Parcourir les exercices

Théorème de continuité : si $A$ et $I$ sont deux intervalles de $\mathbb{R}$ et $f$ une fonction définie sur $A \times I$, telle que :
– pour tout $t \in I$, $x \mapsto f(x,t)$ est continue sur $A$ ;
– pour tout $x \in A$, $t \mapsto f(x,t)$ est continue sur $I$ ;
– il existe une fonction $\varphi$ intégrable sur $I$, telle que pour tout $(x,t) \in A \times I$, on ait $\lvert f(x,t)\rvert \leqslant \varphi(t)$ ;
alors la fonction $x \mapsto \int_I f(x,t)\,\mathrm{d}t$ est définie et continue sur $A$.

La démonstration est hors programme.
Le passage éventuel par une domination locale doit faire l’objet d’une question intermédiaire.

Théorème de dérivation : si $A$ et $I$ sont deux intervalles de $\mathbb{R}$ et $f$ une fonction définie sur $A \times I$, telle que :
– pour tout $t \in I$, $x \mapsto f(x,t)$ est de classe $\mathscr{C}^1$ sur $A$ ;
– pour tout $x \in A$, $t \mapsto f(x,t)$ est intégrable sur $I$ ;
– pour tout $x \in A$, $t \mapsto \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)$ est continue sur $A$ ;
– il existe une fonction $\varphi$ intégrable sur $I$, telle que pour tout $(x,t) \in A \times I$, on ait $\left\lvert \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right\rvert \leqslant \varphi(t)$ ;
alors la fonction $g : x \mapsto \int_I f(x,t)\,\mathrm{d}t$ est de classe $\mathscr{C}^1$ sur $A$ et vérifie :
$\displaystyle \forall x \in A, \quad g'(x) = \int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,\mathrm{d}t.$

La démonstration est hors programme.
Le passage éventuel par une domination locale doit faire l’objet d’une question intermédiaire.