Soit \(X\) le nombre de bons numéros trouvés par le joueur. Alors \(X\) suit une loi hypergéométrique de paramètres: \(\mathcal{H}(6,\frac{1}{46},49)\). Une loi hypergéométrique de paramètres \((N,p,n)\) est une loi de probabilité sur \(\{0,1,\ldots,N\}\) dont la loi de probabilité e est donnée par : \[\forall k \in \{0,1,\ldots,N\}, \prob(X=k)=\frac{\binom{n}{k}\binom{N-n}{n-k}}{\binom{N}{n}}.\] Elle permet de modéliser le tirage sans remise de \(n\) boules parmi \(N\) boules dont \(n\) sont marquées. Ici, \(N=49\), \(n=6\) et \(p=\frac{1}{46}\).

Soit \(Y\) le gain du joueur. Alors on a

\(k\)	0	0	0	1	20	1100	\(700\ 000\)
\(\prob(Y=k)\)	\(\prob(X=0)\)	\(\prob(X=1)\)	\(\prob(X=2)\)	\(\prob(X=3)\)	\(\prob(X=4)\)	\(\prob(X=5)\)	\(\prob(X=6)\)

On a donc \[\E(Y)=\prob(X=3)+20\times \prob(X=4)+1\,100\times \prob(X=5) + {700000}\times \prob(X=6).\] Or \[\begin{align*} & \prob(X=3)=\frac{\binom{6}{3}\binom{43}{3}}{\binom{49}{6}}= \frac{246\ 820}{13\ 983\ 816} \\ & \prob(X=4)=\frac{\binom{6}{4}\binom{43}{2}}{\binom{49}{6}}= \frac{13\ 545}{13\ 983\ 816} \\ & \prob(X=5)=\frac{\binom{6}{5}\binom{6}{1}}{\binom{49}{6}}= \frac{258}{13\ 983\ 816} \\ & \prob(X=6)=\frac{\binom{6}{6}\binom{43}{0}}{\binom{49}{6}}= \frac{1}{13\ 983\ 816} \end{align*}\] donc \[\E(Y)=\frac{1}{13\ 983\ 816} (246\ 820+ 20\times 13\ 545+ 1\ 100\times 258+700\ 000) =\frac{1\ 501 520}{13\ 983\ 816} \simeq 0.1074\] L’espérance du gain du joueur (sans compter sa mise de départ) est d’environ \(0.11\) euros.

Gain au loto