On considère dans \(\mathbb{C}\) l’équation \((E)\) suivante: \[z^2-\left(1+a\right)\left(1+i\right)z+\left(1+a^2\right)i=0,\] où \(a\) est un paramètre réel.
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Calculer en fonction de \(a\in\mathbb{R}\) les solutions \(z_1\) et \(z_2\) de \((E)\) (indication: on pourra déterminer les racines carées complexes de \(-2i(1-a)^2\)).
2
On désigne par \(Z_1\) (resp. \(Z_2\)) les points du plan complexe d’affixe \(z_1\) (resp. \(z_2\)) et par \(M\) le milieu de \(\left[Z_1,Z_2\right]\). Tracer la courbe du plan complexe décrite par \(M\) lorsque \(a\) varie dans \(\mathbb{R}\).