Soit $(p_0,p_1,\dots)$ la suite croissante des nombres premiers et $S_k = \sum_{P(n)\le k}\frac1n$ . On a $S_k = S_{k-1}\sum_{i=0}^\infty \frac1{p_k^i} = \frac{p_k}{p_k-1}S_{k-1}$ , ce qui prouve que $S_k$ est fini. La série demandée est $\frac{S_0}{p_0}+ \sum_{k=1}^\infty \frac{S_k-S_{k-1}}{p_k} = \frac{S_0}{p_0}+ \sum_{k=1}^\infty\frac{S_k}{p_k^2}$ .

Montrons que $S_k\le2\sqrt{p_k}$ , ceci prouvera la convergence. C’est vrai pour $k=0$ et $k=1$ , et si c’est vrai pour $k-1$ avec $k\ge 2$ alors on obtient $S_k\le 2\sqrt{p_k}\sqrt{\frac{p_kp_{k-1}}{(p_k-1)^2}} \le 2\sqrt{p_k}\sqrt{\frac{p_k(p_k-2)}{(p_k-1)^2}} \le 2\sqrt{p_k}$ .

Remarque : on a en réalité $S_k\sim e^\gamma\ln(p_k)$ où $\gamma$ est la constante d’Euler (formule de Mertens).

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