Soit \(I\) un intervalle ouvert de \(\Rr\), \(E=\Rr^n\) , \(f(t,x)\) une fonction continue de \(I\times E\) dans \(E\) telle que \(||f(t,x_1)-f(t,x_2)||\leq k(t)\ ||x_1-x_2||\), où \(k\) est une fonction continue \(\geq0\) définie sur \(I\).
On considère \(J\) intervalle compact \(\subset I\) et l’opérateur \(T\) défini sur \(C(J,\Rr^n)\) par \[Tx(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(s,x(s))\ ds;\] montrer que pour \(p\) assez grand, \(T^p\) est contractante; en déduire que l’équation \(x'=f(t,x)\) admet une unique solution définie sur \(J\) tout entier telle que \(x(t_0)=x_0\).
Montrer que l’équation \(x'=f(t,x)\) admet une unique solution telle que \(x(t_0)=x_0\), définie sur \(I\) tout entier (on pourra écrire \(I\) comme union d’intervalles compacts).
Exemples : Montrer que les solutions maximales des équations
\(y''=-\sin y,y(0)=a, y'(0)=b\) (qu’on mettra sous forme canonique), et \(x'=A(t).x, x(0)=x_0\) où \(A(t)\in {\cal L}({\Rr^n})\) est constituée de fonctions continues sur \(\Rr\), sont définies sur \(\Rr\) tout entier.