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On rappelle que le seul polynôme irréductible de degré $2$ sur $\mathbb{F}_2$ est $X^2+X+1$. Montrer que le polynôme $X^4+X^3+1$ est irréductible dans $\mathbb{F}_2[X]$.

On note $A:=\mathbb{F}_2[X]/(X^4+X^3+1)$ l’anneau quotient de $\mathbb{F}_2[X]$ par l’idéal engendré par $P$. L’anneau $A$ est-il un corps ? Combien a-t-il d’éléments ?

On note $\alpha$ la classe du polynôme $X$ dans $A$. Déterminer $\alpha^4$ et $\alpha^{15}$ comme polynômes de degré au plus $3$ en $\alpha$.

Déterminer toutes les puissances de $\alpha$, $\alpha$ jusqu’à $\alpha^{15}$, comme polynômes de degré au plus $3$ en $\alpha$.

Déterminer $\alpha^7+\alpha^8+\alpha^9$ comme polynômes de degré au plus $3$ en $\alpha$.

Ecrire l’inverse de $1+\alpha+\alpha^3$ comme puissance de $\alpha$.