On rappelle que le seul polynôme irréductible de degré \(2\) sur \(\mathbb{F}_2\) est \(X^2+X+1\). Montrer que le polynôme \(X^4+X^3+1\) est irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\).
On note \(A:=\mathbb{F}_2[X]/(X^4+X^3+1)\) l’anneau quotient de \(\mathbb{F}_2[X]\) par l’idéal engendré par \(P\). L’anneau \(A\) est-il un corps ? Combien a-t-il d’éléments ?
On note \(\alpha\) la classe du polynôme \(X\) dans \(A\). Déterminer \(\alpha^4\) et \(\alpha^{15}\) comme polynômes de degré au plus \(3\) en \(\alpha\).
Déterminer toutes les puissances de \(\alpha\), \(\alpha\) jusqu’à \(\alpha^{15}\), comme polynômes de degré au plus \(3\) en \(\alpha\).
Déterminer \(\alpha^7+\alpha^8+\alpha^9\) comme polynômes de degré au plus \(3\) en \(\alpha\).
Ecrire l’inverse de \(1+\alpha+\alpha^3\) comme puissance de \(\alpha\).