On considère la fonction \[f(x,y)=(x-2)^2+4(y+1)^2\] et la descente de gradient à pas constant \[(x_{k+1},y_{k+1})=(x_k,y_k)-\eta\nabla f(x_k,y_k), \qquad (x_0,y_0)=(0,0).\]
1
Calculer \(\nabla f(x,y)\), puis écrire séparément les relations de récurrence pour \(x_k-2\) et \(y_k+1\).
2
Calculer \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\), \(f(x_1,y_1)\) et \(f(x_2,y_2)\) pour \(\eta=1/8\), puis pour \(\eta=1/4\).
3
Pour \(\eta=1/4\), montrer que \(y_k\) alterne entre deux valeurs. La suite des points peut-elle converger vers le minimum de \(f\) ?
4
Expliquer ce que montre la comparaison entre les deux valeurs de \(\eta\).