur $I$ telle que, pour tout $x$ de $A$, $\left\lvert\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,\cdot)\right\rvert\leqslant\varphi$.
Alors $g:x\mapsto\displaystyle\int_I f(x,t)\,\mathrm{d}t$ est de classe $\mathscr{C}^1$ sur $A$ et vérifie :
$\displaystyle\forall x\in A,\qquad g'(x)=\int_I\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,\mathrm{d}t.$

En pratique, on vérifie l’hypothèse de domination sur tout segment de $A$, ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.

Extension à la classe $\mathscr{C}^k$ d’une intégrale à paramètre, sous hypothèse de domination de $\dfrac{\partial^k f}{\partial x^k}(x,t)$ et d’intégrabilité des $\dfrac{\partial^j f}{\partial x^j}(x,\cdot)$ pour $0\leqslant j\leqslant k-1$.

Exemples d’études de fonctions définies comme intégrales à paramètre : régularité, étude asymptotique.