On considère deux variables aléatoires réelles \(X\) et \(U\) indépendantes, \(X\) suivant la loi normale \(\mathcal{N}(0, 1)\) et \(U\) suivant la loi discrète uniforme sur \(\{-1,1\}\).
On pose \(Y = UX\) et on admet que \(Y\) est une variable aléatoire absolument continue.
En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que : \[\forall x \in \mathbb{R}, \quad \mathbb{P}(Y \leq x) = \mathbb{P}(U = 1) \mathbb{P}(X \leq x) + \mathbb{P}(U = -1) \mathbb{P}(X > -x)\]
et en déduire que \(Y\) suit la même loi que \(X\).
Calculer l’espérance de \(U\), puis montrer que \(\mathbb{E}(XY) = 0\). En déduire que \(\mathrm{Cov}(X, Y) = 0\).
Rappeler la valeur de \(\mathbb{E}(X^2)\) et en déduire que : \[\int_{0}^{+\infty} x^2 e^{-\frac{x^2}{2}} \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\]
En déduire, s’il existe, le moment d’ordre \(4\) de \(X\).