exo7 6301

Soit $f:\Rr \to \Rr$ une application $C^\infty$ et soit $n\geq 1$. Établir l’équivalence des propriétés suivantes:

$f(0)=f'(0)=...=f^{(n-1)}(0) =0$.

$f(x) = x^n g(x)$ avec $g\in C^\infty$.

Soit $\Omega$ un ouvert convexe de $\Rr^n$ contenant $0$ et soit $f\in C^\infty (\Omega , \Rr )$. On suppose $f(0)=Df(0)=0$. Montrer qu’il existe $g_{i,j} \in C^\infty (\Omega , \Rr )$ telles que $f(x) = \sum_{i,j=1}^n x_ix_j g_{i,j}(x)$.