On considère \(X_1\), \(X_2\) et \(X_3\) trois variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme sur l’intervalle \([0,2a]\), dont la densité est donc : \[f_{X_i}(t)= \left\{\begin{array}{cl} \frac{1}{2a} & \text{si } 0\leq t < 2a, \\[1mm] 0 & \text{sinon.} \end{array}\right.\] On note \(F_X\) la fonction de répartition de \(X_i\) pour \(i\in\{1,2,3\}\).
Calculer \(\E(X_i)\) et \(\var(X_i)\), pour \(i\in\{1,2,3\}\). On considère la variable aléatoire \(Y=\frac{1}{3}(X_1+X_2+X_3)\). Exprimer \(\E(Y)\) et \(\var(Y)\) sans déterminer la loi de \(Y\).
On pose \(Z=\max(X_1,X_2,X_3)\). Justifier que la fonction de répartition \(F_Z\) de \(Z\) vérifie: \(\displaystyle F_Z(t)=\prod_{i=1}^3 F_{X_i}(t)\). En déduire qu’une densité de \(Z\) est : \[f_{Z}(t)= \left\{\begin{array}{cl} \frac{3}{(2a)^3}t^2 &\text{si } 0\leq t \leq 2a, \\[1mm] 0& \text{sinon.} \end{array}\right.\]
Calculer \(\E(Z)\) et \(\var(Z)\). Soit la variable aléatoire \(T=\alpha Z\). Déterminer \(\alpha\) de sorte que \(\E(T)=\E(Y)\).
Comparer \(\var(T)\) et \(\var(Y)\).