On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f(x)= \begin{cases} c\,x(3-x) & \text{si } x\in[0,2],\\ 0 & \text{sinon}, \end{cases}\] où \(c\) est une constante réelle. On suppose que \(f\) est la densité d’une variable aléatoire réelle \(X\).
1
Déterminer la constante \(c\) pour que \(f\) soit bien une densité de probabilité sur \(\mathbb{R}\).
2
Calculer \(P(1\le X\le 2)\).
3
Calculer l’espérance \(E(X)\) et \(E(X^2)\).
4
En déduire la variance \(V(X)\).