Montrer que \(z \in \mathbb{Z}[\sqrt{d}]\) est inversible ssi \(N_d(z) = \pm 1\). Déterminer les éléments inversibles de \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\).
Montrer que si \(N_d(z) = \pm p\), où \(p\) est un premier, alors \(z\) est irréductible dans \(\mathbb Z[\sqrt{d}]\). Donner quelques exemples d’éléments irreductibles dans \(\mathbb{Z}[\sqrt{d}]\) pour \(d=-1\), \(2\), \(-6\), \(p\), où \(p\) un premier.
On note \(A=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\). Montrer que \(3\) et \(2+\sqrt{-5}\) sont irréductibles dans \(A\).
Trouver tous les irréductibles de \(A\) de norme \(9\).
Trouver tous les diviseurs de \(9\) et de \(3(2+\sqrt{-5})\) dans l’anneau \(A\) à association près.
Trouver un \(pgcd\,(3, 2+\sqrt{-5})\), et montrer que \(3\) et \(2+\sqrt{-5}\) n’ont pas de \(ppcm\) dans l’anneau \(A\).
Montrer que l’idéal \(I = (3, 2+\sqrt{-5}) \subset A\) n’est pas principal. Donc l’anneau \(A\) n’est pas principal. Est-il factoriel ?
Montrer que \(9\) et \(3(2+\sqrt{-5})\) n’ont pas de \(pgcd\) dans \(A\). Possèdent-ils un \(ppcm\) ?