exo7 1945

On rappelle que la série harmonique alternée converge et a pour somme $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-\log 2.$$ Montrer la convergence des deux séries $\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}\right)$ et $\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k}\right)$ et calculer leur somme à l’aide du rappel ci dessus.

Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $\frac{1}{4x^3-x}$.

Montrer la convergence de la série $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{4k^3-k}$et calculer sa somme à l’aide de ce qui précède.

L’intégrale impropre $\int_1^{\infty}\frac{dx}{4x^3-x}$ converge t-elle? Si oui, la calculer.