L’expression \(r(\theta)=\frac{1}{\sqrt{\tan(2\theta)}}\) est bien définie sur \(\mathcal{D}= ]0,\frac\pi4[\) (il faut \(\tan(2\theta)\) bien défini et strictement positif).

Passages par l’origine
Puisque \(r\) ne s’annule pas, la courbe ne passe pas par l’origine. Mais elle admet l’origine pour point limite: \(r(\theta)\xrightarrow[\theta\to\frac{\pi}{4}^-]{}0^+\). Variations et signe de la fonction \(r\)
La fonction \(r\) est strictement décroissante, et strictement positive, sur \(]0;\frac{\pi}{4}[\): \[\begin{array}{c|lcr} \theta&0&\ &\frac{\pi}{4}\\\hline \ &+\infty &\ & \\ r&\ &\searrow &\ \\ & &\ &0 \\ \end{array}\] Cela signifie que la courbe tourne (dans le sens trigonométrique) en se rapprochant de l’origine. Tangente à l’origine
Le point \(M(\frac{\pi}{4})\) est à l’origine : la tangente en ce point est donc dirigée par \(\vec{u}_{\frac{\pi}{4}}\), c’est la première bissectrice. Étude des branches infinies
Lorsque \(\theta\) tend vers 0, \(r(\theta)\) tend vers \(+\infty\): il y a donc une branche infinie. Pour étudier sa nature, passons en coordonnées cartésiennes: \[\begin{aligned} x(\theta)&=&\frac{\cos\theta}{\sqrt{\tan(2\theta)}}\xrightarrow[\theta\to 0^+]{}+\infty\\ y(\theta)&=&\frac{\sin\theta}{\sqrt{\tan(2\theta)}}\underset{0^+}{\sim}\frac{\theta}{\sqrt{2\theta}}\end{aligned}\] Ainsi \(x(\theta)\xrightarrow[\theta\to 0^+]{}+\infty\), \(y(\theta)\xrightarrow[\theta\to 0^+]{}0\): la droite d’équation \(y=0\) est asymptote horizontale.

L’expression \(r(\theta)=\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}\) est bien définie sur \(\mathcal{D}=]-\frac\pi2,\frac\pi2[\).

Réduction du domaine d’étude
Comme \(r\) est paire, il suffit en fait de faire l’étude pour les \(\theta>0\), donc sur \([0;\frac{\pi}{2}[\), puis de compléter par réflexion d’axe \((Ox)\), en effet \(M(-\theta) = s_{(Ox)}(M(\theta))\).

On se restreint donc dans la suite à \(\theta\in[0,\frac{\pi}{2}[\), puis on obtient la courbe complète par réflexion d’axe \((Ox)\). Passages par l’origine
La courbe passe par l’origine si \(r\) s’annule: pour \(\theta\in[0,\frac{\pi}{2}[\), \[r(\theta)=0\Longleftrightarrow\theta=0\] Variations et signe de la fonction \(r\)
La fonction \(r\) est strictement croissante sur \(]0,\frac{\pi}{2}[\), strictement positive sur \(\left]0,\frac{\pi}{2}\right]\) et s’annule en \(0\): \[\begin{array}{c|lcr} \theta&0&\ &\frac{\pi}{2}\\\hline \ & &\ & +\infty\\ r&\ &\nearrow &\ \\ &0 &\ & \\ \end{array}\] Ainsi la courbe tourne en s’éloignant de l’origine. Tangente à l’origine
La courbe passe par l’origine en \(\theta=0\). Par conséquent, la tangente en \(O=M\left(0\right)\) est la droite passant par \(O\) et d’angle polaire \(0\), c’est-à-dire l’axe \((Ox)\). Étude des branches infinies
Lorsque \(\theta\) tend vers \(\frac{\pi}{2}\), \(r(\theta)\) tend vers \(+\infty\): il y a donc une branche infinie. Pour étudier sa nature, passons en coordonnées cartésiennes: \[\begin{aligned} x(\theta)&=&\sin^2\theta\xrightarrow[\theta\to \frac{\pi}{2}^-]{}1\\ y(\theta)&=&\frac{\sin^3\theta}{\cos\theta}\xrightarrow[\theta\to \frac{\pi}{2}^-]{}+\infty\end{aligned}\] Ainsi la droite d’équation \(x=1\) est asymptote verticale.

L’expression \(r(\theta)=\sqrt{\cos(2\theta)}\) est bien définie si \(\cos(2\theta)\) est positif, i.e. sur \(\mathcal{D}=\bigcup_{k\in\Z}[-\frac{\pi}{4}+k\pi;\frac{\pi}{4}+k\pi]\).

Réduction du domaine d’étude
La fonction \(r\) est \(\pi\)-périodique: on l’étudie sur un intervalle de longueur \(\pi\), par exemple \([-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\cap\mathcal{D}=[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}]\), puis on complète par rotation d’angle \(\pi\). De plus \(r\) est paire: \(\theta\in D\Leftrightarrow-\theta\in D\), et pour \(\theta\in D\) on a \[M(-\theta)=\left[r(-\theta):-\theta\right]=\left[r(\theta):-\theta\right]=s_{(Ox)}(M(\theta))\] Finalement, on étudie et on construit la portion de courbe correspondant à \(\theta\in[0,\frac{\pi}{4}]\), puis on obtient la courbe complète d’abord par réflexion d’axe \((Ox)\), puis par rotation d’angle \(\pi\) (symétrie centrale par rapport à l’origine). Passages par l’origine
La courbe passe par l’origine si \(r\) s’annule: pour \(\theta\in[0,\frac{\pi}{4}]\), \[r(\theta)=0\Longleftrightarrow\theta=\frac{\pi}{4}\] Variations et signe de la fonction \(r\)
La fonction \(r\) est strictement décroissante sur \([0,\frac{\pi}{4}]\), strictement positive sur \(\left]0,\frac{\pi}{4}\right]\) et s’annule en \(\frac{\pi}{4}\): \[\begin{array}{c|lcr} \theta&0&\ &\frac{\pi}{4}\\\hline \ &1 &\ & \\ r&\ &\searrow &\ \\ & &\ &0 \\ \end{array}\] Ainsi la courbe tourne en se rapprochant de l’origine. Tangentes
La courbe passe par l’origine en \(\theta=\frac{\pi}{4}\), et donc la tangente en \(M\left(\frac{\pi}{4}\right)\) est la droite passant par \(O\) et d’angle polaire \(\frac{\pi}{4}\) c’est-à-dire la première bissectrice.

En \(\theta=0\), \(r(0)=1\) (et \(r'(0)=0\)) et la tangente est dirigée par le vecteur \[\overrightarrow{\frac{\dd M}{\dd \theta}}(0)=r'(0)\vec{u}_0+r(0)\vec{v}_0=\vec{v}_0=\vec{j}\] et la tangente à la courbe au point \(M(0)\) de coordonnées cartésiennes \((1,0)\) est donc verticale.

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