On donne 2 méthodes graphiques et un calcul direct.

On peut prendre comme modèle \(\Omega=[0,1]^2\), \(P\) la mesure de Lebesgue sur le carré, \(X(x,y)=x\), \(Y(x,y)=y\). On peut alors représenter \(Z=t\) par la droite d’équation \(x+y=t\) dans le carré (figure de gauche).

Si \(0\leq t\leq 1\) alors \(F_Z(t)=P(X+Y\leq t)=\frac{t^2}{2}\) (figure de gauche). Si \(1\leq t\leq 2\), alors \(F_Z(t)=1-\frac{(2-t)^2}{2}\) (figure du milieu). Si \(t<0\) alors \(F_Z(t)=0\) et si \(t>2\) alors \(F_Z(t)=1\).

\(F_Z\) est continue sur \(\Rr\), \(C^1\) par morceaux, on peut donc dériver pour obtenir \(f_Z\) la densité de \(Z\) : \(f_Z(t)=t\) si \(0\leq t\leq 1\), \(f_Z(t)=2-t\) si \(1\leq t\leq 2\), \(f_Z(t)=0\) sinon.

On peut également calculer la densité directement, “à la physicienne”, en considérant \(dt\) comme un tout petit accroissement (on l’a dessiné assez gros pour rendre le dessin lisible). Sur la figure de droite, on a dessiné \(X+Y\in [t,t+dt]\) pour \(0\leq t\leq 1\). L’aire de la partie hachurée est à peu près \(t\sqrt{2}\times\frac{dt}{\sqrt{2}}\) (longueur \(\times\) largeur), donc on a \(P(t\leq X+Y\leq t+dt)=tdt\). Or \(P(t\leq Z\leq t+dt)=f_Z(t)dt\), ce qui donne la densité \(f_Z(t)=t\) pour \(0\leq t\leq 1\). On fait pareil pour \(1\leq t\leq 2\).

Calcul direct : La densité de \(X\) et \(Y\) est \(f(t)={ \rm 1\:\!\!\! l}_{[0,1]}(t)\). Par indépendance, \(Z=X+Y\) a une densité \(f_Z(t)=f*f(t)=\displaystyle \int_{\Rr} f(t-x)f(x)dx\) (résultat du cours, qu’on peut redémontrer par changement de variable à partir de la définition de \(P_X*P_Y\)).

\(f(t-x)f(x)=1\) si \(0\leq t-x\leq 1\) et \(0\leq x\leq 1\), \(f(t-x)f(x)=0\) sinon.

Soit \(D_t=\{x\in\Rr\mid 0\leq t-x\leq 1 \mbox{ et } 0\leq x\leq 1\}= \{x\in\Rr\mid t-1\leq x\leq t\mbox{ et }0\leq x\leq 1\}\). \(D_t= [\max (0,t-1),\min(t,1)]\). On a \(f_Z(t)=\displaystyle\int_{D_t} 1 \, dx\), alors :
– si \(0\leq t\leq 1\), \(D_t=[0,t]\) et \(f_Z(t)=t\),
– si \(1\leq t\leq 2\), \(D_t=[t-1,1]\) et \(f_Z(t)=2-t\),
– si \(t<0\) ou \(t>2\), \(D_t=\emptyset\) et \(f_Z(t)=0\).

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