Un statisticien observe chaque jour, pendant \(n\) jours, le nombre d’ampoules défaillantes à la sortie d’une chaîne de fabrication. Il veut estimer la probabilité de n’avoir aucune ampoule défaillante. Il note \(X_i\) le nombre d’ampoules défaillantes à la sortie de la chaîne le \(i\)-ème jour.
Dans un premier temps, il compte le nombre \(N_n\) de jours où aucune défaillance n’a été observée. Il propose d’estimer \(P(X_1 = 0)\) par \(p_{b1} = \frac{N_n}{n}\).
(a) Montrer, en supposant juste les \(X_i\) i.i.d., que \(p_{b1}\) est un estimateur sans biais de \(P(X_1 = 0)\). Calculer son risque quadratique et donner sa loi limite.
(b) Donner des intervalles de confiance pour \(P(X_1 = 0)\) de niveau \((1-\alpha)\).
Le statisticien suppose de plus que \(X_1 \sim P(\lambda)\). Il propose d’estimer \(P(X_1 = 0) = \exp(-\lambda)\) par \(p_{b2} = e^{-\bar{X}_n}\).
(a) Préliminaire : soient \(Y_1 \sim P(\lambda_1)\) et \(Y_2 \sim P(\lambda_2)\), deux v.a. indépendantes. Rappeler la loi de \(Y_1 + Y_2\).
(b) Expliquer sa démarche. Montrer que \(p_{b2}\) est biaisé. Calculer sa variance et son biais. Déterminer des équivalents asymptotiques des quantités précédentes.
(c) Lequel de \(p_{b1}\) ou \(p_{b2}\) choisiriez-vous pour estimer \(e^{-\lambda}\) ?