Pour $x$ réel, on pose $f(x)=\int_{0}^{\sin^2x}\Arcsin\sqrt{t}\;dt+\int_{0}^{\cos^2x}\Arccos\sqrt{t}\;dt$ .
La fonction $t\mapsto\Arcsin\sqrt{t}$ est continue sur $[0,1]$ . Donc, la fonction $y\mapsto\int_{0}^{y}\Arcsin\sqrt{t}\;dt$ est définie et dérivable sur $[0,1]$ . De plus, $x\mapsto\sin^2x$ est définie et dérivable sur $\Rr$ à valeurs dans $[0,1]$ . Finalement, la fonction $x\mapsto\int_{0}^{\sin^2x}\Arcsin\sqrt{t}\;dt$ est définie et dérivable sur $\Rr$ . De même, la fonction $t\mapsto\Arccos\sqrt{t}$ est continue sur $[0,1]$ . Donc, la fonction $y\mapsto\int_{0}^{y}\Arccos\sqrt{t}\;dt$ est définie et dérivable sur $[0,1]$ . De plus, la fonction $x\mapsto\cos^2x$ est définie et dérivable sur $\Rr$ , à valeurs dans $[0,1]$ . Finalement, la fonction $x\mapsto\int_{0}^{\cos^2x}\Arccos\sqrt{t}\;dt$ est définie et dérivable sur $\Rr$ . Donc, $f$ est définie et dérivable sur $\Rr$ et, pour tout réel $x$ ,

$\begin{align*} f'(x)&=2\sin x\cos x\Arcsin(\sqrt{\sin^2x})-2\sin x\cos x\Arccos(\sqrt{\cos^2x})\\ &=2\sin x\cos x\left(\Arcsin(|\sin x|)-\Arccos(|\cos x|)\right). \end{align*}$ On note alors que $f$ est $\pi$ -pérodique et paire. Pour $x$ élément de $[0,\frac{\pi}{2}]$ , $f'(x)=2\sin x\cos x(x-x)=0$ . $f$ est donc constante sur $[0,\frac{\pi}{2}]$ et pour $x$ élément de $[0,\frac{\pi}{2}]$ , $f(x)=f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\int_{0}^{1/2}\Arcsin\sqrt{t}\;dt+\int_{0}^{1/2}\Arccos\sqrt{t}dt=\int_{0}^{1/2}\frac{\pi}{2}\;dt= \frac{\pi}{4}$ . Mais alors, par parité et $\pi$ -périodicité,

$\forall x\in\Rr,\;\int_{0}^{\sin^2x}\Arcsin\sqrt{t}\;dt+\int_{0}^{\cos^2x}\Arccos\sqrt{t}\;dt=\frac{\pi}{4}.$

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