Les quantiles sont à gauche : \(t_{\nu;\gamma}\) désigne le quantile de la loi \(St(\nu)\) laissant une probabilité \(\gamma\) à sa gauche.
Des durées de vie, en années, sont modélisées par une loi exponentielle d’espérance \(\mu=2\) ; son écart-type vaut aussi \(\sigma=2\). Cette loi est nettement asymétrique. On étudie au tableur la moyenne \(\overline X\) d’un échantillon de taille \(n\).
Au tableur, =-2*LN(1-ALEA()) simule une durée de cette loi. Utiliser une feuille par taille d’échantillon, avec une ligne par échantillon et une colonne par observation. Chaque recalcul produit une nouvelle simulation ; pour figer les résultats, copier les données puis effectuer un collage spécial « valeurs ».
Simuler \(500\) échantillons de taille \(n=2\). Calculer la moyenne de chaque échantillon, puis tracer l’histogramme des \(500\) moyennes.
Recommencer avec \(n=10\) et \(n=50\). Pour chaque taille, calculer la moyenne et l’écart-type des \(500\) moyennes simulées, et les comparer à \(\mu\) et à \(\frac\sigma{\sqrt n}\). Comment la forme des histogrammes évolue-t-elle ?
Pour \(n=10\), calculer pour chaque échantillon l’écart-type corrigé \(s\) et l’intervalle \[\left[\overline x-t\frac s{\sqrt{10}}\,;\,\overline x+t\frac s{\sqrt{10}}\right]\qquad\text{avec } t=t_{9;0{,}975}.\] Quelle proportion des \(500\) intervalles contient \(\mu=2\) ? Recommencer avec \(t=1{,}96\).
Expliquer pourquoi la proportion obtenue à la question précédente n’est pas \(95\%\). Que garantissent respectivement le théorème central limite et la construction de Student ?
À rendre : le fichier du tableur avec les trois simulations figées, les histogrammes et le tableau comparatif, accompagné d’une courte interprétation.