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Si $\mbox{pgcd}(m,4)=2$ et $\mbox{pgcd}(n,4)=2$, montrer que $\mbox{pgcd}(m+n,4)=4$.

Montrer que pour chaque entier $n$, $6$ divise $n^3-n$.

Montrer que pour chaque entier $n$, $30$ divise $n^5-n$.

Montrer que si $m$ et $n$ sont des entiers impairs, $m^2+n^2$ est pair mais non divisible par $4$.

Montrer que le produit de quatre entiers consécutifs est divisible par $24$.

Montrer que si $\mbox{pgcd}(a,b)=1$, alors

$\mbox{pgcd}(a+b,a-b)\in \{1,2\}$,

$\mbox{pgcd}(2a+b,a+2b)\in \{1,3\}$,

$\mbox{pgcd}(a^2+b^2,a+b)\in \{1,2\}$,

$\mbox{pgcd}(a+b,a^2-3ab+b^2)\in \{1,5\}$.