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Si $X^2$ est d’espérance finie, $X$ est d’espérance finie.

Inégalité de Cauchy-Schwarz : si $X^2$ et $Y^2$ sont d’espérance finie, $XY$ aussi et $\mathrm{E}(XY)^2 \leqslant \mathrm{E}(X^2)\,\mathrm{E}(Y^2)$.

Cas d’égalité.

Variance, écart type.

Notations $\mathrm{V}(X)$, $\sigma(X)$. Variable aléatoire réduite.
Caractérisation des variables aléatoires de variance nulle.

Relation $\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \mathrm{E}(X)^2$.

Relation $\mathrm{V}(aX + b) = a^2\,\mathrm{V}(X)$.

Si $\sigma(X) > 0$, la variable $\dfrac{X - \mathrm{E}(X)}{\sigma(X)}$ est centrée réduite.

Variance d’une variable géométrique, de Poisson.

Covariance de deux variables aléatoires.

Deux variables aléatoires dont la covariance est nulle sont dites décorrélées.

Relation $\operatorname{Cov}(X,Y) = \mathrm{E}(XY) - \mathrm{E}(X)\,\mathrm{E}(Y)$, cas de deux variables indépendantes.
Variance d’une somme finie, cas de variables deux à deux décorrélées.