L2 Algèbre Groupe, anneau, corps Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 3 questions

exo7 1381

Soit M={aI2+bJ∈M2(R):a,b∈R}M=\left\{aI_2+bJ\in\mathcal{M}_2(\Rr):a,b\in\Rr\right\} où I2=(1001),J=(0210)I_2= \left ( \begin{array}{ll} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right ), J= \left ( \begin{array}{ll} 0&2\\ 1&0 \end{array} \right ).

1

Calculer J2J^2 et montrer que si a,b∈Ra,b\in \Rr et aI2+bJ=OaI_2+ bJ =O alors a=b=0a=b=0.

2

Montrer que, muni des lois usuelles sur M2(R)\mathcal{M}_2(\Rr), MM est un anneau. Cet anneau est-il commutatif, intègre ?

3

MM est-il un corps, une R\Rr-algèbre ?

Exercice B7Xw

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