En divisant par $45$ (qui est le pgcd de $1665, 1035, 45$ ) nous obtenons l’équation équivalente : $37x+23y=1 \qquad (E)$ Comme le pgcd de $37$ et $23$ est $1$ , alors d’après le théorème de Bézout cette équation $(E)$ a des solutions.

L’algorithme d’Euclide pour le calcul du pgcd de $37$ et $23$ fourni les coefficients de Bézout: $37\times 5 + 23 \times (-8) = 1$ . Une solution particulière de $(E)$ est donc $(x_0,y_0) = (5,-8)$ .

Nous allons maintenant trouver l’expression générale pour les solutions de l’équation $(E)$ . Soient $(x,y)$ une solution de l’équation $37x+23y=1$ . Comme $(x_0,y_0)$ est aussi solution, nous avons $37x_0+23y_0=1$ . Faisons la différence de ces deux égalités pour obtenir $37(x-x_0)+23(y-y_0)=0$ . Autrement dit $37(x-x_0)=-23(y-y_0) \quad (*)$ On en déduit que $37 | 23 (y-y_0)$ , or $\pgcd(23,37)=1$ donc par le lemme de Gauss, $37 | (y -y_0)$ . (C’est ici qu’il est important d’avoir divisé par $45$ dès le début !) Cela nous permet d’écrire $y-y_0 = 37 k$ pour un $k \in \Zz$ .

Repartant de l’égalité $(*)$ : nous obtenons $37(x-x_0)=-23 \times 37 \times k$ . Ce qui donne $x-x_0 = -23 k$ . Donc si $(x,y)$ est solution de $(E)$ alors elle est de la forme : $(x,y)= (x_0 - 23k,y_0+37k)$ , avec $k \in \Zz$ .

Réciproquement pour chaque $k\in\Zz$ , si $(x,y)$ est de cette forme alors c’est une solution de $(E)$ (vérifiez-le !).

Conclusion : les solutions sont $\big\lbrace (5 - 23k,-8+37k) \mid k\in \Zz\big\rbrace.$

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