Soit \(m\) et \(n\) deux entiers positifs.
1
Si \(\mbox{pgcd}(m,4)=2\) et \(\mbox{pgcd}(n,4)=2\), montrer que \(\mbox{pgcd}(m+n,4)=4\).
2
Montrer que pour chaque entier \(n\), \(6\) divise \(n^3-n\).
3
Montrer que pour chaque entier \(n\), \(30\) divise \(n^5-n\).
4
Montrer que si \(m\) et \(n\) sont des entiers impairs, \(m^2+n^2\) est pair mais non divisible par \(4\).
5
Montrer que le produit de quatre entiers consécutifs est divisible par \(24\).
6
Montrer que si $\mbox{pgcd}(a,b)=1$, alors
7
\(\mbox{pgcd}(a+b,a-b)\in \{1,2\}\),
8
\(\mbox{pgcd}(2a+b,a+2b)\in \{1,3\}\),
9
\(\mbox{pgcd}(a^2+b^2,a+b)\in \{1,2\}\),
10
$\mbox{pgcd}(a+b,a^2-3ab+b^2)\in \{1,5\}$.