L’expression $r(\theta)=\frac{1}{\sqrt{\tan(2\theta)}}$ est bien définie sur $\mathcal{D}= ]0,\frac\pi4[$ (il faut $\tan(2\theta)$ bien défini et strictement positif).

Passages par l’origine
Puisque $r$ ne s’annule pas, la courbe ne passe pas par l’origine. Mais elle admet l’origine pour point limite: $r(\theta)\xrightarrow[\theta\to\frac{\pi}{4}^-]{}0^+$ .
Variations et signe de la fonction $r$
La fonction $r$ est strictement décroissante, et strictement positive, sur $]0;\frac{\pi}{4}[$ : $\begin{array}{c|lcr} \theta&0&\ &\frac{\pi}{4}\\\hline \ &+\infty &\ & \\ r&\ &\searrow &\ \\ & &\ &0 \\ \end{array}$ Cela signifie que la courbe tourne (dans le sens trigonométrique) en se rapprochant de l’origine.
Tangente à l’origine
Le point $M(\frac{\pi}{4})$ est à l’origine : la tangente en ce point est donc dirigée par $\vec{u}_{\frac{\pi}{4}}$ , c’est la première bissectrice.
Étude des branches infinies
Lorsque $\theta$ tend vers 0, $r(\theta)$ tend vers $+\infty$ : il y a donc une branche infinie. Pour étudier sa nature, passons en coordonnées cartésiennes: $\begin{aligned} x(\theta)&=&\frac{\cos\theta}{\sqrt{\tan(2\theta)}}\xrightarrow[\theta\to 0^+]{}+\infty\\ y(\theta)&=&\frac{\sin\theta}{\sqrt{\tan(2\theta)}}\underset{0^+}{\sim}\frac{\theta}{\sqrt{2\theta}} \end{aligned}$ Ainsi $x(\theta)\xrightarrow[\theta\to 0^+]{}+\infty$ , $y(\theta)\xrightarrow[\theta\to 0^+]{}0$ : la droite d’équation $y=0$ est asymptote horizontale.

L’expression

r(\theta)=\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}

est bien définie sur

\mathcal{D}=]-\frac\pi2,\frac\pi2[

Réduction du domaine d’étude
Comme $r$ est paire, il suffit en fait de faire l’étude pour les $\theta>0$ , donc sur $[0;\frac{\pi}{2}[$ , puis de compléter par réflexion d’axe $(Ox)$ , en effet $M(-\theta) = s_{(Ox)}(M(\theta))$ .

On se restreint donc dans la suite à $\theta\in[0,\frac{\pi}{2}[$ , puis on obtient la courbe complète par réflexion d’axe $(Ox)$ .
Passages par l’origine
La courbe passe par l’origine si $r$ s’annule: pour $\theta\in[0,\frac{\pi}{2}[$ , $r(\theta)=0\Longleftrightarrow\theta=0$
Variations et signe de la fonction $r$
La fonction $r$ est strictement croissante sur $]0,\frac{\pi}{2}[$ , strictement positive sur $\left]0,\frac{\pi}{2}\right]$ et s’annule en $0$ : $\begin{array}{c|lcr} \theta&0&\ &\frac{\pi}{2}\\\hline \ & &\ & +\infty\\ r&\ &\nearrow &\ \\ &0 &\ & \\ \end{array}$ Ainsi la courbe tourne en s’éloignant de l’origine.
Tangente à l’origine
La courbe passe par l’origine en $\theta=0$ . Par conséquent, la tangente en $O=M\left(0\right)$ est la droite passant par $O$ et d’angle polaire $0$ , c’est-à-dire l’axe $(Ox)$ .
Étude des branches infinies
Lorsque $\theta$ tend vers $\frac{\pi}{2}$ , $r(\theta)$ tend vers $+\infty$ : il y a donc une branche infinie. Pour étudier sa nature, passons en coordonnées cartésiennes: $\begin{aligned} x(\theta)&=&\sin^2\theta\xrightarrow[\theta\to \frac{\pi}{2}^-]{}1\\ y(\theta)&=&\frac{\sin^3\theta}{\cos\theta}\xrightarrow[\theta\to \frac{\pi}{2}^-]{}+\infty \end{aligned}$ Ainsi la droite d’équation $x=1$ est asymptote verticale.

L’expression

r(\theta)=\sqrt{\cos(2\theta)}

est bien définie si

\cos(2\theta)

est positif, i.e. sur

\mathcal{D}=\bigcup_{k\in\Z}[-\frac{\pi}{4}+k\pi;\frac{\pi}{4}+k\pi]

Réduction du domaine d’étude
La fonction $r$ est $\pi$ -périodique: on l’étudie sur un intervalle de longueur $\pi$ , par exemple $[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\cap\mathcal{D}=[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}]$ , puis on complète par rotation d’angle $\pi$ . De plus $r$ est paire: $\theta\in D\Leftrightarrow-\theta\in D$ , et pour $\theta\in D$ on a $M(-\theta)=\left[r(-\theta):-\theta\right]=\left[r(\theta):-\theta\right]=s_{(Ox)}(M(\theta))$ Finalement, on étudie et on construit la portion de courbe correspondant à $\theta\in[0,\frac{\pi}{4}]$ , puis on obtient la courbe complète d’abord par réflexion d’axe $(Ox)$ , puis par rotation d’angle $\pi$ (symétrie centrale par rapport à l’origine).
Passages par l’origine
La courbe passe par l’origine si $r$ s’annule: pour $\theta\in[0,\frac{\pi}{4}]$ , $r(\theta)=0\Longleftrightarrow\theta=\frac{\pi}{4}$
Variations et signe de la fonction $r$
La fonction $r$ est strictement décroissante sur $[0,\frac{\pi}{4}]$ , strictement positive sur $\left]0,\frac{\pi}{4}\right]$ et s’annule en $\frac{\pi}{4}$ : $\begin{array}{c|lcr} \theta&0&\ &\frac{\pi}{4}\\\hline \ &1 &\ & \\ r&\ &\searrow &\ \\ & &\ &0 \\ \end{array}$ Ainsi la courbe tourne en se rapprochant de l’origine.
Tangentes
La courbe passe par l’origine en $\theta=\frac{\pi}{4}$ , et donc la tangente en $M\left(\frac{\pi}{4}\right)$ est la droite passant par $O$ et d’angle polaire $\frac{\pi}{4}$ c’est-à-dire la première bissectrice.

En $\theta=0$ , $r(0)=1$ (et $r'(0)=0$ ) et la tangente est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{\frac{\dd M}{\dd \theta}}(0)=r'(0)\vec{u}_0+r(0)\vec{v}_0=\vec{v}_0=\vec{j}$ et la tangente à la courbe au point $M(0)$ de coordonnées cartésiennes $(1,0)$ est donc verticale.

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