exo7 2310

Montrer que $z \in \mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ est inversible ssi $N_d(z) = \pm 1$. Déterminer les éléments inversibles de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$.

Montrer que si $N_d(z) = \pm p$, où $p$ est un premier, alors $z$ est irréductible dans $\mathbb Z[\sqrt{d}]$. Donner quelques exemples d’éléments irreductibles dans $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ pour $d=-1$, $2$, $-6$, $p$, où $p$ un premier.

On note $A=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$. Montrer que $3$ et $2+\sqrt{-5}$ sont irréductibles dans $A$.

Trouver tous les irréductibles de $A$ de norme $9$.

Trouver tous les diviseurs de $9$ et de $3(2+\sqrt{-5})$ dans l’anneau $A$ à association près.

Trouver un $pgcd\,(3, 2+\sqrt{-5})$, et montrer que $3$ et $2+\sqrt{-5}$ n’ont pas de $ppcm$ dans l’anneau $A$.

Montrer que l’idéal $I = (3, 2+\sqrt{-5}) \subset A$ n’est pas principal. Donc l’anneau $A$ n’est pas principal. Est-il factoriel ?

Montrer que $9$ et $3(2+\sqrt{-5})$ n’ont pas de $pgcd$ dans $A$. Possèdent-ils un $ppcm$ ?