Soit \(\phi_2 : \Rr^2 \to S^2 \subset \Rr^3\) la carte de la sphère \(S^2\) donnée par la projection stéréographique du pôle nord. En identifiant \(\Rr^2\) avec le plan complex \(\Cc\), on définit l’application \(F : \Rr^4 \to S^2\) par : \[F(x,y,z,t) = \phi_2(\frac{z+it}{x+iy})\ .\]
Calculer l’expression explicite de \(F\) et montrer que la restriction de \(F\) à la sphère \(S^3 \subset \Rr^4\) est une application \(F : S^3 \to S^2\) qui est bien définie.
Sur \(\Rr^4\) on définit le champ de vecteurs \[X(x,y,z,t) = x \frac\partial{\partial y} - y \frac\partial{\partial x} + z \frac\partial{\partial t} - t \frac\partial{\partial z}\ .\] Calculer le flot de \(X\); est ce que \(X\) est complet ?
En utilisant le résultat de 2., montrer que si \(m\in S^3\), alors \(X(m) \in T_m S^3\).
Pour tout \(m\in S^3\) calculer \(TF(m)(X(m)) \in T_{F(m)} S^2\).