Soit \(A\) un opérateur de \(\Rr^n\) et \(x'=Ax\) le système associé.
1
On suppose que \(A\) laisse un sous-espace \(E\) invariant; montrer que si \(\varphi\) est une solution de condition initiale \(\varphi(t_0)\in E\) alors \(\varphi(t)\in E\) pour tout \(t\in \Rr\).
2
Que peut-on dire des solutions du système si \(A\) est nilpotente;?
3
On suppose que \(A\) a une valeur propre de partie réelle \(<0\); montrer qu’il existe au moins une solution \(\varphi\) telle que \(\lim_{t\to+\infty}\varphi(t)=0\).
4
A quelles conditions le système n’a-t-il que des solutions bornées ?