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Intégrale absolument convergente.

Une fonction $f$ est dite intégrable sur $I$ si elle est continue sur $I$ et son intégrale sur $I$ est absolument convergente.

Notations $\int_I f$, $\int_I f(t)\,\mathrm{d}t$.
On utilise indifféremment les expressions « $f$ est intégrable sur $I$ » et « l’intégrale $\int_I f$ converge absolument ».
Fonction intégrable en $b$ (resp. en $a$) si $I = [a,b[$ (resp. $I = ]a,b]$).

La convergence absolue implique la convergence.

L’étude des intégrales semi-convergentes n’est pas un objectif du programme.

Inégalité triangulaire.

La démonstration n’est pas exigible pour des fonctions à valeurs dans $\mathbb{C}$.

Espace vectoriel $L^1(I,\mathbb{K})$ des fonctions intégrables sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$.
Si $f$ est continue, positive et intégrable sur $I$, et si $\int_I f = 0$, alors $f$ est identiquement nulle.

Pour $f$ et $g$ fonctions continues sur $[a,+\infty[$ :
– si $\lvert f\rvert \leqslant \lvert g\rvert$, alors l’intégrabilité de $g$ implique celle de $f$ en $+\infty$.
– si $f(t) \underset{t\to+\infty}{=} O\bigl(g(t)\bigr)$, alors l’intégrabilité de $g$ implique celle de $f$ en $+\infty$.
– si $f(t) \underset{t\to+\infty}{\sim} g(t)$, alors l’intégrabilité de $f$ est équivalente à celle de $g$ en $+\infty$.

Adaptation au cas d’un intervalle quelconque.
Le résultat s’applique en particulier si $f(t) \underset{t\to+\infty}{=} o\bigl(g(t)\bigr)$.

Fonctions de référence : pour $\alpha \in \mathbb{R}$,
– intégrales de Riemann : étude de l’intégrabilité de $t \mapsto \dfrac{1}{t^\alpha}$ en $+\infty$, en $0^+$ ;
– étude de l’intégrabilité de $t \mapsto \mathrm{e}^{-\alpha t}$ en $+\infty$ ;

L’intégrabilité de $t \mapsto \ln t$ en $0^+$ peut être directement utilisée.
Les résultats relatifs à l’intégrabilité de $x \mapsto \dfrac{1}{\lvert x-a\rvert^\alpha}$ en $a$ peuvent être directement utilisés.
Plus généralement, les étudiants doivent savoir que la fonction $x \mapsto f(x)$ est intégrable en $a^+$ (resp. en $b^-$) si $t \mapsto f(a+t)$ (resp. $t \mapsto f(b-t)$) l’est en $0^+$.