Un système électronique est constitué de \(n\) composants disposés en série. Cela implique que la panne d’un composant entraîne la panne de tout le système. Chacun des composants a une durée de vie \(T_k\) qui suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda = 1\), pour tout \(k \in \{1, \ldots, n\}\). On admet que les variables aléatoires \(T_1, \ldots, T_n\) sont indépendantes. On note \(S\) la durée de vie du système et on note \(t \geq 0\) la variable de temps.
Soit \(t \geq 0\). Pour tout \(k \in \{1, \ldots, n \}\), on note \(R_k(t) = \prob(T_k > t)\) la fiabilité du composant \(k\) à l’instant \(t\). C’est la probabilité que le composant \(k\) fonctionne encore après un temps d’utilisation \(t\). Déterminer \(R_k(t)\).
Calculer \(\E(T_k)\) et déterminer la probabilité que le composant \(k\) fonctionne après un temps d’utilisation égal à \(\E(T_k)\).
On note \(R(t) = \prob(S > t)\) la fiabilité du système à l’instant \(t\). C’est la probabilité que le système fonctionne encore après un temps d’utilisation \(t\). Exprimer \(R(t)\) en fonction de \(R_1(t), \ldots, R_n(t)\) et en déduire que \(S\) suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
Déterminer le temps moyen de bon fonctionnement du système.