Soit \(D=\{(x,y)\in \R^2,\, x>0\}\). On cherche les fonctions \(f \in {\cal C}^1(D,\R)\) qui vérifient \[(E) \qquad x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} =0 \quad \forall (x,y) \in D.\]
1
Vérifier que \(\varphi(x,y)=y/x\) est solution de (E).
2
Soit \(g \in {\cal C}^1(\R, \R)\). Montrer que \(g \circ \varphi\) est solution de \((E)\).
3
Soit \(f\) une solution de \((E)\). Montrer que \(f(u, uv)\) ne dépend que de \(v\).
4
Donner l’ensemble des solutions de \((E)\).