1
On rappelle que la série harmonique alternée converge et a pour somme \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-\log 2.\] Montrer la convergence des deux séries \(\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}\right)\) et \(\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k}\right)\) et calculer leur somme à l’aide du rappel ci dessus.
2
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle \(\frac{1}{4x^3-x}\).
3
Montrer la convergence de la série \(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{4k^3-k}\)et calculer sa somme à l’aide de ce qui précède.
4
L’intégrale impropre \(\int_1^{\infty}\frac{dx}{4x^3-x}\) converge t-elle? Si oui, la calculer.