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Théorème de continuité :
si $A$ et $I$ sont deux intervalles de $\mathbb{R}$ et $f$ une fonction définie sur $A \times I$, telle que :
– pour tout $t \in I$, $x \mapsto f(x,t)$ est continue sur $A$ ;
– pour tout $x \in A$, $t \mapsto f(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$ ;
– il existe une fonction $\varphi$ intégrable sur $I$, telle que pour tout $(x,t) \in A \times I$, on ait $\lvert f(x,t)\rvert \leqslant \varphi(t)$ ;
alors la fonction $x \mapsto \int_I f(x,t)\,\mathrm{d}t$ est définie et continue sur $A$.

En pratique, on vérifie l’hypothèse de domination sur tout segment de $A$, ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.

Théorème de convergence dominée à paramètre continu:
si $A$ et $I$ sont deux intervalles de $\mathbb{R}$, $a$ une borne de $A$ et $f$ une fonction définie sur $A \times I$ telle que :
– pour tout $t \in I$, $f(x,t) \xrightarrow[x\to a]{} \ell(t)$ ;
– pour tout $x \in A$, $t \mapsto f(x,t)$ et $t \mapsto \ell(t)$ sont continues par morceaux sur $I$ ;
– il existe une fonction $\varphi$ intégrable sur $I$, telle que pour tout $(x,t) \in A \times I$, on ait $\lvert f(x,t)\rvert \leqslant \varphi(t)$ ;
alors $\ell$ est intégrable sur $I$ et :
$\displaystyle \int_I f(x,t)\,\mathrm{d}t \xrightarrow[x\to a]{} \int_I \ell(t)\,\mathrm{d}t.$

On remarque qu’il s’agit d’une simple extension du théorème relatif aux suites de fonctions.

Théorème de dérivation :
si $A$ et $I$ sont deux intervalles de $\mathbb{R}$ et $f$ une fonction définie sur $A \times I$, telle que :
– pour tout $t \in I$, $x \mapsto f(x,t)$ est de classe $\mathscr{C}^1$ sur $A$ ;
– pour tout $x \in A$, $t \mapsto f(x,t)$ est intégrable sur $I$ ;
– pour tout $x \in A$, $t \mapsto \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$ ;
– il existe une fonction $\varphi$ intégrable sur $I$, telle que pour tout $(x,t) \in A \times I$, on ait $\left\lvert \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right\rvert \leqslant \varphi(t)$ ;
alors la fonction $g : x \mapsto \int_I f(x,t)\,\mathrm{d}t$ est de classe $\mathscr{C}^1$ sur $A$ et vérifie :
$\displaystyle \forall x \in A, \quad g'(x) = \int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,\mathrm{d}t.$

La démonstration n’est pas exigible.
En pratique, on vérifie l’hypothèse de domination sur tout segment de $A$, ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation.

Extension à la classe $\mathscr{C}^k$ d’une intégrale à paramètre, sous hypothèse de domination de $t \mapsto \dfrac{\partial^k f}{\partial x^k}(x,t)$ et d’intégrabilité des $t \mapsto \dfrac{\partial^j f}{\partial x^j}(x,t)$ pour $0 \leqslant j < k$.

Exemples d’études de fonctions définies comme intégrales à paramètre : régularité, étude asymptotique, exploitation d’une équation différentielle élémentaire.