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Espérance d’une variable aléatoire à valeurs dans $[0,+\infty]$, définie par
$\displaystyle\mathrm{E}(X)=\sum_{x\in X(\Omega)}xP(X=x).$

On adopte la convention $xP(X=x)=0$ lorsque $x=+\infty$ et $P(X=+\infty)=0$.

Variable aléatoire $X$ à valeurs réelles ou complexes d’espérance finie, espérance de $X$.

$X$ est d’espérance finie si la famille $\bigl(xP(X=x)\bigr)_{x\in X(\Omega)}$ est sommable. Dans ce cas, la somme de cette famille est l’espérance de $X$.
Variable centrée.

Pour $X$ variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}\cup\{+\infty\}$, relation :
$\displaystyle\mathrm{E}(X)=\sum_{n=1}^{+\infty}P(X\geqslant n).$
Espérance d’une variable géométrique, de Poisson.

Formule de transfert :
$f(X)$ est d’espérance finie si et seulement si la famille $\bigl(f(x)P(X=x)\bigr)_{x\in X(\Omega)}$ est sommable. Dans ce cas :
$\displaystyle\mathrm{E}\bigl(f(X)\bigr)=\sum_{x\in X(\Omega)}f(x)P(X=x).$

On remarque que la formule s’applique aux couples, aux $n$-uplets de variables aléatoires.

Linéarité de l’espérance.
Si $\lvert X\rvert\leqslant Y$ et $\mathrm{E}(Y)<+\infty$, alors $X$ est d’espérance finie.
Positivité, croissance de l’espérance.
Si $X$ est positive et d’espérance nulle, alors $(X=0)$ est presque sûr.

Pour $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes d’espérance finie, alors $XY$ est d’espérance finie et :
$\mathrm{E}(XY)=\mathrm{E}(X)\,\mathrm{E}(Y)$.

Extension au cas de $n$ variables aléatoires.