{ "metadata": { "totalCount": 440, "generatedAt": "2024-11-06T20:23:14.199Z" }, "exercises": [ { "uuid": "1asx", "titre": "", "theme": "", "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:52.065Z", "organisation": "", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:52.065Z" }, "contenu": [ { "id": "7b4ca467-cf30-4555-a10c-ff1aa72de0ba", "type": "description", "value": { "latex": "On considère un avion contenant 100 passagers. On suppose que le poids d'un passager pris au hasard suit une loi de probabilité dont l'espérance est 71 kg et l'écart type est 7~kg.", "html": "

On considère un avion contenant 100 passagers. On suppose que le\npoids d’un passager pris au hasard suit une loi de probabilité dont\nl’espérance est 71 kg et l’écart type est 7 kg.

\n" } }, { "id": "57ad8b74-fdb1-4a13-bce2-3140925e489b", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer la probabilité que le poids de l'ensemble des passagers soit supérieur à $7{,}3$ tonnes.", "html": "

Calculer la probabilité que le poids de l’ensemble des passagers soit\nsupérieur à \$7{,}3\$ tonnes.

\n" } }, { "id": "2751941f-1c6d-495e-9ea5-812b67e4d1b0", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit la variable aléatoire $X$ donnant la somme des poids des 100 passagers. Si on note $Y_i$ le poids du $i$-ème passager, on a $X = \\sum_{i=1}^{100} Y_i$. Par conséquent, $\\mathbb{E}(X) = 7100$ et $V(X) = 100 \\times 7^2 = 4900$. \nD'après le théorème central limite, la loi de $X$ peut être approchée par une loi normale de moyenne $7100$ et de variance $4900$, soit un écart type de $70$. \n\nEn notant $Z$ une variable aléatoire normale centrée réduite, on en déduit que \n$$\\begin{align*}\n \\PP\\left(X > 7300\\right) &= \\PP\\left(\\frac{X-7100}{70} > \\frac{7300-7100}{70}\\right) \\\\\n &\\approx \\PP\\left(Z > \\frac{200}{70} \\approx 2{,}857\\right) \\\\\n &\\approx 0{,}0021 = 0{,}21\\%\n\\end{align*}$$\nIl n'y a quasiment aucune chance que le poids total des passagers dépasse $7{}3$ tonnes.", "html": "

Soit la variable aléatoire \$X\$\ndonnant la somme des poids des 100 passagers. Si on note \$Y_i\$ le poids du \$i\$-ème passager, on a \$X = \\sum_{i=1}^{100} Y_i\$. Par conséquent,\n\$\\mathbb{E}(X) = 7100\$ et \$V(X) = 100 \\times 7^2 = 4900\$. D’après le\nthéorème central limite, la loi de \$X\$ peut être approchée par une loi normale\nde moyenne \$7100\$ et de variance\n\$4900\$, soit un écart type de \$70\$.

En notant \$Z\$ une variable\naléatoire normale centrée réduite, on en déduit que \\[\\begin{align*}\n \\PP\\left(X > 7300\\right) &= \\PP\\left(\\frac{X-7100}{70} >\n\\frac{7300-7100}{70}\\right) \\\\\n &\\approx \\PP\\left(Z > \\frac{200}{70} \\approx 2{,}857\\right) \\\\\n &\\approx 0{,}0021 = 0{,}21\\%\n\\end{align*}\\] Il n’y a quasiment aucune chance que le poids\ntotal des passagers dépasse \$7{}3\$\ntonnes.

\n" } }, { "id": "206863c6-8af5-4896-a7fd-cecbf1092f62", "type": "question", "value": { "latex": "Sur 40 passagers interrogés au hasard, 23 voyagent avec un bagage en soute. Déterminer à l'aide d'un intervalle de confiance au niveau $95\\%$ une estimation de la proportion de passagers qui voyagent avec un bagage en soute sur ce vol.", "html": "

Sur 40 passagers interrogés au hasard, 23 voyagent avec un bagage en\nsoute. Déterminer à l’aide d’un intervalle de confiance au niveau \$95\\%\$ une estimation de la proportion de\npassagers qui voyagent avec un bagage en soute sur ce vol.

\n" } }, { "id": "c15a3c47-38ea-4b27-89a7-684661223252", "type": "reponse", "value": { "latex": "On cherche à estimer une fréquence à partir d'un échantillon de taille $40$. La fréquence observée dans l'échantillon est $f_{obs} = \\frac{23}{40}$. On peut donc utiliser la formule du cours : \n\t\t$$I_{conf}(F(\\omega))=\\left[f_{obs}-u_{\\alpha/2} \\sqrt{\\frac{f_{obs}(1-f_{obs})}{n}} ~;~ f_{obs} + u_{\\alpha/2} \\sqrt{\\frac{f_{obs}(1-f_{obs})}{n}} \\right]$$\n\t\ten remplaçant $u_{\\alpha/2}$ par $1{,}96$ pour une confiance de $95\\%$, on obtient numériquement $I_{conf} \\approx [0.42 ; 0.73]$.\n\t\nOn peut estimer que la proportion de passagers voyageant avec un bagage en soute est compris entre $42\\%$ et $73\\%$.", "html": "

On cherche à estimer une fréquence à partir d’un échantillon de\ntaille \$40\$. La fréquence observée\ndans l’échantillon est \$f_{obs} =\n\\frac{23}{40}\$. On peut donc utiliser la formule du cours :\n\\[I_{conf}(F(\\omega))=\\left[f_{obs}-u_{\\alpha/2}\n\\sqrt{\\frac{f_{obs}(1-f_{obs})}{n}} ~;~ f_{obs} + u_{\\alpha/2}\n\\sqrt{\\frac{f_{obs}(1-f_{obs})}{n}} \\right]\\] en remplaçant \$u_{\\alpha/2}\$ par \$1{,}96\$ pour une confiance de \$95\\%\$, on obtient numériquement \$I_{conf} \\approx [0.42 ; 0.73]\$.

On peut estimer que la proportion de passagers voyageant avec un\nbagage en soute est compris entre \$42\\%\$ et \$73\\%\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "5Tc1", "titre": "", "theme": "", "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:55.893Z", "organisation": "", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:55.893Z" }, "contenu": [ { "id": "bd3c7b70-62e6-4a3a-b236-52f1bb6ba70f", "type": "description", "value": { "latex": "On considère un échantillon $(X_i)$ de taille $n=4$ dans une population suivant une loi normale de paramètres $\\mu$ et $\\sigma^2$. \n\n\n\nOn pose \n$$T_1 = \\frac{1}{4}\\sum_{i=1}^{4} X_i \\qquad T_2 = \\frac{1}{5}(2X_1+X_2)+\\frac{1}{10}(3X_3+X_4)$$\n$$U = \\frac{1}{\\sigma^2}\\sum_{i=1}^{4} {(X_i-\\mu)^2} \\qquad V = \\frac{1}{\\sigma^2}\\sum_{i=1}^{4} {(X_i-T_1)^2}$$", "html": "

On considère un échantillon \$(X_i)\$ de taille \$n=4\$ dans une population suivant une loi\nnormale de paramètres \$\\mu\$ et \$\\sigma^2\$.

On pose \\[T_1 = \\frac{1}{4}\\sum_{i=1}^{4}\nX_i \\qquad T_2 = \\frac{1}{5}(2X_1+X_2)+\\frac{1}{10}(3X_3+X_4)\\]\n\\[U =\n\\frac{1}{\\sigma^2}\\sum_{i=1}^{4} {(X_i-\\mu)^2} \\qquad V =\n\\frac{1}{\\sigma^2}\\sum_{i=1}^{4} {(X_i-T_1)^2}\\]

\n" } }, { "id": "bab59486-f383-4b2a-ad01-cc64cd414e10", "type": "question", "value": { "latex": "On cherche à estimer $\\mu$ à l'aide des estimateurs $T_1$ et $T_2$. \\'Etudier leur biais et comparer leurs efficacités.", "html": "

On cherche à estimer \$\\mu\$ à\nl’aide des estimateurs \$T_1\$ et \$T_2\$. Étudier leur biais et comparer leurs\nefficacités.

\n" } }, { "id": "653b1dc5-0ed1-4c2a-9525-93f3b5ee860f", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par linéarité de l'espérance, on calcule $\\mathbb{E}(T_1) = \\frac{4\\mu}{4} = \\mu$, $\\mathbb{E}(T_2) = \\frac{3\\mu}{5}+\\frac{4\\mu}{10} = \\mu$. Par conséquent, $B(T_1)=B(T_2)=0$.\n\t\t\n\t\tPour comparer l'efficacité des deux estimateurs sais biais, on calcule leur EQM (ce qui revient à calculer leur variance.) Par indépendance des variables, on a :\n\t\t\n\t\t$V(T_1) = \\frac{\\sigma^2}{4} < V(T_3) = \\frac{(4^2+2^2+3^2+1^2)\\sigma^2}{100}$. Le plus efficace est donc l'estimateur $T_1$ qui est la moyenne empirique.", "html": "

Par linéarité de l’espérance, on calcule \$\\mathbb{E}(T_1) = \\frac{4\\mu}{4} = \\mu\$,\n\$\\mathbb{E}(T_2) =\n\\frac{3\\mu}{5}+\\frac{4\\mu}{10} = \\mu\$. Par conséquent, \$B(T_1)=B(T_2)=0\$.

Pour comparer l’efficacité des deux estimateurs sais biais, on\ncalcule leur EQM (ce qui revient à calculer leur variance.) Par\nindépendance des variables, on a :

\$V(T_1) = \\frac{\\sigma^2}{4} < V(T_3) =\n\\frac{(4^2+2^2+3^2+1^2)\\sigma^2}{100}\$. Le plus efficace est\ndonc l’estimateur \$T_1\$ qui est la\nmoyenne empirique.

\n" } }, { "id": "b9c9b54c-c210-4623-abc4-2063c44e7e9c", "type": "question", "value": { "latex": "Quelle est la loi suivie par la variable $T_1$ ? la variable $T_2$ ? la variable $U$ ? la variable $V$ ? justifier.", "html": "

Quelle est la loi suivie par la variable \$T_1\$ ? la variable \$T_2\$ ? la variable \$U\$ ? la variable \$V\$ ? justifier.

\n" } }, { "id": "20b280c1-a772-46f0-b750-efc0dd3bca9c", "type": "reponse", "value": { "latex": "$U = \\sum_{i=1}^{4} \\left(\\frac{X_i-\\mu}{\\sigma}\\right)^2$ ; or les $X_i$ sont des variables aléatoires indépendantes et $\\frac{X_i-\\mu}{\\sigma}$ suit une loi $\\mathcal{N}(0,1)$ donc par définition, $U$ suit une loi de $\\chi^2(4)$. \n\t\t\n\t\tDe plus, $T_1 = \\overline{X}$ est l'estimateur de moyenne empirique donc d'après le théorème de Fisher, $V$ suit une loi de $\\chi^2(4-1) = \\chi^2(3)$.", "html": "

\$U =\n\\sum_{i=1}^{4} \\left(\\frac{X_i-\\mu}{\\sigma}\\right)^2\$ ; or les\n\$X_i\$ sont des variables aléatoires\nindépendantes et \$\\frac{X_i-\\mu}{\\sigma}\$ suit une loi \$\\mathcal{N}(0,1)\$ donc par définition,\n\$U\$ suit une loi de \$\\chi^2(4)\$.

De plus, \$T_1 = \\overline{X}\$ est\nl’estimateur de moyenne empirique donc d’après le théorème de Fisher,\n\$V\$ suit une loi de \$\\chi^2(4-1) = \\chi^2(3)\$.

\n" } }, { "id": "6c77a6ce-ab79-4483-adf3-43af81d9f652", "type": "question", "value": { "latex": "Quelle est la loi de la variable aléatoire $\\frac{4(T_1-\\mu)}{{\\sigma \\sqrt{U}}}$ ?", "html": "

Quelle est la loi de la variable aléatoire \$\\frac{4(T_1-\\mu)}{{\\sigma \\sqrt{U}}}\$\n?

\n" } }, { "id": "7cc27cf4-e482-4ef2-aeb5-856d9b9b540a", "type": "reponse", "value": { "latex": "On pose $Z = \\frac{T_1-\\mu}{\\frac{\\sigma}{\\sqrt{4} }} = \\frac{2(T_1-\\mu)}{\\sigma}$ variable distribuée selon une loi $\\mathcal{N}(0,1)$. Soit alors $Y = \\frac{Z}{\\sqrt{\\frac{U}{4} }}$ : par définition, $Y$ suit une loi $St(4)$. Après simplifications, on peut réécrire $Y = \\frac{4(T_1-\\mu)}{{\\sigma \\sqrt{U}}}$.", "html": "

On pose \$Z =\n\\frac{T_1-\\mu}{\\frac{\\sigma}{\\sqrt{4} }} =\n\\frac{2(T_1-\\mu)}{\\sigma}\$ variable distribuée selon une loi\n\$\\mathcal{N}(0,1)\$. Soit alors \$Y = \\frac{Z}{\\sqrt{\\frac{U}{4} }}\$ : par\ndéfinition, \$Y\$ suit une loi \$St(4)\$. Après simplifications, on peut\nréécrire \$Y = \\frac{4(T_1-\\mu)}{{\\sigma\n\\sqrt{U}}}\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "7otE", "titre": "", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:59.601Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:59.601Z" }, "contenu": [ { "id": "a7362e97-4b38-4985-bea8-92e194e6ac48", "type": "description", "value": { "latex": "Lors d'un référendum, un sondage aléatoire simple avec remise pratiqué sur $1000$ personnes a\ndonné $55\\%$ pour le << Oui >> et $45\\%$ pour le << Non >>.", "html": "

Lors d’un référendum, un sondage aléatoire simple avec remise\npratiqué sur \$1000\$ personnes a donné\n\$55\\%\$ pour le << Oui >>\net \$45\\%\$ pour le << Non\n>>.

\n" } }, { "id": "6fb07a67-22cc-4357-8c84-907a214a86f0", "type": "reponse", "value": { "latex": "La taille de la population n'infuence pas le résultat de l'estimation. Mais plus la taille de l'échantillon est importante, plus le sondage est précis. Il vaut donc mieux faire un sondage sur 2000 personnes que sur 1000 personnnes.", "html": "

La taille de la population n’infuence pas le résultat de\nl’estimation. Mais plus la taille de l’échantillon est importante, plus\nle sondage est précis. Il vaut donc mieux faire un sondage sur 2000\npersonnes que sur 1000 personnnes.

\n" } }, { "id": "71f1e63a-7f61-490c-9da0-cc9c6ed6274b", "type": "reponse", "value": { "latex": "On cherche à estimer une fréquence à partir d'un échantillon de taille $1000$. La fréquence observée dans l'échantillon est $f_{obs} = \\frac{55}{100}$. On peut donc utiliser la formule du cours : \n\t\t$$I_{conf}(F(\\omega))=\\left[f_{obs}-u_{\\alpha/2} \\sqrt{\\frac{f_{obs}(1-f_{obs})}{n}} ~;~ f_{obs} + u_{\\alpha/2} \\sqrt{\\frac{f_{obs}(1-f_{obs})}{n}} \\right]$$\n\t\ten remplaçant $u_{\\alpha/2}$ par $1{,}96$ pour une confiance de $95\\%$, on obtient numériquement $I_{conf} \\approx [0.519 ; 0.581]$. \n\nEn remplaçant $u_{\\alpha/2}$ par $2{,}5758$ pour une confiance de $99\\%$, on obtient numériquement $I_{conf} \\approx [0.509 ; 0.591]$.", "html": "

On cherche à estimer une fréquence à partir d’un échantillon de\ntaille \$1000\$. La fréquence observée\ndans l’échantillon est \$f_{obs} =\n\\frac{55}{100}\$. On peut donc utiliser la formule du cours :\n\\[I_{conf}(F(\\omega))=\\left[f_{obs}-u_{\\alpha/2}\n\\sqrt{\\frac{f_{obs}(1-f_{obs})}{n}} ~;~ f_{obs} + u_{\\alpha/2}\n\\sqrt{\\frac{f_{obs}(1-f_{obs})}{n}} \\right]\\] en remplaçant \$u_{\\alpha/2}\$ par \$1{,}96\$ pour une confiance de \$95\\%\$, on obtient numériquement \$I_{conf} \\approx [0.519 ; 0.581]\$.

En remplaçant \$u_{\\alpha/2}\$ par\n\$2{,}5758\$ pour une confiance de\n\$99\\%\$, on obtient numériquement\n\$I_{conf} \\approx [0.509 ;\n0.591]\$.

\n" } }, { "id": "4ab662b8-5061-4fa8-b44b-f4b4cd17942f", "type": "reponse", "value": { "latex": "La réponse est oui car dans chacun des cas, l'intervalle de confiance se situe au dessus de $50\\%$. Il faudrait dépasser $99,8\\%$ de confiance pour pouvoir commencer à mettre en doute que le << Oui >> l'emporte.", "html": "

La réponse est oui car dans chacun des cas, l’intervalle de confiance\nse situe au dessus de \$50\\%\$. Il\nfaudrait dépasser \$99,8\\%\$ de\nconfiance pour pouvoir commencer à mettre en doute que le << Oui\n>> l’emporte.

\n" } }, { "id": "15610e7b-cd89-45be-ae38-fe3a503b615a", "type": "reponse", "value": { "latex": "La longueur de l'intervalle de confiance est de l'ordre de $\\frac{1}{\\sqrt{n}}$ où $n$ est la taille de l'échantillon. Pour avoir $\\frac{1}{\\sqrt{n}} < 0{,}01$, il faut $n > 10\\,000$.", "html": "

La longueur de l’intervalle de confiance est de l’ordre de \$\\frac{1}{\\sqrt{n}}\$ où \$n\$ est la taille de l’échantillon. Pour\navoir \$\\frac{1}{\\sqrt{n}} <\n0{,}01\$, il faut \$n >\n10\\,000\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "9iIv", "titre": "", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:01.086Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:01.086Z" }, "contenu": [ { "id": "30df1bbc-6984-41a9-bacb-5f63b1829815", "type": "description", "value": { "latex": "On considère un échantillon $(X_i)$ de taille $n=4$ dans une population suivant une loi normale de paramètres $\\mu$ et $\\sigma^2$. \n\t\n\t\n\t\n\tOn pose \n\t$$T_1 = \\frac{1}{4}\\sum_{i=1}^{4} X_i \\qquad T_2 = \\frac{1}{5}(2X_1+X_2)+\\frac{1}{10}(3X_3+X_4)$$\n\t$$U = \\frac{1}{\\sigma^2}\\sum_{i=1}^{4} {(X_i-\\mu)^2} \\qquad V = \\frac{1}{\\sigma^2}\\sum_{i=1}^{4} {(X_i-T_1)^2}$$", "html": "

On considère un échantillon \$(X_i)\$ de taille \$n=4\$ dans une population suivant une loi\nnormale de paramètres \$\\mu\$ et \$\\sigma^2\$.

\n" } }, { "id": "cbbe116f-6fd9-4125-9386-6760661c42fb", "type": "question", "value": { "latex": "On cherche à estimer $\\mu$ à l'aide des estimateurs $T_1$ et $T_2$. \\'Etudier leur biais et comparer leurs efficacités.", "html": "

On cherche à estimer \$\\mu\$ à\nl’aide des estimateurs \$T_1\$ et \$T_2\$. Étudier leur biais et comparer leurs\nefficacités.

\n" } }, { "id": "6e8c6a2f-2461-4fc1-a08b-3c5e69d62743", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par linéarité de l'espérance, on calcule $\\mathbb{E}(T_1) = \\frac{4\\mu}{4} = \\mu$, $\\mathbb{E}(T_2) = \\frac{3\\mu}{5}+\\frac{4\\mu}{10} = \\mu$. Par conséquent, $B(T_1)=B(T_2)=0$.\n\t\t\n\t\tPour comparer l'efficacité des deux estimateurs sais biais, on calcule leur EQM (ce qui revient à calculer leur variance.) Par indépendance des variables, on a :\n\t\t\n\t\t$V(T_1) = \\frac{\\sigma^2}{4} < V(T_3) = \\frac{(4^2+2^2+3^2+1^2)\\sigma^2}{100}$. Le plus efficace est donc l'estimateur $T_1$ qui est la moyenne empirique.", "html": "

Pour comparer l’efficacité des deux estimateurs sais biais, on\ncalcule leur EQM (ce qui revient à calculer leur variance.) Par\nindépendance des variables, on a :

\$V(T_1) = \\frac{\\sigma^2}{4} < V(T_3) =\n\\frac{(4^2+2^2+3^2+1^2)\\sigma^2}{100}\$. Le plus efficace est\ndonc l’estimateur \$T_1\$ qui est la\nmoyenne empirique.

\n" } }, { "id": "826ac986-3133-4d36-b163-8e6e0c540d66", "type": "question", "value": { "latex": "Quelle est la loi suivie par la variable $T_1$ ? la variable $T_2$ ? la variable $U$ ? la variable $V$ ? justifier.", "html": "

Quelle est la loi suivie par la variable \$T_1\$ ? la variable \$T_2\$ ? la variable \$U\$ ? la variable \$V\$ ? justifier.

\n" } }, { "id": "52e449cf-316e-4510-86a3-8fe38e11bfd7", "type": "reponse", "value": { "latex": "$U = \\sum_{i=1}^{4} \\left(\\frac{X_i-\\mu}{\\sigma}\\right)^2$ ; or les $X_i$ sont des variables aléatoires indépendantes et $\\frac{X_i-\\mu}{\\sigma}$ suit une loi $\\mathcal{N}(0,1)$ donc par définition, $U$ suit une loi de $\\chi^2(4)$. \n\t\t\n\t\tDe plus, $T_1 = \\overline{X}$ est l'estimateur de moyenne empirique donc d'après le théorème de Fisher, $V$ suit une loi de $\\chi^2(4-1) = \\chi^2(3)$.", "html": "

De plus, \$T_1 = \\overline{X}\$ est\nl’estimateur de moyenne empirique donc d’après le théorème de Fisher,\n\$V\$ suit une loi de \$\\chi^2(4-1) = \\chi^2(3)\$.

\n" } }, { "id": "69f1b47e-be88-440b-9b0a-b02899261e95", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer $x \\in \\R$ tel que $\\PP(U>x) = 0{,}05$.", "html": "

Déterminer \$x \\in \\R\$ tel que\n\$\\PP(U>x) = 0{,}05\$.

\n" } }, { "id": "6c63b966-a094-4477-9b08-a6ccad3f63e7", "type": "reponse", "value": { "latex": "On lit dans la table de loi $\\PP(UOn lit dans la table de loi \$\\PP(U<x) =\n0{,}95\$ pour \$x =\n11{,}07\$.

\n" } }, { "id": "004b7b41-ae86-40a2-93bf-ae6c308f9392", "type": "question", "value": { "latex": "A l'aide du tableur, calculer $\\PP(V > 5)$ avec une précision de $10^{-8}$.", "html": "

A l’aide du tableur, calculer \$\\PP(V >\n5)\$ avec une précision de \$10^{-8}\$.

\n" } }, { "id": "3e0a1301-0fd7-497a-8672-957749d059ee", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a constaté que $V$ suit une loi de $\\chi^2(3)$ d'après le théorème de Fisher.\n\nEnsuite, \ten tapant la formule \\texttt{1-LOI.KHIDEUX.N(5;3;1)} dans le tableur, on trouve que $\\PP(V > 5) \\approx 0{,}17179714$.", "html": "

On a constaté que \$V\$ suit une loi\nde \$\\chi^2(3)\$ d’après le théorème de\nFisher.

Ensuite, en tapant la formule 1-LOI.KHIDEUX.N(5;3;1)\ndans le tableur, on trouve que \$\\PP(V > 5)\n\\approx 0{,}17179714\$.

\n" } }, { "id": "5417831f-4acb-4d76-a140-4359efd6c685", "type": "question", "value": { "latex": "Quelle est la loi de la variable aléatoire $\\frac{4(T_1-\\mu)}{{\\sigma \\sqrt{U}}}$ ?", "html": "

Quelle est la loi de la variable aléatoire \$\\frac{4(T_1-\\mu)}{{\\sigma \\sqrt{U}}}\$\n?

\n" } }, { "id": "4db1a50a-db50-4100-aed1-07bb4dcd517a", "type": "reponse", "value": { "latex": "On pose $Z = \\frac{T_1-\\mu}{\\frac{\\sigma}{\\sqrt{4} }} = \\frac{2(T_1-\\mu)}{\\sigma}$ variable distribuée selon une loi $\\mathcal{N}(0,1)$. Soit alors $Y = \\frac{Z}{\\sqrt{\\frac{U}{4} }}$ : par définition, $Y$ suit une loi $St(4)$. Après simplifications, on peut réécrire $Y = \\frac{4(T_1-\\mu)}{{\\sigma \\sqrt{U}}}$.", "html": "

\n" } } ] }, { "uuid": "Ac8Y", "titre": "", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:01.851Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:01.851Z" }, "contenu": [ { "id": "c42c67dc-40d6-44e1-80ee-e8a857c65a52", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $X$ une variablea aléatoire suivant une loi normale quelconque $\\mathcal{N}(\\mu,\\sigma)", "html": "" } }, { "id": "33657619-9d82-4911-9986-34dbc05f9845", "type": "question", "value": { "latex": "On pose $Y = e^X$. Calculer l'espérance et la variance de $Y$.", "html": "

On pose \$Y = e^X\$. Calculer\nl’espérance et la variance de \$Y\$.

\n" } }, { "id": "8c742948-83c0-4d99-a5c8-7119c8b4fc01", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $Y = e^X = e^{\\mu + \\sigma Z} = e^\\mu e^{\\sigma Z}$. D'après le théorème de transfert, \n$$\\begin{align*}\n \\E(e^{\\sigma Z}) & = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{\\sigma z} \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} e^{-\\frac{z^2}{2}} dz \\\\\n & = \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{-\\frac{z^2 - 2\\sigma z + \\sigma^2 - \\sigma^2}{2}} dz \\\\\n & = \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{-\\frac{(z-\\sigma)^2}{2}} e^{\\frac{\\sigma^2}{2}} dz \\\\\n & = e^{\\frac{\\sigma^2}{2}} \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{-\\frac{(z-\\sigma)^2}{2}} dz \\\\\n & = e^{\\frac{\\sigma^2}{2}} \\\\ \n\\end{align*}$$\nDonc par linéarité, $\\E(Y) = e^{\\mu + \\frac{\\sigma^2}{2}}$. \n\nDe même, on s'intéresse à $\\E(Y^2) = \\E(e^{2X}) = \\E(e^{2\\mu + 2\\sigma Z}) = e^{2\\mu} \\E(e^{2\\sigma Z})$. D'après le calcul précédent, $\\E(e^{2\\sigma Z}) = e^{2\\sigma^2}$. Donc $\\E(Y^2) = e^{2\\mu + 2\\sigma^2}$ et par théorème de Koenig-Huygens, \n$$\\begin{align*}\n \\var(Y) & = \\E(Y^2) - \\E(Y)^2 \\\\\n & = e^{2\\mu + 2\\sigma^2} - e^{2\\mu + \\sigma^2} \\\\\n & = e^{2\\mu + \\sigma^2} (e^{\\sigma^2} - 1) \n\\end{align*}$$", "html": "

On a \$Y = e^X = e^{\\mu + \\sigma Z} = e^\\mu\ne^{\\sigma Z}\$. D’après le théorème de transfert, \\[\\begin{align*}\n \\E(e^{\\sigma Z}) & = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{\\sigma z}\n\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} e^{-\\frac{z^2}{2}} dz \\\\\n & = \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{-\\frac{z^2\n- 2\\sigma z + \\sigma^2 - \\sigma^2}{2}} dz \\\\\n & = \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} \\int_{-\\infty}^{+\\infty}\ne^{-\\frac{(z-\\sigma)^2}{2}} e^{\\frac{\\sigma^2}{2}} dz \\\\\n & = e^{\\frac{\\sigma^2}{2}} \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}}\n\\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{-\\frac{(z-\\sigma)^2}{2}} dz \\\\\n & = e^{\\frac{\\sigma^2}{2}} \\\\\n\\end{align*}\\] Donc par linéarité, \$\\E(Y) = e^{\\mu + \\frac{\\sigma^2}{2}}\$.

De même, on s’intéresse à \$\\E(Y^2) =\n\\E(e^{2X}) = \\E(e^{2\\mu + 2\\sigma Z}) = e^{2\\mu} \\E(e^{2\\sigma\nZ})\$. D’après le calcul précédent, \$\\E(e^{2\\sigma Z}) = e^{2\\sigma^2}\$. Donc\n\$\\E(Y^2) = e^{2\\mu + 2\\sigma^2}\$ et\npar théorème de Koenig-Huygens, \\[\\begin{align*}\n \\var(Y) & = \\E(Y^2) - \\E(Y)^2 \\\\\n & = e^{2\\mu + 2\\sigma^2} - e^{2\\mu + \\sigma^2} \\\\\n & = e^{2\\mu + \\sigma^2} (e^{\\sigma^2} - 1)\n\\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "2ac8d0de-c2e5-4a88-9d79-eb21599bf93a", "type": "question", "value": { "latex": "On suppose que $m=0$ et $\\sigma = 1$. Déterminer une fonction densité de la variable $Y$.", "html": "

On suppose que \$m=0\$ et \$\\sigma = 1\$. Déterminer une fonction\ndensité de la variable \$Y\$.

\n" } }, { "id": "271763c5-d5ba-4c16-a6b6-cb4c73edfc8e", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $Y = e^X = e^{\\sigma Z} = e^Z$. Donc $Y$ est une variable aléatoire positive. Si $t >0$, on a :\n $$\\begin{align*}\n \\prob(Y \\leq t) & = \\prob(e^Z \\leq t) \\\\\n & = \\prob(Z \\leq \\ln(t)) \\\\\n &= F_Z(\\ln(t))\n \\end{align*}$$\n Donc la fonction de répartition de $Y$ est $F_Y(t) = \\begin{cases}\n 0 & \\text{ si } t \\leq 0 \\\\\n F_Z(\\ln(t)) & \\text{ si } t > 0 \\\\\n \\end{cases}$. \n Par dérivation, on obtient la densité de $Y$ : \n $$ f_Y(x) = \\begin{cases}\n 0 & \\text{ si } x \\leq 0 \\\\\n \\frac{1}{x\\sqrt{2\\pi} } e^{-\\frac{(\\ln(x))^2}{2}} & \\text{ si } x > 0 \\\\\n \\end{cases} $$", "html": "

On a \$Y = e^X = e^{\\sigma Z} =\ne^Z\$. Donc \$Y\$ est une\nvariable aléatoire positive. Si \$t\n>0\$, on a : \\[\\begin{align*}\n \\prob(Y \\leq t) & = \\prob(e^Z \\leq t) \\\\\n & = \\prob(Z \\leq \\ln(t)) \\\\\n &= F_Z(\\ln(t))\n \\end{align*}\\] Donc la fonction de répartition de \$Y\$ est \$F_Y(t)\n= \\begin{cases}\n 0 & \\text{ si } t \\leq 0 \\\\\n F_Z(\\ln(t)) & \\text{ si } t > 0 \\\\\n \\end{cases}\$. Par dérivation, on obtient la densité de\n\$Y\$ : \\[f_Y(x) = \\begin{cases}\n 0 & \\text{ si } x \\leq 0 \\\\\n \\frac{1}{x\\sqrt{2\\pi} } e^{-\\frac{(\\ln(x))^2}{2}} &\n\\text{ si } x > 0 \\\\\n \\end{cases}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "BA22", "titre": "", "theme": "", "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:02.803Z", "organisation": "", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:02.803Z" }, "contenu": [ { "id": "1badb3eb-ebe7-4228-af89-68a62dfadd24", "type": "description", "value": { "latex": "Une entreprise utilise des camions pour transporter sa production. Elle dispose de 100 camions. Elle repère sur un échantillon de 25 jours choisis au hasard le nombre de camions en panne. Voici les résultats:\n\t\n\\begin{center}\n\t\t\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\n\t\t\\hline\n5&5&6&4&6&6&8&3&5&5&5&4&3&6&5&6&4&7&6&6&5&4&3&6&5 \\\\\n\t\t\\hline\n\t\\end{tabular}\n\\end{center}", "html": "

Une entreprise utilise des camions pour transporter sa production.\nElle dispose de 100 camions. Elle repère sur un échantillon de 25 jours\nchoisis au hasard le nombre de camions en panne. Voici les\nrésultats:

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

5	5	6	4	6	6	8	3	5	5	5	4	3	6	5	6	4	7	6	6	5	4	3	6	5

\n" } }, { "id": "ca7c4fe6-a707-4f95-90ea-7f908c9d07d6", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer la moyenne $\\bar{x}$ et l'écart-type $\\sigma$ du nombre de camions en panne chaque jour pour l'échantillon étudié.", "html": "

Calculer la moyenne \$\\bar{x}\$ et\nl’écart-type \$\\sigma\$ du nombre de\ncamions en panne chaque jour pour l’échantillon étudié.

\n" } }, { "id": "ede15e85-1691-4e7b-8eab-75565d39a89b", "type": "reponse", "value": { "latex": "On trouve $\\bar{x} = 5.12$ et $\\sigma = 1.21$. (\\href{https://stcyrterrenetdefensegouvf-my.sharepoint.com/:x:/g/personal/maxime_nguyen_st-cyr_terre-net_defense_gouv_fr/EeDHiet0b2JOpLX-9rFeI-kBsj_o9NtQ-Qz8hJvy6rlIpw?e=463Dks}{feuille de calcul}).", "html": "

On trouve \$\\bar{x} = 5.12\$ et\n\$\\sigma = 1.21\$. (feuille\nde calcul).

\n" } }, { "id": "46c201bd-213d-44df-8e37-c9cf43eaf758", "type": "question", "value": { "latex": "A partir des résultats obtenus pour cet échantillon, proposer une estimation ponctuelle sans biais de la moyenne $\\mu$ et de l'écart type $s$ du nombre de camions en panne chaque jour pour la population correspondant aux jours ouvrables de l'année.", "html": "

A partir des résultats obtenus pour cet échantillon, proposer une\nestimation ponctuelle sans biais de la moyenne \$\\mu\$ et de l’écart type \$s\$ du nombre de camions en panne chaque\njour pour la population correspondant aux jours ouvrables de\nl’année.

\n" } }, { "id": "ef53a9db-0c1b-4c4f-acea-6b031ce5b9a1", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour cela, on utilise les estimateurs sans biais du cours : \n\\begin{itemize}\n \\item Avec $\\overline{X} = \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^{n} X_i$, on obtient une estimation sans biais de la moyenne $\\bar{x} = 5.12$.\n \\item Avec $S^2 = \\frac{1}{n-1} \\sum_{i=1}^{n} (X_i - \\overline{X})^2$, on obtient une estimation sans biais de la variance $s^2 = \\frac{n}{n-1} \\sigma^2 = \\frac{25}{24} \\times (1.21)^2 \\approx 1.53$ d'où une estimation sans biais de l'écart type $s = \\sqrt{\\frac{25}{24}}\\times 1.21 \\approx 1.24$. \n\\end{itemize}", "html": "

Pour cela, on utilise les estimateurs sans biais du cours :

Avec \$\\overline{X} =\n\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^{n} X_i\$, on obtient une estimation sans\nbiais de la moyenne \$\\bar{x} =\n5.12\$.
Avec \$S^2 = \\frac{1}{n-1}\n\\sum_{i=1}^{n} (X_i - \\overline{X})^2\$, on obtient une\nestimation sans biais de la variance \$s^2 =\n\\frac{n}{n-1} \\sigma^2 = \\frac{25}{24} \\times (1.21)^2 \\approx\n1.53\$ d’où une estimation sans biais de l’écart type \$s = \\sqrt{\\frac{25}{24}}\\times 1.21 \\approx\n1.24\$.

\n" } }, { "id": "ce33e363-dabc-43a9-aef7-dbb87702f94e", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer un intervalle de confiance de la moyenne $\\mu$ de la population avec un niveau de confiance $95 \\%$.", "html": "

Déterminer un intervalle de confiance de la moyenne \$\\mu\$ de la population avec un niveau de\nconfiance \$95 \\%\$.

\n" } }, { "id": "9adab78d-eb81-4ef5-8103-95fafb97ee6b", "type": "reponse", "value": { "latex": "On utilise la formule du cours pour un petit échantillon. Pour cela, on doit suppose que la distribution du nombre de pannes est normale dans la population. \n\nPar lecture de la table de la loi de Student $St(24)$, on obtient $t_{\\alpha/2 } \\approx 2.063899$ d'où\n$$\\left[\\bar{x} - t_{\\alpha/2 }\\frac{s}{\\sqrt{n}};\n\\bar{x} + t_{\\alpha/2 }\\frac{s}{\\sqrt{n}}\\right] \\approx [4.609;5.630]$$", "html": "

On utilise la formule du cours pour un petit échantillon. Pour cela,\non doit suppose que la distribution du nombre de pannes est normale dans\nla population.

Par lecture de la table de la loi de Student \$St(24)\$, on obtient \$t_{\\alpha/2 } \\approx 2.063899\$ d’où \\[\\left[\\bar{x} - t_{\\alpha/2 }\\frac{s}{\\sqrt{n}};\n\\bar{x} + t_{\\alpha/2 }\\frac{s}{\\sqrt{n}}\\right] \\approx\n[4.609;5.630]\\]

\n" } }, { "id": "0bbaf46f-cd65-4f53-8210-e9f91c9fa3fb", "type": "question", "value": { "latex": "Au garage où sont stationnés les camions, le responsable affirme qu'il y a, en moyenne, 4 camions en panne par jour. Un des chauffeurs prétend qu'il y en a 6. \n\t\nConstruire un test avec les hypothèses $\\begin{cases}H_0 \\colon \\mu = 4 \\\\ H_1 \\colon \\mu > 4\n\t\\end{cases}$ et un risque de première espèce de $5 \\%$ puis proposer une interprétation du résultat.", "html": "

Au garage où sont stationnés les camions, le responsable affirme\nqu’il y a, en moyenne, 4 camions en panne par jour. Un des chauffeurs\nprétend qu’il y en a 6.

Construire un test avec les hypothèses \$\\begin{cases}H_0 \\colon \\mu = 4 \\\\ H_1 \\colon \\mu\n> 4\n \\end{cases}\$ et un risque de première espèce de \$5 \\%\$ puis proposer une interprétation du\nrésultat.

\n" } }, { "id": "055a4b25-8f85-479f-b9f7-3c59aac82069", "type": "reponse", "value": { "latex": "On réalise un test de conformité pour une moyenne. Pour cela, on prend la variable de décision $$Z=\\frac{\\overline{X}-\\mu_0}{\\frac{S}{\\sqrt{n}}}$$ avec $n=25$. Cette variable suit une loi $St(24)$ et par lecture de table pour ce test unilatéral à droite, on trouve une zone de rejet $W = [1.71;+\\infty[$. \n\nOr $Z_{obs} \\approx 4.53$ donc on peut rejeter l'hypothèse qu'il y a en moyenne 4 camions en panne par jour avec un risque de $5\\%$. Il y en a vraisemblablement plus. On pourrait refaire un test pour tester l'hypothèse du chauffeur $\\mu = 6$.", "html": "

On réalise un test de conformité pour une moyenne. Pour cela, on\nprend la variable de décision \\[Z=\\frac{\\overline{X}-\\mu_0}{\\frac{S}{\\sqrt{n}}}\\]\navec \$n=25\$. Cette variable suit une\nloi \$St(24)\$ et par lecture de table\npour ce test unilatéral à droite, on trouve une zone de rejet \$W = [1.71;+\\infty[\$.

Or \$Z_{obs} \\approx 4.53\$ donc on\npeut rejeter l’hypothèse qu’il y a en moyenne 4 camions en panne par\njour avec un risque de \$5\\%\$. Il y en\na vraisemblablement plus. On pourrait refaire un test pour tester\nl’hypothèse du chauffeur \$\\mu =\n6\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "DnxY", "titre": "", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:22:05.531Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:05.531Z" }, "contenu": [ { "id": "f2401dc5-2dd6-4e8a-8372-889fb04036dd", "type": "question", "value": { "latex": "A partir des données de l'échantillon, donner une estimation ponctuelle sans biais du prix moyen et de la variance du prix du carburant E10 en France. On précisera les estimateurs utilisés.", "html": "

A partir des données de l’échantillon, donner une estimation\nponctuelle sans biais du prix moyen et de la variance du prix du\ncarburant E10 en France. On précisera les estimateurs utilisés.

\n" } }, { "id": "307abdcc-fe19-4ca1-b186-b55daa76a717", "type": "reponse", "value": { "latex": "Avec l'estimateur de moyenne empirique (sans biais et convergent), on trouve une estimation de la moyenne de prix de $1{,}661759$ et une variance de $0{,}0139$.", "html": "

Avec l’estimateur de moyenne empirique (sans biais et convergent), on\ntrouve une estimation de la moyenne de prix de \$1{,}661759\$ et une variance de \$0{,}0139\$.

\n" } }, { "id": "d2c9c3d3-e398-460f-a5e5-5d13bbf5ac93", "type": "question", "value": { "latex": "Proposer une estimation par intervalle de confiance du prix moyen et de la variance du carburant E10 en France, respectivement pour une confiance de $95\\%$ puis $99\\%$.", "html": "

Proposer une estimation par intervalle de confiance du prix moyen et\nde la variance du carburant E10 en France, respectivement pour une\nconfiance de \$95\\%\$ puis \$99\\%\$.

\n" } }, { "id": "8c2a025f-1844-4235-b4de-503b3e9a66d4", "type": "reponse", "value": { "latex": "On travaille sur un échantillon de taille $108$ donc les calculs se font avec la loi normale.\n\t\n\tPour $\\alpha = 5\\%$, on trouve $[1{,}6395 ; 1{,6840}]$. \n\t\n\tPour $\\alpha = 5\\%$, on trouve $[1{,}6325 ; 1{,6910}]$.", "html": "

On travaille sur un échantillon de taille \$108\$ donc les calculs se font avec la loi\nnormale.

Pour \$\\alpha = 5\\%\$, on trouve\n\$[1{,}6395 ; 1{,6840}]\$.

Pour \$\\alpha = 5\\%\$, on trouve\n\$[1{,}6325 ; 1{,6910}]\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "H30c", "titre": "", "theme": "", "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:08.954Z", "organisation": "", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:08.954Z" }, "contenu": [ { "id": "7bef90bf-a6c8-47f2-af0f-136e1ccd2aa2", "type": "description", "value": { "latex": "En lançant successivement 60 fois un dé, un joueur obtient les résultats suivants :\n\t\n\\begin{center}\n\t\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\n\t\\hline Faces $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\\\n\t\\hline Effectifs $n_i$ & 15 & 7 & 4 & 11 & 6 & 17 \\\\\n\t\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}", "html": "

En lançant successivement 60 fois un dé, un joueur obtient les\nrésultats suivants :

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

Faces \$x_i\$	1	2	3	4	5	6
Effectifs \$n_i\$	15	7	4	11	6	17

\n" } }, { "id": "441142cf-5ca9-4fe0-b6d0-0e53a8526a32", "type": "question", "value": { "latex": "Le dé est-il truqué?", "html": "

Le dé est-il truqué?

\n" } }, { "id": "2e9bcd88-59d1-4043-8be6-6f5175ce524c", "type": "reponse", "value": { "latex": "On réalise un test d'adéquation du $\\chi^2$ pour répondre à la question. Un dé non truqué devrait produire une distribution uniforme des effectifs de chaque face. Cela donne le tableau des effectifs théoriques : \n\n\\begin{center}\n\t\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\n\t\t\\hline Faces $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\\\n\t\t\\hline Effectifs $n_i$ & 15 & 7 & 4 & 11 & 6 & 17 \\\\\n\t\t\\hline Effectifs $e_i$ & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 \\\\\n\t\t\\hline\n\t\\end{tabular}\n\\end{center} \n\nOn pose pour variable de décision $$Q=\\sum_{i=1}^6 \\frac{(O_i-e_i)^2}{e_i}$$ où $O_i$ est la variable aléatoire donnant l'effectif de la $i$-ème classe pour l'échantillon de taille $60$. D'après le cours, $Q$ suit une loi $\\chi^2(5)$. \n\nD'après la table de $\\chi^2(5)$, l'intervalle de rejet pour $\\alpha=5\\%$ est $[11.07~;~+\\infty[$.\n\nOn trouve $Q_{obs} = 13.6 \\in W$ (\\href{https://stcyrterrenetdefensegouvf-my.sharepoint.com/:x:/g/personal/maxime_nguyen_st-cyr_terre-net_defense_gouv_fr/EfmljPG_LipCiIlDwESb5DsBtQvsb9gziaK95ni0MXfezg?e=mUpc0c}{fichier tableur})donc on peut rejeter l'hypothèse $H_0$ avec un risque de première espèce de $5\\%$ : on peut suspecter que le dé est truqué.", "html": "

On réalise un test d’adéquation du \$\\chi^2\$ pour répondre à la question. Un dé\nnon truqué devrait produire une distribution uniforme des effectifs de\nchaque face. Cela donne le tableau des effectifs théoriques :

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

Faces \$x_i\$	1	2	3	4	5	6
Effectifs \$n_i\$	15	7	4	11	6	17
Effectifs \$e_i\$	10	10	10	10	10	10

On pose pour variable de décision \\[Q=\\sum_{i=1}^6 \\frac{(O_i-e_i)^2}{e_i}\\]\noù \$O_i\$ est la variable aléatoire\ndonnant l’effectif de la \$i\$-ème\nclasse pour l’échantillon de taille \$60\$. D’après le cours, \$Q\$ suit une loi \$\\chi^2(5)\$.

D’après la table de \$\\chi^2(5)\$,\nl’intervalle de rejet pour \$\\alpha=5\\%\$ est \$[11.07~;~+\\infty[\$.

On trouve \$Q_{obs} = 13.6 \\in W\$\n(fichier\ntableur)donc on peut rejeter l’hypothèse \$H_0\$ avec un risque de première espèce de\n\$5\\%\$ : on peut suspecter que le dé\nest truqué.

\n" } } ] }, { "uuid": "iQqS", "titre": "", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:22:38.582Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:38.582Z" }, "contenu": [ { "id": "595511d0-ef96-4bf4-96da-5f643e41cdd9", "type": "description", "value": { "latex": "On considère un avion contenant 100 passagers. On suppose que le poids d'un passager pris au hasard suit une loi de probabilité dont l'espérance est 71 kg et l'écart type est 7~kg.", "html": "

On considère un avion contenant 100 passagers. On suppose que le\npoids d’un passager pris au hasard suit une loi de probabilité dont\nl’espérance est 71 kg et l’écart type est 7 kg.

\n" } }, { "id": "d1e7c9ec-43c4-4edb-88ca-fb050d65787e", "type": "reponse", "value": { "latex": "On ne connaît pas la loi de $X$ mais d'après le théorème central limite, $X$ suit approximativement une loi normale. \n\t\t\n\t\tOn peut calculer l'espérance de $X$ et la variance de $X$ : Si on note $Y_i$ le poids du $i$-ème passager, on a $X = \\sum_{i=1}^{100} Y_i$. Par conséquent, $\\mathbb{E}(X) = 7100$ et $V(X) = 100 \\times 7^2 = 4900$. \n\t\t\tD'après le théorème central limite, la loi de $X$ peut être approchée par une loi normale de moyenne $7100$ et de variance $4900$, soit un écart type de $70$.", "html": "

On ne connaît pas la loi de \$X\$\nmais d’après le théorème central limite, \$X\$ suit approximativement une loi\nnormale.

On peut calculer l’espérance de \$X\$ et la variance de \$X\$ : Si on note \$Y_i\$ le poids du \$i\$-ème passager, on a \$X = \\sum_{i=1}^{100} Y_i\$. Par conséquent,\n\$\\mathbb{E}(X) = 7100\$ et \$V(X) = 100 \\times 7^2 = 4900\$. D’après le\nthéorème central limite, la loi de \$X\$ peut être approchée par une loi normale\nde moyenne \$7100\$ et de variance\n\$4900\$, soit un écart type de \$70\$.

\n" } }, { "id": "4a219f27-529c-4c41-b227-4748045245a4", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer la probabilité que le poids de l'ensemble des passagers soit supérieur à $7{,}3$ tonnes.", "html": "

Calculer la probabilité que le poids de l’ensemble des passagers soit\nsupérieur à \$7{,}3\$ tonnes.

\n" } }, { "id": "88a440e6-69b3-4ae1-ade5-580f0fdbac80", "type": "reponse", "value": { "latex": "En notant $Z$ une variable aléatoire normale centrée réduite, on en déduit que \n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\PP\\left(X > 7300\\right) &= \\PP\\left(\\frac{X-7100}{70} > \\frac{7300-7100}{70}\\right) \\\\\n\t\t\t&\\approx \\PP\\left(Z > \\frac{200}{70} \\approx 2{,}857\\right) \\\\\n\t\t\t&\\approx 0{,}0021 = 0{,}21\\%\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tIl n'y a quasiment aucune chance que le poids total des passagers dépasse $7{}3$ tonnes.", "html": "

En notant \$Z\$ une variable\naléatoire normale centrée réduite, on en déduit que \\[\\begin{align*}\n \\PP\\left(X > 7300\\right) &=\n\\PP\\left(\\frac{X-7100}{70} > \\frac{7300-7100}{70}\\right) \\\\\n &\\approx \\PP\\left(Z > \\frac{200}{70} \\approx\n2{,}857\\right) \\\\\n &\\approx 0{,}0021 = 0{,}21\\%\n \\end{align*}\\] Il n’y a quasiment aucune chance que le\npoids total des passagers dépasse \$7{}3\$ tonnes.

\n" } }, { "id": "0258532e-409e-4b0d-906e-266c0632c924", "type": "question", "value": { "latex": "Sur 40 passagers interrogés au hasard, 23 voyagent avec un bagage en soute. Déterminer à l'aide d'un intervalle de confiance au niveau $95\\%$ une estimation de la proportion de passagers qui voyagent avec un bagage en soute sur ce vol.", "html": "

\n" } }, { "id": "33e33f49-901f-498b-a413-00ec2853845f", "type": "reponse", "value": { "latex": "On cherche à estimer une fréquence à partir d'un échantillon de taille $40$. La fréquence observée dans l'échantillon est $f_{obs} = \\frac{23}{40}$. On peut donc utiliser la formule du cours : \n\t\t$$I_{conf}(F(\\omega))=\\left[f_{obs}-u_{\\alpha/2} \\sqrt{\\frac{f_{obs}(1-f_{obs})}{n}} ~;~ f_{obs} + u_{\\alpha/2} \\sqrt{\\frac{f_{obs}(1-f_{obs})}{n}} \\right]$$\n\t\ten remplaçant $u_{\\alpha/2}$ par $1{,}96$ pour une confiance de $95\\%$, on obtient numériquement $I_{conf} \\approx [0.42 ; 0.73]$.\n\t\t\n\t\tOn peut estimer que la proportion de passagers voyageant avec un bagage en soute est compris entre $42\\%$ et $73\\%$.", "html": "

On peut estimer que la proportion de passagers voyageant avec un\nbagage en soute est compris entre \$42\\%\$ et \$73\\%\$.

\n" } }, { "id": "874b9de5-ba04-413b-aafa-d7d4f6cb709f", "type": "reponse", "value": { "latex": "D'après la question précédente, il est tout à fait probable (avec une confiance de $95\\%$) que le nombre de bagages en soute soit supérieur à $65$ (entre 42 et 73). Pour que l'intervalle de confiance ne contienne pas $65\\%$, il faut prendre un risque supérieur à $33\\%$.", "html": "

D’après la question précédente, il est tout à fait probable (avec une\nconfiance de \$95\\%\$) que le nombre de\nbagages en soute soit supérieur à \$65\$ (entre 42 et 73). Pour que\nl’intervalle de confiance ne contienne pas \$65\\%\$, il faut prendre un risque supérieur\nà \$33\\%\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "jj3V", "titre": "", "theme": "", "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:40.836Z", "organisation": "", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:40.836Z" }, "contenu": [ { "id": "e4ebcc91-7c42-449c-baff-1639cca2d791", "type": "description", "value": { "latex": "L'équipe médicale d'une entreprise fait ses\n statistiques sur le taux de cholestérol de ses employés; les\nobservations sur 100 employés tirés au sort sont les suivantes.\n\n\\begin{center}\n\t\\begin{tabular}{c|c}\n\ttaux de cholestérol en cg:(centre classe) & effectif d'employés: \\\\\n\t\\hline $120$ & $9$ \\\\ \n\t$160$ & $22$ \\\\ \n\t$200$ & $25$ \\\\ \n\t$240$ & $21$ \\\\ \n\t$280$ & $16$ \\\\ \n\t$320$ & $7$\n\\end{tabular}\n\\end{center}", "html": "

L’équipe médicale d’une entreprise fait ses statistiques sur le taux\nde cholestérol de ses employés; les observations sur 100 employés tirés\nau sort sont les suivantes.

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

taux de cholestérol en cg:(centre\nclasse)	effectif d’employés:
\$120\$	\$9\$
\$160\$	\$22\$
\$200\$	\$25\$
\$240\$	\$21\$
\$280\$	\$16\$
\$320\$	\$7\$

\n" } }, { "id": "924eca33-91ce-4a49-b0f3-2678b43515ce", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer la moyenne $m_{e}$ et la variance $\\sigma_{e}^2$ sur l'échantillon.", "html": "

Calculer la moyenne \$m_{e}\$ et la\nvariance \$\\sigma_{e}^2\$ sur\nl’échantillon.

\n" } }, { "id": "811eaaa9-ad67-4217-a6b2-fd8e2763775e", "type": "reponse", "value": { "latex": "On obtient, sur l'échantillon, la moyenne $m_{e}=213{,}6$, l'écart-type $\\sigma _{e}=55.7767$. (\\href{https://stcyrterrenetdefensegouvf-my.sharepoint.com/:x:/g/personal/maxime_nguyen_st-cyr_terre-net_defense_gouv_fr/EWYi-azbRsdHtG21-VGJXbcBqFKfHOj8SPV3FMXeKLBM1g?e=fBHC4S}{feuille de calcul})", "html": "

On obtient, sur l’échantillon, la moyenne \$m_{e}=213{,}6\$, l’écart-type \$\\sigma _{e}=55.7767\$. (feuille\nde calcul)

\n" } }, { "id": "25cbc3b2-f3b2-466c-b851-8faebd1d0841", "type": "question", "value": { "latex": "Estimer sans biais la moyenne et l'écart-type pour le taux de cholestérol dans toute l'entreprise.", "html": "

Estimer sans biais la moyenne et l’écart-type pour le taux de\ncholestérol dans toute l’entreprise.

\n" } }, { "id": "bf44daae-7134-42bb-9311-be5c51429c42", "type": "reponse", "value": { "latex": "La moyenne sur l'entreprise est estimée sans biais par l'estimateur $\\overline{X} = \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^{n} X_i$ qui se réalise en $m_{e}=213{,}6$.\n\t\tLa variance est estimée sans biais par l'estimateur $S^2 = \\frac{1}{n-1} \\sum_{i=1}^{n} (X_i - \\overline{X})^2$ donc l'écart-type est estimé par: $s_{e}=\\sqrt{\\frac{100}{99}}55.77\\simeq 56.06$.", "html": "

La moyenne sur l’entreprise est estimée sans biais par l’estimateur\n\$\\overline{X} = \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^{n}\nX_i\$ qui se réalise en \$m_{e}=213{,}6\$. La variance est estimée\nsans biais par l’estimateur \$S^2 =\n\\frac{1}{n-1} \\sum_{i=1}^{n} (X_i - \\overline{X})^2\$ donc\nl’écart-type est estimé par: \$s_{e}=\\sqrt{\\frac{100}{99}}55.77\\simeq\n56.06\$.

\n" } }, { "id": "6cbd263a-9bca-4b9e-9b5d-9c58e4e848fd", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer un intervalle de confiance permettant d'estimer la moyenne du taux de cholestérol de tous les employés de cette entreprise avec une confiance de $90\\%$.", "html": "

Déterminer un intervalle de confiance permettant d’estimer la moyenne\ndu taux de cholestérol de tous les employés de cette entreprise avec une\nconfiance de \$90\\%\$.

\n" } }, { "id": "26d0e834-e66d-4d1d-b36b-da4480386df5", "type": "reponse", "value": { "latex": "On en déduit, au seuil 90\\%, un intervalle de confiance pour la\n\t\tmoyenne par lecture de table de la loi normale centrée réduite avec $u_{\\alpha/2 } \\approx 1{,}644854$ : \n\t\t$$\\left[m_{e} - u_{\\alpha/2 }\\frac{s_{e}}{\\sqrt{n}};\n\t\tm_{e} + u_{\\alpha/2 }\\frac{s_{e}}{\\sqrt{n}}]=[204.379;222.821\\right]$$.\n\t\tAinsi le taux moyen de cholestérol est, à un seuil de confiance $90$\\%, \n\t\tsituée entre $204$ et $223$ cg.", "html": "

On en déduit, au seuil 90%, un intervalle de confiance pour la\nmoyenne par lecture de table de la loi normale centrée réduite avec\n\$u_{\\alpha/2 } \\approx 1{,}644854\$ :\n\\[\\left[m_{e} - u_{\\alpha/2\n}\\frac{s_{e}}{\\sqrt{n}};\n m_{e} + u_{\\alpha/2\n}\\frac{s_{e}}{\\sqrt{n}}]=[204.379;222.821\\right]\\]. Ainsi le taux\nmoyen de cholestérol est, à un seuil de confiance \$90\$%, située entre \$204\$ et \$223\$ cg.

\n" } } ] }, { "uuid": "s7LB", "titre": "Adéquation à une loi de Poisson", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:50.110Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:50.110Z" }, "contenu": [ { "id": "1a7fa998-cbe5-44ef-9e61-1071e36eca2e", "type": "description", "value": { "latex": "On trouve dans le fichier \\texttt{TP\\_poisson.xls} 150 tirages indépendants d'une variable aléatoire.", "html": "

On trouve dans le fichier TP_poisson.xls 150 tirages\nindépendants d’une variable aléatoire.

\n" } }, { "id": "b9686d7c-c3e4-45e0-a863-4197d44336fc", "type": "question", "value": { "latex": "Doit-on accepter l'hypothèse $H_0$ : \\og $X$ suit une loi de Poisson \\fg{} ?", "html": "

Doit-on accepter l’hypothèse \$H_0\$\n: \$X\$ suit une loi de Poisson ?

\n" } }, { "id": "f79718e9-44f0-450d-831b-44e9858e7386", "type": "question", "value": { "latex": "Doit-on accepter l'hypothèse $H_0$ : \\og $X$ suit une loi de Poisson de paramètre 2 \\fg{} ?", "html": "

Doit-on accepter l’hypothèse \$H_0\$\n: \$X\$ suit une loi de Poisson de\nparamètre 2 ?

\n" } }, { "id": "b0433d0c-e8db-4971-a333-8960431ef094", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\href{https://stcyrterrenetdefensegouvf-my.sharepoint.com/:x:/g/personal/maxime_nguyen_st-cyr_terre-net_defense_gouv_fr/EYlCPJY62BdMpTYscg1T6zABc9_WCIR_pzt6XSOajALYhw?e=jX5PbK&nav=MTVfezAwMDAwMDAwLTAwMDEtMDAwMC0wNzAwLTAwMDAwMDAwMDAwMH0}{lien vers tableur}", "html": "

lien\nvers tableur

\n" } } ] }, { "uuid": "eFy7", "titre": "Analyse de covariance et moments d'une loi normale", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:34.216Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:34.216Z" }, "contenu": [ { "id": "b6b3f52e-1882-4eb7-a010-a01e39feca5a", "type": "question", "value": { "latex": "En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que :\n$$ \\forall x \\in \\mathbb{R}, \\quad \\mathbb{P}(Y \\leq x) = \\mathbb{P}(U = 1) \\mathbb{P}(X \\leq x) + \\mathbb{P}(U = -1) \\mathbb{P}(X > -x) $$\n\net en déduire que \$ Y \$ suit la même loi que \$ X \$.", "html": "

En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que : \\[\\forall x \\in \\mathbb{R}, \\quad \\mathbb{P}(Y \\leq\nx) = \\mathbb{P}(U = 1) \\mathbb{P}(X \\leq x) + \\mathbb{P}(U = -1)\n\\mathbb{P}(X > -x)\\]

et en déduire que \$Y\$ suit la même\nloi que \$X\$.

\n" } }, { "id": "01470802-4973-4336-a781-7baf31d72deb", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer l'espérance de \$ U \$, puis montrer que \$ \\mathbb{E}(XY) = 0 \$. En déduire que \$ \\text{Cov}(X, Y) = 0 \$.", "html": "

Calculer l’espérance de \$U\$, puis\nmontrer que \$\\mathbb{E}(XY) = 0\$. En\ndéduire que \$\\text{Cov}(X, Y) =\n0\$.

\n" } }, { "id": "011644f8-fc87-4744-bd1b-2db387ad403f", "type": "question", "value": { "latex": "Rappeler la valeur de \$ \\mathbb{E}(X^2) \$ et en déduire que :\n$$ \\int_{0}^{+\\infty} x^2 e^{-\\frac{x^2}{2}} \\, dx = \\frac{\\sqrt{\\pi}}{2} $$", "html": "

Rappeler la valeur de \$\\mathbb{E}(X^2)\$ et en déduire que : \\[\\int_{0}^{+\\infty} x^2 e^{-\\frac{x^2}{2}} \\, dx =\n\\frac{\\sqrt{\\pi}}{2}\\]

\n" } }, { "id": "4b75ef83-0871-4c90-8e33-febab257648e", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire, s'il existe, le moment d'ordre $4$ de $X$.", "html": "

En déduire, s’il existe, le moment d’ordre \$4\$ de \$X\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "SxMf", "titre": "Analyse statistique d'un temps de trajet", "theme": [ "statistiques", "tableur" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime NGUYEN", "createdAt": "2024-11-06T20:22:21.105Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:21.105Z" }, "contenu": [ { "id": "8b5a5a66-ec11-48fd-880d-3dc26a7e613e", "type": "description", "value": { "latex": "Une ingénieure souhaite étudier le temps de trajet quotidien d'un employé entre son domicile et son lieu de travail. Elle dispose de 30 observations de ce temps de trajet en minutes. Elle souhaite réaliser une analyse statistique de ces données disponibles dans le fichier \\href{https://github.com/smaxx73/Exercices/blob/main/data/commute-data.txt}{ commute-data.txt } .", "html": "

Une ingénieure souhaite étudier le temps de trajet quotidien d’un\nemployé entre son domicile et son lieu de travail. Elle dispose de 30\nobservations de ce temps de trajet en minutes. Elle souhaite réaliser\nune analyse statistique de ces données disponibles dans le fichier \ncommute-data.txt .

\n" } }, { "id": "3f6ced36-d29e-4323-8d57-ce898a132b28", "type": "question", "value": { "latex": "Importer les données dans un tableur et calculer la moyenne empirique des temps de trajet du jeu de données. Que représente cette valeur compte tenu du contexte ?", "html": "

Importer les données dans un tableur et calculer la moyenne empirique\ndes temps de trajet du jeu de données. Que représente cette valeur\ncompte tenu du contexte ?

\n" } }, { "id": "ed90986a-d9ae-43fa-b34c-c8d856ddf2bd", "type": "reponse", "value": { "latex": "En calculant la moyenne sur les 30 valeurs, on obtient une estimation sans biais de la moyenne des temps de trajet. Le calcul donne $43{,}35$.", "html": "

En calculant la moyenne sur les 30 valeurs, on obtient une estimation\nsans biais de la moyenne des temps de trajet. Le calcul donne \$43{,}35\$.

\n" } }, { "id": "40e4d3c8-9b24-43ce-a62d-de054dfab332", "type": "question", "value": { "latex": "Donner une estimation sans biais de la variance du temps de trajet de cet employé. On précisera l'estimateur utilisé.", "html": "

Donner une estimation sans biais de la variance du temps de trajet de\ncet employé. On précisera l’estimateur utilisé.

\n" } }, { "id": "83a89360-c433-4323-bfb6-ba0cf9018d78", "type": "reponse", "value": { "latex": "Avec l'estimateur de variance empirique corrigé $\\frac{1}{29}\\sum_{i=1}^{30}(X_i-\\overline{X})^2$on obtient une variance estimée à environ $23{,}70666$.", "html": "

Avec l’estimateur de variance empirique corrigé \$\\frac{1}{29}\\sum_{i=1}^{30}(X_i-\\overline{X})^2\$on\nobtient une variance estimée à environ \$23{,}70666\$.

\n" } }, { "id": "d6aa0cad-c5f6-4c0b-9280-86bdc8d36a8a", "type": "question", "value": { "latex": "Observe-t-on une différence de temps de trajet entre le vendredi et les autres jours ? Décrire une méthode pour répondre à cette question.", "html": "

Observe-t-on une différence de temps de trajet entre le vendredi et\nles autres jours ? Décrire une méthode pour répondre à cette\nquestion.

\n" } }, { "id": "183b7122-a183-436c-afac-1198c5460244", "type": "reponse", "value": { "latex": "On peut ne retenir que les valeurs du vendredi obtenues par exemple avec la formule \\texttt{=SI(B2=\"Vendredi\";C2;\"\")} et on trouve numériquement $50{,}4625$. On observe donc une différence dans le temps de trajet.", "html": "

On peut ne retenir que les valeurs du vendredi obtenues par exemple\navec la formule =SI(B2=\"Vendredi\";C2;\"\") et on trouve\nnumériquement \$50{,}4625\$. On observe\ndonc une différence dans le temps de trajet.

\n" } } ] }, { "uuid": "alNi", "titre": "Application du théorème central limite", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:22:29.507Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:29.507Z" }, "contenu": [ { "id": "f17f81f9-5e05-411a-a9ee-d26b3dab1ca7", "type": "question", "value": { "latex": "Quelle est la distribution de la variable aléatoire $S$ selon le théorème central limite ?", "html": "

Quelle est la distribution de la variable aléatoire \$S\$ selon le théorème central limite ?

\n" } }, { "id": "1f8abc00-6104-4a67-9802-d455f017bb47", "type": "reponse", "value": { "latex": "Les variables aléatoires $X_1, X_2, \\ldots, X_{100}$ sont indépendantes et identiquement distribuées suivant une loi de moyenne $\\mu = 30$ et de variance $\\sigma^2 = 16$. La loi de chaque variable $X_i$ n'est pas connue mais on sait que la moyenne et la variance sont finies. D'après le théorème central limite, la variable aléatoire $Z=\\frac{S - n\\mu}{\\sqrt{n}\\sigma}$ suit approximativement une loi normale centrée réduite avec $n=100$ considéré comme grand. \n\nAutrement dit, la variable aléatoire $S$ suit approximativement une loi normale avec une moyenne donnée par $n\\mu = 100 \\times 30 = 3000$ et une variance donnée par $n\\sigma^2 = 100 \\times 16 = 1600$.", "html": "

Les variables aléatoires \$X_1, X_2,\n\\ldots, X_{100}\$ sont indépendantes et identiquement distribuées\nsuivant une loi de moyenne \$\\mu = 30\$\net de variance \$\\sigma^2 = 16\$. La\nloi de chaque variable \$X_i\$ n’est\npas connue mais on sait que la moyenne et la variance sont finies.\nD’après le théorème central limite, la variable aléatoire \$Z=\\frac{S - n\\mu}{\\sqrt{n}\\sigma}\$ suit\napproximativement une loi normale centrée réduite avec \$n=100\$ considéré comme grand.

Autrement dit, la variable aléatoire \$S\$ suit approximativement une loi normale\navec une moyenne donnée par \$n\\mu = 100\n\\times 30 = 3000\$ et une variance donnée par \$n\\sigma^2 = 100 \\times 16 = 1600\$.

\n" } }, { "id": "bc538b74-d3f4-4b20-8037-8e4f870eeccf", "type": "question", "value": { "latex": "Calculez la probabilité que la somme $S$ soit inférieure à 2900.", "html": "

Calculez la probabilité que la somme \$S\$ soit inférieure à 2900.

\n" } }, { "id": "6245601d-2795-4430-9277-5b35e0b82db4", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour trouver cette probabilité, on centre et on réduit la variable aléatoire : \n\\[\nZ = \\frac{S - \\mu_S}{\\sigma_S} = \\frac{S - 3000}{\\sqrt{1600}}.\n\\]\nDonc, nous cherchons \n\\[\n\\prob\\left( Z < \\frac{2900 - 3000}{\\sqrt{1600}} \\right) = \\prob\\left( Z < -2.5 \\right).\n\\]\nEn utilisant la table de loi (ou un calculateur approprié), nous trouvons que la probabilité recherchée est d'environ $0.0062$.", "html": "

Pour trouver cette probabilité, on centre et on réduit la variable\naléatoire : \\[Z = \\frac{S - \\mu_S}{\\sigma_S}\n= \\frac{S - 3000}{\\sqrt{1600}}.\\] Donc, nous cherchons \\[\\prob\\left( Z < \\frac{2900 -\n3000}{\\sqrt{1600}} \\right) = \\prob\\left( Z < -2.5 \\right).\\]\nEn utilisant la table de loi (ou un calculateur approprié), nous\ntrouvons que la probabilité recherchée est d’environ \$0.0062\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "dHzJ", "titre": "Application du théorème central limite", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:33.067Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:33.067Z" }, "contenu": [ { "id": "b51824bc-e623-4388-a910-35f8bcf06b36", "type": "description", "value": { "latex": "On considère une production de feuilles cartonnées dont l'épaisseur est modélisée par une variable aléatoire qui a pour espérance $5$~mm et pour écart type $0{,}4$~mm.", "html": "

On considère une production de feuilles cartonnées dont l’épaisseur\nest modélisée par une variable aléatoire qui a pour espérance \$5\$ mm et pour écart type \$0{,}4\$ mm.

\n" } }, { "id": "1005f5b5-43e5-4f23-8014-703cd9883003", "type": "question", "value": { "latex": "Considérant un paquet de 100 feuilles choisies au hasard de manière indépendante, comment calculer la probabilité que ce paquet ait une épaisseur comprise entre 49 et 51 cm ?", "html": "

Considérant un paquet de 100 feuilles choisies au hasard de manière\nindépendante, comment calculer la probabilité que ce paquet ait une\népaisseur comprise entre 49 et 51 cm ?

\n" } }, { "id": "ef5b6a48-8e18-44af-86f6-f71773f9c29d", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $X_1,...,X_{100}$ un échantillon où $X_i$ représente l'épaisseur d'une feuille, $\\mathbb{E}(X_i) = 5$ et $V(X_i) = 0{,}16$. Par indépendance, d'après le théorème central limite, la variable $S = \\sum_{i=1}^{100} X_i$ suit approximativement une loi normale de moyenne $\\mu = 100 \\times 5 = 500$ et de variance $\\sigma^2 = 100 \\times 0{,}16 = 16$. Dit autrement, la variable $\\frac{S-500}{\\sqrt{16}}$ suit approximativement une loi normale centrée réduite.\n\t\n\tOn souhaite calculer $$\\PP(490 < S < 510) = \\PP\\left( \\frac{490-500}{\\sqrt{16}} < \\frac{S-500}{\\sqrt{16}} < \\frac{510-500}{\\sqrt{16}} \\right) = \\PP\\left( -2.5 < \\frac{S-500}{4} < 2.5 \\right) = \\fbox{0{,}9876}$$.", "html": "

Soit \$X_1,...,X_{100}\$ un\néchantillon où \$X_i\$ représente\nl’épaisseur d’une feuille, \$\\mathbb{E}(X_i) =\n5\$ et \$V(X_i) = 0{,}16\$. Par\nindépendance, d’après le théorème central limite, la variable \$S = \\sum_{i=1}^{100} X_i\$ suit\napproximativement une loi normale de moyenne \$\\mu = 100 \\times 5 = 500\$ et de variance\n\$\\sigma^2 = 100 \\times 0{,}16 = 16\$.\nDit autrement, la variable \$\\frac{S-500}{\\sqrt{16}}\$ suit\napproximativement une loi normale centrée réduite.

On souhaite calculer \\[\\PP(490 < S <\n510) = \\PP\\left( \\frac{490-500}{\\sqrt{16}}\n< \\frac{S-500}{\\sqrt{16}} < \\frac{510-500}{\\sqrt{16}} \\right)\n= \\PP\\left( -2.5 < \\frac{S-500}{4} < 2.5 \\right) =\n\\fbox{0{,}9876}\\].

\n" } } ] }, { "uuid": "Su3X", "titre": "Approximation d'une intégrale", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:22:20.918Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:20.918Z" }, "contenu": [ { "id": "4bdf88b7-4b36-46c3-8de7-e86a9ab8f1e7", "type": "description", "value": { "latex": "On suppose dans cet exercice que l'on dispose d'une fonction \\texttt{normale()} pour simuler la variable $\\mathcal{N}(0,1)$ et de \\texttt{rand()} pour simuler la loi $\\mathcal{U}([0;1])$. \n\t\n\tSoient $(X_i)_{i \\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (iid) selon la loi $\\mathcal{N}(0,1)$. \n\t\n\tOn cherche une valeur approchée de l'intégrale suivante : \n\t$$I = \\int_{0}^{+\\infty} x^2 e^{-\\frac{x^2}{2}} dx$$", "html": "

On suppose dans cet exercice que l’on dispose d’une fonction\nnormale() pour simuler la variable \$\\mathcal{N}(0,1)\$ et de\nrand() pour simuler la loi \$\\mathcal{U}([0;1])\$.

Soient \$(X_i)_{i \\geq 1}\$ une\nsuite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées\n(iid) selon la loi \$\\mathcal{N}(0,1)\$.

On cherche une valeur approchée de l’intégrale suivante : \\[I = \\int_{0}^{+\\infty} x^2 e^{-\\frac{x^2}{2}}\ndx\\]

\n" } }, { "id": "d41620e1-14aa-49a1-b567-3e342c28bf3e", "type": "question", "value": { "latex": "Pour tout $i \\geq 1$, exprimer $\\mathbb{E}(X_i^2)$ sous forme d'intégrale.", "html": "

Pour tout \$i \\geq 1\$, exprimer\n\$\\mathbb{E}(X_i^2)\$ sous forme\nd’intégrale.

\n" } }, { "id": "ab6ca58b-88cb-4670-b5b0-4eff9d75d723", "type": "reponse", "value": { "latex": "On applique le théorème de transfert : \n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\t\\mathbb{E}(X_i^2) &= \\int_{-\\infty}^{+\\infty} x^2 e^{-\\frac{x^2}{2}} \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} dx \\\\\n\t\t\t\t&= 2 \\int_{0}^{+\\infty} x^2 e^{-\\frac{x^2}{2}} \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} dx \\\\\n\t\t\t\t&= \\sqrt{\\frac{2}{\\pi}}I\n\t\t\t\\end{align*}$$", "html": "

On applique le théorème de transfert : \\[\\begin{align*}\n \\mathbb{E}(X_i^2) &= \\int_{-\\infty}^{+\\infty} x^2\ne^{-\\frac{x^2}{2}} \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} dx \\\\\n &= 2 \\int_{0}^{+\\infty} x^2 e^{-\\frac{x^2}{2}}\n\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} dx \\\\\n &= \\sqrt{\\frac{2}{\\pi}}I\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "7e414bd4-a386-4246-836d-6ba1f646c81b", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que $\\displaystyle \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n X_i^2 \\xrightarrow[n \\to \\infty]{{\\rm{p.s.}}} \\sqrt{\\frac{2}{\\pi}}I$.", "html": "

Montrer que \$\\displaystyle\n\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n X_i^2 \\xrightarrow[n \\to \\infty]{{\\rm{p.s.}}}\n\\sqrt{\\frac{2}{\\pi}}I\$.

\n" } }, { "id": "045438ef-66e8-4feb-9614-b66d618a69cc", "type": "reponse", "value": { "latex": "On applique la loi forte des grands nombres à la suite de variables aléatoires iid $(X_i^2)_{i \\geq 1}$ : $\\displaystyle \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n X_i^2 \\xrightarrow[n \\to \\infty]{{\\rm{p.s.}}} \\mathbb{E}(X_1^2) = \\sqrt{\\frac{2}{\\pi}}I$.", "html": "

On applique la loi forte des grands nombres à la suite de variables\naléatoires iid \$(X_i^2)_{i \\geq 1}\$ :\n\$\\displaystyle \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n X_i^2\n\\xrightarrow[n \\to \\infty]{{\\rm{p.s.}}} \\mathbb{E}(X_1^2)\n= \\sqrt{\\frac{2}{\\pi}}I\$.

\n" } }, { "id": "d5922711-9f7f-4c6c-a68d-20854682d32f", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $\\tilde{f} \\colon x \\mapsto xe^{-\\frac{x^2}{2}} \\textbf{1}_{[0;+\\infty[}(x)$. \n\t\tVérifier que $\\tilde{f}$ définit une densité de probabilité et exprimer la fonction de répartition associée à cette loi.", "html": "

Soit \$\\tilde{f} \\colon x \\mapsto\nxe^{-\\frac{x^2}{2}} \\textbf{1}_{[0;+\\infty[}(x)\$. Vérifier que\n\$\\tilde{f}\$ définit une densité de\nprobabilité et exprimer la fonction de répartition associée à cette\nloi.

\n" } }, { "id": "293b8489-53e1-406e-94c6-330a04f1715c", "type": "reponse", "value": { "latex": "On constate que $\\tilde{f}(x) \\geq 0$ pour tout $x \\geq 0$. Par ailleurs, \n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\t\\int \\tilde{f}(x) dx &= \\int_{0}^{+\\infty} xe^{-\\frac{x^2}{2}} dx \\\\\n\t\t\t\t&= \\left[ -e^{-\\frac{x^2}{2}}\\right]_0^{+\\infty} \\\\\n\t\t\t\t&= 1\n\t\t\t\\end{align*}$$\t\n\t\t\tDonc $\\tilde{f}$ est bien une fonction densité de probabilité. \n\t\t\t\n\t\t\tSoit $\\tilde{F}$ la fonction de répartition associée : si $t \\leq 0$, il est clair que $\\tilde{F}(t) = 0$. Soit $t>0$ : \n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\t\\tilde{F}(t) &= \\int_{0}^{t} xe^{-\\frac{x^2}{2}} dx \\\\\n\t\t\t\t&= 1 - e^{-\\frac{t^2}{2}}\n\t\t\t\\end{align*}$$", "html": "

On constate que \$\\tilde{f}(x) \\geq\n0\$ pour tout \$x \\geq 0\$. Par\nailleurs, \\[\\begin{align*}\n \\int \\tilde{f}(x) dx &=\n\\int_{0}^{+\\infty} xe^{-\\frac{x^2}{2}} dx \\\\\n &= \\left[ -e^{-\\frac{x^2}{2}}\\right]_0^{+\\infty} \\\\\n &= 1\n \\end{align*}\\] Donc \$\\tilde{f}\$ est bien une fonction densité\nde probabilité.

Soit \$\\tilde{F}\$ la fonction de\nrépartition associée : si \$t \\leq 0\$,\nil est clair que \$\\tilde{F}(t) = 0\$.\nSoit \$t>0\$ : \\[\\begin{align*}\n \\tilde{F}(t) &= \\int_{0}^{t} xe^{-\\frac{x^2}{2}} dx\n\\\\\n &= 1 - e^{-\\frac{t^2}{2}}\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "5531545f-3d41-4e33-bdb8-594ce32a55de", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $U$ une variable aléatoire suivant une loi $\\mathcal{U}([0;1])$. Démontrer que la variable aléatoire $\\sqrt{-2\\ln(1-U)}$ admet $\\tilde{f}$ comme densité. En déduire une commande permettant de simuler la loi d'une variable aléatoire admettant $\\tilde{f}$ pour densité.", "html": "

Soit \$U\$ une variable aléatoire\nsuivant une loi \$\\mathcal{U}([0;1])\$.\nDémontrer que la variable aléatoire \$\\sqrt{-2\\ln(1-U)}\$ admet \$\\tilde{f}\$ comme densité. En déduire une\ncommande permettant de simuler la loi d’une variable aléatoire admettant\n\$\\tilde{f}\$ pour densité.

\n" } }, { "id": "cd3b7350-e2e9-4efe-bd30-d4b4d3eab9ce", "type": "reponse", "value": { "latex": "Plusieurs méthodes sont possibles. On peut utiliser le théorème d'identification pour identifier la loi de la variable aléatoire $\\sqrt{-2\\ln(1-U)}$. On peut aussi remarquer que si $u \\in [0;1]$ alors $u=\\tilde{F}(x)$ pour $x = \\sqrt{-2\\ln(1-x)}$. D'après le théorème de simulation par inversion de la fonction de répartition, cela prouve que la fonction de répartition de la variable $\\sqrt{-2\\ln(1-U)}$ est $\\tilde{F}$, ce qui revient à dire que sa loi admet $\\tilde{f}$ pour densité.", "html": "

Plusieurs méthodes sont possibles. On peut utiliser le théorème\nd’identification pour identifier la loi de la variable aléatoire \$\\sqrt{-2\\ln(1-U)}\$. On peut aussi\nremarquer que si \$u \\in [0;1]\$ alors\n\$u=\\tilde{F}(x)\$ pour \$x = \\sqrt{-2\\ln(1-x)}\$. D’après le\nthéorème de simulation par inversion de la fonction de répartition, cela\nprouve que la fonction de répartition de la variable \$\\sqrt{-2\\ln(1-U)}\$ est \$\\tilde{F}\$, ce qui revient à dire que sa\nloi admet \$\\tilde{f}\$ pour\ndensité.

\n" } }, { "id": "530d3de1-6247-4523-be22-f4b70b1822d3", "type": "question", "value": { "latex": "En remarquant que $\\displaystyle I = \\int_{0}^{+\\infty} x \\tilde{f}(x) dx$, \tdéterminer une nouvelle suite convergeant presque sûrement vers $I$. En déduire une méthode (que l'on détaillera) permettant d'approcher $I$.", "html": "

En remarquant que \$\\displaystyle I =\n\\int_{0}^{+\\infty} x \\tilde{f}(x) dx\$, déterminer une nouvelle\nsuite convergeant presque sûrement vers \$I\$. En déduire une méthode (que l’on\ndétaillera) permettant d’approcher \$I\$.

\n" } }, { "id": "6cda56d3-7adc-4dc2-8ac2-5aab3a4b3711", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $J_n = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n Y_i$ où $(Y_i)$ est une suite de variables aléatoires i.i.d. selon une loi admettant $\\tilde{f}$ pour densité. Alors on remarque que $I = \\mathbb{E}(Y_1)$ et d'après la loi forte des grands nombres, \n\t\t\t$$ \\displaystyle \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n Y_i \\xrightarrow[n \\to \\infty]{{\\rm{p.s.}}} I$$\n\t\t\t\n\t\t\tSachant simuler la loi de $Y_1$, on déduit l'algorithme suivant permettant de déterminer une valeur approchée de $I$ :\n\t\t\t\n\t\t\t{\\centering \\fbox{\\BUseVerbatim{Su3Xpython}}\\par}", "html": "

Soit \$J_n = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n\nY_i\$ où \$(Y_i)\$ est une suite\nde variables aléatoires i.i.d. selon une loi admettant \$\\tilde{f}\$ pour densité. Alors on remarque\nque \$I = \\mathbb{E}(Y_1)\$ et d’après\nla loi forte des grands nombres, \\[\\displaystyle \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n Y_i\n\\xrightarrow[n \\to \\infty]{{\\rm{p.s.}}} I\\]

Sachant simuler la loi de \$Y_1\$,\non déduit l’algorithme suivant permettant de déterminer une valeur\napprochée de \$I\$ :

\n" } } ] }, { "uuid": "2Aw2", "titre": "Approximation d'une loi binomiale par une loi normale.", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:52.781Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:52.781Z" }, "contenu": [ { "id": "fc09c78c-9cd1-41c9-b6cd-ea877ee94f3a", "type": "description", "value": { "latex": "Un restaurant universitaire qui est visité par 600 étudiants pour le repas de midi offre un choix de deux plats principaux: risotto ou quiche. Dans le passé, on a observé que 40\\% des étudiants prennent du risotto.", "html": "

Un restaurant universitaire qui est visité par 600 étudiants pour le\nrepas de midi offre un choix de deux plats principaux: risotto ou\nquiche. Dans le passé, on a observé que 40% des étudiants prennent du\nrisotto.

\n" } }, { "id": "fbfabe04-119a-4c83-a6c3-95d11386361a", "type": "question", "value": { "latex": "Combien de plats de risotto faut-il prévoir pour que la probabilité qu'il en manque soit inférieure à 10\\% ?", "html": "

Combien de plats de risotto faut-il prévoir pour que la probabilité\nqu’il en manque soit inférieure à 10% ?

\n" } }, { "id": "67d482ac-401b-4712-b4b1-bb2eb948492c", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $X$ le nombre d'étudiants souhaitant un plat de risotto. D'après les données de l'énoncé, $X$ suit une loi binomiale $\\mathcal{B}(600,0.4)$. \n\nOn cherche donc un entier $n$ tel que $\\PP(X \\geq n) \\leq 0.1$. Pour ce faire, on approche la loi de $X$ par une loi normale. L'effectif $n$ est supérieur à $30$ donc d'après le théorème central limite, $X$ suit approximativement une loi normale de paramètres $\\mu=600 \\times 0.4 = 240$ et de variance $\\sigma^2 = 600 \\times 0.4 \\times 0.6 = 144 = 12^2$. \n\nAinsi, \n$$\\begin{align*}\n\\PP(X \\geq n) \\leq 0.1 &\\iff \\PP\\left(\\frac{X-240}{12} \\geq \\frac{n-240}{12}\\right) \\leq 0.1 \\\\\n&\\iff \\PP\\left(\\frac{X-240}{12} \\leq \\frac{n-240}{12}\\right) \\geq 0.9\n&\\iff \\frac{n-240}{12} \\geq 1.28 \\\\\n&\\iff n \\geq 12 \\times 1.28 + 240 = 255.36 \\\\\n&\\iff n \\geq 256\n\\end{align*}$$\n\nIl faut donc prévoir au moins 256 plats de risotto pour que le risque qu'il en manque soit inférieur à 10\\%.", "html": "

Soit \$X\$ le nombre d’étudiants\nsouhaitant un plat de risotto. D’après les données de l’énoncé, \$X\$ suit une loi binomiale \$\\mathcal{B}(600,0.4)\$.

On cherche donc un entier \$n\$ tel\nque \$\\PP(X \\geq n) \\leq 0.1\$. Pour ce\nfaire, on approche la loi de \$X\$ par\nune loi normale. L’effectif \$n\$ est\nsupérieur à \$30\$ donc d’après le\nthéorème central limite, \$X\$ suit\napproximativement une loi normale de paramètres \$\\mu=600 \\times 0.4 = 240\$ et de variance\n\$\\sigma^2 = 600 \\times 0.4 \\times 0.6 = 144 =\n12^2\$.

Ainsi, \\[\\begin{align*}\n\\PP(X \\geq n) \\leq 0.1 &\\iff \\PP\\left(\\frac{X-240}{12} \\geq\n\\frac{n-240}{12}\\right) \\leq 0.1 \\\\\n&\\iff \\PP\\left(\\frac{X-240}{12} \\leq \\frac{n-240}{12}\\right) \\geq\n0.9\n&\\iff \\frac{n-240}{12} \\geq 1.28 \\\\\n&\\iff n \\geq 12 \\times 1.28 + 240 = 255.36 \\\\\n&\\iff n \\geq 256\n\\end{align*}\\]

Il faut donc prévoir au moins 256 plats de risotto pour que le risque\nqu’il en manque soit inférieur à 10%.

\n" } } ] }, { "uuid": "ZU3E", "titre": "Approximation par inégalité", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:27.181Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:27.181Z" }, "contenu": [ { "id": "71c89dff-3134-438d-9c6f-94c4cbd1b67c", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $X$ le nombre d'avions arrivant en une heure sur un aéroport. On suppose que $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\\lambda = 16$.", "html": "

Soit \$X\$ le nombre d’avions\narrivant en une heure sur un aéroport. On suppose que \$X\$ suit une loi de Poisson de paramètre\n\$\\lambda = 16\$.

\n" } }, { "id": "30effdd3-a3d6-43a2-9aa6-360eac58c358", "type": "question", "value": { "latex": "\\'A l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, donner une minoration de la probabilité $\\prob(10 < X < 22)$.", "html": "

Á l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, donner une minoration\nde la probabilité \$\\prob(10 < X <\n22)\$.

\n" } }, { "id": "b7ac9a3d-a8e1-4be3-94aa-5917922b1220", "type": "reponse", "value": { "latex": "D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a : \n $$\\prob(|X-\\E(X)|\\geq 6 ) \\leq \\frac{\\V(X)}{6^2}$$\n ce qui donne : \n $$\\prob(10\\leq X\\leq 22) = \\prob(|X-16|\\geq 6 ) \\leq \\frac{\\V(X)}{6^2} = \\frac{16}{36}$$", "html": "

D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a : \\[\\prob(|X-\\E(X)|\\geq 6 )\n\\leq \\frac{\\V(X)}{6^2}\\] ce qui donne : \\[\\prob(10\\leq X\\leq 22) = \\prob(|X-16|\\geq 6 )\n\\leq \\frac{\\V(X)}{6^2} = \\frac{16}{36}\\]

\n" } }, { "id": "ca7434eb-8513-4120-8418-e2967e4ab627", "type": "question", "value": { "latex": "\\'A l'aide d'une table de la fonction de répartition de la loi de Poisson $\\mathcal{P}(16)$ donnée ci-dessous, donner une valeur approchée de la probabilité $\\prob(10 < X < 22)$. \n \n \\begin{center}\n \\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\n \\hline\n $k$ & 9 & 10 & 11 & $\\ldots$ & 21 & 22 & 23 \\\\\n \\hline\n $\\prob(X\\leq k)$ & $0.043$ & $0.077$ & $0.127$ & $\\ldots$ & $0.911$ & $0.942$ & $0.963$ \\\\ \n \\hline\n \\end{tabular}\n \\end{center}", "html": "

Á l’aide d’une table de la fonction de répartition de la loi de\nPoisson \$\\mathcal{P}(16)\$ donnée\nci-dessous, donner une valeur approchée de la probabilité \$\\prob(10 < X < 22)\$.

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

\$k\$	9	10	11	\$\\ldots\$	21	22	23
\$\\prob(X\\leq\nk)\$	\$0.043\$	\$0.077\$	\$0.127\$	\$\\ldots\$	\$0.911\$	\$0.942\$	\$0.963\$

\n" } }, { "id": "95d86b69-82de-4bc5-8ca1-fecd4135fb83", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $\\prob(10 < X < 22) = \\prob(10 < X \\leq 21) = \\prob(X\\leq 21) - \\prob(X\\leq 10) = 0.911 - 0.077 = 0.834$.", "html": "

On a \$\\prob(10 < X < 22) = \\prob(10\n< X \\leq 21) = \\prob(X\\leq 21) - \\prob(X\\leq 10) = 0.911 - 0.077 =\n0.834\$.

\n" } }, { "id": "5bba8981-cd6d-4d5e-8244-96a0137e8f9d", "type": "question", "value": { "latex": "On admet que $X$ peut s'écrire comme la somme de $n$ variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Poisson $\\mathcal{P}(1)$. Donner une autre approximation de la probabilité $\\prob(10 < X < 22)$ en utilisant une loi normale.", "html": "

On admet que \$X\$ peut s’écrire\ncomme la somme de \$n\$ variables\naléatoires indépendantes suivant une loi de Poisson \$\\mathcal{P}(1)\$. Donner une autre\napproximation de la probabilité \$\\prob(10\n< X < 22)\$ en utilisant une loi normale.

\n" } }, { "id": "45008b34-280b-4376-b635-95edfd191ae4", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $\\E(X) = 16$ et $\\V(X) = 16$. D'après le théorème central limite, la variable aléatoire $Z = \\frac{X-16}{4}$ suit approximativement une loi normale centrée réduite. On a donc : \n $$\\prob(10 < X < 22) = \\prob\\left(\\frac{10-16}{4} < Z < \\frac{22-16}{4}\\right) = \\prob(-1.5 < Z < 1.5)$$\n Par lecture de la table de la loi normale centrée réduite, on trouve $\\prob(-1.5 < Z < 1.5) = 2 \\times \\Phi(1.5) - 1 = 2 \\times 0.9332 - 1 \\approx 0.8664$.", "html": "

On a \$\\E(X) = 16\$ et \$\\V(X) = 16\$. D’après le théorème central\nlimite, la variable aléatoire \$Z =\n\\frac{X-16}{4}\$ suit approximativement une loi normale centrée\nréduite. On a donc : \\[\\prob(10 < X <\n22) = \\prob\\left(\\frac{10-16}{4} < Z < \\frac{22-16}{4}\\right) =\n\\prob(-1.5 < Z < 1.5)\\] Par lecture de la table de la loi\nnormale centrée réduite, on trouve \$\\prob(-1.5 < Z < 1.5) = 2 \\times \\Phi(1.5) -\n1 = 2 \\times 0.9332 - 1 \\approx 0.8664\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "1fDE", "titre": "Approximation par une loi normale", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:21:52.241Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:52.241Z" }, "contenu": [ { "id": "46f7cdeb-02a4-42ae-9e21-aa1c53ed9ea2", "type": "description", "value": { "latex": "On effectue un contrôle sur des pièces de un euro dont une proportion $p=0.05$ est fausse et sur des pièces de deux euros dont une proportion $p'=0.02$ est fausse. On considère un lot de $500$ pièces dont $150$ pièces de un euro et $350$ pièces de deux euros.", "html": "

On effectue un contrôle sur des pièces de un euro dont une proportion\n\$p=0.05\$ est fausse et sur des pièces\nde deux euros dont une proportion \$p'=0.02\$ est fausse. On considère un\nlot de \$500\$ pièces dont \$150\$ pièces de un euro et \$350\$ pièces de deux euros.

\n" } }, { "id": "cca30090-1ab4-47df-a910-7824cfea7f5c", "type": "question", "value": { "latex": "On prend une pièce au hasard dans ce lot: quelle est la probabilité qu'elle soit fausse ?", "html": "

On prend une pièce au hasard dans ce lot: quelle est la probabilité\nqu’elle soit fausse ?

\n" } }, { "id": "db6c8eba-e8ae-4c68-bf2a-b47a4e72f472", "type": "reponse", "value": { "latex": "On peut utiliser un arbre de probabilité pour modéliser la situation. En notant $F$ l'événement ``obtenir une pièce fausse'' et $A$ (resp. $B$) l'événement ``obtenir une pièce de un euro (resp. deux euros)'', on a\n\t\t\\[\\prob(F)=\\prob(F\\cap A)+\\prob(F\\cap B)=\\prob(A)\\prob(F|A)+\\prob(B)\\prob(F|B)=\\frac{150}{500}\\times 0.05+\\frac{350}{500}\\times 0.02=0.029.\\]\n\t\tOn a environ $2.9$\\% d'avoir une pièce fausse.", "html": "

On peut utiliser un arbre de probabilité pour modéliser la situation.\nEn notant \$F\$ l’événement “obtenir\nune pièce fausse” et \$A\$ (resp. \$B\$) l’événement “obtenir une pièce de un\neuro (resp. deux euros)”, on a \\[\\prob(F)=\\prob(F\\cap A)+\\prob(F\\cap\nB)=\\prob(A)\\prob(F|A)+\\prob(B)\\prob(F|B)=\\frac{150}{500}\\times\n0.05+\\frac{350}{500}\\times 0.02=0.029.\\] On a environ \$2.9\$% d’avoir une pièce fausse.

\n" } }, { "id": "9c95fc76-6511-451f-b8e1-71f22cff3474", "type": "question", "value": { "latex": "Sachant que cette pièce est fausse, quelle est la probabilité qu'elle soit de un euro ?", "html": "

Sachant que cette pièce est fausse, quelle est la probabilité qu’elle\nsoit de un euro ?

\n" } }, { "id": "8d258679-e947-4b78-bd20-07638f4c6730", "type": "reponse", "value": { "latex": "On calcule :\n\t\t\\[ \\prob(A|F)=\\frac{\\prob(A\\cap F)}{\\prob(F)}=\\frac{\\prob(A)\\prob(F|A)}{\\prob(F)}=\\frac{\\frac{150}{500}\\times 0.05}{0.029}=0.5172.\\]", "html": "

On calcule : \\[\\prob(A|F)=\\frac{\\prob(A\\cap\nF)}{\\prob(F)}=\\frac{\\prob(A)\\prob(F|A)}{\\prob(F)}=\\frac{\\frac{150}{500}\\times\n0.05}{0.029}=0.5172.\\]

\n" } }, { "id": "1a8c1719-a96a-4ec3-825b-a104ec59e0f0", "type": "question", "value": { "latex": "On contrôle à présent un lot de $\\nombre{1000}$ pièces de un euro. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces fausses parmi les $\\nombre{1000}$. \\\\\n\tQuelle est la loi de $X$ ? Quelle est son espérance ? Son écart-type ? \\\\\n\tEn approchant cette loi par celle d'une loi normale adaptée, donner une approximation de la probabilité pour que $X$ soit compris entre $48$ et $52$.", "html": "

On contrôle à présent un lot de \$\\nombre{1000}\$ pièces de un euro. Soit\n\$X\$ la variable aléatoire égale au\nnombre de pièces fausses parmi les \$\\nombre{1000}\$.
\nQuelle est la loi de \$X\$ ? Quelle est\nson espérance ? Son écart-type ?
\nEn approchant cette loi par celle d’une loi normale adaptée, donner une\napproximation de la probabilité pour que \$X\$ soit compris entre \$48\$ et \$52\$.

\n" } }, { "id": "06f1acaa-e9cb-42c6-b6b7-547281a5b9fb", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a: $X\\sim \\mathcal{B}(\\nombre{1000},0.05)$, $\\E(X)=\\nombre{1000}\\times 0.05=50$ et $\\sigma^2(X)=\\nombre{1000}\\times 0.05\\times 0.95=47.5$. \\\\\n\t\tLa \\va $X$ peut être approchée (avec correction de continuité) par la \\va $Y$ de loi $\\mathcal{N}(50,\\sigma^2=47.5)$. Ainsi, on a\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\prob(48\\leq X\\leq 52)\n\t\t&= \\prob(47.5\\leq X\\leq 52.5) \\\\\n\t\t&\\simeq \\prob(47.5\\leq Y\\leq 52.5) \\\\\n\t\t& \\simeq \\prob(-0.36 \\leq Z \\leq 0.36) \\quad \\text{ avec } Z=\\frac{Y-50}{\\sqrt{47.5}} \\sim \\mathcal{N}(0,1) \\\\\n\t\t&\\simeq 2\\prob(Z\\leq 0.36)-1 \\\\\n\t\t& \\simeq 2\\times 0.6406 - 1\\\\\n\t\t1\\simeq 0.2812\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

On a: \$X\\sim\n\\mathcal{B}(\\nombre{1000},0.05)\$, \$\\E(X)=\\nombre{1000}\\times 0.05=50\$ et\n\$\\sigma^2(X)=\\nombre{1000}\\times 0.05\\times\n0.95=47.5\$.
\nLa \$X\$ peut être approchée (avec\ncorrection de continuité) par la \$Y\$\nde loi \$\\mathcal{N}(50,\\sigma^2=47.5)\$. Ainsi, on\na \\[\\begin{align*}\n \\prob(48\\leq X\\leq 52)\n &= \\prob(47.5\\leq X\\leq 52.5) \\\\\n &\\simeq \\prob(47.5\\leq Y\\leq 52.5) \\\\\n & \\simeq \\prob(-0.36 \\leq Z \\leq 0.36) \\quad \\text{ avec }\nZ=\\frac{Y-50}{\\sqrt{47.5}} \\sim \\mathcal{N}(0,1) \\\\\n &\\simeq 2\\prob(Z\\leq 0.36)-1 \\\\\n & \\simeq 2\\times 0.6406 - 1\\\\\n 1\\simeq 0.2812\n \\end{align*}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "b6cm", "titre": "Autour d'une loi exponentielle", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:22:30.450Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:30.450Z" }, "contenu": [ { "id": "7379a66e-836b-4313-a668-725984f6734b", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer $\\prob(X \\geq t)$ pour tout $t \\in \\R$.", "html": "

Déterminer \$\\prob(X \\geq t)\$ pour\ntout \$t \\in \\R\$.

\n" } }, { "id": "7202ef47-136e-4353-a41e-eeecee13a723", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $t \\in \\R$. Si $t \\geq 0$, on a : \n $$\\begin{align*}\n \\prob(X \\geq t) &= \\int_t^{+\\infty} f(x) \\d x \\\\\n &= \\int_t^{+\\infty} 3 e^{-3x} \\d x \\\\\n &= \\left[ -e^{-3x} \\right]_t^{+\\infty} \\\\\n &= e^{-3t}.\n \\end{align*}$$\n Si $t < 0$, on a $\\prob(X \\geq t) = 1$.", "html": "

Soit \$t \\in \\R\$. Si \$t \\geq 0\$, on a : \\[\\begin{align*}\n \\prob(X \\geq t) &= \\int_t^{+\\infty} f(x) \\d x \\\\\n &= \\int_t^{+\\infty} 3 e^{-3x} \\d x \\\\\n &= \\left[ -e^{-3x} \\right]_t^{+\\infty} \\\\\n &= e^{-3t}.\n \\end{align*}\\] Si \$t <\n0\$, on a \$\\prob(X \\geq t) =\n1\$.

\n" } }, { "id": "b2dc5f1f-f7ec-4136-8678-efa4d28c25f1", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer $\\prob(Z \\geq t)$ pour tout $t \\in \\R$.", "html": "

Déterminer \$\\prob(Z \\geq t)\$ pour\ntout \$t \\in \\R\$.

\n" } }, { "id": "67d2873a-7ffe-47e5-a87a-f526d51b0967", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $t \\in \\R$. Si $t \\geq 0$, on a : \n $$\\begin{align*}\n \\prob(Z \\geq t) &= \\prob(X \\geq t \\text{ et } Y \\geq t) \\\\\n &= \\prob(X \\geq t) \\prob(Y \\geq t) \\text{ par indépendance de $X$ et $Y$} \\\\\n &= e^{-3t} \\times e^{-3t} \\\\\n &= e^{-6t}.\n \\end{align*}$$\n Si $t < 0$, on a $\\prob(Z \\geq t) = 1$.\n\n On voit ainsi que $Z = \\min(X,Y)$ suit une loi exponentielle $\\mathcal{E}(6)$.", "html": "

Soit \$t \\in \\R\$. Si \$t \\geq 0\$, on a : \\[\\begin{align*}\n \\prob(Z \\geq t) &= \\prob(X \\geq t \\text{ et } Y \\geq t)\n\\\\\n &= \\prob(X \\geq t) \\prob(Y \\geq t) \\text{ par\nindépendance de $X$ et $Y$} \\\\\n &= e^{-3t} \\times e^{-3t} \\\\\n &= e^{-6t}.\n \\end{align*}\\] Si \$t <\n0\$, on a \$\\prob(Z \\geq t) =\n1\$.

On voit ainsi que \$Z = \\min(X,Y)\$\nsuit une loi exponentielle \$\\mathcal{E}(6)\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "RrKo", "titre": "Autour de la méthode d'Euler implicite", "theme": [ "analyse numérique" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:19.947Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:19.947Z" }, "contenu": [ { "id": "b1ba0a2a-bae1-4cce-bb20-33fb7b3744fa", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $f \\colon [0;T] \\times \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}$, $a \\in \\mathbb{R}$ et l'équation différentielle :\n$$(E)\t\\begin{cases} \ny'(t) = f(t,y(t)) \\\\\ny(0) = a\n\\end{cases} $$\n\npour laquelle on admet l'existence et l'unicité d'une solution $y$ de classe $\\mathcal{C}^2$. On suppose de plus qu'il existe $M>0$ tel que $\\forall t \\in [0;T]$, $\\forall y \\in \\mathbb{R}$ : \n$$ \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}(t,y)>0 \\qquad ; \\qquad \\left| \\frac{\\partial f}{\\partial y}(t,y) \\right| \\leq M$$\n\nOn rappelle que la méthode d'Euler implicite est donnée par le schéma \n$$y_{n+1} = y_n + hf(t_{n+1},y_{n+1})$$\net on suppose que le pas vérifie $h \\leq \\frac{1}{2M}$.\n\nPour tout $n \\geq 0$, on pose $\\varphi_n(x) = y_n+hf(t_{n+1},x)-x$ et $H_n(x) = y_n+hf(t_{n+1},x)$.", "html": "

Soit \$f \\colon [0;T] \\times \\mathbb{R} \\to\n\\mathbb{R}\$, \$a \\in\n\\mathbb{R}\$ et l’équation différentielle : \\[(E) \\begin{cases}\ny'(t) = f(t,y(t)) \\\\\ny(0) = a\n\\end{cases}\\]

pour laquelle on admet l’existence et l’unicité d’une solution \$y\$ de classe \$\\mathcal{C}^2\$. On suppose de plus qu’il\nexiste \$M>0\$ tel que \$\\forall t \\in [0;T]\$, \$\\forall y \\in \\mathbb{R}\$ : \\[\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}(t,y)>0\n\\qquad ; \\qquad \\left| \\frac{\\partial f}{\\partial y}(t,y) \\right| \\leq\nM\\]

On rappelle que la méthode d’Euler implicite est donnée par le schéma\n\\[y_{n+1} = y_n +\nhf(t_{n+1},y_{n+1})\\] et on suppose que le pas vérifie \$h \\leq \\frac{1}{2M}\$.

Pour tout \$n \\geq 0\$, on pose\n\$\\varphi_n(x) = y_n+hf(t_{n+1},x)-x\$\net \$H_n(x) = y_n+hf(t_{n+1},x)\$.

\n" } }, { "id": "02082606-0b1b-4173-ae76-15a21f9e2e93", "type": "question", "value": { "latex": "Vérifier que $H_n$ est une application contractante et en déduire que le schéma est bien défini, c'est-à-dire qu'il permet bien de définir explicitement $y_{n+1}$ en fonction de $y_n$.", "html": "

Vérifier que \$H_n\$ est une\napplication contractante et en déduire que le schéma est bien défini,\nc’est-à-dire qu’il permet bien de définir explicitement \$y_{n+1}\$ en fonction de \$y_n\$.

\n" } }, { "id": "add93bcb-21e0-46b9-8af4-f7d5ef8febe2", "type": "reponse", "value": { "latex": "$|H_n'(x)| = h \\left| \\frac{\\partial f}{\\partial y}(t_{n+1},x) \\right| \\leq hM \\leq \\frac{1}{2} < 1$. Si $n$ est fixé et $y_n$ est défini, alors $H_n$ admet donc un unique point fixe que l'on note $y_{n+1}$.", "html": "

\$|H_n'(x)| = h \\left| \\frac{\\partial\nf}{\\partial y}(t_{n+1},x) \\right| \\leq hM \\leq \\frac{1}{2} <\n1\$. Si \$n\$ est fixé et \$y_n\$ est défini, alors \$H_n\$ admet donc un unique point fixe que\nl’on note \$y_{n+1}\$.

\n" } }, { "id": "caa622f3-762d-44c2-a4ed-cd8b05ca7341", "type": "question", "value": { "latex": "On propose la méthode suivante :\n\t$$(S) : \\begin{cases}\n\t\\widehat{y}_{n+1}=y_n - \\frac{\\varphi_n(y_n)}{\\varphi_n'(y_n)} \\\\\n\ty_{n+1} = y_n + hf(t_{n+1},\\widehat{y}_{n+1})\n\t\\end{cases}$$\n\tOn admet que cette méthode est stable. Expliquer pourquoi cette méthode ainsi décrite permet de définir explicitement $y_{n+1}$ en fonction de $y_n$. Décrire en particulier la méthode utilisée pour définir $\\widehat{y}_{n+1}$. Puis montrer que cette méthode $(S)$ est consistante, donc convergente.", "html": "

On propose la méthode suivante : \\[(S) :\n\\begin{cases}\n \\widehat{y}_{n+1}=y_n - \\frac{\\varphi_n(y_n)}{\\varphi_n'(y_n)}\n\\\\\n y_{n+1} = y_n + hf(t_{n+1},\\widehat{y}_{n+1})\n \\end{cases}\\] On admet que cette méthode est stable.\nExpliquer pourquoi cette méthode ainsi décrite permet de définir\nexplicitement \$y_{n+1}\$ en fonction\nde \$y_n\$. Décrire en particulier la\nméthode utilisée pour définir \$\\widehat{y}_{n+1}\$. Puis montrer que cette\nméthode \$(S)\$ est consistante, donc\nconvergente.

\n" } }, { "id": "89ce7cf0-23c8-4a16-94cc-04f079089cb4", "type": "reponse", "value": { "latex": "Ce schéma permet de résoudre l'écriture implicite en utilisant la méthode de Newton. On écrit le schéma sous la forme standard \n\t\t$$y_{n+1}=y_n+hF(t_n,y_n,h)$$ avec \n\t\t$$F(t,y,h)= f\\left(t+h,y+h\\frac{f(t+h,y)}{1-h\\frac{\\partial f}{\\partial y}(t+h,y)} \\right)$$\n\t\tet on vérifie que $F(t,y,0)=f(t,y)$ : la méthode est consistante au moins d'ordre 1. On pourrait vérifier que la méthode n'est pas d'ordre 2 en calculant $\\frac{\\partial F}{\\partial h}$ et en constatant que $\\frac{\\partial F}{\\partial h}(t,y,0) = f^{[1]}(t,y) \\neq \\frac{1}{2}f^{[1]}(t,y)$. La méthode étant supposée stable, elle est donc convergente.", "html": "

Ce schéma permet de résoudre l’écriture implicite en utilisant la\nméthode de Newton. On écrit le schéma sous la forme standard \\[y_{n+1}=y_n+hF(t_n,y_n,h)\\] avec \\[F(t,y,h)=\nf\\left(t+h,y+h\\frac{f(t+h,y)}{1-h\\frac{\\partial f}{\\partial\ny}(t+h,y)} \\right)\\] et on vérifie que \$F(t,y,0)=f(t,y)\$ : la méthode est\nconsistante au moins d’ordre 1. On pourrait vérifier que la méthode\nn’est pas d’ordre 2 en calculant \$\\frac{\\partial F}{\\partial h}\$ et en\nconstatant que \$\\frac{\\partial F}{\\partial\nh}(t,y,0) = f^{[1]}(t,y) \\neq \\frac{1}{2}f^{[1]}(t,y)\$. La\nméthode étant supposée stable, elle est donc convergente.

\n" } }, { "id": "e0824535-e54f-4afa-80d1-ab89bf9aefa2", "type": "description", "value": { "latex": "On suppose maintenant que l'équation différentielle est autonome : $f(t,y) = f(y)$ et que $\\forall y \\in \\mathbb{R}$, $|f(y)| \\leq M$, $|f'(y)| \\leq M$ et $|f''(y)| \\leq M$.", "html": "

On suppose maintenant que l’équation différentielle est autonome :\n\$f(t,y) = f(y)\$ et que \$\\forall y \\in \\mathbb{R}\$, \$|f(y)| \\leq M\$, \$|f'(y)| \\leq M\$ et \$|f''(y)| \\leq M\$.

\n" } }, { "id": "24b531ee-0bc5-4aba-896b-30c65888d400", "type": "question", "value": { "latex": "Simplifier le schéma $(S)$ en l'écrivant en fonction de $f$ et $f'$.", "html": "

Simplifier le schéma \$(S)\$ en\nl’écrivant en fonction de \$f\$ et\n\$f'\$.

\n" } }, { "id": "14dacda5-64b5-4ef4-b297-e5e91fa9968e", "type": "reponse", "value": { "latex": "Le schéma devient \n\t\t\t$$(S') : \\begin{cases}\n\t\t\t\\widehat{y}_{n+1}=y_n - \\frac{f(y_n)}{1-hf'(y_n)} \\\\\n\t\t\ty_{n+1} = y_n + hf(t_{n+1},\\widehat{y}_{n+1})\n\t\t\t\\end{cases}$$", "html": "

Le schéma devient \\[(S') :\n\\begin{cases}\n \\widehat{y}_{n+1}=y_n - \\frac{f(y_n)}{1-hf'(y_n)} \\\\\n y_{n+1} = y_n + hf(t_{n+1},\\widehat{y}_{n+1})\n \\end{cases}\\]

\n" } }, { "id": "cd37872f-f688-40c8-b781-92f026870c6e", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que $\\forall y,z \\in \\mathbb{R}$, \n\t\t$$|f(y)(f'(z)-f(z)f'(y)| \\leq 2M^2|y-z|$$", "html": "

Montrer que \$\\forall y,z \\in\n\\mathbb{R}\$, \\[|f(y)(f'(z)-f(z)f'(y)| \\leq\n2M^2|y-z|\\]

\n" } }, { "id": "a3814b42-0171-400a-9a00-551f3f8123a1", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\\begin{align*}\n\t\t\t\t|f(y)(f'(z)-f(z)f'(y)| &= |f(y)(f'(z)-f'(y))+f'(y)(f(y)-f(z)| \\\\\n\t\t\t\t&\\leq |f(y)||f'(z)-f'(y)|+|f'(y)||f'(y)-f(z)|\\\\\n\t\t\t\t&\\leq M\\left(|f'(z)-f'(y)|+|f'(y)-f(z)|\\right)\\\\\n\t\t\t\\end{align*}$$\n\t\t\tOr $|f'(y)| \\leq M$ et $|f''(y)| \\leq M$ donc $f$ et $f'$ sont $M$-lipschitziennes, d'où le résultat.", "html": "

\\[\\begin{align*}\n |f(y)(f'(z)-f(z)f'(y)| &=\n|f(y)(f'(z)-f'(y))+f'(y)(f(y)-f(z)| \\\\\n &\\leq\n|f(y)||f'(z)-f'(y)|+|f'(y)||f'(y)-f(z)|\\\\\n &\\leq\nM\\left(|f'(z)-f'(y)|+|f'(y)-f(z)|\\right)\\\\\n \\end{align*}\\] Or \$|f'(y)| \\leq M\$ et \$|f''(y)| \\leq M\$ donc \$f\$ et \$f'\$ sont \$M\$-lipschitziennes, d’où le résultat.

\n" } }, { "id": "8ee147cb-d2cc-415a-a63f-b027a1904fd5", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que $\\forall y \\in \\mathbb{R}$ :\n\t\t$$\\left|\\frac{1}{1-hf'(y)} \\right| \\leq 2$$", "html": "

Montrer que \$\\forall y \\in\n\\mathbb{R}\$ : \\[\\left|\\frac{1}{1-hf'(y)} \\right| \\leq\n2\\]

\n" } }, { "id": "a1ac755f-2538-4cfb-bd28-956c5ac5aa24", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $hf'(y) \\leq Mh \\leq \\frac{1}{2}$ d'où $1-hf'(y) \\geq \\frac{1}{2}$ d'où le résultat demandé.", "html": "

On a \$hf'(y) \\leq Mh \\leq\n\\frac{1}{2}\$ d’où \$1-hf'(y) \\geq\n\\frac{1}{2}\$ d’où le résultat demandé.

\n" } }, { "id": "b190babc-0618-48b5-b2f9-65176c35ce3f", "type": "question", "value": { "latex": "On pose $g_R(y,h)=\\frac{f(y)}{1-hf'(y)}$. Montrer que $\\forall y,z \\in \\mathbb{R}$ :\n\t\t$$|g_R(y,h)-g_R(z,h)| \\leq 4 |f(y)f'(z)-f(y)-f(z)f'(y)+f(z)|$$\n\t\tpuis \n\t\t$$|g_R(y,h)-g_R(z,h)| \\leq 4M(1+2Mh)|y-z|$$", "html": "

On pose \$g_R(y,h)=\\frac{f(y)}{1-hf'(y)}\$.\nMontrer que \$\\forall y,z \\in\n\\mathbb{R}\$ : \\[|g_R(y,h)-g_R(z,h)|\n\\leq 4 |f(y)f'(z)-f(y)-f(z)f'(y)+f(z)|\\] puis \\[|g_R(y,h)-g_R(z,h)| \\leq\n4M(1+2Mh)|y-z|\\]

\n" } }, { "id": "6abefb91-8310-4b13-a890-fa079bb5b45a", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\\begin{align*}\n\t\t\t\t|g_R(y,h)-g_R(z,h)| &= \\left| \\frac{f(y)}{1-hf'(y)}-\\frac{f(z)}{1-hf'(z)} \\right| \\\\\n\t\t\t\t&= \\frac{|f(y)-f(z)+h(f(z)f'(y)-f(y)f'(z) |}{|1-hf'(y)||1-hf'(z)|}\\\\\n\t\t\t\t&\\leq 4|f(y)-f(z)|+4h|f(z)f'(y)-f(y)f'(z)| \\\\\n\t\t\t\t&\\leq 4M|y-z| + 8M^2h|y-z|\\\\\n\t\t\t\t&\\leq 4M(1+2Mh)|y-z|\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

\\[\\begin{align*}\n |g_R(y,h)-g_R(z,h)| &= \\left|\n\\frac{f(y)}{1-hf'(y)}-\\frac{f(z)}{1-hf'(z)} \\right| \\\\\n &= \\frac{|f(y)-f(z)+h(f(z)f'(y)-f(y)f'(z)\n|}{|1-hf'(y)||1-hf'(z)|}\\\\\n &\\leq 4|f(y)-f(z)|+4h|f(z)f'(y)-f(y)f'(z)|\n\\\\\n &\\leq 4M|y-z| + 8M^2h|y-z|\\\\\n &\\leq 4M(1+2Mh)|y-z|\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "d4b02db3-f069-4c23-8d1a-2c90d9da7156", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire que la méthode est stable", "html": "

En déduire que la méthode est stable

\n" } }, { "id": "ce7c0769-af7d-414b-bd62-35a448e952b2", "type": "reponse", "value": { "latex": "On étudie la stabilité du nouveau schéma $(S')$ : il s'écrit $y_{n+1}=y_n+hF(y_n,h)$ avec $F(y,h)=f(y+hg_R(y,h))$. Or $f$ est $M$-lipschitzienne donc \n\t\t\t$$\\begin{align*} F(y,h)-F(z,h) &\\leq M(|y-z|+h|g_R(y,h)-g_R(z,h)|)\\\\\n\t\t\t\t&\\leq M(1+2Mh(1+2Mh))|y-z|\\\\\n\t\t\t\t&\\leq 5M|y-z|\n\t\t\t\\end{align*}$$\n\t\t\tDonc $F$ est lipschitzienne uniformément en $h$ : cela prouve la stabilité du schéma.", "html": "

On étudie la stabilité du nouveau schéma \$(S')\$ : il s’écrit \$y_{n+1}=y_n+hF(y_n,h)\$ avec \$F(y,h)=f(y+hg_R(y,h))\$. Or \$f\$ est \$M\$-lipschitzienne donc \\[\\begin{align*} F(y,h)-F(z,h) &\\leq\nM(|y-z|+h|g_R(y,h)-g_R(z,h)|)\\\\\n &\\leq M(1+2Mh(1+2Mh))|y-z|\\\\\n &\\leq 5M|y-z|\n \\end{align*}\\] Donc \$F\$ est lipschitzienne uniformément en\n\$h\$ : cela prouve la stabilité du\nschéma.

\n" } }, { "id": "25d12f82-e7cf-401f-b1e5-aced158c4702", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire que la méthode est convergente.", "html": "

En déduire que la méthode est convergente.

\n" } }, { "id": "399b35a4-081e-4e82-836e-b8aa7097239c", "type": "reponse", "value": { "latex": "La consistance ayant déjà établie dans le cas général, cela prouve que la méthode est convergente.", "html": "

La consistance ayant déjà établie dans le cas général, cela prouve\nque la méthode est convergente.

\n" } } ] }, { "uuid": "eTDu", "titre": "Calcul approché de $\\frac{\\pi}{4}$.", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:34.681Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:34.681Z" }, "contenu": [ { "id": "3cba990f-57ca-45c8-810c-7783a8c88fb9", "type": "description", "value": { "latex": "On construit différentes méthodes de Monte Carlo afin de donner une valeur approchée de $\\frac{\\pi}{4}$. Afin de les comparer, on donnera la variance de l'estimation sous la forme $\\frac{C}{n}$ où $n$ est la taille de l'échantillon. On souhaite avoir la variance la plus faible possible.", "html": "

On construit différentes méthodes de Monte Carlo afin de donner une\nvaleur approchée de \$\\frac{\\pi}{4}\$.\nAfin de les comparer, on donnera la variance de l’estimation sous la\nforme \$\\frac{C}{n}\$ où \$n\$ est la taille de l’échantillon. On\nsouhaite avoir la variance la plus faible possible.

\n" } }, { "id": "9dd257bc-1650-403d-9671-61ec9fad8804", "type": "description", "value": { "latex": "On considère le carré $[0;1]^2$ et on note $D$ le quart de disque centré en $0$ et de rayon $1$ : \n$$D = \\{(x,y) \\in \\R_+^2 \\, , \\, x^2 + y^2 \\leq 1\\}$$\n\nL'aire de $D$ vaut $\\frac{\\pi}{4}$. \n\nSoit $(X_i,Y_i)$ une suite de couples variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées selon une loi uniforme sur $[0;1]^2$. Pour tout entier $i \\geq 1$, on pose $$Z_i = \\textbf{1}_{(X_i,Y_i) \\in D}$$ \n\nAinsi, les variables $(Z_i)_{i \\geq 1}$ sont indépendantes.", "html": "

On considère le carré \$[0;1]^2\$ et\non note \$D\$ le quart de disque centré\nen \$0\$ et de rayon \$1\$ : \\[D =\n\\{(x,y) \\in \\R_+^2 \\, , \\, x^2 + y^2 \\leq 1\\}\\]

L’aire de \$D\$ vaut \$\\frac{\\pi}{4}\$.

Soit \$(X_i,Y_i)\$ une suite de\ncouples variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées\nselon une loi uniforme sur \$[0;1]^2\$.\nPour tout entier \$i \\geq 1\$, on pose\n\\[Z_i = \\textbf{1}_{(X_i,Y_i) \\in\nD}\\]

Ainsi, les variables \$(Z_i)_{i \\geq\n1}\$ sont indépendantes.

\n" } }, { "id": "6dc8e810-fbc4-4cf1-b30d-ae4f1bfa2730", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la loi de $Z_1$ et en déduire que $\\mathbb{E}(Z_1) = \\frac{\\pi}{4}$.", "html": "

Déterminer la loi de \$Z_1\$ et en\ndéduire que \$\\mathbb{E}(Z_1) =\n\\frac{\\pi}{4}\$.

\n" } }, { "id": "28c49d92-accd-4a09-923e-fe6bf4e713a1", "type": "reponse", "value": { "latex": "On remarque que $Z_1$ prend se valeurs dans $\\{0,1\\}$ donc $Z_1$ suit une loi de Bernoulli. Or \n$$\\begin{align*}\n\\PP(Z_1 = 1) &= \\PP((X_1,Y_1) \\in D) \\\\\n &= \\iint_{D} dxdy \\\\\n &= \\frac{\\pi}{4}\n\\end{align*}$$\t\nDonc $Z_1$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = \\frac{\\pi}{4}$ et son espérance vaut $\\E(Z_1) = \\frac{\\pi}{4}$.", "html": "

On remarque que \$Z_1\$ prend se\nvaleurs dans \$\\{0,1\\}\$ donc \$Z_1\$ suit une loi de Bernoulli. Or \\[\\begin{align*}\n\\PP(Z_1 = 1) &= \\PP((X_1,Y_1) \\in D) \\\\\n &= \\iint_{D} dxdy \\\\\n &= \\frac{\\pi}{4}\n\\end{align*}\\] Donc \$Z_1\$ suit\nune loi de Bernoulli de paramètre \$p =\n\\frac{\\pi}{4}\$ et son espérance vaut \$\\E(Z_1) = \\frac{\\pi}{4}\$.

\n" } }, { "id": "2242cfd3-dab4-4d56-95ec-107c0e7c1ccc", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $n \\in \\N^*$, on pose :\n\t$$T_n^{(1)} = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} Z_i$$\n\tJustifier que $T_n^{(1)}$ est un estimateur sans biais de $\\frac{\\pi}{4}$.", "html": "

Soit \$n \\in \\N^*\$, on pose : \\[T_n^{(1)} = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n}\nZ_i\\] Justifier que \$T_n^{(1)}\$ est un estimateur sans biais de\n\$\\frac{\\pi}{4}\$.

\n" } }, { "id": "bee0f7eb-ef93-4511-bb24-2641d522cdc2", "type": "reponse", "value": { "latex": "On remarque que $\\E(T_n^{(1)}) = \\E(Z_1) = \\frac{\\pi}{4}$ donc par linéarité, $B(T_n^{(1)}) = \\frac{\\pi}{4} - \\frac{\\pi}{4} = 0$.", "html": "

On remarque que \$\\E(T_n^{(1)}) = \\E(Z_1) =\n\\frac{\\pi}{4}\$ donc par linéarité, \$B(T_n^{(1)}) = \\frac{\\pi}{4} - \\frac{\\pi}{4} =\n0\$.

\n" } }, { "id": "8f9d1fd1-43fe-47c8-81a3-d872492f9026", "type": "question", "value": { "latex": "Justifier que la suite de variables aléatoires $\\left(T_n^{(1)}\\right)_{n \\geq 1}$ converge presque sûrement vers $\\frac{\\pi}{4}$ lorsque $n$ tend vers l'infini.", "html": "

Justifier que la suite de variables aléatoires \$\\left(T_n^{(1)}\\right)_{n \\geq 1}\$\nconverge presque sûrement vers \$\\frac{\\pi}{4}\$ lorsque \$n\$ tend vers l’infini.

\n" } }, { "id": "f0f4aaf9-c7e6-4af4-801f-9a6692b5578d", "type": "reponse", "value": { "latex": "Les variables aléatoires $(Z_i)$ sont indépendantes, identiquement distribuées, admettent une espérance donc par application directe de la loi forte des grands nombres, la suite $\\left(T_n^{(1)}\\right)_{n \\geq 1}$ converge presque sûrement vers $\\frac{\\pi}{4}$.", "html": "

Les variables aléatoires \$(Z_i)\$\nsont indépendantes, identiquement distribuées, admettent une espérance\ndonc par application directe de la loi forte des grands nombres, la\nsuite \$\\left(T_n^{(1)}\\right)_{n \\geq\n1}\$ converge presque sûrement vers \$\\frac{\\pi}{4}\$.

\n" } }, { "id": "b034bd4f-9511-45f1-bbc8-6f345b8f5b22", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer qu'il existe $C^{(1)} \\in \\R$ tel que $\\V\\left(T_n^{(1)}\\right) = \\frac{C^{(1)}}{n}$ et donner une valeur numérique approchée de $C^{(1)}$ à $10^{-4}$.", "html": "

Montrer qu’il existe \$C^{(1)} \\in\n\\R\$ tel que \$\\V\\left(T_n^{(1)}\\right)\n= \\frac{C^{(1)}}{n}\$ et donner une valeur numérique approchée de\n\$C^{(1)}\$ à \$10^{-4}\$.

\n" } }, { "id": "c7450672-f799-4f3f-a915-55e8cce79786", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par indépendance, $\\V\\left(T_n^{(1)}\\right) = \\frac{\\V(Z_1)}{n}$ or $V(Z_1) = \\frac{\\pi}{4}\\left(1- \\frac{\\pi}{4}\\right) \\approx 0{,}1685$.", "html": "

Par indépendance, \$\\V\\left(T_n^{(1)}\\right) =\n\\frac{\\V(Z_1)}{n}\$ or \$V(Z_1) =\n\\frac{\\pi}{4}\\left(1- \\frac{\\pi}{4}\\right) \\approx\n0{,}1685\$.

\n" } }, { "id": "d58197aa-8513-4e00-b085-8188dd39afe8", "type": "description", "value": { "latex": "On définit une fonction $g \\colon [0;1] \\to [0;+\\infty[$ par :\n$$g(x) = \\sqrt{1-x^2}$$\n\nSoit $(U_i)$ une suite de variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées selon une loi uniforme sur $[0;1]$.", "html": "

On définit une fonction \$g \\colon [0;1]\n\\to [0;+\\infty[\$ par : \\[g(x) =\n\\sqrt{1-x^2}\\]

Soit \$(U_i)\$ une suite de\nvariables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées selon une\nloi uniforme sur \$[0;1]\$.

\n" } }, { "id": "fe09103b-fbe6-47ff-b0dd-59e4311aeb23", "type": "question", "value": { "latex": "Justifier que $\\E(g(U_1)) = \\frac{\\pi}{4}$.", "html": "

Justifier que \$\\E(g(U_1)) =\n\\frac{\\pi}{4}\$.

\n" } }, { "id": "57be023a-898a-4955-81a2-a5eab7c8fd7d", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par application du théorème de transfert, \n$$\\E(g(U_1)) = \\int g(x) \\textbf{1}_{[0,1]}(x) dx = \\int_0^1 \\sqrt{1-x^2}dx = \\frac{\\pi}{4}$$", "html": "

Par application du théorème de transfert, \\[\\E(g(U_1)) = \\int g(x) \\textbf{1}_{[0,1]}(x) dx =\n\\int_0^1 \\sqrt{1-x^2}dx = \\frac{\\pi}{4}\\]

\n" } }, { "id": "c21ed25f-11dc-4da0-8428-54b32839f322", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire une suite de variables aléatoires convergeant presque sûrement vers $\\frac{\\pi}{4}$.", "html": "

En déduire une suite de variables aléatoires convergeant presque\nsûrement vers \$\\frac{\\pi}{4}\$.

\n" } }, { "id": "1a656fb4-f4f1-48c2-bd05-011cc091f439", "type": "reponse", "value": { "latex": "En posant $T_n^{(2)} = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} g(U_i)$ alors d'après la loi forte des grands nombres, la suite $\\left(T_n^{(2)}\\right)$ converge presque sûrement vers $\\E(g(U_1)) = \\frac{\\pi}{4}$.", "html": "

En posant \$T_n^{(2)} = \\frac{1}{n}\n\\sum_{i=1}^{n} g(U_i)\$ alors d’après la loi forte des grands\nnombres, la suite \$\\left(T_n^{(2)}\\right)\$ converge presque\nsûrement vers \$\\E(g(U_1)) =\n\\frac{\\pi}{4}\$.

\n" } }, { "id": "7ee5160a-e5d5-40f3-86e9-ee9339b028d5", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $n \\in \\N^*$, on pose :\n\t$$T_n^{(2)} = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} g(U_i)$$", "html": "

Soit \$n \\in \\N^*\$, on pose : \\[T_n^{(2)} = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n}\ng(U_i)\\]

\n" } }, { "id": "ec655fa4-07a3-463c-b683-5fb3bb6292e5", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer qu'il existe $C^{(2)} \\in \\R$ tel que $\\V\\left(T_n^{(2)}\\right) = \\frac{C^{(2)}}{n}$ et donner une valeur numérique approchée de $C^{(2)}$ à $10^{-4}$.", "html": "

Montrer qu’il existe \$C^{(2)} \\in\n\\R\$ tel que \$\\V\\left(T_n^{(2)}\\right)\n= \\frac{C^{(2)}}{n}\$ et donner une valeur numérique approchée de\n\$C^{(2)}\$ à \$10^{-4}\$.

\n" } }, { "id": "1bfa94c6-1827-4e0b-9b9f-d76e47816f42", "type": "reponse", "value": { "latex": "Il s'agit comme en partie 1 de calculer $\\V(g(U_1)) = \\E(g(U_1)^2) - \\left(\\frac{\\pi}{4}\\right)^2$. Or : \n$$\\begin{align*}\n\t\\E(g(U_1)^2) &= \\int_0^1 g(x)^2 dx \\\\\n\t &= \\int_0^1 (1-x^2) dx \\\\\n\t &= \\frac{2}{3}\n\\end{align*}$$\nOn a donc $\\V\\left(T_n^{(2)}\\right) = \\frac{C^{(2)}}{n}$ avec $C^{(2)} = \\frac{2}{3} - \\left(\\frac{\\pi}{4}\\right)^2 \\approx 0.0498$.", "html": "

Il s’agit comme en partie 1 de calculer \$\\V(g(U_1)) = \\E(g(U_1)^2) -\n\\left(\\frac{\\pi}{4}\\right)^2\$. Or : \\[\\begin{align*}\n \\E(g(U_1)^2) &= \\int_0^1 g(x)^2 dx \\\\\n &= \\int_0^1 (1-x^2) dx \\\\\n &= \\frac{2}{3}\n\\end{align*}\\] On a donc \$\\V\\left(T_n^{(2)}\\right) =\n\\frac{C^{(2)}}{n}\$ avec \$C^{(2)}\n= \\frac{2}{3} - \\left(\\frac{\\pi}{4}\\right)^2 \\approx\n0.0498\$.

\n" } }, { "id": "e24c15dd-f117-4b48-a0b8-43e12ef1921e", "type": "question", "value": { "latex": "Comparer les deux techniques d'approximation présentées ici.", "html": "

Comparer les deux techniques d’approximation présentées ici.

\n" } }, { "id": "298bf4a6-018b-4c50-b802-b4d1c1a997aa", "type": "reponse", "value": { "latex": "Des deux estimateurs de $\\frac{\\pi}{4}$ présentés ici, le plus efficace est celui qui a la plus petite variance, c'est $T_n^{(2)}$.", "html": "

Des deux estimateurs de \$\\frac{\\pi}{4}\$ présentés ici, le plus\nefficace est celui qui a la plus petite variance, c’est \$T_n^{(2)}\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "g6Rl", "titre": "Calcul approché de probabilité et loi normale", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:36.180Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:36.180Z" }, "contenu": [ { "id": "315924c8-667d-4120-9fb2-b2300f0f0ea0", "type": "description", "value": { "latex": "Une machine fabrique des lames de carton empilées par paquets de 36. On suppose que chaque lame a une épaisseur $X_i$ sont i.i.d. avec $\\mathbb{E}(X_i)=0.6$~cm et $\\sigma(X_i)=0.1$~cm. On note $X$ l'épaisseur d'un paquet de 36 cartons.", "html": "

Une machine fabrique des lames de carton empilées par paquets de 36.\nOn suppose que chaque lame a une épaisseur \$X_i\$ sont i.i.d. avec \$\\mathbb{E}(X_i)=0.6\$ cm et \$\\sigma(X_i)=0.1\$ cm. On note \$X\$ l’épaisseur d’un paquet de 36\ncartons.

\n" } }, { "id": "0968c0a7-2957-407f-910d-74b5387c4cb7", "type": "question", "value": { "latex": "Si les $X_i$ suivent une loi normale, quelle est la loi de probabilité de $X$ ?", "html": "

Si les \$X_i\$ suivent une loi\nnormale, quelle est la loi de probabilité de \$X\$ ?

\n" } }, { "id": "89e26a0c-5892-4acf-9ee9-73523ff6714a", "type": "reponse", "value": { "latex": "Si les $X_i$ suivent des lois Normales, alors $X_i\\sim \\mathcal{N}(0.6,\\sigma=0.1)$ et la variable $\\displaystyle X=\\sum_{i=1}^{36}$ suit une loi Normale de paramètres $\\mu=36\\times 0.6=21.6$ et $\\sigma=\\sqrt{36\\times 0.1^2}=0.6$.", "html": "

Si les \$X_i\$ suivent des lois\nNormales, alors \$X_i\\sim\n\\mathcal{N}(0.6,\\sigma=0.1)\$ et la variable \$\\displaystyle X=\\sum_{i=1}^{36}\$ suit une\nloi Normale de paramètres \$\\mu=36\\times\n0.6=21.6\$ et \$\\sigma=\\sqrt{36\\times\n0.1^2}=0.6\$.

\n" } }, { "id": "1659a2f7-dc71-4aad-850a-c1b73e4d1ff1", "type": "question", "value": { "latex": "Si on ne connaît pas la loi des $X_i$, donner une approximation de la loi de $X$ en justifiant.", "html": "

Si on ne connaît pas la loi des \$X_i\$, donner une approximation de la loi\nde \$X\$ en justifiant.

\n" } }, { "id": "cb673b1c-444b-4c32-a2d5-0a6f187a0e12", "type": "reponse", "value": { "latex": "Comme $n\\geq 30$, on peut appliquer le théorème central limite et ainsi $X$ suit approximativement la loi $\\mathcal{N}(21.6,\\sigma=0.6)$.", "html": "

Comme \$n\\geq 30\$, on peut\nappliquer le théorème central limite et ainsi \$X\$ suit approximativement la loi \$\\mathcal{N}(21.6,\\sigma=0.6)\$.

\n" } }, { "id": "cdb90e7b-2fcf-47e2-a6ac-9817f23c938f", "type": "description", "value": { "latex": "On pose $$Y=\\frac{1}{36}\\sum_{i=1}^{36}X_i$$", "html": "

On pose \\[Y=\\frac{1}{36}\\sum_{i=1}^{36}X_i\\]

\n" } }, { "id": "c81729d2-f81d-44c1-9c02-2453ec05411a", "type": "question", "value": { "latex": "Quelle est la probabilité que $Y$ soit compris entre 0.63 et 0.66 cm ? Comment peut-on interpréter ce résultat ?", "html": "

Quelle est la probabilité que \$Y\$\nsoit compris entre 0.63 et 0.66 cm ? Comment peut-on interpréter ce\nrésultat ?

\n" } }, { "id": "0817ff31-8938-41f6-bf45-3e082c8ddb96", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\mathbb{P}(0.63\\leq Y \\leq 0.66)\n\t\t\t&= \\mathbb{P}(36\\times 0.63 \\leq X \\leq 36 \\times 0.66) \\\\\n\t\t\t&= \\mathbb{P}\\left( \\frac{36\\times 0.63-21.6}{0.6}\\leq \\frac{X-21.6}{0.6} \\leq \\frac{36\\times 0.66-21.6}{0.6}\\right) \\\\\n\t\t\t&\\simeq \\mathbb{P}(1.8 \\leq Z \\leq 3.6) \\quad \\text{ par le théorème central-limite, avec } Z\\sim \\mathcal{N}(0,1) \\\\\n\t\t\t&\\simeq \\mathbb{P}(Z\\leq 3.6) -\\mathbb{P}(Z\\leq 1.8) \\\\\n\t\t\t&\\simeq 0.999-0.9641 \\quad \\text{par lecture du tableau de loi} \\\\\n\t\t\t&\\simeq 0.0358\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\t$Y$ représente l'épaisseur moyenne d'un carton sur un paquet de $36$ cartons.", "html": "

On a \\[\\begin{align*}\n \\mathbb{P}(0.63\\leq Y \\leq 0.66)\n &= \\mathbb{P}(36\\times 0.63 \\leq X \\leq 36 \\times 0.66)\n\\\\\n &= \\mathbb{P}\\left( \\frac{36\\times 0.63-21.6}{0.6}\\leq\n\\frac{X-21.6}{0.6} \\leq \\frac{36\\times 0.66-21.6}{0.6}\\right) \\\\\n &\\simeq \\mathbb{P}(1.8 \\leq Z \\leq 3.6) \\quad \\text{ par\nle théorème central-limite, avec } Z\\sim \\mathcal{N}(0,1) \\\\\n &\\simeq \\mathbb{P}(Z\\leq 3.6) -\\mathbb{P}(Z\\leq 1.8) \\\\\n &\\simeq 0.999-0.9641 \\quad \\text{par lecture du tableau\nde loi} \\\\\n &\\simeq 0.0358\n \\end{align*}\\] \$Y\$\nreprésente l’épaisseur moyenne d’un carton sur un paquet de \$36\$ cartons.

\n" } } ] }, { "uuid": "XoM4", "titre": "Calcul approché de probabilités", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:25.130Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:25.130Z" }, "contenu": [ { "id": "69a22a93-ba2b-421b-9d8c-d67d959013be", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $X$ une variable aléatoire réelle telle que $\\E(X) = 30$ et $\\var(X) = 25$ et $Y = 2X - 5$.", "html": "

Soit \$X\$ une variable aléatoire\nréelle telle que \$\\E(X) = 30\$ et\n\$\\var(X) = 25\$ et \$Y = 2X - 5\$.

\n" } }, { "id": "a8073946-6d97-425c-9c0f-ee94c787e3b1", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer l'espérance et la variance de $Y$.", "html": "

Déterminer l’espérance et la variance de \$Y\$.

\n" } }, { "id": "f16e0ffc-b689-455b-99ee-edc714a8e281", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par linéarité de l'espérance, $\\E(X) = 2 \\E(X) - 5 = 2 \\times 30 - 5 = 55$. Par propriétés de la variance, $\\var(Y) = 2^2 \\var(X) + 0 = 4 \\times 25 = 100$.", "html": "

Par linéarité de l’espérance, \$\\E(X) = 2\n\\E(X) - 5 = 2 \\times 30 - 5 = 55\$. Par propriétés de la\nvariance, \$\\var(Y) = 2^2 \\var(X) + 0 = 4\n\\times 25 = 100\$.

\n" } }, { "id": "639eb359-0798-4e49-bd98-276d3f56ada1", "type": "question", "value": { "latex": "\\`A l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer une valeur $a > 0$ telle que $\\prob\\left( 20 < X < 40 \\right) \\geq a$.", "html": "

À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer une valeur\n\$a > 0\$ telle que \$\\prob\\left( 20 < X < 40 \\right) \\geq\na\$.

\n" } }, { "id": "a3a4bba3-3762-4976-a2c9-f4f5aa5a78fc", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a :\n $$\\begin{align*}\n \\prob\\left( 20 < X < 40 \\right) &= \\prob\\left( -10 < X - 30 < 10 \\right) \\\\\n &= \\prob\\left( \\left| X - 30 \\right| < 10 \\right) \\\\\n &= \\prob\\left( \\left| X - \\E(X) \\right| < 10 \\right) \\\\\n &\\geq 1 - \\frac{\\var(X)}{10^2} \\text{ par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev} \\\\\n &= 1 - \\frac{25}{100} \\\\\n &= \\frac{3}{4}.\n \\end{align*}$$\n On a donc $a = \\frac{3}{4}$.", "html": "

On a : \\[\\begin{align*}\n \\prob\\left( 20 < X < 40 \\right) &= \\prob\\left(\n-10 < X - 30 < 10 \\right) \\\\\n &= \\prob\\left( \\left| X - 30 \\right| < 10 \\right)\n\\\\\n &= \\prob\\left( \\left| X - \\E(X) \\right| < 10\n\\right) \\\\\n &\\geq 1 - \\frac{\\var(X)}{10^2} \\text{ par\nl'inégalité de Bienaymé-Tchebychev} \\\\\n &= 1 - \\frac{25}{100} \\\\\n &= \\frac{3}{4}.\n \\end{align*}\\] On a donc \$a = \\frac{3}{4}\$.

\n" } }, { "id": "939ac67d-8bbe-4929-8116-79cfebe32d25", "type": "description", "value": { "latex": "On suppose maintenant que $X$ suit une loi normale.", "html": "

On suppose maintenant que \$X\$ suit\nune loi normale.

\n" } }, { "id": "23ee9889-518a-4ff9-96cc-affaa9907050", "type": "question", "value": { "latex": "Donner la valeur de $\\prob\\left( 20 \\leq X \\leq 40 \\right)$ avec une précision de $10^{-4}$.", "html": "

Donner la valeur de \$\\prob\\left( 20 \\leq X\n\\leq 40 \\right)\$ avec une précision de \$10^{-4}\$.

\n" } }, { "id": "ab1ae5fd-a06c-4058-84be-0a54c4fb15a3", "type": "reponse", "value": { "latex": "On centre et on réduit la variable $X$ pour utiliser la table de loi normale centrée réduite. On note $\\Phi$ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. On a :\n $$\\begin{align*}\n \\prob\\left( 20 \\leq X \\leq 40 \\right) &= \\prob\\left( \\frac{20 - 30}{5} \\leq \\frac{X - 30}{5} \\leq \\frac{40 - 30}{5} \\right) \\\\\n &= \\prob\\left( -2 \\leq \\frac{X - 30}{5} \\leq 2 \\right) \\\\\n &= \\Phi(2) - \\Phi(-2) \\\\\n &= \\Phi(2) - (1 - \\Phi(2)) \\text{ par symétrie } \\\\\n &\\approx 2 \\times 0{,}9772 - 1 \\text{ par lecture de table de loi} \\\\\n &\\approx 0{,}9544.\n \\end{align*}$$", "html": "

On centre et on réduit la variable \$X\$ pour utiliser la table de loi normale\ncentrée réduite. On note \$\\Phi\$ la\nfonction de répartition de la loi normale centrée réduite. On a : \\[\\begin{align*}\n \\prob\\left( 20 \\leq X \\leq 40 \\right) &=\n\\prob\\left( \\frac{20 - 30}{5} \\leq \\frac{X - 30}{5} \\leq \\frac{40 -\n30}{5} \\right) \\\\\n &= \\prob\\left( -2 \\leq \\frac{X - 30}{5} \\leq 2\n\\right) \\\\\n &= \\Phi(2) - \\Phi(-2) \\\\\n &= \\Phi(2) - (1 - \\Phi(2)) \\text{ par symétrie }\n\\\\\n &\\approx 2 \\times 0{,}9772 - 1 \\text{ par\nlecture de table de loi} \\\\\n &\\approx 0{,}9544.\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "4390e932-989a-46c4-953b-16f1d6e330fa", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la loi de $Y$.", "html": "

Déterminer la loi de \$Y\$.

\n" } }, { "id": "1dfab4c6-8402-4b8b-bb61-e5c3929fd3c5", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par propriété de stabilité de la loi normale par combinaison linéaire, $Y$ suit une loi normale. On a déjà calculé que $\\E(Y) = 55$ et $\\var(Y) = 100$. On a donc $Y \\sim \\mathcal{N}(55,10)$.", "html": "

Par propriété de stabilité de la loi normale par combinaison\nlinéaire, \$Y\$ suit une loi normale.\nOn a déjà calculé que \$\\E(Y) = 55\$ et\n\$\\var(Y) = 100\$. On a donc \$Y \\sim \\mathcal{N}(55,10)\$.

\n" } }, { "id": "f620ff23-dacb-4ac5-8612-f775edef0c3a", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer, avec une précision de $10^{-4}$, la probabilité que $Y$ prenne une valeur dans l'intervalle $[45\\,;\\,55]$.", "html": "

Déterminer, avec une précision de \$10^{-4}\$, la probabilité que \$Y\$ prenne une valeur dans l’intervalle\n\$[45\\,;\\,55]\$.

\n" } }, { "id": "548524be-c6e3-4a32-af91-b5c42559fc07", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a :\n $$\\begin{align*}\n \\prob\\left( 45 \\leq Y \\leq 55 \\right) &= \\prob\\left( \\frac{45 - 55}{10} \\leq \\frac{Y - 55}{10} \\leq \\frac{55 - 55}{10} \\right) \\\\\n &= \\prob\\left( -1 \\leq \\frac{Y - 55}{10} \\leq 0 \\right) \\\\\n &= \\Phi(0) - \\Phi(-1) \\\\\n &= \\Phi(0) - (1 - \\Phi(1)) \\text{ par symétrie } \\\\\n &\\approx 0{,}5 - (1 - 0{,}8413) \\text{ par lecture de table de loi} \\\\\n &\\approx 0{,}3413.\n \\end{align*}$$", "html": "

On a : \\[\\begin{align*}\n \\prob\\left( 45 \\leq Y \\leq 55 \\right) &=\n\\prob\\left( \\frac{45 - 55}{10} \\leq \\frac{Y - 55}{10} \\leq \\frac{55 -\n55}{10} \\right) \\\\\n &= \\prob\\left( -1 \\leq \\frac{Y - 55}{10} \\leq 0\n\\right) \\\\\n &= \\Phi(0) - \\Phi(-1) \\\\\n &= \\Phi(0) - (1 - \\Phi(1)) \\text{ par symétrie }\n\\\\\n &\\approx 0{,}5 - (1 - 0{,}8413) \\text{ par\nlecture de table de loi} \\\\\n &\\approx 0{,}3413.\n \\end{align*}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "uGsH", "titre": "Calcul avec une densité de probabilité", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:52.611Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:52.611Z" }, "contenu": [ { "id": "54cc1c5a-1b52-44ae-9c70-b6a311a72bef", "type": "question", "value": { "latex": "Vérifier que $f$ est bien une densité de probabilité. On note $X$ une variable aléatoire admettant $f$ pour densité de probabilité.", "html": "

Vérifier que \$f\$ est bien une\ndensité de probabilité. On note \$X\$\nune variable aléatoire admettant \$f\$\npour densité de probabilité.

\n" } }, { "id": "cdcc814b-4e18-4682-93cc-39331813836f", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour qu'une fonction soit une densité de probabilité, elle doit satisfaire les deux conditions suivantes :\n \\begin{enumerate}\n \\item $f(x) \\geq 0$ pour tout $x$ dans l'intervalle de définition.\n \\item L'intégrale de $f(x)$ sur tout l'intervalle $[0, 2]$ doit être égale à 1.\n \\end{enumerate}\n \n Vérifions la première condition : \\\\\n $f(x) = \\frac{3}{16}(4 - x^2) \\geq 0$ sur $[0, 2]$, car $x^2 \\leq 4$ pour \n $0\\leq x \\leq 2$.\n \n Vérifions maintenant la seconde condition :\n \n \\[\n \\int_0^2 \\frac{3}{16}(4 - x^2) \\, dx = \\frac{3}{16} \\int_0^2 (4 - x^2) \\, dx = \\frac{3}{16} \\left[ 4x - \\frac{x^3}{3} \\right]_0^2.\n \\]\n \n En évaluant les bornes :\n \n \\[\n \\left[ 4x - \\frac{x^3}{3} \\right]_0^2 = \\left( 8 - \\frac{8}{3} \\right) - (0) = \\frac{24}{3} - \\frac{8}{3} = \\frac{16}{3}.\n \\]\n \n Ainsi, \n \\[\n \\int_0^2 f(x) \\, dx = \\frac{3}{16} \\times \\frac{16}{3} = 1.\n \\]\n \n Donc, $f$ est bien une densité de probabilité.", "html": "

Pour qu’une fonction soit une densité de probabilité, elle doit\nsatisfaire les deux conditions suivantes :

\$f(x) \\geq 0\$ pour tout \$x\$ dans l’intervalle de\ndéfinition.
L’intégrale de \$f(x)\$ sur tout\nl’intervalle \$[0, 2]\$ doit être égale\nà 1.

Vérifions la première condition :
\n\$f(x) = \\frac{3}{16}(4 - x^2) \\geq 0\$\nsur \$[0, 2]\$, car \$x^2 \\leq 4\$ pour \$0\\leq x \\leq 2\$.

Vérifions maintenant la seconde condition :

\\[\\int_0^2 \\frac{3}{16}(4 - x^2) \\, dx =\n\\frac{3}{16} \\int_0^2 (4 - x^2) \\, dx = \\frac{3}{16} \\left[ 4x -\n\\frac{x^3}{3} \\right]_0^2.\\]

En évaluant les bornes :

\\[\\left[ 4x - \\frac{x^3}{3} \\right]_0^2 =\n\\left( 8 - \\frac{8}{3} \\right) - (0) = \\frac{24}{3} - \\frac{8}{3} =\n\\frac{16}{3}.\\]

Ainsi, \\[\\int_0^2 f(x) \\, dx =\n\\frac{3}{16} \\times \\frac{16}{3} = 1.\\]

Donc, \$f\$ est bien une densité de\nprobabilité.

\n" } }, { "id": "2975217c-613a-4d23-a8a6-ecf4c7361065", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer la probabilité que $X$ prenne une valeur dans l'intervalle $[1, 3]$.", "html": "

Calculer la probabilité que \$X\$\nprenne une valeur dans l’intervalle \$[1,\n3]\$.

\n" } }, { "id": "618170ee-66bb-49a3-b4cc-32a70a79164d", "type": "reponse", "value": { "latex": "On cherche $\\prob(1 \\leq X \\leq 3)$, ce qui revient à calculer l'intégrale de $f(x)$ sur l'intervalle $[1, 3]$ :\n \n \\[\n \\prob(1 \\leq X \\leq 3) = \\int_1^3 f(x) \\, dx = \\int_1^2 \\frac{3}{16}(4 - x^2) \\, dx = \\frac{5}{16}\n \\]", "html": "

On cherche \$\\prob(1 \\leq X \\leq\n3)\$, ce qui revient à calculer l’intégrale de \$f(x)\$ sur l’intervalle \$[1, 3]\$ :

\\[\\prob(1 \\leq X \\leq 3) = \\int_1^3 f(x)\n\\, dx = \\int_1^2 \\frac{3}{16}(4 - x^2) \\, dx = \\frac{5}{16}\\]

\n" } }, { "id": "b42cc462-896a-42de-91d6-71c798fe07da", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer l'espérance et la variance de $X$.", "html": "

Calculer l’espérance et la variance de \$X\$.

\n" } }, { "id": "7b6650a1-082e-4af9-ac72-467caf74b6bd", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\\begin{align*}\n\t\t\\mathbb{E}[X] &= \\int_{0}^{2} x f(x) \\, dx \\\\\n\t\t&= \\int_{0}^{2} x \\left( \\frac{3}{16}(4 - x^2) \\right) dx \\\\\n\t\t&= \\frac{3}{16} \\int_{0}^{2} x (4 - x^2) \\, dx \\\\\n\t\t&= \\frac{3}{16} \\int_{0}^{2} (4x - x^3) \\, dx \\\\\n\t\t&= \\frac{3}{16} \\left( \\int_{0}^{2} 4x \\, dx - \\int_{0}^{2} x^3 \\, dx \\right) \\\\\n\t\t&= \\frac{3}{16} \\left( \\left[2x^2\\right]_{0}^{2} - \\left[\\frac{x^4}{4}\\right]_{0}^{2} \\right) \\\\\n\t\t&= \\frac{3}{16} \\left( \\left(2 \\times 2^2\\right) - \\left(\\frac{2^4}{4}\\right) - \\left(0 - 0\\right) \\right) \\\\\n\t\t&= \\frac{3}{16} \\left( 8 - 4 \\right) \\\\\n\t\t&= \\frac{3}{4}.\n\t\\end{align*}$$\n\n$$\\begin{align*}\n\t\\operatorname{Var}(X) &= \\mathbb{E}[X^2] - (\\mathbb{E}[X])^2 \\\\\n\t\\\\\n\t\\text{Calcul de } \\mathbb{E}[X^2]: \\\\\n\t\\mathbb{E}[X^2] &= \\int_{0}^{2} x^2 f(x) \\, dx \\\\\n\t&= \\int_{0}^{2} x^2 \\left( \\frac{3}{16}(4 - x^2) \\right) dx \\\\\n\t&= \\frac{3}{16} \\int_{0}^{2} x^2 (4 - x^2) \\, dx \\\\\n\t&= \\frac{3}{16} \\int_{0}^{2} (4x^2 - x^4) \\, dx \\\\\n\t&= \\frac{3}{16} \\left( \\int_{0}^{2} 4x^2 \\, dx - \\int_{0}^{2} x^4 \\, dx \\right) \\\\\n\t&= \\frac{3}{16} \\left( \\left[\\frac{4x^3}{3}\\right]_{0}^{2} - \\left[\\frac{x^5}{5}\\right]_{0}^{2} \\right) \\\\\n\t&= \\frac{3}{16} \\left( \\left( \\frac{4 \\times 8}{3} \\right) - \\left( \\frac{32}{5} \\right) - \\left( 0 - 0 \\right) \\right) \\\\\n\t&= \\frac{3}{16} \\left( \\frac{32}{3} - \\frac{32}{5} \\right) \\\\\n\t&= \\frac{4}{5}.\n\\end{align*}$$\n\n$$\\begin{align*}\n\t\\text{Calcul de } \\operatorname{Var}(X): \\\\\n\t\\operatorname{Var}(X) &= \\mathbb{E}[X^2] - (\\mathbb{E}[X])^2 \\\\\n\t&= \\frac{4}{5} - \\left( \\frac{3}{4} \\right)^2 \\\\\n\t&= \\frac{4}{5} - \\frac{9}{16} \\\\\n\t&= \\frac{64}{80} - \\frac{45}{80} \\\\\n\t&= \\frac{19}{80}.\n\\end{align*}$$", "html": "

\\[\\begin{align*}\n \\mathbb{E}[X] &= \\int_{0}^{2} x f(x) \\, dx \\\\\n &= \\int_{0}^{2} x \\left( \\frac{3}{16}(4 - x^2) \\right) dx \\\\\n &= \\frac{3}{16} \\int_{0}^{2} x (4 - x^2) \\, dx \\\\\n &= \\frac{3}{16} \\int_{0}^{2} (4x - x^3) \\, dx \\\\\n &= \\frac{3}{16} \\left( \\int_{0}^{2} 4x \\, dx - \\int_{0}^{2}\nx^3 \\, dx \\right) \\\\\n &= \\frac{3}{16} \\left( \\left[2x^2\\right]_{0}^{2} -\n\\left[\\frac{x^4}{4}\\right]_{0}^{2} \\right) \\\\\n &= \\frac{3}{16} \\left( \\left(2 \\times 2^2\\right) -\n\\left(\\frac{2^4}{4}\\right) - \\left(0 - 0\\right) \\right) \\\\\n &= \\frac{3}{16} \\left( 8 - 4 \\right) \\\\\n &= \\frac{3}{4}.\n \\end{align*}\\]

\\[\\begin{align*}\n \\operatorname{Var}(X) &= \\mathbb{E}[X^2] - (\\mathbb{E}[X])^2 \\\\\n \\\\\n \\text{Calcul de } \\mathbb{E}[X^2]: \\\\\n \\mathbb{E}[X^2] &= \\int_{0}^{2} x^2 f(x) \\, dx \\\\\n &= \\int_{0}^{2} x^2 \\left( \\frac{3}{16}(4 - x^2) \\right) dx \\\\\n &= \\frac{3}{16} \\int_{0}^{2} x^2 (4 - x^2) \\, dx \\\\\n &= \\frac{3}{16} \\int_{0}^{2} (4x^2 - x^4) \\, dx \\\\\n &= \\frac{3}{16} \\left( \\int_{0}^{2} 4x^2 \\, dx - \\int_{0}^{2}\nx^4 \\, dx \\right) \\\\\n &= \\frac{3}{16} \\left( \\left[\\frac{4x^3}{3}\\right]_{0}^{2} -\n\\left[\\frac{x^5}{5}\\right]_{0}^{2} \\right) \\\\\n &= \\frac{3}{16} \\left( \\left( \\frac{4 \\times 8}{3} \\right) -\n\\left( \\frac{32}{5} \\right) - \\left( 0 - 0 \\right) \\right) \\\\\n &= \\frac{3}{16} \\left( \\frac{32}{3} - \\frac{32}{5} \\right) \\\\\n &= \\frac{4}{5}.\n\\end{align*}\\]

\\[\\begin{align*}\n \\text{Calcul de } \\operatorname{Var}(X): \\\\\n \\operatorname{Var}(X) &= \\mathbb{E}[X^2] - (\\mathbb{E}[X])^2 \\\\\n &= \\frac{4}{5} - \\left( \\frac{3}{4} \\right)^2 \\\\\n &= \\frac{4}{5} - \\frac{9}{16} \\\\\n &= \\frac{64}{80} - \\frac{45}{80} \\\\\n &= \\frac{19}{80}.\n\\end{align*}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "P9tc", "titre": "Calcul d'erreur", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:17.263Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:17.263Z" }, "contenu": [ { "id": "9c477ebd-8805-4d26-80b2-1ecf3b5e0c3c", "type": "description", "value": { "latex": "On suppose qu'un ordinateur effectue $10^6$ opérations élémentaires pour un calcul donné. On suppose également que les erreurs d'arrondi à chaque opération sont indépendantes et suivent chacune une loi uniforme sur l'intervalle $\\left[-5 \\cdot 10^{-10};5 \\cdot 10^{-10} \\right]$. Enfin, on suppose que l'erreur finale est la somme des erreurs commises à chaque opération.", "html": "

On suppose qu’un ordinateur effectue \$10^6\$ opérations élémentaires pour un\ncalcul donné. On suppose également que les erreurs d’arrondi à chaque\nopération sont indépendantes et suivent chacune une loi uniforme sur\nl’intervalle \$\\left[-5 \\cdot 10^{-10};5 \\cdot\n10^{-10} \\right]\$. Enfin, on suppose que l’erreur finale est la\nsomme des erreurs commises à chaque opération.

\n" } }, { "id": "be727e1c-1c31-4d7a-99f1-5f1257fb58b0", "type": "question", "value": { "latex": "\\'Evaluer la probabilité que l'erreur finale soit en valeur absolue inférieure à $\\frac{1}{2} 10^{-6}$.", "html": "

Évaluer la probabilité que l’erreur finale soit en valeur absolue\ninférieure à \$\\frac{1}{2}\n10^{-6}\$.

\n" } }, { "id": "322d9d59-7c69-4a47-95c2-ce04b480c46e", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $X_i$ la variable aléatoire représentant l'erreur d'arrondi sur la $i$-ème opération. D'après l'énoncé, les variables $X_i$ sont indépendantes et de même loi $\\mathcal{U}([-5.10^{-10};5.10^{-10}])$, donc en particulier\n\t\\[ \\mathbb{E}(X_i)=0 \\quad \\text{ et } \\quad \\sigma(S)=\\frac{10^{-9}}{\\sqrt{12}}.\\]\n\tSoit $\\displaystyle Y=\\sum_{i=1}^{10^6} X_i$ l'erreur finale commise. On cherche à déterminer la probabilité suivante:\n\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\mathbb{P}(|Y|<\\frac{1}{2}10^{-6})\n\t\t&= \\mathbb{P}\\left(\\left| \\frac{Y-\\mathbb{E}(Y)}{\\sigma(Y)\\sqrt{10^6}}\\right|< \\frac{1}{2}\\frac{10^{-6}}{\\frac{10^{-9}}{\\sqrt{12}} \\sqrt{10^6}} \\right) \\\\\n\t\t&\\simeq \\mathbb{P}(|Z|<\\sqrt{3}) \\quad \\text{ par le théorème central-limite, avec } Z\\sim \\mathcal{N}(0,1) \\\\\n\t\t& \\simeq 2\\mathbb{P}(Z<1.73)-1 \\\\\n\t\t& \\simeq 2\\times 0.9582-1 \\quad \\text{ par lecture de la table de loi } \\mathcal{N}(0,1) \\\\\n\t\t& \\simeq 0.9164\n\t\\end{align*}$$", "html": "

Soit \$X_i\$ la variable aléatoire\nreprésentant l’erreur d’arrondi sur la \$i\$-ème opération. D’après l’énoncé, les\nvariables \$X_i\$ sont indépendantes et\nde même loi \$\\mathcal{U}([-5.10^{-10};5.10^{-10}])\$,\ndonc en particulier \\[\\mathbb{E}(X_i)=0 \\quad\n\\text{ et } \\quad \\sigma(S)=\\frac{10^{-9}}{\\sqrt{12}}.\\] Soit\n\$\\displaystyle Y=\\sum_{i=1}^{10^6}\nX_i\$ l’erreur finale commise. On cherche à déterminer la\nprobabilité suivante: \\[\\begin{align*}\n \\mathbb{P}(|Y|<\\frac{1}{2}10^{-6})\n &= \\mathbb{P}\\left(\\left|\n\\frac{Y-\\mathbb{E}(Y)}{\\sigma(Y)\\sqrt{10^6}}\\right|<\n\\frac{1}{2}\\frac{10^{-6}}{\\frac{10^{-9}}{\\sqrt{12}} \\sqrt{10^6}} \\right)\n\\\\\n &\\simeq \\mathbb{P}(|Z|<\\sqrt{3}) \\quad \\text{ par le\nthéorème central-limite, avec } Z\\sim \\mathcal{N}(0,1) \\\\\n & \\simeq 2\\mathbb{P}(Z<1.73)-1 \\\\\n & \\simeq 2\\times 0.9582-1 \\quad \\text{ par lecture de la\ntable de loi } \\mathcal{N}(0,1) \\\\\n & \\simeq 0.9164\n \\end{align*}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "ouYw", "titre": "Calcul d'intégrale", "theme": [ "séries entières" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:45.824Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:45.824Z" }, "contenu": [ { "id": "4483ce0a-4e64-4102-879c-5834e94dd763", "type": "description", "value": { "latex": "Le but de l'exercice est de calculer l'intégrale :\n\t$$I = \\int_0^1 \\ln(t)\\ln(1-t)\\mathrm{d}t$$\n\tà l'aide d'un développement en série entière. \n\tOn admet que $\\displaystyle \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{n^2} = \\frac{\\pi^2}{6}$.", "html": "

Le but de l’exercice est de calculer l’intégrale : \\[I = \\int_0^1 \\ln(t)\\ln(1-t)\\mathrm{d}t\\] à\nl’aide d’un développement en série entière. On admet que \$\\displaystyle \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{n^2} =\n\\frac{\\pi^2}{6}\$.

\n" } }, { "id": "ceebbd5b-ed5a-44a3-97c6-413bef33e11b", "type": "question", "value": { "latex": "Démontrer que pour tout entier $n \\geq 1$, \n\t\t$$\\int_0^1 \\frac{-t^n \\ln(t)}{n} \\mathrm{d}t = \\frac{1}{n(n+1)^2}$$", "html": "

Démontrer que pour tout entier \$n \\geq\n1\$, \\[\\int_0^1 \\frac{-t^n \\ln(t)}{n}\n\\mathrm{d}t = \\frac{1}{n(n+1)^2}\\]

\n" } }, { "id": "9070114f-717f-4276-8d58-b8ec05bba284", "type": "reponse", "value": { "latex": "On réalise une intégration par parties en posant $u'(t) = \\frac{t^n}{n}$ et $v(t) = \\ln(t)$.\n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\int_0^1 \\frac{t^n \\ln(t)}{n} \\mathrm{d}t &= \\left[\\frac{t^{n+1}}{n(n+1)}\\ln(t)\\right]_0^1 - \\int_0^1 \\frac{t^n}{n(n+1)}\\mathrm{d}t\\\\\n\t\t\t&= 0 - \\left[\\frac{t^{n+1}}{n(n+1)^2}\\right]_0^1 \\\\\n\t\t\t&= - \\frac{1}{n(n+1)^2}\n\t\t\t\\end{align*}$$\n\t\t\td'où le résultat.", "html": "

On réalise une intégration par parties en posant \$u'(t) = \\frac{t^n}{n}\$ et \$v(t) = \\ln(t)\$. \\[\\begin{align*}\n \\int_0^1 \\frac{t^n \\ln(t)}{n} \\mathrm{d}t &=\n\\left[\\frac{t^{n+1}}{n(n+1)}\\ln(t)\\right]_0^1 - \\int_0^1\n\\frac{t^n}{n(n+1)}\\mathrm{d}t\\\\\n &= 0 - \\left[\\frac{t^{n+1}}{n(n+1)^2}\\right]_0^1 \\\\\n &= - \\frac{1}{n(n+1)^2}\n \\end{align*}\\] d’où le résultat.

\n" } }, { "id": "d8c2b3bd-1a14-4e0e-b58b-42620c51e351", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer $a,b,c \\in \\R$ tels que $$\\frac{1}{n(n+1)^2} = \\frac{a}{n} + \\frac{b}{n+1} + \\frac{c}{(n+1)^2}$$", "html": "

Déterminer \$a,b,c \\in \\R\$ tels que\n\\[\\frac{1}{n(n+1)^2} = \\frac{a}{n} +\n\\frac{b}{n+1} + \\frac{c}{(n+1)^2}\\]

\n" } }, { "id": "83724c02-6114-4043-a5d6-55f3674886ad", "type": "reponse", "value": { "latex": "On trouve $$\\frac{1}{n(n+1)^2} = \\frac{1}{n} - \\frac{1}{n+1} - \\frac{1}{(n+1)^2}$$", "html": "

On trouve \\[\\frac{1}{n(n+1)^2} =\n\\frac{1}{n} - \\frac{1}{n+1} - \\frac{1}{(n+1)^2}\\]

\n" } }, { "id": "870bcbb3-402c-4652-bd14-7d4e89e8fa17", "type": "question", "value": { "latex": "\\`A l'aide d'un développement en série entière et des résultats des questions précédentes, déterminer la valeur exacte de $I$.", "html": "

À l’aide d’un développement en série entière et des résultats des\nquestions précédentes, déterminer la valeur exacte de \$I\$.

\n" } }, { "id": "2c01d38a-0221-4b5b-9219-844cf9b88f31", "type": "reponse", "value": { "latex": "On rappelle d'abord que pour tout $t \\in ]-1;1[$ : \n\t\t\t$$\\ln(1-t) = \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{-t^n}{n}$$\n\t\t\tPar théorème d'intégration terme à terme pour une série entière, la variable $t$ variant dans $]0;1[ \\subset ]-1;1[$, on a :\n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\int_0^1 \\ln(t)\\ln(1-t)\\mathrm{d}t &= \\int_0^1 \\ln(t) \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{-t^n}{n} \\mathrm{d}t \\\\\n\t\t\t&= \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\int_0^1 \\ln(t) \\times \\frac{-t^n}{n} \\mathrm{d}t \\\\\n\t\t\t&= \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{n(n+1)^2} \\\\\n\t\t\t&= \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\left(\\frac{1}{n} - \\frac{1}{n+1}\\right) - \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{(n+1)^2} \\\\\n\t\t\t&= 1 - \\sum_{n=2}^{+\\infty} \\frac{1}{n^2} \\\\\n\t\t\t&= 1 + 1 - \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{n^2}\n\t\t\t\\end{align*}$$\n\t\t\tDonc \\fbox{$I = 2 - \\frac{\\pi^2}{6}$}.", "html": "

On rappelle d’abord que pour tout \$t \\in\n]-1;1[\$ : \\[\\ln(1-t) =\n\\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{-t^n}{n}\\] Par théorème d’intégration\nterme à terme pour une série entière, la variable \$t\$ variant dans \$]0;1[ \\subset ]-1;1[\$, on a : \\[\\begin{align*}\n \\int_0^1 \\ln(t)\\ln(1-t)\\mathrm{d}t &= \\int_0^1 \\ln(t)\n\\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{-t^n}{n} \\mathrm{d}t \\\\\n &= \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\int_0^1 \\ln(t) \\times\n\\frac{-t^n}{n} \\mathrm{d}t \\\\\n &= \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{n(n+1)^2} \\\\\n &= \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\left(\\frac{1}{n} -\n\\frac{1}{n+1}\\right) - \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{(n+1)^2} \\\\\n &= 1 - \\sum_{n=2}^{+\\infty} \\frac{1}{n^2} \\\\\n &= 1 + 1 - \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{n^2}\n \\end{align*}\\] Donc .

\n" } } ] }, { "uuid": "6YTv", "titre": "Calcul d'une somme de série entière", "theme": [ "séries" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:57.828Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:57.828Z" }, "contenu": [ { "id": "89c7cf1f-f247-46bc-8ce3-06d64f8d07ad", "type": "question", "value": { "latex": "À l'aide des développements en séries entières des fonctions usuelles, calculer les développements en séries entières en $0$ des fonctions réelles suivantes:\n\\[ f(x)=\\frac{1}{ 2+3x}, \\qquad g(x)=\\ln \\Big(\\frac{1+x}{1-x}\\Big), \\qquad h(x)=\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}},\\]\net déterminer le rayon de convergence de ces développements.", "html": "

À l’aide des développements en séries entières des fonctions\nusuelles, calculer les développements en séries entières en \$0\$ des fonctions réelles suivantes: \\[f(x)=\\frac{1}{ 2+3x}, \\qquad g(x)=\\ln\n\\Big(\\frac{1+x}{1-x}\\Big), \\qquad h(x)=\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}},\\]\net déterminer le rayon de convergence de ces développements.

\n" } }, { "id": "e95958bc-c1dc-4022-bb10-c5cda58d3612", "type": "reponse", "value": { "latex": "On écrit les développements sur l'intervalle $]-R;R[$ où $R$ est le rayon de convergence :\n\t\\begin{itemize}\n\t\t\\item $\\displaystyle\\forall x \\in \\left]\\frac{-2}{3};\\frac{2}{3}\\right[, \\qquad f(x)=\\frac{1}{2}\\frac{1}{1-\\left(-\\frac{3}{2}x\\right)} = \\frac{1}{2}\\sum_{n=0}^{+\\infty} (-1)^n\\left( \\frac{3}{2}x\\right)^n$\n\t\t\\item $\\displaystyle\\forall x \\in ]-1;1[, \\qquad g(x)=\\ln(1+x) - \\ln(1-x) = \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n + \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{x^n}{n} = \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{(-1)^{n+1}+1}{n}x^n = \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{2}{2n-1}x^{2n-1}$ \n\t\t\\item $\\displaystyle\\forall x \\in ]-1;1[, \\qquad h(x)=\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{1}{n!}\\left(\\frac{1}{2}\\times \\frac{3}{2}\\times \\cdots \\times \\left(\\frac{1}{2}+n-1\\right) \\right) x^{2n}$\n\t\\end{itemize}", "html": "

On écrit les développements sur l’intervalle \$]-R;R[\$ où \$R\$ est le rayon de convergence :

\$\\displaystyle\\forall x \\in\n\\left]\\frac{-2}{3};\\frac{2}{3}\\right[, \\qquad\nf(x)=\\frac{1}{2}\\frac{1}{1-\\left(-\\frac{3}{2}x\\right)} =\n\\frac{1}{2}\\sum_{n=0}^{+\\infty} (-1)^n\\left(\n\\frac{3}{2}x\\right)^n\$
\$\\displaystyle\\forall x \\in ]-1;1[,\n\\qquad g(x)=\\ln(1+x) - \\ln(1-x) = \\sum_{n=1}^{+\\infty}\n\\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n + \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{x^n}{n} =\n\\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{(-1)^{n+1}+1}{n}x^n = \\sum_{n=1}^{+\\infty}\n\\frac{2}{2n-1}x^{2n-1}\$
\$\\displaystyle\\forall x \\in ]-1;1[,\n\\qquad h(x)=\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{1}{n!}\\left(\\frac{1}{2}\\times\n\\frac{3}{2}\\times \\cdots \\times \\left(\\frac{1}{2}+n-1\\right) \\right)\nx^{2n}\$

\n" } } ] }, { "uuid": "dC7P", "titre": "Calcul d'une somme de série entière", "theme": [ "séries" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:32.709Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:32.709Z" }, "contenu": [ { "id": "8dcaa053-43dc-4cc1-889d-db72c842857c", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer le domaine de convergence de la série entière $\\displaystyle \\sum_{n\\geq 0} \\frac{(n+2)2^n}{(n+1)!} z^n$ à variable complexe.", "html": "

Déterminer le domaine de convergence de la série entière \$\\displaystyle \\sum_{n\\geq 0}\n\\frac{(n+2)2^n}{(n+1)!} z^n\$ à variable complexe.

\n" } }, { "id": "fc082d78-39fd-4979-84b7-7a283b161073", "type": "reponse", "value": { "latex": "$R=+\\infty$ et $D=\\mathbb{C}$.", "html": "

\$R=+\\infty\$ et \$D=\\mathbb{C}\$.

\n" } }, { "id": "d7e4ecac-9ad3-4244-b2b9-7dd69fe0efde", "type": "question", "value": { "latex": "Rappeler ce que vaut $\\displaystyle \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{z^n}{n!}$. En déduire $\\displaystyle \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{z^n}{(n+1)!}$, puis $\\displaystyle \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{(n+2)2^n}{(n+1)!}z^n$.", "html": "

Rappeler ce que vaut \$\\displaystyle\n\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{z^n}{n!}\$. En déduire \$\\displaystyle \\sum_{n=0}^{+\\infty}\n\\frac{z^n}{(n+1)!}\$, puis \$\\displaystyle \\sum_{n=0}^{+\\infty}\n\\frac{(n+2)2^n}{(n+1)!}z^n\$.

\n" } }, { "id": "a7783acd-773c-4799-97f5-5283eb680d38", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\\forall z \\in \\R, \\quad \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{z^n}{n!}=e^z.$$\n\t\tPour la première somme:\n\t\t$$ \\forall z \\in \\R, \\qquad \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{z^n}{(n+1)!}\n\t\t= \\begin{cases} \\frac{e^z-1}{z} & \\text{ si } z \\neq 0 \\\\\n\t\t0 & \\text{ sinon }\n\t\t\\end{cases}\n\t\t$$\n\t\tPour la deuxième somme:\n\t\t$$ \\forall z \\in \\R, \\qquad \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{(n+2)2^n}{(n+1)!}z^n\n\t\t= \\begin{cases} \\frac{e^{2z}-1}{2z}+e^{2z} & \\text{ si } z \\neq 0 \\\\\n\t\t0 & \\text{ sinon }\n\t\t\\end{cases}\n\t\t$$", "html": "

\\[\\forall z \\in \\R, \\quad\n\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{z^n}{n!}=e^z.\\] Pour la première\nsomme: \\[\\forall z \\in \\R, \\qquad\n\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{z^n}{(n+1)!}\n = \\begin{cases} \\frac{e^z-1}{z} & \\text{ si } z \\neq 0 \\\\\n 0 & \\text{ sinon }\n \\end{cases}\\] Pour la deuxième somme: \\[\\forall z \\in \\R, \\qquad \\sum_{n=0}^{+\\infty}\n\\frac{(n+2)2^n}{(n+1)!}z^n\n = \\begin{cases} \\frac{e^{2z}-1}{2z}+e^{2z} & \\text{ si } z\n\\neq 0 \\\\\n 0 & \\text{ sinon }\n \\end{cases}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "kbR8", "titre": "Calcul d'une somme de série entière", "theme": [ "séries" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:41.818Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:41.818Z" }, "contenu": [ { "id": "df3c43f7-13bd-43bb-8b3b-48009b501b99", "type": "description", "value": { "latex": "On considère la série entière $\\displaystyle S(x)= \\sum \\frac{(3x)^n}{n^2+3n+2}$.", "html": "

On considère la série entière \$\\displaystyle S(x)= \\sum\n\\frac{(3x)^n}{n^2+3n+2}\$.

\n" } }, { "id": "c79aee3b-f7f5-43d6-856c-056ad81248c7", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer son rayon de convergence $R$. Si $|x|=R$, cette série converge-t-elle ?", "html": "

Calculer son rayon de convergence \$R\$. Si \$|x|=R\$, cette série converge-t-elle ?

\n" } }, { "id": "ae8a7ee0-2a26-4fc3-abb3-40efa06fcefa", "type": "reponse", "value": { "latex": "$R=\\frac{1}{3}$ \\\\\n\t\tPour $|x|=\\frac{1}{3}$, la série converge absolument car $\\frac{1}{n^2+3n+2} \\underset{n\\to +\\infty}\\sim \\frac{1}{n^2}$.", "html": "

\$R=\\frac{1}{3}\$
\nPour \$|x|=\\frac{1}{3}\$, la série\nconverge absolument car \$\\frac{1}{n^2+3n+2}\n\\underset{n\\to +\\infty}\\sim \\frac{1}{n^2}\$.

\n" } }, { "id": "48fad023-fa3e-41a7-8694-45792e66d3ac", "type": "question", "value": { "latex": "Décomposer la fraction rationnelle $\\displaystyle \\frac{1}{n^2+3n+2}$ en éléments simples, c'est-à-dire trouver les réels $\\alpha$ et $\\beta$ tels que $\\frac{1}{n^2+3n+2}=\\frac{\\alpha}{n+1}+\\frac{\\beta}{n+2}$.", "html": "

Décomposer la fraction rationnelle \$\\displaystyle \\frac{1}{n^2+3n+2}\$ en\néléments simples, c’est-à-dire trouver les réels \$\\alpha\$ et \$\\beta\$ tels que \$\\frac{1}{n^2+3n+2}=\\frac{\\alpha}{n+1}+\\frac{\\beta}{n+2}\$.

\n" } }, { "id": "a618bb64-66b8-402a-8e71-7df1f81ca265", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\alpha=1$ et $\\beta=-1$", "html": "

\$\\alpha=1\$ et \$\\beta=-1\$

\n" } }, { "id": "e02977ff-db98-4130-af2e-df4a24f8e0cd", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer la somme de la série pour $|x|Calculer la somme de la série pour \$|x|<R\$.

\n" } }, { "id": "8822fd3b-5c86-4765-8047-2d74ed996d73", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $|x|Soit \$|x|<R\$. On a \\[S(x)=\\frac{1}{3x}\\ln(1-3x)\\left(\\frac{1}{3x}-1\\right)\n+\\frac{1}{3x}.\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "tPHB", "titre": "Calcul d'une somme de série entière", "theme": [ "séries" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:51.348Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:51.348Z" }, "contenu": [ { "id": "b5b60d32-12c2-4ad4-935a-8dfb8651ce13", "type": "description", "value": { "latex": "Soit la série entière $\\displaystyle \\sum_{n\\geq 2} \\frac{(-1)^n}{n(n-1)}x^n$.", "html": "

Soit la série entière \$\\displaystyle\n\\sum_{n\\geq 2} \\frac{(-1)^n}{n(n-1)}x^n\$.

\n" } }, { "id": "a61883ae-6aec-48b5-bc41-7ae56bdb57df", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série. Préciser son intervalle de convergence et le comportement de la série aux extrémités de cet intervalle.", "html": "

Déterminer le rayon de convergence \$R\$ de cette série. Préciser son intervalle\nde convergence et le comportement de la série aux extrémités de cet\nintervalle.

\n" } }, { "id": "10cce378-70a0-498c-9f2d-9c12ebd75168", "type": "reponse", "value": { "latex": "$R=1$ et $D=[-1;1]$", "html": "

\$R=1\$ et \$D=[-1;1]\$

\n" } }, { "id": "bdd44fcd-367d-4db1-8975-4afa837d3e7e", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer le rayon de convergence de la série $\\displaystyle \\sum_{n\\geq 2} \\frac{(-1)^n}{(n-1)}x^{n-1}$ \n\tet de la série $\\displaystyle \\sum_{n\\geq 2}(-1)^n x^{n-2}$ ? \\\\\n\tÉtudier le comportement de chacune de ces séries au bord de son intervalle de convergence.", "html": "

Déterminer le rayon de convergence de la série \$\\displaystyle \\sum_{n\\geq 2}\n\\frac{(-1)^n}{(n-1)}x^{n-1}\$ et de la série \$\\displaystyle \\sum_{n\\geq 2}(-1)^n\nx^{n-2}\$ ?
\nÉtudier le comportement de chacune de ces séries au bord de son\nintervalle de convergence.

\n" } }, { "id": "6ee8831a-e789-46c6-bac8-2c137a0f9a2f", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour la première, $R=1$ et $D=]-1;1]$. \\\\\n\t\tPour la deuxième, $R=1$ et $D=]-1;1[$.", "html": "

Pour la première, \$R=1\$ et \$D=]-1;1]\$.
\nPour la deuxième, \$R=1\$ et \$D=]-1;1[\$.

\n" } }, { "id": "cb614f1f-f605-4db0-9cc9-e53c047d033b", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer la somme de la série $\\displaystyle \\sum_{n\\geq 2}(-1)^n x^{n-2}$.", "html": "

Calculer la somme de la série \$\\displaystyle \\sum_{n\\geq 2}(-1)^n\nx^{n-2}\$.

\n" } }, { "id": "2d2846a1-189a-4d38-b415-545e6aa0191a", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\[ \\forall x \\in ]-1;1[, \\qquad \\sum_{n=2}^{+\\infty}(-1)^n x^{n-2}\n\t\t=\\frac{1}{1+x}.\n\t\t\\]", "html": "

\\[\\forall x \\in ]-1;1[, \\qquad\n\\sum_{n=2}^{+\\infty}(-1)^n x^{n-2}\n =\\frac{1}{1+x}.\\]

\n" } }, { "id": "411034e0-da49-4270-b51d-04dd7f302ffc", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire la somme de la série $\\displaystyle \\sum_{n\\geq 2} \\frac{(-1)^n}{(n-1)}x^{n-1}$.", "html": "

En déduire la somme de la série \$\\displaystyle \\sum_{n\\geq 2}\n\\frac{(-1)^n}{(n-1)}x^{n-1}\$.

\n" } }, { "id": "98e61a85-06a4-4ab6-9ae0-6f236d8ca1cd", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\[ \\forall x \\in ]-1;1[, \\qquad \\sum_{n=2}^{+\\infty} \\frac{(-1)^n}{(n-1)}x^{n-1}\n\t\t=\\ln(1+x).\n\t\t\\]", "html": "

\\[\\forall x \\in ]-1;1[, \\qquad\n\\sum_{n=2}^{+\\infty} \\frac{(-1)^n}{(n-1)}x^{n-1}\n =\\ln(1+x).\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "urin", "titre": "Calcul d'une somme de série entière", "theme": [ "séries" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:53.910Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:53.910Z" }, "contenu": [ { "id": "71201aa2-1404-4128-b8c7-a73d2ef91a43", "type": "question", "value": { "latex": "En utilisant le résultat de la somme de la série entière $\\sum_{k=0}^{+\\infty} x^k = \\frac{1}{1-x}$, déterminer la somme de la série entière à valeurs réelles $\\displaystyle S_1(x)=\\sum_{k=0}^{+\\infty} k x^k$. On précisera son domaine de convergence.", "html": "

En utilisant le résultat de la somme de la série entière \$\\sum_{k=0}^{+\\infty} x^k = \\frac{1}{1-x}\$,\ndéterminer la somme de la série entière à valeurs réelles \$\\displaystyle S_1(x)=\\sum_{k=0}^{+\\infty} k\nx^k\$. On précisera son domaine de convergence.

\n" } }, { "id": "48d33d72-65c4-441e-af8a-1fe5123ea262", "type": "reponse", "value": { "latex": "On dérive $\\frac{1}{1-x}$ : $\\displaystyle \\frac{1}{(1-x)^2}=\\sum_{k=0}^{+\\infty} k x^{k-1}$. En multipliant par $x$, on obtient :\n\t\t\\[\\forall x \\in ]-1;1[, \\quad S_1(x)=\\frac{x}{(1-x)^2}.\\]", "html": "

On dérive \$\\frac{1}{1-x}\$ : \$\\displaystyle\n\\frac{1}{(1-x)^2}=\\sum_{k=0}^{+\\infty} k x^{k-1}\$. En\nmultipliant par \$x\$, on obtient :\n\\[\\forall x \\in ]-1;1[, \\quad\nS_1(x)=\\frac{x}{(1-x)^2}.\\]

\n" } }, { "id": "b2884ceb-01cf-4d74-8435-70dec9efd911", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la somme de la série entière à valeurs réelles $\\displaystyle S_2(x)= \\sum_{k=0}^{+\\infty} (k+1)^2x^k$. On précisera son domaine de convergence.", "html": "

Déterminer la somme de la série entière à valeurs réelles \$\\displaystyle S_2(x)= \\sum_{k=0}^{+\\infty}\n(k+1)^2x^k\$. On précisera son domaine de convergence.

\n" } }, { "id": "5edf3db0-ea23-4c52-9942-083ae80720e4", "type": "reponse", "value": { "latex": "On dérive deux fois $\\frac{1}{1-x}$ : $\\displaystyle \\frac{2}{(1-x)^3}=\\sum_{k=0}^{+\\infty} k(k-1)x^{k-2} = \\sum_{k=2}^{+\\infty} k(k-1)x^{k-2}$ car les deux premiers termes sont nuls. Par changement d'indice, on obtient : \n\t\t\\[\\forall x \\in ]-1;1[, \\quad \\frac{2}{(1-x)^3} = \\sum_{k=0}^{+\\infty} (k+1)k x^{k-1}.\\] d'où : \n\t\t\\[\\forall x \\in ]-1;1[, \\quad \\frac{2x}{(1-x)^3} = \\sum_{k=0}^{+\\infty} (k+1)k x^k.\\] \n\t\tOr $(k+1)^2 = k(k+1) + (k+1)$ donc :\n\t\t\\[\\forall x \\in ]-1;1[,\\quad S_2(x) = \\sum_{k=0}^{+\\infty} k(k+1)x^k + \\sum_{k=0}^{+\\infty} (k+1)x^k = \\frac{2x}{(1-x)^3} + \\frac{1}{(1-x)^2} = \\frac{x+1}{(1-x)^3}.\\]", "html": "

On dérive deux fois \$\\frac{1}{1-x}\$ : \$\\displaystyle\n\\frac{2}{(1-x)^3}=\\sum_{k=0}^{+\\infty} k(k-1)x^{k-2} =\n\\sum_{k=2}^{+\\infty} k(k-1)x^{k-2}\$ car les deux premiers termes\nsont nuls. Par changement d’indice, on obtient : \\[\\forall x \\in ]-1;1[, \\quad \\frac{2}{(1-x)^3} =\n\\sum_{k=0}^{+\\infty} (k+1)k x^{k-1}.\\] d’où : \\[\\forall x \\in ]-1;1[, \\quad \\frac{2x}{(1-x)^3} =\n\\sum_{k=0}^{+\\infty} (k+1)k x^k.\\] Or \$(k+1)^2 = k(k+1) + (k+1)\$ donc : \\[\\forall x \\in ]-1;1[,\\quad S_2(x) =\n\\sum_{k=0}^{+\\infty} k(k+1)x^k + \\sum_{k=0}^{+\\infty} (k+1)x^k =\n\\frac{2x}{(1-x)^3} + \\frac{1}{(1-x)^2} =\n\\frac{x+1}{(1-x)^3}.\\]

\n" } }, { "id": "50517acc-fb90-4f92-b3f7-33d2ebf9f5e5", "type": "question", "value": { "latex": "Après avoir décomposé la fraction rationnelle $\\displaystyle \\frac{1}{n(n+2)}$ en éléments simples, déterminer la somme de la série entière à valeurs réelles $\\displaystyle S_3(x)=\\sum_{n= 1}^{+\\infty} \\frac{x^n}{n(n+2)}$. On précisera son rayon de convergence.", "html": "

Après avoir décomposé la fraction rationnelle \$\\displaystyle \\frac{1}{n(n+2)}\$ en\néléments simples, déterminer la somme de la série entière à valeurs\nréelles \$\\displaystyle S_3(x)=\\sum_{n=\n1}^{+\\infty} \\frac{x^n}{n(n+2)}\$. On précisera son rayon de\nconvergence.

\n" } }, { "id": "e851834b-4758-478a-970f-81da3f29b128", "type": "reponse", "value": { "latex": "Ici, $R=1$ :\n\t\t\\[\\forall x \\in ]-1;1[, \\quad S_3(x)=\\frac{1}{2}\\left( -\\ln(1-x)+\\frac{1}{x^2}\\left[\\ln(1-x)+x+\\frac{x^2}{2}\\right]\\right).\\]", "html": "

Ici, \$R=1\$ : \\[\\forall x \\in ]-1;1[, \\quad\nS_3(x)=\\frac{1}{2}\\left(\n-\\ln(1-x)+\\frac{1}{x^2}\\left[\\ln(1-x)+x+\\frac{x^2}{2}\\right]\\right).\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "1lAn", "titre": "Calcul de dérivées partielles", "theme": [ "calcul différentiel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:52.368Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:52.368Z" }, "contenu": [ { "id": "388a10fd-28af-468b-b589-970f3381710e", "type": "description", "value": { "latex": "Une étude des glaciers a montré que la température T à l'instant t (mesuré en jours) à la profondeur $x$ (mesurée en pied) peut être modélisée par la fonction \n$$T(x,t) = T_0 + T_1e^{-\\lambda x}\\sin(\\omega t-\\lambda x)$$\noù $T_0$, $T_1$, $\\omega = \\frac{2\\pi}{365}$ et $\\lambda$ sont des constantes réelles.", "html": "

Une étude des glaciers a montré que la température T à l’instant t\n(mesuré en jours) à la profondeur \$x\$\n(mesurée en pied) peut être modélisée par la fonction \\[T(x,t) = T_0 + T_1e^{-\\lambda x}\\sin(\\omega\nt-\\lambda x)\\] où \$T_0\$, \$T_1\$, \$\\omega =\n\\frac{2\\pi}{365}\$ et \$\\lambda\$ sont des constantes réelles.

\n" } }, { "id": "8661e291-1268-4f43-9dfe-79e02b1ef124", "type": "question", "value": { "latex": "Exprimer les deux dérivées partielles de $T$.", "html": "

Exprimer les deux dérivées partielles de \$T\$.

\n" } }, { "id": "48ec105e-a009-40b4-ba24-0a5b19e11cbc", "type": "reponse", "value": { "latex": "Les dérivées partielles sont définies pour tout $(x,t) \\in \\R^2$ :\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\frac{\\partial T}{\\partial x}(x,t) &= -\\lambda T_1 e^{-\\lambda x}\\left( \\sin(\\omega t-\\lambda x)+ \\cos(\\omega t-\\lambda x) \\right)\\\\\n\t\t\\frac{\\partial T}{\\partial t}(x,t) &= \\omega T_1 e^{-\\lambda x} \\cos(\\omega t-\\lambda x)\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

Les dérivées partielles sont définies pour tout \$(x,t) \\in \\R^2\$ : \\[\\begin{align*}\n \\frac{\\partial T}{\\partial x}(x,t) &= -\\lambda T_1\ne^{-\\lambda x}\\left( \\sin(\\omega t-\\lambda x)+ \\cos(\\omega t-\\lambda\nx) \\right)\\\\\n \\frac{\\partial T}{\\partial t}(x,t) &= \\omega T_1 e^{-\\lambda\nx} \\cos(\\omega t-\\lambda x)\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "9c50ece9-33ac-4eb4-8803-339db5263e8a", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que $T$ vérifie l'équation de la chaleur :\n\t$$\\frac{\\partial T}{\\partial t}(x,t) = k\\frac{\\partial^2 T}{\\partial x^2}(x,t)$$\n\tpour une certaine constante $k$ à déterminer.", "html": "

Montrer que \$T\$ vérifie l’équation\nde la chaleur : \\[\\frac{\\partial T}{\\partial\nt}(x,t) = k\\frac{\\partial^2 T}{\\partial x^2}(x,t)\\] pour une\ncertaine constante \$k\$ à\ndéterminer.

\n" } }, { "id": "0deee976-7a47-4cfc-99f9-7ae540c54ba0", "type": "reponse", "value": { "latex": "Il suffit de dériver une seconde fois par rapport à $x$ l'expression de $\\frac{\\partial T}{\\partial x}(x,t)$ : on trouve\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\frac{\\partial^2 T}{\\partial x^2}(x,t) &= \\frac{\\partial}{\\partial x}\\frac{\\partial T}{\\partial x}(x,t) \\\\\n\t\t&= (-\\lambda)^2 T_1 e^{-\\lambda x} \\left( \\sin(\\omega t-\\lambda x)+ \\cos(\\omega t-\\lambda x) \\right) + (-\\lambda)^2 T_1 e^{-\\lambda x} \\left(\\cos(\\omega t-\\lambda x)- \\sin(\\omega t-\\lambda x)\\right) \\\\\n\t\t&= 2\\lambda^2 T_1 e^{-\\lambda x} \\cos(\\omega t - \\lambda x)\t\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tLa constante attendue est donc $k = \\frac{\\omega}{2\\lambda^2}$.", "html": "

Il suffit de dériver une seconde fois par rapport à \$x\$ l’expression de \$\\frac{\\partial T}{\\partial x}(x,t)\$ : on\ntrouve \\[\\begin{align*}\n \\frac{\\partial^2 T}{\\partial x^2}(x,t) &=\n\\frac{\\partial}{\\partial x}\\frac{\\partial T}{\\partial x}(x,t) \\\\\n &= (-\\lambda)^2 T_1 e^{-\\lambda x} \\left( \\sin(\\omega\nt-\\lambda x)+ \\cos(\\omega t-\\lambda x) \\right) + (-\\lambda)^2 T_1\ne^{-\\lambda x} \\left(\\cos(\\omega t-\\lambda x)- \\sin(\\omega t-\\lambda\nx)\\right) \\\\\n &= 2\\lambda^2 T_1 e^{-\\lambda x} \\cos(\\omega t - \\lambda x)\n \\end{align*}\\] La constante attendue est donc \$k = \\frac{\\omega}{2\\lambda^2}\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "BAmc", "titre": "Calcul de dérivées partielles", "theme": [ "calcul différentiel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:02.913Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:02.913Z" }, "contenu": [ { "id": "b34d3439-a56b-4dc9-81e3-a83f464c048c", "type": "description", "value": { "latex": "On pose $f: \\R^2 \\to \\R,\\ (x,y) \\mapsto \\dfrac{x^2+xy}{y^2}$.", "html": "

On pose \$f: \\R^2 \\to \\R,\\ (x,y) \\mapsto\n\\dfrac{x^2+xy}{y^2}\$.

\n" } }, { "id": "a56c8e8c-ab25-46a5-a082-e4f95fad9031", "type": "question", "value": { "latex": "\\label{Q1} Préciser l'ensemble de dérivabilité de $f$ et calculer $\\dpa{f}{x}(x,y)$ et $\\dpa{f}{y}(x,y)$.", "html": "

Préciser l’ensemble de dérivabilité\nde \$f\$ et calculer \$\\dpa{f}{x}(x,y)\$ et \$\\dpa{f}{y}(x,y)\$.

\n" } }, { "id": "5e26d93f-6c72-4ac0-a164-6294d3ee392c", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $f$ admet des dérivées partielles en tout point $(x,y)\\in \\R^2$ tel que $y \\neq 0$ :\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\dpa{f}{x}(x,y) &= \\frac{2x+y}{y^2} \\\\\n\t\t\\dpa{f}{y}(x,y) &= -\\frac{2x^2}{y^3}-\\frac{x}{y^2} \\\\\n\t\t&= \\frac{-2x^2-xy}{y^3}\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

La fonction \$f\$ admet des dérivées\npartielles en tout point \$(x,y)\\in\n\\R^2\$ tel que \$y \\neq 0\$ :\n\\[\\begin{align*}\n \\dpa{f}{x}(x,y) &= \\frac{2x+y}{y^2} \\\\\n \\dpa{f}{y}(x,y) &= -\\frac{2x^2}{y^3}-\\frac{x}{y^2} \\\\\n &= \\frac{-2x^2-xy}{y^3}\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "aa849e51-19a1-4d9c-8648-3ffd767dce5e", "type": "question", "value": { "latex": "On note $F: \\R \\to \\R,\\ t \\mapsto t^2+t$. En remarquant que $f(x,y) = F\\left(\\dfrac{x}{y}\\right)$, et en utilisant les règles de dérivation composée, retrouver les expressions obtenues à la question~\\ref{Q1}.", "html": "

On note \$F: \\R \\to \\R,\\ t \\mapsto\nt^2+t\$. En remarquant que \$f(x,y) =\nF\\left(\\dfrac{x}{y}\\right)\$, et en utilisant les règles de\ndérivation composée, retrouver les expressions obtenues à la question [Q1].

\n" } }, { "id": "6dae7a91-fd85-4b4d-9b7d-89d32b7db11c", "type": "reponse", "value": { "latex": "Dans un premier temps, on remarque que $F$ est dérivable en tout point $t \\in \\R$ et $F'(t) = 2t+1$. \n\t\t\n\t\tD'autre part, par application de la règle des chaînes, on peut calculer \n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\dpa{f}{x}(x,y) &= \\dpa{}{x}\\left( F\\left(\\dfrac{x}{y}\\right)\\right) \\\\\n\t\t&= \\left( F'\\left(\\dfrac{x}{y}\\right)\\right) \\times \\dpa{}{x}\\left( \\frac{x}{y} \\right) \\\\\n\t\t&= \\left(2\\left(\\dfrac{x}{y}\\right)+1\\right) \\times \\frac{1}{y} \\\\\n\t\t&= \\frac{2x+y}{y^2}\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tDe même, \n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\dpa{f}{y}(x,y) &= \\dpa{}{y}\\left( F\\left(\\dfrac{x}{y}\\right)\\right) \\\\\n\t\t&= \\left( F'\\left(\\dfrac{x}{y}\\right)\\right) \\times \\dpa{}{y}\\left( \\frac{x}{y} \\right) \\\\\n\t\t&= \\left(2\\left(\\dfrac{x}{y}\\right)+1\\right) \\times \\frac{-x}{y^2} \\\\\n\t\t&= \\frac{-2x^2-xy}{y^3}\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

Dans un premier temps, on remarque que \$F\$ est dérivable en tout point \$t \\in \\R\$ et \$F'(t) = 2t+1\$.

D’autre part, par application de la règle des chaînes, on peut\ncalculer \\[\\begin{align*}\n \\dpa{f}{x}(x,y) &= \\dpa{}{x}\\left(\nF\\left(\\dfrac{x}{y}\\right)\\right) \\\\\n &= \\left( F'\\left(\\dfrac{x}{y}\\right)\\right) \\times\n\\dpa{}{x}\\left( \\frac{x}{y} \\right) \\\\\n &= \\left(2\\left(\\dfrac{x}{y}\\right)+1\\right) \\times\n\\frac{1}{y} \\\\\n &= \\frac{2x+y}{y^2}\n \\end{align*}\\] De même, \\[\\begin{align*}\n \\dpa{f}{y}(x,y) &= \\dpa{}{y}\\left(\nF\\left(\\dfrac{x}{y}\\right)\\right) \\\\\n &= \\left( F'\\left(\\dfrac{x}{y}\\right)\\right) \\times\n\\dpa{}{y}\\left( \\frac{x}{y} \\right) \\\\\n &= \\left(2\\left(\\dfrac{x}{y}\\right)+1\\right) \\times\n\\frac{-x}{y^2} \\\\\n &= \\frac{-2x^2-xy}{y^3}\n \\end{align*}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "WmCw", "titre": "Calcul de dérivées partielles", "theme": [ "calcul différentiel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:23.757Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:23.757Z" }, "contenu": [ { "id": "d05a4f24-3b61-4a5c-9d73-2d43b8eed470", "type": "question", "value": { "latex": "$f(x,y) = x^2 -6xy -6y^2 + 2x +24y$", "html": "

\$f(x,y) = x^2 -6xy -6y^2 + 2x\n+24y\$

\n" } }, { "id": "cefac382-e67c-4ec9-b09e-d3fe107f1b34", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $f$ est polynomiale en $x$ et $y$, elle définie sur $\\R^2$. Les dérivées partielles existent également pour tout $(x,y) \\in \\R^2$ :\n\t$$\\begin{align*}\n\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) &= 2x-6y+2 \\\\\n\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) &= -6x-12y+24 \\\\\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x,y) &= 2 \\\\\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}(x,y) &= -12 \\\\\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y) &= \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x}(x,y)= -6 \n\\end{align*}$$", "html": "

La fonction \$f\$ est polynomiale en\n\$x\$ et \$y\$, elle définie sur \$\\R^2\$. Les dérivées partielles existent\négalement pour tout \$(x,y) \\in \\R^2\$\n: \\[\\begin{align*}\n\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) &= 2x-6y+2 \\\\\n\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) &= -6x-12y+24 \\\\\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x,y) &= 2 \\\\\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}(x,y) &= -12 \\\\\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y) &= \\frac{\\partial^2\nf}{\\partial y \\partial x}(x,y)= -6\n\\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "92feb8b2-4218-4787-9371-64af74bcf0a9", "type": "question", "value": { "latex": "$f(x, y) = x^2 + 2y^2 - \\frac{x^3}{y}$", "html": "

\$f(x, y) = x^2 + 2y^2 -\n\\frac{x^3}{y}\$

\n" } }, { "id": "f98fb8a2-f0d3-4b5a-9e3a-75e0e0ac9e42", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $f$ est définie sur $\\{ (x,y) \\in \\R^2 \\mid y\\neq 0 \\}$. Les dérivées partielles existent également pour tout $(x,y) \\in \\R^2$ telles que $y \\neq 0$ :\n\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) &= 2x-\\frac{3x^2}{y} \\\\\n\t\t\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) &= 4y+\\frac{x^3}{y^2} \\\\\n\t\t\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x,y) &= 2-\\frac{6x}{y} \\\\\n\t\t\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}(x,y) &= 4-2\\frac{x^3}{y^3} \\\\\n\t\t\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y) &= \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x}(x,y)= \\frac{3x^2}{y^2}\n\\end{align*}$$", "html": "

La fonction \$f\$ est définie sur\n\$\\{ (x,y) \\in \\R^2 \\mid y\\neq 0 \\}\$.\nLes dérivées partielles existent également pour tout \$(x,y) \\in \\R^2\$ telles que \$y \\neq 0\$ : \\[\\begin{align*}\n \\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) &= 2x-\\frac{3x^2}{y} \\\\\n \\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) &= 4y+\\frac{x^3}{y^2} \\\\\n \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x,y) &= 2-\\frac{6x}{y} \\\\\n \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}(x,y) &= 4-2\\frac{x^3}{y^3}\n\\\\\n \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y) &=\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x}(x,y)= \\frac{3x^2}{y^2}\n\\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "8767b672-9f8b-4d29-bc4d-52371928560b", "type": "question", "value": { "latex": "$f(x, y) = \\exp (2x^2+xy+7x+y^2)$", "html": "

\$f(x, y) = \\exp\n(2x^2+xy+7x+y^2)\$

\n" } }, { "id": "a50f4414-b32d-4e4e-a685-628d13560d97", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $f$ est une composée d'une exponentielle avec une fonction polynomiale en $x$ et $y$, elle définie sur $\\R^2$. Les dérivées partielles existent également pour tout $(x,y) \\in \\R^2$ :\n\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) &= (4x+y+7)\\exp (2x^2+xy+7x+y^2) \\\\\n\t\t\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) &= (x+2y)\\exp (2x^2+xy+7x+y^2) \\\\\n\t\t\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x,y) &= (4+(4x+y+7)^2)\\exp (2x^2+xy+7x+y^2) \\\\\n\t\t\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}(x,y) &= (2+(x+2y)^2)\\exp (2x^2+xy+7x+y^2) \\\\\n\t\t\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y) &= \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x}(x,y)= (1+(x+2y)(4x+y+7))\\exp (2x^2+xy+7x+y^2)\n\\end{align*}$$", "html": "

La fonction \$f\$ est une composée\nd’une exponentielle avec une fonction polynomiale en \$x\$ et \$y\$, elle définie sur \$\\R^2\$. Les dérivées partielles existent\négalement pour tout \$(x,y) \\in \\R^2\$\n: \\[\\begin{align*}\n \\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) &= (4x+y+7)\\exp\n(2x^2+xy+7x+y^2) \\\\\n \\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) &= (x+2y)\\exp\n(2x^2+xy+7x+y^2) \\\\\n \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x,y) &= (4+(4x+y+7)^2)\\exp\n(2x^2+xy+7x+y^2) \\\\\n \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}(x,y) &= (2+(x+2y)^2)\\exp\n(2x^2+xy+7x+y^2) \\\\\n \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y) &=\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x}(x,y)= (1+(x+2y)(4x+y+7))\\exp\n(2x^2+xy+7x+y^2)\n\\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "d5fea02f-7457-40ae-9d8f-8e47347768a4", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $f$ est une composée d'un cosinus avec une fonction polynomiale en $x$ et $y$, elle définie sur $\\R^2$. Les dérivées partielles existent également pour tout $(x,y) \\in \\R^2$ et on observe que les rôles sont symétriques en $x$ et $y$ :\n\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) &= y\\cos(xy) \\\\\n\t\t\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) &= x\\cos(xy) \\\\\n\t\t\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x,y) &= -y^2\\sin(xy) \\\\\n\t\t\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}(x,y) &= -x^2\\sin(xy) \\\\\n\t\t\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y) &= \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x}(x,y)= \\cos(xy)-xy\\sin(xy) \n\\end{align*}$$", "html": "

La fonction \$f\$ est une composée\nd’un cosinus avec une fonction polynomiale en \$x\$ et \$y\$, elle définie sur \$\\R^2\$. Les dérivées partielles existent\négalement pour tout \$(x,y) \\in \\R^2\$\net on observe que les rôles sont symétriques en \$x\$ et \$y\$ : \\[\\begin{align*}\n \\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) &= y\\cos(xy) \\\\\n \\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) &= x\\cos(xy) \\\\\n \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x,y) &= -y^2\\sin(xy) \\\\\n \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}(x,y) &= -x^2\\sin(xy) \\\\\n \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y) &=\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x}(x,y)= \\cos(xy)-xy\\sin(xy)\n\\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "84cf87d2-ae0a-4549-a3d3-4348dac45629", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $f$ est une composée d'un $\\ln$ avec une fonction polynomiale en $x$ et $y$, elle est définie sur le demi plan $\\{ (x,y) \\in \\R^2 \\mid x+y>0 \\}$. Les dérivées partielles existent également pour tout $(x,y) \\in \\R^2$ telles que $x+y > 0$ et on observe que les rôles sont symétriques en $x$ et $y$ :\n\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) &= \\frac{1}{x+y} \\\\\n\t\t\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) &= \\frac{1}{x+y} \\\\\n\t\t\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x,y) &= -\\frac{1}{(x+y)^2} \\\\\n\t\t\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}(x,y) &= -\\frac{1}{(x+y)^2} \\\\\n\t\t\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y) &= \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x}(x,y)= -\\frac{1}{(x+y)^2 }\n\\end{align*}$$", "html": "

La fonction \$f\$ est une composée\nd’un \$\\ln\$ avec une fonction\npolynomiale en \$x\$ et \$y\$, elle est définie sur le demi plan\n\$\\{ (x,y) \\in \\R^2 \\mid x+y>0 \\}\$.\nLes dérivées partielles existent également pour tout \$(x,y) \\in \\R^2\$ telles que \$x+y > 0\$ et on observe que les rôles\nsont symétriques en \$x\$ et \$y\$ : \\[\\begin{align*}\n \\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) &= \\frac{1}{x+y} \\\\\n \\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) &= \\frac{1}{x+y} \\\\\n \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x,y) &= -\\frac{1}{(x+y)^2}\n\\\\\n \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}(x,y) &= -\\frac{1}{(x+y)^2}\n\\\\\n \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y) &=\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x}(x,y)= -\\frac{1}{(x+y)^2 }\n\\end{align*}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "nSDY", "titre": "Calcul de dérivées partielles", "theme": [ "calcul différentiel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:44.352Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:44.352Z" }, "contenu": [ { "id": "1638dc71-7a04-41a8-b3bf-3ab573e3c7e2", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $g\\colon \\mathbb{R}^2 \\rightarrow \\mathbb{R}$ définie par \n\t\t\n\t\t$$g(x,y) = \\begin{cases}\n\t\t\t\\frac{x^3+3xy^2}{x^2+y^2} &\\text{ si } (x,y)\\neq(0,0) \\\\\n\t\t\t0 &\\text{ sinon}\n\t\t\t\\end{cases}\n\t\t$$\n\t\tÉtudier l'existence de la dérivée partielle de $g$ selon $x$ en $(0,0)$.", "html": "

Soit \$g\\colon \\mathbb{R}^2 \\rightarrow\n\\mathbb{R}\$ définie par

\\[g(x,y) = \\begin{cases}\n \\frac{x^3+3xy^2}{x^2+y^2} &\\text{ si } (x,y)\\neq(0,0) \\\\\n 0 &\\text{ sinon}\n \\end{cases}\\] Étudier l’existence de la dérivée\npartielle de \$g\$ selon \$x\$ en \$(0,0)\$.

\n" } }, { "id": "742c0865-e1ff-4354-aad5-f660a3381e39", "type": "reponse", "value": { "latex": "Il faut revenir au taux d'accroissement : \n$$\\frac{g(0+h,0) - g(0,0)}{h} = \\frac{h^3}{h\\times h^2} = 1 \\xrightarrow[h \\to 0]{} 1$$\ndonc la dérivée partielle existe : $\\frac{\\partial g}{\\partial x}(0,0) = 1$.", "html": "

Il faut revenir au taux d’accroissement : \\[\\frac{g(0+h,0) - g(0,0)}{h} = \\frac{h^3}{h\\times\nh^2} = 1 \\xrightarrow[h \\to 0]{} 1\\] donc la dérivée partielle\nexiste : \$\\frac{\\partial g}{\\partial x}(0,0)\n= 1\$.

\n" } }, { "id": "a77e13ad-03c7-47e6-ad1c-d4bdc8dd23d5", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $h \\colon \\R^2 \\to \\R$ la fonction définie pour tout $(x,y) \\in \\mathcal{D}$ par : $$h(x, y) = \\ln(1 + x + xy + e^{y})$$ où $ \\mathcal{D}=\\{(x,y)\\in\\mathbb{R}^2 \\,|\\, 1+x+xy+e^y>0\\}$. \n\t\n\t Calculer $\\dpa{h}{x}$, $\\dpa{h}{y}$, $\\dpsp{h}{y}$ et $\\dpsm{h}{x}{y}$.", "html": "

Soit \$h \\colon \\R^2 \\to \\R\$ la\nfonction définie pour tout \$(x,y) \\in\n\\mathcal{D}\$ par : \\[h(x, y) = \\ln(1\n+ x + xy + e^{y})\\] où \$\\mathcal{D}=\\{(x,y)\\in\\mathbb{R}^2 \\,|\\,\n1+x+xy+e^y>0\\}\$.

Calculer \$\\dpa{h}{x}\$, \$\\dpa{h}{y}\$, \$\\dpsp{h}{y}\$ et \$\\dpsm{h}{x}{y}\$.

\n" } }, { "id": "6727e204-0451-4174-b581-8acfda84914e", "type": "reponse", "value": { "latex": "Les dérivées partielles premières sont :\n\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\frac{\\partial h}{\\partial x}(x,y) &= \\frac{1 + y}{1 + x + xy + e^y} \\\\\n\t\t\\frac{\\partial h}{\\partial y}(x,y) &= \\frac{x + e^y}{1 + x + xy + e^y}\n\t\\end{align*}$$\n\t\n\tLes dérivées partielles secondes demandées sont :\n\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\frac{\\partial^2 h}{\\partial y^2}(x,y) &= \\frac{e^y(1-x+xy) - x^2}{(1 + x + xy + e^y)^2} \\\\\n\t\t\\frac{\\partial^2 h}{\\partial x \\partial y}(x,y) &= \\frac{1 - ye^y}{(1 + x + xy + e^y)^2}\n\t\\end{align*}$$", "html": "

Les dérivées partielles premières sont : \\[\\begin{align*}\n \\frac{\\partial h}{\\partial x}(x,y) &= \\frac{1 + y}{1 + x +\nxy + e^y} \\\\\n \\frac{\\partial h}{\\partial y}(x,y) &= \\frac{x + e^y}{1 + x +\nxy + e^y}\n \\end{align*}\\]

Les dérivées partielles secondes demandées sont : \\[\\begin{align*}\n \\frac{\\partial^2 h}{\\partial y^2}(x,y) &= \\frac{e^y(1-x+xy)\n- x^2}{(1 + x + xy + e^y)^2} \\\\\n \\frac{\\partial^2 h}{\\partial x \\partial y}(x,y) &= \\frac{1 -\nye^y}{(1 + x + xy + e^y)^2}\n \\end{align*}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "Fg10", "titre": "Calcul de dérivées partielles au bord du domaine de définition", "theme": [ "calcul différentiel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:07.411Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:07.411Z" }, "contenu": [ { "id": "2343df92-ca2a-491f-aa40-295f5fed40ae", "type": "description", "value": { "latex": "On considère la fonction $f: \\R^2 \\to \\R,\\ (x,y) \\mapsto \\sqrt{x+5y}$.", "html": "

On considère la fonction \$f: \\R^2 \\to \\R,\\\n(x,y) \\mapsto \\sqrt{x+5y}\$.

\n" } }, { "id": "ca3b438b-4a39-4c3d-b7bf-c5dbe8468bf1", "type": "question", "value": { "latex": "Donner le domaine de définition de $f$.", "html": "

Donner le domaine de définition de \$f\$.

\n" } }, { "id": "6e259be0-f902-497a-a544-f39169879c69", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $f$ est définie sur le demi plan $\\{(x,y)\\in\\R^2 \\mid x+5y \\geq 0 \\} $", "html": "

La fonction \$f\$ est définie sur le\ndemi plan \$\\{(x,y)\\in\\R^2 \\mid x+5y \\geq\n0 \\}\$

\n" } }, { "id": "7044509a-6eea-46ef-98c9-c7fe9dea7f7b", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\dpa{f}{x}$ et $\\dpa{f}{y}$ pour les points $(x,y)$ où c'est possible.", "html": "

Calculer \$\\dpa{f}{x}\$ et \$\\dpa{f}{y}\$ pour les points \$(x,y)\$ où c’est possible.

\n" } }, { "id": "a2d15e00-ac35-4ca8-8e65-ee5c2a4049cb", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction racine étant dérivable sur $]0;+\\infty[$, on peut calculer avec les règles usuelles les dérivées partielles de $f$ sur le demi plan ouvert $\\{(x,y)\\in\\R^2 \\mid x+5y > 0 \\} $ : \n$$\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) = \\frac{1}{2\\sqrt{x+5y}} \\qquad \\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) = \\frac{5}{2\\sqrt{x+5y}}$$", "html": "

La fonction racine étant dérivable sur \$]0;+\\infty[\$, on peut calculer avec les\nrègles usuelles les dérivées partielles de \$f\$ sur le demi plan ouvert \$\\{(x,y)\\in\\R^2 \\mid x+5y > 0 \\}\$ :\n\\[\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) =\n\\frac{1}{2\\sqrt{x+5y}} \\qquad \\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) =\n\\frac{5}{2\\sqrt{x+5y}}\\]

\n" } }, { "id": "5dad263f-0226-4d54-81a1-b73485c39902", "type": "question", "value": { "latex": "Étudier l'existence des dérivées partielles en $(x,y) = (0,0)$.", "html": "

Étudier l’existence des dérivées partielles en \$(x,y) = (0,0)\$.

\n" } }, { "id": "6cbfcf73-691d-47b1-8ef3-a7047ba7a8c2", "type": "reponse", "value": { "latex": "Il faut ici revenir à la définition en étudiant le taux d'accroissement des fonctions partielles en $0$.\n\t\n\tPour étudier l'existence de $\\frac{\\partial f}{\\partial x}(0,0)$, on pose pour tout $x>0$ :\n$\\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0} = \\frac{\\sqrt{x}}{x} = \\frac{1}{\\sqrt{x}} \\xrightarrow[x \\to 0]{} +\\infty$. On conclut que \n$\\frac{\\partial f}{\\partial x}(0,0)$n'existe pas.\n\nDe même, on pose pour tout $y>0$ :\n$\\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0} = \\frac{\\sqrt{5y}}{y} = \\frac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{y}} \\xrightarrow[y \\to 0]{} +\\infty$. On conclut que \n$\\frac{\\partial f}{\\partial y}(0,0)$ n'existe pas.", "html": "

Il faut ici revenir à la définition en étudiant le taux\nd’accroissement des fonctions partielles en \$0\$.

Pour étudier l’existence de \$\\frac{\\partial f}{\\partial x}(0,0)\$, on\npose pour tout \$x>0\$ : \$\\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0} = \\frac{\\sqrt{x}}{x} =\n\\frac{1}{\\sqrt{x}} \\xrightarrow[x \\to 0]{} +\\infty\$. On conclut\nque \$\\frac{\\partial f}{\\partial\nx}(0,0)\$n’existe pas.

De même, on pose pour tout \$y>0\$ : \$\\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0} = \\frac{\\sqrt{5y}}{y} =\n\\frac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{y}} \\xrightarrow[y \\to 0]{} +\\infty\$. On\nconclut que \$\\frac{\\partial f}{\\partial\ny}(0,0)\$ n’existe pas.

\n" } }, { "id": "7f0019c3-2b72-428f-bf84-43d7346f7eb3", "type": "question", "value": { "latex": "Même question en $(x,y) = (5, -1)$.", "html": "

Même question en \$(x,y) = (5,\n-1)\$.

\n" } }, { "id": "1074a05e-f858-4747-89d1-7c6d043ba225", "type": "reponse", "value": { "latex": "C'est exactement le même problème qu'en $(0,0)$ translaté en $(5,-1)$ : \n\t\n\ton pose $x=5+h$ et on étudie le taux d'accroissement quand $x$ tend vers $5$, soit $h \\to 0$ : $\\frac{f(5+h,-1)-f(5,-1)}{h} = \\frac{\\sqrt{h}}{h} = \\frac{1}{\\sqrt{h}} \\xrightarrow[h \\to 0]{} +\\infty$\n\t\n\ton pose $y=-1+h$ et on étudie le taux d'accroissement quand $y$ tend vers $-1$, soit $h \\to 0$ : $\\frac{f(5,-1+h)-f(5,-1)}{h} = \\frac{\\sqrt{h}}{h} = \\frac{1}{\\sqrt{h}} \\xrightarrow[h \\to 0]{} +\\infty$\n\nOn conclut que les dérivées partielles n'existent pas en $(0,0)$.", "html": "

C’est exactement le même problème qu’en \$(0,0)\$ translaté en \$(5,-1)\$ :

on pose \$x=5+h\$ et on étudie le\ntaux d’accroissement quand \$x\$ tend\nvers \$5\$, soit \$h \\to 0\$ : \$\\frac{f(5+h,-1)-f(5,-1)}{h} = \\frac{\\sqrt{h}}{h} =\n\\frac{1}{\\sqrt{h}} \\xrightarrow[h \\to 0]{} +\\infty\$

on pose \$y=-1+h\$ et on étudie le\ntaux d’accroissement quand \$y\$ tend\nvers \$-1\$, soit \$h \\to 0\$ : \$\\frac{f(5,-1+h)-f(5,-1)}{h} = \\frac{\\sqrt{h}}{h} =\n\\frac{1}{\\sqrt{h}} \\xrightarrow[h \\to 0]{} +\\infty\$

On conclut que les dérivées partielles n’existent pas en \$(0,0)\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "AGDn", "titre": "Calcul de déterminant", "theme": [ "calcul déterminant" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:01.519Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:01.519Z" }, "contenu": [ { "id": "ddfe867a-72e7-4e07-b94f-46ae9ba2bfe3", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer :\n$$\n\\Delta=\\left|\\begin{array}{cccc}\n\ta^2 & a b & a b & b^2 \\\\\n\ta b & a^2 & b^2 & a b \\\\\n\ta b & b^2 & a^2 & a b \\\\\n\tb^2 & a b & a b & a^2\n\\end{array}\\right|,\n$$\noù $a$ et $b$ sont deux réels non nuls.", "html": "

Calculer : \\[\\Delta=\\left|\\begin{array}{cccc}\n a^2 & a b & a b & b^2 \\\\\n a b & a^2 & b^2 & a b \\\\\n a b & b^2 & a^2 & a b \\\\\n b^2 & a b & a b & a^2\n\\end{array}\\right|,\\] où \$a\$\net \$b\$ sont deux réels non nuls.

\n" } }, { "id": "55528cd8-cd13-485e-ae05-d18d1a981412", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\n\\begin{aligned}\n\t& \\Delta=\\left|\\begin{array}{cccc}\n\t\ta^2 & a b & a b & b^2 \\\\\n\t\ta b & a^2 & b^2 & a b \\\\\n\t\ta b & b^2 & a^2 & a b \\\\\n\t\tb^2 & a b & a b & a^2\n\t\\end{array}\\right|=\\ell_2-\\ell_3\\left|\\begin{array}{cccc} \n\t\t& \\ell_4 \\\\\n\t\ta^2-b^2 & 0 & 0 & b^2-a^2 \\\\\n\t\t0 & a^2-b^2 & b^2-a^2 & 0 \\\\\n\t\ta b & b^2 & a^2 & a b \\\\\n\t\tb^2 & a b & a b & a^2\n\t\\end{array}\\right| \\\\\n\t& =\\left(a^2-b^2\\right)^2 \\cdot\\left|\\begin{array}{cccc}\n\t\t1 & 0 & 0 & -1 \\\\\n\t\t0 & 1 & -1 & 0 \\\\\n\t\ta b & b^2 & a^2 & a b \\\\\n\t\tb^2 & a b & a b & a^2\n\t\\end{array}\\right|=(a-b)^2 \\cdot(a+b)^2 \\cdot\\left|\\begin{array}{cccc}\n\t\t1 & 0 & 0 & -1 \\\\\n\t\t0 & 1 & -1 & 0 \\\\\n\t\ta b & b^2 & a^2 & a b \\\\\n\t\tb^2 & a b & a b & a^2\n\t\\end{array}\\right| \\\\\n\t& c_1+c_2+c_3+c_4 \\\\\n\t& =(a-b)^2 \\cdot(a+b)^2 \\cdot\\left|\\begin{array}{cccc}\n\t\t0 & 0 & 0 & -1 \\\\\n\t\t0 & 1 & -1 & 0 \\\\\n\t\t(a+b)^2 & b^2 & a^2 & a b \\\\\n\t\t(a+b)^2 & a b & a b & a^2\n\t\\end{array}\\right| \\\\\n\t& =(a-b)^2 \\cdot(a+b)^4 \\cdot\\left|\\begin{array}{cccc}\n\t\t0 & 0 & 0 & -1 \\\\\n\t\t0 & 1 & -1 & 0 \\\\\n\t\t1 & b^2 & a^2 & a b \\\\\n\t\t1 & a b & a b & a^2\n\t\\end{array}\\right|=(a-b)^2 \\cdot(a+b)^4 \\cdot\\left|\\begin{array}{ccc}\n\t\t0 & 1 & -1 \\\\\n\t\t1 & b^2 & a^2 \\\\\n\t\t1 & a b & a b\n\t\\end{array}\\right| \\\\\n\t& \\Delta^{\\prime}=\\left|\\begin{array}{ccc}\n\t\t0 & 1 & -1 \\\\\n\t\t1 & b^2 & a^2 \\\\\n\t\t1 & a b & a b\n\t\\end{array}\\right|=\\left|\\begin{array}{ccc}\n\t\t0 & 1 & 0 \\\\\n\t\t1 & b^2 & a^2+b^2 \\\\\n\t\t1 & a b & 2 a b\n\t\\end{array}\\right|=-\\left|\\begin{array}{cc}\n\t\t1 & a^2+b^2 \\\\\n\t\t1 & 2 a b\n\t\\end{array}\\right|=a^2+b^2-2 a b \\\\\n\t& \\Delta=(a-b)^4 \\cdot(a+b)^4 \\\\\n\t&\n\\end{aligned}\n$$", "html": "

\\[\\begin{aligned}\n & \\Delta=\\left|\\begin{array}{cccc}\n a^2 & a b & a b & b^2 \\\\\n a b & a^2 & b^2 & a b \\\\\n a b & b^2 & a^2 & a b \\\\\n b^2 & a b & a b & a^2\n \\end{array}\\right|=\\ell_2-\\ell_3\\left|\\begin{array}{cccc}\n & \\ell_4 \\\\\n a^2-b^2 & 0 & 0 & b^2-a^2 \\\\\n 0 & a^2-b^2 & b^2-a^2 & 0 \\\\\n a b & b^2 & a^2 & a b \\\\\n b^2 & a b & a b & a^2\n \\end{array}\\right| \\\\\n & =\\left(a^2-b^2\\right)^2 \\cdot\\left|\\begin{array}{cccc}\n 1 & 0 & 0 & -1 \\\\\n 0 & 1 & -1 & 0 \\\\\n a b & b^2 & a^2 & a b \\\\\n b^2 & a b & a b & a^2\n \\end{array}\\right|=(a-b)^2 \\cdot(a+b)^2\n\\cdot\\left|\\begin{array}{cccc}\n 1 & 0 & 0 & -1 \\\\\n 0 & 1 & -1 & 0 \\\\\n a b & b^2 & a^2 & a b \\\\\n b^2 & a b & a b & a^2\n \\end{array}\\right| \\\\\n & c_1+c_2+c_3+c_4 \\\\\n & =(a-b)^2 \\cdot(a+b)^2 \\cdot\\left|\\begin{array}{cccc}\n 0 & 0 & 0 & -1 \\\\\n 0 & 1 & -1 & 0 \\\\\n (a+b)^2 & b^2 & a^2 & a b \\\\\n (a+b)^2 & a b & a b & a^2\n \\end{array}\\right| \\\\\n & =(a-b)^2 \\cdot(a+b)^4 \\cdot\\left|\\begin{array}{cccc}\n 0 & 0 & 0 & -1 \\\\\n 0 & 1 & -1 & 0 \\\\\n 1 & b^2 & a^2 & a b \\\\\n 1 & a b & a b & a^2\n \\end{array}\\right|=(a-b)^2 \\cdot(a+b)^4\n\\cdot\\left|\\begin{array}{ccc}\n 0 & 1 & -1 \\\\\n 1 & b^2 & a^2 \\\\\n 1 & a b & a b\n \\end{array}\\right| \\\\\n & \\Delta^{\\prime}=\\left|\\begin{array}{ccc}\n 0 & 1 & -1 \\\\\n 1 & b^2 & a^2 \\\\\n 1 & a b & a b\n \\end{array}\\right|=\\left|\\begin{array}{ccc}\n 0 & 1 & 0 \\\\\n 1 & b^2 & a^2+b^2 \\\\\n 1 & a b & 2 a b\n \\end{array}\\right|=-\\left|\\begin{array}{cc}\n 1 & a^2+b^2 \\\\\n 1 & 2 a b\n \\end{array}\\right|=a^2+b^2-2 a b \\\\\n & \\Delta=(a-b)^4 \\cdot(a+b)^4 \\\\\n &\n\\end{aligned}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "bl4k", "titre": "Calcul de déterminant", "theme": [ "calcul déterminant" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:31.134Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:31.134Z" }, "contenu": [ { "id": "444d1e43-c5bc-43de-a3db-6d9c3968607e", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer les déterminants ci-dessous en indiquant la méthode de calcul :\n\n$$\n\\Delta_1=\\left|\\begin{array}{cccc}\n\t2 & 3 & -1 & 3 \\\\\n\t1 & 1 & 2 & 1 \\\\\n\t-1 & 2 & 1 & 1 \\\\\n\t2 & -1 & 1 & -1\n\\end{array}\\right| \\quad \\Delta_2=\\left|\\begin{array}{ccccc}\n\tx & x & x & x & x \\\\\n\t-x & 0 & x & x & x \\\\\n\t-x & -x & 0 & x & x \\\\\n\t-x & -x & -x & 0 & x \\\\\n\t-x & -x & -x & -x & 0\n\\end{array}\\right|\n$$", "html": "

Calculer les déterminants ci-dessous en indiquant la méthode de\ncalcul :

\\[\\Delta_1=\\left|\\begin{array}{cccc}\n 2 & 3 & -1 & 3 \\\\\n 1 & 1 & 2 & 1 \\\\\n -1 & 2 & 1 & 1 \\\\\n 2 & -1 & 1 & -1\n\\end{array}\\right| \\quad \\Delta_2=\\left|\\begin{array}{ccccc}\n x & x & x & x & x \\\\\n -x & 0 & x & x & x \\\\\n -x & -x & 0 & x & x \\\\\n -x & -x & -x & 0 & x \\\\\n -x & -x & -x & -x & 0\n\\end{array}\\right|\\]

\n" } }, { "id": "9b5c08d4-b98c-4dc4-ba60-10d65c0c562e", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\n\\begin{aligned}\n\t\\Delta_1 & =\\left|\\begin{array}{cccc}\n\t\t2 & 3 & -1 & 3 \\\\\n\t\t1 & 1 & 2 & 1 \\\\\n\t\t-1 & 2 & 1 & 1 \\\\\n\t\t2 & -1 & 1 & -1\n\t\\end{array}\\right|=-\\left|\\begin{array}{cccc}\n\t\t1 & 1 & 2 & 1 \\\\\n\t\t2 & 3 & -1 & 3 \\\\\n\t\t-1 & 2 & 1 & 1 \\\\\n\t\t2 & -1 & 1 & -1\n\t\\end{array}\\right| \\quad\\left(\\begin{array}{l}\n\t\tl_1^{\\prime}=l_2 \\\\\n\t\tl^{\\prime}{ }_2=l_1 \\\\\n\t\tl_3^{\\prime}=l_3 \\\\\n\t\tl_4^{\\prime}=l_4\n\t\\end{array}\\right) \\\\\n\t& \\left.=-\\left|\\begin{array}{cccc}\n\t\t1 & 1 & 2 & 1 \\\\\n\t\t0 & 1 & -5 & 1 \\\\\n\t\t0 & 3 & 3 & 2 \\\\\n\t\t0 & -3 & -3 & -3\n\t\\end{array}\\right| \\quad \\begin{array}{ll}\n\t\tl^{\\prime \\prime}{ }_1=l_1^{\\prime} \\\\\n\t\tl_1^{\\prime \\prime}=l^{\\prime}{ }_2-2 l_1^{\\prime} \\\\\n\t\tl^{\\prime \\prime}{ }_3=l_3^{\\prime}+l_1^{\\prime} \\\\\n\t\tl^{\\prime \\prime}{ }_4=l^{\\prime}{ }_4-2 l^{\\prime}{ }_1\n\t\\end{array}\\right) \\\\\n\t& =3 \\cdot\\left|\\begin{array}{cccc}\n\t\t1 & 1 & 2 & 1 \\\\\n\t\t0 & 1 & -5 & 1 \\\\\n\t\t0 & 3 & 3 & 2 \\\\\n\t\t0 & 1 & 1 & 1\n\t\\end{array}\\right|=3 \\cdot\\left|\\begin{array}{ccc}\n\t\t1 & -5 & 1 \\\\\n\t\t3 & 3 & 2 \\\\\n\t\t1 & 1 & 1\n\t\\end{array}\\right|=3 .(-3-2+15+3+3-10)=3.6 \\\\\n\t& =18\n\\end{aligned}\n$$\n$$\n\\begin{aligned}\n\t\\Delta_2 & =\\left|\\begin{array}{ccccc}\n\t\tx & x & x & x & x \\\\\n\t\t-x & 0 & x & x & x \\\\\n\t\t-x & -x & 0 & x & x \\\\\n\t\t-x & -x & -x & 0 & x \\\\\n\t\t-x & -x & -x & -x & 0\n\t\\end{array}\\right|=\\left|\\begin{array}{ccccc}\n\t\tC_1 & C_2-C_1 & C_3-C_1 & C_4-C_1 & C_5-C_1 \\\\\n\t\t-x & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\\n\t\t-x & 0 & 2 x & 2 x & 2 x \\\\\n\t\t-x & 0 & 0 & 2 x & 2 x \\\\\n\t\t-x & 0 & 0 & 0 & x\n\t\\end{array}\\right| \\\\\n\t& =x \\cdot\\left|\\begin{array}{cccc}\n\t\tx & 2 x & 2 x & 2 x \\\\\n\t\t0 & x & 2 x & 2 x \\\\\n\t\t0 & 0 & x & 2 x \\\\\n\t\t0 & 0 & 0 & x\n\t\\end{array}\\right| \\\\\n\t& =x^5\n\\end{aligned}\n$$", "html": "

\\[\\begin{aligned}\n \\Delta_1 & =\\left|\\begin{array}{cccc}\n 2 & 3 & -1 & 3 \\\\\n 1 & 1 & 2 & 1 \\\\\n -1 & 2 & 1 & 1 \\\\\n 2 & -1 & 1 & -1\n \\end{array}\\right|=-\\left|\\begin{array}{cccc}\n 1 & 1 & 2 & 1 \\\\\n 2 & 3 & -1 & 3 \\\\\n -1 & 2 & 1 & 1 \\\\\n 2 & -1 & 1 & -1\n \\end{array}\\right| \\quad\\left(\\begin{array}{l}\n l_1^{\\prime}=l_2 \\\\\n l^{\\prime}{ }_2=l_1 \\\\\n l_3^{\\prime}=l_3 \\\\\n l_4^{\\prime}=l_4\n \\end{array}\\right) \\\\\n & \\left.=-\\left|\\begin{array}{cccc}\n 1 & 1 & 2 & 1 \\\\\n 0 & 1 & -5 & 1 \\\\\n 0 & 3 & 3 & 2 \\\\\n 0 & -3 & -3 & -3\n \\end{array}\\right| \\quad \\begin{array}{ll}\n l^{\\prime \\prime}{ }_1=l_1^{\\prime} \\\\\n l_1^{\\prime \\prime}=l^{\\prime}{ }_2-2 l_1^{\\prime} \\\\\n l^{\\prime \\prime}{ }_3=l_3^{\\prime}+l_1^{\\prime} \\\\\n l^{\\prime \\prime}{ }_4=l^{\\prime}{ }_4-2 l^{\\prime}{ }_1\n \\end{array}\\right) \\\\\n & =3 \\cdot\\left|\\begin{array}{cccc}\n 1 & 1 & 2 & 1 \\\\\n 0 & 1 & -5 & 1 \\\\\n 0 & 3 & 3 & 2 \\\\\n 0 & 1 & 1 & 1\n \\end{array}\\right|=3 \\cdot\\left|\\begin{array}{ccc}\n 1 & -5 & 1 \\\\\n 3 & 3 & 2 \\\\\n 1 & 1 & 1\n \\end{array}\\right|=3 .(-3-2+15+3+3-10)=3.6 \\\\\n & =18\n\\end{aligned}\\] \\[\\begin{aligned}\n \\Delta_2 & =\\left|\\begin{array}{ccccc}\n x & x & x & x & x \\\\\n -x & 0 & x & x & x \\\\\n -x & -x & 0 & x & x \\\\\n -x & -x & -x & 0 & x \\\\\n -x & -x & -x & -x & 0\n \\end{array}\\right|=\\left|\\begin{array}{ccccc}\n C_1 & C_2-C_1 & C_3-C_1 & C_4-C_1 & C_5-C_1 \\\\\n -x & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\\n -x & 0 & 2 x & 2 x & 2 x \\\\\n -x & 0 & 0 & 2 x & 2 x \\\\\n -x & 0 & 0 & 0 & x\n \\end{array}\\right| \\\\\n & =x \\cdot\\left|\\begin{array}{cccc}\n x & 2 x & 2 x & 2 x \\\\\n 0 & x & 2 x & 2 x \\\\\n 0 & 0 & x & 2 x \\\\\n 0 & 0 & 0 & x\n \\end{array}\\right| \\\\\n & =x^5\n\\end{aligned}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "vnJs", "titre": "Calcul de déterminants de matrices triangulaires", "theme": [ "calcul déterminant" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:54.734Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:54.734Z" }, "contenu": [ { "id": "416e226e-786a-4853-9df4-c04733792514", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer les déterminants suivants :\n\t$$\n\t\\left|\\begin{array}{cc}\n\t\t1 & 2 \\\\\n\t\t2 & 3\n\t\\end{array}\\right| \\quad\\left|\\begin{array}{ccc}\n\t\t1 & 0 & 2 \\\\\n\t\t3 & -1 & 2 \\\\\n\t\t1 & -1 & 0\n\t\\end{array}\\right| \\quad\\left|\\begin{array}{ccc}\n\t\t1 & 1 & 5 \\\\\n\t\t2 & 1 & -1 \\\\\n\t\t3 & 2 & 5\n\t\\end{array}\\right| \\quad\\left|\\begin{array}{ccc}\n\t\t1 & -1 & 2 \\\\\n\t\t-2 & 3 & 0 \\\\\n\t\t2 & 4 & 8\n\t\\end{array}\\right| \\quad\\left|\\begin{array}{cccc}\n\t\t2 & 3 & 1 & -4 \\\\\n\t\t-1 & 2 & 1 & 0 \\\\\n\t\t0 & 4 & 3 & -1 \\\\\n\t\t-5 & 1 & -2 & 1\n\t\\end{array}\\right|\\left|\\begin{array}{cccc}\n\t\t2 & -54 & 120 & -40 \\\\\n\t\t0 & 3 & -56 & 132 \\\\\n\t\t0 & 0 & -5 & 212 \\\\\n\t\t0 & 0 & 0 & 4\n\t\\end{array}\\right|\n\t$$", "html": "

Calculer les déterminants suivants : \\[\\left|\\begin{array}{cc}\n 1 & 2 \\\\\n 2 & 3\n \\end{array}\\right| \\quad\\left|\\begin{array}{ccc}\n 1 & 0 & 2 \\\\\n 3 & -1 & 2 \\\\\n 1 & -1 & 0\n \\end{array}\\right| \\quad\\left|\\begin{array}{ccc}\n 1 & 1 & 5 \\\\\n 2 & 1 & -1 \\\\\n 3 & 2 & 5\n \\end{array}\\right| \\quad\\left|\\begin{array}{ccc}\n 1 & -1 & 2 \\\\\n -2 & 3 & 0 \\\\\n 2 & 4 & 8\n \\end{array}\\right| \\quad\\left|\\begin{array}{cccc}\n 2 & 3 & 1 & -4 \\\\\n -1 & 2 & 1 & 0 \\\\\n 0 & 4 & 3 & -1 \\\\\n -5 & 1 & -2 & 1\n \\end{array}\\right|\\left|\\begin{array}{cccc}\n 2 & -54 & 120 & -40 \\\\\n 0 & 3 & -56 & 132 \\\\\n 0 & 0 & -5 & 212 \\\\\n 0 & 0 & 0 & 4\n \\end{array}\\right|\\]

\n" } }, { "id": "4467c39a-9e39-4771-a752-6e6896cfe7ea", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\n\t\\left|\\begin{array}{ll}\n\t\t1 & 2 \\\\\n\t\t2 & 3\n\t\\end{array}\\right|=1 \\times 3-2 \\times 2=-1\n\t$$\n\tDéveloppement par rapport à la première ligne :\n\t$$\n\t\\left|\\begin{array}{ccc}\n\t\t1 & 0 & 2 \\\\\n\t\t3 & -1 & 2 \\\\\n\t\t1 & -1 & 0\n\t\\end{array}\\right|=1 \\times\\left|\\begin{array}{cc}\n\t\t-1 & 2 \\\\\n\t\t-1 & 0\n\t\\end{array}\\right|-0+2 \\times\\left|\\begin{array}{cc}\n\t\t3 & -1 \\\\\n\t\t1 & -1\n\t\\end{array}\\right|=1 \\times(2)-0+2 \\times(-2)=-2\n\t$$\n\tOn fait apparaitre des 0 dans la première colonne :\n\t$$\n\t\\left|\\begin{array}{ccc}\n\t\t1 & 1 & 5 \\\\\n\t\t2 & 1 & -1 \\\\\n\t\t3 & 2 & 5\n\t\\end{array}\\right|=\\begin{gathered}\n\t\t\\ell_1 \\\\\n\t\t\\ell_3-3 \\ell_1\n\t\\end{gathered}\\left|\\begin{array}{ccc}\n\t\t1 & 1 & 5 \\\\\n\t\t0 & -1 & -11 \\\\\n\t\t0 & -1 & -10\n\t\\end{array}\\right|=\\begin{gathered}\n\t\t\\ell_1 \\\\\n\t\t\\ell_2 \\\\\n\t\t\\ell_3+\\ell_2\n\t\\end{gathered}\\left|\\begin{array}{ccc}\n\t\t1 & 1 & 5 \\\\\n\t\t0 & -1 & -11 \\\\\n\t\t0 & 0 & 1\n\t\\end{array}\\right|=1 \\times(-1) \\times 1=-1\n\t$$\n\tOn fait apparaitre des 0 dans la première colonne :\n\t$$\n\t\\left|\\begin{array}{ccc}\n\t\t1 & -1 & 2 \\\\\n\t\t-2 & 3 & 0 \\\\\n\t\t2 & 4 & 8\n\t\\end{array}\\right|=\\begin{gathered}\n\t\t\\ell_1 \\\\\n\t\t\\ell_3-2 \\ell_1 \\\\\n\t\t2\n\t\\end{gathered}\\left|\\begin{array}{ccc}\n\t\t1 & -1 & 2 \\\\\n\t\t0 & 1 & 4 \\\\\n\t\t0 & 6 & 4\n\t\\end{array}\\right|=\\begin{gathered}\n\t\t\\ell_1 \\\\\n\t\t\\ell_2 \\\\\n\t\t\\ell_3-6 \\ell_2\n\t\\end{gathered}\\left|\\begin{array}{ccc}\n\t\t1 & -1 & 2 \\\\\n\t\t0 & 1 & 4 \\\\\n\t\t0 & 0 & -20\n\t\\end{array}\\right|=1 \\times 1 \\times(-20)=-20\n\t$$\n\tOn fait apparaitre des 0 dans la deuxième ligne :\n\t$$\n\t\\begin{aligned}\n\t\t\\left|\\begin{array}{cccc}\n\t\t\t\\mathcal{c}_1 & \\mathcal{c}_2 & c_3 & \\mathcal{c}_4 \\\\\n\t\t\t-1 & 3 & 1 & -4 \\\\\n\t\t\t0 & 2 & 1 & 0 \\\\\n\t\t\t-5 & 1 & 3 & -1 \\\\\n\t\t\t-2 & 1\n\t\t\\end{array}\\right| & =\\left|\\begin{array}{cccc}\n\t\t\t\\mathcal{c}_1+\\mathcal{C}_3 & c_2-2 \\mathcal{C}_3 & \\mathcal{c}_3 & \\mathcal{c}_4 \\\\\n\t\t\t0 & 1 & 1 & -4 \\\\\n\t\t\t0 & 0 & 1 & 0 \\\\\n\t\t\t3 & -2 & 3 & -1 \\\\\n\t\t\t-7 & 5 & -2 & 1\n\t\t\\end{array}\\right|=-0+0-1 \\times\\left|\\begin{array}{ccc}\n\t\t\t3 & 1 & -4 \\\\\n\t\t\t3 & -2 & -1 \\\\\n\t\t\t-7 & 5 & 1\n\t\t\\end{array}\\right|+0 \\\\\n\t\t& =(-1) \\times\\left[3 \\times\\left|\\begin{array}{cc}\n\t\t\t-2 & -1 \\\\\n\t\t\t5 & 1\n\t\t\\end{array}\\right|-1 \\times\\left|\\begin{array}{cc}\n\t\t\t3 & -1 \\\\\n\t\t\t-7 & 1\n\t\t\\end{array}\\right|+(-4) \\times\\left|\\begin{array}{cc}\n\t\t\t3 & -2 \\\\\n\t\t\t-7 & 5\n\t\t\\end{array}\\right|\\right] \\\\\n\t\t& =-[3 \\times 3-1 \\times(-4)+(4) \\times 1] \\\\\n\t\t& =-9\n\t\\end{aligned}\n\t$$\n\tLe déterminant est triangulaire. Il est donc égal au produit des termes de la diagonale :\n\t\n\t$\\left|\\begin{array}{cccc}2 & -54 & 120 & -40 \\\\ 0 & 3 & -56 & 132 \\\\ 0 & 0 & -5 & 212 \\\\ 0 & 0 & 0 & 4\\end{array}\\right|=2 \\times 3 \\times(-5) \\times 4=-120$", "html": "

\\[\\left|\\begin{array}{ll}\n 1 & 2 \\\\\n 2 & 3\n \\end{array}\\right|=1 \\times 3-2 \\times 2=-1\\] Développement\npar rapport à la première ligne : \\[\\left|\\begin{array}{ccc}\n 1 & 0 & 2 \\\\\n 3 & -1 & 2 \\\\\n 1 & -1 & 0\n \\end{array}\\right|=1 \\times\\left|\\begin{array}{cc}\n -1 & 2 \\\\\n -1 & 0\n \\end{array}\\right|-0+2 \\times\\left|\\begin{array}{cc}\n 3 & -1 \\\\\n 1 & -1\n \\end{array}\\right|=1 \\times(2)-0+2 \\times(-2)=-2\\] On fait\napparaitre des 0 dans la première colonne : \\[\\left|\\begin{array}{ccc}\n 1 & 1 & 5 \\\\\n 2 & 1 & -1 \\\\\n 3 & 2 & 5\n \\end{array}\\right|=\\begin{gathered}\n \\ell_1 \\\\\n \\ell_3-3 \\ell_1\n \\end{gathered}\\left|\\begin{array}{ccc}\n 1 & 1 & 5 \\\\\n 0 & -1 & -11 \\\\\n 0 & -1 & -10\n \\end{array}\\right|=\\begin{gathered}\n \\ell_1 \\\\\n \\ell_2 \\\\\n \\ell_3+\\ell_2\n \\end{gathered}\\left|\\begin{array}{ccc}\n 1 & 1 & 5 \\\\\n 0 & -1 & -11 \\\\\n 0 & 0 & 1\n \\end{array}\\right|=1 \\times(-1) \\times 1=-1\\] On fait\napparaitre des 0 dans la première colonne : \\[\\left|\\begin{array}{ccc}\n 1 & -1 & 2 \\\\\n -2 & 3 & 0 \\\\\n 2 & 4 & 8\n \\end{array}\\right|=\\begin{gathered}\n \\ell_1 \\\\\n \\ell_3-2 \\ell_1 \\\\\n 2\n \\end{gathered}\\left|\\begin{array}{ccc}\n 1 & -1 & 2 \\\\\n 0 & 1 & 4 \\\\\n 0 & 6 & 4\n \\end{array}\\right|=\\begin{gathered}\n \\ell_1 \\\\\n \\ell_2 \\\\\n \\ell_3-6 \\ell_2\n \\end{gathered}\\left|\\begin{array}{ccc}\n 1 & -1 & 2 \\\\\n 0 & 1 & 4 \\\\\n 0 & 0 & -20\n \\end{array}\\right|=1 \\times 1 \\times(-20)=-20\\] On fait\napparaitre des 0 dans la deuxième ligne : \\[\\begin{aligned}\n \\left|\\begin{array}{cccc}\n \\mathcal{c}_1 & \\mathcal{c}_2 & c_3 &\n\\mathcal{c}_4 \\\\\n -1 & 3 & 1 & -4 \\\\\n 0 & 2 & 1 & 0 \\\\\n -5 & 1 & 3 & -1 \\\\\n -2 & 1\n \\end{array}\\right| & =\\left|\\begin{array}{cccc}\n \\mathcal{c}_1+\\mathcal{C}_3 & c_2-2 \\mathcal{C}_3 &\n\\mathcal{c}_3 & \\mathcal{c}_4 \\\\\n 0 & 1 & 1 & -4 \\\\\n 0 & 0 & 1 & 0 \\\\\n 3 & -2 & 3 & -1 \\\\\n -7 & 5 & -2 & 1\n \\end{array}\\right|=-0+0-1 \\times\\left|\\begin{array}{ccc}\n 3 & 1 & -4 \\\\\n 3 & -2 & -1 \\\\\n -7 & 5 & 1\n \\end{array}\\right|+0 \\\\\n & =(-1) \\times\\left[3 \\times\\left|\\begin{array}{cc}\n -2 & -1 \\\\\n 5 & 1\n \\end{array}\\right|-1 \\times\\left|\\begin{array}{cc}\n 3 & -1 \\\\\n -7 & 1\n \\end{array}\\right|+(-4) \\times\\left|\\begin{array}{cc}\n 3 & -2 \\\\\n -7 & 5\n \\end{array}\\right|\\right] \\\\\n & =-[3 \\times 3-1 \\times(-4)+(4) \\times 1] \\\\\n & =-9\n \\end{aligned}\\] Le déterminant est triangulaire. Il est donc\négal au produit des termes de la diagonale :

\$\\left|\\begin{array}{cccc}2 & -54\n& 120 & -40 \\\\ 0 & 3 & -56 & 132 \\\\ 0 & 0 &\n-5 & 212 \\\\ 0 & 0 & 0 & 4\\end{array}\\right|=2 \\times 3\n\\times(-5) \\times 4=-120\$

\n" } } ] }, { "uuid": "pZq6", "titre": "Calcul de division euclidienne", "theme": [ "polynomes" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:46.303Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:46.303Z" }, "contenu": [ { "id": "66498bcd-6c79-4501-9d92-8f87a9f39a62", "type": "question", "value": { "latex": "A(X)=X^4-3 X^3+4 X^2-6 X+8$, par $B(X)=X-1$;", "html": "" } }, { "id": "3f57c7a5-6391-4fec-a526-3b7190dd08c2", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\begin{tabular}{r|l}\n$X^4-3 X^3+4 X^2-6 X+8$ & $X-1$ \\\\\n\\cline { 2 - 2 }$-\\left(X^4-X^3\\right)$ & $X^3-2 X^2+2 X-4$ \\\\\n\\hline$-2 X^3+4 X^2-6 X+8$ & \\\\\n$-\\left(-2 X^3+2 X^2\\right)$ & \\\\\n\\hline $2 X^2-6 X+8$ & \\\\\n$-\\left(2 X^2-2 X\\right)$ & \\\\\n\\hline$-4 X+8$ & \\\\\n$-(-4 X+4)$ & 4\n\\end{tabular}\n$$\nA(X)=X^4-3 X^3+4 X^2-6 X+8=\\underbrace{(X-1)}_{B(X)} \\cdot\\left(X^3-2 X^2+2 X-4\\right)+4\n$$", "html": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

\$X^4-3 X^3+4\nX^2-6 X+8\$	\$X-1\$
2 - 2 \$-\\left(X^4-X^3\\right)\$	\$X^3-2 X^2+2\nX-4\$
\$-2 X^3+4\nX^2-6 X+8\$
\$-\\left(-2\nX^3+2 X^2\\right)\$
\$2 X^2-6\nX+8\$
\$-\\left(2\nX^2-2 X\\right)\$
\$-4\nX+8\$
\$-(-4\nX+4)\$	4

\\[A(X)=X^4-3 X^3+4 X^2-6\nX+8=\\underbrace{(X-1)}_{B(X)} \\cdot\\left(X^3-2 X^2+2\nX-4\\right)+4\\]

\n" } }, { "id": "75a27203-57ce-42c0-b2d9-87e8bed77daa", "type": "question", "value": { "latex": "$C(X)=3 X^5+2 X^4-2 X^2+1$, par $D(X)=X^3+X+2$.", "html": "

\$C(X)=3 X^5+2 X^4-2 X^2+1\$, par\n\$D(X)=X^3+X+2\$.

\n" } }, { "id": "84d5ad92-7cdc-4cda-a00a-0f96663e37de", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\n\\begin{array}{r|r}\n3 X^5+2 X^4-2 X^2+1 & X^3+X+2 \\\\\n-\\left(3 X^5+3 X^3+6 X^2\\right) & 3 X^2+2 X-3 \\\\\n\\hline 2 X^4-3 X^3-8 X^2+1 & \\\\\n-\\left(2 X^4+2 X^2+4 X\\right) & \\\\\n\\hline-3 X^3-10 X^2-4 X+1 & \\\\\n-\\left(-3 X^3-3 X-6\\right) & \\\\\n\\hline-10 X^2-X+7 &\n\\end{array}\n$$\n\n$$\nC(X)=3 X^5+2 X^4-2 X^2+1=\\underbrace{\\left(X^3+X+2\\right)}_{D(X)} \\cdot\\left(3 X^2+2 X-3\\right)+\\left(-10 X^2-X+7\\right)\n$$", "html": "

\\[\\begin{array}{r|r}\n3 X^5+2 X^4-2 X^2+1 & X^3+X+2 \\\\\n-\\left(3 X^5+3 X^3+6 X^2\\right) & 3 X^2+2 X-3 \\\\\n\\hline 2 X^4-3 X^3-8 X^2+1 & \\\\\n-\\left(2 X^4+2 X^2+4 X\\right) & \\\\\n\\hline-3 X^3-10 X^2-4 X+1 & \\\\\n-\\left(-3 X^3-3 X-6\\right) & \\\\\n\\hline-10 X^2-X+7 &\n\\end{array}\\]

\\[C(X)=3 X^5+2 X^4-2\nX^2+1=\\underbrace{\\left(X^3+X+2\\right)}_{D(X)} \\cdot\\left(3 X^2+2\nX-3\\right)+\\left(-10 X^2-X+7\\right)\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "51mL", "titre": "Calcul de probabilité", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:21:55.270Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:55.270Z" }, "contenu": [ { "id": "67354110-8a25-4bae-b7b5-e4217a79a4e4", "type": "description", "value": { "latex": "Soit une fonction $f \\colon x \\mapsto \\begin{cases}\n 2x & \\text{ si } x \\in [0;1] \\\\\n 0 & \\text{ sinon }\n \\end{cases}$.", "html": "

Soit une fonction \$f \\colon x \\mapsto\n\\begin{cases}\n 2x & \\text{ si } x \\in [0;1] \\\\\n 0 & \\text{ sinon }\n \\end{cases}\$.

\n" } }, { "id": "2f54b47e-65a9-483a-ba12-adf39aca3aa5", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que $f$ est une densité de probabilité.", "html": "

Montrer que \$f\$ est une densité de\nprobabilité.

\n" } }, { "id": "228ce03b-998a-46f3-8155-3645942c600f", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\begin{enumerate}\n \\item $f$ est positive sur $\\R$.\n \\item $\\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(x) \\mathrm{d}x = \\int_0^1 2x \\mathrm{d}x = \\left[ x^2 \\right]_0^1 = 1$.\n \\end{enumerate}\n Donc $f$ est une densité de probabilité.", "html": "

\$f\$ est positive sur \$\\R\$.
\$\\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(x)\n\\mathrm{d}x = \\int_0^1 2x \\mathrm{d}x = \\left[ x^2 \\right]_0^1 =\n1\$.

Donc \$f\$ est une densité de\nprobabilité.

\n" } }, { "id": "c7ee9ba4-58cc-425d-9b5d-5beb771a4c8f", "type": "question", "value": { "latex": "\\'Ecrire $f$ à l'aide d'une fonction indicatrice $x \\mapsto \\textbf{1}_A(x)$ où $A$ est un ensemble à préciser.", "html": "

Écrire \$f\$ à l’aide d’une fonction\nindicatrice \$x \\mapsto\n\\textbf{1}_A(x)\$ où \$A\$ est\nun ensemble à préciser.

\n" } }, { "id": "97ac3187-e4ee-4841-b512-a5506c59422f", "type": "reponse", "value": { "latex": "$f(x) = 2x \\textbf{1}_{[0;1]}(x)$.", "html": "

\$f(x) = 2x\n\\textbf{1}_{[0;1]}(x)\$.

\n" } }, { "id": "af90d81e-765f-41d4-83d0-483a7845289d", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $X$ une variable aléatoire admettant $f$ pour densité de probabilité. Calculer $\\prob(X \\leq \\frac{1}{2})$ et $\\prob(-1 \\leq X \\leq 0.2)$.", "html": "

Soit \$X\$ une variable aléatoire\nadmettant \$f\$ pour densité de\nprobabilité. Calculer \$\\prob(X \\leq\n\\frac{1}{2})\$ et \$\\prob(-1 \\leq X\n\\leq 0.2)\$.

\n" } }, { "id": "0f49caf9-af6b-4424-9ac6-9346201abd5a", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\\begin{align*}\n \\prob(X \\leq \\frac{1}{2}) &= \\int_{-\\infty}^{\\frac{1}{2}} f(x) \\mathrm{d}x \\\\\n &= \\int_0^{\\frac{1}{2}} 2x \\mathrm{d}x \\\\\n &= \\left[ x^2 \\right]_0^{\\frac{1}{2}} \\\\\n &= \\frac{1}{4}\n \\end{align*}$$\n $$\\begin{align*}\n \\prob(-1 \\leq X \\leq 0.2) &= \\int_{-1}^{0.2} f(x) \\mathrm{d}x \\\\\n &= \\int_0^{0.2} 2x \\mathrm{d}x \\\\\n &= \\left[ x^2 \\right]_0^{0.2} \\\\\n &= 0.04\n \\end{align*}$$", "html": "

\\[\\begin{align*}\n \\prob(X \\leq \\frac{1}{2}) &=\n\\int_{-\\infty}^{\\frac{1}{2}} f(x) \\mathrm{d}x \\\\\n &= \\int_0^{\\frac{1}{2}} 2x \\mathrm{d}x \\\\\n &= \\left[ x^2 \\right]_0^{\\frac{1}{2}} \\\\\n &= \\frac{1}{4}\n \\end{align*}\\] \\[\\begin{align*}\n \\prob(-1 \\leq X \\leq 0.2) &= \\int_{-1}^{0.2} f(x)\n\\mathrm{d}x \\\\\n &= \\int_0^{0.2} 2x \\mathrm{d}x \\\\\n &= \\left[ x^2 \\right]_0^{0.2} \\\\\n &= 0.04\n \\end{align*}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "SX3y", "titre": "Calcul de probabilité", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:20.302Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:20.302Z" }, "contenu": [ { "id": "bb73a4ef-4244-41bd-8d67-13c57d5c5fa7", "type": "question", "value": { "latex": "On jette 3 fois un dé à 6 faces, et on note $a, b$ et $c$ les résultats successifs obtenus. On note $Q(x)=a x^2+b x+c$. Déterminer la probabilité pour que :\n\\begin{itemize}\n\t\\item $Q$ ait deux racines réelles distinctes.\n\t\\item $Q$ ait une racine réelle double.\n\t\\item $Q$ n'ait pas de racines réelles.\n\\end{itemize}", "html": "

On jette 3 fois un dé à 6 faces, et on note \$a, b\$ et \$c\$ les résultats successifs obtenus. On\nnote \$Q(x)=a x^2+b x+c\$. Déterminer\nla probabilité pour que :

\$Q\$ ait deux racines réelles\ndistinctes.
\$Q\$ ait une racine réelle\ndouble.
\$Q\$ n’ait pas de racines\nréelles.

\n" } }, { "id": "1152b882-8c63-4db1-96f9-481ef501e7ce", "type": "reponse", "value": { "latex": "On associe à l'expérience aléatoire l'univers des possibles $\\Omega=\\{1,2,3,4,5,6\\}^3$, muni de l'équiprobabilité. Ainsi, la probabilité d'un événement $A$ vaut card $(A) / 6^3$. On s'intéresse d'abord à l'événement $A=\\left\\{(a, b, c) \\in \\Omega ; b^2-4 a c>0\\right\\}$. Il suffit de dénombrer $A$. On commence par établir un petit tableau avec les valeurs de $4 a c$ :\n\t\n\\begin{center}\n\t\t\\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}\n\t\t$c \\backslash a$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\\\n\t\t\\hline 1 & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 & 24 \\\\\n\t\t\\hline 2 & 8 & 16 & 24 & 32 & 40 & 48 \\\\\n\t\t\\hline 3 & 12 & 24 & 36 & 48 & 60 & 72 \\\\\n\t\t\\hline 4 & 16 & 32 & 48 & 64 & 80 & 96 \\\\\n\t\t\\hline 5 & 20 & 40 & 60 & 80 & 100 & 120 \\\\\n\t\t\\hline 6 & 24 & 48 & 72 & 96 & 120 & 144\n\t\\end{tabular}\n\\end{center}\n\n\tOn calcule le cardinal de $A$ en regardant dans le tableau le nombre de valeurs de $a$ et $c$ pour lesquelles $b^2>4 a c$, pour les 6 valeurs que peut prendre $b$. On trouve :\n\t$$\n\t\\operatorname{card}(A)=0+0+3+5+14+16=38 .\n\t$$\n\tOn en déduit :\n\t$$\n\tP(A)=\\frac{38}{216}=\\frac{19}{108} .\n\t$$\n\tOn note pareillement $B=\\left\\{(a, b, c) \\in \\Omega ; b^2-4 a c=0\\right\\}$ et $C=\\left\\{(a, b, c) \\in \\Omega ; b^2-4 a c<0\\right\\}$. Le même dénombrement prouve que :\n\t$$\n\tP(B)=\\frac{5}{216} .\n\t$$\n\tOn peut calculer $P(C)$ de la même façon, ou remarquer que les 3 événement $A, B, C$ forment un système complet d'événements. On déduit alors:\n\t$$\n\tP(C)=1-P(A)-P(B)=\\frac{173}{216} .\n\t$$", "html": "

On associe à l’expérience aléatoire l’univers des possibles \$\\Omega=\\{1,2,3,4,5,6\\}^3\$, muni de\nl’équiprobabilité. Ainsi, la probabilité d’un événement \$A\$ vaut card \$(A) / 6^3\$. On s’intéresse d’abord à\nl’événement \$A=\\left\\{(a, b, c) \\in \\Omega ;\nb^2-4 a c>0\\right\\}\$. Il suffit de dénombrer \$A\$. On commence par établir un petit\ntableau avec les valeurs de \$4 a c\$\n:

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

\$c \\backslash\na\$	1	2	3	4	5	6
1	4	8	12	16	20	24
2	8	16	24	32	40	48
3	12	24	36	48	60	72
4	16	32	48	64	80	96
5	20	40	60	80	100	120
6	24	48	72	96	120	144

On calcule le cardinal de \$A\$ en\nregardant dans le tableau le nombre de valeurs de \$a\$ et \$c\$ pour lesquelles \$b^2>4 a c\$, pour les 6 valeurs que peut\nprendre \$b\$. On trouve : \\[\\operatorname{card}(A)=0+0+3+5+14+16=38\n.\\] On en déduit : \\[P(A)=\\frac{38}{216}=\\frac{19}{108} .\\] On\nnote pareillement \$B=\\left\\{(a, b, c) \\in\n\\Omega ; b^2-4 a c=0\\right\\}\$ et \$C=\\left\\{(a, b, c) \\in \\Omega ; b^2-4 a\nc<0\\right\\}\$. Le même dénombrement prouve que : \\[P(B)=\\frac{5}{216} .\\] On peut calculer\n\$P(C)\$ de la même façon, ou remarquer\nque les 3 événement \$A, B, C\$ forment\nun système complet d’événements. On déduit alors: \\[P(C)=1-P(A)-P(B)=\\frac{173}{216} .\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "phsf", "titre": "Calcul de probabilité", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:46.828Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:46.828Z" }, "contenu": [ { "id": "09382750-aeb3-44ce-862c-14cf6698a0d4", "type": "description", "value": { "latex": "On jette un dé à 6 faces et on observe le résultat.", "html": "

On jette un dé à 6 faces et on observe le résultat.

\n" } }, { "id": "b1a4b226-b398-464e-a5d7-ab3f2e1732c0", "type": "question", "value": { "latex": "Quel univers peut-on définir pour modéliser cette expérience aléatoire ?", "html": "

Quel univers peut-on définir pour modéliser cette expérience\naléatoire ?

\n" } }, { "id": "a498e94e-9a42-42d0-bd7e-6638eaeebc36", "type": "question", "value": { "latex": "On observe que $\\PP(1)=0.3$, $\\PP(2)=0.15$, $\\PP(3)=0.1$, $\\PP(4)=\\PP(2)$, $\\PP(5)=\\PP(6)$. Le dé est-il truqué ? Déterminer $\\PP(5)$ et $\\PP(6)$.", "html": "

On observe que \$\\PP(1)=0.3\$, \$\\PP(2)=0.15\$, \$\\PP(3)=0.1\$, \$\\PP(4)=\\PP(2)\$, \$\\PP(5)=\\PP(6)\$. Le dé est-il truqué ?\nDéterminer \$\\PP(5)\$ et \$\\PP(6)\$.

\n" } }, { "id": "e0664cfc-fbc0-43c7-ac98-324c1a86edd3", "type": "description", "value": { "latex": "On considère les deux événements suivants :\n\t\t\\begin{enumerate}\n\t\t\t\\item $A$ : \\og le nombre obtenu est impair \\fg{}\n\t\t\t\\item $B$ : \\og le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3 \\fg{}.\n\t\t\\end{enumerate}", "html": "

On considère les deux événements suivants :

\$A\$ : le nombre obtenu est\nimpair
\$B\$ : le nombre obtenu est\nsupérieur ou égal à 3 .

\n" } }, { "id": "b9185306-c30d-425f-89a9-c9e814750a6a", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer les probabilités $\\PP(A)$, $\\PP(B)$, $\\PP(A \\cap B)$.", "html": "

Calculer les probabilités \$\\PP(A)\$, \$\\PP(B)\$, \$\\PP(A\n\\cap B)\$.

\n" } }, { "id": "87679dd6-b01e-4bde-83a0-f7a802fae214", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\PP(A \\cup B)$ de deux manières différentes.", "html": "

Calculer \$\\PP(A \\cup B)\$ de deux\nmanières différentes.

\n" } }, { "id": "32d92666-d2d0-4e30-a4fd-fb2e779a2d03", "type": "question", "value": { "latex": "Décrire à l'aide d'une phrase les événements $\\bar A$ et $\\bar B$ puis calculer leur probabilité.", "html": "

Décrire à l’aide d’une phrase les événements \$\\bar A\$ et \$\\bar B\$ puis calculer leur\nprobabilité.

\n" } }, { "id": "38effd53-4601-413c-930d-e6e24303dc6f", "type": "question", "value": { "latex": "Donner un exemple de deux événements incompatibles $C$ et $D$ puis calculer $\\PP(C)$, $\\PP(D)$, $\\PP(C \\cap D)$, $\\PP(C \\cup D)$.", "html": "

Donner un exemple de deux événements incompatibles \$C\$ et \$D\$ puis calculer \$\\PP(C)\$, \$\\PP(D)\$, \$\\PP(C\n\\cap D)\$, \$\\PP(C \\cup\nD)\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "0oHk", "titre": "Calcul de probabilités", "theme": [ "statistiques", "tableur" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:51.569Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:51.569Z" }, "contenu": [ { "id": "add89f1d-a411-4ea5-b405-51137724ebea", "type": "description", "value": { "latex": "A l'aide des formules du tableur, calculer :", "html": "

A l’aide des formules du tableur, calculer :

\n" } }, { "id": "b0af6d3e-a639-4978-ab20-a090fb292e92", "type": "question", "value": { "latex": "$\\PP(X \\leq 1.2)$ pour $X$ suivant une $\\mathcal{N}(0,1)$", "html": "

\$\\PP(X \\leq 1.2)\$ pour \$X\$ suivant une \$\\mathcal{N}(0,1)\$

\n" } }, { "id": "40dce8e3-a3cb-4af3-9db7-f2c44de880b6", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\texttt{=LOI.NORMALE.STANDARD(1,2)}", "html": "

=LOI.NORMALE.STANDARD(1,2)

\n" } }, { "id": "936ce548-4e0e-4c3e-9511-864a04d0bd5f", "type": "question", "value": { "latex": "$\\PP(X \\leq 102)$ pour $X$ suivant une $\\mathcal{N}(120,4)$", "html": "

\$\\PP(X \\leq 102)\$ pour \$X\$ suivant une \$\\mathcal{N}(120,4)\$

\n" } }, { "id": "18493e5f-1afa-401a-a5ba-5e50ef01421c", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\texttt{=LOI.NORMALE(102;120;4;1)}", "html": "

=LOI.NORMALE(102;120;4;1)

\n" } }, { "id": "b4b76b6e-d5fc-4091-96b5-99118c956049", "type": "question", "value": { "latex": "la valeur $t$ telle que $\\PP(X \\leq t) = 90\\%$ pour $X$ suivant une $\\mathcal{N}(120,4)$", "html": "

la valeur \$t\$ telle que \$\\PP(X \\leq t) = 90\\%\$ pour \$X\$ suivant une \$\\mathcal{N}(120,4)\$

\n" } }, { "id": "ce510f57-8dbe-4870-9a68-927a5adbc80d", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\texttt{=LOI.NORMALE.INVERSE.N(0,9;120;4)}", "html": "

=LOI.NORMALE.INVERSE.N(0,9;120;4)

\n" } }, { "id": "c49d4f3a-af47-4e03-8609-d6460d40805a", "type": "question", "value": { "latex": "$\\PP(X \\geq 40)$ pour $X$ suivant une $\\mathcal{N}(50,3)$", "html": "

\$\\PP(X \\geq 40)\$ pour \$X\$ suivant une \$\\mathcal{N}(50,3)\$

\n" } }, { "id": "ab3be9bf-71c5-4997-9207-051f31faf240", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\texttt{=1-LOI.NORMALE(40;50;3;1)}", "html": "

=1-LOI.NORMALE(40;50;3;1)

\n" } }, { "id": "e4856bc8-ca96-44c3-82cc-cce5f3b4fd90", "type": "question", "value": { "latex": "$\\PP( 90 \\leq X \\leq 120)$ pour $X$ suivant une $\\mathcal{N}(100,15)$", "html": "

\$\\PP( 90 \\leq X \\leq 120)\$ pour\n\$X\$ suivant une \$\\mathcal{N}(100,15)\$

\n" } }, { "id": "198a1aa2-8e0a-469a-ad39-b0eb768ea654", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\texttt{=LOI.NORMALE(120;100;15;1)-LOI.NORMALE(90;100;15;1)}", "html": "

=LOI.NORMALE(120;100;15;1)-LOI.NORMALE(90;100;15;1)

\n" } }, { "id": "c6960e64-0781-46ae-9a05-f394df82b7d9", "type": "question", "value": { "latex": "$\\PP(X \\geq 5)$ pour $X$ suivant une $\\mathcal{E}(1/2)$", "html": "

\$\\PP(X \\geq 5)\$ pour \$X\$ suivant une \$\\mathcal{E}(1/2)\$

\n" } }, { "id": "edb62a87-d7c4-4f61-9a5a-ac414d9591ab", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\texttt{=1-LOI.EXPONENTIELLE.N(5;0,5;1)}", "html": "

=1-LOI.EXPONENTIELLE.N(5;0,5;1)

\n" } }, { "id": "b6b67846-86bf-4c2c-ade7-c4d093216d34", "type": "question", "value": { "latex": "$\\PP(X = 3)$ et $\\PP(X \\geq 2)$ pour $X$ suivant une $\\mathcal{P}(1.5)$", "html": "

\$\\PP(X = 3)\$ et \$\\PP(X \\geq 2)\$ pour \$X\$ suivant une \$\\mathcal{P}(1.5)\$

\n" } }, { "id": "79ecf083-024e-48bc-9813-446430ce4a71", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\texttt{=LOI.POISSON.N(3;1,5;0)} et \\texttt{=1-LOI.POISSON.N(2;1,5;1)}", "html": "

=LOI.POISSON.N(3;1,5;0) et\n=1-LOI.POISSON.N(2;1,5;1)

\n" } }, { "id": "39d99fe4-ecbb-4931-9431-a253265d89bb", "type": "question", "value": { "latex": "la valeur $t$ telle que $\\PP(100-t \\leq X \\leq 100+t) = 95\\%$ où $X$ suit une $\\mathcal{N}(100,15)$", "html": "

la valeur \$t\$ telle que \$\\PP(100-t \\leq X \\leq 100+t) = 95\\%\$ où\n\$X\$ suit une \$\\mathcal{N}(100,15)\$

\n" } }, { "id": "5f81989c-f3ed-43f0-b8de-1ded8749c375", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\texttt{=LOI.NORMALE.INVERSE.N(0,975;0;15)}", "html": "

=LOI.NORMALE.INVERSE.N(0,975;0;15)

\n" } } ] }, { "uuid": "HvSs", "titre": "Calcul de probabilités", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:10.481Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:10.481Z" }, "contenu": [ { "id": "8c3aec34-8cdc-4c2b-ad8b-18be8165e2a2", "type": "question", "value": { "latex": "On modélise le poids d'une pièce fabriquée par la machine avec une variable aléatoire $X$. Que peut-on dire de la variable $X$ ?", "html": "

On modélise le poids d’une pièce fabriquée par la machine avec une\nvariable aléatoire \$X\$. Que peut-on\ndire de la variable \$X\$ ?

\n" } }, { "id": "6ab54b65-68c0-4436-887c-d34f10e4cd94", "type": "reponse", "value": { "latex": "On sait donc que $\\EX=0.5~g$ et $\\sigma(X)=0.02~g$.", "html": "

On sait donc que \$\\EX=0.5~g\$ et\n\$\\sigma(X)=0.02~g\$.

\n" } }, { "id": "55972a8d-bdaa-4b58-ba73-198bab1ed744", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $\\overline{X}$ la variable aléatoire égale au poids moyen d'une pièce dans un échantillon de $n$ pièces. Que peut-on dire de l'espérance et la variance de $\\overline{X}$ ? Que peut-on dire de la loi suivie par $\\overline{X}$ ?", "html": "

Soit \$\\overline{X}\$ la variable\naléatoire égale au poids moyen d’une pièce dans un échantillon de \$n\$ pièces. Que peut-on dire de l’espérance\net la variance de \$\\overline{X}\$ ?\nQue peut-on dire de la loi suivie par \$\\overline{X}\$ ?

\n" } }, { "id": "bbe39f81-e3fa-44a2-8366-bea3b3362d44", "type": "reponse", "value": { "latex": "On sait que $\\mathbb{E}(\\overline{X})=\\EX = 0.5$ et $\\sigma^2(\\overline{X}) = \\frac{\\sigma^2(X)}{n} = \\frac{(0.02)^2}{n}$\n\t\t\n\t\tOn ne peut pas déterminer exactement la loi de $\\overline{X}$, mais si l'échantillon est grand, d'après le Théorème Central Limite, on peut approcher la loi de \\fbox{$\\overline{X}$ par une loi normale $\\mathcal{N}(0.5,\\frac{(0.02)^2}{n})$}", "html": "

On sait que \$\\mathbb{E}(\\overline{X})=\\EX\n= 0.5\$ et \$\\sigma^2(\\overline{X}) =\n\\frac{\\sigma^2(X)}{n} = \\frac{(0.02)^2}{n}\$

On ne peut pas déterminer exactement la loi de \$\\overline{X}\$, mais si l’échantillon est\ngrand, d’après le Théorème Central Limite, on peut approcher la loi\nde

\n" } }, { "id": "51d21cee-c46a-4f09-96d4-55d56cbbade5", "type": "question", "value": { "latex": "Définir une variable aléatoire permettant de modéliser le poids total d'un échantillon de $n$ pièces. Que peut-on dire de sa loi de probabilité si $n$ est suffisamment grand ?", "html": "

Définir une variable aléatoire permettant de modéliser le poids total\nd’un échantillon de \$n\$ pièces. Que\npeut-on dire de sa loi de probabilité si \$n\$ est suffisamment grand ?

\n" } }, { "id": "80a2ceee-f94c-4326-a5cf-5e4267f6329f", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $P$ le poids total de l'échantillon. Alors $P=X_1+...+X_n = n \\times \\overline{X}$. Or : \\\\$\\mathbb{E}(n\\overline{X})=n \\mathbb{E(\\overline{X})}=0.5n$ et\\\\ $\\sigma^2(n\\overline{X})=n^2 \\sigma^2(\\overline{X})=n \\times (0.02)^2$.\n\t\t\n\t\tDonc le poids total de l'échantillon \\fbox{$P$ suit approximativement une loi normale $\\mathcal{N}(0.5n,(0.02)^2n)$}", "html": "

Soit \$P\$ le poids total de\nl’échantillon. Alors \$P=X_1+...+X_n = n\n\\times \\overline{X}\$. Or :
\n\$\\mathbb{E}(n\\overline{X})=n\n\\mathbb{E(\\overline{X})}=0.5n\$ et
\n\$\\sigma^2(n\\overline{X})=n^2\n\\sigma^2(\\overline{X})=n \\times (0.02)^2\$.

Donc le poids total de l’échantillon

\n" } }, { "id": "afa74a28-af20-45ea-b166-971b07154e6a", "type": "question", "value": { "latex": "On considère deux échantillons de $1000$ pièces chacun. Définir une variable aléatoire permettant de modéliser la différence de poids entre ces deux échantillons.", "html": "

On considère deux échantillons de \$1000\$ pièces chacun. Définir une variable\naléatoire permettant de modéliser la différence de poids entre ces deux\néchantillons.

\n" } }, { "id": "29c77ffb-cd6c-4858-8946-a8359786595b", "type": "reponse", "value": { "latex": "On note $P_1$ le poids du premier échantillon de taille 1000, $P_2$ le poids du second échantillon de taille 1000. La différence de poids est donc $P_1$-$P_2$ si $P_1$ plus grand que $P_2$, et $P_2-P_1$ si $P_2$ plus grand que $P_1$. En résumé, cette différence s'écrit $|P_1-P_2|$ (nombre toujours positif).", "html": "

On note \$P_1\$ le poids du premier\néchantillon de taille 1000, \$P_2\$ le\npoids du second échantillon de taille 1000. La différence de poids est\ndonc \$P_1\$-\$P_2\$ si \$P_1\$ plus grand que \$P_2\$, et \$P_2-P_1\$ si \$P_2\$ plus grand que \$P_1\$. En résumé, cette différence s’écrit\n\$|P_1-P_2|\$ (nombre toujours\npositif).

\n" } }, { "id": "f549e511-66e0-45fd-b8ad-5cd8a1693968", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer la probabilité pour que le poids de deux lots de $1000$ pièces chacun diffère de plus de $2$~g.", "html": "

Calculer la probabilité pour que le poids de deux lots de \$1000\$ pièces chacun diffère de plus de\n\$2\$ g.

\n" } }, { "id": "0819746e-29f3-4813-8276-de669c3142dc", "type": "reponse", "value": { "latex": "D'après la question précédente, on sait que $P_1$ et $P_2$ suivent chacune une loi $\\mathcal{N}(0.5 \\times 1000,(0.02)^2 \\times 1000)$. On va déterminer la loi de $P_1-P_2$ en supposant que $P_1$ et $P_2$ sont indépendantes : pour cela, on calcule :\n\t\t\\begin{itemize}\n\t\t\t\\item $\\mathbb{E}(P_1-P_2)=\\mathbb{E}(P_1)-\\mathbb{E}(P_2)=0$\n\t\t\t\\item $\\sigma^2(P_1-P_2)=\\sigma^2(P_1)+\\sigma^2(P_2)=2 \\times (0.02)^2 \\times 1000 = (0.02)^2 \\times 2000 $\n\t\t\\end{itemize}\n\t\tOn cherche à calculer $\\PP(|P_1-P_2|>2)$. Par symétrie ($P_1$ plus grand que $P_2$ ou l'inverse), il suffit de calculer $\\PP(P_1-P_2>2)$ (cas où $P_1$ plus grand que $P_2$) et de multiplier le résultat par 2 (on trouvera le même résultat pour $\\PP(P_2-P_1>2)$)\n\t\t\n\t\tLa variable $P_1-P_2$ suit approximativement une loi normale $\\mathcal{N}(0,(0.02)^2 \\times 2000)$ donc $U=\\frac{P_1-P_2}{0.02\\sqrt{2000}}$ suit approximativement une loi $\\mathcal{N}(0,1)$.\n\t\t\n\t\tOr $\\PP(U > \\frac{2}{0.02 \\sqrt{2000}})=\\PP(U>\\frac{1}{0.1 \\sqrt{20}})=\\PP(U>2.236)$. \n\t\t\n\t\tDonc $\\PP(X_1-X_2>2)=\\PP(U>2.236)=1-\\PP(U<2.236)=0.0129$. On en déduit que $$\\PP(|P_1-P_2|>2)=2 \\times 0.0129=0.0258$$\n\t\t\n\t\tLa probabilité que l'écart entre les poids des deux échantillons soit supérieur à 2~g est d'environ $2.6\\%$.", "html": "

D’après la question précédente, on sait que \$P_1\$ et \$P_2\$ suivent chacune une loi \$\\mathcal{N}(0.5 \\times 1000,(0.02)^2 \\times\n1000)\$. On va déterminer la loi de \$P_1-P_2\$ en supposant que \$P_1\$ et \$P_2\$ sont indépendantes : pour cela, on\ncalcule :

\$\\mathbb{E}(P_1-P_2)=\\mathbb{E}(P_1)-\\mathbb{E}(P_2)=0\$
\$\\sigma^2(P_1-P_2)=\\sigma^2(P_1)+\\sigma^2(P_2)=2\n\\times (0.02)^2 \\times 1000 = (0.02)^2 \\times 2000\$

On cherche à calculer \$\\PP(|P_1-P_2|>2)\$. Par symétrie (\$P_1\$ plus grand que \$P_2\$ ou l’inverse), il suffit de calculer\n\$\\PP(P_1-P_2>2)\$ (cas où \$P_1\$ plus grand que \$P_2\$) et de multiplier le résultat par 2\n(on trouvera le même résultat pour \$\\PP(P_2-P_1>2)\$)

La variable \$P_1-P_2\$ suit\napproximativement une loi normale \$\\mathcal{N}(0,(0.02)^2 \\times 2000)\$ donc\n\$U=\\frac{P_1-P_2}{0.02\\sqrt{2000}}\$\nsuit approximativement une loi \$\\mathcal{N}(0,1)\$.

Or \$\\PP(U > \\frac{2}{0.02\n\\sqrt{2000}})=\\PP(U>\\frac{1}{0.1\n\\sqrt{20}})=\\PP(U>2.236)\$.

Donc \$\\PP(X_1-X_2>2)=\\PP(U>2.236)=1-\\PP(U<2.236)=0.0129\$.\nOn en déduit que \\[\\PP(|P_1-P_2|>2)=2\n\\times 0.0129=0.0258\\]

La probabilité que l’écart entre les poids des deux échantillons soit\nsupérieur à 2 g est d’environ \$2.6\\%\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "rvC6", "titre": "Calcul de racine carrée", "theme": [ "méthodes numériques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:49.689Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:49.689Z" }, "contenu": [ { "id": "8108d964-c700-41e9-9127-3799acbab8de", "type": "description", "value": { "latex": "La méthode de la corde pour résoudre une équation du type $f(x)=0$ consiste à construire la suite $(x_k)$ définie par\n$$\\forall k \\in \\mathbb{N} : \\quad x_{k+1}=x_k-\\frac{f(x_k)}{f'(x_0)}$$", "html": "

La méthode de la corde pour résoudre une équation du type \$f(x)=0\$ consiste à construire la suite\n\$(x_k)\$ définie par \\[\\forall k \\in \\mathbb{N} : \\quad\nx_{k+1}=x_k-\\frac{f(x_k)}{f'(x_0)}\\]

\n" } }, { "id": "39844acc-62d0-47a6-a731-7ddc4b8f7c4d", "type": "question", "value": { "latex": "Sur un graphique, construire les premières itérations de cette méthode en prenant $f(x)=x^2$ et $x_0=1$.", "html": "

Sur un graphique, construire les premières itérations de cette\nméthode en prenant \$f(x)=x^2\$ et\n\$x_0=1\$.

\n" } }, { "id": "596cb9b0-896c-446a-af0a-a159569f15f7", "type": "reponse", "value": { "latex": "Le principe de construction du point $x_{k+1}$ est le suivant: on prend l'intersection de l'axe des abscisses avec la droite passant par le point $(x_k,f(x_k))$ de pente $f'(x_0)=2x_0=2$. \n\t\t\t\\begin{center} \n\t\t\t\t\\newcommand\\newtfonc[1]{#1*#1) } \n\t\t\t\t\\begin{tikzpicture}[scale=.5]\n\t\t\t\t\\begin{axis}[\n\t\t\t\twidth=14cm, height=10cm,\n\t\t\t\taxis x line=center, \n\t\t\t\taxis y line=middle,\n\t\t\t\txlabel =$x$,\n\t\t\t\tevery axis x label/.style={\n\t\t\t\t\tat={(ticklabel* cs:1.0)},\n\t\t\t\t\tanchor=west,\n\t\t\t\t},\n\t\t\t\tylabel = $y$,\n\t\t\t\tevery axis y label/.style={\n\t\t\t\t\tat={(ticklabel* cs:1)},\n\t\t\t\t\tanchor=south,},\n\t\t\t\tlegend style={draw=none,at={(-.1,1)},anchor=north west,font=\\large },\n\t\t\t\tsamples=100,\n\t\t\t\tymin=-0.6, ymax=1.5,\n\t\t\t\txmin=-1.8, xmax=2.1,\n\t\t\t\tytick={0 },\n\t\t\t\txtick={0 },\n\t\t\t\tlegend cell align=left,\n\t\t\t\t]\n\t\t\t\t\\addplot [mark=none,line width=.5mm,blue,domain= -1.7:2 ]{\\newtfonc{x} };\n\t\t\t\t\\node[label={-90:{\\large{$x_0$}}},circle,fill,red,inner sep=2pt] at (axis cs:1,0) {};\n\t\t\t\t\\node[label={-80:{\\large{$x_1$}}},circle,fill,red,inner sep=2pt] at (axis cs:0.5 ,0) {};\n\t\t\t\t\\node[label={-120:{\\large{$x_2$}}},circle,fill,red,inner sep=2pt] at (axis cs:0.375 ,0) {};\n\t\t\t\t\\addplot [dotted,thick,blue] coordinates { (1,0) (1,1)};\n\t\t\t\t\\addplot [line width=.3mm,red] {2*x-1};\n\t\t\t\t\\addplot [dotted,thick,blue] coordinates { (0.5,0) (0.5,0.25)};\n\t\t\t\t\\addplot [line width=.3mm,red] {2*x-0.75};\n\t\t\t\t\\end{axis}\n\t\t\t\t\\end{tikzpicture}\n\t\t\\end{center}", "html": "

Le principe de construction du point \$x_{k+1}\$ est le suivant: on prend\nl’intersection de l’axe des abscisses avec la droite passant par le\npoint \$(x_k,f(x_k))\$ de pente \$f'(x_0)=2x_0=2\$.

\n\n

\n" } }, { "id": "3d7f78ee-bf49-4c22-96db-b2984c5dc57c", "type": "question", "value": { "latex": "De quelle méthode générale la méthode de la corde est-elle un cas particulier ? Justifier.", "html": "

De quelle méthode générale la méthode de la corde est-elle un cas\nparticulier ? Justifier.

\n" } }, { "id": "618f2830-09ba-4470-b32b-4f912cd5526d", "type": "reponse", "value": { "latex": "La méthode de la corde est un cas particulier de la méthode de point fixe : on a $x_{k+1}=g(x_k)$, où $g$ est la fonction définie par $g(x)=x-\\frac{f(x)}{f'(x_0)}$.", "html": "

La méthode de la corde est un cas particulier de la méthode de point\nfixe : on a \$x_{k+1}=g(x_k)\$, où\n\$g\$ est la fonction définie par \$g(x)=x-\\frac{f(x)}{f'(x_0)}\$.

\n" } }, { "id": "2234ae99-de42-4f13-b0e1-cdfcdb841ec0", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire l'ordre minimal de convergence de la méthode de la corde, quand celle-ci converge.", "html": "

En déduire l’ordre minimal de convergence de la méthode de la corde,\nquand celle-ci converge.

\n" } }, { "id": "aa45d683-bd60-4ac3-9711-a371592ab089", "type": "reponse", "value": { "latex": "Quand une méthode de point fixe converge, elle est au minimum d'ordre $1$.", "html": "

Quand une méthode de point fixe converge, elle est au minimum d’ordre\n\$1\$.

\n" } }, { "id": "3d0ad3a9-5dfb-44f1-ad16-ed10abc3abc2", "type": "description", "value": { "latex": "On souhaite trouver une méthode efficace pour trouver une approximation de la racine carrée d'un nombre positif $A$ donné. Considérons tout d'abord l'algorithme suivant: étant donné une valeur $x_0$, on calcule\n\\[x_{k+1}=x_k+\\frac{A-x^2_k}{2}, \\quad k=0,1,2,... \\]", "html": "

On souhaite trouver une méthode efficace pour trouver une\napproximation de la racine carrée d’un nombre positif \$A\$ donné. Considérons tout d’abord\nl’algorithme suivant: étant donné une valeur \$x_0\$, on calcule \\[x_{k+1}=x_k+\\frac{A-x^2_k}{2}, \\quad\nk=0,1,2,...\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "CuTJ", "titre": "Calcul de reste de division euclidienne", "theme": [ "polynomes" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:04.481Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:04.481Z" }, "contenu": [ { "id": "0771b64b-475d-4d8c-a860-c1fd8492604e", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $P \\in \\mathbb{R}[X]$ un polynôme dont le reste de la division euclidienne par $\\left(X^2-1\\right)$ est $(X+1)$.", "html": "

Soit \$P \\in \\mathbb{R}[X]\$ un\npolynôme dont le reste de la division euclidienne par \$\\left(X^2-1\\right)\$ est \$(X+1)\$.

\n" } }, { "id": "a904621c-0fdb-4448-8c54-ebdec52b4ff3", "type": "question", "value": { "latex": "Quels sont les restes de la division de $P$ par $(X+1)$ ? par $(X-1)$ ?", "html": "

Quels sont les restes de la division de \$P\$ par \$(X+1)\$ ? par \$(X-1)\$ ?

\n" } }, { "id": "2201d019-6d2c-420f-963e-26bc74ea97a0", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a :\n$$\nP(X)=Q(X) \\cdot\\left(X^2-1\\right)+(X+1)\n$$\nQue l'on peut encore écrire :\n$$\nP(X)=Q(X) \\cdot(X-1)(X+1)+(X+1)=(X+1)[Q(X) \\cdot(X-1)+1]+0\n$$\nLe reste de la division par $(X+1)$ est 0.\n\nOn peut aussi écrire :\n$$\nP(X)=Q(X) \\cdot(X-1)(X+1)+\\underbrace{(X-1)+2}_{X+1}=(X-1)[Q(X) \\cdot(X+1)+1]+2\n$$\nLe reste de la division par $(X-1)$ est 2.", "html": "

On a : \\[P(X)=Q(X)\n\\cdot\\left(X^2-1\\right)+(X+1)\\] Que l’on peut encore écrire :\n\\[P(X)=Q(X) \\cdot(X-1)(X+1)+(X+1)=(X+1)[Q(X)\n\\cdot(X-1)+1]+0\\] Le reste de la division par \$(X+1)\$ est 0.

On peut aussi écrire : \\[P(X)=Q(X)\n\\cdot(X-1)(X+1)+\\underbrace{(X-1)+2}_{X+1}=(X-1)[Q(X)\n\\cdot(X+1)+1]+2\\] Le reste de la division par \$(X-1)\$ est 2.

\n" } } ] }, { "uuid": "HJky", "titre": "Calcul de risques", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:09.172Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:09.172Z" }, "contenu": [ { "id": "5db4ede6-511d-4887-8906-1052ca3fe664", "type": "description", "value": { "latex": "On suppose que le poids d'un adulte peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\\mu = 70$ kg et d'écart-type $\\sigma = 15$ kg.\n\n Un ascenseur peut supporter 500 kg avant la surcharge. Les normes de sécurité spécifient que la probabilité de surcharge ne doit pas dépasser 0,0001. On admet que le poids total de $n$ usagers adultes d’ascenseurs, dont les poids sont indépendants, est une variable aléatoire $S = X_1+\\cdots X_n$ où $X_1, \\ldots, X_n$ sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon la loi de $X$.", "html": "

On suppose que le poids d’un adulte peut être modélisé par une\nvariable aléatoire \$X\$ qui suit une\nloi normale d’espérance \$\\mu = 70\$ kg\net d’écart-type \$\\sigma = 15\$ kg.

Un ascenseur peut supporter 500 kg avant la surcharge. Les normes de\nsécurité spécifient que la probabilité de surcharge ne doit pas dépasser\n0,0001. On admet que le poids total de \$n\$ usagers adultes d’ascenseurs, dont les\npoids sont indépendants, est une variable aléatoire \$S = X_1+\\cdots X_n\$ où \$X_1, \\ldots, X_n\$ sont des variables\naléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon la loi de\n\$X\$.

\n" } }, { "id": "b9971d8a-5681-4c10-bc5e-d82184282e22", "type": "question", "value": { "latex": "Justifier que la variable aléatoire $S$ suit une loi normale d’espérance $\\mu_S = 70n$ et d’écart-type $\\sigma_S = 15\\sqrt{n}$.", "html": "

Justifier que la variable aléatoire \$S\$ suit une loi normale d’espérance \$\\mu_S = 70n\$ et d’écart-type \$\\sigma_S = 15\\sqrt{n}\$.

\n" } }, { "id": "e2aa3711-4e0a-4172-a1a3-5c879fba9447", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $S = X_1 + \\cdots + X_n$ où $X_1, \\ldots, X_n$ sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon la loi de $X$. Donc, $S$ est une somme de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. D’après le théorème central limite, $\\frac{S - \\mu_S}{\\sigma_S}$ suit une loi normale centrée réduite. Or par linéarité de l'espérance, on a $\\mu_S = \\mu + \\cdots + \\mu = 70n$. Par propriétés de la variance d'une somme de variables indépendantes, on a $\\sigma_S^2 = \\sigma^2 + \\cdots + \\sigma^2 = 15^2n$. Donc, $\\sigma_S = 15\\sqrt{n}$. Ainsi, $S$ suit une loi normale d’espérance $\\mu_S = 70n$ et d’écart-type $\\sigma_S = 15\\sqrt{n}$.", "html": "

On a \$S = X_1 + \\cdots + X_n\$ où\n\$X_1, \\ldots, X_n\$ sont des variables\naléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon la loi de\n\$X\$. Donc, \$S\$ est une somme de variables aléatoires\nindépendantes et identiquement distribuées. D’après le théorème central\nlimite, \$\\frac{S - \\mu_S}{\\sigma_S}\$\nsuit une loi normale centrée réduite. Or par linéarité de l’espérance,\non a \$\\mu_S = \\mu + \\cdots + \\mu =\n70n\$. Par propriétés de la variance d’une somme de variables\nindépendantes, on a \$\\sigma_S^2 = \\sigma^2 +\n\\cdots + \\sigma^2 = 15^2n\$. Donc, \$\\sigma_S = 15\\sqrt{n}\$. Ainsi, \$S\$ suit une loi normale d’espérance \$\\mu_S = 70n\$ et d’écart-type \$\\sigma_S = 15\\sqrt{n}\$.

\n" } }, { "id": "2825f510-b351-4d32-a6d5-53ae97a6cb91", "type": "question", "value": { "latex": "Justifier que $\\prob(Z > 4{,}475) < 0{,}0001$ où $Z$ est une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite.", "html": "

Justifier que \$\\prob(Z > 4{,}475) <\n0{,}0001\$ où \$Z\$ est une\nvariable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite.

\n" } }, { "id": "c8e17fe9-5711-49e1-81ec-199c1fae7cca", "type": "reponse", "value": { "latex": "D'après la table de valeurs de la loi normale centrée réduite, on a $\\prob(Z < 3{,}99) > 0{,}9999$ donc par croissance de la fonction de répartition, on a $\\prob(Z < 4{,}475) > 0{,}9999$. Donc, $\\prob(Z > 4{,}475) < 0{,}0001$.", "html": "

D’après la table de valeurs de la loi normale centrée réduite, on a\n\$\\prob(Z < 3{,}99) > 0{,}9999\$\ndonc par croissance de la fonction de répartition, on a \$\\prob(Z < 4{,}475) > 0{,}9999\$.\nDonc, \$\\prob(Z > 4{,}475) <\n0{,}0001\$.

\n" } }, { "id": "220b5d3c-3601-4f57-b19c-cd1bc8df37e9", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer les probabilités de surcharge $p_5$ lorsqu’il y a 5 adultes dans l’ascenseur et $p_6$ lorsqu’il y a 6 adultes dans l’ascenseur.", "html": "

Calculer les probabilités de surcharge \$p_5\$ lorsqu’il y a 5 adultes dans\nl’ascenseur et \$p_6\$ lorsqu’il y a 6\nadultes dans l’ascenseur.

\n" } }, { "id": "7d12d6ca-82d5-4275-88e3-aba47f155abd", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour $n = 5$ adultes :\n\n Calcul de l'espérance et de l'écart-type du poids total $S$ :\n \\[\n \\mu_S = n \\times \\mu = 5 \\times 70 = 350 \\ \\text{kg}\n \\]\n \\[\n \\sigma_S = \\sqrt{n} \\times \\sigma = \\sqrt{5} \\times 15 \\approx 33{,}54 \\ \\text{kg}\n \\]\n \n Calcul du score $z$ correspondant à la limite de surcharge (500 kg) :\n \\[\n z_5 = \\frac{500 - \\mu_S}{\\sigma_S} = \\frac{500 - 350}{33{,}54} \\approx 4{,}475\n \\]\n \n Calcul de la probabilité de surcharge $p_5$ :\n \\[\n p_5 = \\prob(S > 500) = \\prob(Z > z_5)\n \\]\n En utilisant lune calculatrice statistique :\n \\[\n \\prob(Z > 4{,}475) \\approx 0{,}000004\n \\]\n \n D'après la question précédente, on a $\\prob(Z > 4{,}475) < 0{,}0001$ donc $p_5 < 0{,}0001$.\n \n \n Pour $n = 6$ adultes :\n \n Calcul de l'espérance et de l'écart-type du poids total $S$ :\n \\[\n \\mu_S = n \\times \\mu = 6 \\times 70 = 420 \\ \\text{kg}\n \\]\n \\[\n \\sigma_S = \\sqrt{n} \\times \\sigma = \\sqrt{6} \\times 15 \\approx 36{,}74 \\ \\text{kg}\n \\]\n \n Calcul du score $z$ correspondant à la limite de surcharge (500 kg) :\n \\[\n z_6 = \\frac{500 - \\mu_S}{\\sigma_S} = \\frac{500 - 420}{36{,}74} \\approx 2{,}177\n \\]\n \n Calcul de la probabilité de surcharge $p_6$ :\n \\[\n p_6 = \\prob(S > 500) = \\prob(Z > z_6)\n \\]\n En utilisant la table de la loi normale centrée réduite :\n \\[\n \\prob(Z > 2{,}177) \\approx 0{,}0148\n \\]\n On a donc $p_6 \\approx 0{,}0148$.", "html": "

Pour \$n = 5\$ adultes :

Calcul de l’espérance et de l’écart-type du poids total \$S\$ : \\[\\mu_S =\nn \\times \\mu = 5 \\times 70 = 350 \\ \\text{kg}\\] \\[\\sigma_S = \\sqrt{n} \\times \\sigma = \\sqrt{5}\n\\times 15 \\approx 33{,}54 \\ \\text{kg}\\]

Calcul du score \$z\$ correspondant\nà la limite de surcharge (500 kg) : \\[z_5 =\n\\frac{500 - \\mu_S}{\\sigma_S} = \\frac{500 - 350}{33{,}54} \\approx\n4{,}475\\]

Calcul de la probabilité de surcharge \$p_5\$ : \\[p_5 =\n\\prob(S > 500) = \\prob(Z > z_5)\\] En utilisant lune\ncalculatrice statistique : \\[\\prob(Z >\n4{,}475) \\approx 0{,}000004\\]

D’après la question précédente, on a \$\\prob(Z > 4{,}475) < 0{,}0001\$ donc\n\$p_5 < 0{,}0001\$.

Pour \$n = 6\$ adultes :

Calcul de l’espérance et de l’écart-type du poids total \$S\$ : \\[\\mu_S =\nn \\times \\mu = 6 \\times 70 = 420 \\ \\text{kg}\\] \\[\\sigma_S = \\sqrt{n} \\times \\sigma = \\sqrt{6}\n\\times 15 \\approx 36{,}74 \\ \\text{kg}\\]

Calcul du score \$z\$ correspondant\nà la limite de surcharge (500 kg) : \\[z_6 =\n\\frac{500 - \\mu_S}{\\sigma_S} = \\frac{500 - 420}{36{,}74} \\approx\n2{,}177\\]

Calcul de la probabilité de surcharge \$p_6\$ : \\[p_6 =\n\\prob(S > 500) = \\prob(Z > z_6)\\] En utilisant la table de\nla loi normale centrée réduite : \\[\\prob(Z\n> 2{,}177) \\approx 0{,}0148\\] On a donc \$p_6 \\approx 0{,}0148\$.

\n" } }, { "id": "32d0cb85-f587-4a5d-9692-fd40fe1ff265", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire le nombre maximal de personnes autorisées à emprunter l’ascenseur.", "html": "

En déduire le nombre maximal de personnes autorisées à emprunter\nl’ascenseur.

\n" } }, { "id": "4801c875-431d-4182-9ed7-2153a22cb64b", "type": "reponse", "value": { "latex": "On cherche le plus grand entier $n$ tel que $p_n \\leq 0{,}0001$. On a $p_5 \\approx 0{,}000004$ et $p_6 \\approx 0{,}0148$. Donc, le nombre maximal de personnes autorisées à emprunter l’ascenseur est 5.", "html": "

On cherche le plus grand entier \$n\$ tel que \$p_n\n\\leq 0{,}0001\$. On a \$p_5 \\approx\n0{,}000004\$ et \$p_6 \\approx\n0{,}0148\$. Donc, le nombre maximal de personnes autorisées à\nemprunter l’ascenseur est 5.

\n" } } ] }, { "uuid": "yp7e", "titre": "Calcul de sommes", "theme": [ "séries" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:57.906Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:57.906Z" }, "contenu": [ { "id": "09c06e68-6f7d-405c-9f36-6ca983daad57", "type": "description", "value": { "latex": "On admet que $\\displaystyle e=\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{1}{n!}$.", "html": "

On admet que \$\\displaystyle\ne=\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{1}{n!}\$.

\n" } }, { "id": "c0877d4d-9bc7-4da6-bb93-f5dca597a4b9", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire la somme : $\\displaystyle \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{(n-1)!}$.", "html": "

En déduire la somme : \$\\displaystyle\n\\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{(n-1)!}\$.

\n" } }, { "id": "391c974f-b786-4f38-b827-eb128ad5c147", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\\begin{align*}\n\t\t\\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{(n-1)!} &= \\sum_{n'=0}^{+\\infty} \\frac{1}{n'!} \\\\\n\t\t &= e\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

\\[\\begin{align*}\n \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{(n-1)!} &=\n\\sum_{n'=0}^{+\\infty} \\frac{1}{n'!} \\\\\n &= e\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "849ab597-9ce9-4fae-b0d5-1732485fdf1d", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer la somme : $\\displaystyle \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{n+1}{n!}$", "html": "

Calculer la somme : \$\\displaystyle\n\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{n+1}{n!}\$

\n" } }, { "id": "95a65c5b-8336-4662-ae9d-c0075707d629", "type": "reponse", "value": { "latex": "On décompose la somme en deux sommes :\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{n+1}{n!} &= \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{n}{n!} + \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{1}{n!} \\\\\n\t\t\t&= \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{(n-1)!} + \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{1}{n!} \\\\\n\t\t\t&= \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{1}{n!} + \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{1}{n!} \\\\\n\t\t\t&= 2e\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

On décompose la somme en deux sommes : \\[\\begin{align*}\n \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{n+1}{n!} &=\n\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{n}{n!} + \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{1}{n!} \\\\\n &= \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{(n-1)!} +\n\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{1}{n!} \\\\\n &= \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{1}{n!} +\n\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{1}{n!} \\\\\n &= 2e\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "71d6b390-8902-47d6-98f7-30bed42da78e", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer la somme : $\\displaystyle \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{n^2-2}{n!}$", "html": "

Calculer la somme : \$\\displaystyle\n\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{n^2-2}{n!}\$

\n" } }, { "id": "37fa2af7-0c56-4168-91d1-be20c803d8d7", "type": "reponse", "value": { "latex": "On décompose la somme en deux sommes :\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\sum_{n\\geq0} \\frac{n^2-2}{n!} &= \\sum_{n\\geq0} \\frac{n^2}{n!} - 2\\sum_{n\\geq0} \\frac{1}{n!} \\\\\n\t\t\t&= \\sum_{n\\geq1} \\frac{n}{(n-1)!} - 2\\sum_{n\\geq0} \\frac{1}{n!} \\\\\n\t\t\t&= \\sum_{n\\geq1} \\frac{n-1+1}{(n-1)!} - 2\\sum_{n\\geq0} \\frac{1}{n!} \\\\\n\t\t\t&= \\sum_{n\\geq2} \\frac{1}{(n-2)!} + \\sum_{n\\geq 1} \\frac{1}{(n-1)!} - 2\\sum_{n\\geq0} \\frac{1}{n!} \\\\\n\t\t\t&= \\sum_{n\\geq0} \\frac{1}{n!} + \\sum_{n\\geq 0} \\frac{1}{n!} - 2\\sum_{n\\geq0} \\frac{1}{n!} \\\\\n\t\t\t&= 0\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

On décompose la somme en deux sommes : \\[\\begin{align*}\n \\sum_{n\\geq0} \\frac{n^2-2}{n!} &= \\sum_{n\\geq0}\n\\frac{n^2}{n!} - 2\\sum_{n\\geq0} \\frac{1}{n!} \\\\\n &= \\sum_{n\\geq1} \\frac{n}{(n-1)!} - 2\\sum_{n\\geq0}\n\\frac{1}{n!} \\\\\n &= \\sum_{n\\geq1} \\frac{n-1+1}{(n-1)!} - 2\\sum_{n\\geq0}\n\\frac{1}{n!} \\\\\n &= \\sum_{n\\geq2} \\frac{1}{(n-2)!} + \\sum_{n\\geq 1}\n\\frac{1}{(n-1)!} - 2\\sum_{n\\geq0} \\frac{1}{n!} \\\\\n &= \\sum_{n\\geq0} \\frac{1}{n!} + \\sum_{n\\geq 0}\n\\frac{1}{n!} - 2\\sum_{n\\geq0} \\frac{1}{n!} \\\\\n &= 0\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "75c4e7f7-0da5-4a77-adf5-13b6d3d47057", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer la somme : $\\displaystyle \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{n^3}{n!}$", "html": "

Calculer la somme : \$\\displaystyle\n\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{n^3}{n!}\$

\n" } }, { "id": "a4fdd257-8b9b-444a-860d-d76576b0bfa2", "type": "reponse", "value": { "latex": "On simplifie :\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\sum_{n\\geq0} \\frac{n^3}{n!} &= \\sum_{n\\geq0} \\frac{n^2}{(n-1)!} \\\\\n\t\t\t&= \\sum_{n\\geq1} \\frac{n(n-1)+n-1+1}{(n-1)!} \\\\\n\t\t\t&= \\sum_{n\\geq1} \\frac{n(n-1)}{(n-1)!} + \\sum_{n\\geq1} \\frac{n-1}{(n-1)!} + \\sum_{n\\geq1} \\frac{1}{(n-1)!} \\\\\n\t\t\t&= \\sum_{n\\geq2} \\frac{n}{(n-2)!} + \\sum_{n\\geq2} \\frac{1}{(n-2)!} + \\sum_{n\\geq1} \\frac{1}{(n-1)!} \\\\\n\t\t\t&= \\sum_{n\\geq2} \\frac{n-2+2}{(n-2)!} + \\sum_{n\\geq2} \\frac{1}{(n-2)!} + \\sum_{n\\geq1} \\frac{1}{(n-1)!} \\\\\n\t\t\t&= \\sum_{n\\geq3} \\frac{1}{(n-3)!} + \\sum_{n\\geq2} \\frac{2}{(n-2)!} + \\sum_{n\\geq2} \\frac{1}{(n-2)!} + \\sum_{n\\geq1} \\frac{1}{(n-1)!} \\\\\n\t\t\t&= \\sum_{n\\geq0} \\frac{1}{n!} + 2\\sum_{n\\geq0} \\frac{1}{n!} + \\sum_{n\\geq0} \\frac{1}{n!} + \\sum_{n\\geq0} \\frac{1}{n!} \\\\\n\t\t\t&= 5e\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

On simplifie : \\[\\begin{align*}\n \\sum_{n\\geq0} \\frac{n^3}{n!} &= \\sum_{n\\geq0}\n\\frac{n^2}{(n-1)!} \\\\\n &= \\sum_{n\\geq1} \\frac{n(n-1)+n-1+1}{(n-1)!} \\\\\n &= \\sum_{n\\geq1} \\frac{n(n-1)}{(n-1)!} + \\sum_{n\\geq1}\n\\frac{n-1}{(n-1)!} + \\sum_{n\\geq1} \\frac{1}{(n-1)!} \\\\\n &= \\sum_{n\\geq2} \\frac{n}{(n-2)!} + \\sum_{n\\geq2}\n\\frac{1}{(n-2)!} + \\sum_{n\\geq1} \\frac{1}{(n-1)!} \\\\\n &= \\sum_{n\\geq2} \\frac{n-2+2}{(n-2)!} + \\sum_{n\\geq2}\n\\frac{1}{(n-2)!} + \\sum_{n\\geq1} \\frac{1}{(n-1)!} \\\\\n &= \\sum_{n\\geq3} \\frac{1}{(n-3)!} + \\sum_{n\\geq2}\n\\frac{2}{(n-2)!} + \\sum_{n\\geq2} \\frac{1}{(n-2)!} + \\sum_{n\\geq1}\n\\frac{1}{(n-1)!} \\\\\n &= \\sum_{n\\geq0} \\frac{1}{n!} + 2\\sum_{n\\geq0}\n\\frac{1}{n!} + \\sum_{n\\geq0} \\frac{1}{n!} + \\sum_{n\\geq0} \\frac{1}{n!}\n\\\\\n &= 5e\n \\end{align*}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "2e83bb7c-fa42-4728-9349-7eef3b9606ad", "titre": "Calcul différentiel", "theme": [ "Optimisation" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:43.861Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:43.861Z" }, "contenu": [ { "id": "9c2cf39f-c727-4497-99c9-131deb538fcf", "type": "description", "value": { "latex": "Cet exercice traite des notions de dérivées partielles, continuité et différentiabilité.", "html": "

Cet exercice traite des notions de dérivées partielles, continuité et\ndifférentiabilité.

\n" } }, { "id": "44d3976a-8df9-480d-830c-62cd31765019", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $E$ un $\\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire $\\langle \\cdot, \\cdot \\rangle$. Montrer la continuité, puis la différentiabilité et calculer la différentielle de l'application \"produit scalaire\" $\\Phi : E^2 \\to \\mathbb{R}$ définie par $\\Phi(x, y) = \\langle x, y \\rangle$ pour tous $(x, y) \\in E^2$.", "html": "

Soit \$E\$ un \$\\mathbb{R}\$-espace vectoriel muni d’un\nproduit scalaire \$\\langle \\cdot, \\cdot\n\\rangle\$. Montrer la continuité, puis la différentiabilité et\ncalculer la différentielle de l’application \"produit scalaire\" \$\\Phi : E^2 \\to \\mathbb{R}\$ définie par\n\$\\Phi(x, y) = \\langle x, y \\rangle\$\npour tous \$(x, y) \\in E^2\$.

\n" } }, { "id": "a830e878-9214-4936-9e87-aa06bdec7690", "type": "reponse", "value": { "latex": "L'application $\\Phi$ est bilinéaire, donc sa continuité sur $E^2$ équivaut à sa continuité en $(0, 0)$. D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a \n \\[\n |\\Phi(x, y)| \\leq \\|x\\| \\cdot \\|y\\| \\quad \\text{pour tous } (x, y) \\in E^2.\n \\]\n \n Pour la différentiabilité, fixons $(x, y) \\in E^2$ et $(h, k) \\in E^2$. On a :\n \\[\n \\Phi(x + h, y + k) = \\Phi(x, y) + \\Phi(x, k) + \\Phi(h, y) + \\Phi(h, k),\n \\]\n donc la différentielle de $\\Phi$ en $(x, y)$ est donnée par $d\\Phi_{(x, y)}(h, k) = \\langle x, k \\rangle + \\langle y, h \\rangle$.", "html": "

L’application \$\\Phi\$ est\nbilinéaire, donc sa continuité sur \$E^2\$ équivaut à sa continuité en \$(0, 0)\$. D’après l’inégalité de\nCauchy-Schwarz, on a \\[|\\Phi(x, y)| \\leq\n\\|x\\| \\cdot \\|y\\| \\quad \\text{pour tous } (x, y) \\in E^2.\\]

Pour la différentiabilité, fixons \$(x, y)\n\\in E^2\$ et \$(h, k) \\in E^2\$.\nOn a : \\[\\Phi(x + h, y + k) = \\Phi(x, y) +\n\\Phi(x, k) + \\Phi(h, y) + \\Phi(h, k),\\] donc la différentielle de\n\$\\Phi\$ en \$(x, y)\$ est donnée par \$d\\Phi_{(x, y)}(h, k) = \\langle x, k \\rangle +\n\\langle y, h \\rangle\$.

\n" } }, { "id": "f3d97966-82d2-4ef0-b348-46d0da0ad303", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $A \\in \\mathcal{M}_{n,m}(\\mathbb{R})$. Montrer que l'application $J : \\mathbb{R}^m \\to \\mathbb{R}$ définie par $J(X) = \\|AX\\|^2$ est différentiable et calculer sa différentielle. Montrer ensuite que l'application $G : \\mathbb{R}^m \\to \\mathbb{R}$ définie par $G(X) = f(J(X))$ pour une fonction $f \\in C^1(\\mathbb{R})$ est différentiable et calculer sa différentielle.", "html": "

Soit \$A \\in\n\\mathcal{M}_{n,m}(\\mathbb{R})\$. Montrer que l’application \$J : \\mathbb{R}^m \\to \\mathbb{R}\$ définie\npar \$J(X) = \\|AX\\|^2\$ est\ndifférentiable et calculer sa différentielle. Montrer ensuite que\nl’application \$G : \\mathbb{R}^m \\to\n\\mathbb{R}\$ définie par \$G(X) =\nf(J(X))\$ pour une fonction \$f \\in\nC^1(\\mathbb{R})\$ est différentiable et calculer sa\ndifférentielle.

\n" } }, { "id": "2e54c333-5ec5-45d4-a1b7-cb27d0afcfd7", "type": "reponse", "value": { "latex": "L'application $X \\mapsto \\|AX\\|^2$ est polynomiale, donc elle est différentiable sur $\\mathbb{R}^m$. En particulier, on a\n \\[\n J(X) = \\langle AX, AX \\rangle = \\langle A^TAX, X \\rangle,\n \\]\n et la différentielle de $J$ en $X$ est donnée par $d_X J(h) = 2 \\langle A^TAX, h \\rangle$ pour tout $h \\in \\mathbb{R}^m$.\n\n Pour l'application $G$, on applique le théorème de composition des différentielles. On obtient :\n $$\n d_X G(h) = f'(J(X)) \\cdot d_X J(h) = 2 f'(J(X)) \\langle A^TAX, h \\rangle.\n $$", "html": "

L’application \$X \\mapsto \\|AX\\|^2\$\nest polynomiale, donc elle est différentiable sur \$\\mathbb{R}^m\$. En particulier, on a \\[J(X) = \\langle AX, AX \\rangle = \\langle A^TAX, X\n\\rangle,\\] et la différentielle de \$J\$ en \$X\$ est donnée par \$d_X J(h) = 2 \\langle A^TAX, h \\rangle\$\npour tout \$h \\in \\mathbb{R}^m\$.

Pour l’application \$G\$, on\napplique le théorème de composition des différentielles. On obtient :\n\\[d_X G(h) = f'(J(X)) \\cdot d_X J(h) = 2\nf'(J(X)) \\langle A^TAX, h \\rangle.\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "6NIK", "titre": "Calcul par approximation", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:21:57.461Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:57.461Z" }, "contenu": [ { "id": "34343999-5cea-466a-b719-4aa268a98b1e", "type": "description", "value": { "latex": "Un fournisseur d'accès internet met en place un point local d'accès qui dessert $\\nombre{5000}$ abonnés. À un instant donné, chaque abonné a une probabilité égale à $0.20$ d'être connecté. Les comportements des abonnés sont supposés indépendants les uns des autres.", "html": "

Un fournisseur d’accès internet met en place un point local d’accès\nqui dessert \$\\nombre{5000}\$ abonnés.\nÀ un instant donné, chaque abonné a une probabilité égale à \$0.20\$ d’être connecté. Les comportements\ndes abonnés sont supposés indépendants les uns des autres.

\n" } }, { "id": "89b3eb8e-f5fb-44f7-b71d-cd775b044064", "type": "question", "value": { "latex": "On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'abonnés connectés à un instant $t$. Quelle est la loi de $X$ ? Quelle est son espérance ? Son écart-type ?", "html": "

On note \$X\$ la variable aléatoire\négale au nombre d’abonnés connectés à un instant \$t\$. Quelle est la loi de \$X\$ ? Quelle est son espérance ? Son\nécart-type ?

\n" } }, { "id": "045c912c-e00a-473a-b706-8c4f99873fc9", "type": "reponse", "value": { "latex": "$X\\sim \\mathcal{B}(\\nombre{5000},0.2)$, $\\E(X)=\\nombre{1000}$ et $\\sigma^2(X)=800$.", "html": "

\$X\\sim\n\\mathcal{B}(\\nombre{5000},0.2)\$, \$\\E(X)=\\nombre{1000}\$ et \$\\sigma^2(X)=800\$.

\n" } }, { "id": "256f9cc5-ef72-4c14-9d24-e9a9cb78a75f", "type": "question", "value": { "latex": "On pose $Y=\\frac{X-\\nombre{1000}}{\\sqrt{800}}$. Justifier précisément que l'on peut approcher la loi de $Y$ par la loi normale centrée réduite.", "html": "

On pose \$Y=\\frac{X-\\nombre{1000}}{\\sqrt{800}}\$.\nJustifier précisément que l’on peut approcher la loi de \$Y\$ par la loi normale centrée réduite.

\n" } }, { "id": "989fe290-e976-4514-b4a2-c7308730ee08", "type": "reponse", "value": { "latex": "$X$ peut être approchée par une loi $\\mathcal{N}(\\nombre{1000},\\sigma=\\sqrt{800})$ donc en centrant et en réduisant, on obtient que $Y\\sim \\mathcal{N}(0,1)$.", "html": "

\$X\$ peut être approchée par une\nloi \$\\mathcal{N}(\\nombre{1000},\\sigma=\\sqrt{800})\$\ndonc en centrant et en réduisant, on obtient que \$Y\\sim \\mathcal{N}(0,1)\$.

\n" } }, { "id": "6d95244a-afa1-4361-a999-368e98c5b243", "type": "question", "value": { "latex": "Le fournisseur d'accès souhaite savoir combien de connexions simultanées le point d'accès doit pouvoir gérer pour que sa probabilité d'être saturé à un instant donné soit inférieure à $2.5$\\%. En utilisant l'approximation précédente, proposer une valeur approchée de ce nombre de connexions.", "html": "

Le fournisseur d’accès souhaite savoir combien de connexions\nsimultanées le point d’accès doit pouvoir gérer pour que sa probabilité\nd’être saturé à un instant donné soit inférieure à \$2.5\$%. En utilisant l’approximation\nprécédente, proposer une valeur approchée de ce nombre de\nconnexions.

\n" } }, { "id": "35679801-ef5d-4414-a7eb-b82d1a1a0b56", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $n$ le nombre de connexions simultanées au point d'accès. On cherche $n$ tel que $\\prob(X\\geq n)\\leq 0.025$, c'est-à-dire\n\t\t\\[ \\prob\\left(Y\\geq \\frac{n-\\nombre{1000}}{\\sqrt{800}}\\right) \\leq 0.025 ,\\]\n\t\tautrement dit\n\t\t\\[ \\prob\\left(Y\\leq \\frac{n-\\nombre{1000}}{\\sqrt{800}}\\right) \\geq 0.975.\\]\n\t\tPar lecture de table de loi, on obtient $\\displaystyle\\frac{n-\\nombre{1000}}{\\sqrt{800}}\\simeq 1.96$, soit $n\\simeq 1055.44$.\n\t\tOn en conclut qu'il faut qu'au minimum le point d'accès puisse gérer $1056$ connexions simultanées pour que la probabilité d'être saturé soit inférieure à $2.5$\\%.", "html": "

Soit \$n\$ le nombre de connexions\nsimultanées au point d’accès. On cherche \$n\$ tel que \$\\prob(X\\geq n)\\leq 0.025\$, c’est-à-dire\n\\[\\prob\\left(Y\\geq\n\\frac{n-\\nombre{1000}}{\\sqrt{800}}\\right) \\leq 0.025 ,\\]\nautrement dit \\[\\prob\\left(Y\\leq\n\\frac{n-\\nombre{1000}}{\\sqrt{800}}\\right) \\geq 0.975.\\] Par\nlecture de table de loi, on obtient \$\\displaystyle\\frac{n-\\nombre{1000}}{\\sqrt{800}}\\simeq\n1.96\$, soit \$n\\simeq\n1055.44\$. On en conclut qu’il faut qu’au minimum le point\nd’accès puisse gérer \$1056\$\nconnexions simultanées pour que la probabilité d’être saturé soit\ninférieure à \$2.5\$%.

\n" } } ] }, { "uuid": "B3ac", "titre": "Calcul par approximation", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:22:02.573Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:02.573Z" }, "contenu": [ { "id": "72b9a254-0b82-4aee-a144-79f35f4fd4f0", "type": "description", "value": { "latex": "L'observation a permis d'affirmer que le nombre d'étudiants qui entrent à la bibliothèque entre 9h00 et 10h30 suit une loi de Poisson de paramètre $16$ dont voici un extrait de la table:\n\t\\begin{center}\n\t\t\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\n\t\t\t\\hline\n\t\t\t$k$ & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 \\\\\n\t\t\t\\hline\n\t\t\t$\\prob(X\\leq k)$ & $0.3675$ & $0.4667$ & $0.5660$ & $0.6593$ & $0.7423$ \\\\\n\t\t\t\\hline\n\t\t\\end{tabular}\n\t\\end{center}", "html": "

L’observation a permis d’affirmer que le nombre d’étudiants qui\nentrent à la bibliothèque entre 9h00 et 10h30 suit une loi de Poisson de\nparamètre \$16\$ dont voici un extrait\nde la table:

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

\$k\$	14	15	16	17	18
\$\\prob(X\\leq\nk)\$	\$0.3675\$	\$0.4667\$	\$0.5660\$	\$0.6593\$	\$0.7423\$

\n" } }, { "id": "5037136e-4f35-4fda-b3ef-eeeade34795e", "type": "question", "value": { "latex": "En utilisant le tableau ci-dessus, déterminer $\\prob(X=15)$.", "html": "

En utilisant le tableau ci-dessus, déterminer \$\\prob(X=15)\$.

\n" } }, { "id": "c0bd2378-9461-4fb3-a075-8a9c75531089", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\prob(X=15)=\\prob(X\\leq 15)-\\prob(X\\leq 14)=0.4667-0.3675 \\simeq 0,0992$.", "html": "

\$\\prob(X=15)=\\prob(X\\leq 15)-\\prob(X\\leq\n14)=0.4667-0.3675 \\simeq 0,0992\$.

\n" } }, { "id": "cb24e090-5f88-4124-bdbb-2cd55746527a", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer les paramètres de la loi normale que suit la variable aléatoire $Y$ qui approche $X$.", "html": "

Déterminer les paramètres de la loi normale que suit la variable\naléatoire \$Y\$ qui approche \$X\$.

\n" } }, { "id": "3890e80f-55a3-4fcf-a430-438b9a167182", "type": "reponse", "value": { "latex": "$X$ peut être approchée par $Y$ qui suit la loi $\\mathcal{N}(\\mu=16,\\sigma^2=16)$.", "html": "

\$X\$ peut être approchée par \$Y\$ qui suit la loi \$\\mathcal{N}(\\mu=16,\\sigma^2=16)\$.

\n" } }, { "id": "4e05827a-da3a-4708-8f2e-8c9d0ac6925a", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\alpha=\\prob(14.5\\leq Y\\leq 15.5)$. Quel est le lien entre $\\alpha$ et $\\prob(X=15)$ ?", "html": "

Calculer \$\\alpha=\\prob(14.5\\leq Y\\leq\n15.5)\$. Quel est le lien entre \$\\alpha\$ et \$\\prob(X=15)\$ ?

\n" } }, { "id": "833739da-2202-4362-bc28-a08b162a0fc7", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a\n\t\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\t\\alpha=\\prob(14.5\\leq Y\\leq 15.5)\n\t\t\t\t&= \\p\\left(\\frac{-1.5}{\\sqrt{16}}\\leq \\frac{Y-16}{\\sqrt{16}} \\leq \\frac{-0.5}{\\sqrt{16}} \\right) \\\\\n\t\t\t\t&= \\prob(-0.375\\leq Z\\leq -0.125), \\quad \\text{ où } Z \\sim \\mathcal{N}(0,1) \\\\\n\t\t\t\t&= \\prob(0.125\\leq Z\\leq 0.375) \\\\\n\t\t\t\t&= \\prob(Z\\leq 0.375)-\\prob(Z\\leq 0.125) \\\\\n\t\t\t\t&= 0.64615-0.54975 \\\\\n\t\t\t\t&= 0.0964\n\t\t\t\t\\end{align*}$$\n\t\t\t\t$\\alpha$ est une approximation (avec correction de continuité) de $\\prob(X=15)$. En effet,\n\t\t\t\t\\[ \\prob(X=15)=\\prob(14.5\\leq X\\leq 15.5) \\simeq \\prob(14.5\\leq Y\\leq 15.5).\n\t\t\t\t\\]", "html": "

On a \\[\\begin{align*}\n \\alpha=\\prob(14.5\\leq Y\\leq 15.5)\n &= \\p\\left(\\frac{-1.5}{\\sqrt{16}}\\leq\n\\frac{Y-16}{\\sqrt{16}} \\leq \\frac{-0.5}{\\sqrt{16}} \\right) \\\\\n &= \\prob(-0.375\\leq Z\\leq -0.125), \\quad \\text{ où }\nZ \\sim \\mathcal{N}(0,1) \\\\\n &= \\prob(0.125\\leq Z\\leq 0.375) \\\\\n &= \\prob(Z\\leq 0.375)-\\prob(Z\\leq 0.125) \\\\\n &= 0.64615-0.54975 \\\\\n &= 0.0964\n \\end{align*}\\] \$\\alpha\$ est une approximation (avec\ncorrection de continuité) de \$\\prob(X=15)\$. En effet, \\[\\prob(X=15)=\\prob(14.5\\leq X\\leq 15.5) \\simeq\n\\prob(14.5\\leq Y\\leq 15.5).\\]

\n" } }, { "id": "b5d38d36-4426-4f17-b941-8aba0379eacc", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer une approximation de $\\prob(15\\leq X\\leq 20)$.", "html": "

Déterminer une approximation de \$\\prob(15\\leq X\\leq 20)\$.

\n" } }, { "id": "817c2fa7-75b2-4317-a85b-a5587b9d2a62", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\prob(15\\leq X\\leq 20)\n\t\t\t&=\\prob(14.5\\leq X\\leq 20.5) \\\\\n\t\t\t&\\simeq \\prob(14.5\\leq Y\\leq 20.5) \\\\\n\t\t\t& \\simeq \\p\\left(-0.375 \\leq \\frac{Y-16}{4}\\leq 1.125\\right) \\\\\n\t\t\t& \\simeq \\prob(Z\\leq 1.125) - \\prob(Z\\leq -0.375) \\\\\n\t\t\t& \\simeq \\prob(Z\\leq 1.125) -(1-\\prob(Z\\leq 0.375)) \\\\\n\t\t\t& \\simeq 0.8697 -1 + 0.64615\\\\\n\t\t\t&\\simeq 0.51585\n\t\t\t\\end{align*}$$", "html": "

\\[\\begin{align*}\n \\prob(15\\leq X\\leq 20)\n &=\\prob(14.5\\leq X\\leq 20.5) \\\\\n &\\simeq \\prob(14.5\\leq Y\\leq 20.5) \\\\\n & \\simeq \\p\\left(-0.375 \\leq \\frac{Y-16}{4}\\leq\n1.125\\right) \\\\\n & \\simeq \\prob(Z\\leq 1.125) - \\prob(Z\\leq -0.375) \\\\\n & \\simeq \\prob(Z\\leq 1.125) -(1-\\prob(Z\\leq 0.375)) \\\\\n & \\simeq 0.8697 -1 + 0.64615\\\\\n &\\simeq 0.51585\n \\end{align*}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "6er6", "titre": "Calculs avec une loi normale", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:58.031Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:58.031Z" }, "contenu": [ { "id": "b29b2ecf-d8c8-4994-82b9-7459ba741fa4", "type": "description", "value": { "latex": "La demande d'un produit au cours d'une saison suit sensiblement la loi normale de moyenne $\\nombre{5000}$ et d'écart-type $\\nombre{1000}$.", "html": "

La demande d’un produit au cours d’une saison suit sensiblement la\nloi normale de moyenne \$\\nombre{5000}\$ et d’écart-type \$\\nombre{1000}\$.

\n" } }, { "id": "46bc2b47-cc30-4703-9861-342180d63ff6", "type": "question", "value": { "latex": "Quel niveau de stock doit-on maintenir en début de saison pour que la demande soit satisfaite dans $90$\\% des cas ?", "html": "

Quel niveau de stock doit-on maintenir en début de saison pour que la\ndemande soit satisfaite dans \$90\$%\ndes cas ?

\n" } }, { "id": "099bd555-a55b-4a3d-a4b8-1fe11f4b0248", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $X$ le nombre de produits demandés au cours d'une saison. Par l'énoncé, on sait que $X\\sim\\mathcal{N}(\\nombre{5000},\\sigma=\\nombre{1000})$. \\\\\n\tSoit $\\alpha$ le niveau de stock en début de saison. On cherche $\\alpha$ tel que $\\prob(X\\leq \\alpha)=\\nombre{0.9}$, ce qui donne:\n\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\prob\\left(\\frac{X-\\nombre{5000}}{\\nombre{1000}}\\leq \\frac{\\alpha-\\nombre{5000}}{\\nombre{1000}}\\right)=0.9 \\quad\n\t\t& \\Leftrightarrow \\quad \\prob\\left(Z\\leq \\frac{\\alpha-\\nombre{5000}}{\\nombre{1000}}\\right)=\\nombre{0.9}, \\quad \\text{ avec } Z=\\frac{X-\\nombre{5000}}{\\nombre{1000}}\\sim \\mathcal{N}(0,1)\n\t\\end{align*}$$\n\tPar lecture de la table de loi $\\mathcal{N}(0,1)$, on obtient $\\frac{\\alpha-\\nombre{5000}}{\\nombre{1000}}\\simeq 1.29$, c'est-à-dire $\\alpha \\simeq 6290$. \\\\\n\tLe niveau de stock en début de saison doit être de $6290$ unités pour satisfaire la demande dans $90$\\% des cas.", "html": "

Soit \$X\$ le nombre de produits\ndemandés au cours d’une saison. Par l’énoncé, on sait que \$X\\sim\\mathcal{N}(\\nombre{5000},\\sigma=\\nombre{1000})\$.
\nSoit \$\\alpha\$ le niveau de stock en\ndébut de saison. On cherche \$\\alpha\$\ntel que \$\\prob(X\\leq\n\\alpha)=\\nombre{0.9}\$, ce qui donne: \\[\\begin{align*}\n \\prob\\left(\\frac{X-\\nombre{5000}}{\\nombre{1000}}\\leq\n\\frac{\\alpha-\\nombre{5000}}{\\nombre{1000}}\\right)=0.9 \\quad\n & \\Leftrightarrow \\quad \\prob\\left(Z\\leq\n\\frac{\\alpha-\\nombre{5000}}{\\nombre{1000}}\\right)=\\nombre{0.9}, \\quad\n\\text{ avec } Z=\\frac{X-\\nombre{5000}}{\\nombre{1000}}\\sim\n\\mathcal{N}(0,1)\n \\end{align*}\\] Par lecture de la table de loi \$\\mathcal{N}(0,1)\$, on obtient \$\\frac{\\alpha-\\nombre{5000}}{\\nombre{1000}}\\simeq\n1.29\$, c’est-à-dire \$\\alpha \\simeq\n6290\$.
\nLe niveau de stock en début de saison doit être de \$6290\$ unités pour satisfaire la demande\ndans \$90\$% des cas.

\n" } } ] }, { "uuid": "CXUp", "titre": "Calculs avec une loi normale", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:04.315Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:04.315Z" }, "contenu": [ { "id": "d961b611-8ab5-4f87-a463-aa13b7fcde60", "type": "description", "value": { "latex": "On suppose que la durée annuelle de travail des personnes non-salariées suit une loi normale d'espérance 2600 heures et d'écart-type de 200 heures.", "html": "

On suppose que la durée annuelle de travail des personnes\nnon-salariées suit une loi normale d’espérance 2600 heures et\nd’écart-type de 200 heures.

\n" } }, { "id": "d1d60cc3-ea9b-4645-9a24-a7ae3f16103e", "type": "question", "value": { "latex": "Quelle est la probabilité pour qu'un non-salarié pris au hasard travaille moins de 3000 heures ? Entre 2500 heures et 2700 heures ? Faire les calculs avec la table de valeurs puis vérifier avec un tableur.", "html": "

Quelle est la probabilité pour qu’un non-salarié pris au hasard\ntravaille moins de 3000 heures ? Entre 2500 heures et 2700 heures ?\nFaire les calculs avec la table de valeurs puis vérifier avec un\ntableur.

\n" } } ] }, { "uuid": "uPmr", "titre": "Calculs avec une loi normale", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:52.714Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:52.714Z" }, "contenu": [ { "id": "a0cfe874-5117-46d9-bf82-c6b94f78b274", "type": "description", "value": { "latex": "On suppose que la température (en degré Celsius) dans la ville de Rennes au mois de janvier est une variable aléatoire $T$ qui suit une loi normale $\\mathcal{N}(\\mu,\\sigma)$, d'écart-type $\\sigma=4$.", "html": "

On suppose que la température (en degré Celsius) dans la ville de\nRennes au mois de janvier est une variable aléatoire \$T\$ qui suit une loi normale \$\\mathcal{N}(\\mu,\\sigma)\$, d’écart-type\n\$\\sigma=4\$.

\n" } }, { "id": "8e1038ca-0e90-48b6-b789-e811936b4f3a", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer $\\mu$ lorsque $\\prob(T>2)=0.33$.", "html": "

Déterminer \$\\mu\$ lorsque \$\\prob(T>2)=0.33\$.

\n" } }, { "id": "5350bd15-64af-47cb-b722-fef3c26bc144", "type": "reponse", "value": { "latex": "$T\\sim \\mathcal{N}(\\mu,\\sigma=4)$ \n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\prob(T>2)=0.33 \\quad & \\Leftrightarrow \\quad \\p\\left(\\frac{T-\\mu}{4}>\\frac{2-\\mu}{4}\\right)=0.33 \\\\\n\t\t\t& \\Leftrightarrow \\quad \\p\\left(Z>\\frac{2-\\mu}{4}\\right)=0.33 \\quad \\text{ où } Z\\sim\\mathcal{N}(0,1) \\\\\n\t\t\t& \\Leftrightarrow \\quad \\p\\left(Z\\leq \\frac{2-\\mu}{4}\\right)=0.67\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tdonc $\\frac{2-\\mu}{4}=0.44$ par lecture de la table de loi $\\mathcal{N}(0,1)$.\n\t\tD'où $\\mu=0.24$.", "html": "

\$T\\sim \\mathcal{N}(\\mu,\\sigma=4)\$\n\\[\\begin{align*}\n \\prob(T>2)=0.33 \\quad & \\Leftrightarrow \\quad\n\\p\\left(\\frac{T-\\mu}{4}>\\frac{2-\\mu}{4}\\right)=0.33 \\\\\n & \\Leftrightarrow \\quad\n\\p\\left(Z>\\frac{2-\\mu}{4}\\right)=0.33 \\quad \\text{ où }\nZ\\sim\\mathcal{N}(0,1) \\\\\n & \\Leftrightarrow \\quad \\p\\left(Z\\leq\n\\frac{2-\\mu}{4}\\right)=0.67\n \\end{align*}\\] donc \$\\frac{2-\\mu}{4}=0.44\$ par lecture de la\ntable de loi \$\\mathcal{N}(0,1)\$. D’où\n\$\\mu=0.24\$.

\n" } }, { "id": "fbed1e82-aee6-4da3-b1cd-9548fe4f17f5", "type": "question", "value": { "latex": "Pour la valeur de $\\mu$ ainsi obtenue, déterminer $\\prob(T\\leq 0)$.", "html": "

Pour la valeur de \$\\mu\$ ainsi\nobtenue, déterminer \$\\prob(T\\leq\n0)\$.

\n" } }, { "id": "8ee84cee-52ae-4487-9736-c4a924652783", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\prob(T\\leq 0)\n\t\t\t&=\\p\\left(\\frac{T-\\mu}{4}\\leq \\frac{-\\mu}{4}\\right) \\\\\n\t\t\t&=\\p\\left(\\frac{T-0.24}{4}\\leq -0.06\\right) \\\\\n\t\t\t&=\\prob(Z\\leq -0.06) \\quad \\text{ en posant } Z=\\frac{T-0.24}{4}, \\quad \\text{ ainsi } Z \\sim \\mathcal{N}(0,1) \\\\\n\t\t\t&= \\prob(Z\\geq 0.06) \\\\\n\t\t\t&= 1-\\prob(Z\\leq 0.06) \\\\\n\t\t\t&= 1- 0.5239 \\\\\n\t\t\t&= 0.4761\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

\\[\\begin{align*}\n \\prob(T\\leq 0)\n &=\\p\\left(\\frac{T-\\mu}{4}\\leq \\frac{-\\mu}{4}\\right) \\\\\n &=\\p\\left(\\frac{T-0.24}{4}\\leq -0.06\\right) \\\\\n &=\\prob(Z\\leq -0.06) \\quad \\text{ en posant }\nZ=\\frac{T-0.24}{4}, \\quad \\text{ ainsi } Z \\sim \\mathcal{N}(0,1) \\\\\n &= \\prob(Z\\geq 0.06) \\\\\n &= 1-\\prob(Z\\leq 0.06) \\\\\n &= 1- 0.5239 \\\\\n &= 0.4761\n \\end{align*}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "ZVIr", "titre": "Calculs de lois", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime NGUYEN", "createdAt": "2024-11-06T20:22:27.340Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:27.340Z" }, "contenu": [ { "id": "f02a5621-0300-40ef-aabc-8be007053e7a", "type": "description", "value": { "latex": "Soient $\\left(X_i\\right)_{1 \\leq i \\leq 9}$ des variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées, suivant chacune une loi normale de moyenne $\\mu = 2$ et de variance $\\sigma^2 = 9$.", "html": "

Soient \$\\left(X_i\\right)_{1 \\leq i \\leq\n9}\$ des variables aléatoires indépendantes, identiquement\ndistribuées, suivant chacune une loi normale de moyenne \$\\mu = 2\$ et de variance \$\\sigma^2 = 9\$.

\n" } }, { "id": "bae6a737-22c4-43a5-96b6-5e7235298df1", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la probabilité de l'événement $\\{X_1 \\geq 1\\}$.", "html": "

Déterminer la probabilité de l’événement \$\\{X_1 \\geq 1\\}\$.

\n" } }, { "id": "bbaeee6b-f59a-4c94-b5bf-15be2455674a", "type": "reponse", "value": { "latex": "$X_1$ suit une loi $\\mathcal{N}(2,3^2)$ donc $\\PP(X_1 \\geq 1)=\\PP(\\frac{X_1-2}{3} \\geq \\frac{1-2}{3}) = \\PP(U \\geq -0.3333)$ où $U$ suit une loi $\\mathcal{N}(0,1)$. Or par symétrie, $\\PP(U \\geq -0.3333) = \\PP(U \\leq 0.3333)$ et d'après la table, $\\PP(U \\leq 0.3333)=0.6293$\n\t\t\n\t\tDonc \\fbox{$\\PP(X_1 \\geq 1)=0.6293$}", "html": "

\$X_1\$ suit une loi \$\\mathcal{N}(2,3^2)\$ donc \$\\PP(X_1 \\geq 1)=\\PP(\\frac{X_1-2}{3} \\geq\n\\frac{1-2}{3}) = \\PP(U \\geq -0.3333)\$ où \$U\$ suit une loi \$\\mathcal{N}(0,1)\$. Or par symétrie, \$\\PP(U \\geq -0.3333) = \\PP(U \\leq 0.3333)\$\net d’après la table, \$\\PP(U \\leq\n0.3333)=0.6293\$

Donc

\n" } }, { "id": "f609f210-fe06-4734-a5bd-34b9f32d1619", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $Y$ la variable aléatoire définie par $$Y = \\frac{1}{9}\\sum_{i=1}^9 X_i$$ Déterminer la loi de $Y$ et calculer $\\PP(Y \\geq 1)$.", "html": "

Soit \$Y\$ la variable aléatoire\ndéfinie par \\[Y = \\frac{1}{9}\\sum_{i=1}^9\nX_i\\] Déterminer la loi de \$Y\$\net calculer \$\\PP(Y \\geq 1)\$.

\n" } }, { "id": "e975afc9-fcbb-4341-9dd9-8a9b6a3395c2", "type": "reponse", "value": { "latex": "On sait que $\\mathbb{E}(Y)=\\frac{1}{9} \\sum_{i=1}^9 \\mathbb{E}(X_i) = \\frac{1}{9} \\times 9 \\times 2 = 2$.\n\t\t\n\t\tOn sait que par indépendance des variables, $\\sigma^2(Y)=\\frac{1}{9^2} \\sum_{i=1}^9 \\sigma^2(X_i) = \\frac{1}{9^2} \\times 9 \\times 3^2 = 1$.\n\t\t\n\t\tDonc \\fbox{$Y$ suit une loi $\\mathcal{N}(2,1)$}.", "html": "

On sait que \$\\mathbb{E}(Y)=\\frac{1}{9}\n\\sum_{i=1}^9 \\mathbb{E}(X_i) = \\frac{1}{9} \\times 9 \\times 2 =\n2\$.

On sait que par indépendance des variables, \$\\sigma^2(Y)=\\frac{1}{9^2} \\sum_{i=1}^9\n\\sigma^2(X_i) = \\frac{1}{9^2} \\times 9 \\times 3^2 = 1\$.

Donc .

\n" } }, { "id": "8e2ff101-b1c4-4ed2-a755-e3a02ece20fa", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $Z$ la variable aléatoire définie par $$Z = X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 - X_6 - X_7 - X_8 - X_9$$\n\t\tDéterminer la loi de $Z$ et calculer $\\PP(Z \\geq 1)$.", "html": "

Soit \$Z\$ la variable aléatoire\ndéfinie par \\[Z = X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5\n- X_6 - X_7 - X_8 - X_9\\] Déterminer la loi de \$Z\$ et calculer \$\\PP(Z \\geq 1)\$.

\n" } }, { "id": "afd16887-a639-4142-9e05-fa2c64e672a1", "type": "reponse", "value": { "latex": "De même, $\\mathbb{E}(Z)=2+2+2+2+2-2-2-2-2=2$ et, puisque toutes ces variables sont indépendantes, \\\\ $\\sigma^2(Z)= 3^2+3^2+3^2+3^2+3^2+(-3)^2+(-3)^2+(-3)^2+(-3)^2 =5 \\times 3^2+4 \\times 3^2 = 81 = 9^2$\n\t\t\n\t\tDonc $Z$ suit une loi $\\mathcal{N}(2,9^2)$.\n\t\t\n\t\tPuis on calcule $\\PP(Z \\geq 1) = \\PP(U \\geq \\frac{1-2}{9}) = \\PP(U \\geq -\\frac19 )=\\PP(U \\leq \\frac19)$. D'après la table, \\fbox{$\\PP(Z \\geq 1) = 0.5438$}.", "html": "

De même, \$\\mathbb{E}(Z)=2+2+2+2+2-2-2-2-2=2\$ et,\npuisque toutes ces variables sont indépendantes,
\n\$\\sigma^2(Z)=\n3^2+3^2+3^2+3^2+3^2+(-3)^2+(-3)^2+(-3)^2+(-3)^2 =5 \\times 3^2+4 \\times\n3^2 = 81 = 9^2\$

Donc \$Z\$ suit une loi \$\\mathcal{N}(2,9^2)\$.

Puis on calcule \$\\PP(Z \\geq 1) = \\PP(U\n\\geq \\frac{1-2}{9}) = \\PP(U \\geq -\\frac19 )=\\PP(U \\leq\n\\frac19)\$. D’après la table, .

\n" } } ] }, { "uuid": "oNkJ", "titre": "Changement de variable", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:45.526Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:45.526Z" }, "contenu": [ { "id": "8d20bf1d-6aa0-41e5-8c32-e090bfd464b2", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme $\\mathcal{U}([0;2])$. On pose $Y=\\max(1,X)$.", "html": "

Soit \$X\$ une variable aléatoire\nsuivant la loi uniforme \$\\mathcal{U}([0;2])\$. On pose \$Y=\\max(1,X)\$.

\n" } }, { "id": "3711c035-c50a-4a72-bdb9-0b6cd0203e6a", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la fonction de répartition de $X$.", "html": "

Déterminer la fonction de répartition de \$X\$.

\n" } }, { "id": "2a2d5a96-1389-495f-b397-19d1a800aea0", "type": "reponse", "value": { "latex": "C'est du cours : $F_X(t)= \\begin{cases} 0 & \\text{ si } t<0 \\\\ \n\t\t\t\\frac{t}{2} & \\text{ si } t\\in]0;2[ \\\\\n\t\t\t1 & \\text{ si } t\\geq 2\n\t\t\\end{cases} $ ; $\\EX = 1$ et $V(X) = 4/12 = 1/3$.", "html": "

C’est du cours : \$F_X(t)= \\begin{cases} 0\n& \\text{ si } t<0 \\\\\n \\frac{t}{2} & \\text{ si } t\\in]0;2[ \\\\\n 1 & \\text{ si } t\\geq 2\n \\end{cases}\$ ; \$\\EX =\n1\$ et \$V(X) = 4/12 =\n1/3\$.

\n" } }, { "id": "708186a1-74a0-4ce3-8d89-e7e9608b0544", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la fonction de répartition de $Y$.", "html": "

Déterminer la fonction de répartition de \$Y\$.

\n" } }, { "id": "c1c51c0a-42c3-49fc-92ee-8e9afaf4dd6f", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $t \\in \\R$ : $F_Y(t) = \\PP(Y \\leq t) = \\PP(\\{1 \\leq t\\} \\cap \\{X \\leq t\\})$. On distingue trois cas : \\\\\n\t\tSi $t \\geq 2$ : $\\PP(Y \\leq t) = 1$ ; \\\\\n\t\tSi $ 1 \\leq t < 2$ : $\\PP(Y \\leq t) = \\PP(X \\leq t) = \\frac{t}{2}$ ; \\\\\n\t\tSi $t<1$, $\\PP(Y \\leq t) = 0$.\n\t\t\n\t\tOn remarque que $F_Y$ n'est pas continue en $1$ (mais elle est bien continue à droite en $1$.).", "html": "

Soit \$t \\in \\R\$ : \$F_Y(t) = \\PP(Y \\leq t) = \\PP(\\{1 \\leq t\\} \\cap \\{X\n\\leq t\\})\$. On distingue trois cas :
\nSi \$t \\geq 2\$ : \$\\PP(Y \\leq t) = 1\$ ;
\nSi \$1 \\leq t < 2\$ : \$\\PP(Y \\leq t) = \\PP(X \\leq t) =\n\\frac{t}{2}\$ ;
\nSi \$t<1\$, \$\\PP(Y \\leq t) = 0\$.

On remarque que \$F_Y\$ n’est pas\ncontinue en \$1\$ (mais elle est bien\ncontinue à droite en \$1\$.).

\n" } }, { "id": "0c33cdd1-f5e7-4afc-806e-64be47652345", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer la probabilité $\\PP(Y=1)$.", "html": "

Calculer la probabilité \$\\PP(Y=1)\$.

\n" } }, { "id": "a6a1af95-58a1-4aa5-9821-87caf335da52", "type": "reponse", "value": { "latex": "On remarque que $Y=1 \\iff X \\leq 1$ donc $\\PP(Y=1) = \\PP(X \\leq 1) = 1/2$. \n\t\t\n\t\tOn sait aussi d'après le cours que $\\PP(Y=1) = \\lim\\limits_{1^+}F_Y-\\lim\\limits_{1^-}F_Y = F_Y(1)-0 = 1/2$.", "html": "

On remarque que \$Y=1 \\iff X \\leq\n1\$ donc \$\\PP(Y=1) = \\PP(X \\leq 1) =\n1/2\$.

On sait aussi d’après le cours que \$\\PP(Y=1) =\n\\lim\\limits_{1^+}F_Y-\\lim\\limits_{1^-}F_Y = F_Y(1)-0 = 1/2\$.

\n" } }, { "id": "b09ae0cc-0a95-461f-9510-f7d149a7c623", "type": "question", "value": { "latex": "La variable aléatoire $Y$ est-elle discrète ? absolument continue ? Justifier.", "html": "

La variable aléatoire \$Y\$ est-elle\ndiscrète ? absolument continue ? Justifier.

\n" } }, { "id": "62f26b32-9aea-4aa2-8513-f41e1712af17", "type": "reponse", "value": { "latex": "La variable aléatoire $Y$ n'est pas discrète car sa fonction de répartition n'est pas en escalier. Elle n'est pas non plus absolument continue car sa fonction de répartition n'est pas continue partout (discontinuité en $1$).", "html": "

La variable aléatoire \$Y\$ n’est\npas discrète car sa fonction de répartition n’est pas en escalier. Elle\nn’est pas non plus absolument continue car sa fonction de répartition\nn’est pas continue partout (discontinuité en \$1\$).

\n" } } ] }, { "uuid": "yTDM", "titre": "Changement de variable", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:57.584Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:57.584Z" }, "contenu": [ { "id": "736ff74f-e5c3-4477-af37-da2ff7953b4e", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $X$ une variable aléatoire absolument continue dont la densité est donnée par $$f(x)=\\frac{1}{2}\\textbf{1}_{[-1;1]}(x)$$", "html": "

Soit \$X\$ une variable aléatoire\nabsolument continue dont la densité est donnée par \\[f(x)=\\frac{1}{2}\\textbf{1}_{[-1;1]}(x)\\]

\n" } }, { "id": "1ad7f08f-684c-43f3-8a28-119aa55964b5", "type": "question", "value": { "latex": "On cherche à identifier la loi de $Y=X^2$.", "html": "

On cherche à identifier la loi de \$Y=X^2\$.

\n" } }, { "id": "69cbb742-4a55-4374-a01a-c4129692f6c5", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\begin{enumerate}\n\t\t\\item pour tout $t$, $F_Y(t)= \\prob(X^2 \\leq t)$\n\t\t\\item si $t \\geq 0$, $\\{X^2 \\leq t\\} = \\{X \\in [-\\sqrt{t};\\sqrt{t}] \\}$ ; \\\\ si $t<0$ $\\{X^2 \\leq t\\} = \\emptyset$\n\t\t\\item donc pour tout $t \\geq 0$, $$F_Y(t) = \\prob(X \\in [-\\sqrt{t};\\sqrt{t}]) = \\int_{-\\sqrt{t}}^{+\\sqrt{t}} \\frac{1}{2}\\textbf{1}_{[-1;1]}(x) dx$$\n\t\tsi $0 \\leq t \\leq 1$ alors $F_Y(t)=\\int_{-\\sqrt{t}}^{+\\sqrt{t}} \\frac{1}{2} dx = \\sqrt{t}$ \\\\\n\t\tsi $t>1$ alors $F_Y(t)=\\int_{-1}^1 \\frac{1}{2} dx = 1$\n\t\t\\item pour tout $t \\in ]0;1[$, $F_Y$ est dérivable en $t$ et $F_Y'(t) = \\frac{1}{2} \\frac{1}{\\sqrt{t}}$ donc en intégrant, $F_Y(t) = \\int_{0}^{t} \\frac{1}{2} \\frac{1}{\\sqrt{x}} dx$ de sorte que $F_Y(0)=0$ et $F_Y(1)=1$. \\\\\n\t\tPour résumer ces conditions, on peut écrire que pour tout $t \\in \\R $, \n\t\t$$F_Y(t) = \\int_{-\\infty}^t \\frac{1}{2} \\frac{1}{\\sqrt{x}} \\textbf{1}_{[0;1]}(x)dx$$\n\t\t\n\t\tOn en déduit que $Y$ admet pour densité la fonction $g \\colon x \\mapsto \\frac{1}{2\\sqrt{x}} \\textbf{1}_{[0;1]}(x)$\n\\end{enumerate}", "html": "

pour tout \$t\$, \$F_Y(t)= \\prob(X^2 \\leq t)\$
si \$t \\geq 0\$, \$\\{X^2 \\leq t\\} = \\{X \\in [-\\sqrt{t};\\sqrt{t}]\n\\}\$ ;
\nsi \$t<0\$ \$\\{X^2 \\leq t\\} = \\emptyset\$
donc pour tout \$t \\geq 0\$,\n\\[F_Y(t) = \\prob(X \\in [-\\sqrt{t};\\sqrt{t}])\n= \\int_{-\\sqrt{t}}^{+\\sqrt{t}} \\frac{1}{2}\\textbf{1}_{[-1;1]}(x)\ndx\\] si \$0 \\leq t \\leq 1\$\nalors \$F_Y(t)=\\int_{-\\sqrt{t}}^{+\\sqrt{t}}\n\\frac{1}{2} dx = \\sqrt{t}\$
\nsi \$t>1\$ alors \$F_Y(t)=\\int_{-1}^1 \\frac{1}{2} dx =\n1\$
pour tout \$t \\in ]0;1[\$, \$F_Y\$ est dérivable en \$t\$ et \$F_Y'(t) = \\frac{1}{2}\n\\frac{1}{\\sqrt{t}}\$ donc en intégrant, \$F_Y(t) = \\int_{0}^{t} \\frac{1}{2}\n\\frac{1}{\\sqrt{x}} dx\$ de sorte que \$F_Y(0)=0\$ et \$F_Y(1)=1\$.
\nPour résumer ces conditions, on peut écrire que pour tout \$t \\in \\R\$, \\[F_Y(t) = \\int_{-\\infty}^t \\frac{1}{2}\n\\frac{1}{\\sqrt{x}} \\textbf{1}_{[0;1]}(x)dx\\]
\n
On en déduit que \$Y\$ admet pour\ndensité la fonction \$g \\colon x\n\\mapsto \\frac{1}{2\\sqrt{x}} \\textbf{1}_{[0;1]}(x)\$

\n" } } ] }, { "uuid": "KBi8", "titre": "Changement de variables aléatoires, question de cours", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:12.410Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:12.410Z" }, "contenu": [ { "id": "573f1ba0-f080-4bbd-ab76-3981006ef3b0", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $X$ une variable aléatoire absolument continue dont la densité est donnée par $$f(x)=\\frac{1}{2}\\textbf{1}_{[-1;1]}(x)$$", "html": "

Soit \$X\$ une variable aléatoire\nabsolument continue dont la densité est donnée par \\[f(x)=\\frac{1}{2}\\textbf{1}_{[-1;1]}(x)\\]

\n" } }, { "id": "8d6b6a56-f54f-4ed8-a9cc-9e0f6ef0da4f", "type": "question", "value": { "latex": "On cherche à identifier la loi de $Y=X^2$.", "html": "

On cherche à identifier la loi de \$Y=X^2\$.

\n" } }, { "id": "2d7bdac9-5b89-4e73-ab25-a1cd17480213", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\begin{enumerate}\n\t\t\\item pour tout $t$, $F_Y(t)= \\PP(X^2 \\leq t)$\n\t\t\\item si $t \\geq 0$, $\\{X^2 \\leq t\\} = \\{X \\in [-\\sqrt{t};\\sqrt{t}] \\}$ ; \\\\ si $t<0$ $\\{X^2 \\leq t\\} = \\emptyset$\n\t\t\\item donc pour tout $t \\geq 0$, $$F_Y(t) = \\PP(X \\in [-\\sqrt{t};\\sqrt{t}]) = \\int_{-\\sqrt{t}}^{+\\sqrt{t}} \\frac{1}{2}\\textbf{1}_{[-1;1]}(x) dx$$\n\t\tsi $0 \\leq t \\leq 1$ alors $F_Y(t)=\\int_{-\\sqrt{t}}^{+\\sqrt{t}} \\frac{1}{2} dx = \\sqrt{t}$ \\\\\n\t\tsi $t>1$ alors $F_Y(t)=\\int_{-1}^1 \\frac{1}{2} dx = 1$\n\t\t\\item pour tout $t \\in ]0;1[$, $F_Y$ est dérivable en $t$ et $F_Y'(t) = \\frac{1}{2} \\frac{1}{\\sqrt{t}}$ donc en intégrant, $F_Y(t) = \\int_{0}^{t} \\frac{1}{2} \\frac{1}{\\sqrt{x}} dx$ de sorte que $F_Y(0)=0$ et $F_Y(1)=1$. \\\\\n\t\tPour résumer ces conditions, on peut écrire que pour tout $t \\in \\R $, \n\t\t$$F_Y(t) = \\int_{-\\infty}^t \\frac{1}{2} \\frac{1}{\\sqrt{x}} \\textbf{1}_{[0;1]}(x)dx$$\n\t\t\n\t\tOn en déduit que $Y$ admet pour densité la fonction $g \\colon x \\mapsto \\frac{1}{2\\sqrt{x}} \\textbf{1}_{[0;1]}(x)$\n\\end{enumerate}", "html": "

pour tout \$t\$, \$F_Y(t)= \\PP(X^2 \\leq t)\$
si \$t \\geq 0\$, \$\\{X^2 \\leq t\\} = \\{X \\in [-\\sqrt{t};\\sqrt{t}]\n\\}\$ ;
\nsi \$t<0\$ \$\\{X^2 \\leq t\\} = \\emptyset\$
donc pour tout \$t \\geq 0\$,\n\\[F_Y(t) = \\PP(X \\in [-\\sqrt{t};\\sqrt{t}]) =\n\\int_{-\\sqrt{t}}^{+\\sqrt{t}} \\frac{1}{2}\\textbf{1}_{[-1;1]}(x)\ndx\\] si \$0 \\leq t \\leq 1\$\nalors \$F_Y(t)=\\int_{-\\sqrt{t}}^{+\\sqrt{t}}\n\\frac{1}{2} dx = \\sqrt{t}\$
\nsi \$t>1\$ alors \$F_Y(t)=\\int_{-1}^1 \\frac{1}{2} dx =\n1\$
pour tout \$t \\in ]0;1[\$, \$F_Y\$ est dérivable en \$t\$ et \$F_Y'(t) = \\frac{1}{2}\n\\frac{1}{\\sqrt{t}}\$ donc en intégrant, \$F_Y(t) = \\int_{0}^{t} \\frac{1}{2}\n\\frac{1}{\\sqrt{x}} dx\$ de sorte que \$F_Y(0)=0\$ et \$F_Y(1)=1\$.
\nPour résumer ces conditions, on peut écrire que pour tout \$t \\in \\R\$, \\[F_Y(t) = \\int_{-\\infty}^t \\frac{1}{2}\n\\frac{1}{\\sqrt{x}} \\textbf{1}_{[0;1]}(x)dx\\]
\n
On en déduit que \$Y\$ admet pour\ndensité la fonction \$g \\colon x\n\\mapsto \\frac{1}{2\\sqrt{x}} \\textbf{1}_{[0;1]}(x)\$

\n" } } ] }, { "uuid": "YIXX", "titre": "Changement de variables d'un couple", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:25.902Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:25.902Z" }, "contenu": [ { "id": "cca4c4e2-3072-40c9-8c54-33a39ed93d03", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires admettant pour densité la fonction $f$ définie par $$ f(x,y)= \\frac{3}{8}(x^2+y^2) \\textbf{1}_{[-1;1]^2}(x,y)$$", "html": "

Soit \$(X,Y)\$ un couple de\nvariables aléatoires admettant pour densité la fonction \$f\$ définie par \\[f(x,y)= \\frac{3}{8}(x^2+y^2)\n\\textbf{1}_{[-1;1]^2}(x,y)\\]

\n" } }, { "id": "da134afe-5067-473a-b68c-2120e8f4b29f", "type": "question", "value": { "latex": "On cherche à déterminer la loi de $(X+Y,X-Y)$.", "html": "

On cherche à déterminer la loi de \$(X+Y,X-Y)\$.

\n" } }, { "id": "ce02c3c7-77dd-45d2-97d9-fcf0c38d599f", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour cela, on pose $U=X+Y$, $V=X-Y$ et on étudie la loi du couple $(U,V)$. D'après le théorème de transfert, pour toute fonction $h$ continue bornée, \n\t\n\t$$\\mathbb{E}(h(U,V))= \\frac{3}{8} \\int_{[-1;1]^2}^{} h(x+y,x-y) (x^2+y^2)dxdy$$\n\t\n\tPour faire apparaître la densité de $(U,V)$, on effectue le changement de variable $$(u,v)=(x+y,x-y)$$ (c'est une bijection de classe $\\mathcal{C}^1$). La réciproque s'écrit $(x,y)=(\\frac{u+v}{2},\\frac{u-v}{2})$. La matrice jacobienne est $\\begin{pmatrix}\n\t\\frac{1}{2} & \\frac{1}{2} \\\\\n\t\\frac{1}{2} & -\\frac{1}{2} \\\\\n\t\\end{pmatrix} $ et la valeur absolue de son déterminant est $\\frac{1}{2}$. On peut donc écrire $dxdy=\\frac{1}{2}dudv$ et on a finalement :\n\t\n\t$$\\mathbb{E}(h(U,V))= \\frac{3}{8} \\int_{C}^{} h(u,v) (\\frac{u^2+v^2}{2})\\frac{1}{2}dudv$$ où $C= \\{(u,v) \\in \\R^2 \\slash -2 \\leq u+v \\leq 2 \\text{ et } -2 \\leq u-v \\leq 2 \\}$ est le carré image de $[-1;1]^2$ par le changement de variables.\n\t\n\tOn en déduit que $(U,V)$ a pour densité la fonction $g$ définie par $$g(u,v)=\\frac{3}{16}(u^2+v^2) \\textbf{1}_C(u,v)$$\n\tPour avoir indépendamment la loi de $(X+Y)$ et $(X-Y)$, il resterait à calculer les lois marginales.", "html": "

Pour cela, on pose \$U=X+Y\$, \$V=X-Y\$ et on étudie la loi du couple \$(U,V)\$. D’après le théorème de transfert,\npour toute fonction \$h\$ continue\nbornée,

\\[\\mathbb{E}(h(U,V))= \\frac{3}{8}\n\\int_{[-1;1]^2}^{} h(x+y,x-y) (x^2+y^2)dxdy\\]

Pour faire apparaître la densité de \$(U,V)\$, on effectue le changement de\nvariable \\[(u,v)=(x+y,x-y)\\] (c’est\nune bijection de classe \$\\mathcal{C}^1\$). La réciproque s’écrit\n\$(x,y)=(\\frac{u+v}{2},\\frac{u-v}{2})\$. La\nmatrice jacobienne est \$\\begin{pmatrix}\n \\frac{1}{2} & \\frac{1}{2} \\\\\n \\frac{1}{2} & -\\frac{1}{2} \\\\\n \\end{pmatrix}\$ et la valeur absolue de son déterminant est\n\$\\frac{1}{2}\$. On peut donc écrire\n\$dxdy=\\frac{1}{2}dudv\$ et on a\nfinalement :

\\[\\mathbb{E}(h(U,V))= \\frac{3}{8}\n\\int_{C}^{} h(u,v) (\\frac{u^2+v^2}{2})\\frac{1}{2}dudv\\] où \$C= \\{(u,v) \\in \\R^2 \\slash -2 \\leq u+v \\leq 2\n\\text{ et } -2 \\leq u-v \\leq 2 \\}\$ est le carré image de \$[-1;1]^2\$ par le changement de\nvariables.

On en déduit que \$(U,V)\$ a pour\ndensité la fonction \$g\$ définie par\n\\[g(u,v)=\\frac{3}{16}(u^2+v^2)\n\\textbf{1}_C(u,v)\\] Pour avoir indépendamment la loi de \$(X+Y)\$ et \$(X-Y)\$, il resterait à calculer les lois\nmarginales.

\n" } } ] }, { "uuid": "tn85", "titre": "Chi-deux et Student", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:52.192Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:52.192Z" }, "contenu": [ { "id": "4c6c947a-27a1-43f1-ae09-1be016620c75", "type": "description", "value": { "latex": "Soient 9 variables aléatoires normales centrées réduites notées $(U_i)_{1 \\leq i \\leq 9}$. on suppose que les variables $(U_i)_{1 \\leq i \\leq 9}$ sont indépendantes.", "html": "

Soient 9 variables aléatoires normales centrées réduites notées \$(U_i)_{1 \\leq i \\leq 9}\$. on suppose que\nles variables \$(U_i)_{1 \\leq i \\leq\n9}\$ sont indépendantes.

\n" } }, { "id": "e918cc33-c2cc-46fb-8b27-c10d71240a8f", "type": "question", "value": { "latex": "Quelle est la loi suivie par $X=\\sum\\limits_{i=1}^{9}U_i^2$ ? Déterminer le réel $x$ tel que $\\PP(X > x) = 0.05$.", "html": "

Quelle est la loi suivie par \$X=\\sum\\limits_{i=1}^{9}U_i^2\$ ? Déterminer\nle réel \$x\$ tel que \$\\PP(X > x) = 0.05\$.

\n" } }, { "id": "17bc26a5-797f-4330-a604-e5ac9b741077", "type": "reponse", "value": { "latex": "Les variables $(U_i)_{1 \\leq i \\leq 9}$ sont indépendantes et suivent chacune une loi $\\mathcal{N}(0,1)$ donc $\\sum\\limits_{i=1}^{9}U_i^2$ suit une loi $\\chi^2(9)$.", "html": "

Les variables \$(U_i)_{1 \\leq i \\leq\n9}\$ sont indépendantes et suivent chacune une loi \$\\mathcal{N}(0,1)\$ donc \$\\sum\\limits_{i=1}^{9}U_i^2\$ suit une loi\n\$\\chi^2(9)\$.

\n" } }, { "id": "d6079ac1-a837-467a-9083-d87228021ffa", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $Y$ une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne 10 et d'écart-type 3, indépendante de $X$. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Z=\\frac{Y-10}{\\sqrt{X}}$ ? Déterminer le réel $z$ tel que $\\PP(Z > z) = 0.05$.", "html": "

Soit \$Y\$ une variable aléatoire\nsuivant une loi normale de moyenne 10 et d’écart-type 3, indépendante de\n\$X\$. Quelle est la loi suivie par la\nvariable aléatoire \$Z=\\frac{Y-10}{\\sqrt{X}}\$ ? Déterminer le\nréel \$z\$ tel que \$\\PP(Z > z) = 0.05\$.

\n" } }, { "id": "468ba407-f589-49d2-ab2f-df12cf5040ca", "type": "reponse", "value": { "latex": "On réécrit $Z=\\frac{Y-10}{\\sqrt{X}} = \\frac{ \\frac{Y-10}{3}}{ \\sqrt{\\frac{X}{9}} }$ ; or $\\frac{Y-10}{3}$ suit une loi normale centrée réduite donc par définition, $Z$ suit une loi $St(9)$.", "html": "

On réécrit \$Z=\\frac{Y-10}{\\sqrt{X}} =\n\\frac{ \\frac{Y-10}{3}}{ \\sqrt{\\frac{X}{9}} }\$ ; or \$\\frac{Y-10}{3}\$ suit une loi normale\ncentrée réduite donc par définition, \$Z\$ suit une loi \$St(9)\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "buE8", "titre": "Choix d'estimateur", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:22:31.420Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:31.420Z" }, "contenu": [ { "id": "0c9c8894-9e92-4873-86c9-3bec0c9fa6d4", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson $\\mathcal{P}(\\lambda)$. On rappelle que dans ce cas, quelque soit l'entier $k \\in \\N$, $\\PP(X=k) = e^{-\\lambda} \\frac{\\lambda^k}{k!}$.\n\nOn observe la réalisation d'un échantillon de taille 6 de cette loi : $1,5,2,2,3,1$.", "html": "

Soit \$X\$ une variable aléatoire\nsuivant une loi de Poisson \$\\mathcal{P}(\\lambda)\$. On rappelle que\ndans ce cas, quelque soit l’entier \$k \\in\n\\N\$, \$\\PP(X=k) = e^{-\\lambda}\n\\frac{\\lambda^k}{k!}\$.

On observe la réalisation d’un échantillon de taille 6 de cette loi :\n\$1,5,2,2,3,1\$.

\n" } }, { "id": "58330e77-0450-4c56-80e0-01cc46c6cd1a", "type": "question", "value": { "latex": "\\`A l'aide de la méthode du maximum de vraisemblance, donner une estimation de $\\lambda$.", "html": "

À l’aide de la méthode du maximum de vraisemblance, donner une\nestimation de \$\\lambda\$.

\n" } }, { "id": "1f14e4df-5113-4d93-9c11-34eca9cb42e5", "type": "question", "value": { "latex": "Généraliser le procédé pour obtenir un estimateur de $\\lambda$ et déterminer son biais.", "html": "

Généraliser le procédé pour obtenir un estimateur de \$\\lambda\$ et déterminer son biais.

\n" } }, { "id": "7d398bba-7710-4a64-a3ab-2f3a5f81b4b7", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\begin{enumerate}\n\t\\item Soit $(x_1,...,x_n)$ une réalisation quelconque de l'échantillon $(X_1,...X_n)$ : \n\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\mathcal{L}(\\lambda) &= \\PP(X_1=x_1,X_2=2,...,X_n=x_n) \\\\\n\t\t&= \\PP(X_1=x_1)\\PP(X_2=2),...,\\PP(X_n=x_n) \\text{ par indépendance des va} \\\\\n\t\t&= e^{-\\lambda} \\frac{\\lambda^{x_1}}{x_1!} \\times e^{-\\lambda} \\frac{\\lambda^{x_2}}{x_2!} \\times ,..., \\times e^{-\\lambda} \\frac{\\lambda^{x_n}}{x_n!} \\\\\n\t\t&=e^{-n\\lambda} \\frac{\\lambda^{\\sum_{i=1}^n x_i }}{x_1!...x_n!}\n\t\\end{align*}$$\n\t\\item On cherche la valeur de $\\lambda$ qui maximise la fonction de vraisemblance via la log vraisemblance :\n\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\ln \\mathcal{L}(\\lambda) &= -n \\lambda + \\left(\\sum_{i=1}^n x_i\\right)\\ln(\\lambda) - \\ln(x_1!...x_n!) \n\t\\end{align*}$$\n\tque l'on dérive afin de voir pour quelle valeur de $p \\in ]0;1[$ cette expression est maximale :\n\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\ln \\mathcal{L}(p) =0 \n\t\t&\\iff -n+ \\left(\\sum_{i=1}^n x_i\\right) \\times \\frac{1}{\\lambda} = 0 \\\\\n\t\t&\\iff \\lambda = \\frac{\\sum_{i=1}^n x_i}{n}\n\t\\end{align*}$$\n\t\n\tEn remplaçant par les valeurs de la réalisation de l'échantillon, on trouve comme estimation de $\\lambda$ la valeur $\\frac{14}{6}$.\n\t\n\tOn trouve en général l'estimateur de moyenne empirique, il est sans biais car $\\E(X) = \\lambda$ pour une loi de Poisson de paramètre $\\lambda$. \n\t\n\\end{enumerate}", "html": "

Soit \$(x_1,...,x_n)\$ une\nréalisation quelconque de l’échantillon \$(X_1,...X_n)\$ : \\[\\begin{align*}\n \\mathcal{L}(\\lambda) &= \\PP(X_1=x_1,X_2=2,...,X_n=x_n) \\\\\n &= \\PP(X_1=x_1)\\PP(X_2=2),...,\\PP(X_n=x_n) \\text{ par\nindépendance des va} \\\\\n &= e^{-\\lambda} \\frac{\\lambda^{x_1}}{x_1!} \\times\ne^{-\\lambda} \\frac{\\lambda^{x_2}}{x_2!} \\times ,..., \\times\ne^{-\\lambda} \\frac{\\lambda^{x_n}}{x_n!} \\\\\n &=e^{-n\\lambda} \\frac{\\lambda^{\\sum_{i=1}^n x_i\n}}{x_1!...x_n!}\n \\end{align*}\\]
On cherche la valeur de \$\\lambda\$ qui maximise la fonction de\nvraisemblance via la log vraisemblance : \\[\\begin{align*}\n \\ln \\mathcal{L}(\\lambda) &= -n \\lambda + \\left(\\sum_{i=1}^n\nx_i\\right)\\ln(\\lambda) - \\ln(x_1!...x_n!)\n \\end{align*}\\] que l’on dérive afin de voir pour quelle\nvaleur de \$p \\in ]0;1[\$ cette\nexpression est maximale : \\[\\begin{align*}\n \\ln \\mathcal{L}(p) =0\n &\\iff -n+ \\left(\\sum_{i=1}^n x_i\\right) \\times\n\\frac{1}{\\lambda} = 0 \\\\\n &\\iff \\lambda = \\frac{\\sum_{i=1}^n x_i}{n}\n \\end{align*}\\]
\n
En remplaçant par les valeurs de la réalisation de l’échantillon, on\ntrouve comme estimation de \$\\lambda\$\nla valeur \$\\frac{14}{6}\$.
\n
On trouve en général l’estimateur de moyenne empirique, il est sans\nbiais car \$\\E(X) = \\lambda\$ pour une\nloi de Poisson de paramètre \$\\lambda\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "qAuO", "titre": "Comparaison d'écart type", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:47.017Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:47.017Z" }, "contenu": [ { "id": "782ddcce-4d35-47b2-9b36-57106bed8292", "type": "description", "value": { "latex": "Dans deux IUT Mesures Physiques, les notes de statistiques suivent des loi normales dont les écart types sont respectivement $\\sigma_1$ et $\\sigma_2$. Un échantillon de 10 notes d'étudiants de l'IUT 1 a donné un écart type de 5 et un échantillon de 25 notes d'étudiants de l'IUT 2 a donné un écart type de 3.", "html": "

Dans deux IUT Mesures Physiques, les notes de statistiques suivent\ndes loi normales dont les écart types sont respectivement \$\\sigma_1\$ et \$\\sigma_2\$. Un échantillon de 10 notes\nd’étudiants de l’IUT 1 a donné un écart type de 5 et un échantillon de\n25 notes d’étudiants de l’IUT 2 a donné un écart type de 3.

\n" } }, { "id": "db08f304-bcc1-4c83-bc59-02d4ad519b72", "type": "question", "value": { "latex": "Au vu de ces informations, peut-on considérer que les enseignants des deux IUT ont la même manière de noter les étudiants ?", "html": "

Au vu de ces informations, peut-on considérer que les enseignants des\ndeux IUT ont la même manière de noter les étudiants ?

\n" } }, { "id": "865602b2-22aa-4e19-801b-439183df7435", "type": "reponse", "value": { "latex": "", "html": "\n" } } ] }, { "uuid": "FKpl", "titre": "Comparaison d'estimateurs", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:22:07.043Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:07.043Z" }, "contenu": [ { "id": "76456053-13b6-4a12-b281-9f60c9de8c08", "type": "description", "value": { "latex": "On considère trois variables aléatoires indépendantes $X_1,X_2,X_3$ suivant chacune une loi de probabilité de même moyenne $\\mu$ et de variance $\\sigma^2$. On pose $$M_1=\\frac{X_1+X_2+X_3}{3} \\text{ et } M_2=\\frac{X_1+2X_2+3X_3}{6}$$", "html": "

On considère trois variables aléatoires indépendantes \$X_1,X_2,X_3\$ suivant chacune une loi de\nprobabilité de même moyenne \$\\mu\$ et\nde variance \$\\sigma^2\$. On pose \\[M_1=\\frac{X_1+X_2+X_3}{3} \\text{ et }\nM_2=\\frac{X_1+2X_2+3X_3}{6}\\]

\n" } }, { "id": "37dc7b53-08ae-4ee8-aa9b-3d0ece1cc12b", "type": "question", "value": { "latex": "Démontrer que ce sont deux estimateurs sans biais de la moyenne $\\mu$.", "html": "

Démontrer que ce sont deux estimateurs sans biais de la moyenne \$\\mu\$.

\n" } }, { "id": "35224f1a-a399-4277-992b-d8c9ecf244e7", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\\begin{align*}\n\t\t\\E(M_1) &= \\E\\left(\\frac{X_1+X_2+X_3}{3}\\right) \\\\\n\t\t&= \\frac{1}{3}\\E(X_1+X_2+X_3) \\\\\n\t\t&= \\frac{1}{3}(\\E(X_1)+\\E(X_2)+\\E(X_3)) \\\\\n\t\t&= \\frac{1}{3}(3\\mu) \\\\\n\t\t&= \\mu\n\t\\end{align*}$$\n\tDonc $B(M_1) = \\E(M_1 - \\mu) = \\E(M_1) - \\mu = \\mu - \\mu = 0$. \\\\\n\tDonc $M_1$ est un estimateur sans biais de la moyenne $\\mu$. \\\\\n\n\tDe même, on a :\n\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\E(M_2) &= \\E\\left(\\frac{X_1+2X_2+3X_3}{6}\\right) \\\\\n\t\t&= \\frac{1}{6}\\E(X_1+2X_2+3X_3) \\\\\n\t\t&= \\frac{1}{6}(\\mu+2\\mu+3\\mu) \\\\\n\t\t&= \\frac{6\\mu}{6} \\\\\n\t\t&= \\mu\n\t\\end{align*}$$\n\tDonc $B(M_2) = \\E(M_2 - \\mu) = \\E(M_2) - \\mu = \\mu - \\mu = 0$. \\\\\n\tDonc $M_2$ est un estimateur sans biais de la moyenne $\\mu$.", "html": "

\\[\\begin{align*}\n \\E(M_1) &= \\E\\left(\\frac{X_1+X_2+X_3}{3}\\right) \\\\\n &= \\frac{1}{3}\\E(X_1+X_2+X_3) \\\\\n &= \\frac{1}{3}(\\E(X_1)+\\E(X_2)+\\E(X_3)) \\\\\n &= \\frac{1}{3}(3\\mu) \\\\\n &= \\mu\n \\end{align*}\\] Donc \$B(M_1) =\n\\E(M_1 - \\mu) = \\E(M_1) - \\mu = \\mu - \\mu = 0\$.
\nDonc \$M_1\$ est un estimateur sans\nbiais de la moyenne \$\\mu\$.
\nDe même, on a : \\[\\begin{align*}\n \\E(M_2) &= \\E\\left(\\frac{X_1+2X_2+3X_3}{6}\\right) \\\\\n &= \\frac{1}{6}\\E(X_1+2X_2+3X_3) \\\\\n &= \\frac{1}{6}(\\mu+2\\mu+3\\mu) \\\\\n &= \\frac{6\\mu}{6} \\\\\n &= \\mu\n \\end{align*}\\] Donc \$B(M_2) =\n\\E(M_2 - \\mu) = \\E(M_2) - \\mu = \\mu - \\mu = 0\$.
\nDonc \$M_2\$ est un estimateur sans\nbiais de la moyenne \$\\mu\$.

\n" } }, { "id": "18c4ae1c-1e1f-4362-976f-8e95f7df7f44", "type": "question", "value": { "latex": "Lequel de ces deux estimateurs est le plus efficace ?", "html": "

Lequel de ces deux estimateurs est le plus efficace ?

\n" } }, { "id": "9ec58f1f-7b20-4999-ac27-bbc4fbb0fec4", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\\begin{align*}\n\t\t\\V(M_1) &= \\V\\left(\\frac{X_1+X_2+X_3}{3}\\right) \\\\\n\t\t&= \\frac{1}{9}\\V(X_1+X_2+X_3) \\\\\n\t\t&= \\frac{1}{9}(\\V(X_1)+\\V(X_2)+\\V(X_3)) \\\\\n\t\t&= \\frac{1}{9}(3\\sigma^2) \\\\\n\t\t&= \\frac{\\sigma^2}{3}\n\t\\end{align*}$$\n\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\V(M_2) &= \\V\\left(\\frac{X_1+2X_2+3X_3}{6}\\right) \\\\\n\t\t&= \\frac{1}{36}\\V(X_1+2X_2+3X_3) \\\\\n\t\t&= \\frac{1}{36}(\\V(X_1)+4\\V(X_2)+9\\V(X_3)) \\\\\n\t\t&= \\frac{1}{36}(3\\sigma^2+4\\sigma^2+9\\sigma^2) \\\\\n\t\t&= \\frac{16\\sigma^2}{36} \\\\\n\t\t&= \\frac{4\\sigma^2}{9}\n\t\\end{align*}$$\n\tDonc $\\V(M_1) = \\frac{\\sigma^2}{3}$ et $\\V(M_2) = \\frac{4\\sigma^2}{9}$. \\\\\n\tDonc $\\V(M_1) < \\V(M_2)$. \\\\\n\tDonc $M_1$ est plus efficace que $M_2$.", "html": "

\\[\\begin{align*}\n \\V(M_1) &= \\V\\left(\\frac{X_1+X_2+X_3}{3}\\right) \\\\\n &= \\frac{1}{9}\\V(X_1+X_2+X_3) \\\\\n &= \\frac{1}{9}(\\V(X_1)+\\V(X_2)+\\V(X_3)) \\\\\n &= \\frac{1}{9}(3\\sigma^2) \\\\\n &= \\frac{\\sigma^2}{3}\n \\end{align*}\\] \\[\\begin{align*}\n \\V(M_2) &= \\V\\left(\\frac{X_1+2X_2+3X_3}{6}\\right) \\\\\n &= \\frac{1}{36}\\V(X_1+2X_2+3X_3) \\\\\n &= \\frac{1}{36}(\\V(X_1)+4\\V(X_2)+9\\V(X_3)) \\\\\n &= \\frac{1}{36}(3\\sigma^2+4\\sigma^2+9\\sigma^2) \\\\\n &= \\frac{16\\sigma^2}{36} \\\\\n &= \\frac{4\\sigma^2}{9}\n \\end{align*}\\] Donc \$\\V(M_1) =\n\\frac{\\sigma^2}{3}\$ et \$\\V(M_2) =\n\\frac{4\\sigma^2}{9}\$.
\nDonc \$\\V(M_1) < \\V(M_2)\$.
\nDonc \$M_1\$ est plus efficace que\n\$M_2\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "32ec", "titre": "Comparaison de lois normales", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:53.236Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:53.236Z" }, "contenu": [ { "id": "ff69265c-3ca3-4f9d-b83e-d1504835f4a8", "type": "description", "value": { "latex": "Deux joueurs $A$ et $B$ sont en concurrence au lancer de poids. Un observateur attentif a relevé qu'à l'entraînement, le joueur $A$ a effectué $97.7$\\% de ses lancers au delà de $19$ mètres, et $84$\\% en deça de $22$ mètres. Il a aussi noté que de son côté, le joueur $B$ a effectué $74.5$\\% de ses lancers au delà de $19$ mètres et $90.8$\\% en deça de $22$ mètres.", "html": "

Deux joueurs \$A\$ et \$B\$ sont en concurrence au lancer de poids.\nUn observateur attentif a relevé qu’à l’entraînement, le joueur \$A\$ a effectué \$97.7\$% de ses lancers au delà de \$19\$ mètres, et \$84\$% en deça de \$22\$ mètres. Il a aussi noté que de son\ncôté, le joueur \$B\$ a effectué \$74.5\$% de ses lancers au delà de \$19\$ mètres et \$90.8\$% en deça de \$22\$ mètres.

\n" } }, { "id": "4b2c924a-72a7-4949-be36-3fd4b7505a00", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer les paramètres des variables aléatoires normales $X$ et $Y$ respectivement égales au lancer du joueur $A$ et au lancer du joueur $B$.", "html": "

Déterminer les paramètres des variables aléatoires normales \$X\$ et \$Y\$ respectivement égales au lancer du\njoueur \$A\$ et au lancer du joueur\n\$B\$.

\n" } }, { "id": "398740ad-dfae-4b6a-8ed0-958806f2b232", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\textbf{Joueur $A$:} \n\t\t\\[ X\\sim\\mathcal{N}(\\mu,\\sigma), \\quad \\prob(X\\geq 19)=0.977, \\quad \\prob(X\\leq 22)=0.84\\]\n\t\tEn posant $Z=\\frac{X-\\mu}{\\sigma}$, on a $Z\\sim \\mathcal{N}(0,1)$ et:\n\t\t\\[ \\begin{cases}\n\t\t\t\\prob\\left(Z\\geq \\frac{19-\\mu}{\\sigma} \\right)=0.977 \\\\\n\t\t\t\\prob\\left( Z \\leq \\frac{22-\\mu}{\\sigma}\\right)=0.84\n\t\t\\end{cases}\n\t\t\\quad \\Leftrightarrow \\quad\n\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t\\prob\\left(Z\\leq -\\frac{19-\\mu}{\\sigma} \\right)=0.977 \\\\\n\t\t\t\\prob\\left( Z \\leq \\frac{22-\\mu}{\\sigma}\\right)=0.84\n\t\t\\end{cases}\n\t\t\\]\n\t\tet par lecture de la table de loi $\\mathcal{N}(0,1)$, on obtient:\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\begin{cases} -\\frac{19-\\mu}{\\sigma}=2 \\\\\n\t\t\t\t\\frac{22-\\mu}{\\sigma}=1\n\t\t\t\\end{cases}\n\t\t\t\\quad \\Leftrightarrow \\quad \n\t\t\t\\begin{cases} -19+\\mu=2\\sigma \\\\\n\t\t\t\t22-\\mu=\\sigma\n\t\t\t\\end{cases}\n\t\t\t\\quad \\Leftrightarrow \\quad \n\t\t\t\\begin{cases} \\mu=21 \\\\\n\t\t\t\t\\sigma=1\n\t\t\t\\end{cases}\n\t\t\t\\quad \\Leftrightarrow \\quad \n\t\t\tX\\sim \\mathcal{N}(21,\\sigma=1)\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\t\\vspace{2em}\n\t\t\n\t\t\\textbf{Joueur $B$:} \n\t\t\\[ Y\\sim\\mathcal{N}(\\mu,\\sigma), \\quad \\prob(Y\\geq 19)=0.745, \\quad \\prob(Y\\leq 22)=0.908\\]\n\t\tEn posant $Z=\\frac{Y-\\mu}{\\sigma}$, on a $Z\\sim \\mathcal{N}(0,1)$ et:\n\t\t\\[ \\begin{cases}\n\t\t\t\\prob\\left(Z\\geq \\frac{19-\\mu}{\\sigma} \\right)=0.745 \\\\\n\t\t\t\\prob\\left( Z \\leq \\frac{22-\\mu}{\\sigma}\\right)=0.908\n\t\t\\end{cases}\n\t\t\\quad \\Leftrightarrow \\quad\n\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t\\prob\\left(Z\\leq -\\frac{19-\\mu}{\\sigma} \\right)=0.745 \\\\\n\t\t\t\\prob\\left( Z \\leq \\frac{22-\\mu}{\\sigma}\\right)=0.908\n\t\t\\end{cases}\n\t\t\\]\n\t\tet par lecture de la table de loi $\\mathcal{N}(0,1)$, on obtient:\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\begin{cases} -\\frac{19-\\mu}{\\sigma}=0.66 \\\\\n\t\t\t\t\\frac{22-\\mu}{\\sigma}=1.33\n\t\t\t\\end{cases}\n\t\t\t\\quad \\Leftrightarrow \\quad \n\t\t\t\\begin{cases} -19+\\mu=0.66\\sigma \\\\\n\t\t\t\t22-\\mu=1.33\\sigma\n\t\t\t\\end{cases}\n\t\t\t\\quad \\Leftrightarrow \\quad \n\t\t\t\\begin{cases} \\mu=20 \\\\\n\t\t\t\t\\sigma=1.5\n\t\t\t\\end{cases}\n\t\t\t\\quad \\Leftrightarrow \\quad \n\t\t\tY\\sim \\mathcal{N}(20,\\sigma=1.5)\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

Joueur \$A\$: \\[X\\sim\\mathcal{N}(\\mu,\\sigma), \\quad \\prob(X\\geq\n19)=0.977, \\quad \\prob(X\\leq 22)=0.84\\] En posant \$Z=\\frac{X-\\mu}{\\sigma}\$, on a \$Z\\sim \\mathcal{N}(0,1)\$ et: \\[\\begin{cases}\n \\prob\\left(Z\\geq \\frac{19-\\mu}{\\sigma} \\right)=0.977 \\\\\n \\prob\\left( Z \\leq \\frac{22-\\mu}{\\sigma}\\right)=0.84\n \\end{cases}\n \\quad \\Leftrightarrow \\quad\n \\begin{cases}\n \\prob\\left(Z\\leq -\\frac{19-\\mu}{\\sigma} \\right)=0.977 \\\\\n \\prob\\left( Z \\leq \\frac{22-\\mu}{\\sigma}\\right)=0.84\n \\end{cases}\\] et par lecture de la table de loi \$\\mathcal{N}(0,1)\$, on obtient: \\[\\begin{align*}\n \\begin{cases} -\\frac{19-\\mu}{\\sigma}=2 \\\\\n \\frac{22-\\mu}{\\sigma}=1\n \\end{cases}\n \\quad \\Leftrightarrow \\quad\n \\begin{cases} -19+\\mu=2\\sigma \\\\\n 22-\\mu=\\sigma\n \\end{cases}\n \\quad \\Leftrightarrow \\quad\n \\begin{cases} \\mu=21 \\\\\n \\sigma=1\n \\end{cases}\n \\quad \\Leftrightarrow \\quad\n X\\sim \\mathcal{N}(21,\\sigma=1)\n \\end{align*}\\]

Joueur \$B\$: \\[Y\\sim\\mathcal{N}(\\mu,\\sigma), \\quad \\prob(Y\\geq\n19)=0.745, \\quad \\prob(Y\\leq 22)=0.908\\] En posant \$Z=\\frac{Y-\\mu}{\\sigma}\$, on a \$Z\\sim \\mathcal{N}(0,1)\$ et: \\[\\begin{cases}\n \\prob\\left(Z\\geq \\frac{19-\\mu}{\\sigma} \\right)=0.745 \\\\\n \\prob\\left( Z \\leq \\frac{22-\\mu}{\\sigma}\\right)=0.908\n \\end{cases}\n \\quad \\Leftrightarrow \\quad\n \\begin{cases}\n \\prob\\left(Z\\leq -\\frac{19-\\mu}{\\sigma} \\right)=0.745 \\\\\n \\prob\\left( Z \\leq \\frac{22-\\mu}{\\sigma}\\right)=0.908\n \\end{cases}\\] et par lecture de la table de loi \$\\mathcal{N}(0,1)\$, on obtient: \\[\\begin{align*}\n \\begin{cases} -\\frac{19-\\mu}{\\sigma}=0.66 \\\\\n \\frac{22-\\mu}{\\sigma}=1.33\n \\end{cases}\n \\quad \\Leftrightarrow \\quad\n \\begin{cases} -19+\\mu=0.66\\sigma \\\\\n 22-\\mu=1.33\\sigma\n \\end{cases}\n \\quad \\Leftrightarrow \\quad\n \\begin{cases} \\mu=20 \\\\\n \\sigma=1.5\n \\end{cases}\n \\quad \\Leftrightarrow \\quad\n Y\\sim \\mathcal{N}(20,\\sigma=1.5)\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "6ca2799f-072a-490d-903d-6b5caaf844fc", "type": "question", "value": { "latex": "Quels sont les paramètres de la variable aléatoire normale $Z=X-Y$ ?", "html": "

Quels sont les paramètres de la variable aléatoire normale \$Z=X-Y\$ ?

\n" } }, { "id": "fa35185a-0010-4c58-92e4-e9d9153caea2", "type": "reponse", "value": { "latex": "Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes et de loi Normale, donc leur différence est encore une loi Normale de paramètres:\n\t\t\\[ Z\\sim \\mathcal{N}(21-20,\\sigma^2=1^2+1.5^2) \\quad \\text{c'est-à-dire} \\quad \n\t\tZ\\sim \\mathcal{N}(21-20,\\sigma^2=3.25).\n\t\t\\]", "html": "

Les variables aléatoires \$X\$ et\n\$Y\$ sont indépendantes et de loi\nNormale, donc leur différence est encore une loi Normale de paramètres:\n\\[Z\\sim \\mathcal{N}(21-20,\\sigma^2=1^2+1.5^2)\n\\quad \\text{c'est-à-dire} \\quad\n Z\\sim \\mathcal{N}(21-20,\\sigma^2=3.25).\\]

\n" } }, { "id": "1d135a8e-7fde-4d87-a6d2-362e82be40be", "type": "question", "value": { "latex": "Exprimer en utilisant la variable aléatoire $Z$ l'événement \"Le joueur $A$ gagne le concours.\" et en déterminer la probabilité.", "html": "

Exprimer en utilisant la variable aléatoire \$Z\$ l’événement \"Le joueur \$A\$ gagne le concours.\" et en déterminer la\nprobabilité.

\n" } }, { "id": "e7eafc5e-f564-46f7-b83e-baa9b2269ae8", "type": "reponse", "value": { "latex": "Le joueur $A$ gagne le concours signifie que le lancer $X$ du joueur $A$ est supérieur au lancer $Y$ du joueur $B$, ce qui revient à avoir $Z\\geq 0$.\n\t\t\\[\\prob(Z\\geq 0)=\\prob\\left(\\frac{Z-1}{\\sqrt{3.25}}\\geq \\frac{-1}{\\sqrt{3.25}}\\simeq 0.55\\right)=0.7088\\]\n\t\tIl y a donc $70.88$\\% de chance que $A$ gagne le concours.", "html": "

Le joueur \$A\$ gagne le concours\nsignifie que le lancer \$X\$ du joueur\n\$A\$ est supérieur au lancer \$Y\$ du joueur \$B\$, ce qui revient à avoir \$Z\\geq 0\$. \\[\\prob(Z\\geq\n0)=\\prob\\left(\\frac{Z-1}{\\sqrt{3.25}}\\geq \\frac{-1}{\\sqrt{3.25}}\\simeq\n0.55\\right)=0.7088\\] Il y a donc \$70.88\$% de chance que \$A\$ gagne le concours.

\n" } } ] }, { "uuid": "LnaN", "titre": "Comparaison de lois normales", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:14.885Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:14.885Z" }, "contenu": [ { "id": "4a232116-946b-4861-b1eb-58ca33da8f89", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $X$ la note obtenue par un étudiant: $X\\sim\\mathcal{N}(7,\\sigma^2=3^2)$.", "html": "

Soit \$X\$ la note obtenue par un\nétudiant: \$X\\sim\\mathcal{N}(7,\\sigma^2=3^2)\$.

\n" } }, { "id": "75459f34-5ec4-4332-934a-ec310b3b6c0d", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer le pourcentage d'individus ayant plus de $10$ et la note en dessous de laquelle se trouvent $10$\\% des étudiants.", "html": "

Calculer le pourcentage d’individus ayant plus de \$10\$ et la note en dessous de laquelle se\ntrouvent \$10\$% des étudiants.

\n" } }, { "id": "0348c627-444a-4f34-98fb-59fb4e09cac7", "type": "reponse", "value": { "latex": "Comme $\\frac{X-7}{3} \\sim \\mathcal{N}(0,1)$, on a\n\t\t\\[\\prob(X\\geq 10)=\\prob\\left(\\frac{X-7}{3}\\geq 1\\right)=1-\\prob\\left(\\frac{X-7}{3}\\leq 1\\right)\\simeq 1-0.8413 \\simeq 0.1587\\]\n\t\tsoit environ $15.87$\\% des étudiants ont plus de $10$.\n\t\t\\vspace{1em}\n\t\t\n\t\tOn cherche $\\alpha$ la note telle que $\\prob(X\\leq \\alpha )=0.10$. On note que\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\prob(X\\leq \\alpha )=0.1 & \\quad \\Leftrightarrow \\quad \n\t\t\t\\prob\\left(\\frac{X-7}{3} \\leq \\frac{\\alpha-7}{3}\\right)=0.1 \\\\\n\t\t\t& \\quad \\Leftrightarrow \\quad\n\t\t\t\\prob\\left(\\frac{X-7}{3} \\geq \\frac{-\\alpha+7}{3}\\right)=0.1 \\\\\n\t\t\t& \\quad \\Leftrightarrow \\quad\n\t\t\t\\prob\\left(\\frac{X-7}{3}\\leq \\frac{-\\alpha+7}{3}\\right)=0.9,\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tce qui donne par lecture de table de la loi $\\mathcal{N}(0,1)$, $\\frac{-\\alpha+7}{3}\\simeq 1.3$, soit $\\alpha \\simeq 3.1$.\n\t\tDonc $10$\\% des étudiants ont en-dessous de $3.1$.", "html": "

Comme \$\\frac{X-7}{3} \\sim\n\\mathcal{N}(0,1)\$, on a \\[\\prob(X\\geq\n10)=\\prob\\left(\\frac{X-7}{3}\\geq 1\\right)=1-\\prob\\left(\\frac{X-7}{3}\\leq\n1\\right)\\simeq 1-0.8413 \\simeq 0.1587\\] soit environ \$15.87\$% des étudiants ont plus de \$10\$.

On cherche \$\\alpha\$ la note telle\nque \$\\prob(X\\leq \\alpha )=0.10\$. On\nnote que \\[\\begin{align*}\n \\prob(X\\leq \\alpha )=0.1 & \\quad \\Leftrightarrow \\quad\n \\prob\\left(\\frac{X-7}{3} \\leq \\frac{\\alpha-7}{3}\\right)=0.1\n\\\\\n & \\quad \\Leftrightarrow \\quad\n \\prob\\left(\\frac{X-7}{3} \\geq \\frac{-\\alpha+7}{3}\\right)=0.1\n\\\\\n & \\quad \\Leftrightarrow \\quad\n \\prob\\left(\\frac{X-7}{3}\\leq \\frac{-\\alpha+7}{3}\\right)=0.9,\n \\end{align*}\\] ce qui donne par lecture de table de la\nloi \$\\mathcal{N}(0,1)\$, \$\\frac{-\\alpha+7}{3}\\simeq 1.3\$, soit \$\\alpha \\simeq 3.1\$. Donc \$10\$% des étudiants ont en-dessous de \$3.1\$.

\n" } }, { "id": "929494c1-0de2-4e91-b76a-49abd9a30c13", "type": "question", "value": { "latex": "Compte tenu de ces résultats, on décide de revaloriser l'ensemble des notes par une transformation linéaire $Z=aX+b$. Quelles valeurs doit-on donner à $a$ et $b$ pour que les valeurs précédentes passent respectivement à $50$\\% et $7$. \\\\\n\t\\textit{Indication: calculer $\\E(Z)$ et $\\var(Z)$ en fonction de $\\E(X)$ et de $\\var(X)$.}", "html": "

Compte tenu de ces résultats, on décide de revaloriser l’ensemble des\nnotes par une transformation linéaire \$Z=aX+b\$. Quelles valeurs doit-on donner à\n\$a\$ et \$b\$ pour que les valeurs précédentes\npassent respectivement à \$50\$% et\n\$7\$.
\nIndication: calculer \$\\E(Z)\$ et\n\$\\var(Z)\$ en fonction de \$\\E(X)\$ et de \$\\var(X)\$.

\n" } }, { "id": "edf08962-f6b5-4c51-9a3e-34b2aa30d84b", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $Z=aX+b$ donc \n\t\t\\begin{eqnarray*}\n\t\t\t\\E(Z) &=& a\\E(X)+b \\, =\\, 7a+b \\\\\n\t\t\t\\var(Z) &=& \\var(aX) \\,=\\, a^2\\var(X) \\,=\\, 9a^2 \\text{.}\n\t\t\\end{eqnarray*}\n\t\tOn souhaite avoir $50$\\% des étudiants ayant plus de $10$. Comme la loi normale est symétrique par rapport à sa moyenne, cela revient à prendre $\\E(Z)=10$ donc $10=7a+b$.\n\t\t\\\\[1mm]\n\t\tEnsuite, on souhaite avoir $\\prob(Z\\leq 7)=0.1$. On a\n\t\t\\[ \\prob\\left( \\frac{Z-10}{3a}\\leq \\frac{7-10}{3a}\\right)=0.1 \n\t\t\\quad \\Leftrightarrow \\quad \\prob\\left( \\frac{Z-10}{3a}\\leq \\frac{1}{a}\\right)=0.9\n\t\t\\quad \\Leftrightarrow \\quad \\frac{1}{a}\\simeq 1.29\n\t\t\\quad \\Leftrightarrow \\quad a\\simeq 0.775\\text{.}\n\t\t\\]\n\t\tPar conséquent, $b=10-7a\\simeq 4.573$.", "html": "

On a \$Z=aX+b\$ donc \\[\\begin{aligned}\n \\E(Z) &=& a\\E(X)+b \\, =\\, 7a+b \\\\\n \\var(Z) &=& \\var(aX) \\,=\\, a^2\\var(X) \\,=\\, 9a^2\n\\text{.}\n \n\\end{aligned}\\] On souhaite avoir \$50\$% des étudiants ayant plus de \$10\$. Comme la loi normale est symétrique\npar rapport à sa moyenne, cela revient à prendre \$\\E(Z)=10\$ donc \$10=7a+b\$.
\nEnsuite, on souhaite avoir \$\\prob(Z\\leq\n7)=0.1\$. On a \\[\\prob\\left(\n\\frac{Z-10}{3a}\\leq \\frac{7-10}{3a}\\right)=0.1\n \\quad \\Leftrightarrow \\quad \\prob\\left( \\frac{Z-10}{3a}\\leq\n\\frac{1}{a}\\right)=0.9\n \\quad \\Leftrightarrow \\quad \\frac{1}{a}\\simeq 1.29\n \\quad \\Leftrightarrow \\quad a\\simeq 0.775\\text{.}\\] Par\nconséquent, \$b=10-7a\\simeq\n4.573\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "KfgI", "titre": "Comparaison de méthodes de point fixe", "theme": [ "méthodes numériques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:13.203Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:13.203Z" }, "contenu": [] }, { "uuid": "M7Z5", "titre": "Comparaison de moyennes", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:22:15.122Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:15.122Z" }, "contenu": [ { "id": "0279aeb2-575b-486a-a032-4387ad1ba57d", "type": "description", "value": { "latex": "Un professeur affirme qu'il existe une différence entre les\nhommes et les femmes sur un test d'habileté spatio-cognitivo-émotive.\nVoici les données sur lesquelles repose son\naffirmation: \\\\ Hommes: 82, 80, 81, 84, 75 \\\\ Femmes: 74, 79, 78, 71", "html": "

Un professeur affirme qu’il existe une différence entre les hommes et\nles femmes sur un test d’habileté spatio-cognitivo-émotive. Voici les\ndonnées sur lesquelles repose son affirmation:
\nHommes: 82, 80, 81, 84, 75
\nFemmes: 74, 79, 78, 71

\n" } }, { "id": "1ee619d1-f7fb-4caa-ab26-494f8c507376", "type": "question", "value": { "latex": "La différence observée est-elle significative au seuil de 5\\% (on suppose que $\\sigma_H = \\sigma_F$)?", "html": "

La différence observée est-elle significative au seuil de 5% (on\nsuppose que \$\\sigma_H =\n\\sigma_F\$)?

\n" } }, { "id": "fcea1698-229b-408a-a724-32513f74e8e8", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\href{https://stcyrterrenetdefensegouvf-my.sharepoint.com/:x:/g/personal/maxime_nguyen_st-cyr_terre-net_defense_gouv_fr/EYlCPJY62BdMpTYscg1T6zABc9_WCIR_pzt6XSOajALYhw?e=WsbIMH&nav=MTVfezAwMDAwMDAwLTAwMDEtMDAwMC0wNDAwLTAwMDAwMDAwMDAwMH0}{lien vers tableur}", "html": "

lien\nvers tableur

\n" } } ] }, { "uuid": "WSXH", "titre": "Comparaison de moyennes", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:23.567Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:23.567Z" }, "contenu": [ { "id": "f12fe9c3-5fee-4255-a6e4-c7c7b182b441", "type": "description", "value": { "latex": "Une usine fabrique des rouleaux de pellicules photographiques. On mesure l'épaisseur des couches sensibles de ces pellicules. pour cela, on utilise un échantillon de $N=616$ pellicules . On répartit les épaisseurs par tranche de un micron et on désigne par $x_i$ l'épaisseur moyenne de la classe $i$. On regroupe les épaisseurs par classe dans le fichier \\texttt{TP\\_photos.xls}.", "html": "

Une usine fabrique des rouleaux de pellicules photographiques. On\nmesure l’épaisseur des couches sensibles de ces pellicules. pour cela,\non utilise un échantillon de \$N=616\$\npellicules . On répartit les épaisseurs par tranche de un micron et on\ndésigne par \$x_i\$ l’épaisseur moyenne\nde la classe \$i\$. On regroupe les\népaisseurs par classe dans le fichier TP_photos.xls.

\n" } }, { "id": "888f6867-2f4d-40a6-882d-1cda8cdd7755", "type": "question", "value": { "latex": "Peut-on admettre que l'épaisseur des couches sensibles suit une loi normale ?", "html": "

Peut-on admettre que l’épaisseur des couches sensibles suit une loi\nnormale ?

\n" } }, { "id": "02b31c75-710c-440c-babb-aa565c012fa4", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\href{https://stcyrterrenetdefensegouvf-my.sharepoint.com/:x:/g/personal/maxime_nguyen_st-cyr_terre-net_defense_gouv_fr/EYlCPJY62BdMpTYscg1T6zABc9_WCIR_pzt6XSOajALYhw?e=MnGFyL&nav=MTVfezAwMDAwMDAwLTAwMDEtMDAwMC0wNTAwLTAwMDAwMDAwMDAwMH0}{lien vers tableur}", "html": "

lien\nvers tableur

\n" } } ] }, { "uuid": "rhUy", "titre": "Comparaison de moyennes", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:49.295Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:49.295Z" }, "contenu": [] }, { "uuid": "bPo3", "titre": "Comparaison de probabilités", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:22:30.771Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:30.771Z" }, "contenu": [ { "id": "001763e4-881c-4cec-9a0f-c49b3e65abab", "type": "question", "value": { "latex": "Si l'on tire un réel au hasard dans $[0,1]$, est-il plus probable d'avoir sa racine carrée inférieure à $0.4$ ou d'avoir son carré plus grand que $0.7$ ?", "html": "

Si l’on tire un réel au hasard dans \$[0,1]\$, est-il plus probable d’avoir sa\nracine carrée inférieure à \$0.4\$ ou\nd’avoir son carré plus grand que \$0.7\$ ?

\n" } }, { "id": "e1684589-7d70-4fdf-9269-4c51fa1d7bb3", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $X\\sim\\mathcal{U}([0,1])$ modélisant le réel tiré au hasard dans $[0,1]$. Alors\n\t\\[\\forall t\\in\\R, \\quad f_X(t)=\\begin{cases} 1 & \\text{ si } t\\in[0,1] \\\\\n\t\t0 & \\text{ sinon.}\n\t\\end{cases}\\]\n\tOn souhaite comparer les deux probabilités suivantes:\n\t\\begin{itemize}\n\t\t\\item $\\p(\\sqrt{X}\\leq 0.4)=\\p(X\\leq 0.4^2)=\\int_0^{0.16} \\dx t=0.16$\n\t\t\\item $\\p(X^2\\geq 0.7)=\\p(X\\geq \\sqrt{0.7})=\\int_{\\sqrt{0.7}}^1 \\dx t=1-\\sqrt{0.7}\\simeq 0.163$\n\t\\end{itemize}\n\tOn en conclut qu'il est plus probable d'avoir son carré plus grand que $0.7$ (par rapport à avoir sa racine carrée inférieure à $0.4$).", "html": "

Soit \$X\\sim\\mathcal{U}([0,1])\$\nmodélisant le réel tiré au hasard dans \$[0,1]\$. Alors \\[\\forall t\\in\\R, \\quad f_X(t)=\\begin{cases} 1\n& \\text{ si } t\\in[0,1] \\\\\n 0 & \\text{ sinon.}\n \\end{cases}\\] On souhaite comparer les deux probabilités\nsuivantes:

\$\\p(\\sqrt{X}\\leq 0.4)=\\p(X\\leq\n0.4^2)=\\int_0^{0.16} \\dx t=0.16\$
\$\\p(X^2\\geq 0.7)=\\p(X\\geq\n\\sqrt{0.7})=\\int_{\\sqrt{0.7}}^1 \\dx t=1-\\sqrt{0.7}\\simeq\n0.163\$

On en conclut qu’il est plus probable d’avoir son carré plus grand\nque \$0.7\$ (par rapport à avoir sa\nracine carrée inférieure à \$0.4\$).

\n" } } ] }, { "uuid": "cpBJ", "titre": "Complexes et matrices", "theme": [ "calcul matriciel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:32.444Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:32.444Z" }, "contenu": [ { "id": "e12c8885-1c68-4f20-b6af-2817ceab6ba0", "type": "description", "value": { "latex": "L'ensemble des nombres complexes est défini par $\\mathbb{C}=\\{a+i b / a \\in \\mathbb{R}, b \\in \\mathbb{R}\\}$ avec $i^2=-1$. L'addition est définie par: $(a+i b)+(c+i d)=(a+c)+i(b+d)$ et la multiplication est donnée par : $(a+i b) \\times(c+i d)=(a . c-b . d)+i(a d+b c)$. A chaque nombre complexe $a+i b$, on associe la matrice $M(a, b)=\\left(\\begin{array}{cc}a & b \\\\ -b & a\\end{array}\\right)$.", "html": "

L’ensemble des nombres complexes est défini par \$\\mathbb{C}=\\{a+i b / a \\in \\mathbb{R}, b \\in\n\\mathbb{R}\\}\$ avec \$i^2=-1\$.\nL’addition est définie par: \$(a+i b)+(c+i\nd)=(a+c)+i(b+d)\$ et la multiplication est donnée par : \$(a+i b) \\times(c+i d)=(a . c-b . d)+i(a d+b\nc)\$. A chaque nombre complexe \$a+i\nb\$, on associe la matrice \$M(a,\nb)=\\left(\\begin{array}{cc}a & b \\\\ -b &\na\\end{array}\\right)\$.

\n" } }, { "id": "4dfbc35f-8b9a-467a-a93a-74120e16d622", "type": "question", "value": { "latex": "On note par $J$ la matrice associée au nombre $i$. Montrer que $J^2=-I_2$, où $I$ est la matrice identité.", "html": "

On note par \$J\$ la matrice\nassociée au nombre \$i\$. Montrer que\n\$J^2=-I_2\$, où \$I\$ est la matrice identité.

\n" } }, { "id": "799b87db-751e-44ea-ad49-0de3fc30ef43", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\n\t\t\\begin{aligned}\n\t\t\t& J=M(0,1)=\\left(\\begin{array}{cc}\n\t\t\t\t0 & 1 \\\\\n\t\t\t\t-1 & 0\n\t\t\t\\end{array}\\right) \\\\\n\t\t\t& J^2=\\left(\\begin{array}{cc}\n\t\t\t\t0 & 1 \\\\\n\t\t\t\t-1 & 0\n\t\t\t\\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{cc}\n\t\t\t\t0 & 1 \\\\\n\t\t\t\t-1 & 0\n\t\t\t\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{cc}\n\t\t\t\t-1 & 0 \\\\\n\t\t\t\t0 & -1\n\t\t\t\\end{array}\\right)=-I_2=-M(1,0)=M(-1,0)\n\t\t\\end{aligned}\n\t\t$$", "html": "

\\[\\begin{aligned}\n & J=M(0,1)=\\left(\\begin{array}{cc}\n 0 & 1 \\\\\n -1 & 0\n \\end{array}\\right) \\\\\n & J^2=\\left(\\begin{array}{cc}\n 0 & 1 \\\\\n -1 & 0\n \\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{cc}\n 0 & 1 \\\\\n -1 & 0\n \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{cc}\n -1 & 0 \\\\\n 0 & -1\n \\end{array}\\right)=-I_2=-M(1,0)=M(-1,0)\n \\end{aligned}\\]

\n" } }, { "id": "15ee1334-63a2-4870-84a0-b7f35aae4832", "type": "question", "value": { "latex": "Si les matrices $M(a, b)$ et $M^{\\prime}\\left(a^{\\prime}, b^{\\prime}\\right)$ sont associées respectivement aux nombres $z=(a+i b)$ et $z^{\\prime}=\\left(a^{\\prime}+i b^{\\prime}\\right)$, montrer que $M(a, b) \\cdot M^{\\prime}\\left(a^{\\prime}, b^{\\prime}\\right)$ correspond au produit des nombres complexes : $z . z^{\\prime}$.", "html": "

Si les matrices \$M(a, b)\$ et \$M^{\\prime}\\left(a^{\\prime},\nb^{\\prime}\\right)\$ sont associées respectivement aux nombres\n\$z=(a+i b)\$ et \$z^{\\prime}=\\left(a^{\\prime}+i\nb^{\\prime}\\right)\$, montrer que \$M(a,\nb) \\cdot M^{\\prime}\\left(a^{\\prime}, b^{\\prime}\\right)\$\ncorrespond au produit des nombres complexes : \$z . z^{\\prime}\$.

\n" } }, { "id": "3c363e22-a133-4579-a84c-5b286d3d297a", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\n\t\t\\begin{aligned}\n\t\t\t& M(a, b) \\cdot M^{\\prime}\\left(a^{\\prime}, b^{\\prime}\\right)=\\left(\\begin{array}{cc}\n\t\t\t\ta & b \\\\\n\t\t\t\t-b & a\n\t\t\t\\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{cc}\n\t\t\t\ta^{\\prime} & b^{\\prime} \\\\\n\t\t\t\t-b^{\\prime} & a^{\\prime}\n\t\t\t\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{cc}\n\t\t\t\ta \\cdot a^{\\prime}-b \\cdot b^{\\prime} & a b^{\\prime}+b a^{\\prime} \\\\\n\t\t\t\t-a b^{\\prime}-b a^{\\prime} & a \\cdot a^{\\prime}-b \\cdot b^{\\prime}\n\t\t\t\\end{array}\\right) \\\\\n\t\t\t& z . z^{\\prime}=(a+i b) \\times\\left(a^{\\prime}+i b^{\\prime}\\right)=\\left(\\begin{array}{ll}\n\t\t\t\t\\left.a \\cdot a^{\\prime}-b \\cdot b^{\\prime}\\right)+i\\left(a b^{\\prime}+b a^{\\prime}\\right)\n\t\t\t\\end{array} \\quad \\text { a } \\quad \\text { pour } \\quad\\right. \\text { matrice associée : } \\\\\n\t\t\t& M\\left(a \\cdot a^{\\prime}-b \\cdot b^{\\prime}, a b^{\\prime}+b a^{\\prime}\\right)=\\left(\\begin{array}{ll}\n\t\t\t\ta \\cdot a^{\\prime}-b \\cdot b^{\\prime} & a b^{\\prime}+b a^{\\prime} \\\\\n\t\t\t\t-a b^{\\prime}-b a^{\\prime} & a \\cdot a^{\\prime}-b \\cdot b^{\\prime}\n\t\t\t\\end{array}\\right)=M(a, b) \\cdot M^{\\prime}\\left(a^{\\prime}, b^{\\prime}\\right)\n\t\t\\end{aligned}\n\t\t$$", "html": "

\\[\\begin{aligned}\n & M(a, b) \\cdot M^{\\prime}\\left(a^{\\prime},\nb^{\\prime}\\right)=\\left(\\begin{array}{cc}\n a & b \\\\\n -b & a\n \\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{cc}\n a^{\\prime} & b^{\\prime} \\\\\n -b^{\\prime} & a^{\\prime}\n \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{cc}\n a \\cdot a^{\\prime}-b \\cdot b^{\\prime} & a\nb^{\\prime}+b a^{\\prime} \\\\\n -a b^{\\prime}-b a^{\\prime} & a \\cdot a^{\\prime}-b\n\\cdot b^{\\prime}\n \\end{array}\\right) \\\\\n & z . z^{\\prime}=(a+i b) \\times\\left(a^{\\prime}+i\nb^{\\prime}\\right)=\\left(\\begin{array}{ll}\n \\left.a \\cdot a^{\\prime}-b \\cdot\nb^{\\prime}\\right)+i\\left(a b^{\\prime}+b a^{\\prime}\\right)\n \\end{array} \\quad \\text { a } \\quad \\text { pour }\n\\quad\\right. \\text { matrice associée : } \\\\\n & M\\left(a \\cdot a^{\\prime}-b \\cdot b^{\\prime}, a\nb^{\\prime}+b a^{\\prime}\\right)=\\left(\\begin{array}{ll}\n a \\cdot a^{\\prime}-b \\cdot b^{\\prime} & a\nb^{\\prime}+b a^{\\prime} \\\\\n -a b^{\\prime}-b a^{\\prime} & a \\cdot a^{\\prime}-b\n\\cdot b^{\\prime}\n \\end{array}\\right)=M(a, b) \\cdot M^{\\prime}\\left(a^{\\prime},\nb^{\\prime}\\right)\n \\end{aligned}\\]

\n" } }, { "id": "063e56c3-944c-479d-a5e1-ab22b04dead0", "type": "question", "value": { "latex": "Pour $A=\\left(\\begin{array}{cc}a & b \\\\ -b & a\\end{array}\\right)$ non nulle, évaluer la matrice inverse $A^{-1}$. Identifier le nombre complexe correspondant.", "html": "

Pour \$A=\\left(\\begin{array}{cc}a & b\n\\\\ -b & a\\end{array}\\right)\$ non nulle, évaluer la matrice\ninverse \$A^{-1}\$. Identifier le\nnombre complexe correspondant.

\n" } }, { "id": "55baeeab-1edb-43d7-84b9-ea3023c5dc42", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\n\t\t\\begin{gathered}\n\t\t\tM(a, b) \\cdot M^{\\prime}\\left(a^{\\prime}, b^{\\prime}\\right)=\\left(\\begin{array}{cc}\n\t\t\t\ta & b \\\\\n\t\t\t\t-b & a\n\t\t\t\\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{cc}\n\t\t\t\ta^{\\prime} & b^{\\prime} \\\\\n\t\t\t\t-b^{\\prime} & a^{\\prime}\n\t\t\t\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{cc}\n\t\t\t\ta \\cdot a^{\\prime}-b \\cdot b^{\\prime} & a b^{\\prime}+b a^{\\prime} \\\\\n\t\t\t\t-a b^{\\prime}-b a^{\\prime} & a \\cdot a^{\\prime}-b \\cdot b^{\\prime}\n\t\t\t\\end{array}\\right)=I_2=\\left(\\begin{array}{ll}\n\t\t\t\t1 & 0 \\\\\n\t\t\t\t0 & 1\n\t\t\t\\end{array}\\right) \\\\\n\t\t\t\\Leftrightarrow\\left\\{\\begin{array} { l } \n\t\t\t\t{ a \\cdot a ^ { \\prime } - b \\cdot b ^ { \\prime } = 1 } \\\\\n\t\t\t\t{ a b ^ { \\prime } + b a ^ { \\prime } = 0 }\n\t\t\t\\end{array} \\Leftrightarrow \\left\\{\\begin{array} { l } \n\t\t\t\t{ a \\cdot a ^ { \\prime } - b \\cdot b ^ { \\prime } = 1 } \\\\\n\t\t\t\t{ b a ^ { \\prime } + a b ^ { \\prime } = 0 }\n\t\t\t\\end{array} \\Leftrightarrow \\begin{array} { c } \n\t\t\t\t{ a \\ell _ { 1 } + b \\ell _ { 2 } } \\\\\n\t\t\t\t{ b \\ell _ { 1 } - a \\ell _ { 2 } }\n\t\t\t\\end{array} \\left\\{\\begin{array}{l}\n\t\t\t\t\\left(a^2+b^2\\right) a^{\\prime}=a \\\\\n\t\t\t\t\\left(-a^2-b^2\\right) b^{\\prime}=b\n\t\t\t\\end{array}\\right.\\right.\\right. \\\\\n\t\t\t\\Leftrightarrow\\left\\{\\begin{array}{l}\n\t\t\t\ta^{\\prime}=\\frac{a}{a^2+b^2} \\\\\n\t\t\t\tb^{\\prime}=-\\frac{b}{a^2+b^2}\n\t\t\t\\end{array}\\right.\n\t\t\\end{gathered}\n\t\t$$\n\t\tL'inverse de $M(a, b)=A=\\left(\\begin{array}{cc}a & b \\\\ -b & a\\end{array}\\right)$, associé au nombre complexe $z=a+i . b$ est définie à condition que $a^2+b^2 \\neq 0$ autrement dit si $A \\neq\\left(\\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 0\\end{array}\\right)$.\n\t\tCette inverse est :\n\t\t$$\n\t\tA^{-1}=M^{\\prime}\\left(a^{\\prime}, b^{\\prime}\\right)=\\left(\\begin{array}{cc}\n\t\t\ta^{\\prime} & b^{\\prime} \\\\\n\t\t\t-b^{\\prime} & a^{\\prime}\n\t\t\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{cc}\n\t\t\t\\frac{a}{a^2+b^2} & -\\frac{b}{a^2+b^2} \\\\\n\t\t\t\\frac{b}{a^2+b^2} & \\frac{a}{a^2+b^2}\n\t\t\\end{array}\\right)=M\\left(\\frac{a}{a^2+b^2},-\\frac{b}{a^2+b^2}\\right)\n\t\t$$\n\t\tC'est la matrice associée à $z^{-1}=\\frac{1}{a^2+b^2}(a-i b)$.", "html": "

\\[\\begin{gathered}\n M(a, b) \\cdot M^{\\prime}\\left(a^{\\prime},\nb^{\\prime}\\right)=\\left(\\begin{array}{cc}\n a & b \\\\\n -b & a\n \\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{cc}\n a^{\\prime} & b^{\\prime} \\\\\n -b^{\\prime} & a^{\\prime}\n \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{cc}\n a \\cdot a^{\\prime}-b \\cdot b^{\\prime} & a\nb^{\\prime}+b a^{\\prime} \\\\\n -a b^{\\prime}-b a^{\\prime} & a \\cdot a^{\\prime}-b\n\\cdot b^{\\prime}\n \\end{array}\\right)=I_2=\\left(\\begin{array}{ll}\n 1 & 0 \\\\\n 0 & 1\n \\end{array}\\right) \\\\\n \\Leftrightarrow\\left\\{\\begin{array} { l }\n { a \\cdot a ^ { \\prime } - b \\cdot b ^ { \\prime } = 1 }\n\\\\\n { a b ^ { \\prime } + b a ^ { \\prime } = 0 }\n \\end{array} \\Leftrightarrow \\left\\{\\begin{array} { l }\n { a \\cdot a ^ { \\prime } - b \\cdot b ^ { \\prime } = 1 }\n\\\\\n { b a ^ { \\prime } + a b ^ { \\prime } = 0 }\n \\end{array} \\Leftrightarrow \\begin{array} { c }\n { a \\ell _ { 1 } + b \\ell _ { 2 } } \\\\\n { b \\ell _ { 1 } - a \\ell _ { 2 } }\n \\end{array} \\left\\{\\begin{array}{l}\n \\left(a^2+b^2\\right) a^{\\prime}=a \\\\\n \\left(-a^2-b^2\\right) b^{\\prime}=b\n \\end{array}\\right.\\right.\\right. \\\\\n \\Leftrightarrow\\left\\{\\begin{array}{l}\n a^{\\prime}=\\frac{a}{a^2+b^2} \\\\\n b^{\\prime}=-\\frac{b}{a^2+b^2}\n \\end{array}\\right.\n \\end{gathered}\\] L’inverse de \$M(a, b)=A=\\left(\\begin{array}{cc}a & b \\\\ -b\n& a\\end{array}\\right)\$, associé au nombre complexe \$z=a+i . b\$ est définie à condition que\n\$a^2+b^2 \\neq 0\$ autrement dit si\n\$A \\neq\\left(\\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0\n& 0\\end{array}\\right)\$. Cette inverse est : \\[A^{-1}=M^{\\prime}\\left(a^{\\prime},\nb^{\\prime}\\right)=\\left(\\begin{array}{cc}\n a^{\\prime} & b^{\\prime} \\\\\n -b^{\\prime} & a^{\\prime}\n \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{cc}\n \\frac{a}{a^2+b^2} & -\\frac{b}{a^2+b^2} \\\\\n \\frac{b}{a^2+b^2} & \\frac{a}{a^2+b^2}\n \\end{array}\\right)=M\\left(\\frac{a}{a^2+b^2},-\\frac{b}{a^2+b^2}\\right)\\]\nC’est la matrice associée à \$z^{-1}=\\frac{1}{a^2+b^2}(a-i b)\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "zxCh", "titre": "Composition de fonctions", "theme": [ "calcul différentiel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:59.479Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:59.479Z" }, "contenu": [ { "id": "1192cebc-7bd7-488c-b9b9-f511fafff7b9", "type": "description", "value": { "latex": "Soient $f$ et $g$ deux fonctions d'une variable, de classe $C^2(\\R)$. On définit une fonction $\\varphi \\colon \\R^2 \\to \\R$ par :\n$$ \\varphi(x,y) = x f(x+y) + y g(x+y)$$", "html": "

Soient \$f\$ et \$g\$ deux fonctions d’une variable, de\nclasse \$C^2(\\R)\$. On définit une\nfonction \$\\varphi \\colon \\R^2 \\to \\R\$\npar : \\[\\varphi(x,y) = x f(x+y) + y\ng(x+y)\\]

\n" } }, { "id": "9b459467-4084-4455-b2b0-c9a03a7f70a7", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\dpa{\\varphi}{x}$ et $\\dpa{\\varphi}{y}$ en fonction de $x,y,f', g'$.", "html": "

Calculer \$\\dpa{\\varphi}{x}\$ et\n\$\\dpa{\\varphi}{y}\$ en fonction de\n\$x,y,f', g'\$.

\n" } }, { "id": "4fbd619b-b949-44cb-9db5-7d8fa1684d43", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par composition, $\\varphi$ est dérivable en tout point $(x,y) \\in \\R^2$ et par dérivation d'un produit et application de la règle des chaînes on a : \n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\dpa{\\varphi}{x}(x,y) &= f(x+y) + x \\times 1 \\times f'(x+y) + y\\times 1 \\times g'(x+y) \\\\\n\t\t&= f(x+y) + xf'(x+y) + yg'(x+y) \\\\\n\t\t\\dpa{\\varphi}{y}(x,y) &= xf'(x+y) + g(x+y) + yg'(x+y)\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

Par composition, \$\\varphi\$ est\ndérivable en tout point \$(x,y) \\in\n\\R^2\$ et par dérivation d’un produit et application de la règle\ndes chaînes on a : \\[\\begin{align*}\n \\dpa{\\varphi}{x}(x,y) &= f(x+y) + x \\times 1 \\times\nf'(x+y) + y\\times 1 \\times g'(x+y) \\\\\n &= f(x+y) + xf'(x+y) + yg'(x+y) \\\\\n \\dpa{\\varphi}{y}(x,y) &= xf'(x+y) + g(x+y) +\nyg'(x+y)\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "fc087c30-7787-412e-9bbb-d75721d02d30", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer les dérivées partielles secondes $\\dpsp{\\varphi}{x}$, $\\dpsp{\\varphi}{y}$, $\\dpsm{\\varphi}{x}{y}$, $\\dpsp{\\varphi}{y}{x}$ en fonction de $x,y,f',g',f'', g''$.", "html": "

Calculer les dérivées partielles secondes \$\\dpsp{\\varphi}{x}\$, \$\\dpsp{\\varphi}{y}\$, \$\\dpsm{\\varphi}{x}{y}\$, \$\\dpsp{\\varphi}{y}{x}\$ en fonction de \$x,y,f',g',f'',\ng''\$.

\n" } }, { "id": "dfd19f7b-7576-4a67-af00-5558d006eb58", "type": "reponse", "value": { "latex": "On redérive les expressions ci-dessus : \n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\dpsp{\\varphi}{x}(x,y) &= \\frac{\\partial }{\\partial x} \\left(f(x+y) + xf'(x+y) + yg'(x+y) \\right) \\\\\n\t\t&= 1 \\times f'(x+y) + (1 \\times f'(x+y) + x \\times 1 \\times f''(x+y)) + y\\times 1 \\times g''(x+y) \\\\\n\t\t&=2f'(x+y)+xf''(x+y)+yg''(x+y) \\\\\n\t\t\\dpsp{\\varphi}{y}(x,y) &= xf''(x+y)+2g'(x+y)+yg''(x+y) \\\\\n\t\t\\dpsm{\\varphi}{x}{y}(x,y) &= \\frac{\\partial }{\\partial x} \\left( xf'(x+y) + g(x+y) + yg'(x+y) \\right) \\\\\n\t\t&= f'(x+y) + xf''(x+y) + g'(x+y)+ yg''(x+y) \n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

On redérive les expressions ci-dessus : \\[\\begin{align*}\n \\dpsp{\\varphi}{x}(x,y) &= \\frac{\\partial }{\\partial x}\n\\left(f(x+y) + xf'(x+y) + yg'(x+y) \\right) \\\\\n &= 1 \\times f'(x+y) + (1 \\times f'(x+y) + x \\times 1\n\\times f''(x+y)) + y\\times 1 \\times g''(x+y) \\\\\n &=2f'(x+y)+xf''(x+y)+yg''(x+y) \\\\\n \\dpsp{\\varphi}{y}(x,y) &=\nxf''(x+y)+2g'(x+y)+yg''(x+y) \\\\\n \\dpsm{\\varphi}{x}{y}(x,y) &= \\frac{\\partial }{\\partial x}\n\\left( xf'(x+y) + g(x+y) + yg'(x+y) \\right) \\\\\n &= f'(x+y) + xf''(x+y) + g'(x+y)+\nyg''(x+y)\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "81e6b610-716f-4076-b434-834288f48d4c", "type": "question", "value": { "latex": "Observer que $\\dpsm{\\varphi}{x}{y} = \\dpsm{\\varphi}{y}{x}$. Quel théorème du cours permet de prévoir ce résultat ?", "html": "

Observer que \$\\dpsm{\\varphi}{x}{y} =\n\\dpsm{\\varphi}{y}{x}\$. Quel théorème du cours permet de prévoir\nce résultat ?

\n" } }, { "id": "958d339f-e755-40e7-b013-f016f588cea8", "type": "reponse", "value": { "latex": "Puisque $f$ est de classe $\\mathcal{C}^2$ au voisinage de tout point $(x,y)$ le théorème de Schwarz s'applique (Th 2.10 du cours) et permet de conclure qu'en tout point $(x,y) \\in \\R^2$, $\\dpsm{\\varphi}{x}{y}(x,y) = \\dpsm{\\varphi}{y}{x}(x,y)$.", "html": "

Puisque \$f\$ est de classe \$\\mathcal{C}^2\$ au voisinage de tout point\n\$(x,y)\$ le théorème de Schwarz\ns’applique (Th 2.10 du cours) et permet de conclure qu’en tout point\n\$(x,y) \\in \\R^2\$, \$\\dpsm{\\varphi}{x}{y}(x,y) =\n\\dpsm{\\varphi}{y}{x}(x,y)\$.

\n" } }, { "id": "c2ad4582-8fd8-473c-a317-f4ed57da1b77", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire la valeur de\n\t$$ \\dpsp{\\varphi}{x} - 2 \\dpsm{\\varphi}{x}{y} + \\dpsp{\\varphi}{y}\n\t$$", "html": "

En déduire la valeur de \\[\\dpsp{\\varphi}{x} - 2 \\dpsm{\\varphi}{x}{y} +\n\\dpsp{\\varphi}{y}\\]

\n" } }, { "id": "c7b3ae30-3217-47d2-80d1-e1554ebf6308", "type": "reponse", "value": { "latex": "Il suffit de remplacer par les expressions trouvées ci-dessus, simplifier et on trouve $\\dpsp{\\varphi}{x}(x,y) - 2 \\dpsm{\\varphi}{x}{y}(x,y) + \\dpsp{\\varphi}{y}(x,y) = 0$", "html": "

Il suffit de remplacer par les expressions trouvées ci-dessus,\nsimplifier et on trouve \$\\dpsp{\\varphi}{x}(x,y) - 2\n\\dpsm{\\varphi}{x}{y}(x,y) + \\dpsp{\\varphi}{y}(x,y) = 0\$

\n" } } ] }, { "uuid": "btWx", "titre": "Consistance d'un $\\theta$-schéma", "theme": [ "analyse numérique" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:31.324Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:31.324Z" }, "contenu": [ { "id": "27db871b-e157-4071-b6b5-d01fc0b84a6b", "type": "description", "value": { "latex": "Pour une fonction $f$ continue par morceaux sur $[a;b]$, on pose $\\theta \\in [0;1]$ on considère l'approximation :\n$$\\int_a^b f(s)ds \\approx (b-a)(\\theta f(a) + (1-\\theta)f(b))$$", "html": "

Pour une fonction \$f\$ continue par\nmorceaux sur \$[a;b]\$, on pose \$\\theta \\in [0;1]\$ on considère\nl’approximation : \\[\\int_a^b f(s)ds \\approx\n(b-a)(\\theta f(a) + (1-\\theta)f(b))\\]

\n" } }, { "id": "fc7bbcdf-c03b-4c7c-b548-12c7b876b27b", "type": "question", "value": { "latex": "\\'A partir de ce choix d'approximation, construire un schéma de résolution d'une EDO $y'(t)=f(t,y)$.", "html": "

Á partir de ce choix d’approximation, construire un schéma de\nrésolution d’une EDO \$y'(t)=f(t,y)\$.

\n" } }, { "id": "42982d1b-20e2-4986-a546-0df31d708672", "type": "question", "value": { "latex": "A partir de ce choix d'approximation, construire un schéma de résolution d'une EDO $y'(t)=f(t,y)$.", "html": "

A partir de ce choix d’approximation, construire un schéma de\nrésolution d’une EDO \$y'(t)=f(t,y)\$.

\n" } }, { "id": "d0cd4a8e-c521-49b1-a39a-7ef259963db4", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $y(t_{n+1}) = y(t_n) + \\int_{t_n}^{t_{n+1}} f\\left(s,y(s)\\right) ds$ d'où le schéma défini par :\n\t\t$$y_{n+1} = y_n + h \\left( \\theta f(t_n,y(t_n)) + (1-\\theta) f(t_{n+1}, y(t_{n+1}))\\right)$$", "html": "

On a \$y(t_{n+1}) = y(t_n) +\n\\int_{t_n}^{t_{n+1}} f\\left(s,y(s)\\right) ds\$ d’où le schéma\ndéfini par : \\[y_{n+1} = y_n + h \\left(\n\\theta f(t_n,y(t_n)) + (1-\\theta) f(t_{n+1},\ny(t_{n+1}))\\right)\\]

\n" } }, { "id": "297738c1-d2c1-4486-a334-d877e17b56a3", "type": "question", "value": { "latex": "Reconnaître des schémas usuels pour les valeurs $\\theta \\in \\{0,\\frac{1}{2},1\\}$.", "html": "

Reconnaître des schémas usuels pour les valeurs \$\\theta \\in \\{0,\\frac{1}{2},1\\}\$.

\n" } }, { "id": "dd89dd0c-9bc8-4a94-aac7-f5d27dac4f96", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\begin{itemize}\n\t\t\t\\item \tSi $\\theta =0$ : méthode d'Euler implicite (rectangle à droite) ;\n\t\t\t\\item Si $\\theta = 1$ : méthode d'Euler explicite (rectangle à gauche) ;\n\t\t\t\\item Si $\\theta = 1/2$ : méthode de Carnk Nikolson.\n\t\t\\end{itemize}", "html": "

Si \$\\theta =0\$ : méthode\nd’Euler implicite (rectangle à droite) ;
Si \$\\theta = 1\$ : méthode\nd’Euler explicite (rectangle à gauche) ;
Si \$\\theta = 1/2\$ : méthode de\nCarnk Nikolson.

\n" } }, { "id": "ce51951c-1c90-48f7-9699-ad90b82deee1", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que le schéma est consistant d'ordre 1 si $\\theta \\neq \\frac12$.", "html": "

Montrer que le schéma est consistant d’ordre 1 si \$\\theta \\neq \\frac12\$.

\n" } }, { "id": "ebd8a8be-f0f5-461a-abc5-92e795a5b266", "type": "reponse", "value": { "latex": "On calcule l'erreur de consistance : \n$$\\begin{align*}\n h\\, e_n(h) &= \\underbrace{y(t_{n+1}) - y(t_n)}_{\\text{développement de Taylor}} - h \\theta \\underbrace{f(t_n, y(t_n))}_{y'(t_n)} - h(1-\\theta) \\underbrace{f(t_{n+1}, y(t_{n+1}))}_{y'(t_{n+1})} \\\\\n &= h y'(t_n) + \\frac{h^2}{2}y''(t_n) + \\frac{h^3}{6} y'''(c_n) - h \\theta y'(t_n) - h(1-\\theta) \\left( y'(t_n) + hy''(t_n) + \\frac{h^2}{2}y'''(c'_n) \\right) \\\\\n &= h y'(t_n)(1-\\theta - (1-\\theta)) + h^2 \\left( \\frac{y''(t_n)}{2} - (1-\\theta)y''(t_n) \\right) + h^3 \\underbrace{\\left( ... \\right)}_{\\text{borné}} \\\\\n\\end{align*}$$\t\nDonc $$|e_n(h)| \\leq h \\left| \\frac{y''(t_n)}{2} - (1-\\theta)y''(t_n) \\right| + h^2 M$$\nce qui permet de conclure que l'ordre de consistance est $1$ si $\\theta \\neq \\frac{1}{2}$, l'ordre de consistance est $2$ si $\\theta = \\frac{1}{2}$.", "html": "

On calcule l’erreur de consistance : \\[\\begin{align*}\n h\\, e_n(h) &= \\underbrace{y(t_{n+1}) -\ny(t_n)}_{\\text{développement de Taylor}} - h \\theta \\underbrace{f(t_n,\ny(t_n))}_{y'(t_n)} - h(1-\\theta) \\underbrace{f(t_{n+1},\ny(t_{n+1}))}_{y'(t_{n+1})} \\\\\n &= h y'(t_n) + \\frac{h^2}{2}y''(t_n) +\n\\frac{h^3}{6} y'''(c_n) - h \\theta y'(t_n) - h(1-\\theta)\n\\left( y'(t_n) + hy''(t_n) +\n\\frac{h^2}{2}y'''(c'_n) \\right) \\\\\n &= h y'(t_n)(1-\\theta - (1-\\theta)) + h^2 \\left(\n\\frac{y''(t_n)}{2} - (1-\\theta)y''(t_n) \\right) + h^3\n\\underbrace{\\left( ... \\right)}_{\\text{borné}} \\\\\n\\end{align*}\\] Donc \\[|e_n(h)| \\leq h\n\\left| \\frac{y''(t_n)}{2} - (1-\\theta)y''(t_n) \\right|\n+ h^2 M\\] ce qui permet de conclure que l’ordre de consistance\nest \$1\$ si \$\\theta \\neq \\frac{1}{2}\$, l’ordre de\nconsistance est \$2\$ si \$\\theta = \\frac{1}{2}\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "mVsg", "titre": "Consommation d'oxygène", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:44.147Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:44.147Z" }, "contenu": [ { "id": "ea3b943e-03f1-46cf-9421-373cc4c6d29c", "type": "description", "value": { "latex": "On s'intéresse à un test pour mesurer la consommation maximale en oxygène d'un individu dans une population âgée. Pour un groupe de contrôle, il a été montré que les mesures suivent une loi normale dont l'espérance mathématique est de l'ordre de $\\mu=25{,}5 (\\mathrm{ml} / \\mathrm{kg} / \\mathrm{min})$ et l'écart-type $\\sigma=6 (\\mathrm{ml} / \\mathrm{kg} / \\mathrm{min})$. On pense qu'une population de malades (Parkinson) doit avoir des capacités cardio-respiratoires plus limitées. On souhaite ainsi tester si dans un tel groupe la moyenne $\\mu$ est plus faible. On prendra un risque de première espèce $\\alpha = 5 \\%$.", "html": "

On s’intéresse à un test pour mesurer la consommation maximale en\noxygène d’un individu dans une population âgée. Pour un groupe de\ncontrôle, il a été montré que les mesures suivent une loi normale dont\nl’espérance mathématique est de l’ordre de \$\\mu=25{,}5 (\\mathrm{ml} / \\mathrm{kg} /\n\\mathrm{min})\$ et l’écart-type \$\\sigma=6 (\\mathrm{ml} / \\mathrm{kg} /\n\\mathrm{min})\$. On pense qu’une population de malades\n(Parkinson) doit avoir des capacités cardio-respiratoires plus limitées.\nOn souhaite ainsi tester si dans un tel groupe la moyenne \$\\mu\$ est plus faible. On prendra un risque\nde première espèce \$\\alpha = 5\n\\%\$.

\n" } }, { "id": "d05b1b51-6346-4304-a9ff-cd4e0e889f22", "type": "description", "value": { "latex": "L'objectif du test est de décider entre les deux hypothèses suivantes : ${H}_0: \\mu=25{,}5$ (absence d'effet de la maladie) et ${H}_1: \\mu<25{,}5$ (existence de l'effet) à partir d'un échantillon de taille $15$. On note $\\overline{X} = \\sum\\limits_{k=1}^{15} X_i$ la moyenne empirique des mesures dans un tel échantillon.", "html": "

L’objectif du test est de décider entre les deux hypothèses suivantes\n: \${H}_0: \\mu=25{,}5\$ (absence\nd’effet de la maladie) et \${H}_1:\n\\mu<25{,}5\$ (existence de l’effet) à partir d’un échantillon\nde taille \$15\$. On note \$\\overline{X} = \\sum\\limits_{k=1}^{15} X_i\$\nla moyenne empirique des mesures dans un tel échantillon.

\n" } }, { "id": "bcc9e02d-4306-49b2-9cd4-c0c645bcc4e1", "type": "question", "value": { "latex": "Supposons que la moyenne observée dans l'échantillon est de $24{,}0$, quelle est la décision à prendre à la suite de ce test ?", "html": "

Supposons que la moyenne observée dans l’échantillon est de \$24{,}0\$, quelle est la décision à prendre\nà la suite de ce test ?

\n" } }, { "id": "84f38d9b-9a1b-490d-a2ca-537384abadea", "type": "reponse", "value": { "latex": "La variable de décision sous l'hypothèse $H_0$ est $$Z=\\frac{\\overline{X} - 25{,}5}{\\sqrt{ \\frac{S^2}{15} }}$$ et suit une loi de Student $St(14)$. \n Il convient de prendre pour valeur observée $S^2_{obs} = \\frac{15}{14} \\times 6^2 = 38.57$ soit $S_{obs} = 6.21$. Avec ces valeurs, on obtient $Z_{obs} = -0{,}93$. \n \n Or pour $\\alpha = 0.05$, on calcule que la zone de rejet est $]-\\infty ; -1.76]$. Il n'y a donc pas lieu de rejeter l'hypothèse $H_0$.", "html": "

La variable de décision sous l’hypothèse \$H_0\$ est \\[Z=\\frac{\\overline{X} - 25{,}5}{\\sqrt{\n\\frac{S^2}{15} }}\\] et suit une loi de Student \$St(14)\$. Il convient de prendre pour\nvaleur observée \$S^2_{obs} = \\frac{15}{14}\n\\times 6^2 = 38.57\$ soit \$S_{obs} =\n6.21\$. Avec ces valeurs, on obtient \$Z_{obs} = -0{,}93\$.

Or pour \$\\alpha = 0.05\$, on\ncalcule que la zone de rejet est \$]-\\infty ;\n-1.76]\$. Il n’y a donc pas lieu de rejeter l’hypothèse \$H_0\$.

\n" } }, { "id": "fb41dbf3-c260-40b3-a67f-3ccc21911f45", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la moyenne critique $\\mu_c$, c'est-à-dire la valeur observée au deçà de laquelle le test conduit à un rejet de $H_0$.", "html": "

Déterminer la moyenne critique \$\\mu_c\$, c’est-à-dire la valeur observée au\ndeçà de laquelle le test conduit à un rejet de \$H_0\$.

\n" } }, { "id": "53ed1e9f-6e9d-49e7-8718-f39052dfb90d", "type": "reponse", "value": { "latex": "Il suffit de résoudre l'équation $\\frac{\\mu_c - 23{,}5}{\\sqrt{ \\frac{S^2}{15} }} = -1.76$ et on obtient $\\mu_c \\approx 22.7$.", "html": "

Il suffit de résoudre l’équation \$\\frac{\\mu_c - 23{,}5}{\\sqrt{ \\frac{S^2}{15} }} =\n-1.76\$ et on obtient \$\\mu_c \\approx\n22.7\$.

\n" } }, { "id": "ca0f2a05-c9c7-443e-9f9f-dcd0fbc24c70", "type": "description", "value": { "latex": "La professeur responsable du service pense qu'à partir de la valeur $\\mu=23{,}5$, la différence est scientifiquement significative et l'effet sur le malade important. Elle souhaite alors savoir quel risque elle prend lorsqu'elle ne rejette pas ${H}_0$ en étant sous l'hypothèse alternative $(H_1) \\colon \\mu=23{,}5$.", "html": "

La professeur responsable du service pense qu’à partir de la valeur\n\$\\mu=23{,}5\$, la différence est\nscientifiquement significative et l’effet sur le malade important. Elle\nsouhaite alors savoir quel risque elle prend lorsqu’elle ne rejette pas\n\${H}_0\$ en étant sous l’hypothèse\nalternative \$(H_1) \\colon\n\\mu=23{,}5\$.

\n" } }, { "id": "d1615398-23f9-4ac2-9157-d4689ddd0dec", "type": "question", "value": { "latex": "Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $\\overline{X}$ lorsque $(H_1)$ est supposée vraie ?", "html": "

Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire \$\\overline{X}\$ lorsque \$(H_1)\$ est supposée vraie ?

\n" } }, { "id": "6a646ae5-e5ca-4e34-8cce-506de2e571e5", "type": "reponse", "value": { "latex": "Dans ce cas $\\overline{X}$ suit une loi normale de paramètre $\\mu = 23.5$ et d'écart type $\\sigma = 6$.", "html": "

Dans ce cas \$\\overline{X}\$ suit\nune loi normale de paramètre \$\\mu =\n23.5\$ et d’écart type \$\\sigma =\n6\$.

\n" } }, { "id": "b3f8bd3c-405a-4952-899d-f7cef5d8cbbc", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire l'erreur de deuxième espèce et la puissance de ce test. Commenter le résultat.", "html": "

En déduire l’erreur de deuxième espèce et la puissance de ce test.\nCommenter le résultat.

\n" } }, { "id": "81f1be9e-c397-4d40-96c9-4516fea36afd", "type": "reponse", "value": { "latex": "Il suffit de calculer : \n$$\\begin{align*}\n \\PP(\\overline{X} \\geq \\mu_c) &= \\PP\\left( \\frac{\\overline{X} - 23{,}5}{\\sqrt{ \\frac{S^2}{15} }} \\geq \\frac{22.7 - 23{,}5}{\\sqrt{ \\frac{S^2}{15} }}\\right) \\\\\n &\\approx 0.7\n\\end{align*}$$\nen utilisant la loi de Student de paramètre $14$. \n\nOn en déduit que le test ainsi réalisé n'est pas très puissant, de l'ordre de $30\\%$ seulement.", "html": "

Il suffit de calculer : \\[\\begin{align*}\n \\PP(\\overline{X} \\geq \\mu_c) &= \\PP\\left( \\frac{\\overline{X} -\n23{,}5}{\\sqrt{ \\frac{S^2}{15} }} \\geq \\frac{22.7 - 23{,}5}{\\sqrt{\n\\frac{S^2}{15} }}\\right) \\\\\n &\\approx 0.7\n\\end{align*}\\] en utilisant la loi de Student de paramètre \$14\$.

On en déduit que le test ainsi réalisé n’est pas très puissant, de\nl’ordre de \$30\\%\$ seulement.

\n" } } ] }, { "uuid": "iwFE", "titre": "Construction d'un schéma à deux pas par interpolation", "theme": [ "analyse numérique" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:39.522Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:39.522Z" }, "contenu": [ { "id": "27e8258c-161b-42a6-b82a-2bde8b43ff91", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $f$ une fonction $\\mathcal{C}^1([-1;1])$. Écrire le polynôme $P \\in \\mathbb{R}_2[X]$ qui interpole $f$ aux points $-1$, $0$ et $1$.", "html": "

Soit \$f\$ une fonction \$\\mathcal{C}^1([-1;1])\$. Écrire le polynôme\n\$P \\in \\mathbb{R}_2[X]\$ qui interpole\n\$f\$ aux points \$-1\$, \$0\$ et \$1\$.

\n" } }, { "id": "013a77ee-e1e6-49ee-ba01-44ec3be5a502", "type": "reponse", "value": { "latex": "On cherche les coefficients $a_0$, $a_1$ et $a_2$ du polynôme $P(X)=a_0+a_1X+a_2X^2$ tels que $P(-1)=f(-1)$, $P(0)=f(0)$, $P(1)=f(1)$. Après identification, on trouve \n\t\t\t$$a_0 = f(0) \\qquad a_1 = \\frac{f(1)-f(-1)}{2} \\qquad a_2 = \\frac{f(1)-2f(0)+f(-1)}{2}$$", "html": "

On cherche les coefficients \$a_0\$,\n\$a_1\$ et \$a_2\$ du polynôme \$P(X)=a_0+a_1X+a_2X^2\$ tels que \$P(-1)=f(-1)\$, \$P(0)=f(0)\$, \$P(1)=f(1)\$. Après identification, on\ntrouve \\[a_0 = f(0) \\qquad a_1 =\n\\frac{f(1)-f(-1)}{2} \\qquad a_2 =\n\\frac{f(1)-2f(0)+f(-1)}{2}\\]

\n" } }, { "id": "50ee2c1e-92ae-492a-82c6-34af538cc43e", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire une approximation de l'intégrale $\\int_0^1f(s)ds$.", "html": "

En déduire une approximation de l’intégrale \$\\int_0^1f(s)ds\$.

\n" } }, { "id": "c3a5fd2d-209b-4658-a3ae-97f508b6e2be", "type": "reponse", "value": { "latex": "On en déduit \n\t\t\t$$\\int_0^1 f(s)ds \\approx \\int_0^1P(s)ds = a_0 + \\frac{a_1}{2}+\\frac{a_2}{3} = \\frac{-f(-1)+8f(0)+5f(1)}{12}$$", "html": "

On en déduit \\[\\int_0^1 f(s)ds \\approx\n\\int_0^1P(s)ds = a_0 + \\frac{a_1}{2}+\\frac{a_2}{3} =\n\\frac{-f(-1)+8f(0)+5f(1)}{12}\\]

\n" } }, { "id": "71ff294b-b64e-4e2b-bdbd-777c067d3f46", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire par changement de variable une approximation de l'intégrale $\\int_a^bf(s)ds$ pour $f$ de classe $\\mathcal{C}^1([a-(b-a);a+(b-a)])$.", "html": "

En déduire par changement de variable une approximation de\nl’intégrale \$\\int_a^bf(s)ds\$ pour\n\$f\$ de classe \$\\mathcal{C}^1([a-(b-a);a+(b-a)])\$.

\n" } }, { "id": "54c8ff56-e309-4d2a-adc0-7418767f87c5", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\int_a^bf(s)ds = (b-a)\\int_0^1f(a+(b-a)\\tau) \\approx (b-a)\\frac{-f(2a-b)+8f(a)+5f(b)}{12}$", "html": "

\$\\int_a^bf(s)ds =\n(b-a)\\int_0^1f(a+(b-a)\\tau) \\approx\n(b-a)\\frac{-f(2a-b)+8f(a)+5f(b)}{12}\$

\n" } }, { "id": "85131bd6-537a-4b38-aec3-2b677cc188d1", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire un schéma à deux pas implicite pour approcher la solution d'un problème de Cauchy.", "html": "

En déduire un schéma à deux pas implicite pour approcher la solution\nd’un problème de Cauchy.

\n" } }, { "id": "737472ec-abab-4b55-baf8-2635a6947f69", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour résoudre le problème de Cauchy \n\t\t\t$$\\begin{cases}y'(t)=f(t,y(t)) \\\\ y(0)=a\\end{cases}$$\n\t\t\tl'approximation d'intégrale conduit à poser \n\t\t\t$$y_{n+1}=y_n+h \\frac{-f(t_{n-1},y_{n-1})+8f(t_n,y_n)+5f(t_{n+1},y_{n+1})}{12}$$\n\t\t\tavec $y_0=a$ et $y_1$ à déterminer en prenant par exemple $y_1=y_0+hf(t_0,y_0)$.", "html": "

Pour résoudre le problème de Cauchy \\[\\begin{cases}y'(t)=f(t,y(t)) \\\\\ny(0)=a\\end{cases}\\] l’approximation d’intégrale conduit à poser\n\\[y_{n+1}=y_n+h\n\\frac{-f(t_{n-1},y_{n-1})+8f(t_n,y_n)+5f(t_{n+1},y_{n+1})}{12}\\]\navec \$y_0=a\$ et \$y_1\$ à déterminer en prenant par exemple\n\$y_1=y_0+hf(t_0,y_0)\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "zhq8", "titre": "Construction de la loi du $\\chi^2$", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:58.552Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:58.552Z" }, "contenu": [ { "id": "5a39c982-7d70-44d4-8ac4-68f290366a7d", "type": "description", "value": { "latex": "On appelle loi Gamma $\\Gamma(\\alpha,\\lambda)$ où $\\alpha>0$, $\\lambda>0$ la loi dont la densité est définie par \n\t$$f(t) = \\frac{\\lambda^\\alpha}{\\Gamma(\\alpha)}t^{\\alpha-1}e^{-\\lambda t}\\textbf{1}_{[0;+\\infty[}(t)$$\n\toù \n\t$$\\Gamma(\\alpha) = \\int_0^{+\\infty} x^{\\alpha-1}e^{-x}dx$$\n\tSoit $X$ une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite. On pose $Y=X^2$.", "html": "

On appelle loi Gamma \$\\Gamma(\\alpha,\\lambda)\$ où \$\\alpha>0\$, \$\\lambda>0\$ la loi dont la densité est\ndéfinie par \\[f(t) =\n\\frac{\\lambda^\\alpha}{\\Gamma(\\alpha)}t^{\\alpha-1}e^{-\\lambda\nt}\\textbf{1}_{[0;+\\infty[}(t)\\] où \\[\\Gamma(\\alpha) = \\int_0^{+\\infty}\nx^{\\alpha-1}e^{-x}dx\\] Soit \$X\$ une variable aléatoire suivant une loi\nnormale centrée réduite. On pose \$Y=X^2\$.

\n" } }, { "id": "2eb04c48-99fe-43b4-a876-d52181f3471c", "type": "question", "value": { "latex": "En étudiant sa fonction de répartition, montrer que $Y$ suit une loi $\\Gamma(\\frac12,\\frac12)$.", "html": "

En étudiant sa fonction de répartition, montrer que \$Y\$ suit une loi \$\\Gamma(\\frac12,\\frac12)\$.

\n" } }, { "id": "192c436c-7c9f-42e5-9a37-c7ccde8c63ea", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $F_Y$ la fonction de répartition de $Y$. Puisque $Y$ ne prend que des valeurs positives, $F_Y(t)=0$ pour tout $t<0$. Soit $t \\geq 0$ : alors\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\PP(Y0$ : en remarquant que $f_Y(x) = \\frac{1}{\\Gamma(1/2) 2^{1/2}} x^{1/2-1} e^{-x/2}$, on voit qu'il s'agit d'une loi $\\Gamma\\left(\\frac{1}{2},\\frac{1}{2}\\right)$.", "html": "

Soit \$F_Y\$ la fonction de\nrépartition de \$Y\$. Puisque \$Y\$ ne prend que des valeurs positives,\n\$F_Y(t)=0\$ pour tout \$t<0\$. Soit \$t \\geq 0\$ : alors \\[\\begin{align*}\n \\PP(Y<t) &= \\PP(|X_1|< \\sqrt{t}) \\\\\n &= 2\\, \\PP(0<X_1 < \\sqrt{t}) \\text{ par symétrie\nde la variable $X_1$} \\\\\n &= 2 \\int_0^{\\sqrt{t}} \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}}\ne^{-\\frac{u^2}{2}} \\,du \\\\\n &= 2 \\int_0^{t} \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} e^{-\\frac{x}{2}}\n\\frac{1}{2\\sqrt{x}}\\,dx \\\\\n &= \\int_0^{t} \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi x}}\ne^{-\\frac{x}{2}}\\,dx\n \\end{align*}\\] La variable \$Y\$ admet donc pour densité \$f_Y(x) = \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi x}}\ne^{-\\frac{x}{2}}\$ pour tout \$x>0\$ : en remarquant que \$f_Y(x) = \\frac{1}{\\Gamma(1/2) 2^{1/2}} x^{1/2-1}\ne^{-x/2}\$, on voit qu’il s’agit d’une loi \$\\Gamma\\left(\\frac{1}{2},\\frac{1}{2}\\right)\$.

\n" } }, { "id": "1faf33e2-21b1-4484-a3df-eff6a8c872ee", "type": "question", "value": { "latex": "Soit un entier $n \\geq 1$ et soit $U_n$ une variable aléatoire suivant une loi $\\Gamma(\\frac{n}{2},\\frac12)$. Déterminer la fonction génératrice de $U_1$ puis celle de $U_n$ pour $n \\geq 1$.", "html": "

Soit un entier \$n \\geq 1\$ et soit\n\$U_n\$ une variable aléatoire suivant\nune loi \$\\Gamma(\\frac{n}{2},\\frac12)\$. Déterminer\nla fonction génératrice de \$U_1\$ puis\ncelle de \$U_n\$ pour \$n \\geq 1\$.

\n" } }, { "id": "a99114e0-76db-4704-b4ef-617d62015725", "type": "reponse", "value": { "latex": "On calcule directement :\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\tm_Y(t) &= \\mathbb{E}(e^{tY}) \\\\\n\t\t\t&= \\int_0^{+\\infty} e^{xt} \\frac{1}{\\Gamma(1/2) 2^{1/2}} x^{1/2-1} e^{-x/2} dx \\\\\n\t\t\t&= \\int_0^{+\\infty} \\frac{1}{\\Gamma(1/2) 2^{1/2}} x^{1/2-1} e^{-\\frac{x}{2}(1-2t)} dx \\text{ (l'intégrale converge ssi $1-2t>0$)}\\\\\n\t\t\t&= \\int_0^{+\\infty} \\frac{1}{\\Gamma(1/2) 2^{1/2}} y^{1/2-1} e^{-\\frac{y}{2}} (1-2t)^{-1/2}dy \\\\\n\t\t\t&= (1-2t)^{-1/2}\n\t\\end{align*}$$", "html": "

On calcule directement : \\[\\begin{align*}\n m_Y(t) &= \\mathbb{E}(e^{tY}) \\\\\n &= \\int_0^{+\\infty} e^{xt} \\frac{1}{\\Gamma(1/2) 2^{1/2}}\nx^{1/2-1} e^{-x/2} dx \\\\\n &= \\int_0^{+\\infty} \\frac{1}{\\Gamma(1/2) 2^{1/2}}\nx^{1/2-1} e^{-\\frac{x}{2}(1-2t)} dx \\text{ (l'intégrale converge\nssi $1-2t>0$)}\\\\\n &= \\int_0^{+\\infty} \\frac{1}{\\Gamma(1/2) 2^{1/2}}\ny^{1/2-1} e^{-\\frac{y}{2}} (1-2t)^{-1/2}dy \\\\\n &= (1-2t)^{-1/2}\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "de8eaff9-1489-4cd1-a50c-787da7950ad8", "type": "question", "value": { "latex": "Soient $(Z_1,...,Z_n)$ des variables i.i.d selon une loi normale centrée réduite. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \n\t\t$$\\sum_{i=1}^{n}Z_i^2$$", "html": "

Soient \$(Z_1,...,Z_n)\$ des\nvariables i.i.d selon une loi normale centrée réduite. Déterminer la loi\nde probabilité de la variable aléatoire \\[\\sum_{i=1}^{n}Z_i^2\\]

\n" } }, { "id": "2b19af6e-bbe2-4291-9ac3-91549f674596", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par somme de variables indépendantes, la fonction génératrice de $\\chi^2$ est $m_{\\chi^2}(t) = (1-2t)^{-n/2}$. En refaisant le même calcul que précédemment, on reconnaît la fonction génératrice d'une variable admettant pour densité $\\frac{1}{\\Gamma(n/2) 2^{n/2}} x^{n/2-1} e^{-x/2}$, donc une variable suivant une loi $\\Gamma\\left(\\frac{n}{2},\\frac{1}{2}\\right)$.", "html": "

Par somme de variables indépendantes, la fonction génératrice de\n\$\\chi^2\$ est \$m_{\\chi^2}(t) = (1-2t)^{-n/2}\$. En\nrefaisant le même calcul que précédemment, on reconnaît la fonction\ngénératrice d’une variable admettant pour densité \$\\frac{1}{\\Gamma(n/2) 2^{n/2}} x^{n/2-1}\ne^{-x/2}\$, donc une variable suivant une loi \$\\Gamma\\left(\\frac{n}{2},\\frac{1}{2}\\right)\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "cLt6", "titre": "Contrôle de première intention avec la loi de Benford", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:31.949Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:31.949Z" }, "contenu": [ { "id": "6e7a8e3c-2951-4e39-8948-07105adc8269", "type": "description", "value": { "latex": "Le principe de ce contrôle est le suivant : on relève au hasard 120 montants apparaissant dans une zone éventuellement falsifiée de la comptabilité de l'entreprise.\n\nOn a remarqué que dans des comptes d'entreprises, les zones falsifiées comportent plus de montants commençant par le chiffre 6 que dans les zones non falsifiées, pour lesquelles la proportion théorique de montants commençant par 6 est égale à $6.7 \\%$ selon la loi de Benford.\n\nEn première intention, le contrôleur décide de regarder la proportion de montants commençant par 6 dans les montants qu'il a relevés.", "html": "

Le principe de ce contrôle est le suivant : on relève au hasard 120\nmontants apparaissant dans une zone éventuellement falsifiée de la\ncomptabilité de l’entreprise.

On a remarqué que dans des comptes d’entreprises, les zones\nfalsifiées comportent plus de montants commençant par le chiffre 6 que\ndans les zones non falsifiées, pour lesquelles la proportion théorique\nde montants commençant par 6 est égale à \$6.7\n\\%\$ selon la loi de Benford.

En première intention, le contrôleur décide de regarder la proportion\nde montants commençant par 6 dans les montants qu’il a relevés.

\n" } }, { "id": "4df0dfb8-7a27-44dc-9f83-e095aa2561c5", "type": "question", "value": { "latex": "On souhaite construire un test avec $\\left(H_0\\right): \\theta=0.067$ contre $\\left(H_1\\right): \\theta>0.067$. Que signifie ce choix d'hypothèses?", "html": "

On souhaite construire un test avec \$\\left(H_0\\right): \\theta=0.067\$ contre\n\$\\left(H_1\\right): \\theta>0.067\$.\nQue signifie ce choix d’hypothèses?

\n" } }, { "id": "c5f9781f-88d8-43b7-9b94-799ef8383291", "type": "reponse", "value": { "latex": "On souhaite savoir si la proportion de montants commençant par 6 est anormalement élevé. En faisant ce choix d'hypothèse, on se prémunit en priorité du risque de déclarer que la zone considérée est falsifiée alors qu'elle ne l'est pas.", "html": "

On souhaite savoir si la proportion de montants commençant par 6 est\nanormalement élevé. En faisant ce choix d’hypothèse, on se prémunit en\npriorité du risque de déclarer que la zone considérée est falsifiée\nalors qu’elle ne l’est pas.

\n" } }, { "id": "e88c5cc9-7c92-4879-b240-025fae7bd00c", "type": "question", "value": { "latex": "Sur les 120 montants relevés par le contrôleur, 18 commencent par le chiffre 6. À l'aide d'un test de niveau $5 \\%$, peut-on conclure sur une éventuelle falsification des données ?", "html": "

Sur les 120 montants relevés par le contrôleur, 18 commencent par le\nchiffre 6. À l’aide d’un test de niveau \$5\n\\%\$, peut-on conclure sur une éventuelle falsification des\ndonnées ?

\n" } }, { "id": "55fb3034-fa36-4784-b3e4-f288bd470d04", "type": "reponse", "value": { "latex": "(a) Hypothèses : $\\left(H_0\\right): \\theta=0.067$ contre $\\left(H_1\\right): \\theta>0.067$ (test unilatéral droit)\n(b) Variable aléatoire de décision :\n$$\nZ=\\frac{F-0.067}{\\sqrt{\\frac{0.067(1-0.067)}{120}}} \\simeq \\frac{F-0.067}{0.022824},\n$$\noù $F$ est la fréquence empirique et $Z \\sim \\mathcal{N}(0,1)$ si $H_0$ est vraie.\n(c) Zone de rejet:\n$W=] u ;+\\infty[$, avec $u$ le réel tel que $\\mathbb{P}(Z \\leq u)=1-0.05=0.95$ et $Z \\sim \\mathcal{N}(0,1)$, c'est-à-dire $u=1.64$.\nLa zone de rejet est donc $W=] 1.64 ;+\\infty[$.\n\n(d) Valeur observée:\n$$\nz_{o b s}=\\frac{\\frac{18}{120}-0.067}{0.022824} \\simeq 3.6365\n$$\n(e) Conclusion :\n$z_{o b s} \\in W$ donc on rejette $H_0$ et on peut considérer que les données sont a priori falsifiées.", "html": "

(a) Hypothèses : \$\\left(H_0\\right):\n\\theta=0.067\$ contre \$\\left(H_1\\right): \\theta>0.067\$ (test\nunilatéral droit) (b) Variable aléatoire de décision : \\[Z=\\frac{F-0.067}{\\sqrt{\\frac{0.067(1-0.067)}{120}}}\n\\simeq \\frac{F-0.067}{0.022824},\\] où \$F\$ est la fréquence empirique et \$Z \\sim \\mathcal{N}(0,1)\$ si \$H_0\$ est vraie. (c) Zone de rejet: \$W=] u ;+\\infty[\$, avec \$u\$ le réel tel que \$\\mathbb{P}(Z \\leq u)=1-0.05=0.95\$ et \$Z \\sim \\mathcal{N}(0,1)\$, c’est-à-dire\n\$u=1.64\$. La zone de rejet est donc\n\$W=] 1.64 ;+\\infty[\$.

(d) Valeur observée: \\[z_{o b\ns}=\\frac{\\frac{18}{120}-0.067}{0.022824} \\simeq 3.6365\\] (e)\nConclusion : \$z_{o b s} \\in W\$ donc\non rejette \$H_0\$ et on peut\nconsidérer que les données sont a priori falsifiées.

\n" } } ] }, { "uuid": "XwA0", "titre": "Contrôle de qualité", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:25.464Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:25.464Z" }, "contenu": [ { "id": "58a320c5-84c0-40dd-820e-d4329767d4c3", "type": "description", "value": { "latex": "Pour simuler le tirage aléatoire uniforme avec un tableur, on peut utiliser la commande \\begin{center}\n\\texttt{=ALEA.ENTRE.BORNES(1;8)}\n\t\\end{center} qui génère un nombre entier aléatoire entre 1 et 8.", "html": "

Pour simuler le tirage aléatoire uniforme avec un tableur, on peut\nutiliser la commande

=ALEA.ENTRE.BORNES(1;8)

qui génère un nombre entier aléatoire entre 1 et 8.

\n" } }, { "id": "cc7d1380-5645-409c-a2c8-c3e99d626e0c", "type": "description", "value": { "latex": "\\`A l'aide d'un test du $\\chi^2$ et une simulation de 500 tirages de dé, peut-on affirmer que cette commande simule correctement un tirage uniforme ? On pourra illustrer le résultat à l'aide d'un histogramme.", "html": "

À l’aide d’un test du \$\\chi^2\$ et\nune simulation de 500 tirages de dé, peut-on affirmer que cette commande\nsimule correctement un tirage uniforme ? On pourra illustrer le résultat\nà l’aide d’un histogramme.

\n" } } ] }, { "uuid": "Vss4", "titre": "Contrôle de qualité sur des pièces d'un euro", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:23.044Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:23.044Z" }, "contenu": [ { "id": "8bb1ee68-5f5e-413e-9faf-c5b9b98f1333", "type": "question", "value": { "latex": "Quelle est la loi de la variable aléatoire $X$ ? Quelle est son espérance, son écart-type ?", "html": "

Quelle est la loi de la variable aléatoire \$X\$ ? Quelle est son espérance, son\nécart-type ?

\n" } }, { "id": "c899c879-cba0-4c8a-8ff5-270145e7bf08", "type": "reponse", "value": { "latex": "La variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 1000$ et $p = 0{,}05$, ce qui se note $X \\hookrightarrow \\mathcal{B}(1000, 0{,}05)$. On a $\\mathbb{E}(X) = n \\times p = 1000 \\times 0{,}05 = 50$ et $\\sigma(X) = \\sqrt{n \\times p \\times (1-p)} = \\sqrt{1000 \\times 0{,}05 \\times 0{,}95} = \\sqrt{47{,}5}$.", "html": "

La variable aléatoire \$X\$ suit une\nloi binomiale de paramètres \$n =\n1000\$ et \$p = 0{,}05\$, ce qui\nse note \$X \\hookrightarrow \\mathcal{B}(1000,\n0{,}05)\$. On a \$\\mathbb{E}(X) = n\n\\times p = 1000 \\times 0{,}05 = 50\$ et \$\\sigma(X) = \\sqrt{n \\times p \\times (1-p)} =\n\\sqrt{1000 \\times 0{,}05 \\times 0{,}95} = \\sqrt{47{,}5}\$.

\n" } }, { "id": "af3487d6-507d-4031-9467-1d31cf297a25", "type": "question", "value": { "latex": "En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorer la probabilité que le nombre de pièces fausses soit supérieur à 100.", "html": "

En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorer la\nprobabilité que le nombre de pièces fausses soit supérieur à 100.

\n" } }, { "id": "22555b91-372e-4c3b-a20d-f8ecb3f02eaa", "type": "reponse", "value": { "latex": "D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à la variable aléatoire $X$ admettant une espérance $50$, on a pour tout $k > 0$ :\n \\[\n \\prob(|X - \\mathbb{E}(X)| > k) \\leq \\frac{\\sigma(X)^2}{k^2}.\n \\]\n Donc, pour $k = 50$, on a :\n \\[\n \\prob(|X - 50| > 50) \\leq \\frac{47{,}5}{50^2} = 0{,}019.\n \\]\n Donc, $\\prob(X > 100) = \\prob(X - 50 > 50) \\leq \\prob(|X - 50| > 50) \\leq 0{,}019$.", "html": "

D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à la variable\naléatoire \$X\$ admettant une espérance\n\$50\$, on a pour tout \$k > 0\$ : \\[\\prob(|X - \\mathbb{E}(X)| > k) \\leq\n\\frac{\\sigma(X)^2}{k^2}.\\] Donc, pour \$k = 50\$, on a : \\[\\prob(|X - 50| > 50) \\leq \\frac{47{,}5}{50^2}\n= 0{,}019.\\] Donc, \$\\prob(X > 100)\n= \\prob(X - 50 > 50) \\leq \\prob(|X - 50| > 50) \\leq\n0{,}019\$.

\n" } }, { "id": "143d6bce-58c4-4eef-9719-732ed460811b", "type": "question", "value": { "latex": "Justifier que $X$ peut être approchée par une variable suivant une loi normale de moyenne $\\mu = 50$ et d’écart-type $\\sigma = \\sqrt{47{,}5}$.", "html": "

Justifier que \$X\$ peut être\napprochée par une variable suivant une loi normale de moyenne \$\\mu = 50\$ et d’écart-type \$\\sigma = \\sqrt{47{,}5}\$.

\n" } }, { "id": "9004ede8-6dd5-4edc-9974-1dc01d508213", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $S_n = X_1+\\cdots X_n$ une somme de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}05$. D'après le théorème central limite, la variable aléatoire $\\frac{S_n - 0.05n}{\\sqrt{n\\times 0.05 \\times 0.95}}$ suit approximativement une loi normale centrée réduite pour $n$ grand (supérieur à $30$ en pratique), donc $S_n$ suit approximativement une loi normale de moyenne $0.05n$ et d'écart-type $\\sqrt{n\\times 0.05 \\times 0.95}$.\n\n Or $X$ suit la même loi que $S_{1000}$ donc $X$ peut être approchée par une variable suivant une loi normale de moyenne $\\mu = 50$ et d’écart-type $\\sigma = \\sqrt{47{,}5}$.", "html": "

Soit \$S_n = X_1+\\cdots X_n\$ une\nsomme de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées\nsuivant une loi de Bernoulli de paramètre \$p\n= 0{,}05\$. D’après le théorème central limite, la variable\naléatoire \$\\frac{S_n - 0.05n}{\\sqrt{n\\times\n0.05 \\times 0.95}}\$ suit approximativement une loi normale\ncentrée réduite pour \$n\$ grand\n(supérieur à \$30\$ en pratique), donc\n\$S_n\$ suit approximativement une loi\nnormale de moyenne \$0.05n\$ et\nd’écart-type \$\\sqrt{n\\times 0.05 \\times\n0.95}\$.

Or \$X\$ suit la même loi que \$S_{1000}\$ donc \$X\$ peut être approchée par une variable\nsuivant une loi normale de moyenne \$\\mu =\n50\$ et d’écart-type \$\\sigma =\n\\sqrt{47{,}5}\$.

\n" } }, { "id": "5a788ff7-c2c6-4449-bc07-ceea7bd1e6ec", "type": "question", "value": { "latex": "À l’aide de cette approximation, estimer la probabilité que le nombre de pièces fausses soit compris entre 48 et 52.", "html": "

À l’aide de cette approximation, estimer la probabilité que le nombre\nde pièces fausses soit compris entre 48 et 52.

\n" } }, { "id": "7d85fe2c-cab9-4c74-b9f4-e20798c608ec", "type": "reponse", "value": { "latex": "On calcule : \n $$\\begin{align*}\n \\prob\\left( 48 \\leq X \\leq 52 \\right) & = \\prob\\left( \\frac{48 - 50}{\\sqrt{47{,}5}} \\leq \\frac{X - 50}{\\sqrt{47{,}5}} \\leq \\frac{52 - 50}{\\sqrt{47{,}5}} \\right) \\\\\n & = \\prob\\left( -\\frac{2}{\\sqrt{47{,}5}} \\leq \\frac{X - 50}{\\sqrt{47{,}5}} \\leq \\frac{2}{\\sqrt{47{,}5}} \\right) \\\\\n & = \\prob\\left( -\\frac{2}{\\sqrt{47{,}5}} \\leq Z \\leq \\frac{2}{\\sqrt{47{,}5}} \\right) \\\\\n &= 2 \\times \\prob\\left( Z \\leq \\frac{2}{\\sqrt{47{,}5}} \\right) - 1 \\\\\n & = 2 \\times \\Phi\\left( \\frac{2}{\\sqrt{47{,}5}} \\right) - 1 \\\\\n & \\approx 2 \\times 0{,}6142 - 1 \\\\\n & \\approx 0{,}2283.\n \\end{align*}$$", "html": "

On calcule : \\[\\begin{align*}\n \\prob\\left( 48 \\leq X \\leq 52 \\right) & = \\prob\\left(\n\\frac{48 - 50}{\\sqrt{47{,}5}} \\leq \\frac{X - 50}{\\sqrt{47{,}5}} \\leq\n\\frac{52 - 50}{\\sqrt{47{,}5}} \\right) \\\\\n & = \\prob\\left( -\\frac{2}{\\sqrt{47{,}5}} \\leq \\frac{X -\n50}{\\sqrt{47{,}5}} \\leq \\frac{2}{\\sqrt{47{,}5}} \\right) \\\\\n & = \\prob\\left( -\\frac{2}{\\sqrt{47{,}5}} \\leq Z \\leq\n\\frac{2}{\\sqrt{47{,}5}} \\right) \\\\\n &= 2 \\times \\prob\\left( Z \\leq \\frac{2}{\\sqrt{47{,}5}}\n\\right) - 1 \\\\\n & = 2 \\times \\Phi\\left( \\frac{2}{\\sqrt{47{,}5}} \\right)\n- 1 \\\\\n & \\approx 2 \\times 0{,}6142 - 1 \\\\\n & \\approx 0{,}2283.\n \\end{align*}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "3GmQ", "titre": "Contrôle qualité", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:53.407Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:53.407Z" }, "contenu": [ { "id": "c69f874e-ece2-4806-a42a-37ae0c4f01f8", "type": "description", "value": { "latex": "Une entreprise fabrique des pièces en sous-traitance. Au sein d'une démarche qualité, toutes les machines ont été systématiquement révisées et on a défini une nouvelle organisation dans l'atelier : les tâches de contrôle sont réparties à chaque étape du processus de fabrication et le taux de pièces défectueuses est tombé à 1\\%. \n\nQuelques mois plus tard, une opération de contrôle est effectuée pour vérifier si la norme de 1\\% (hypothèse $H_0$) de pièces défectueuses reste valable. Sur les 5 000 pièces contrôlées 100 s'avèrent défectueuses, soit 2\\% (hypothèse $H_1$). \n\nMme de Mainard, chef d'entreprise, décide que si l'hypothèse nulle est vérifiée, elle ne modifiera plus son processus de production (décision $D0$) et au contraire, si c'est l'hypothèse alternative, elle entreprendra une action de sensibilisation des salariés de cet atelier au problème de la qualité (décision $D1$). \n\nPour choisir entre ces deux hypothèses, elle tire un échantillon de 1 500 pièces.", "html": "

Une entreprise fabrique des pièces en sous-traitance. Au sein d’une\ndémarche qualité, toutes les machines ont été systématiquement révisées\net on a défini une nouvelle organisation dans l’atelier : les tâches de\ncontrôle sont réparties à chaque étape du processus de fabrication et le\ntaux de pièces défectueuses est tombé à 1%.

Quelques mois plus tard, une opération de contrôle est effectuée pour\nvérifier si la norme de 1% (hypothèse \$H_0\$) de pièces défectueuses reste\nvalable. Sur les 5 000 pièces contrôlées 100 s’avèrent défectueuses,\nsoit 2% (hypothèse \$H_1\$).

Mme de Mainard, chef d’entreprise, décide que si l’hypothèse nulle\nest vérifiée, elle ne modifiera plus son processus de production\n(décision \$D0\$) et au contraire, si\nc’est l’hypothèse alternative, elle entreprendra une action de\nsensibilisation des salariés de cet atelier au problème de la qualité\n(décision \$D1\$).

Pour choisir entre ces deux hypothèses, elle tire un échantillon de 1\n500 pièces.

\n" } }, { "id": "ec3fa4cf-19e7-4556-afb8-3e443b4a1d22", "type": "question", "value": { "latex": "Si la chef d'entreprise se fixe un risque de 1\\% d'entreprendre une action de sensibilisation des salariés à tort, quel sera le taux critique de pièces défectueuses qui fera prendre une décision ?", "html": "

Si la chef d’entreprise se fixe un risque de 1% d’entreprendre une\naction de sensibilisation des salariés à tort, quel sera le taux\ncritique de pièces défectueuses qui fera prendre une décision ?

\n" } }, { "id": "5ba5bbb5-2b09-4b8a-a46f-375eadb9d96b", "type": "reponse", "value": { "latex": "On réalise les premières étapes d'un test de conformité d'une proportion : \n\\begin{enumerate}\n\t\\item Hypothèses : $\\begin{cases}\n\t\tH_0 \\colon p = 0.01 \\\\\n\t\tH_1 \\colon p > 0.01\n\t\t\\end{cases}$\n\t\\item Variable de décision : $Z = \\dfrac{F-0.01}{\\sqrt{\\frac{0.01\\times 0.99}{1500}}} \\sim \\mathcal{N}(0,1)$\n\t\\item Zone de rejet : $W = [2.326 ; +\\infty][$ pour une erreur de première espèce $\\alpha = 1\\%$\n\t\\item proporition critique : on cherche $p_C$ tel que $ \\dfrac{F-0.01}{\\sqrt{\\frac{0.01\\times 0.99}{1500}}} = 2.326$ et on trouve $p_C = 0.016 = 1{,}6\\%$. \t\n\\end{enumerate}\t\nAu delà de $1{,}6\\%$ de pièces défectueses observées, on rejette l'hypothèse $H_0$ avec un risque de première espèce $\\alpha = 1\\%$.", "html": "

On réalise les premières étapes d’un test de conformité d’une\nproportion :

Hypothèses : \$\\begin{cases}\n H_0 \\colon p = 0.01 \\\\\n H_1 \\colon p > 0.01\n \\end{cases}\$
Variable de décision : \$Z =\n\\dfrac{F-0.01}{\\sqrt{\\frac{0.01\\times 0.99}{1500}}} \\sim\n\\mathcal{N}(0,1)\$
Zone de rejet : \$W = [2.326 ;\n+\\infty][\$ pour une erreur de première espèce \$\\alpha = 1\\%\$
proporition critique : on cherche \$p_C\$ tel que \$\\dfrac{F-0.01}{\\sqrt{\\frac{0.01\\times\n0.99}{1500}}} = 2.326\$ et on trouve \$p_C = 0.016 = 1{,}6\\%\$.

Au delà de \$1{,}6\\%\$ de pièces\ndéfectueses observées, on rejette l’hypothèse \$H_0\$ avec un risque de première espèce\n\$\\alpha = 1\\%\$.

\n" } }, { "id": "e736c166-141f-40a3-b9b9-4f8897ab3e8a", "type": "question", "value": { "latex": "Si dans l'échantillon prélevé, le nombre de pièces défectueuses est 18, quelle sera la décision de la chef d'entreprise ?", "html": "

Si dans l’échantillon prélevé, le nombre de pièces défectueuses est\n18, quelle sera la décision de la chef d’entreprise ?

\n" } }, { "id": "f53437ba-f811-4b47-99d1-db35be209a02", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $F_{obs} = \\frac{18}{1500} = 0.012$ : la décision prise est donc $D0$ (on ne rejette pas $H_0$).", "html": "

On a \$F_{obs} = \\frac{18}{1500} =\n0.012\$ : la décision prise est donc \$D0\$ (on ne rejette pas \$H_0\$).

\n" } }, { "id": "128e4ed8-deb3-4c28-b8ae-a03e42aa5126", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer alors le risque de l'acheteur, c'est-à-dire ne pas modifier le processus de production alors qu'on le devrait. Comment s'appelle ce risque ?", "html": "

Calculer alors le risque de l’acheteur, c’est-à-dire ne pas modifier\nle processus de production alors qu’on le devrait. Comment s’appelle ce\nrisque ?

\n" } }, { "id": "55dc4687-5a23-4da6-9550-2778c68a116c", "type": "reponse", "value": { "latex": "On cherche la probabilité de prendre la décision $D0$ par erreur, c'est-à-dire si $H_1$ est vraie. Sous l'hypothèse $p=0.02$, on a la variable $Z_2 = \\dfrac{F-0.02}{\\sqrt{\\frac{0.02\\times 0.98}{1500}}}$ qui suit une loi $ \\mathcal{N}(0,1)$.", "html": "

On cherche la probabilité de prendre la décision \$D0\$ par erreur, c’est-à-dire si \$H_1\$ est vraie. Sous l’hypothèse \$p=0.02\$, on a la variable \$Z_2 = \\dfrac{F-0.02}{\\sqrt{\\frac{0.02\\times\n0.98}{1500}}}\$ qui suit une loi \$\\mathcal{N}(0,1)\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "6YqE", "titre": "Contrôle qualité", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:57.946Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:57.946Z" }, "contenu": [ { "id": "e6dc06f2-bf0a-451e-bd2c-438cebc9958b", "type": "description", "value": { "latex": "La proportion $p$ des pièces défectueuses fabriquées par une machine est $p=0.05$ quand la machine est bien réglée, et s'élève à $p_1=0.10$ quand est elle déréglée. \n\nOn dispose d'un lot de pièces fabriquées par la machine qui doit permettre de décider si la machine est bien réglée ou non. Un échantillon aléatoire de 100 pièces, prélevé dans le lot, contient 8 mauvaises pièces.", "html": "

La proportion \$p\$ des pièces\ndéfectueuses fabriquées par une machine est \$p=0.05\$ quand la machine est bien réglée,\net s’élève à \$p_1=0.10\$ quand est\nelle déréglée.

On dispose d’un lot de pièces fabriquées par la machine qui doit\npermettre de décider si la machine est bien réglée ou non. Un\néchantillon aléatoire de 100 pièces, prélevé dans le lot, contient 8\nmauvaises pièces.

\n" } }, { "id": "b7004162-93f5-4e1a-a371-1bdd101ef819", "type": "question", "value": { "latex": "On pose $\\pi$ la valeur critique. En utilisant la définition, exprimer le risque de 1ère espèce $\\alpha$ en fonction de cette valeur critique.", "html": "

On pose \$\\pi\$ la valeur critique.\nEn utilisant la définition, exprimer le risque de 1ère espèce \$\\alpha\$ en fonction de cette valeur\ncritique.

\n" } }, { "id": "869e74bd-94e4-4b31-81e8-56700c374f39", "type": "question", "value": { "latex": "On pose $\\alpha = 0.05$. Quelle est la région d'acceptation de l'hypothèse $H_0$ ?", "html": "

On pose \$\\alpha = 0.05\$. Quelle\nest la région d’acceptation de l’hypothèse \$H_0\$ ?

\n" } }, { "id": "f7c0b577-0f93-484f-bf19-67de787e7986", "type": "question", "value": { "latex": "La machine est-elle bien réglée ?", "html": "

La machine est-elle bien réglée ?

\n" } }, { "id": "e0879166-70e9-47a5-8209-98708fb9a1dc", "type": "question", "value": { "latex": "Quelle est l'erreur de seconde espèce $\\beta$ ?", "html": "

Quelle est l’erreur de seconde espèce \$\\beta\$ ?

\n" } }, { "id": "b2b1ae93-d86d-4b4c-ba25-62075ce244dc", "type": "question", "value": { "latex": "Quel doit être l'effectif de l'échantillon $n$ pour qu'une fréquence observée de pièce défectueuses de $0.08$ permette de conclure à un dérèglement de la machine ?", "html": "

Quel doit être l’effectif de l’échantillon \$n\$ pour qu’une fréquence observée de pièce\ndéfectueuses de \$0.08\$ permette de\nconclure à un dérèglement de la machine ?

\n" } } ] }, { "uuid": "8qZv", "titre": "Contrôle qualité", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:00.309Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:00.309Z" }, "contenu": [ { "id": "f8096ca6-701f-4548-adc0-6b1b58019aea", "type": "description", "value": { "latex": "Un pharmacien de banlieue désire être approvisionné par un grossiste chaque soir avant 18h00. Le grossiste doit donc estimer le temps de trajet moyen de son coursier entre le dépôt et la pharmacie. Pour cela, il relève le temps de parcours (en minutes) pendant 13 trajets sur un itinéraire fixé : \n\t\t$$20 \\qquad 30 \\qquad 45 \\qquad 39 \\qquad 16 \\qquad 25 \\qquad 23 \\qquad 19 \\qquad 40 \\qquad 21 \\qquad 30 \\qquad 19 \\qquad 40$$\n\t\t\n\t\tOn supposera que ce temps est distribué selon une loi normale.", "html": "

Un pharmacien de banlieue désire être approvisionné par un grossiste\nchaque soir avant 18h00. Le grossiste doit donc estimer le temps de\ntrajet moyen de son coursier entre le dépôt et la pharmacie. Pour cela,\nil relève le temps de parcours (en minutes) pendant 13 trajets sur un\nitinéraire fixé : \\[20 \\qquad 30 \\qquad 45\n\\qquad 39 \\qquad 16 \\qquad 25 \\qquad 23 \\qquad 19 \\qquad 40 \\qquad 21\n\\qquad 30 \\qquad 19 \\qquad 40\\]

On supposera que ce temps est distribué selon une loi normale.

\n" } }, { "id": "c34b68a4-34bf-475a-929b-0351d914aec7", "type": "question", "value": { "latex": "Donner une estimation ponctuelle de la moyenne du temps de parcours $\\mu$ et de son écart-type $s$ en rappelant les estimateurs utilisé et leurs propriétés.", "html": "

Donner une estimation ponctuelle de la moyenne du temps de parcours\n\$\\mu\$ et de son écart-type \$s\$ en rappelant les estimateurs utilisé et\nleurs propriétés.

\n" } }, { "id": "45299a48-fdc4-4a2e-8cde-1b37aeda6302", "type": "description", "value": { "latex": "Le pharmacien affirme qu'il faut en moyenne 25 minutes pour faire le trajet, alors que le grossiste, quant à lui, pense qu'il faut en moyenne 30 minutes.", "html": "

Le pharmacien affirme qu’il faut en moyenne 25 minutes pour faire le\ntrajet, alors que le grossiste, quant à lui, pense qu’il faut en moyenne\n30 minutes.

\n" } }, { "id": "016651f3-2052-4141-9c18-c0e4151fd8e5", "type": "question", "value": { "latex": "On cherche à tester $H_0 \\colon \\mu = 25$ contre $H_1 \\colon \\mu = 30$. Préciser la variable de décision et sa loi sous $H_0$.", "html": "

On cherche à tester \$H_0 \\colon \\mu =\n25\$ contre \$H_1 \\colon \\mu =\n30\$. Préciser la variable de décision et sa loi sous \$H_0\$.

\n" } }, { "id": "8b5ca9cb-a7fd-40b5-be8a-b9b469fbd569", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la région critique pour un seuil $\\alpha=5\\%$.", "html": "

Déterminer la région critique pour un seuil \$\\alpha=5\\%\$.

\n" } }, { "id": "56368bce-347f-42df-9a3f-cecacb127009", "type": "question", "value": { "latex": "Avec un risque de première espèce $\\alpha=5\\%$, peut-on accepter $H_0$ à partir de ces données ?", "html": "

Avec un risque de première espèce \$\\alpha=5\\%\$, peut-on accepter \$H_0\$ à partir de ces données ?

\n" } } ] }, { "uuid": "aUn2", "titre": "Contrôle qualité", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:28.110Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:28.110Z" }, "contenu": [ { "id": "575c993d-6387-472a-b561-5f46fd88b6ff", "type": "description", "value": { "latex": "Désirant juger le travail d'un ouvrier ajusteur, un chef d'atelier prélève un échantillon de 50 pièces métalliques dans sa production. On note $X$ l'épaisseur de ses pièces. L'objectif est d'avoir $\\EX = 5~mm$. Les résultats des mesures sur cet échantillon sont portés dans le tableau suivant :\n\t\\begin{center}\t\n\t\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\n\t\t\\hline $n_i$ & 5 & 15 & 20 & 10 \\\\ \n\t\t\\hline $x_i$ en mm & 4.8 & 4.9 & 5.0 & 5.1 \\\\ \n\t\t\\hline \n\t\\end{tabular} \n\t\\end{center}", "html": "

Désirant juger le travail d’un ouvrier ajusteur, un chef d’atelier\nprélève un échantillon de 50 pièces métalliques dans sa production. On\nnote \$X\$ l’épaisseur de ses pièces.\nL’objectif est d’avoir \$\\EX = 5~mm\$.\nLes résultats des mesures sur cet échantillon sont portés dans le\ntableau suivant :

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

\$n_i\$	5	15	20	10
\$x_i\$\nen mm	4.8	4.9	5.0	5.1

\n" } }, { "id": "f65fb957-e8eb-4c9c-a3fa-73ed49b9a1f8", "type": "question", "value": { "latex": "Cette vérification permet-elle de conclure que le résultat est conforme aux exigences, au seuil de confiance de $99\\%$ ?", "html": "

Cette vérification permet-elle de conclure que le résultat est\nconforme aux exigences, au seuil de confiance de \$99\\%\$ ?

\n" } }, { "id": "a944cdc2-94d1-4a48-bba3-8bc1e9d751b6", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\bar{x} & = \\frac{1}{50} \\sum_{i=1}^4 n_i x_i \\\\\n\t\t\t& = \\frac{1}{50} (5 \\times 4.8 + 15 \\times 4.9 + 20 \\times 5.0 + 10 \\times 5.1) \\\\\n\t\t\t& = 4.98 \\\\\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tdonc une estimation sans biais de l'épaisseur moyenne des pièces est $\\bar{x} = 4.98~mm$. \n\n\t\tDe plus, la variance observée dans cet échantillon est : \n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\sigma^2 & = \\frac{1}{50} \\sum_{i=1}^4 n_i (x_i - \\bar{x})^2 \\\\\n\t\t\t& = \\frac{1}{50} (5 \\times (4.8 - 4.98)^2 + 15 \\times (4.9 - 4.98)^2 + 20 \\times (5.0 - 4.98)^2 + 10 \\times (5.1 - 4.98)^2) \\\\\n\t\t\t& = 0.081 \\\\\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tdonc une estimation sans biais de la variance de l'épaisseur des pièces est $s^2 = \\frac{50}{49} \\sigma^2 = 0.083$.\n\n\t\tOn réalise le test d'hypothèse suivant :\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\tH_0 &: \\EX = 5 \\\\\n\t\t\tH_1 &: \\EX \\neq 5\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tavec un risque de première espèce de $1\\%$. \n\n\t\tLa variable de décision est $Z = \\frac{\\bar{X} - 5}{\\frac{S}{\\sqrt{n}}} \\sim \\mathcal{N}(0,1)$.\t\n\t\t\n\t\tOn fait un test bilatéral, donc on rejette $H_0$ si $|Z| > z_{\\frac{\\alpha}{2}} = 2.58$ par lecture de la table de la loi normale. Or la valeur observée est $Z_{obs} = \\frac{4.98 - 5}{\\frac{\\sqrt{0.083}}{\\sqrt{50}}} = -2{,}33$. Donc on ne rejette pas $H_0$. On peut donc conclure que le résultat est conforme aux exigences, au seuil de confiance de $99\\%$.", "html": "

\\[\\begin{align*}\n \\bar{x} & = \\frac{1}{50} \\sum_{i=1}^4 n_i x_i \\\\\n & = \\frac{1}{50} (5 \\times 4.8 + 15 \\times 4.9 + 20\n\\times 5.0 + 10 \\times 5.1) \\\\\n & = 4.98 \\\\\n \\end{align*}\\] donc une estimation sans biais de\nl’épaisseur moyenne des pièces est \$\\bar{x} =\n4.98~mm\$.

De plus, la variance observée dans cet échantillon est : \\[\\begin{align*}\n \\sigma^2 & = \\frac{1}{50} \\sum_{i=1}^4 n_i (x_i -\n\\bar{x})^2 \\\\\n & = \\frac{1}{50} (5 \\times (4.8 - 4.98)^2 + 15 \\times\n(4.9 - 4.98)^2 + 20 \\times (5.0 - 4.98)^2 + 10 \\times (5.1 - 4.98)^2) \\\\\n & = 0.081 \\\\\n \\end{align*}\\] donc une estimation sans biais de la\nvariance de l’épaisseur des pièces est \$s^2 =\n\\frac{50}{49} \\sigma^2 = 0.083\$.

On réalise le test d’hypothèse suivant : \\[\\begin{align*}\n H_0 &: \\EX = 5 \\\\\n H_1 &: \\EX \\neq 5\n \\end{align*}\\] avec un risque de première espèce de \$1\\%\$.

La variable de décision est \$Z =\n\\frac{\\bar{X} - 5}{\\frac{S}{\\sqrt{n}}} \\sim\n\\mathcal{N}(0,1)\$.

On fait un test bilatéral, donc on rejette \$H_0\$ si \$|Z|\n> z_{\\frac{\\alpha}{2}} = 2.58\$ par lecture de la table de la\nloi normale. Or la valeur observée est \$Z_{obs} = \\frac{4.98 -\n5}{\\frac{\\sqrt{0.083}}{\\sqrt{50}}} = -2{,}33\$. Donc on ne\nrejette pas \$H_0\$. On peut donc\nconclure que le résultat est conforme aux exigences, au seuil de\nconfiance de \$99\\%\$.

\n" } }, { "id": "bd8dfa6b-3e25-401c-80d8-d643806b44e0", "type": "question", "value": { "latex": "Quel risque de première espèce devrait-on prendre pour que la prise de décision soit différente ?", "html": "

Quel risque de première espèce devrait-on prendre pour que la prise\nde décision soit différente ?

\n" } }, { "id": "bfc11c4b-6830-4388-82e9-b6f825d4c4db", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour que la prise de décision soit différente, il faudrait que la valeur critique soit $2.33$, ce qui correspond, par lecture de table, à un risque de première espèce de $1.98\\%$.", "html": "

Pour que la prise de décision soit différente, il faudrait que la\nvaleur critique soit \$2.33\$, ce qui\ncorrespond, par lecture de table, à un risque de première espèce de\n\$1.98\\%\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "aW1E", "titre": "Contrôle qualité", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:28.421Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:28.421Z" }, "contenu": [ { "id": "ade8cf3a-3ad9-4b59-bc1e-8baa0dc92e5a", "type": "description", "value": { "latex": "Un pharmacien de banlieue désire être approvisionné par un grossiste chaque soir avant 18h00. Le grossiste doit donc estimer le temps de trajet moyen de son coursier entre le dépôt et la pharmacie. Pour cela, il relève le temps de parcours (en minutes) pendant 13 trajets sur un itinéraire fixé : \n\t$$20 \\qquad 30 \\qquad 45 \\qquad 39 \\qquad 16 \\qquad 25 \\qquad 23 \\qquad 19 \\qquad 40 \\qquad 21 \\qquad 30 \\qquad 19 \\qquad 40$$\n\t\n\tOn supposera que ce temps est distribué selon une loi normale.", "html": "

On supposera que ce temps est distribué selon une loi normale.

\n" } }, { "id": "97e46a82-50ee-4315-9efd-da99ab3486a3", "type": "question", "value": { "latex": "Donner une estimation ponctuelle de la moyenne du temps de parcours $\\mu$ et de son écart-type $s$ en rappelant les estimateurs utilisé et leurs propriétés.", "html": "

Donner une estimation ponctuelle de la moyenne du temps de parcours\n\$\\mu\$ et de son écart-type \$s\$ en rappelant les estimateurs utilisé et\nleurs propriétés.

\n" } }, { "id": "292744cc-3b50-4b0d-9f16-18de2197d42c", "type": "description", "value": { "latex": "Le pharmacien affirme qu'il faut en moyenne 25 minutes pour faire le trajet, alors que le grossiste, quant à lui, pense qu'il faut en moyenne 30 minutes.", "html": "

Le pharmacien affirme qu’il faut en moyenne 25 minutes pour faire le\ntrajet, alors que le grossiste, quant à lui, pense qu’il faut en moyenne\n30 minutes.

\n" } }, { "id": "15581128-fa52-460d-87d9-4208fde18a1d", "type": "question", "value": { "latex": "On cherche à tester $H_0 \\colon \\mu = 25$ contre $H_1 \\colon \\mu = 30$. Préciser la variable de décision et sa loi sous $H_0$.", "html": "

On cherche à tester \$H_0 \\colon \\mu =\n25\$ contre \$H_1 \\colon \\mu =\n30\$. Préciser la variable de décision et sa loi sous \$H_0\$.

\n" } }, { "id": "0f979b62-4918-45c7-8766-006ec966092e", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la région critique pour un seuil $\\alpha=5\\%$.", "html": "

Déterminer la région critique pour un seuil \$\\alpha=5\\%\$.

\n" } }, { "id": "f0b42d78-fb9d-4262-b89b-96b90e7a01cd", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer le risque de seconde espèce, c'est-à-dire la probabilité de faire une erreur sachant que $H_1$ est vraie.", "html": "

Calculer le risque de seconde espèce, c’est-à-dire la probabilité de\nfaire une erreur sachant que \$H_1\$\nest vraie.

\n" } }, { "id": "d6a95e39-0f76-4a9e-b51a-f3f8e8a80097", "type": "question", "value": { "latex": "Avec un risque de première espèce $\\alpha=5\\%$, peut-on accepter $H_0$ à partir de ces données ?", "html": "

Avec un risque de première espèce \$\\alpha=5\\%\$, peut-on accepter \$H_0\$ à partir de ces données ?

\n" } } ] }, { "uuid": "4v91", "titre": "Convergence d'une suite de variables aléatoires", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:55.083Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:55.083Z" }, "contenu": [ { "id": "828e3118-6f7d-4910-adec-3e0f4db0eed2", "type": "description", "value": { "latex": "Soit la suite de variables aléatoires $(X_n)_{n \\geq 1}$ définie par\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\n\tP\\left(X_n=0\\right)=1-\\frac{1}{n} \\\\\n\tP\\left(X_n=n\\right)=\\frac{1}{n}\n\\end{array}\\right.\n$$", "html": "

Soit la suite de variables aléatoires \$(X_n)_{n \\geq 1}\$ définie par \\[\\left\\{\\begin{array}{l}\n P\\left(X_n=0\\right)=1-\\frac{1}{n} \\\\\n P\\left(X_n=n\\right)=\\frac{1}{n}\n\\end{array}\\right.\\]

\n" } }, { "id": "525f90b8-b73f-446f-ad72-57528dec4ae8", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que la suite $(X_n)_{n \\geq 1}$ converge en loi vers $X=0$.", "html": "

Montrer que la suite \$(X_n)_{n \\geq\n1}\$ converge en loi vers \$X=0\$.

\n" } }, { "id": "641b0165-cfff-4cd8-b5fc-8f8931f7a1ef", "type": "reponse", "value": { "latex": "On peut utiliser la fonction caractéristique : \n\t\t$$\n\t\t\\varphi_{X_n}(t)=\\mathrm{E}\\left[\\mathrm{e}^{\\mathrm{it} X_{\\mathrm{n}}}\\right]=1-\\frac{1}{n}+\\frac{1}{n} e^{i t n}\n\t\t$$\n\t\tdonc\n\t\t$$\n\t\t\\lim _{n \\rightarrow+\\infty} \\varphi_{X_n}(t)=1=\\mathrm{E}\\left[\\mathrm{e}^{\\mathrm{it} 0}\\right]\n\t\t$$\n\t\tet par théorème du cours, on a $X_n \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{\\text{en loi}} 0$", "html": "

On peut utiliser la fonction caractéristique : \\[\\varphi_{X_n}(t)=\\mathrm{E}\\left[\\mathrm{e}^{\\mathrm{it}\nX_{\\mathrm{n}}}\\right]=1-\\frac{1}{n}+\\frac{1}{n} e^{i t n}\\] donc\n\\[\\lim _{n \\rightarrow+\\infty}\n\\varphi_{X_n}(t)=1=\\mathrm{E}\\left[\\mathrm{e}^{\\mathrm{it}\n0}\\right]\\] et par théorème du cours, on a \$X_n \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{\\text{en loi}}\n0\$

\n" } }, { "id": "b2737ddf-0cff-4bf9-95c1-23fb958abcae", "type": "question", "value": { "latex": "En revenant à la définition, montrer que la suite $\\left(X_n\\right)_{n \\in \\mathbb{N}}$ converge en probabilité vers $X=0$.", "html": "

En revenant à la définition, montrer que la suite \$\\left(X_n\\right)_{n \\in \\mathbb{N}}\$\nconverge en probabilité vers \$X=0\$.

\n" } }, { "id": "0803b9db-8016-4ec2-87fd-f00e6a261bee", "type": "reponse", "value": { "latex": "Remarque :\n\t\t$$\n\t\t\\forall m \\neq n \\text { et } m \\neq 0, \\quad P\\left(X_n=m\\right)=0 \n\t\t$$\n\t\tSoit $\\varepsilon>0$\n\t\t$$\n\t\tP\\left(\\left|X_n\\right|>\\varepsilon\\right)=P\\left(X_n=n\\right)=\\frac{1}{n}\n\t\t$$\n\t\tdonc\n\t\t$$\n\t\t\\lim _{n \\rightarrow+\\infty} P\\left(\\left|X_n\\right|>\\varepsilon\\right)=0\n\t\t$$", "html": "

Remarque : \\[\\forall m \\neq n \\text { et }\nm \\neq 0, \\quad P\\left(X_n=m\\right)=0\\] Soit \$\\varepsilon>0\$ \\[P\\left(\\left|X_n\\right|>\\varepsilon\\right)=P\\left(X_n=n\\right)=\\frac{1}{n}\\]\ndonc \\[\\lim _{n \\rightarrow+\\infty}\nP\\left(\\left|X_n\\right|>\\varepsilon\\right)=0\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "T4fh", "titre": "Convergence d'une suite de variables aléatoires", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:21.372Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:21.372Z" }, "contenu": [ { "id": "7d18ed2f-2715-413e-98ec-a34da83deff0", "type": "question", "value": { "latex": "Exprimer $\\mathbb{E}(Y)$ et $\\mathbb{E}(Y^2)$ en fonction de $n$ et $p$.", "html": "

Exprimer \$\\mathbb{E}(Y)\$ et \$\\mathbb{E}(Y^2)\$ en fonction de \$n\$ et \$p\$.

\n" } }, { "id": "50cca0bc-b227-44f9-8093-92978c143cad", "type": "reponse", "value": { "latex": "On considère $Y = n\\overline{X} = \\sum_{i=1}^n X_i$ : par définition, $Y$ suit une loi binomiale $\\mathcal{B}(n,p)$, ce qui permet d'affirmer que $\\mathbb{E}(Y) = np$ et $V(Y) = np(1-p)$. Or on sait que $V(Y) = \\mathbb{E}(Y^2)-(\\mathbb{E}(Y))^2$, donc $\\mathbb{E}(Y^2) = np(1-p)+(np)^2 = np(1+p(n-1))$", "html": "

On considère \$Y = n\\overline{X} =\n\\sum_{i=1}^n X_i\$ : par définition, \$Y\$ suit une loi binomiale \$\\mathcal{B}(n,p)\$, ce qui permet\nd’affirmer que \$\\mathbb{E}(Y) = np\$\net \$V(Y) = np(1-p)\$. Or on sait que\n\$V(Y) =\n\\mathbb{E}(Y^2)-(\\mathbb{E}(Y))^2\$, donc \$\\mathbb{E}(Y^2) = np(1-p)+(np)^2 =\nnp(1+p(n-1))\$

\n" } }, { "id": "150b6dd4-b10a-4e0b-bc96-3732df36d032", "type": "question", "value": { "latex": "On pose $Z = \\overline{X}^2$. Peut-on dire que $Z$ est un estimateur sais biais de $p^2$ ?", "html": "

On pose \$Z = \\overline{X}^2\$.\nPeut-on dire que \$Z\$ est un\nestimateur sais biais de \$p^2\$ ?

\n" } }, { "id": "cf365dd3-6ba0-4a70-83bf-d300db3d7dec", "type": "reponse", "value": { "latex": "En voyant la variable $Z$ comme un estimateur de $p^2$, on va calculer son biais $B(Z)=\\mathbb{E}(Z-p^2) = \\mathbb{E}(Z)-p^2$. Or $\\mathbb{E}(Z) = \\mathbb{E}\\left(\\left(\\frac{1}{n}Y\\right)^2\\right) = \\frac{1}{n^2}\\mathbb{E}(Y^2) = \\frac{p}{n} + p^2 \\frac{n-1}{n} \\neq p^2$ donc $B(Z) \\neq 0$.", "html": "

En voyant la variable \$Z\$ comme un\nestimateur de \$p^2\$, on va calculer\nson biais \$B(Z)=\\mathbb{E}(Z-p^2) =\n\\mathbb{E}(Z)-p^2\$. Or \$\\mathbb{E}(Z)\n= \\mathbb{E}\\left(\\left(\\frac{1}{n}Y\\right)^2\\right) =\n\\frac{1}{n^2}\\mathbb{E}(Y^2) = \\frac{p}{n} + p^2 \\frac{n-1}{n} \\neq\np^2\$ donc \$B(Z) \\neq 0\$.

\n" } }, { "id": "fa068236-833d-4687-8fe7-400ec2c19db5", "type": "question", "value": { "latex": "On pose $T = \\frac{Y(Y-1)}{n(n-1)}$. Vérifier que $T$ est un estimateur sans biais de $p^2$.", "html": "

On pose \$T =\n\\frac{Y(Y-1)}{n(n-1)}\$. Vérifier que \$T\$ est un estimateur sans biais de \$p^2\$.

\n" } }, { "id": "e59f79d9-b389-4ee5-bad5-8d89b116a49c", "type": "reponse", "value": { "latex": "En revanche, $\\mathbb{E}(T) = \\frac{1}{n(n-1)}\\mathbb{E}(Y(Y-1)) = \\frac{1}{n(n-1)}(np(1+(n-1)p)-np) = p^2$ donc $T$ est un estimateur non biaisé de la valeur $p^2$.", "html": "

En revanche, \$\\mathbb{E}(T) =\n\\frac{1}{n(n-1)}\\mathbb{E}(Y(Y-1)) = \\frac{1}{n(n-1)}(np(1+(n-1)p)-np) =\np^2\$ donc \$T\$ est un\nestimateur non biaisé de la valeur \$p^2\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "kzan", "titre": "Convergence d'une suite de variables aléatoires", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:42.588Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:42.588Z" }, "contenu": [ { "id": "140bda7d-26e3-4352-ae20-2f34b4e3babb", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires i.i.d. selon une loi normale $\\mathcal{N}(0,1)$. On définit la suite de variables aléatoires $(Y_n)$ par $$Y_n = \\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^n \\sqrt{k} X_k$$", "html": "

Soit \$(X_n)\$ une suite de\nvariables aléatoires i.i.d. selon une loi normale \$\\mathcal{N}(0,1)\$. On définit la suite de\nvariables aléatoires \$(Y_n)\$ par\n\\[Y_n = \\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^n \\sqrt{k}\nX_k\\]

\n" } }, { "id": "ef462003-2aca-41b4-bdee-e80115082721", "type": "question", "value": { "latex": "Etudier le comportement asymptotique en loi de la suite $(Y_n)$.", "html": "

Etudier le comportement asymptotique en loi de la suite \$(Y_n)\$.

\n" } }, { "id": "fe15c9b9-f506-4a52-9bbf-5f9a1c750765", "type": "reponse", "value": { "latex": "Les variables $\\sqrt{k}X_k$ ne sont pas identiquement distribuées ! on se lance donc dans un calcul de limite << à la main >>. \n\t\n\tPar indépendance, $Y_n$ suit une loi normale d'espérance $0$ et de variance $\\frac{1}{n^2}\\sum_{k=1}^n \\sqrt{k}^2 \\times 1 = \\frac{1}{n^2} \\times \\frac{n(n+1)}{2}$. On peut donc écrire $Y_n = \\sqrt\\frac{n(n+1)}{2n^2} Z_n$ où $Z_n$ suit une loi normale $\\mathcal{N}(0,1)$.\n\t\n\tSoit $\\varphi_{Y_n}(t)$ la fonction caractéristique de $Y_n$. On sait que $\\varphi_{Z_n}(t) = e^{\\frac{-t^2}{2}}$ donc $$\\varphi_{Y_n}(t) = \\varphi_{Z_n}\\left( \\sqrt\\frac{n(n+1)}{2n^2} t \\right) = e^{- \\frac{-n(n+1)}{2n^2}t^2}$$. \n\t\n\tEn passant à la limite, $\\varphi_{Y_n}(t) \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{} e^{- \\frac{t^2}{4}}$. On reconnait la fonction caractéristique de $\\frac{1}{\\sqrt{2}}Z_n$ qui suit une loi normale $\\mathcal{N}(\\mu=0,\\sigma^2 = \\frac{1}{2})$.\n\t\n\tOn a ainsi démontré que la suite $(Y_n)$ converge en loi vers une loi normale $\\mathcal{N}(\\mu=0,\\sigma^2 = \\frac{1}{2})$.", "html": "

Les variables \$\\sqrt{k}X_k\$ ne\nsont pas identiquement distribuées ! on se lance donc dans un calcul de\nlimite << à la main >>.

Par indépendance, \$Y_n\$ suit une\nloi normale d’espérance \$0\$ et de\nvariance \$\\frac{1}{n^2}\\sum_{k=1}^n\n\\sqrt{k}^2 \\times 1 = \\frac{1}{n^2} \\times \\frac{n(n+1)}{2}\$. On\npeut donc écrire \$Y_n =\n\\sqrt\\frac{n(n+1)}{2n^2} Z_n\$ où \$Z_n\$ suit une loi normale \$\\mathcal{N}(0,1)\$.

Soit \$\\varphi_{Y_n}(t)\$ la\nfonction caractéristique de \$Y_n\$. On\nsait que \$\\varphi_{Z_n}(t) =\ne^{\\frac{-t^2}{2}}\$ donc \\[\\varphi_{Y_n}(t) = \\varphi_{Z_n}\\left(\n\\sqrt\\frac{n(n+1)}{2n^2} t \\right) = e^{-\n\\frac{-n(n+1)}{2n^2}t^2}\\].

En passant à la limite, \$\\varphi_{Y_n}(t)\n\\xrightarrow[n \\to +\\infty]{} e^{- \\frac{t^2}{4}}\$. On reconnait\nla fonction caractéristique de \$\\frac{1}{\\sqrt{2}}Z_n\$ qui suit une loi\nnormale \$\\mathcal{N}(\\mu=0,\\sigma^2 =\n\\frac{1}{2})\$.

On a ainsi démontré que la suite \$(Y_n)\$ converge en loi vers une loi\nnormale \$\\mathcal{N}(\\mu=0,\\sigma^2 =\n\\frac{1}{2})\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "nxfH", "titre": "Convergence d'une suite de variables aléatoires", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:45.178Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:45.178Z" }, "contenu": [ { "id": "5f069e1b-2987-4506-8a62-1bed5c881c96", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f_{\\theta}$ définie par :\n\t$$f_{\\theta}(x) = \\theta x^{\\theta-1} 1_{]0;1[}(x)$$\n\toù $\\theta >0$.\n\tSoit une suite $(X_n)$ de variables aléatoires indépendantes suivant chacune la même loi que $X$. On pose \n\t$$ \\overline{X}_n = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n X_i \\qquad \\text{} \\qquad U_n = \\frac{\\overline{X}_n}{1-\\overline{X}_n}$$", "html": "

Soit \$X\$ une variable aléatoire de\ndensité \$f_{\\theta}\$ définie par :\n\\[f_{\\theta}(x) = \\theta x^{\\theta-1}\n1_{]0;1[}(x)\\] où \$\\theta\n>0\$. Soit une suite \$(X_n)\$ de variables aléatoires\nindépendantes suivant chacune la même loi que \$X\$. On pose \\[\\overline{X}_n = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n X_i\n\\qquad \\text{} \\qquad U_n =\n\\frac{\\overline{X}_n}{1-\\overline{X}_n}\\]

\n" } }, { "id": "07d540d8-dc36-4bfe-9053-e3efdbec7fef", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\mathbb{E}(X)$ et $V(X)$.", "html": "

Calculer \$\\mathbb{E}(X)\$ et \$V(X)\$.

\n" } }, { "id": "17674b3f-c04c-427e-8333-003fa64aeed7", "type": "reponse", "value": { "latex": "On calcule les moments d'ordre 1 et 2 : $\\mathbb{E}(X) = \\int_0^1 \\theta x^{\\theta} dx = \\frac{\\theta}{\\theta+1}$ et $\\mathbb{E}(X^2) = \\int_0^1 \\theta x^{\\theta+1} dx = \\frac{\\theta}{\\theta+2}$ d'où $V(X) = \\frac{\\theta}{(\\theta+1)^2(\\theta+2)}$.", "html": "

On calcule les moments d’ordre 1 et 2 : \$\\mathbb{E}(X) = \\int_0^1 \\theta x^{\\theta} dx =\n\\frac{\\theta}{\\theta+1}\$ et \$\\mathbb{E}(X^2) = \\int_0^1 \\theta x^{\\theta+1} dx\n= \\frac{\\theta}{\\theta+2}\$ d’où \$V(X)\n= \\frac{\\theta}{(\\theta+1)^2(\\theta+2)}\$.

\n" } }, { "id": "d8e59653-7d3e-43e7-b5d3-341bb849140a", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que la suite $(\\overline{X}_n)$ converge en probabilité vers un réel $g(\\theta)$ que l'on précisera.", "html": "

Montrer que la suite \$(\\overline{X}_n)\$ converge en probabilité\nvers un réel \$g(\\theta)\$ que l’on\nprécisera.

\n" } }, { "id": "d1fabd20-9489-440b-8be1-d0a4e427e430", "type": "reponse", "value": { "latex": "D'après la loi faible des grands nombres, $\\overline{X}_n \\xrightarrow[]{\\mathcal{P}} \\mathbb{E}(X) = \\frac{\\theta}{\\theta+1}$.", "html": "

D’après la loi faible des grands nombres, \$\\overline{X}_n \\xrightarrow[]{\\mathcal{P}}\n\\mathbb{E}(X) = \\frac{\\theta}{\\theta+1}\$.

\n" } }, { "id": "8636dfc0-825a-4cf9-9d01-1d7804c4d3d3", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire que la suite $(U_n)$ converge en probabilité vers le réel $\\theta$.", "html": "

En déduire que la suite \$(U_n)\$\nconverge en probabilité vers le réel \$\\theta\$.

\n" } }, { "id": "7ab40305-5089-4822-a101-4c7f0caed521", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $f \\colon y \\mapsto \\frac{y}{1-y}$ est continue sur $]0;1[$ donc par composition, $f(\\overline{X}_n) = U_n \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{\\mathcal{P}} h(g(\\theta)) = \\theta$.", "html": "

La fonction \$f \\colon y \\mapsto\n\\frac{y}{1-y}\$ est continue sur \$]0;1[\$ donc par composition, \$f(\\overline{X}_n) = U_n \\xrightarrow[n \\to\n+\\infty]{\\mathcal{P}} h(g(\\theta)) = \\theta\$.

\n" } }, { "id": "98e6bb01-9332-4cb4-94d6-9e51d6e8e6de", "type": "question", "value": { "latex": "On pose \n\t\t$$T_n = \\frac{1}{1+U_n} \\sqrt{ \\frac{U_n}{U_n+2} }$$\n\t\tLa suite $(T_n)$ converge-t-elle en probabilité ? Si oui, déterminer sa limite.", "html": "

On pose \\[T_n = \\frac{1}{1+U_n} \\sqrt{\n\\frac{U_n}{U_n+2} }\\] La suite \$(T_n)\$ converge-t-elle en probabilité ? Si\noui, déterminer sa limite.

\n" } }, { "id": "0f175755-1fc3-4d93-b52c-54c4ff39f306", "type": "reponse", "value": { "latex": "De même, $T_n \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{\\mathcal{P}} \\frac{1}{1+\\theta} \\sqrt{ \\frac{\\theta}{\\theta+2} } $.", "html": "

De même, \$T_n \\xrightarrow[n \\to\n+\\infty]{\\mathcal{P}} \\frac{1}{1+\\theta} \\sqrt{ \\frac{\\theta}{\\theta+2}\n}\$.

\n" } }, { "id": "4170f59c-c1ba-46dc-8325-b61913062cae", "type": "question", "value": { "latex": "Vérifier que la suite $(V_n)$ définie par \n\t\t$$V_n = \\sqrt{n}\\left(\\overline{X}_n - \\frac{\\theta}{\\theta+1} \\right)$$ converge en loi vers une loi normale dont on précisera les paramètres.", "html": "

Vérifier que la suite \$(V_n)\$\ndéfinie par \\[V_n =\n\\sqrt{n}\\left(\\overline{X}_n - \\frac{\\theta}{\\theta+1} \\right)\\]\nconverge en loi vers une loi normale dont on précisera les\nparamètres.

\n" } }, { "id": "d033fc56-98d4-4c86-bc1e-1d1cb186afe0", "type": "reponse", "value": { "latex": "D'après le Théorème Central Limite, \n\t\t\t$$\\frac{\\overline{X}_n- \\mathbb{E}(\\overline{X}_n) }{\\sqrt{V(\\overline{X}_n)}} \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{\\mathcal{L}} \\mathcal{N}(0,1)$$\n\t\t\tavec $\\mathbb{E}(\\overline{X}_n) = n \\times \\frac{\\theta}{n(\\theta+1)} = \\frac{\\theta}{\\theta+1}$ et $V(\\overline{X}_n) = \\frac{1}{n^2} \\times n \\times\\frac{\\theta}{(\\theta+1)^2(\\theta+2)}$. Donc \n\t\t\t$$\\frac{\\overline{X}_n- \\frac{\\theta}{\\theta+1} }{\\sqrt{ \\frac{\\theta}{n(\\theta+1)^2(\\theta+2)} }} \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{\\mathcal{L}} \\mathcal{N}(0,1)$$\n\t\t\tdonc $$\\sqrt{n}\\left(\\overline{X}_n- \\frac{\\theta}{\\theta+1} \\right) \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{\\mathcal{L}} \\mathcal{N}\\left(0,\\sigma^2 = \\frac{\\theta}{(\\theta+1)^2(\\theta+2)}\\right)$$", "html": "

D’après le Théorème Central Limite, \\[\\frac{\\overline{X}_n- \\mathbb{E}(\\overline{X}_n)\n}{\\sqrt{V(\\overline{X}_n)}} \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{\\mathcal{L}}\n\\mathcal{N}(0,1)\\] avec \$\\mathbb{E}(\\overline{X}_n) = n \\times\n\\frac{\\theta}{n(\\theta+1)} = \\frac{\\theta}{\\theta+1}\$ et \$V(\\overline{X}_n) = \\frac{1}{n^2} \\times n\n\\times\\frac{\\theta}{(\\theta+1)^2(\\theta+2)}\$. Donc \\[\\frac{\\overline{X}_n- \\frac{\\theta}{\\theta+1}\n}{\\sqrt{ \\frac{\\theta}{n(\\theta+1)^2(\\theta+2)} }} \\xrightarrow[n \\to\n+\\infty]{\\mathcal{L}} \\mathcal{N}(0,1)\\] donc \\[\\sqrt{n}\\left(\\overline{X}_n- \\frac{\\theta}{\\theta+1}\n\\right) \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{\\mathcal{L}}\n\\mathcal{N}\\left(0,\\sigma^2 =\n\\frac{\\theta}{(\\theta+1)^2(\\theta+2)}\\right)\\]

\n" } }, { "id": "581a40cf-e7cf-4d0c-bb55-c56f09add365", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer une suite de réels $(a_n)$ et un un réel $m(\\theta)$ tels que la suite de variables aléatoires $(Z_n)$ définie par \n\t\t$$Z_n = a_n \\frac{ \\overline{X}_n - m(\\theta)}{T_n}$$\n\t\tconverge en loi vers une limite à préciser.", "html": "

Déterminer une suite de réels \$(a_n)\$ et un un réel \$m(\\theta)\$ tels que la suite de variables\naléatoires \$(Z_n)\$ définie par \\[Z_n = a_n \\frac{ \\overline{X}_n -\nm(\\theta)}{T_n}\\] converge en loi vers une limite à préciser.

\n" } }, { "id": "a0d41350-e93e-4e67-b02f-53c9dfc5aead", "type": "reponse", "value": { "latex": "On sait que $T_n \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{\\mathcal{P}} \\frac{1}{1+\\theta} \\sqrt{ \\frac{\\theta}{\\theta+2} } $ donc $T_n \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{\\mathcal{L}} \\frac{1}{1+\\theta} \\sqrt{ \\frac{\\theta}{\\theta+2} } $ et d'après la propriété de Slutsky, la suite de variables $\\left( \\frac{V_n}{T_n} \\right)$ converge vers $\\frac{V}{\\frac{1}{1+\\theta} \\sqrt{ \\frac{\\theta}{\\theta+2} } }$ où $V$ suit une loi $\\mathcal{N}\\left(0,\\sigma^2 = \\frac{\\theta}{(\\theta+1)^2(\\theta+2)}\\right)$. Donc $\\frac{V}{\\frac{1}{1+\\theta} \\sqrt{ \\frac{\\theta}{\\theta+2} } }$ suit une loi $\\mathcal{N}(0,1)$.", "html": "

On sait que \$T_n \\xrightarrow[n \\to\n+\\infty]{\\mathcal{P}} \\frac{1}{1+\\theta} \\sqrt{ \\frac{\\theta}{\\theta+2}\n}\$ donc \$T_n \\xrightarrow[n \\to\n+\\infty]{\\mathcal{L}} \\frac{1}{1+\\theta} \\sqrt{ \\frac{\\theta}{\\theta+2}\n}\$ et d’après la propriété de Slutsky, la suite de variables\n\$\\left( \\frac{V_n}{T_n} \\right)\$\nconverge vers \$\\frac{V}{\\frac{1}{1+\\theta}\n\\sqrt{ \\frac{\\theta}{\\theta+2} } }\$ où \$V\$ suit une loi \$\\mathcal{N}\\left(0,\\sigma^2 =\n\\frac{\\theta}{(\\theta+1)^2(\\theta+2)}\\right)\$. Donc \$\\frac{V}{\\frac{1}{1+\\theta} \\sqrt{\n\\frac{\\theta}{\\theta+2} } }\$ suit une loi \$\\mathcal{N}(0,1)\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "FH8I", "titre": "Convergence de la descente de gradient", "theme": [ "Optimisation" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Erwan HILLION", "createdAt": "2024-11-06T20:22:06.791Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:06.791Z" }, "contenu": [ { "id": "61dafe9c-89ba-4435-a022-d39d1cd92018", "type": "description", "value": { "latex": "On va prouver le théorème suivant : \n\n\\textbf{Théorème : } Soit $f : \\Rr \\rightarrow \\Rr$ une fonction de classe $\\mathcal{C}^2$ telle qu'il existe deux constantes $K,c >0$ vérifiant $c < f''(x) \\leq K$ pour tout $x \\in \\Rr$. On considère la suite $(x_n)_{n \\geq 0}$ d\\'efinie par $x_0 \\in \\Rr$ et par $x_{n+1} = x_n - \\gamma f'(x_n)$, où le pas $\\gamma$ vérifie $0 < \\gamma < 2/K$. Alors :\n\\begin{itemize}\n\\item La suite $(f(x_n))_{n \\ge 0}$ est décroissante.\n\\item La suite $(x_n)_{n \\ge 0}$ converge vers l'unique point critique de $f$.\n\\end{itemize}", "html": "

On va prouver le théorème suivant :

Théorème : Soit \$f : \\Rr\n\\rightarrow \\Rr\$ une fonction de classe \$\\mathcal{C}^2\$ telle qu’il existe deux\nconstantes \$K,c >0\$ vérifiant\n\$c < f''(x) \\leq K\$ pour\ntout \$x \\in \\Rr\$. On considère la\nsuite \$(x_n)_{n \\geq 0}\$ définie par\n\$x_0 \\in \\Rr\$ et par \$x_{n+1} = x_n - \\gamma f'(x_n)\$, où le\npas \$\\gamma\$ vérifie \$0 < \\gamma < 2/K\$. Alors :

La suite \$(f(x_n))_{n \\ge 0}\$\nest décroissante.
La suite \$(x_n)_{n \\ge 0}\$\nconverge vers l’unique point critique de \$f\$.

\n" } }, { "id": "1b0ec4f7-7b64-4d55-809b-bb03a588e9e9", "type": "description", "value": { "latex": "Pour $n \\geq 0$ fix\\'e, on pose $\\phi(t) = f(x_n- t f'(x_n))$.", "html": "

Pour \$n \\geq 0\$ fixé, on pose\n\$\\phi(t) = f(x_n- t\nf'(x_n))\$.

\n" } }, { "id": "bedd2d59-028e-42e2-9212-1607a3239386", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer qu'il existe $\\theta \\in ]0,t[$ tel que $\\phi(t) = \\phi(0)+t\\phi'(0)+\\frac{t^2}{2} \\phi''(\\theta)$.", "html": "

Montrer qu’il existe \$\\theta \\in\n]0,t[\$ tel que \$\\phi(t) =\n\\phi(0)+t\\phi'(0)+\\frac{t^2}{2} \\phi''(\\theta)\$.

\n" } }, { "id": "3783c166-826c-47bc-92dd-c902391070bb", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $\\phi$ est de classe $\\mathcal{C}^2$ sur $\\R$, le r\\'esultat souhait\\'e est simplement l'application de la formule de Taylor-Lagrange \\`a la fonction $\\phi$ sur l'intervalle $[0,t]$.", "html": "

La fonction \$\\phi\$ est de classe\n\$\\mathcal{C}^2\$ sur \$\\R\$, le résultat souhaité est simplement\nl’application de la formule de Taylor-Lagrange à la fonction \$\\phi\$ sur l’intervalle \$[0,t]\$.

\n" } }, { "id": "34e90b76-6e6a-4358-9d59-77d1152d3d86", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que $\\phi'(0) = -f'(x_n)^2$ et $\\phi''(\\theta) \\leq f'(x_n)^2 K$.", "html": "

Montrer que \$\\phi'(0) =\n-f'(x_n)^2\$ et \$\\phi''(\\theta) \\leq f'(x_n)^2\nK\$.

\n" } }, { "id": "dd22b0b2-1297-4b79-a8aa-d9a26f5f6949", "type": "reponse", "value": { "latex": "On calcule les deux premi\\`eres d\\'eriv\\'ees de $\\phi$ :\n\t$$\n\t\t\\phi'(t) = -f'(x_n) f'(x_n-tf'(x_n)) \\ , \\ \\phi''(t) = f'(x_n)^2 f''(x_n-tf'(x_n)).\n\t$$\n\tEn \\'evaluant respectivement en $t=0$ et en $t=\\theta$, on obtient $\\phi'(0) = -f'(x_n)^2$ et $\\phi''(0)$ et \n\t$$\n\t\t\\phi''(\\theta) = f'(x_n)^2 f''(x_n-\\theta f'(x_n)) \\leq K f'(x_n)^2.\n$$", "html": "

On calcule les deux premières dérivées de \$\\phi\$ : \\[\\phi'(t) = -f'(x_n)\nf'(x_n-tf'(x_n)) \\ , \\ \\phi''(t) = f'(x_n)^2\nf''(x_n-tf'(x_n)).\\] En évaluant respectivement en\n\$t=0\$ et en \$t=\\theta\$, on obtient \$\\phi'(0) = -f'(x_n)^2\$ et \$\\phi''(0)\$ et \\[\\phi''(\\theta) = f'(x_n)^2\nf''(x_n-\\theta f'(x_n)) \\leq K f'(x_n)^2.\\]

\n" } }, { "id": "a19ad366-63c7-43cc-9ba8-d7f09b4d94bb", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que $\\phi(t) \\leq \\phi(0)$ pour tout $0 \\leq t < 2/K$.", "html": "

Montrer que \$\\phi(t) \\leq \\phi(0)\$\npour tout \$0 \\leq t < 2/K\$.

\n" } }, { "id": "060e1878-7444-4979-b963-a5b5bcb71ca8", "type": "reponse", "value": { "latex": "On d\\'eduit de la question pr\\'ec\\'edente que pour tout $0 \\leq t \\leq 2/K$, on a \n\t$$\n\t\t\\phi(t)-\\phi(0) \\leq - t f'(x_n)^2 + K \\frac{(2/K) t}{2} f'(x_n)^2 = 0.\n$$", "html": "

On déduit de la question précédente que pour tout \$0 \\leq t \\leq 2/K\$, on a \\[\\phi(t)-\\phi(0) \\leq - t f'(x_n)^2 + K\n\\frac{(2/K) t}{2} f'(x_n)^2 = 0.\\]

\n" } }, { "id": "174fb1ff-acc5-4ac9-9aa6-d707bfc7ca04", "type": "question", "value": { "latex": "En d\\'eduire que $f(x_{n+1}) \\leq f(x_n)$.", "html": "

En déduire que \$f(x_{n+1}) \\leq\nf(x_n)\$.

\n" } }, { "id": "cd28bf30-c575-4438-822a-15b5130de949", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a \n\t$$\n\t\tf(x_{n+1}) = f(x_n-\\gamma f'(x_n)) = \\phi(\\gamma) \\leq \\phi(0) = f(x_n).\n\t$$\n\tOn a utilis\\'e la question pr\\'ec\\'edente et le fait que $0<\\gamma<2/K$.", "html": "

On a \\[f(x_{n+1}) = f(x_n-\\gamma\nf'(x_n)) = \\phi(\\gamma) \\leq \\phi(0) = f(x_n).\\] On a utilisé\nla question précédente et le fait que \$0<\\gamma<2/K\$.

\n" } }, { "id": "56c9e935-bbb5-4167-9ef0-a7283a76f770", "type": "description", "value": { "latex": "On introduit la fonction $g(x) = x - \\gamma f'(x)$.", "html": "

On introduit la fonction \$g(x) = x -\n\\gamma f'(x)\$.

\n" } }, { "id": "c6adfc58-3e45-46d8-be45-efe3f7761c15", "type": "question", "value": { "latex": "On pose $M = \\sup_{x \\in \\Rr} |g'(x)|$. Montrer que $M \\leq \\max\\left( |1-\\gamma c|, |1- \\gamma K|\\right)$, puis que $M < 1$.", "html": "

On pose \$M = \\sup_{x \\in \\Rr}\n|g'(x)|\$. Montrer que \$M \\leq\n\\max\\left( |1-\\gamma c|, |1- \\gamma K|\\right)\$, puis que \$M < 1\$.

\n" } }, { "id": "7624dd9f-c992-437c-a491-9e9d29c26ec0", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $g'(x) = 1- \\gamma f''(x)$, et comme $cOn a \$g'(x) = 1- \\gamma\nf''(x)\$, et comme \$c<f''(x)<K\$, on a\nl’encadrement \\[1-\\gamma K < g'(x)\n< 1- \\gamma c,\\] et on en déduit que pour tout \$x \\in \\Rr\$, on a \$|g'(x)| \\leq \\max(|1-\\gamma c|,|1-\\gamma\nK|)\$. Pour montrer que \$M <\n1\$, on remarque tout d’abord que \$0\n< c < K\$ implique que \$0 <\n\\gamma < \\frac{2}{K} < \\frac{2}{c}\$, donc \$\\gamma c\$ et \$\\gamma K\$ sont dans l’intervalle \$]0,2[\$, et on a bien \$|1-\\gamma c|<1\$, \$|1-\\gamma K|<1\$.

\n" } }, { "id": "9490e95e-e9bd-42a4-a645-c5d63035a50e", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que pour tout $n \\geq 1$, on a $|x_{n+1}-x_n| = |g(x_n)-g(x_{n-1})| < M |x_n-x_{n-1}|$.", "html": "

Montrer que pour tout \$n \\geq 1\$,\non a \$|x_{n+1}-x_n| = |g(x_n)-g(x_{n-1})|\n< M |x_n-x_{n-1}|\$.

\n" } }, { "id": "fed15a0c-7578-4da4-a229-62d8590c2a43", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $g(x_n)=x_{n+1}$ et $g(x_{n-1}) = x_n$, donc $|x_{n+1}-x_n| = |g(x_n)-g(x_{n-1})|$. L'in\\'egalit\\'e demand\\'ee est l'in\\'egalit\\'e des accroissements finis.", "html": "

On a \$g(x_n)=x_{n+1}\$ et \$g(x_{n-1}) = x_n\$, donc \$|x_{n+1}-x_n| = |g(x_n)-g(x_{n-1})|\$.\nL’inégalité demandée est l’inégalité des accroissements finis.

\n" } }, { "id": "286c5294-5998-440d-9e99-bcee0c9eb728", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que la suite $(x_n)_{n \\geq 0}$ est convergente (on pourra considérer la série $\\sum x_{n+1}-x_n$).", "html": "

Montrer que la suite \$(x_n)_{n \\geq\n0}\$ est convergente (on pourra considérer la série \$\\sum x_{n+1}-x_n\$).

\n" } }, { "id": "25e908b8-ad05-4969-a8ea-760272cf9c53", "type": "reponse", "value": { "latex": "La question pr\\'ec\\'edente permet de montrer par r\\'ecurrence sur $p \\geq 0$ que $|x_{p+1}-x_p| < M^p |x_1-x_0|$. De plus, l'in\\'egalit\\'e triangulaire permet d'\\'ecrire que pour tout $k < l$, on a \n\t$$\n\t\t|x_l-x_k| = \\left|\\sum_{p=k}^{l-1} x_{p+1}-x_p \\right| \\leq \\sum_{p=k}^{l-1} |x_{p+1}-x_p| < \\sum_{p=k}^{l-1} M^p |x_1-x_0|.\n\t$$\n\tOn constate enfin que \n\t$$\n\t\t\\sum_{p=k}^{l-1} M^p \\leq \\sum_{p=k}^{\\infty} M^p = M^k \\sum_{p=0}^{\\infty} M^p = \\frac{M^k}{1-M}. \n\t$$\n\tComme $00$, il existe un rang $K$ tel que pour tous $K \\leq k \\leq l$, on a $|x_l-x_k|<\\varepsilon$. La suite $(x_n)_{n \\geq 0}$ est donc une suite de Cauchy, et comme $\\Rr$ est complet, on sait qu'elle est convergente.", "html": "

La question précédente permet de montrer par récurrence sur \$p \\geq 0\$ que \$|x_{p+1}-x_p| < M^p |x_1-x_0|\$. De\nplus, l’inégalité triangulaire permet d’écrire que pour tout \$k < l\$, on a \\[|x_l-x_k| = \\left|\\sum_{p=k}^{l-1} x_{p+1}-x_p\n\\right| \\leq \\sum_{p=k}^{l-1} |x_{p+1}-x_p| < \\sum_{p=k}^{l-1} M^p\n|x_1-x_0|.\\] On constate enfin que \\[\\sum_{p=k}^{l-1} M^p \\leq \\sum_{p=k}^{\\infty} M^p\n= M^k \\sum_{p=0}^{\\infty} M^p = \\frac{M^k}{1-M}.\\] Comme \$0<M<1\$, on sait que la suite \$\\frac{M^k}{1-M} |x_1-x_0|\$ a pour limite\n\$0\$ lorsque \$k \\rightarrow \\infty\$. Ainsi, pour tout\n\$\\varepsilon>0\$, il existe un rang\n\$K\$ tel que pour tous \$K \\leq k \\leq l\$, on a \$|x_l-x_k|<\\varepsilon\$. La suite \$(x_n)_{n \\geq 0}\$ est donc une suite de\nCauchy, et comme \$\\Rr\$ est complet,\non sait qu’elle est convergente.

\n" } }, { "id": "1c887e0b-56ef-4cd8-9cbb-e5ce474b0027", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que la limite $l$ de la suite $(x_n)_{n \\geq 0}$. Montrer que $f'(l)=0$.", "html": "

Montrer que la limite \$l\$ de la\nsuite \$(x_n)_{n \\geq 0}\$. Montrer que\n\$f'(l)=0\$.

\n" } }, { "id": "52ca990c-c400-4c09-8496-2e03aed9148e", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $f'$ est continue, donc \n\t$$\n\t\tf'(l) = \\lim_{n \\rightarrow \\infty} f'(x_n) = \\lim_{n \\rightarrow \\infty} \\frac{x_n-x_{n+1}}{\\gamma} = \\frac{l-l}{\\gamma} = 0.\n$$", "html": "

La fonction \$f'\$ est continue,\ndonc \\[f'(l) = \\lim_{n \\rightarrow\n\\infty} f'(x_n) = \\lim_{n \\rightarrow \\infty}\n\\frac{x_n-x_{n+1}}{\\gamma} = \\frac{l-l}{\\gamma} = 0.\\]

\n" } }, { "id": "a62405e7-9a9d-4460-92ed-db155d2a7c4b", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que $f$ ne possède qu'un seul point critique.", "html": "

Montrer que \$f\$ ne possède qu’un\nseul point critique.

\n" } }, { "id": "13d59e2b-3419-4ed5-ba17-4354ae34e524", "type": "reponse", "value": { "latex": "La", "html": "

\n" } } ] }, { "uuid": "M9lT", "titre": "Convergence de séries", "theme": [ "séries" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:15.163Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:15.163Z" }, "contenu": [ { "id": "6b46a86d-e8dd-49e5-869a-f3aa077ddaef", "type": "question", "value": { "latex": "La série $\\displaystyle \\sum_{n \\geq 0} \\frac{3}{4^n}$ est-elle convergente ? si oui, calculer la somme de cette série.", "html": "

La série \$\\displaystyle \\sum_{n \\geq 0}\n\\frac{3}{4^n}\$ est-elle convergente ? si oui, calculer la somme\nde cette série.

\n" } }, { "id": "d34bafb0-a874-48b3-9efa-35870325bca0", "type": "question", "value": { "latex": "La série $\\displaystyle \\sum_{n \\geq 0} \\frac{1}{n}\\ln\\left(1+\\frac{1}{\\sqrt{n}}\\right)$ est-elle convergente ? absolument convergente ?", "html": "

La série \$\\displaystyle \\sum_{n \\geq 0}\n\\frac{1}{n}\\ln\\left(1+\\frac{1}{\\sqrt{n}}\\right)\$ est-elle\nconvergente ? absolument convergente ?

\n" } } ] }, { "uuid": "aoB6", "titre": "Convergence de séries entières", "theme": [ "séries" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:29.890Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:29.890Z" }, "contenu": [ { "id": "39778a4d-68cc-4527-a24e-cb805bdbab0f", "type": "description", "value": { "latex": "Calculer le rayon $R$ de convergence et déterminer le domaine $D$ de convergence (sauf pour la question 8) des séries entières réelles suivantes.", "html": "

Calculer le rayon \$R\$ de\nconvergence et déterminer le domaine \$D\$ de convergence (sauf pour la question\n8) des séries entières réelles suivantes.

\n" } }, { "id": "dc65f0b7-b357-469b-a226-eede0d3d7cdd", "type": "question", "value": { "latex": "$\\displaystyle S_1(t)=\\sum_{n= 0}^{+\\infty} n^2 t^n$", "html": "

\$\\displaystyle S_1(t)=\\sum_{n=\n0}^{+\\infty} n^2 t^n\$

\n" } }, { "id": "10d0020f-fa0b-467d-bb9d-0a13d05231a8", "type": "reponse", "value": { "latex": "$R=1$: Pour $n\\in\\N^*$, en posant $u_n=n^2 t^n$ avec $t\\in\\R^*$,\n \\[ \\left| \\frac{u_{n+1}}{u_n}\\right|=\\left(1+\\frac{1}{n}\\right)^2|t| \\underset{n\\to +\\infty}\\longrightarrow |t|, \\]\n donc par le critère de d'Alembert, si $|t|<1$, la série $\\sum n^2t^n$ converge et si $|t|>1$, cette série diverge. D'où le rayon de convergence de $S_1$ qui vaut $1$. \\\\\n \n $D=]-1;1[$ car pour $t=1$, $n^2 t^n=n^2$ et $\\sum n^2$ est une série divergente grossièrement. Pour $t=-1$, la série $\\sum (-1)^n n^2$ diverge grossièrement.", "html": "

\$R=1\$: Pour \$n\\in\\N^*\$, en posant \$u_n=n^2 t^n\$ avec \$t\\in\\R^*\$, \\[\\left|\n\\frac{u_{n+1}}{u_n}\\right|=\\left(1+\\frac{1}{n}\\right)^2|t|\n\\underset{n\\to +\\infty}\\longrightarrow |t|,\\] donc par le critère\nde d’Alembert, si \$|t|<1\$, la\nsérie \$\\sum n^2t^n\$ converge et si\n\$|t|>1\$, cette série diverge. D’où\nle rayon de convergence de \$S_1\$ qui\nvaut \$1\$.
\n\$D=]-1;1[\$ car pour \$t=1\$, \$n^2\nt^n=n^2\$ et \$\\sum n^2\$ est\nune série divergente grossièrement. Pour \$t=-1\$, la série \$\\sum (-1)^n n^2\$ diverge\ngrossièrement.

\n" } }, { "id": "07f22ade-1c73-4965-a7af-75884aa995b6", "type": "question", "value": { "latex": "$\\displaystyle S_2(t)=\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{(-2)^n}{n!}t^n$", "html": "

\$\\displaystyle S_2(t)=\\sum_{n=0}^{+\\infty}\n\\frac{(-2)^n}{n!}t^n\$

\n" } }, { "id": "56380c38-1645-4e93-8890-99fb7b4eb1cc", "type": "reponse", "value": { "latex": "$R=+\\infty$: Pour $n\\in\\N^*$, en posant $u_n=\\frac{(-2)^n}{n!}t^n$ avec $t\\in\\R^*$, on a : \n $$ \\left| \\frac{u_{n+1}}{u_n}\\right|=\\frac{2}{n+1}|t| \\underset{n\\to +\\infty}\\longrightarrow 0, $$ \n donc par le critère de d'Alembert, la série $\\sum \\frac{(-2)^n}{n!}t^n$ converge pour tout $t\\in\\R$. D'où le rayon de convergence de $S_2$ qui vaut $+\\infty$.", "html": "

\$R=+\\infty\$: Pour \$n\\in\\N^*\$, en posant \$u_n=\\frac{(-2)^n}{n!}t^n\$ avec \$t\\in\\R^*\$, on a : \\[\\left|\n\\frac{u_{n+1}}{u_n}\\right|=\\frac{2}{n+1}|t| \\underset{n\\to\n+\\infty}\\longrightarrow 0,\\] donc par le critère de d’Alembert,\nla série \$\\sum \\frac{(-2)^n}{n!}t^n\$\nconverge pour tout \$t\\in\\R\$. D’où le\nrayon de convergence de \$S_2\$ qui\nvaut \$+\\infty\$.

\n" } }, { "id": "2a0d4013-1dcc-46c6-805a-e4d7eb210d53", "type": "question", "value": { "latex": "$\\displaystyle S_3(t)=\\sum_{n=1}^{+\\infty} \\sin\\left( \\frac{1}{n^2}\\right) t^n$", "html": "

\$\\displaystyle S_3(t)=\\sum_{n=1}^{+\\infty}\n\\sin\\left( \\frac{1}{n^2}\\right) t^n\$

\n" } }, { "id": "8e9c443e-845c-4f45-a052-91d1d3a9da44", "type": "reponse", "value": { "latex": "$R=1$: Pour $n\\in\\N^*$, en posant $u_n=\\sin\\left( \\frac{1}{n^2}\\right) t^n$ avec $t\\in\\R^*$, on a : \n $$ \\left| \\frac{u_{n+1}}{u_n}\\right|=\\left| \\frac{\\sin\\left( \\frac{1}{(n+1)^2}\\right) t^{n+1}}{\\sin\\left( \\frac{1}{n^2}\\right) t^n}\\right|=\\left| \\frac{\\sin\\left( \\frac{1}{(n+1)^2}\\right)}{\\sin\\left( \\frac{1}{n^2}\\right)}\\right| |t| \\underset{n\\to +\\infty}\\longrightarrow |t|, $$\n donc par le critère de d'Alembert, si $|t|<1$, la série $\\sum \\sin\\left( \\frac{1}{n^2}\\right) t^n$ converge et si $|t|>1$, cette série diverge. D'où le rayon de convergence de $S_3$ qui vaut $1$. \n Si $t = 1$ ou $t = -1$, $|u_n(t)| \\underset{+\\infty}{\\sim} \\frac{1}{n^2}$, donc la série $\\sum |u_n(t)|$ converge. Donc $D = [-1,1]$.", "html": "

\$R=1\$: Pour \$n\\in\\N^*\$, en posant \$u_n=\\sin\\left( \\frac{1}{n^2}\\right) t^n\$\navec \$t\\in\\R^*\$, on a : \\[\\left| \\frac{u_{n+1}}{u_n}\\right|=\\left|\n\\frac{\\sin\\left( \\frac{1}{(n+1)^2}\\right) t^{n+1}}{\\sin\\left(\n\\frac{1}{n^2}\\right) t^n}\\right|=\\left| \\frac{\\sin\\left(\n\\frac{1}{(n+1)^2}\\right)}{\\sin\\left( \\frac{1}{n^2}\\right)}\\right| |t|\n\\underset{n\\to +\\infty}\\longrightarrow |t|,\\] donc par le critère\nde d’Alembert, si \$|t|<1\$, la\nsérie \$\\sum \\sin\\left( \\frac{1}{n^2}\\right)\nt^n\$ converge et si \$|t|>1\$, cette série diverge. D’où le\nrayon de convergence de \$S_3\$ qui\nvaut \$1\$. Si \$t = 1\$ ou \$t =\n-1\$, \$|u_n(t)|\n\\underset{+\\infty}{\\sim} \\frac{1}{n^2}\$, donc la série \$\\sum |u_n(t)|\$ converge. Donc \$D = [-1,1]\$.

\n" } }, { "id": "871698de-dc45-4d9d-ae2a-dc5a5edc9c7b", "type": "question", "value": { "latex": "$\\displaystyle S_4(t)=\\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{\\ln n}{n} t^n$", "html": "

\$\\displaystyle S_4(t)=\\sum_{n=1}^{+\\infty}\n\\frac{\\ln n}{n} t^n\$

\n" } }, { "id": "e581358b-e674-4da3-9e48-dbf548e5ae26", "type": "reponse", "value": { "latex": "$R=1$: Pour $n\\in\\N^*$, en posant $u_n=\\frac{\\ln n}{n} t^n$ avec $t\\in\\R^*$, on a :\n $$ \\left| \\frac{u_{n+1}}{u_n}\\right|=\\left| \\frac{\\ln(n+1)}{\\ln n}\\right| |t| \\underset{n\\to +\\infty}\\longrightarrow |t|, $$\n donc par le critère de d'Alembert, si $|t|<1$, la série $\\sum \\frac{\\ln n}{n} t^n$ converge et si $|t|>1$, cette série diverge. D'où le rayon de convergence de $S_4$ qui vaut $1$. \\\\ \n Pour $t=-1$, la série $\\sum (-1)^n \\frac{\\ln n}{n}$ converge par théorème des séries alternées. Pour $t=1$, la série $\\sum \\frac{\\ln n}{n}$ diverge par comparaison à la série harmonique. Donc $D = [-1,1[$.", "html": "

\$R=1\$: Pour \$n\\in\\N^*\$, en posant \$u_n=\\frac{\\ln n}{n} t^n\$ avec \$t\\in\\R^*\$, on a : \\[\\left| \\frac{u_{n+1}}{u_n}\\right|=\\left|\n\\frac{\\ln(n+1)}{\\ln n}\\right| |t| \\underset{n\\to +\\infty}\\longrightarrow\n|t|,\\] donc par le critère de d’Alembert, si \$|t|<1\$, la série \$\\sum \\frac{\\ln n}{n} t^n\$ converge et si\n\$|t|>1\$, cette série diverge. D’où\nle rayon de convergence de \$S_4\$ qui\nvaut \$1\$.
\nPour \$t=-1\$, la série \$\\sum (-1)^n \\frac{\\ln n}{n}\$ converge par\nthéorème des séries alternées. Pour \$t=1\$, la série \$\\sum \\frac{\\ln n}{n}\$ diverge par\ncomparaison à la série harmonique. Donc \$D =\n[-1,1[\$.

\n" } }, { "id": "40d40063-fda5-47df-8f60-474b1d2ff4a0", "type": "question", "value": { "latex": "$\\displaystyle S_5(t)=\\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{n^n}t^n$", "html": "

\$\\displaystyle S_5(t)=\\sum_{n=1}^{+\\infty}\n\\frac{1}{n^n}t^n\$

\n" } }, { "id": "bbbcdf13-57cf-472c-9289-86b6e3412c41", "type": "reponse", "value": { "latex": "$R=+\\infty$: Pour $n\\in\\N^*$, en posant $u_n=\\frac{1}{n^n}t^n$ avec $t\\in\\R^*$, on a :\n $$ \\left| \\frac{u_{n+1}}{u_n}\\right|=\\left| \\left( \\frac{n}{n+1}\\right)^{n}\\times \\frac{1}{n+1}\\right| |t| \\underset{n\\to +\\infty}\\longrightarrow 0, $$\n donc par le critère de d'Alembert, la série $\\sum \\frac{1}{n^n}t^n$ converge pour tout $t\\in\\R$. D'où le rayon de convergence de $S_5$ qui vaut $+\\infty$.", "html": "

\$R=+\\infty\$: Pour \$n\\in\\N^*\$, en posant \$u_n=\\frac{1}{n^n}t^n\$ avec \$t\\in\\R^*\$, on a : \\[\\left| \\frac{u_{n+1}}{u_n}\\right|=\\left| \\left(\n\\frac{n}{n+1}\\right)^{n}\\times \\frac{1}{n+1}\\right| |t| \\underset{n\\to\n+\\infty}\\longrightarrow 0,\\] donc par le critère de d’Alembert,\nla série \$\\sum \\frac{1}{n^n}t^n\$\nconverge pour tout \$t\\in\\R\$. D’où le\nrayon de convergence de \$S_5\$ qui\nvaut \$+\\infty\$.

\n" } }, { "id": "d7ecc816-89c8-4bf5-9299-eea97534575b", "type": "question", "value": { "latex": "$\\displaystyle S_6(t)=\\sum_{n=2}^{+\\infty} \\frac{n^n}{\\ln n} t^n$", "html": "

\$\\displaystyle S_6(t)=\\sum_{n=2}^{+\\infty}\n\\frac{n^n}{\\ln n} t^n\$

\n" } }, { "id": "a0705995-3d91-47be-b9de-6642f6d0f6e5", "type": "reponse", "value": { "latex": "$R=0$ : Pour $n\\in\\N^*$, en posant $u_n=\\frac{n^n}{\\ln n} t^n$ avec $t\\in\\R^*$, on a :\n $$ \\left| \\frac{u_{n+1}}{u_n}\\right|=\\left| \\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}\\times \\frac{\\ln n}{\\ln(n+1)}\\right| |t| \\underset{n\\to +\\infty}\\longrightarrow +\\infty, $$\n donc par le critère de d'Alembert, la série $\\sum \\frac{n^n}{\\ln n}t^n$ diverge pour tout $t\\in\\R^*$. D'où le rayon de convergence de $S_6$ qui vaut $0$.", "html": "

\$R=0\$ : Pour \$n\\in\\N^*\$, en posant \$u_n=\\frac{n^n}{\\ln n} t^n\$ avec \$t\\in\\R^*\$, on a : \\[\\left| \\frac{u_{n+1}}{u_n}\\right|=\\left|\n\\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}\\times \\frac{\\ln n}{\\ln(n+1)}\\right| |t|\n\\underset{n\\to +\\infty}\\longrightarrow +\\infty,\\] donc par le\ncritère de d’Alembert, la série \$\\sum\n\\frac{n^n}{\\ln n}t^n\$ diverge pour tout \$t\\in\\R^*\$. D’où le rayon de convergence de\n\$S_6\$ qui vaut \$0\$.

\n" } }, { "id": "692dbea2-6f69-4fc5-a9c9-ac17072ecaf1", "type": "question", "value": { "latex": "$\\displaystyle S_7(t)=\\sum_{n=0}^{+\\infty} 2^n t^{2n}$", "html": "

\$\\displaystyle S_7(t)=\\sum_{n=0}^{+\\infty}\n2^n t^{2n}\$

\n" } }, { "id": "912965b8-cc87-4b67-b07c-6e03d6cae56e", "type": "reponse", "value": { "latex": "$R=\\frac{1}{\\sqrt{2}}$: Pour $n\\in\\N^*$, en posant $u_n=2^n t^{2n}$ avec $t\\in\\R^*$, on a une série géométrique de raison $2t^2$ donc : \n la série $\\sum 2^n t^{2n}$ converge et si $2|t|^2 \\geq 1$, cette série diverge. D'où le rayon de convergence de $S_7$ qui vaut $\\frac{1}{\\sqrt{2}}$. et $D = ]-\\frac{1}{\\sqrt{2}},\\frac{1}{\\sqrt{2}}[$.", "html": "

\$R=\\frac{1}{\\sqrt{2}}\$: Pour \$n\\in\\N^*\$, en posant \$u_n=2^n t^{2n}\$ avec \$t\\in\\R^*\$, on a une série géométrique de\nraison \$2t^2\$ donc : la série \$\\sum 2^n t^{2n}\$ converge et si \$2|t|^2 \\geq 1\$, cette série diverge. D’où\nle rayon de convergence de \$S_7\$ qui\nvaut \$\\frac{1}{\\sqrt{2}}\$. et \$D =\n]-\\frac{1}{\\sqrt{2}},\\frac{1}{\\sqrt{2}}[\$.

\n" } }, { "id": "4c3dcd68-e0e4-4d12-a61a-5752b7faac6e", "type": "question", "value": { "latex": "$\\displaystyle S_8(t)=\\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{(1+i)^n}{n2^n}t^{3n}$", "html": "

\$\\displaystyle S_8(t)=\\sum_{n=1}^{+\\infty}\n\\frac{(1+i)^n}{n2^n}t^{3n}\$

\n" } }, { "id": "853cef0d-a305-4791-b4ff-b96f629679b8", "type": "reponse", "value": { "latex": "$R=2^{\\frac{1}{6}}$: Pour $n\\in\\N^*$, en posant $u_n=\\frac{(1+i)^n}{n2^n}t^{3n}$ avec $t\\in\\R^*$, on a :\n $$ \\left| \\frac{u_{n+1}}{u_n}\\right|=\\left| \\frac{(1+i)^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}\\times \\frac{n2^n}{(1+i)^n}\\right| |t|^3 \\underset{n\\to +\\infty}\\longrightarrow \\frac{|t|^3}{\\sqrt{2}}, $$\n donc par le critère de d'Alembert, si $\\frac{|t|^3}{2}<1$, la série $\\sum \\frac{(1+i)^n}{n2^n}t^{3n}$ converge et si $\\frac{|t|^3}{2}>1$, cette série diverge. D'où le rayon de convergence de $S_8$ qui vaut $2^{\\frac{1}{6}}$.", "html": "

\$R=2^{\\frac{1}{6}}\$: Pour \$n\\in\\N^*\$, en posant \$u_n=\\frac{(1+i)^n}{n2^n}t^{3n}\$ avec \$t\\in\\R^*\$, on a : \\[\\left| \\frac{u_{n+1}}{u_n}\\right|=\\left|\n\\frac{(1+i)^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}\\times \\frac{n2^n}{(1+i)^n}\\right| |t|^3\n\\underset{n\\to +\\infty}\\longrightarrow \\frac{|t|^3}{\\sqrt{2}},\\]\ndonc par le critère de d’Alembert, si \$\\frac{|t|^3}{2}<1\$, la série \$\\sum \\frac{(1+i)^n}{n2^n}t^{3n}\$ converge\net si \$\\frac{|t|^3}{2}>1\$, cette\nsérie diverge. D’où le rayon de convergence de \$S_8\$ qui vaut \$2^{\\frac{1}{6}}\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "GmNP", "titre": "Convergence en loi", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:08.678Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:08.678Z" }, "contenu": [ { "id": "4df25747-c3de-4d9e-8a97-019bb40c7c82", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $\\lambda >0$. Pour tout $n \\geq \\lambda$, on définit une suite $\\left(X_k^n\\right)_{k \\in \\N}$unesuite de variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p_n = \\frac{\\lambda}{n}$. On considère alors la variable aléatoire :\n$$N_n = \\frac{1}{n} \\inf\\{ k \\in N \\, , \\, X_k^n = 1\\}$$\n\n\\begin{enumerate}\n\t\\item Soit un entier $n \\geq \\lambda$. Justifier que la variable $nN_n$ suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre. \n\t\\item Déterminer la fonction caractéristique de la variable aléatoire $N_n$.\n\t\\item En déduire que la suite de variables aléatoires $(N_n)$ converge en loi vers une loi usuelle que l'on précisera. \n\\end{enumerate}", "html": "

Soit \$\\lambda >0\$. Pour tout\n\$n \\geq \\lambda\$, on définit une\nsuite \$\\left(X_k^n\\right)_{k \\in\n\\N}\$unesuite de variables aléatoires indépendantes suivant une\nloi de Bernoulli de paramètre \$p_n =\n\\frac{\\lambda}{n}\$. On considère alors la variable aléatoire :\n\\[N_n = \\frac{1}{n} \\inf\\{ k \\in N \\, , \\,\nX_k^n = 1\\}\\]

Soit un entier \$n \\geq\n\\lambda\$. Justifier que la variable \$nN_n\$ suit une loi géométrique dont on\nprécisera le paramètre.
Déterminer la fonction caractéristique de la variable aléatoire\n\$N_n\$.
En déduire que la suite de variables aléatoires \$(N_n)\$ converge en loi vers une loi\nusuelle que l’on précisera.

\n" } } ] }, { "uuid": "Ocbl", "titre": "Convergence vers une loi exponentielle", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:16.474Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:16.474Z" }, "contenu": [ { "id": "3ccb51a4-7c5d-4664-bb04-0da46625b5f8", "type": "description", "value": { "latex": "Soit une suite de variables indépendantes $(U_i)_{i \\in \\N^*}$ suivant chacune une loi uniforme $\\mathcal{U}([0;1])$. Pour tout $n \\in \\N^*$, on pose $M_n = \\max(U_1,...,U_n)$.", "html": "

Soit une suite de variables indépendantes \$(U_i)_{i \\in \\N^*}\$ suivant chacune une\nloi uniforme \$\\mathcal{U}([0;1])\$.\nPour tout \$n \\in \\N^*\$, on pose \$M_n = \\max(U_1,...,U_n)\$.

\n" } }, { "id": "f82cc26f-65fe-480f-855b-20ce0eb4f9c9", "type": "question", "value": { "latex": "Démontrer que $M_n \\xrightarrow[]{\\mathcal{P}} 1$.", "html": "

Démontrer que \$M_n\n\\xrightarrow[]{\\mathcal{P}} 1\$.

\n" } }, { "id": "99e79b29-9ae6-4341-8a53-c5e5182f2bbd", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $M_n=\\max \\left(U_1, \\ldots, U_n\\right)$. Pour tout $i$, $U_i \\leqslant 1$ donc $M_n \\leqslant 1$. \n\t \tSoit $\\varepsilon>0$. On cherche la limite de\n\t \t$$\n\t \tP\\left(\\left|M_n-1\\right|<\\varepsilon\\right)=P\\left(1-M_n<\\varepsilon\\right) = P\\left(M_n > 1-\\varepsilon\\right)\n\t \t$$\n\t \tOr la fonction de répartition de $M_n$ est définie pour tout réel $t$ par \n\t \t$$\\begin{align*}\n\t \tF_n(t) &=\\PP\\left(\\Pi_n \\leq t\\right)=P\\left(\\bigcap_{i=1}^n\\left(U_i \\leqslant t\\right)\\right)\\\\\n\t \t & = \\prod_{i=1}^n \\PP\\left(U_i \\leq t\\right) \\text { par indépendance }\\\\\n\t \t &=\\PP\\left(U_1 \\leqslant t\\right)^n \\text { car les variables sont identiquement distribuées }\\\\\n\t \t &= \\begin{cases}\n\t \t \t \t0 & \\text{si } t<0\\\\\n\t \t t^n & \\text{si } t \\in [0;1]\\\\\n\t \t 1 & \\text{si } t>1\n\t \t \\end{cases} \\\\\n\t \t\\end{align*}$$\n\t \tDonc \n\t \t$$\\begin{align*}\n\t \t \\PP(M_n > 1- \\varepsilon) &= 1 - \\PP(M_n \\leq 1- \\varepsilon) \\\\\n\t \t &= 1 - \\left(1-\\varepsilon\\right)^n \\\\\n\t \t &\\xrightarrow[n \\to +\\infty]{} 1\n\t \t\\end{align*}$$\n\t \tce qui achève la démonstration de la convergence en probabilité de la suite $(M_n)$ vers $1$.", "html": "

Soit \$M_n=\\max \\left(U_1, \\ldots,\nU_n\\right)\$. Pour tout \$i\$,\n\$U_i \\leqslant 1\$ donc \$M_n \\leqslant 1\$. Soit \$\\varepsilon>0\$. On cherche la limite de\n\\[P\\left(\\left|M_n-1\\right|<\\varepsilon\\right)=P\\left(1-M_n<\\varepsilon\\right)\n= P\\left(M_n > 1-\\varepsilon\\right)\\] Or la fonction de\nrépartition de \$M_n\$ est définie pour\ntout réel \$t\$ par \\[\\begin{align*}\n F_n(t) &=\\PP\\left(\\Pi_n \\leq\nt\\right)=P\\left(\\bigcap_{i=1}^n\\left(U_i \\leqslant t\\right)\\right)\\\\\n & = \\prod_{i=1}^n \\PP\\left(U_i \\leq t\\right)\n\\text { par indépendance }\\\\\n &=\\PP\\left(U_1 \\leqslant t\\right)^n \\text { car\nles variables sont identiquement distribuées }\\\\\n &= \\begin{cases}\n 0 & \\text{si } t<0\\\\\n t^n & \\text{si } t \\in [0;1]\\\\\n 1 & \\text{si } t>1\n \\end{cases} \\\\\n \\end{align*}\\] Donc \\[\\begin{align*}\n \\PP(M_n > 1- \\varepsilon) &= 1 - \\PP(M_n \\leq 1-\n\\varepsilon) \\\\\n &= 1 -\n\\left(1-\\varepsilon\\right)^n \\\\\n &\\xrightarrow[n \\to\n+\\infty]{} 1\n \\end{align*}\\] ce qui achève la démonstration de la\nconvergence en probabilité de la suite \$(M_n)\$ vers \$1\$.

\n" } }, { "id": "95569617-e4ad-4efb-be74-41397f1bed2f", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire que $M_n \\xrightarrow[]{\\text{p.s.}} 1$ et $M_n \\xrightarrow[]{\\text{en loi}} 1$.", "html": "

En déduire que \$M_n\n\\xrightarrow[]{\\text{p.s.}} 1\$ et \$M_n \\xrightarrow[]{\\text{en loi}} 1\$.

\n" } }, { "id": "a3feba17-fdfb-45c7-a760-a00a634d4029", "type": "reponse", "value": { "latex": "On remarque que pour tout $\\omega \\in \\Omega$, la suite $(M_n(\\omega))$ est une suite réelle croissante. Cette suite est également majorée par $1$ puisque chaque variable $U_i$ est majorée par $1$. La suite $(M_n(\\omega))$ est donc une suite convergente, notons $L(\\omega)$ sa suite. Il existe donc une variable aléatoire $L$ telle que la suite $(M_n)$ converge vers $L$ presque sûrement. \n\t \t\n\t Or on sait que la convergence presque sûre implique la convergence en probabilité. Et d'après la question précédente, la suite $(M_n)$ converge en probabilité vers la variable aléatoire constante $1$. \n\t \n\t Par unicité de la limite, on déduit que pour tout $\\omega \\in \\Omega$, $L(\\omega) = 1$. \n\t \t\n\t \tOn a donc montré que $M_n \\xrightarrow[]{\\text{p.s.}} 1$, ce qui implique directement par théorème du cours que $M_n \\xrightarrow[]{\\text{en loi}} 1$.", "html": "

On remarque que pour tout \$\\omega \\in\n\\Omega\$, la suite \$(M_n(\\omega))\$ est une suite réelle\ncroissante. Cette suite est également majorée par \$1\$ puisque chaque variable \$U_i\$ est majorée par \$1\$. La suite \$(M_n(\\omega))\$ est donc une suite\nconvergente, notons \$L(\\omega)\$ sa\nsuite. Il existe donc une variable aléatoire \$L\$ telle que la suite \$(M_n)\$ converge vers \$L\$ presque sûrement.

Or on sait que la convergence presque sûre implique la convergence en\nprobabilité. Et d’après la question précédente, la suite \$(M_n)\$ converge en probabilité vers la\nvariable aléatoire constante \$1\$.

Par unicité de la limite, on déduit que pour tout \$\\omega \\in \\Omega\$, \$L(\\omega) = 1\$.

On a donc montré que \$M_n\n\\xrightarrow[]{\\text{p.s.}} 1\$, ce qui implique directement par\nthéorème du cours que \$M_n\n\\xrightarrow[]{\\text{en loi}} 1\$.

\n" } }, { "id": "c9626491-de93-4329-ae9e-94248930e608", "type": "question", "value": { "latex": "Pour tout $n \\in \\N^*$, on pose $Y_n = n(1-M_n)$. Démontrer que la suite $(Y_n)$ converge en loi vers une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.", "html": "

Pour tout \$n \\in \\N^*\$, on pose\n\$Y_n = n(1-M_n)\$. Démontrer que la\nsuite \$(Y_n)\$ converge en loi vers\nune loi exponentielle dont on précisera le paramètre.

\n" } }, { "id": "72dd4e4c-bd27-422c-9f20-5857ae81673c", "type": "reponse", "value": { "latex": "On cherche à étudier la convergence de la fonction de répartition $F_{Y_n}$ de $Y_n$. Soit $t \\in \\R$. On constate que $$Y_n\\leq t\\iff M_n\\geq 1-\\frac {t}{n}$$\n\t Si $t \\leq 0$ alors $\\PP(Y_n \\leq t) = \\PP(M_n\\geq 1-\\frac {t}{n}) = 0$ car $M_n \\leq 1$. \n\t \n\t Si $t \\in [0;n]$ alors $\\PP(Y_n \\leq t) = 1 - \\left(1-\\frac {t}{n}\\right)^n$ d'après la question précédente.\n\t \n\t Si $t >n$ alors $\\PP(Y_n \\leq t) = 1 $ car $M_n \\geq 0$.\n\t \n\t Or $\\lim\\limits_{n\\to+\\infty}\\left(1-\\frac tn\\right)^n=e^{-t}.$\n\t \n\t Donc : \n\t \\begin{itemize}\n\t \t\\item si $t<0$, $F_{Y_n}(t) \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{} 0$ ;\n\t \t\\item si $t \\geq 0$, $F_{Y_n}(t) \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{} 1-e^{-t}$.\n\t \\end{itemize}\n\t \n\t On en déduit que la suite de fonctions $\\left(F_{Y_n}\\right)$ converge simplement vers la fonction de répartition d'une loi exponentielle de paramètre $1$.\n\t \n\t Cela prouve la convergence en loi de la suite $(Y_n)$ vers une loi exponentielle de paramètre $1$.", "html": "

On cherche à étudier la convergence de la fonction de répartition\n\$F_{Y_n}\$ de \$Y_n\$. Soit \$t\n\\in \\R\$. On constate que \\[Y_n\\leq\nt\\iff M_n\\geq 1-\\frac {t}{n}\\] Si \$t\n\\leq 0\$ alors \$\\PP(Y_n \\leq t) =\n\\PP(M_n\\geq 1-\\frac {t}{n}) = 0\$ car \$M_n \\leq 1\$.

Si \$t \\in [0;n]\$ alors \$\\PP(Y_n \\leq t) = 1 - \\left(1-\\frac\n{t}{n}\\right)^n\$ d’après la question précédente.

Si \$t >n\$ alors \$\\PP(Y_n \\leq t) = 1\$ car \$M_n \\geq 0\$.

Or \$\\lim\\limits_{n\\to+\\infty}\\left(1-\\frac\ntn\\right)^n=e^{-t}.\$

Donc :

si \$t<0\$, \$F_{Y_n}(t) \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{}\n0\$ ;
si \$t \\geq 0\$, \$F_{Y_n}(t) \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{}\n1-e^{-t}\$.

On en déduit que la suite de fonctions \$\\left(F_{Y_n}\\right)\$ converge simplement\nvers la fonction de répartition d’une loi exponentielle de paramètre\n\$1\$.

Cela prouve la convergence en loi de la suite \$(Y_n)\$ vers une loi exponentielle de\nparamètre \$1\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "nsgN", "titre": "Corrélation entre deux valeurs", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:44.922Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:44.922Z" }, "contenu": [ { "id": "27b5d6d9-365f-4a6e-b04b-522eb4b00b1d", "type": "description", "value": { "latex": "Le fichier \\texttt{TP\\_Totalrenault.xls} donne les résultats du cours de deux entreprises, Total et Renault, sur plusieurs mois, ainsi que le cours du CAC40.", "html": "

Le fichier TP_Totalrenault.xls donne les résultats du\ncours de deux entreprises, Total et Renault, sur plusieurs mois, ainsi\nque le cours du CAC40.

\n" } }, { "id": "ae7d0c83-d1c1-4072-bbca-4b6df6a96810", "type": "question", "value": { "latex": "Faire apparaitre graphiquement une corrélation entre Total et Renault, puis analyser l'influence du cours du CAC40 sur ces valeurs.", "html": "

Faire apparaitre graphiquement une corrélation entre Total et\nRenault, puis analyser l’influence du cours du CAC40 sur ces\nvaleurs.

\n" } } ] }, { "uuid": "RHhQ", "titre": "Corrélation entre le poids et la taille", "theme": [ "statistiques", "tableur" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:19.528Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:19.528Z" }, "contenu": [ { "id": "454ecb35-ae45-4e76-81ac-9ec32882b579", "type": "question", "value": { "latex": "A partir des données du fichier \\href{https://github.com/smaxx73/Exercices/blob/main/data/SOCR-HeightWeight.csv}{SOCR-HeightWeight.csv} et des fonctions du tableur, déterminer tous les indicateurs de position et de dispersion de chaque variable, puis effectuer une analyse graphique et numérique de la corrélation linéaire entre les deux variables. On pourra traduire au préalable les données dans des unités de mesure européennes.", "html": "

A partir des données du fichier SOCR-HeightWeight.csv\net des fonctions du tableur, déterminer tous les indicateurs de position\net de dispersion de chaque variable, puis effectuer une analyse\ngraphique et numérique de la corrélation linéaire entre les deux\nvariables. On pourra traduire au préalable les données dans des unités\nde mesure européennes.

\n" } } ] }, { "uuid": "6Wjb", "titre": "Couple de variables", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:57.769Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:57.769Z" }, "contenu": [ { "id": "af2ae58c-ca11-408f-8bcb-8a59879129b4", "type": "description", "value": { "latex": "Deux urnes $U_1$ et $U_2$ contiennent des boules permettant des gains ou des pertes décrits comme suit : \n\t\t\\begin{itemize}\n\t\t\t\\item dans l'urne $U_1$, il y a 1 boule << perdant 1\\euro{} >>, 2 boules << sans gain >>, 3 boules << gagnant 2\\euro{} >> ;\n\t\t\t\\item dans l'urne $U_2$, il y a 3 boules << perdant 1\\euro{} >>, 2 boules << sans gain >>, 1 boules << gagnant 2\\euro{} >> ;\n\t\t\\end{itemize}\n\tUn joueur lance un dé équilibré : s'il obtient 6, il pioche une boule dans l'urne $U_1$, sinon il pioche une boule dans l'urne $U_2$. \n\t\n\tOn note $X$ la variable aléatoire égale à $1$ si le dé sort $6$, $0$ sinon. On note $Y$ la variable aléatoire égale au gain (en euros.)", "html": "

Deux urnes \$U_1\$ et \$U_2\$ contiennent des boules permettant des\ngains ou des pertes décrits comme suit :

dans l’urne \$U_1\$, il y a 1\nboule << perdant 1€ >>, 2 boules << sans gain\n>>, 3 boules << gagnant 2€ >> ;
dans l’urne \$U_2\$, il y a 3\nboules << perdant 1€ >>, 2 boules << sans gain\n>>, 1 boules << gagnant 2€ >> ;

Un joueur lance un dé équilibré : s’il obtient 6, il pioche une boule\ndans l’urne \$U_1\$, sinon il pioche\nune boule dans l’urne \$U_2\$.

On note \$X\$ la variable aléatoire\négale à \$1\$ si le dé sort \$6\$, \$0\$\nsinon. On note \$Y\$ la variable\naléatoire égale au gain (en euros.)

\n" } }, { "id": "92c5c2c0-4f7b-4193-8dd5-474690daf6e9", "type": "question", "value": { "latex": "Donner la loi du couple $(X,Y)$.", "html": "

Donner la loi du couple \$(X,Y)\$.

\n" } }, { "id": "dba2ba52-c442-4aaf-bdda-c2d58b54f7a5", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour calculer par exemple $\\prob(X=1,Y=-1)$, on utilise la formule de Bayes : \n\t$$\\prob(X=1,Y=-1) = \\prob(\\{X=1\\} \\cap \\{Y=-1\\}) = \\prob(X=1)\\prob(Y=-1 \\mid X=1)$$\n\tOr d'après l'énoncé, $\\prob(X=1) = \\frac{1}{6}$ et $\\prob(Y=-1 \\mid X=1) = \\frac{1}{6}$ d'où $\\prob(X=1,Y=-1) = \\frac{1}{36}$. \n\tEn procédant de même pour tous les couples de valeurs possibles, on obtient : \n\\begin{center}\n\t\t\\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\n\t\t\\hline\n\t\t& $Y=-1$ & $Y=0$ & $Y=2$ \\\\\n\t\t\\hline\n\t$X=1$\t& $\\frac{1}{36}$ & $\\frac{2}{36}$ & $\\frac{3}{36}$ \\\\\n\t\t\\hline\n\t$X=0$\t& $\\frac{15}{36}$ & $\\frac{10}{36}$ & $\\frac{5}{36}$ \\\\\n\t\t\\hline\n\t\\end{tabular}\n\\end{center}", "html": "

Pour calculer par exemple \$\\prob(X=1,Y=-1)\$, on utilise la formule de\nBayes : \\[\\prob(X=1,Y=-1) = \\prob(\\{X=1\\}\n\\cap \\{Y=-1\\}) = \\prob(X=1)\\prob(Y=-1 \\mid X=1)\\] Or d’après\nl’énoncé, \$\\prob(X=1) = \\frac{1}{6}\$\net \$\\prob(Y=-1 \\mid X=1) =\n\\frac{1}{6}\$ d’où \$\\prob(X=1,Y=-1) =\n\\frac{1}{36}\$. En procédant de même pour tous les couples de\nvaleurs possibles, on obtient :

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

	\$Y=-1\$	\$Y=0\$	\$Y=2\$
\$X=1\$	\$\\frac{1}{36}\$	\$\\frac{2}{36}\$	\$\\frac{3}{36}\$
\$X=0\$	\$\\frac{15}{36}\$	\$\\frac{10}{36}\$	\$\\frac{5}{36}\$

\n" } }, { "id": "e6c11dff-2b8b-42b1-b0c3-3ee9f32e73fa", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer les lois marginales du couple $(X,Y)$. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?", "html": "

Calculer les lois marginales du couple \$(X,Y)\$. Les variables \$X\$ et \$Y\$ sont-elles indépendantes ?

\n" } }, { "id": "bbc6c227-95bc-4af4-b31e-9b31be1617ff", "type": "reponse", "value": { "latex": "On obtient directement que $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $\\frac{1}{6}$. De plus, par somme, on obtient la loi suivante pour $Y$ :\n\t\\begin{center}\n\t\t\\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\n\t\t\t\\hline\n\t\t$k$\t& $-1$ & $0$ & $2$ \\\\\n\t\t\t\\hline\n\t\t\t$\\prob(Y=k$\t& $\\frac{4}{9}$ & $\\frac{3}{9}$ & $\\frac{2}{9}$ \\\\\n\t\t\t\\hline\n\t\t\\end{tabular}\n\t\\end{center}", "html": "

On obtient directement que \$X\$\nsuit une loi de Bernoulli de paramètre \$\\frac{1}{6}\$. De plus, par somme, on\nobtient la loi suivante pour \$Y\$\n:

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

\$k\$	\$-1\$	\$0\$	\$2\$
\$\\prob(Y=k\$	\$\\frac{4}{9}\$	\$\\frac{3}{9}\$	\$\\frac{2}{9}\$

\n" } } ] }, { "uuid": "TMrr", "titre": "Couple de variables aléatoires, question de cours", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:21.573Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:21.573Z" }, "contenu": [ { "id": "c0dce69c-e742-4216-8294-0984c5c768a4", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires admettant pour densité la fonction $f$ définie par $$ f(x,y)= \\frac{3}{8}(x^2+y^2) \\textbf{1}_{[-1;1]^2}(x,y)$$", "html": "

Soit \$(X,Y)\$ un couple de\nvariables aléatoires admettant pour densité la fonction \$f\$ définie par \\[f(x,y)= \\frac{3}{8}(x^2+y^2)\n\\textbf{1}_{[-1;1]^2}(x,y)\\]

\n" } }, { "id": "55641e7b-035d-4e73-b484-ddf3392cb798", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la loi de $(X+Y,X-Y)$.", "html": "

Déterminer la loi de \$(X+Y,X-Y)\$.

\n" } }, { "id": "dd8adcb3-df28-48f4-b60f-f37649da2c4d", "type": "reponse", "value": { "latex": "On pose $U=X+Y$, $V=X-Y$ et on étudie la loi du couple $(U,V)$. D'après le théorème de transfert, si $h$ est continue bornée, \n\t\n\t$$\\mathbb{E}(h(U,V))= \\frac{3}{8} \\int_{[-1;1]^2}^{} h(x+y,x-y) (x^2+y^2)dxdy$$\n\t\n\tPour faire apparaître la densité de $(U,V)$, on effectue le changement de variable $$(u,v)=(x+y,x-y)$$ (c'est une bijection de classe $\\mathcal{C}^1$). La réciproque s'écrit $(x,y)=(\\frac{u+v}{2},\\frac{u-v}{2})$. La matrice jacobienne est $\\begin{pmatrix}\n\t\t\\frac{1}{2} & \\frac{1}{2} \\\\\n\t\t\\frac{1}{2} & -\\frac{1}{2} \\\\\n\t\\end{pmatrix} $ et la valeur absolue de son déterminant est $\\frac{1}{2}$. On peut donc écrire $dxdy=\\frac{1}{2}dudv$ et on a finalement :\n\t\n\t$$\\mathbb{E}(h(U,V))= \\frac{3}{8} \\int_{C}^{} h(u,v) (\\frac{u^2+v^2}{2})\\frac{1}{2}dudv$$ où $C= \\{(u,v) \\in \\R^2 \\slash -2 \\leq u+v \\leq 2 \\text{ et } -2 \\leq u-v \\leq 2 \\}$ est le carré image de $[-1;1]^2$ par le changement de variables.\n\t\n\tOn en déduit que $(U,V)$ a pour densité la fonction $g$ définie par $$g(u,v)=\\frac{3}{16}(u^2+v^2) \\textbf{1}_C(u,v)$$\n\tPour avoir indépendamment la loi de $(X+Y)$ et $(X-Y)$, il resterait à calculer les lois marginales.", "html": "

On pose \$U=X+Y\$, \$V=X-Y\$ et on étudie la loi du couple \$(U,V)\$. D’après le théorème de transfert,\nsi \$h\$ est continue bornée,

\\[\\mathbb{E}(h(U,V))= \\frac{3}{8}\n\\int_{[-1;1]^2}^{} h(x+y,x-y) (x^2+y^2)dxdy\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "fU9E", "titre": "Couple de variables aléatoires, question de cours", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:35.527Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:35.527Z" }, "contenu": [ { "id": "bc79f934-1c8a-4298-a65e-3c370bfa5459", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $f(x,y)=2e^{-x}e^{-2y}\\textbf{1}_{(\\R^+)^2}(x,y)$.", "html": "

Soit \$f(x,y)=2e^{-x}e^{-2y}\\textbf{1}_{(\\R^+)^2}(x,y)\$.

\n" } }, { "id": "b58bb429-6ded-4034-8943-d048cbd7c276", "type": "question", "value": { "latex": "Vérifier que $f$ définit une densité de probabilité.", "html": "

Vérifier que \$f\$ définit une\ndensité de probabilité.

\n" } }, { "id": "031baec7-bf6d-4de7-91eb-f6a8d7455d4c", "type": "reponse", "value": { "latex": "On vérifie que $f$ est positive sur $\\R^2$ et par application du théorème de Fubini que $\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(x,y) dxdy=1$", "html": "

On vérifie que \$f\$ est positive\nsur \$\\R^2\$ et par application du\nthéorème de Fubini que \$\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\nf(x,y) dxdy=1\$

\n" } }, { "id": "d55fbce5-6c49-4d0e-a60f-ed2920fbcb06", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\PP(X>1,Y<1)$, $\\PP(XCalculer \$\\PP(X>1,Y<1)\$,\n\$\\PP(X<Y)\$ et \$\\PP(X<a)\$.

\n" } }, { "id": "ad5fd57a-558b-413c-8a4b-373b316b992f", "type": "reponse", "value": { "latex": "On applique la définition et on trouve $\\PP(X>1,Y<1) = e^{-1}(1-e^{-2})$, $\\PP(XOn applique la définition et on trouve \$\\PP(X>1,Y<1) = e^{-1}(1-e^{-2})\$,\n\$\\PP(X<Y)=\\frac{1}{3}\$ et \$\\PP(X<a)=1-e^{-a}\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "kMXh", "titre": "Couple de variables aléatoires, question de cours", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:41.211Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:41.211Z" }, "contenu": [ { "id": "5dc06e11-f735-4c40-8273-48797429e43b", "type": "description", "value": { "latex": "Supposons que $(X,Y)$ suive la loi uniforme sur le disque unité $D$ centré en $(0,0)$.", "html": "

Supposons que \$(X,Y)\$ suive la loi\nuniforme sur le disque unité \$D\$\ncentré en \$(0,0)\$.

\n" } }, { "id": "2c8ba756-86cf-4a6b-b856-3863c97b88f7", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la loi de $X$.", "html": "

Déterminer la loi de \$X\$.

\n" } }, { "id": "2284b00d-7f06-48eb-bbfd-a7bc6f5b3aad", "type": "reponse", "value": { "latex": "Alors $(X,Y)$ admet pour densité $f(x,y)=\\frac{1}{\\pi} \\textbf{1}_D(x,y)$. Alors $X$ admet pour densité $f_X$ définie par $f_X(x) = \\int_{\\R}^{} f(x,y)dy = \\frac{1}{\\pi} \\int_{\\{y^2<1-x^2\\}}^{} dy$.\n\t\n\tOr $ y^2<1-x^2 \\iff \\begin{cases}\n\t\t-\\sqrt{1-x^2} < y < \\sqrt{1-x^2} \\\\\n\t\t-1Alors \$(X,Y)\$ admet pour densité\n\$f(x,y)=\\frac{1}{\\pi}\n\\textbf{1}_D(x,y)\$. Alors \$X\$\nadmet pour densité \$f_X\$ définie par\n\$f_X(x) = \\int_{\\R}^{} f(x,y)dy =\n\\frac{1}{\\pi} \\int_{\\{y^2<1-x^2\\}}^{} dy\$.

Or \$y^2<1-x^2 \\iff \\begin{cases}\n -\\sqrt{1-x^2} < y < \\sqrt{1-x^2} \\\\\n -1<x<1\n \\end{cases}\$ donc \\[f_X(x) =\n\\frac{1}{\\pi} \\textbf{1}_{]-1;1[}(x)\\int_{-\\sqrt{1-x^2}}^{+\\sqrt{1-x^2}}\ndy = \\frac{2}{\\pi} \\sqrt{1-x^2} \\textbf{1}_{]-1;1[}(x)\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "r0au", "titre": "Courbes de niveau", "theme": [ "fonctions de plusieurs variables" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:48.629Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:48.629Z" }, "contenu": [ { "id": "5a0459db-9262-481c-9440-7cbf789301d8", "type": "question", "value": { "latex": "$f(x,y) = \\sin(xy)$", "html": "

\$f(x,y) = \\sin(xy)\$

\n" } }, { "id": "03dc51c5-f5a6-44e9-a543-d275e309e4af", "type": "reponse", "value": { "latex": "1-B : la fonction est périodique en $x$ et en $y$ ; $f$ ne change pas quand on échange $x$ et $y$, i.e. le graphe est symétrique par rapport au plan d’équation $y = x$ ; $f (0, y) = f (x,0) = 0$.", "html": "

1-B : la fonction est périodique en \$x\$ et en \$y\$ ; \$f\$ ne change pas quand on échange \$x\$ et \$y\$, i.e. le graphe est symétrique par\nrapport au plan d’équation \$y = x\$ ;\n\$f (0, y) = f (x,0) = 0\$.

\n" } }, { "id": "e550214c-c3ad-471a-bdb2-521690090237", "type": "question", "value": { "latex": "$f(x,y) = \\sin(x-y)$", "html": "

\$f(x,y) = \\sin(x-y)\$

\n" } }, { "id": "c94895a8-a11b-4e99-b110-94d2accfe8ed", "type": "reponse", "value": { "latex": "2-A : la fonction est périodique en $x$ et en $y$ ; $f$ est constante si $y = x +k$ (lignes de niveau parallèles à la droite d'équation $y=x$", "html": "

2-A : la fonction est périodique en \$x\$ et en \$y\$ ; \$f\$ est constante si \$y = x +k\$ (lignes de niveau parallèles à\nla droite d’équation \$y=x\$

\n" } }, { "id": "51eed39b-d39a-4ff3-8aed-097b42a77b1b", "type": "question", "value": { "latex": "$f(x,y) = (1-x^2)(1-y^2)$", "html": "

\$f(x,y) = (1-x^2)(1-y^2)\$

\n" } }, { "id": "9b2e80d9-3d47-4284-8402-398c96ab89cc", "type": "reponse", "value": { "latex": "3-F : $f (\\pm1, y) = f (x,\\pm1) = 0$ ; la trace dans le plan $xz$ est $z = 1-x^2$ et dans le plan $yz$ est $z = 1-y^2$.", "html": "

3-F : \$f (\\pm1, y) = f (x,\\pm1) =\n0\$ ; la trace dans le plan \$xz\$ est \$z =\n1-x^2\$ et dans le plan \$yz\$\nest \$z = 1-y^2\$.

\n" } }, { "id": "ed9be635-eec7-4e84-80d3-ade1133c38ac", "type": "question", "value": { "latex": "$f(x,y) = \\frac{x-y}{1+x^2+y^2}$", "html": "

\$f(x,y) =\n\\frac{x-y}{1+x^2+y^2}\$

\n" } }, { "id": "a11e02d0-bc7e-40cd-8b59-89ae085eb82f", "type": "reponse", "value": { "latex": "4-E : $f (x,x) = 0$ ; $f (x, y) > 0$ si $x > y$ ; $f (x, y) < 0$ si $x < y$.", "html": "

4-E : \$f (x,x) = 0\$ ; \$f (x, y) > 0\$ si \$x > y\$ ; \$f\n(x, y) < 0\$ si \$x <\ny\$.

\n" } }, { "id": "cb98ba0d-d58a-42fc-90f0-2ec8cacf4e41", "type": "question", "value": { "latex": "$f(x,y) = e^x \\cos(y)$", "html": "

\$f(x,y) = e^x \\cos(y)\$

\n" } }, { "id": "55526880-60d3-4a56-a7c5-6778a58fa17f", "type": "reponse", "value": { "latex": "5-D : la fonction est périodique en $y$ ;", "html": "

5-D : la fonction est périodique en \$y\$ ;

\n" } }, { "id": "891b03fb-c93c-43c5-b2e4-3dad56a3766c", "type": "question", "value": { "latex": "$f(x,y) = \\sin(x)-\\sin(y)$", "html": "

\$f(x,y) = \\sin(x)-\\sin(y)\$

\n" } }, { "id": "ae67847d-8822-4707-81a1-49036c396288", "type": "reponse", "value": { "latex": "6-C : la fonction est périodique en $x$ et en $y$.", "html": "

6-C : la fonction est périodique en \$x\$ et en \$y\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "4R9m", "titre": "Courbes de niveaux", "theme": [ "fonctions de plusieurs variables" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:54.413Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:54.413Z" }, "contenu": [ { "id": "4bee7a50-8acb-4f6f-9bb6-e6e7142a87fd", "type": "description", "value": { "latex": "Déterminer les courbes de niveaux des fonctions suivantes et esquisser rapidement une représentation graphique d'un ensemble de celles-ci.", "html": "

Déterminer les courbes de niveaux des fonctions suivantes et\nesquisser rapidement une représentation graphique d’un ensemble de\ncelles-ci.

\n" } }, { "id": "36e62363-795e-4a3d-8f58-d9690b205a30", "type": "question", "value": { "latex": "$f(x,y) = x+y-1$", "html": "

\$f(x,y) = x+y-1\$

\n" } }, { "id": "7fda69ae-b9aa-497e-8ae6-6dfabf59a3b5", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $k \\in \\mathbb{R}$ : $f(x,y) = k \\iff y = -x+k+1$. Pour tout $k \\in \\R$, les lignes de niveau $k$ sont des droites de coefficient directeur $-1$. \n\t\t\n\\begin{center}\n\t\\begin{tikzpicture}\n\\begin{axis}[\ntitle={$f(x,y)=x+y-1$},\nenlarge x limits,\nview={0}{90},\nxlabel=$x$, ylabel=$y$,\nsmall,\naxis equal,\naxis x line=center,\naxis y line=center,\n\n]\n\\addplot3[\ndomain=-3:3,\ndomain y=-3:3,\ncontour gnuplot={number=14},\nthick,\n]\n{x+y-1};\n\\end{axis}\n\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "html": "

Soit \$k \\in \\mathbb{R}\$ : \$f(x,y) = k \\iff y = -x+k+1\$. Pour tout\n\$k \\in \\R\$, les lignes de niveau\n\$k\$ sont des droites de coefficient\ndirecteur \$-1\$.

\n\n

\n" } }, { "id": "db53b0d4-6c3d-4f86-ade5-ea7f487a05c2", "type": "question", "value": { "latex": "$f(x,y) = e^{y-x^2}$", "html": "

\$f(x,y) = e^{y-x^2}\$

\n" } }, { "id": "70c15e24-8de9-47af-966b-590a57e3eb3c", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $k \\in \\mathbb{R}$ : $f(x,y) = k \\Rightarrow k>0$. Pour tout $k>0$, $f(x,y) = k \\iff y = x^2 + \\ln(k)$. Les lignes de niveau $k>0$ sont des paraboles, vides si $k \\leq 0$. \n\\begin{center}\n\t\\begin{tikzpicture}\n\t\\begin{axis}[\n\t\n\tenlarge x limits,\n\tview={0}{90},\n\txlabel=$x$, ylabel=$y$,\n\tsmall,\n\taxis equal,\n\taxis x line=center,\n\taxis y line=center,\n\t\n\t]\n\t\\addplot3[\n\tdomain=-3:3,\n\tdomain y=-3:3,\n\tcontour gnuplot={levels={0.2,0.4,0.6, 0.8,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}},\n\tsamples=40,\n\tthick,\n\t]\n\t{exp(y-x^2)};\n\t\\end{axis}\n\t\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "html": "

Soit \$k \\in \\mathbb{R}\$ : \$f(x,y) = k \\Rightarrow k>0\$. Pour tout\n\$k>0\$, \$f(x,y) = k \\iff y = x^2 + \\ln(k)\$. Les\nlignes de niveau \$k>0\$ sont des\nparaboles, vides si \$k \\leq 0\$.

\n\n

\n" } }, { "id": "a54cd342-ee3e-4567-b9d0-da2bd10ea88b", "type": "question", "value": { "latex": "$f(x,y) = \\ln(x+2y)$", "html": "

\$f(x,y) = \\ln(x+2y)\$

\n" } }, { "id": "3671f6cc-3feb-4403-b571-e603a08db916", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $k \\in \\mathbb{R}$ : $f(x,y) = k \\iff y = -\\frac{x+e^{k}}{2} $. Les lignes de niveau $k$ sont des droites de coefficient directeur $-\\frac{1}{2}$. \n\n\\begin{center}\n\t\\begin{tikzpicture}\n\t\\begin{axis}[\n\t\n\tenlarge x limits,\n\tview={0}{90},\n\txlabel=$x$, ylabel=$y$,\n\tsmall,\n\taxis equal,\n\taxis x line=center,\n\taxis y line=center,\n\t\n\t]\n\t\\addplot3[\n\tdomain=-5:5,\n\tdomain y=-5:5,\n\tcontour gnuplot={levels={-1,0,1,1.5,2}},\n\tsamples=20,\n\tthick,\n\t]\n\t{ln(x+2*y)};\n\t\\end{axis}\n\t\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "html": "

Soit \$k \\in \\mathbb{R}\$ : \$f(x,y) = k \\iff y = -\\frac{x+e^{k}}{2}\$.\nLes lignes de niveau \$k\$ sont des\ndroites de coefficient directeur \$-\\frac{1}{2}\$.

\n\n

\n" } } ] }, { "uuid": "CPgC", "titre": "Courbes paramétrées et chaînette", "theme": [ "courbes paramétrées" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:04.140Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:04.140Z" }, "contenu": [ { "id": "7d540359-54a3-433f-9188-a6e1f19167ce", "type": "question", "value": { "latex": "Démontrer les propriété suivante :", "html": "

Démontrer les propriété suivante :

\n" } }, { "id": "bc3bd55f-7ba8-458b-aaa7-62151f2a400d", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\ch^2 x- \\sh^2 x = \\frac14 \\big[ (e^x+e^{-x})^2 - (e^x-e^{-x})^2 \\big] = \n\t\t\t\\frac14 \\big[ (e^{2x}+2+e^{-2x}) - (e^{2x}-2+e^{-2x}) \\big] = 1$.", "html": "

\$\\ch^2 x- \\sh^2 x = \\frac14 \\big[\n(e^x+e^{-x})^2 - (e^x-e^{-x})^2 \\big] =\n \\frac14 \\big[ (e^{2x}+2+e^{-2x}) - (e^{2x}-2+e^{-2x}) \\big]\n= 1\$.

\n" } }, { "id": "de7e9f1b-395e-4c38-9d64-a061e797cb61", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\frac{d}{dx}(\\ch x) = \\frac{d}{dx} \\frac{e^x+e^{-x}}{2} = \\frac{e^x-e^{-x}}{2} = \\sh x$.", "html": "

\$\\frac{d}{dx}(\\ch x) = \\frac{d}{dx}\n\\frac{e^x+e^{-x}}{2} = \\frac{e^x-e^{-x}}{2} = \\sh x\$.

\n" } }, { "id": "d0d426f1-1e3e-4146-a8bc-3ad3b8d7678e", "type": "question", "value": { "latex": "Tracer des représentations graphiques de chacune de ces courbes paramétrées et commenter les calculs de $x(t)^2+y(t)^2$ et $x(t)^2 - y(t)^2$.", "html": "

Tracer des représentations graphiques de chacune de ces courbes\nparamétrées et commenter les calculs de \$x(t)^2+y(t)^2\$ et \$x(t)^2 - y(t)^2\$.

\n" } }, { "id": "467b3d76-affe-46e8-ac77-245f218f37c0", "type": "reponse", "value": { "latex": "Si on dessine une courbe paramétrée par $(x(t) = \\cos t,y(t) = \\sin t)$ alors\n \t$x(t)^2+y(t)^2 = \\cos^2 t + \\sin^2 t =1$. Donc il s'agit d'un cercle\n \t(d'où le terme <>). \n \tPar contre si on dessine une courbe paramétrée par $(x(t) = \\ch t, y(t) = \\sh t)$.\n \tAlors $x(t)^2 - y(t)^2 = \\ch^2 t - \\sh^2 t = 1$.\n \tC'est l'équation d'une branche d'hyperbole !", "html": "

Si on dessine une courbe paramétrée par \$(x(t) = \\cos t,y(t) = \\sin t)\$ alors \$x(t)^2+y(t)^2 = \\cos^2 t + \\sin^2 t =1\$.\nDonc il s’agit d’un cercle (d’où le terme <<circulaire>>).\nPar contre si on dessine une courbe paramétrée par \$(x(t) = \\ch t, y(t) = \\sh t)\$. Alors \$x(t)^2 - y(t)^2 = \\ch^2 t - \\sh^2 t = 1\$.\nC’est l’équation d’une branche d’hyperbole !

\n" } }, { "id": "3944a43e-26e1-4fc3-b2df-978edad4a466", "type": "question", "value": { "latex": "En utilisant l'équation cartésienne, écrire sous forme de courbe paramétrée la chaînette décrite ci-dessus.", "html": "

En utilisant l’équation cartésienne, écrire sous forme de courbe\nparamétrée la chaînette décrite ci-dessus.

\n" } }, { "id": "cac68fe7-2095-45e3-ba5d-a2744b10e72b", "type": "reponse", "value": { "latex": "On rappelle l'équation de la chaînette : $y(x) =a \\ch \\frac x a$. On en déduit une écriture paramétrique en posant $x(t)=t$ et $y(t) = a \\ch \\frac{x(t)}{a}$ pour tout $t \\in [-x_0 ; x_0]$.", "html": "

On rappelle l’équation de la chaînette : \$y(x) =a \\ch \\frac x a\$. On en déduit une\nécriture paramétrique en posant \$x(t)=t\$ et \$y(t) = a \\ch \\frac{x(t)}{a}\$ pour tout\n\$t \\in [-x_0 ; x_0]\$.

\n" } }, { "id": "d6cf711d-38e4-4521-93fe-5d3720e173dc", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que la demi longueur de la chaînette $\\ell$ vaut $\\ell=a\\sh\\left(\\frac{x_0}{a}\\right)$.", "html": "

Montrer que la demi longueur de la chaînette \$\\ell\$ vaut \$\\ell=a\\sh\\left(\\frac{x_0}{a}\\right)\$.

\n" } }, { "id": "1d76385e-5143-4469-9c80-a9d0da1cf780", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par définition, la demi longueur vaut\n \t\t\t$$\\ell = \\int_0^{x_0} \\sqrt{1+y'(x)^2} dx.$$\n \t\t\tAinsi :\n \t\t\t$$\\begin{array}{rcl}\n \t\t\t\\ell \n \t\t\t&=& \\int_0^{x_0} \\sqrt{1+\\sh^2 \\left( \\tfrac x a \\right)} dx \\quad \\text{ car } \\ch' \\tfrac x a = \\frac 1 a \\sh \\tfrac x a \\\\\n \t\t\t&=& \\int_0^{x_0} \\sqrt{\\ch^2 \\left(\\tfrac x a\\right)} dx \\quad \\text{ car } 1+\\sh^2 u = \\ch^2 u \\\\\n \t\t\t&=& \\int_0^{x_0} \\ch \\tfrac x a dx = \\left[ a \\sh\\left(\\tfrac x a\\right) \\right]_0^{x_0} \\\\\n \t\t\t&=& a \\sh \\left(\\tfrac{x_0}{a}\\right). \\\\\n \t\t\t\\end{array}$$", "html": "

Par définition, la demi longueur vaut \\[\\ell = \\int_0^{x_0} \\sqrt{1+y'(x)^2}\ndx.\\] Ainsi : \\[\\begin{array}{rcl}\n \\ell\n &=& \\int_0^{x_0} \\sqrt{1+\\sh^2 \\left( \\tfrac x a\n\\right)} dx \\quad \\text{ car } \\ch' \\tfrac x a = \\frac 1 a \\sh\n\\tfrac x a \\\\\n &=& \\int_0^{x_0} \\sqrt{\\ch^2 \\left(\\tfrac x\na\\right)} dx \\quad \\text{ car } 1+\\sh^2 u = \\ch^2 u \\\\\n &=& \\int_0^{x_0} \\ch \\tfrac x a dx = \\left[ a\n\\sh\\left(\\tfrac x a\\right) \\right]_0^{x_0} \\\\\n &=& a \\sh \\left(\\tfrac{x_0}{a}\\right). \\\\\n \\end{array}\\]

\n" } }, { "id": "1a2e1b43-bb0e-4f84-b23f-803f0bda8768", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\'Etudions la restriction de la fonction $\\ch : [0,+\\infty[ \\to [1,+\\infty[$.\n \t\t\t\\begin{itemize}\n \t\t\t\t\\item Comme $\\ch' x = \\sh x \\ge 0$, pour $x\\ge 0$, alors la restriction de la fonction $\\ch$ est croissante.\n \t\t\t\tElle est même strictement croissante (la dérivée ne s'annule qu'en $0$).\n \t\t\t\t\n \t\t\t\t\\item Comme $\\ch 0 =1$, que $\\ch x \\to +\\infty$ lorsque $x \\to +\\infty$,\n \t\t\t\talors par continuité et la stricte croissance, la restriction $\\ch : [0,+\\infty[ \\to [1,+\\infty[$\n \t\t\t\test une bijection.\n \t\t\t\\end{itemize}\n \t\t\tPar définition, la bijection réciproque de cette restriction est $\\Argch x : [1,+\\infty[ \\to [0,+\\infty[$\n \t\t\tet vérifie :\n \t\t\t$$\\Argch\\big(\\ch x\\big) = x \\qquad \\text{ pour tout } x \\in [0,+\\infty[$$\n \t\t\t$$\\ch\\big(\\Argch x\\big) = x \\qquad \\text{ pour tout } x \\in [1,+\\infty[.$$", "html": "

Étudions la restriction de la fonction \$\\ch : [0,+\\infty[ \\to [1,+\\infty[\$.

Comme \$\\ch' x = \\sh x \\ge\n0\$, pour \$x\\ge 0\$, alors la\nrestriction de la fonction \$\\ch\$ est\ncroissante. Elle est même strictement croissante (la dérivée ne s’annule\nqu’en \$0\$).
Comme \$\\ch 0 =1\$, que \$\\ch x \\to +\\infty\$ lorsque \$x \\to +\\infty\$, alors par continuité et la\nstricte croissance, la restriction \$\\ch :\n[0,+\\infty[ \\to [1,+\\infty[\$ est une bijection.

Par définition, la bijection réciproque de cette restriction est\n\$\\Argch x : [1,+\\infty[ \\to\n[0,+\\infty[\$ et vérifie : \\[\\Argch\\big(\\ch x\\big) = x \\qquad \\text{ pour tout\n} x \\in [0,+\\infty[\\] \\[\\ch\\big(\\Argch\nx\\big) = x \\qquad \\text{ pour tout } x \\in [1,+\\infty[.\\]

\n" } }, { "id": "2c360f00-8018-4be8-aff7-80c35324dfd9", "type": "reponse", "value": { "latex": "Comme la fonction $x \\mapsto \\ch'x$ ne s'annule pas sur $]0,+\\infty[$\n \t\t\talors la fonction $\\Argch$ est dérivable sur $]1,+\\infty[$.\n \t\t\tOn calcule la dérivée par dérivation de l'égalité $\\ch(\\Argch x) = x$ :\n \t\t\t$$\\Argch' x \\cdot \\sh(\\Argch x) = 1$$\n \t\t\tpuis on utilise l'identité $\\ch^2 u - \\sh^2 u = 1$ avec $u = \\Argch x$ :\n \t\t\t$$\\Argch' x = \\frac{1}{\\sh(\\Argch x)} = \\frac{1}{\\sqrt{\\ch^2(\\Argch x)-1}}\n \t\t\t= \\frac{1}{\\sqrt{x^2-1}}.$$", "html": "

Comme la fonction \$x \\mapsto\n\\ch'x\$ ne s’annule pas sur \$]0,+\\infty[\$ alors la fonction \$\\Argch\$ est dérivable sur \$]1,+\\infty[\$. On calcule la dérivée par\ndérivation de l’égalité \$\\ch(\\Argch x) =\nx\$ : \\[\\Argch' x \\cdot \\sh(\\Argch\nx) = 1\\] puis on utilise l’identité \$\\ch^2 u - \\sh^2 u = 1\$ avec \$u = \\Argch x\$ : \\[\\Argch' x = \\frac{1}{\\sh(\\Argch x)} =\n\\frac{1}{\\sqrt{\\ch^2(\\Argch x)-1}}\n = \\frac{1}{\\sqrt{x^2-1}}.\\]

\n" } }, { "id": "e7e875b5-075c-45c3-961e-f75f004334a4", "type": "reponse", "value": { "latex": "Notons $f(x)=\\ln\\big(x+ \\sqrt{x^2-1}\\big)$. \n \t\t\t$$f'(x) = \\frac{1+\\frac{x}{\\sqrt{x^2-1}}}{x+ \\sqrt{x^2-1}} = \\frac{1}{\\sqrt{x^2-1}} = \\Argch' x.$$ \n \t\t\tComme de plus $f(1)=\\ln(1)=0$ et $\\Argch(1) = 0$ (car $\\ch(0) = 1$), on en déduit que pour tout\n \t\t\t$x\\in \\Rr$, $f(x) = \\Argch(x)$.", "html": "

Notons \$f(x)=\\ln\\big(x+\n\\sqrt{x^2-1}\\big)\$. \\[f'(x) =\n\\frac{1+\\frac{x}{\\sqrt{x^2-1}}}{x+ \\sqrt{x^2-1}} =\n\\frac{1}{\\sqrt{x^2-1}} = \\Argch' x.\\] Comme de plus \$f(1)=\\ln(1)=0\$ et \$\\Argch(1) = 0\$ (car \$\\ch(0) = 1\$), on en déduit que pour tout\n\$x\\in \\Rr\$, \$f(x) = \\Argch(x)\$.

\n" } }, { "id": "5eefb6cf-5b80-4b4c-b44b-f1f6ab3663d2", "type": "reponse", "value": { "latex": "Notons $f(x)=\\ln\\big(x+ \\sqrt{x^2+1}\\big)$. \n \t\t\t$$f'(x) = \\frac{1+\\frac{x}{\\sqrt{x^2+1}}}{x+ \\sqrt{x^2+1}} = \\frac{1}{\\sqrt{x^2+1}} = \\Argsh' x.$$ \n \t\t\tComme de plus $f(0)=\\ln(1)=0$ et $\\Argsh 0 = 0$ (car $\\sh 0 = 0$), on en déduit que pour tout\n \t\t\t$x\\in \\Rr$, $f(x) = \\Argsh x$.", "html": "

Notons \$f(x)=\\ln\\big(x+\n\\sqrt{x^2+1}\\big)\$. \\[f'(x) =\n\\frac{1+\\frac{x}{\\sqrt{x^2+1}}}{x+ \\sqrt{x^2+1}} =\n\\frac{1}{\\sqrt{x^2+1}} = \\Argsh' x.\\] Comme de plus \$f(0)=\\ln(1)=0\$ et \$\\Argsh 0 = 0\$ (car \$\\sh 0 = 0\$), on en déduit que pour tout\n\$x\\in \\Rr\$, \$f(x) = \\Argsh x\$.

\n" } }, { "id": "5f7a5aaa-1f93-459b-9804-5063ecc6909c", "type": "question", "value": { "latex": "En utilisant les propriétés des fonctions hyperboliques et l'équation cartésienne d'une chaînette, démontrer qu'une équation paramétrique de la chaînette est :\n \t$$\\forall t>0 \\colon \\left\\{\n \t\\begin{array}{rcl}\n \tx(t) &=& a \\ln t \\\\\n \ty(t) &=& \\frac a 2 \\left(t+\\frac 1 t\\right)\n \t\\end{array}\n \t\\right.\n \t$$", "html": "

En utilisant les propriétés des fonctions hyperboliques et l’équation\ncartésienne d’une chaînette, démontrer qu’une équation paramétrique de\nla chaînette est : \\[\\forall t>0 \\colon\n\\left\\{\n \\begin{array}{rcl}\n x(t) &=& a \\ln t \\\\\n y(t) &=& \\frac a 2 \\left(t+\\frac 1 t\\right)\n \\end{array}\n \\right.\\]

\n" } }, { "id": "219c17fb-d8e8-439f-ba1e-446e556336ff", "type": "reponse", "value": { "latex": "Nous connaissons l'équation cartésienne $y=a\\ch \\left(\\frac x a\\right)$,\n \tqui est équivalente à $\\Argch\\left(\\frac y a\\right) = \\frac x a$.\n \tUtilisons la forme logarithmique de la fonction $\\Argch$: \n \t$\\Argch u = \\ln \\left( u + \\sqrt{u^2-1} \\right)$ (pour $u \\ge 1$).\n \t\n \tNous obtenons :\n \t$$\\ln \\left( \\frac y a + \\sqrt{\\left(\\frac y a\\right)^2-1} \\right) = \\frac x a.$$\n \t\n \tNous cherchons maintenant une paramétrisation $(x(t),y(t))$ de la chaînette, \n \tposons $x(t) = a \\ln(t)$ (ce qui est toujours possible car $\\ln$ \n \test une bijection de $]0,+\\infty[$ dans $\\Rr$).\n \tAlors l'équation précédente conduit (après simplification des $\\ln$) à :\n \t$$\\frac{y(t)}{a} + \\sqrt{\\left(\\frac{y(t)}{a}\\right)^2-1} = t,$$\n \tou encore \n \t$$\\sqrt{\\left(\\frac{y(t)}{a}\\right)^2-1} = t - \\frac{y(t)}{a}$$\n \tce qui implique en élevant au carré :\n \t$${\\left(\\frac{y(t)}{a}\\right)^2-1} = t^2 + \\left(\\frac{y(t)}{a}\\right)^2- 2t\\frac{y(t)}{a}$$\n \td'où $\\frac{y(t)}{a} = \\frac{t^2+1}{2t}$,\n \tet donc $y(t) = \\frac a2 \\left(t+\\frac 1 t\\right)$.", "html": "

Nous connaissons l’équation cartésienne \$y=a\\ch \\left(\\frac x a\\right)\$, qui est\néquivalente à \$\\Argch\\left(\\frac y a\\right) =\n\\frac x a\$. Utilisons la forme logarithmique de la fonction\n\$\\Argch\$: \$\\Argch u = \\ln \\left( u + \\sqrt{u^2-1}\n\\right)\$ (pour \$u \\ge\n1\$).

Nous obtenons : \\[\\ln \\left( \\frac y a +\n\\sqrt{\\left(\\frac y a\\right)^2-1} \\right) = \\frac x a.\\]

Nous cherchons maintenant une paramétrisation \$(x(t),y(t))\$ de la chaînette, posons \$x(t) = a \\ln(t)\$ (ce qui est toujours\npossible car \$\\ln\$ est une bijection\nde \$]0,+\\infty[\$ dans \$\\Rr\$). Alors l’équation précédente conduit\n(après simplification des \$\\ln\$) à :\n\\[\\frac{y(t)}{a} +\n\\sqrt{\\left(\\frac{y(t)}{a}\\right)^2-1} = t,\\] ou encore \\[\\sqrt{\\left(\\frac{y(t)}{a}\\right)^2-1} = t -\n\\frac{y(t)}{a}\\] ce qui implique en élevant au carré : \\[{\\left(\\frac{y(t)}{a}\\right)^2-1} = t^2 +\n\\left(\\frac{y(t)}{a}\\right)^2- 2t\\frac{y(t)}{a}\\] d’où \$\\frac{y(t)}{a} = \\frac{t^2+1}{2t}\$, et\ndonc \$y(t) = \\frac a2 \\left(t+\\frac 1\nt\\right)\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "UHns", "titre": "Critère de Cauchy", "theme": [ "séries" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:22.229Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:22.229Z" }, "contenu": [ { "id": "6ce9113e-6a7a-49bf-b7f7-5b6f4561f8ca", "type": "question", "value": { "latex": "En utilisant le critère de Cauchy, déterminer la nature de la série dont le terme général est défini par:\n\t$\\displaystyle u_n=\\left(\\frac{n-1}{2n+1}\\right)^n $.", "html": "

En utilisant le critère de Cauchy, déterminer la nature de la série\ndont le terme général est défini par: \$\\displaystyle\nu_n=\\left(\\frac{n-1}{2n+1}\\right)^n\$.

\n" } }, { "id": "513e3fa8-d6b6-458f-83e5-0e570d0690b7", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $u_n \\geq 0$ pour tout $n \\in \\N^*$ et \n\t$$\\begin{align*} \n\t\t\\left(u_n\\right)^{\\frac{1}{n}} &= \\left(\\frac{n-1}{2n+1}\\right)^{n\\times \\frac{1}{n}} \\\\\n\t\t&= \\frac{1-\\frac{1}{n}}{2+\\frac{1}{n}} \\\\\n\t\t&\\underset{+\\infty}\\sim \\frac{1}{2} < 1\n\t\\end{align*}$$\n\tdonc par le critère de Cauchy, la série $\\sum u_n$ converge.", "html": "

On a \$u_n \\geq 0\$ pour tout \$n \\in \\N^*\$ et \\[\\begin{align*}\n \\left(u_n\\right)^{\\frac{1}{n}} &=\n\\left(\\frac{n-1}{2n+1}\\right)^{n\\times \\frac{1}{n}} \\\\\n &= \\frac{1-\\frac{1}{n}}{2+\\frac{1}{n}} \\\\\n &\\underset{+\\infty}\\sim \\frac{1}{2} < 1\n \\end{align*}\\] donc par le critère de Cauchy, la série \$\\sum u_n\$ converge.

\n" } } ] }, { "uuid": "rVaz", "titre": "Critère de D'Alembert", "theme": [ "séries" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:49.259Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:49.259Z" }, "contenu": [ { "id": "9b80b2f5-49a5-4768-adb7-c8ec8a0fffc3", "type": "description", "value": { "latex": "On définit les deux suites suivantes pour tout $n$ entier naturel non nul :\n$$u_n=\\frac{(n+1)(n+2)...(2n)}{(2n)^n} \\quad \\text{ et } \\quad v_n=\\frac{1}{\\sqrt{n(n+1)}}.$$\n\tOn s'intéresse à la nature de la série de terme général $u_n$ et de la série de terme général $v_n$.", "html": "

On définit les deux suites suivantes pour tout \$n\$ entier naturel non nul : \\[u_n=\\frac{(n+1)(n+2)...(2n)}{(2n)^n} \\quad \\text{\net } \\quad v_n=\\frac{1}{\\sqrt{n(n+1)}}.\\] On s’intéresse à la\nnature de la série de terme général \$u_n\$ et de la série de terme général \$v_n\$.

\n" } }, { "id": "0d4fcfc0-22ec-48dd-a1f1-a2ede681db64", "type": "question", "value": { "latex": "Appliquer le critère de d'Alembert à ces deux séries. Que peut-on conclure sur la nature des séries de terme général $u_n$ et $v_n$ ?", "html": "

Appliquer le critère de d’Alembert à ces deux séries. Que peut-on\nconclure sur la nature des séries de terme général \$u_n\$ et \$v_n\$ ?

\n" } }, { "id": "e670f924-61df-4beb-b2a1-c85a882b8893", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $u_n \\geq 0$ pour tout $n \\in \\N^*$ et \n\t\t$$\\begin{align*} \n\t\t\t\\frac{u_{n+1}}{u_n} &= \\frac{(n+2)(n+3)...(2n+2)}{(2n+2)^{n+1}} \\times \\frac{(2n)^n}{(n+1)(n+2)...(2n)} \\\\\n\t\t\t&= \\frac{2n+1}{n+1} \\times \\left(\\frac{2n}{2n+2}\\right)^n \\\\\n\t\t\t&= \\frac{2n+1}{n+1} \\times \\left(1-\\frac{1}{n+1}\\right)^n \\\\\n\t\t\t&\\underset{+\\infty}\\sim \\frac{2n+1}{n+1} \\times \\frac{1}{e} \\underset{+\\infty}\\sim \\frac{2}{e} < 1\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tdonc par le critère de d'Alembert, la série $\\sum u_n$ converge.\t\n\n\t\tPour la deuxième série, on a $v_n \\geq 0$ pour tout $n \\in \\N^*$ et $\\frac{v_{n+1}}{v_n} = \\frac{\\sqrt{n(n+1)}}{\\sqrt{(n+1)(n+2)}} = \\frac{\\sqrt{n}}{\\sqrt{n+2}} = \\frac{\\sqrt{n}}{\\sqrt{n}(\\sqrt{1+\\frac{2}{n}})} \\underset{+\\infty}\\sim \\frac{1}{\\sqrt{1+\\frac{2}{n}}} \\underset{+\\infty}\\sim 1$ donc par le critère de d'Alembert, la série $\\sum v_n$ est indéterminée.", "html": "

On a \$u_n \\geq 0\$ pour tout \$n \\in \\N^*\$ et \\[\\begin{align*}\n \\frac{u_{n+1}}{u_n} &=\n\\frac{(n+2)(n+3)...(2n+2)}{(2n+2)^{n+1}} \\times\n\\frac{(2n)^n}{(n+1)(n+2)...(2n)} \\\\\n &= \\frac{2n+1}{n+1} \\times\n\\left(\\frac{2n}{2n+2}\\right)^n \\\\\n &= \\frac{2n+1}{n+1} \\times\n\\left(1-\\frac{1}{n+1}\\right)^n \\\\\n &\\underset{+\\infty}\\sim \\frac{2n+1}{n+1} \\times\n\\frac{1}{e} \\underset{+\\infty}\\sim \\frac{2}{e} < 1\n \\end{align*}\\] donc par le critère de d’Alembert, la\nsérie \$\\sum u_n\$ converge.

Pour la deuxième série, on a \$v_n \\geq\n0\$ pour tout \$n \\in \\N^*\$ et\n\$\\frac{v_{n+1}}{v_n} =\n\\frac{\\sqrt{n(n+1)}}{\\sqrt{(n+1)(n+2)}} = \\frac{\\sqrt{n}}{\\sqrt{n+2}} =\n\\frac{\\sqrt{n}}{\\sqrt{n}(\\sqrt{1+\\frac{2}{n}})} \\underset{+\\infty}\\sim\n\\frac{1}{\\sqrt{1+\\frac{2}{n}}} \\underset{+\\infty}\\sim 1\$ donc\npar le critère de d’Alembert, la série \$\\sum\nv_n\$ est indéterminée.

\n" } }, { "id": "d8d1430d-e3d1-4fe5-bfe8-e9dc2fbddc1e", "type": "question", "value": { "latex": "En comparant la série de terme général $v_n$ à une série usuelle, déterminer sa nature.", "html": "

En comparant la série de terme général \$v_n\$ à une série usuelle, déterminer sa\nnature.

\n" } }, { "id": "4d16c4ee-79ce-472e-b3b2-1ca6e5b752d6", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $v_n \\geq 0$ pour tout $n \\in \\N^*$ et $v_n \\underset{+\\infty}\\sim \\frac{1}{n}$ donc par comparaison à une série de Riemann divergente, la série $\\sum v_n$ diverge.", "html": "

On a \$v_n \\geq 0\$ pour tout \$n \\in \\N^*\$ et \$v_n \\underset{+\\infty}\\sim \\frac{1}{n}\$\ndonc par comparaison à une série de Riemann divergente, la série \$\\sum v_n\$ diverge.

\n" } } ] }, { "uuid": "LeO2", "titre": "Dé truqué", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:14.462Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:14.462Z" }, "contenu": [ { "id": "6b208f89-a515-4ffe-89d1-0b5b18d73eaa", "type": "description", "value": { "latex": "On considère un dé truqué cubique dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$. On suppose que le dé est truqué de sorte que la probabilité d'obtenir une face est proportionnelle au numéro inscrit sur cette face.\n\nSoit $X$ la variable aléatoire donnant le numéro obtenu à l'issue d'un lancer.", "html": "

On considère un dé truqué cubique dont les faces sont numérotées de\n\$1\$ à \$6\$. On suppose que le dé est truqué de\nsorte que la probabilité d’obtenir une face est proportionnelle au\nnuméro inscrit sur cette face.

Soit \$X\$ la variable aléatoire\ndonnant le numéro obtenu à l’issue d’un lancer.

\n" } }, { "id": "ecd0be58-cd30-485f-92af-7961cc6c94de", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la loi de $X$.", "html": "

Déterminer la loi de \$X\$.

\n" } }, { "id": "6ba415d6-07e7-4059-9dd4-d0085f4ea30a", "type": "reponse", "value": { "latex": "D'après les informations, pour tout $k \\in \\{1,2,3,4,5,6\\}$, on a $\\prob(X=k)=k\\prob(X=1)$. Or, par définition d'une loi de probabilité, on a $\\sum_{k=1}^6 \\prob(X=k)=1$. Ainsi, on a :\n$$\\begin{align*}\n 1 &= \\sum_{k=1}^6 \\prob(X=k) \\\\\n &= \\sum_{k=1}^6 k\\prob(X=1) \\\\\n &= \\prob(X=1) \\sum_{k=1}^6 k \\\\\n &= \\prob(X=1) \\times \\frac{6\\times 7}{2} \\\\\n &= 21 \\prob(X=1).\n\\end{align*}$$\nOn en déduit que $\\prob(X=1)=\\frac{1}{21}$ et donc que pour tout $k \\in \\{1,2,3,4,5,6\\}$, on a $\\prob(X=k)=\\frac{k}{21}$.", "html": "

D’après les informations, pour tout \$k \\in\n\\{1,2,3,4,5,6\\}\$, on a \$\\prob(X=k)=k\\prob(X=1)\$. Or, par\ndéfinition d’une loi de probabilité, on a \$\\sum_{k=1}^6 \\prob(X=k)=1\$. Ainsi, on a :\n\\[\\begin{align*}\n 1 &= \\sum_{k=1}^6 \\prob(X=k) \\\\\n &= \\sum_{k=1}^6 k\\prob(X=1) \\\\\n &= \\prob(X=1) \\sum_{k=1}^6 k \\\\\n &= \\prob(X=1) \\times \\frac{6\\times 7}{2} \\\\\n &= 21 \\prob(X=1).\n\\end{align*}\\] On en déduit que \$\\prob(X=1)=\\frac{1}{21}\$ et donc que pour\ntout \$k \\in \\{1,2,3,4,5,6\\}\$, on a\n\$\\prob(X=k)=\\frac{k}{21}\$.

\n" } }, { "id": "490d0c56-d93a-4cc6-95d2-31316a768226", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer l'espérance de $X$.", "html": "

Calculer l’espérance de \$X\$.

\n" } }, { "id": "c52d31be-c5e8-425d-8a48-a4588f5343df", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par définition de l'espérance, on a : \n $$\\begin{align*}\n \\E(X) &= \\sum_{k=1}^6 k\\prob(X=k) \\\\\n &= \\sum_{k=1}^6 k \\times \\frac{k}{21} \\\\\n &= \\frac{1}{21} \\sum_{k=1}^6 k^2 \\\\\n &= \\frac{7 \\times 13}{21} \\\\\n &= \\frac{13}{3}.\n \\end{align*}$$", "html": "

Par définition de l’espérance, on a : \\[\\begin{align*}\n \\E(X) &= \\sum_{k=1}^6 k\\prob(X=k) \\\\\n &= \\sum_{k=1}^6 k \\times \\frac{k}{21} \\\\\n &= \\frac{1}{21} \\sum_{k=1}^6 k^2 \\\\\n &= \\frac{7 \\times 13}{21} \\\\\n &= \\frac{13}{3}.\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "d3b8605c-803e-48a6-b9b6-88bfb2be38b1", "type": "question", "value": { "latex": "On pose $Y=\\frac{1}{X}$. Déterminer la loi de $Y$ et calculer son espérance.", "html": "

On pose \$Y=\\frac{1}{X}\$.\nDéterminer la loi de \$Y\$ et calculer\nson espérance.

\n" } }, { "id": "3a2e7fef-8c0f-4e1d-a7c8-1a2116e8d935", "type": "reponse", "value": { "latex": "Les valeurs prises par $Y$ sont les inverses des valeurs prises par $X$. Ainsi, on a pour tout $k \\in \\{1,2,3,4,5,6\\}$, $\\prob\\left( Y=\\frac{1}{k} \\right) = \\prob(X=k)$.\n\n Pour calculer l'espérance, on utilise la définition :\n\n $$\\begin{align*}\n \\E(Y) &= \\sum_{k=1}^6 \\frac{1}{k} \\prob\\left(Y=\\frac{1}{k}\\right) \\\\\n &= \\sum_{k=1}^6 \\frac{1}{k} \\times \\frac{k}{21} \\\\\n &= \\frac{1}{21} \\sum_{k=1}^6 1 \\\\\n &= \\frac{6}{21} \\\\\n &= \\frac{2}{7}.\n \\end{align*}$$", "html": "

Les valeurs prises par \$Y\$ sont\nles inverses des valeurs prises par \$X\$. Ainsi, on a pour tout \$k \\in \\{1,2,3,4,5,6\\}\$, \$\\prob\\left( Y=\\frac{1}{k} \\right) =\n\\prob(X=k)\$.

Pour calculer l’espérance, on utilise la définition :

\\[\\begin{align*}\n \\E(Y) &= \\sum_{k=1}^6 \\frac{1}{k}\n\\prob\\left(Y=\\frac{1}{k}\\right) \\\\\n &= \\sum_{k=1}^6 \\frac{1}{k} \\times \\frac{k}{21} \\\\\n &= \\frac{1}{21} \\sum_{k=1}^6 1 \\\\\n &= \\frac{6}{21} \\\\\n &= \\frac{2}{7}.\n \\end{align*}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "a40A", "titre": "Décomposition d'une fraction rationnelle", "theme": [ "polynomes" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:27.468Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:27.468Z" }, "contenu": [] }, { "uuid": "pGze", "titre": "Décomposition en éléments simples", "theme": [ "fractions rationnelles" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:46.137Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:46.137Z" }, "contenu": [ { "id": "01e8d3e0-44aa-44c8-b4f8-f0fa50fdf87d", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer la division euclidienne de $X^5+1$ par $X^4-2 X^3+X^2$.", "html": "

Calculer la division euclidienne de \$X^5+1\$ par \$X^4-2 X^3+X^2\$.

\n" } }, { "id": "b5295fac-bef1-41e7-a7b7-a1a342c5c861", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\nX^5+1=(X+2) \\cdot\\left(X^4-2 X^3+X^2\\right)+3 X^3-2 X^2+1\n$$", "html": "

\\[X^5+1=(X+2) \\cdot\\left(X^4-2\nX^3+X^2\\right)+3 X^3-2 X^2+1\\]

\n" } }, { "id": "842a4b77-6b40-4bfc-a761-7ce83b9dc784", "type": "question", "value": { "latex": "Factoriser dans $\\mathbb{R}[X]$ le polynôme $X^4-2 X^3+X^2$.", "html": "

Factoriser dans \$\\mathbb{R}[X]\$ le\npolynôme \$X^4-2 X^3+X^2\$.

\n" } }, { "id": "606504a1-8bd8-4f6c-ae4e-ce0ba68aecc9", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\nX^4-2 X^3+X^2=X^2 \\cdot\\left(X^2-2 X+1\\right)=X^2 \\cdot(X-1)^2\n$$", "html": "

\\[X^4-2 X^3+X^2=X^2 \\cdot\\left(X^2-2\nX+1\\right)=X^2 \\cdot(X-1)^2\\]

\n" } }, { "id": "e6015b44-76d5-40c3-b90d-96cc3d787c0a", "type": "question", "value": { "latex": "On note $F(X)=\\frac{X^5+1}{X^4-2 X^3+X^2}$. Donner la forme de la décomposition en éléments simples de $F(X)$ dans $\\mathbb{R}(X)$.", "html": "

On note \$F(X)=\\frac{X^5+1}{X^4-2\nX^3+X^2}\$. Donner la forme de la décomposition en éléments\nsimples de \$F(X)\$ dans \$\\mathbb{R}(X)\$.

\n" } }, { "id": "ca960c45-ed11-4de8-9480-f3dbcb3a9c13", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\nF(X)=\\frac{X^5+1}{X^4-2 X^3+X^2}=\\frac{X^5+1}{X^2 \\cdot(X-1)^2}=X+2+\\frac{A}{X}+\\frac{B}{X^2}+\\frac{C}{(X-1)}+\\frac{D}{(X-1)^2}\n$$", "html": "

\\[F(X)=\\frac{X^5+1}{X^4-2\nX^3+X^2}=\\frac{X^5+1}{X^2\n\\cdot(X-1)^2}=X+2+\\frac{A}{X}+\\frac{B}{X^2}+\\frac{C}{(X-1)}+\\frac{D}{(X-1)^2}\\]

\n" } }, { "id": "c20ca3e8-c14b-4e5a-91d5-3cc03d969c86", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\lim\\limits_{X \\rightarrow 0}\\left(X^2 \\cdot F(X)\\right)$", "html": "

Calculer \$\\lim\\limits_{X \\rightarrow\n0}\\left(X^2 \\cdot F(X)\\right)\$

\n" } }, { "id": "1d4a9ca1-0301-4e35-bc42-59b48a628279", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\n\\begin{aligned}\n\t\\lim _{X \\rightarrow 0}\\left(X^2 \\cdot F(X)\\right) & =\\lim _{X \\rightarrow 0} \\frac{X^2 \\cdot\\left(X^5+1\\right)}{X^2 \\cdot(X-1)^2}=1 \\\\\n\t& =\\lim _{X \\rightarrow 0} X^2 \\cdot\\left[X+2+\\frac{A}{X}+\\frac{B}{X^2}+\\frac{C}{(X-1)}+\\frac{D}{(X-1)^2}\\right]=B\n\\end{aligned}\n$$", "html": "

\\[\\begin{aligned}\n \\lim _{X \\rightarrow 0}\\left(X^2 \\cdot F(X)\\right) & =\\lim _{X\n\\rightarrow 0} \\frac{X^2 \\cdot\\left(X^5+1\\right)}{X^2 \\cdot(X-1)^2}=1 \\\\\n & =\\lim _{X \\rightarrow 0} X^2\n\\cdot\\left[X+2+\\frac{A}{X}+\\frac{B}{X^2}+\\frac{C}{(X-1)}+\\frac{D}{(X-1)^2}\\right]=B\n\\end{aligned}\\]

\n" } }, { "id": "eb346fca-dbe7-4b78-8c48-9daeafc22d38", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\lim\\limits_{X \\rightarrow 1}\\left((X-1)^2 \\cdot F(X)\\right)$.", "html": "

Calculer \$\\lim\\limits_{X \\rightarrow\n1}\\left((X-1)^2 \\cdot F(X)\\right)\$.

\n" } }, { "id": "11a6b96d-1036-4f51-9510-ed0dc3361a12", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\n\\begin{aligned}\n\t\\lim _{X \\rightarrow 1}\\left((X-1)^2 \\cdot F(X)\\right) & =\\lim _{X \\rightarrow 1} \\frac{(X A)^2 \\cdot\\left(X^5+1\\right)}{X^2 \\cdot(X-1)^2}=2 \\\\\n\t& =\\lim _{X \\rightarrow 1}(X-1)^2 \\cdot\\left[X+2+\\frac{A}{X}+\\frac{B}{X^2}+\\frac{C}{(X-1)}+\\frac{D}{(X-1)^2}\\right]=D\n\\end{aligned}\n$$", "html": "

\\[\\begin{aligned}\n \\lim _{X \\rightarrow 1}\\left((X-1)^2 \\cdot F(X)\\right) & =\\lim\n_{X \\rightarrow 1} \\frac{(X A)^2 \\cdot\\left(X^5+1\\right)}{X^2\n\\cdot(X-1)^2}=2 \\\\\n & =\\lim _{X \\rightarrow 1}(X-1)^2\n\\cdot\\left[X+2+\\frac{A}{X}+\\frac{B}{X^2}+\\frac{C}{(X-1)}+\\frac{D}{(X-1)^2}\\right]=D\n\\end{aligned}\\]

\n" } }, { "id": "09a169b1-3059-45eb-8c4a-951cc9f20d2c", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $F(-1)$ et $F(2)$ de deux façons différentes.", "html": "

Calculer \$F(-1)\$ et \$F(2)\$ de deux façons différentes.

\n" } }, { "id": "1743ad7b-e44b-4fc3-95d5-b3e7d7341205", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\n\\begin{aligned}\n\t& F(-1)=\\frac{(-1)^5+1}{(-1)^2 \\cdot(-1-1)^2}=0 \\\\\n\t&=-1+2+\\frac{A}{-1}+\\frac{1}{(-1)^2}+\\frac{C}{(-1-1)}+\\frac{2}{(-1-1)^2}=2-A-\\frac{C}{2}+\\frac{1}{2} \\\\\n\t& \\Rightarrow 2 A+C=5 \\\\\n\t& F(2)=\\frac{(2)^5+1}{(2)^2 \\cdot(2-1)^2}=\\frac{33}{4} \\\\\n\t&=2+2+\\frac{A}{2}+\\frac{1}{(2)^2}+\\frac{C}{(2-1)}+\\frac{2}{(2-1)^2}=4+\\frac{A}{2}+\\frac{1}{4}+C+2 \\\\\n\t& \\Rightarrow A+2 C=4 \\\\\n\t&\\left\\{\\begin{array} { l } \n\t\t{ 2 A + C = 5 } \\\\\n\t\t{ A + 2 C = 4 }\n\t\\end{array} \\Leftrightarrow \\left\\{\\begin{array}{l}\n\t\tA=2 \\\\\n\t\tC=1\n\t\\end{array}\\right.\\right.\n\\end{aligned}\n$$", "html": "

\\[\\begin{aligned}\n & F(-1)=\\frac{(-1)^5+1}{(-1)^2 \\cdot(-1-1)^2}=0 \\\\\n &=-1+2+\\frac{A}{-1}+\\frac{1}{(-1)^2}+\\frac{C}{(-1-1)}+\\frac{2}{(-1-1)^2}=2-A-\\frac{C}{2}+\\frac{1}{2}\n\\\\\n & \\Rightarrow 2 A+C=5 \\\\\n & F(2)=\\frac{(2)^5+1}{(2)^2 \\cdot(2-1)^2}=\\frac{33}{4} \\\\\n &=2+2+\\frac{A}{2}+\\frac{1}{(2)^2}+\\frac{C}{(2-1)}+\\frac{2}{(2-1)^2}=4+\\frac{A}{2}+\\frac{1}{4}+C+2\n\\\\\n & \\Rightarrow A+2 C=4 \\\\\n &\\left\\{\\begin{array} { l }\n { 2 A + C = 5 } \\\\\n { A + 2 C = 4 }\n \\end{array} \\Leftrightarrow \\left\\{\\begin{array}{l}\n A=2 \\\\\n C=1\n \\end{array}\\right.\\right.\n\\end{aligned}\\]

\n" } }, { "id": "3f98443f-e593-4eb2-96e1-e1a65470ae4d", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire la décomposition en éléments simples de $F(X)$ dans $\\mathbb{R}(X)$.", "html": "

En déduire la décomposition en éléments simples de \$F(X)\$ dans \$\\mathbb{R}(X)\$.

\n" } }, { "id": "dc7c90d1-129e-4412-8335-27b89cf836f7", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\nF(X)=\\frac{X^5+1}{X^4-2 X^3+X^2}=\\frac{X^5+1}{X^2 \\cdot(X-1)^2}=X+2+\\frac{2}{X}+\\frac{1}{X^2}+\\frac{1}{(X-1)}+\\frac{2}{(X-1)^2} .\n$$", "html": "

\\[F(X)=\\frac{X^5+1}{X^4-2\nX^3+X^2}=\\frac{X^5+1}{X^2\n\\cdot(X-1)^2}=X+2+\\frac{2}{X}+\\frac{1}{X^2}+\\frac{1}{(X-1)}+\\frac{2}{(X-1)^2}\n.\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "z5Rl", "titre": "Décomposition en éléments simples", "theme": [ "fractions rationnelles" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:58.329Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:58.329Z" }, "contenu": [ { "id": "4b9a749d-5219-40b4-ae41-5835713a8523", "type": "question", "value": { "latex": "Vérifier que le polynôme $B(X)=X^2-X+1$ est irréductible sur $\\mathbb{R}[X]$. Effectuer la division euclidienne du polynôme $A(X)=X^3+2 X-1$ par le polynôme $B(X)$, et en déduire les coefficients $a, b, c$ et $d$ de la décomposition en éléments simples de :\n$$\nF(X)=\\frac{A(X)}{(B(X))^2}=\\frac{X^3+2 X-1}{\\left(X^2-X+1\\right)^2}=\\frac{a \\cdot X+b}{\\left(X^2-X+1\\right)^2}+\\frac{c X+d}{X^2-X+1}\n$$", "html": "

Vérifier que le polynôme \$B(X)=X^2-X+1\$ est irréductible sur \$\\mathbb{R}[X]\$. Effectuer la division\neuclidienne du polynôme \$A(X)=X^3+2\nX-1\$ par le polynôme \$B(X)\$,\net en déduire les coefficients \$a, b,\nc\$ et \$d\$ de la décomposition\nen éléments simples de : \\[F(X)=\\frac{A(X)}{(B(X))^2}=\\frac{X^3+2\nX-1}{\\left(X^2-X+1\\right)^2}=\\frac{a \\cdot\nX+b}{\\left(X^2-X+1\\right)^2}+\\frac{c X+d}{X^2-X+1}\\]

\n" } }, { "id": "003fa757-cbd0-4586-866f-4080149dca9b", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\nA(X)=X^3+2 X-1=\\underbrace{\\left(X^2-X+1\\right)}_{B(X)} \\cdot(X+1)+2 X-2\n$$\nOn en déduit :\n$$\n\\begin{aligned}\n\tF(X) & =\\frac{A(X)}{(B(X))^2}=\\frac{X^3+2 X-1}{\\left(X^2-X+1\\right)^2} \\\\\n\t& =\\frac{\\left(X^2-X+1\\right) \\cdot(X+1)+2 X-2}{\\left(X^2-X+1\\right)^2} \\\\\n\t& =\\frac{2 X-2}{\\left(X^2-X+1\\right)^2}+\\frac{X+1}{X^2-X+1}\n\\end{aligned}\n$$", "html": "

\\[A(X)=X^3+2\nX-1=\\underbrace{\\left(X^2-X+1\\right)}_{B(X)} \\cdot(X+1)+2 X-2\\]\nOn en déduit : \\[\\begin{aligned}\n F(X) & =\\frac{A(X)}{(B(X))^2}=\\frac{X^3+2\nX-1}{\\left(X^2-X+1\\right)^2} \\\\\n & =\\frac{\\left(X^2-X+1\\right) \\cdot(X+1)+2\nX-2}{\\left(X^2-X+1\\right)^2} \\\\\n & =\\frac{2 X-2}{\\left(X^2-X+1\\right)^2}+\\frac{X+1}{X^2-X+1}\n\\end{aligned}\\]

\n" } }, { "id": "f1988f4c-f4bc-407d-9a2e-83214dd52d3f", "type": "question", "value": { "latex": "En s'inspirant de la question précédent, décomposer en éléments simples sur $\\mathbb{R}(X)$ :\n$$\nF(X)=\\frac{-3 X^2+X-3}{\\left(X^2+1\\right)^8}\n$$", "html": "

En s’inspirant de la question précédent, décomposer en éléments\nsimples sur \$\\mathbb{R}(X)\$ : \\[F(X)=\\frac{-3\nX^2+X-3}{\\left(X^2+1\\right)^8}\\]

\n" } }, { "id": "076ec51a-cee6-417c-905b-3fa5e3674dda", "type": "reponse", "value": { "latex": "$F(X)$ n'a pas de partie entière.\nEffectuons une division euclidienne de $-3 X^2+X-3$ par $X^2+1$ :\n$$\n-3 X^2+X-3=(-3) \\cdot\\left(X^2+1\\right)+X\n$$\nen divisant par $\\left(X^2+1\\right)^8$ :\n$$\nF(X)=\\frac{-3 X^2+X-3}{\\left(X^2+1\\right)^8}=\\frac{-3}{\\left(X^2+1\\right)^7}+\\frac{X}{\\left(X^2+1\\right)^8}\n$$", "html": "

\$F(X)\$ n’a pas de partie entière.\nEffectuons une division euclidienne de \$-3\nX^2+X-3\$ par \$X^2+1\$ : \\[-3 X^2+X-3=(-3)\n\\cdot\\left(X^2+1\\right)+X\\] en divisant par \$\\left(X^2+1\\right)^8\$ : \\[F(X)=\\frac{-3\nX^2+X-3}{\\left(X^2+1\\right)^8}=\\frac{-3}{\\left(X^2+1\\right)^7}+\\frac{X}{\\left(X^2+1\\right)^8}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "gfHC", "titre": "Définition d'une probabilité", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:36.494Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:36.494Z" }, "contenu": [ { "id": "ae669ca9-66fc-459b-96a2-ecf8ed86d380", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer une probabilité sur $\\Omega = \\left\\{ {1,2, \\ldots ,n} \\right\\}$ telle que la probabilité de l'événement $\\left\\{ {1,2, \\ldots ,k} \\right\\}$ soit proportionnelle à $k^2 $.", "html": "

Déterminer une probabilité sur \$\\Omega =\n\\left\\{ {1,2, \\ldots ,n} \\right\\}\$ telle que la probabilité de\nl’événement \$\\left\\{ {1,2, \\ldots ,k}\n\\right\\}\$ soit proportionnelle à \$k^2\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "rf0B", "titre": "Définition et propriété d'une probabilité", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:49.294Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:49.294Z" }, "contenu": [ { "id": "21756376-f4d1-4fc9-bc8a-5c72549893de", "type": "question", "value": { "latex": "A quelle(s) condition(s) sur $x,y \\in \\mathbb{R}$ existe-t-il une probabilité sur $\\Omega = \\left\\{ {a,b,c} \\right\\}$ vérifiant\n$$P\\left( {\\left\\{ {a,b} \\right\\}} \\right) = x\\text{ et }P\\left( {\\left\\{ {b,c} \\right\\}} \\right) = y\\text{~?}$$", "html": "

A quelle(s) condition(s) sur \$x,y \\in\n\\mathbb{R}\$ existe-t-il une probabilité sur \$\\Omega = \\left\\{ {a,b,c} \\right\\}\$\nvérifiant \\[P\\left( {\\left\\{ {a,b} \\right\\}}\n\\right) = x\\text{ et }P\\left( {\\left\\{ {b,c} \\right\\}} \\right) =\ny\\text{~?}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "SxZb", "titre": "Densité", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:21.243Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:21.243Z" }, "contenu": [ { "id": "3ee900eb-984a-4ef4-8c44-08abf2c094af", "type": "description", "value": { "latex": "Soit la fonction $f$ définie sur $\\R^2$ par : $$f(x,y)=2e^{-x}e^{-2y}\\textbf{1}_{(\\R^+)^2}(x,y).$$", "html": "

Soit la fonction \$f\$ définie sur\n\$\\R^2\$ par : \\[f(x,y)=2e^{-x}e^{-2y}\\textbf{1}_{(\\R^+)^2}(x,y).\\]

\n" } }, { "id": "fd0e17fb-7afa-4c2a-9300-33df1ca2c221", "type": "question", "value": { "latex": "Vérifier que $f$ définit une densité de probabilité.", "html": "

Vérifier que \$f\$ définit une\ndensité de probabilité.

\n" } }, { "id": "d354176b-daac-4e02-a204-d5a8a3c3fbd3", "type": "reponse", "value": { "latex": "On vérifie que pour tout $(x,y) \\in \\R^2$, $f(x,y) \\geq 0$. De plus, par le théorème de Fubini,\n\t$$\\begin{align*}\n\t\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(x,y) dxdy &= \\int_{0}^{+\\infty}\\int_{0}^{+\\infty} 2e^{-x}e^{-2y} dxdy \\\\\n\t&= \\int_{0}^{+\\infty} e^{-x} dx \\int_{0}^{+\\infty} 2e^{-2y} dy \\\\\n\t&= 1\n\t\\end{align*}$$", "html": "

On vérifie que pour tout \$(x,y) \\in\n\\R^2\$, \$f(x,y) \\geq 0\$. De\nplus, par le théorème de Fubini, \\[\\begin{align*}\n \\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(x,y) dxdy &=\n\\int_{0}^{+\\infty}\\int_{0}^{+\\infty} 2e^{-x}e^{-2y} dxdy \\\\\n &= \\int_{0}^{+\\infty} e^{-x} dx \\int_{0}^{+\\infty} 2e^{-2y} dy\n\\\\\n &= 1\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "7cc1c5a3-bd42-460c-8407-39e5b63987b2", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\prob(X>1,Y<1)$, $\\prob(XCalculer \$\\prob(X>1,Y<1)\$,\n\$\\prob(X<Y)\$ et \$\\prob(X<a)\$.

\n" } }, { "id": "6aadec4f-f3b7-459e-963e-dbaadb2df66f", "type": "reponse", "value": { "latex": "On applique la définition et on trouve $\\prob(X>1,Y<1) = e^{-1}(1-e^{-2})$, $\\prob(XOn applique la définition et on trouve \$\\prob(X>1,Y<1) = e^{-1}(1-e^{-2})\$,\n\$\\prob(X<Y)=\\frac{1}{3}\$ et \$\\prob(X<a)=1-e^{-a}\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "R0SQ", "titre": "Densité d'une somme", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:19.215Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:19.215Z" }, "contenu": [ { "id": "e7d3e631-6210-4c0f-9e33-65866e3366cd", "type": "description", "value": { "latex": "Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi uniforme sur $[0;1]$.", "html": "

Soient \$X\$ et \$Y\$ deux variables aléatoires indépendantes\nsuivant chacune une loi uniforme sur \$[0;1]\$.

\n" } }, { "id": "3df9747d-782c-4a97-b7fc-e55f6cd39a59", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la loi de $S=X+Y$.", "html": "

Déterminer la loi de \$S=X+Y\$.

\n" } }, { "id": "192c80ed-72f2-4086-8a54-96ad554631ef", "type": "reponse", "value": { "latex": "Si $X$ et $Y$ suivent chacune une loi uniforme sur $[0;1]$, alors $S=X+Y$ admet une densité $h$ définie par \n\t$$h(s) = \\int_0^1 \\textbf{1}_{[0;1]}(s-x) dx = \\int_{s-1}^s \\textbf{1}_{[0;1]}(u)du$$\n\t\\begin{itemize}\n\t\t\\item si $s < 0$ alors $s-x <0$ et $h(s) = 0$\n\t\t\\item si $0Si \$X\$ et \$Y\$ suivent chacune une loi uniforme sur\n\$[0;1]\$, alors \$S=X+Y\$ admet une densité \$h\$ définie par \\[h(s) = \\int_0^1 \\textbf{1}_{[0;1]}(s-x) dx =\n\\int_{s-1}^s \\textbf{1}_{[0;1]}(u)du\\]

si \$s < 0\$ alors \$s-x <0\$ et \$h(s) = 0\$
si \$0<s<1\$ alors \$h(s) = \\int_{0}^s \\textbf{1}_{[0;1]}(u)du =\ns\$
si \$1<s<2\$ alors \$h(s) = \\int_{s-1}^1 \\textbf{1}_{[0;1]}(u)du =\n2-s\$
si \$2 < s\$ alors \$h(s) = 0\$

En traçant cette densité, on voit apparaître une loi\ntriangulaire.

\n" } } ] }, { "uuid": "kkMH", "titre": "Densité d'une somme", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:41.891Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:41.891Z" }, "contenu": [ { "id": "888413e5-d783-4886-9b49-7eed2f77ab83", "type": "description", "value": { "latex": "Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi $\\mathcal{N}(0,1)$.", "html": "

Soient \$X\$ et \$Y\$ deux variables aléatoires indépendantes\nsuivant chacune une loi \$\\mathcal{N}(0,1)\$.

\n" } }, { "id": "3d113fd1-3527-460f-a7c8-d17bb1ef2b00", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la loi de $S=X+Y$.", "html": "

Déterminer la loi de \$S=X+Y\$.

\n" } }, { "id": "02b7cd17-180f-46fb-a390-efb8850f81fc", "type": "reponse", "value": { "latex": "Si $X$ et $Y$ suivent chacune une loi $\\mathcal{N}(0,1)$, alors $S=X+Y$ admet une densité $h$ définie par\n\t$$h(s) = \\frac{1}{2\\pi}\\int_{\\R}^{} e^{-\\frac{(s-x)^2}{2}} e^{-\\frac{x^2}{2}} dx$$\n\t\n\tOr $-(s-x)^2-x^2 = -\\frac{s^2}{2} - 2 (x-\\frac{s}{2})^2$ donc \n\t\n\t$$h(s) = \\frac{1}{2\\pi} e^{-\\frac{s^2}{4}} \\int_{\\R}^{} e^{-(x-\\frac{s}{2})^2 } dx = \\frac{1}{2\\pi} e^{-\\frac{s^2}{4}} \\times \\sqrt{\\pi} = \\frac{1}{\\sqrt{2}\\sqrt{2\\pi}}e^{-\\frac{s^2}{2\\sqrt{2}^2}}$$\n\t\n\tDonc $S$ suit une loi normale de moyenne $\\mu=0$ et d'écart-type $\\sigma=\\sqrt{2}$.", "html": "

Si \$X\$ et \$Y\$ suivent chacune une loi \$\\mathcal{N}(0,1)\$, alors \$S=X+Y\$ admet une densité \$h\$ définie par \\[h(s) = \\frac{1}{2\\pi}\\int_{\\R}^{}\ne^{-\\frac{(s-x)^2}{2}} e^{-\\frac{x^2}{2}} dx\\]

Or \$-(s-x)^2-x^2 = -\\frac{s^2}{2} - 2\n(x-\\frac{s}{2})^2\$ donc

\\[h(s) = \\frac{1}{2\\pi} e^{-\\frac{s^2}{4}}\n\\int_{\\R}^{} e^{-(x-\\frac{s}{2})^2 } dx = \\frac{1}{2\\pi}\ne^{-\\frac{s^2}{4}} \\times \\sqrt{\\pi} =\n\\frac{1}{\\sqrt{2}\\sqrt{2\\pi}}e^{-\\frac{s^2}{2\\sqrt{2}^2}}\\]

Donc \$S\$ suit une loi normale de\nmoyenne \$\\mu=0\$ et d’écart-type \$\\sigma=\\sqrt{2}\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "xTI2", "titre": "Densité de probabilité, question de cours", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:56.727Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:56.727Z" }, "contenu": [ { "id": "11b000dd-6f69-4b37-883f-df5c9c6b7ffe", "type": "description", "value": { "latex": "Soit la fonction $f=\\frac{1}{3}\\textbf{1}_{[-1;2]}$.", "html": "

Soit la fonction \$f=\\frac{1}{3}\\textbf{1}_{[-1;2]}\$.

\n" } }, { "id": "464dcb44-b64b-4f1e-95b2-e19f9a3d06f9", "type": "question", "value": { "latex": "Vérifier que $f$\t définit une densité de probabilité.", "html": "

Vérifier que \$f\$ définit une\ndensité de probabilité.

\n" } }, { "id": "8fa30932-6cf4-4623-8fea-468bcce88015", "type": "reponse", "value": { "latex": "On vérifie que $f$ est une fonction positive et son intégrale vaut $\\int_{-\\infty}^{+\\infty}f(x)dx = \\int_{-1}^{2} \\frac{1}{3}dx = 1$.", "html": "

On vérifie que \$f\$ est une\nfonction positive et son intégrale vaut \$\\int_{-\\infty}^{+\\infty}f(x)dx = \\int_{-1}^{2}\n\\frac{1}{3}dx = 1\$.

\n" } }, { "id": "3f0f47fc-1572-4c7c-96d0-991cc658f51b", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\PP(1 \\leq X \\leq 3) = \\int_1^3 \\frac{1}{3} \\textbf{1}_{[-1;2]} dx = \\frac{1}{3} \\int_1^2 dx = \\frac{1}{3}$.", "html": "

\$\\PP(1 \\leq X \\leq 3) = \\int_1^3\n\\frac{1}{3} \\textbf{1}_{[-1;2]} dx = \\frac{1}{3} \\int_1^2 dx =\n\\frac{1}{3}\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "BGJz", "titre": "Densité et transformation affine", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:02.996Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:02.996Z" }, "contenu": [ { "id": "011a25e1-e064-4bc3-8de1-b2159ad09609", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $X$ une variable aléatoire absolument continue admettant pour densité $f$. Soit $(a,b) \\in \\mathbb{R}^2$ avec $a>0$ et $Y=aX+b$.", "html": "

Soit \$X\$ une variable aléatoire\nabsolument continue admettant pour densité \$f\$. Soit \$(a,b)\n\\in \\mathbb{R}^2\$ avec \$a>0\$ et \$Y=aX+b\$.

\n" } }, { "id": "c7b0e8f6-15fe-4838-b10a-e62baf8dc83a", "type": "question", "value": { "latex": "Démontrer que $Y$ est une variable aléatoire absolument continue en exprimant sa densité en fonction de $f$.", "html": "

Démontrer que \$Y\$ est une variable\naléatoire absolument continue en exprimant sa densité en fonction de\n\$f\$.

\n" } }, { "id": "75989016-01b7-4988-887e-732bacf37785", "type": "reponse", "value": { "latex": "On utilise le théorème d'identification. La densité $f_Y$ de $Y$ est l'unique fonction telle que pour toute fonction $h$ continue bornée, on ait\n\t\\[ \\E(h(Y))=\\int_\\R h(y)f_Y(y)\\ dy.\\]\n\tOr, étant donné $h$, on a\n\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\E(h(Y))&=\\E(h(aX+b)) \\\\\n\t\t&= \\int_\\R h(ax+b) f_X(x) \\ dx \\quad \\text{(par le théorème de transfert)} \\\\\n\t\t&= \\int_\\R h(y) f_X\\left(\\frac{y-b}{a}\\right) \\frac{1}{a} dy \\quad \\text{(par changement de variable } y=ax+b \\text{)}\n\t\\end{align*}$$\n\td'où son identification\n\t\\[ f_Y(y)=\\frac{1}{a}f_X\\left(\\frac{y-b}{a}\\right).\\]", "html": "

On utilise le théorème d’identification. La densité \$f_Y\$ de \$Y\$ est l’unique fonction telle que pour\ntoute fonction \$h\$ continue bornée,\non ait \\[\\E(h(Y))=\\int_\\R h(y)f_Y(y)\\\ndy.\\] Or, étant donné \$h\$, on\na \\[\\begin{align*}\n \\E(h(Y))&=\\E(h(aX+b)) \\\\\n &= \\int_\\R h(ax+b) f_X(x) \\ dx \\quad \\text{(par le théorème\nde transfert)} \\\\\n &= \\int_\\R h(y) f_X\\left(\\frac{y-b}{a}\\right) \\frac{1}{a} dy\n\\quad \\text{(par changement de variable } y=ax+b \\text{)}\n \\end{align*}\\] d’où son identification \\[f_Y(y)=\\frac{1}{a}f_X\\left(\\frac{y-b}{a}\\right).\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "JPjn", "titre": "Densité, fonction de répartition", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:11.821Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:11.821Z" }, "contenu": [ { "id": "2055edcf-fd41-4c24-9b6e-ff5d804e3b03", "type": "description", "value": { "latex": "On considère la fonction $f$ définie par :\n\t$$\\begin{align*}\n\t\tf(x)=\n\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t\\frac{4}{3}(1-x)^{\\frac{1}{3}} & \\text{ si } 0\\leq x \\leq 1 \\\\\n\t\t\t0 & \\text{ sinon.}\n\t\t\\end{cases}\n\t\\end{align*}$$", "html": "

On considère la fonction \$f\$\ndéfinie par : \\[\\begin{align*}\n f(x)=\n \\begin{cases}\n \\frac{4}{3}(1-x)^{\\frac{1}{3}} & \\text{ si } 0\\leq x\n\\leq 1 \\\\\n 0 & \\text{ sinon.}\n \\end{cases}\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "e6ff21cd-e035-4d94-9af7-f80db4e1e6c4", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que $f$ est une densité d'une variable aléatoire $Y$.", "html": "

Montrer que \$f\$ est une densité\nd’une variable aléatoire \$Y\$.

\n" } }, { "id": "3c283015-0969-40c6-8279-88a77f1211fc", "type": "reponse", "value": { "latex": "Il faut et il suffit de vérifier que $f$ est positive intégrable et $\\int_\\mathbb{R} f=1$. Le premier point est immédiat. La fonction $f$ est intégrable sur $\\mathbb{R}$ car elle est continue par morceaux à support compact.\n\t\tEnfin, on a\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\int_\\mathbb{R} f(x)dx \n\t\t\t= \\int_0^1 \\frac{4}{3} (1-x)^{1/3} dx\n\t\t\t= \\left[ -(1-x)^{4/3}\\right]_0^1\n\t\t\t=1.\n\t\\end{align*}$$", "html": "

Il faut et il suffit de vérifier que \$f\$ est positive intégrable et \$\\int_\\mathbb{R} f=1\$. Le premier point est\nimmédiat. La fonction \$f\$ est\nintégrable sur \$\\mathbb{R}\$ car elle\nest continue par morceaux à support compact. Enfin, on a \\[\\begin{align*}\n \\int_\\mathbb{R} f(x)dx\n = \\int_0^1 \\frac{4}{3} (1-x)^{1/3} dx\n = \\left[ -(1-x)^{4/3}\\right]_0^1\n =1.\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "7fdbd68d-66a0-4feb-8fc1-3ec67a85e14e", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la fonction de répartition $F$ de la variable $Y$.", "html": "

Déterminer la fonction de répartition \$F\$ de la variable \$Y\$.

\n" } }, { "id": "0f52ced0-143e-4db0-805c-99fa429d43ec", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par définition, pour tout $y\\in\\mathbb{R}$, on a $F_Y(y)=\\int_{-\\infty}^y f(t)dt$. Alors\n\t\t\\begin{itemize}\n\t\t\t\\item si $y<0$, $F_Y(y)=0$,\n\t\t\t\\item si $0\\leq y \\leq 1$, \n\t\t\t$F_Y(y)=\\int_0^y \\frac{4}{3} (1-x)^{1/3} dx\n\t\t\t= \\left[ -(1-x)^{4/3}\\right]_0^y\n\t\t\t=1-(1-y)^{4/3}$\n\t\t\t\\item si $y>1$, $F_Y(y)=1$.\n\t\\end{itemize}", "html": "

Par définition, pour tout \$y\\in\\mathbb{R}\$, on a \$F_Y(y)=\\int_{-\\infty}^y f(t)dt\$. Alors

si \$y<0\$, \$F_Y(y)=0\$,
si \$0\\leq y \\leq 1\$, \$F_Y(y)=\\int_0^y \\frac{4}{3} (1-x)^{1/3} dx\n = \\left[ -(1-x)^{4/3}\\right]_0^y\n =1-(1-y)^{4/3}\$
si \$y>1\$, \$F_Y(y)=1\$.

\n" } }, { "id": "bdece317-ef69-4166-9938-3ab79ae191a0", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer l'espérance de la variable $Y$.", "html": "

Calculer l’espérance de la variable \$Y\$.

\n" } }, { "id": "d55f0477-4cce-44ce-9bcc-acdaeb5e9040", "type": "reponse", "value": { "latex": "L'espérance de $Y$ se calcule de la manière suivante:\n\t\t\\[ \\mathbb{E}(Y)=\n\t\t\\int_\\mathbb{R} yf(y)dy\n\t\t= \\int_0^1 \\frac{4}{3}y (1-y)^{1/3} dy,\\]\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\t\n\t\tet par intégration par parties,\n\t\t\\[ \\E(Y)=\\left[-y(1-y)^{4/3}\\right]_0^1 + \\int_0^1 (1-y)^{4/3}dy\n\t\t=\\left[\\frac{-3}{7}(1-y)^{7/3}\\right]_0^1=\\frac{3}{7}.\n\t\t\\]", "html": "

L’espérance de \$Y\$ se calcule de\nla manière suivante: \\[\\mathbb{E}(Y)=\n \\int_\\mathbb{R} yf(y)dy\n = \\int_0^1 \\frac{4}{3}y (1-y)^{1/3} dy,\\]

et par intégration par parties, \\[\\E(Y)=\\left[-y(1-y)^{4/3}\\right]_0^1 + \\int_0^1\n(1-y)^{4/3}dy\n =\\left[\\frac{-3}{7}(1-y)^{7/3}\\right]_0^1=\\frac{3}{7}.\\]

\n" } }, { "id": "d59592c5-8c7b-46cd-84b9-09b625983bd5", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer la probabilité de l'événement $[0.488< Y \\leq 1.2]$.", "html": "

Calculer la probabilité de l’événement \$[0.488< Y \\leq 1.2]\$.

\n" } }, { "id": "4e81b5da-6942-4bbe-a311-f6c81cff416a", "type": "reponse", "value": { "latex": "Méthode 1:\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\p(0.488< Y < 1.2)&= \\int_{0.488}^{1.2} f(y) dy\n\t\t\t= \\int_{0.488}^{1.2} \\frac{4}{3} (1-y)^{1/3} dy\n\t\t\t=\\left[ -(1-y)^{4/3}\\right]_{0.488}^1 \\\\\n\t\t\t&=(1-0.488)^{1/3}\n\t\t\t=0.8\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tMéthode 2:\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\p(0.488< Y < 1.2)&= F_Y(1.2)-F_Y(0.488) \\\\\n\t\t\t&=1-[1-(1-0.488)^{1/3}] \\\\\n\t\t\t&=(1-0.488)^{1/3} \\\\\n\t\t\t&=0.8\n\t\\end{align*}$$", "html": "

Méthode 1: \\[\\begin{align*}\n \\p(0.488< Y < 1.2)&= \\int_{0.488}^{1.2} f(y) dy\n = \\int_{0.488}^{1.2} \\frac{4}{3} (1-y)^{1/3} dy\n =\\left[ -(1-y)^{4/3}\\right]_{0.488}^1 \\\\\n &=(1-0.488)^{1/3}\n =0.8\n \\end{align*}\\] Méthode 2: \\[\\begin{align*}\n \\p(0.488< Y < 1.2)&= F_Y(1.2)-F_Y(0.488) \\\\\n &=1-[1-(1-0.488)^{1/3}] \\\\\n &=(1-0.488)^{1/3} \\\\\n &=0.8\n \\end{align*}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "aK0v", "titre": "Densité, loi, indépendance dans un couple", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:27.585Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:27.585Z" }, "contenu": [ { "id": "0f40daec-ba6d-4bdb-ab64-0aaed843ba45", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires admettant une densité $f$ définie pour tout $(x,y) \\in \\R^2$ par : \n\t$$f(x,y)= \\frac{3}{8}(x^2+y^2) \\textbf{1}_{[-1;1]^2}(x,y)$$", "html": "

Soit \$(X,Y)\$ un couple de\nvariables aléatoires admettant une densité \$f\$ définie pour tout \$(x,y) \\in \\R^2\$ par : \\[f(x,y)= \\frac{3}{8}(x^2+y^2)\n\\textbf{1}_{[-1;1]^2}(x,y)\\]

\n" } }, { "id": "0394c08c-b478-45bb-a081-c9ffa1a48452", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer les lois marginales du couple $(X,Y)$. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?", "html": "

Déterminer les lois marginales du couple \$(X,Y)\$. Les variables \$X\$ et \$Y\$ sont-elles indépendantes ?

\n" } }, { "id": "00bf2f3b-cdda-47c0-bb34-c0fb6ed8db0b", "type": "reponse", "value": { "latex": "La densité de $X$ se calcule de la manière suivante : pour tout $x \\in \\R$,\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\tf_X(x)&=\\int_\\R f(x,y) dy \\\\\n\t\t\t&=\\frac{3}{8}\\mathbf{1}_{[-1;1]}(x) \\int_{-1}^{1} (x^2+y^2)dy \\\\\n\t\t\t&=\\frac{3}{8}\\mathbf{1}_{[-1;1]}(x) \\left[x^2y+\\frac{1}{3}y^3 \\right]_{y=-1}^{y=1} \\\\\n\t\t\t&=\\frac{1}{4}(3x^2+1)\\mathbf{1}_{[-1;1]}(x).\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tOn a ainsi déterminé la loi de $X$.\n\t\t\n\t\tPour $Y$, on obtient la même loi car les rôles de $x$ et de $y$ sont symétriques.\n\t\t\n\t\tEnfin, les \\vas $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes car il existe $(x,y) \\in \\R^2$ tel que $f(x,y)\\neq f_X(x)f_Y(y)$.", "html": "

La densité de \$X\$ se calcule de la\nmanière suivante : pour tout \$x \\in\n\\R\$, \\[\\begin{align*}\n f_X(x)&=\\int_\\R f(x,y) dy \\\\\n &=\\frac{3}{8}\\mathbf{1}_{[-1;1]}(x) \\int_{-1}^{1}\n(x^2+y^2)dy \\\\\n &=\\frac{3}{8}\\mathbf{1}_{[-1;1]}(x)\n\\left[x^2y+\\frac{1}{3}y^3 \\right]_{y=-1}^{y=1} \\\\\n &=\\frac{1}{4}(3x^2+1)\\mathbf{1}_{[-1;1]}(x).\n \\end{align*}\\] On a ainsi déterminé la loi de \$X\$.

Pour \$Y\$, on obtient la même loi\ncar les rôles de \$x\$ et de \$y\$ sont symétriques.

Enfin, les \$X\$ et \$Y\$ ne sont pas indépendantes car il existe\n\$(x,y) \\in \\R^2\$ tel que \$f(x,y)\\neq f_X(x)f_Y(y)\$.

\n" } }, { "id": "a828536a-e2df-4015-a54b-31dd358b3357", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\mathbb{E}(XY)$ et $\\mathbb{E}(X) \\times \\mathbb{E}(Y)$.", "html": "

Calculer \$\\mathbb{E}(XY)\$ et \$\\mathbb{E}(X) \\times \\mathbb{E}(Y)\$.

\n" } }, { "id": "02103250-a483-4ad7-84ad-20a1adadf957", "type": "reponse", "value": { "latex": "On applique le théorème de transfert au couple $(X,Y)$ :\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\E(XY)&=\\int_{\\R^2} xy\\times \\frac{3}{8}(x^2+y^2) \\textbf{1}_{[-1;1]^2}(x,y) \\dx\\dy \\\\\n\t\t\t&=\\int_{-1}^1 \\int_{-1}^1 \\frac{3}{8}(x^3y+xy^3) \\dx \\dy \\\\\n\t\t\t&= \\int_{-1}^1 \\left[ \\frac{3}{32}x^4y+\\frac{3}{16}x^2y^3 \\right]_{x=-1}^{x=1} \\dy \\\\\n\t\t\t&=0.\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tPour l'espérance de la \\va $X$, on a\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\E(X)\n\t\t\t&= \\int_\\R xf_X(x) \\dx \\\\\n\t\t\t&= \\int_{-1}^1 \\frac{1}{4}(3x^3+x) \\dx \\\\\n\t\t\t&= \\left[ \\frac{3}{16}x^4+\\frac{1}{8}x^2y^2 \\right]_{-1}^1 \\\\\n\t\t\t&=0.\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tDe la même manière, on obtient $\\E(Y)=0$.\n\t\n\tAinsi, $\\E(XY)=\\E(X)\\E(Y)$ bien que $X$ et $Y$ ne soient pas indépendantes.", "html": "

On applique le théorème de transfert au couple \$(X,Y)\$ : \\[\\begin{align*}\n \\E(XY)&=\\int_{\\R^2} xy\\times \\frac{3}{8}(x^2+y^2)\n\\textbf{1}_{[-1;1]^2}(x,y) \\dx\\dy \\\\\n &=\\int_{-1}^1 \\int_{-1}^1 \\frac{3}{8}(x^3y+xy^3) \\dx \\dy\n\\\\\n &= \\int_{-1}^1 \\left[\n\\frac{3}{32}x^4y+\\frac{3}{16}x^2y^3 \\right]_{x=-1}^{x=1} \\dy \\\\\n &=0.\n \\end{align*}\\] Pour l’espérance de la \$X\$, on a \\[\\begin{align*}\n \\E(X)\n &= \\int_\\R xf_X(x) \\dx \\\\\n &= \\int_{-1}^1 \\frac{1}{4}(3x^3+x) \\dx \\\\\n &= \\left[ \\frac{3}{16}x^4+\\frac{1}{8}x^2y^2\n\\right]_{-1}^1 \\\\\n &=0.\n \\end{align*}\\] De la même manière, on obtient \$\\E(Y)=0\$.

Ainsi, \$\\E(XY)=\\E(X)\\E(Y)\$ bien\nque \$X\$ et \$Y\$ ne soient pas indépendantes.

\n" } } ] }, { "uuid": "0U2g", "titre": "Dépendance des couleurs", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:51.098Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:51.098Z" }, "contenu": [ { "id": "db85c88f-f2e1-4227-8ea3-6caaaa1dd652", "type": "description", "value": { "latex": "On cherche à établir s'il existe un lien entre le sexe, la couleur des cheveux et la couleur des yeux d'une personne. Pour cela, on se base sur les résultats d'un sondage établi sur 592 étudiants à l'Université du Delaware. Les résultats obtenus sont les suivants: (source: http://euclid.psych.yorku.ca/ftp/sas/vcd/catdata/haireye.sas)\n\n\\begin{center}\n\t\\begin{tabular}{|c|ccc|c|}\n\t\\hline Femme & Yeux verts & Yeux marrons & Yeux bleus & Total \\\\\n\t\\hline Cheveux noirs & 2 & 41 & 9 & 52 \\\\\n\tCheveux marrons & 14 & 95 & 34 & 143 \\\\\n\tCheveux roux & 7 & 23 & 7 & 37 \\\\\n\tCheveux blonds & 8 & 9 & 64 & 81 \\\\\n\t\\hline Total & 31 & 168 & 114 & 313 \\\\\n\t\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\n\n\\begin{center}\n\t\\begin{tabular}{|c|ccc|c|}\n\t\\hline Homme & Yeux verts & Yeux marrons & Yeux bleus & Total \\\\\n\t\\hline Cheveux noirs & 3 & 42 & 11 & 56 \\\\\n\tCheveux marrons & 15 & 78 & 50 & 143 \\\\\n\tCheveux roux & 7 & 17 & 10 & 34 \\\\\n\tCheveux blonds & 8 & 8 & 30 & 46 \\\\\n\t\\hline Total & 33 & 145 & 101 & 279 \\\\\n\t\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}", "html": "

On cherche à établir s’il existe un lien entre le sexe, la couleur\ndes cheveux et la couleur des yeux d’une personne. Pour cela, on se base\nsur les résultats d’un sondage établi sur 592 étudiants à l’Université\ndu Delaware. Les résultats obtenus sont les suivants: (source:\nhttp://euclid.psych.yorku.ca/ftp/sas/vcd/catdata/haireye.sas)

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

Femme	Yeux verts	Yeux marrons	Yeux bleus	Total
Cheveux noirs	2	41	9	52
Cheveux marrons	14	95	34	143
Cheveux roux	7	23	7	37
Cheveux blonds	8	9	64	81
Total	31	168	114	313

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

Homme	Yeux verts	Yeux marrons	Yeux bleus	Total
Cheveux noirs	3	42	11	56
Cheveux marrons	15	78	50	143
Cheveux roux	7	17	10	34
Cheveux blonds	8	8	30	46
Total	33	145	101	279

\n" } }, { "id": "ef4fb49a-f1b6-4e98-8754-53172f5bb54c", "type": "question", "value": { "latex": "Chez les femmes de cette université, peut-on dire avec un risque de $5\\%$ qu'il y a une corrélation entre la couleur des yeux et la couleur des cheveux ? Même question concernant les hommes de cette université.", "html": "

Chez les femmes de cette université, peut-on dire avec un risque de\n\$5\\%\$ qu’il y a une corrélation entre\nla couleur des yeux et la couleur des cheveux ? Même question concernant\nles hommes de cette université.

\n" } }, { "id": "e2ea852d-4493-43df-aa38-8bc12e525d60", "type": "reponse", "value": { "latex": "Il s'agit de réaliser un test du $\\chi^2$. La variable de décision $Q$ suit une loi $\\chi^2(6)$ donc pour un risque de $5\\%$, la zone de rejet est $[12.59;+\\infty[$. Tout calcul fait (voir le \\href{https://stcyrterrenetdefensegouvf-my.sharepoint.com/:x:/g/personal/maxime_nguyen_st-cyr_terre-net_defense_gouv_fr/ESyNWFHCZnVEr0vro6Zbs2cB_86sCRHQNVVYIhmjHuLozQ?e=EfJtSI}{tableau}), la valeur observée $Q_{obs} = 98.2$ pour les femmes, $Q_{obs} = 37.5$ pour les hommes. On peut donc rejeter dans les deux cas l'hypothèse d'indépendance entre ces deux variables <> et <>.", "html": "

Il s’agit de réaliser un test du \$\\chi^2\$. La variable de décision \$Q\$ suit une loi \$\\chi^2(6)\$ donc pour un risque de \$5\\%\$, la zone de rejet est \$[12.59;+\\infty[\$. Tout calcul fait (voir\nle tableau),\nla valeur observée \$Q_{obs} = 98.2\$\npour les femmes, \$Q_{obs} = 37.5\$\npour les hommes. On peut donc rejeter dans les deux cas l’hypothèse\nd’indépendance entre ces deux variables <<couleur des yeux>>\net <<couleur des cheveux>>.

\n" } }, { "id": "020b6db6-55bc-4dee-a6d1-9caa28572ef1", "type": "question", "value": { "latex": "Y a-t-il indépendance entre le sexe et la couleur des yeux ? le sexe et la couleur des cheveux ? Justifier.", "html": "

Y a-t-il indépendance entre le sexe et la couleur des yeux ? le sexe\net la couleur des cheveux ? Justifier.

\n" } }, { "id": "1c8517b9-fd12-4a78-b9c9-62459a0215bb", "type": "reponse", "value": { "latex": "On récrée un tableau d'effectifs adaptés à la question à partir des données initiales : \n\t\n\t\\begin{center}\n\t\t\\begin{tabular}{|c|ccc|c|}\n\t\t\t\\hline & Yeux verts & Yeux marrons & Yeux bleus & Total \\\\\n\t\t\\hline\t Femme & 31 & 168 & 114 & 313 \\\\\n\t\t\tHomme & 33 & 145 & 101 & 279 \\\\\n\t\\hline Total & 64 & 313 & 215 & 592 \\\\\n\t\\hline\n\t\t\\end{tabular}\n\t\\end{center}\npuis les effectis théoriques. On réalise un test du $\\chi^2$. La variable de décision $Q$ suit une loi $\\chi^2(2)$ donc pour un risque de $5\\%$, la zone de rejet est $[5.99;+\\infty[$. Tout calcul fait (voir le \\href{https://stcyrterrenetdefensegouvf-my.sharepoint.com/:x:/g/personal/maxime_nguyen_st-cyr_terre-net_defense_gouv_fr/ESyNWFHCZnVEr0vro6Zbs2cB_86sCRHQNVVYIhmjHuLozQ?e=EfJtSI}{tableau}), la valeur observée $Q_{obs} = 0{,}59$. \n\nOn ne rejette pas l'hypothèse d'indépendance entre la couleur des yeux et le sexe.\n\nEn revanche, en faisant de même pour la couleur des cheveux et le sexe, on trouve une valeur observée $Q_{obs} = 7{,}99$ pour une zone de rejet $[7.81;+\\infty[$.\n\nOn rejette (de justesse), avec un risque d'erreur de $5\\%$, l'hypothèse d'indépendance entre la couleur des cheveux et le sexe.", "html": "

On récrée un tableau d’effectifs adaptés à la question à partir des\ndonnées initiales :

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

	Yeux verts	Yeux marrons	Yeux bleus	Total
Femme	31	168	114	313
Homme	33	145	101	279
Total	64	313	215	592

puis les effectis théoriques. On réalise un test du \$\\chi^2\$. La variable de décision \$Q\$ suit une loi \$\\chi^2(2)\$ donc pour un risque de \$5\\%\$, la zone de rejet est \$[5.99;+\\infty[\$. Tout calcul fait (voir le\ntableau),\nla valeur observée \$Q_{obs} =\n0{,}59\$.

On ne rejette pas l’hypothèse d’indépendance entre la couleur des\nyeux et le sexe.

En revanche, en faisant de même pour la couleur des cheveux et le\nsexe, on trouve une valeur observée \$Q_{obs}\n= 7{,}99\$ pour une zone de rejet \$[7.81;+\\infty[\$.

On rejette (de justesse), avec un risque d’erreur de \$5\\%\$, l’hypothèse d’indépendance entre la\ncouleur des cheveux et le sexe.

\n" } } ] }, { "uuid": "D70J", "titre": "Dérivées partielles", "theme": [ "fonctions de plusieurs variables" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:04.529Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:04.529Z" }, "contenu": [ { "id": "2f04bd57-0cc3-4160-91d9-be8cbbd52b18", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $u \\colon t \\mapsto u(t)$ une fonction de classe $\\mathcal{C}^1$ sur $\\R$ et $h \\colon (x,y) \\mapsto h(x,y)$ une fonction de classe $\\mathcal{C}^1$ sur $\\R^2$. Pour tout $t \\in \\R$, on pose :\n$$F(t) = h(u(t),u(t)^2)$$", "html": "

Soit \$u \\colon t \\mapsto u(t)\$ une\nfonction de classe \$\\mathcal{C}^1\$\nsur \$\\R\$ et \$h \\colon (x,y) \\mapsto h(x,y)\$ une\nfonction de classe \$\\mathcal{C}^1\$\nsur \$\\R^2\$. Pour tout \$t \\in \\R\$, on pose : \\[F(t) = h(u(t),u(t)^2)\\]

\n" } }, { "id": "da21d90a-63a2-4915-88d7-ea9c917bc83c", "type": "question", "value": { "latex": "Vérifier que $F$ est dérivable sur $\\R$ et exprimer sa dérivée en fonction de $u(t)$ et $u'(t)$.", "html": "

Vérifier que \$F\$ est dérivable sur\n\$\\R\$ et exprimer sa dérivée en\nfonction de \$u(t)\$ et \$u'(t)\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "DMpD", "titre": "Dérivées partielles", "theme": [ "calcul différentiel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:05.288Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:05.288Z" }, "contenu": [ { "id": "5751973f-62ef-40c9-bb82-9dfd1d119f29", "type": "description", "value": { "latex": "Soit la fonction $V \\colon \\R^2 \\to \\R$ définie par $$V(r,\\theta) = \\dfrac{\\cos \\theta}{r^2}$$", "html": "

Soit la fonction \$V \\colon \\R^2 \\to\n\\R\$ définie par \\[V(r,\\theta) =\n\\dfrac{\\cos \\theta}{r^2}\\]

\n" } }, { "id": "e4c426c6-9f45-4d71-a540-64e151e1f044", "type": "question", "value": { "latex": "Donner l'ensemble de définition de $V$.", "html": "

Donner l’ensemble de définition de \$V\$.

\n" } }, { "id": "ebd6f221-7057-4030-a7a1-32b153f09aa3", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\mathcal{D}_V = \\R^* \\times \\R$", "html": "

\$\\mathcal{D}_V = \\R^* \\times\n\\R\$

\n" } }, { "id": "c2356887-a634-45ee-a707-5a1f73b85824", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer les dérivées partielles $\\dpa{V}{r}$ et $\\dpa{V}{\\theta}$.", "html": "

Calculer les dérivées partielles \$\\dpa{V}{r}\$ et \$\\dpa{V}{\\theta}\$.

\n" } }, { "id": "19606d6b-4d8a-4223-a69a-d447e8153fe2", "type": "reponse", "value": { "latex": "pour $(r,\\theta) \\in \\mathcal{D}_V$, on a \n\t\t\t\\[ \\dpa{V}{r} = -\\frac{2}{r^3}\\cos\\theta, \\ \\ \\dpa{V}{\\theta} = -\\frac{1}{r^2}\\sin\\theta \\]", "html": "

pour \$(r,\\theta) \\in\n\\mathcal{D}_V\$, on a \\[\\dpa{V}{r} =\n-\\frac{2}{r^3}\\cos\\theta, \\ \\ \\dpa{V}{\\theta} =\n-\\frac{1}{r^2}\\sin\\theta\\]

\n" } }, { "id": "c3f0f6b7-cd36-4a5e-b324-6d6da7c9172b", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer les dérivées partielles secondes $\\dpsp{V}{r}$, $\\dpa{V}{\\theta}$ et $\\dpsm{V}{r}{\\theta}$.", "html": "

Calculer les dérivées partielles secondes \$\\dpsp{V}{r}\$, \$\\dpa{V}{\\theta}\$ et \$\\dpsm{V}{r}{\\theta}\$.

\n" } }, { "id": "8220505c-ec9e-4643-93d8-6f51ed50508c", "type": "reponse", "value": { "latex": "pour $(r,\\theta) \\in \\mathcal{D}_V$, on a\n\t\t\t$$\\begin{align*} \n\t\t\t\\dpsp{V}{r} &= \\dpa{}{r}\\left[ -\\frac{2}{r^3}\\cos\\theta \\right] = \\frac{6}{r^4}\\cos\\theta \\\\\n\t\t\t\\dpsp{V}{\\theta} &= \\dpa{}{\\theta}\\left[ -\\frac{1}{r^2}\\sin\\theta \\right] = -\\frac{1}{r^2}\\cos\\theta \\\\\n\t\t\t\\dpsm{V}{r}{\\theta} &= \\dpa{}{r}\\left[ -\\frac{1}{r^2}\\sin\\theta \\right] = \\frac{2}{r^3}\\sin\\theta\n\t\t\t\\end{align*}$$", "html": "

pour \$(r,\\theta) \\in\n\\mathcal{D}_V\$, on a \\[\\begin{align*}\n \\dpsp{V}{r} &= \\dpa{}{r}\\left[ -\\frac{2}{r^3}\\cos\\theta\n\\right] = \\frac{6}{r^4}\\cos\\theta \\\\\n \\dpsp{V}{\\theta} &= \\dpa{}{\\theta}\\left[\n-\\frac{1}{r^2}\\sin\\theta \\right] = -\\frac{1}{r^2}\\cos\\theta \\\\\n \\dpsm{V}{r}{\\theta} &= \\dpa{}{r}\\left[\n-\\frac{1}{r^2}\\sin\\theta \\right] = \\frac{2}{r^3}\\sin\\theta\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "8746d60a-6e6c-4668-b4b7-7331847fff0a", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire que $$\\sin \\theta \\ \\dpa{}{r} \\left[ r^2 \\dpa{V}{r} \\right] + \\dpa{}{\\theta} \\left[ \\sin \\theta \\dpa{V}{\\theta} \\right] = 0.$$", "html": "

En déduire que \\[\\sin \\theta \\ \\dpa{}{r}\n\\left[ r^2 \\dpa{V}{r} \\right] + \\dpa{}{\\theta} \\left[ \\sin \\theta\n\\dpa{V}{\\theta} \\right] = 0.\\]

\n" } }, { "id": "3830511e-159d-4bb0-a245-47479d394343", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a\n\t\t\t\\begin{eqnarray*}\n\t\t\t\t\\lefteqn{\\sin \\theta \\ \\dpa{}{r} \\left[ r^2 \\dpa{V}{r} \\right] + \\dpa{}{\\theta} \\left[ \\sin \\theta \\dpa{V}{\\theta} \\right]} \\\\\n\t\t\t\t&=& \\sin\\theta \\left[ 2r \\dpa{V}{r} + r^2 \\dpsp{V}{r} \\right] + \\left[ \\cos\\theta \\dpa{V}{\\theta} + \\sin\\theta \\dpsp{V}{\\theta} \\right] \\\\\n\t\t\t\t&=& \\sin\\theta \\left[ 2r (-\\frac{2}{r^3}\\cos\\theta) + r^2 \\frac{6}{r^4}\\cos\\theta \\right] + \\left[ \\cos\\theta (-\\frac{1}{r^2}\\sin\\theta) + \\sin\\theta (-\\frac{1}{r^2}\\cos\\theta) \\right] \\\\\n\t\t\t\t&=& \\frac{\\cos\\theta\\sin\\theta}{r^2}(-4+ 6-1-1) \\\\\n\t\t\t\t&=& 0\n\t\t\\end{eqnarray*}", "html": "

On a \\[\\begin{aligned}\n \\lefteqn{\\sin \\theta \\ \\dpa{}{r} \\left[ r^2 \\dpa{V}{r}\n\\right] + \\dpa{}{\\theta} \\left[ \\sin \\theta \\dpa{V}{\\theta} \\right]} \\\\\n &=& \\sin\\theta \\left[ 2r \\dpa{V}{r} + r^2\n\\dpsp{V}{r} \\right] + \\left[ \\cos\\theta \\dpa{V}{\\theta} + \\sin\\theta\n\\dpsp{V}{\\theta} \\right] \\\\\n &=& \\sin\\theta \\left[ 2r\n(-\\frac{2}{r^3}\\cos\\theta) + r^2 \\frac{6}{r^4}\\cos\\theta \\right] +\n\\left[ \\cos\\theta (-\\frac{1}{r^2}\\sin\\theta) + \\sin\\theta\n(-\\frac{1}{r^2}\\cos\\theta) \\right] \\\\\n &=& \\frac{\\cos\\theta\\sin\\theta}{r^2}(-4+ 6-1-1)\n\\\\\n &=& 0\n \n\\end{aligned}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "6n4q", "titre": "Dérivées partielles et règle des chaînes", "theme": [ "calcul différentiel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:58.256Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:58.256Z" }, "contenu": [ { "id": "1c6cd574-38c2-40cb-b77e-e7e6a907c1ae", "type": "description", "value": { "latex": "On considère une boîte dont la longueur $\\ell$, la largeur $w$ et la hauteur $h$ varient au cours du temps $t$. \n\nA l'instant $t_0$, les dimensions de la boîte sont $\\ell = 1$~m, $w=h=2$~m. A ce même instant, on sait que $\\ell$ et $w$ augmentent de $2$m/s et $h$ diminue de $3$m/s. \n\nOn note $V$ le volume, $S$ la surface et $D$ la longueur de la diagonale de cette boîte.", "html": "

On considère une boîte dont la longueur \$\\ell\$, la largeur \$w\$ et la hauteur \$h\$ varient au cours du temps \$t\$.

A l’instant \$t_0\$, les dimensions\nde la boîte sont \$\\ell = 1\$ m, \$w=h=2\$ m. A ce même instant, on sait que\n\$\\ell\$ et \$w\$ augmentent de \$2\$m/s et \$h\$ diminue de \$3\$m/s.

On note \$V\$ le volume, \$S\$ la surface et \$D\$ la longueur de la diagonale de cette\nboîte.

\n" } }, { "id": "26048851-32f2-44a1-a876-633fb599ef6f", "type": "question", "value": { "latex": "Exprimer $V$, $S$ et $D$ comme fonction des trois variables $\\ell$, $w$, $h$.", "html": "

Exprimer \$V\$, \$S\$ et \$D\$ comme fonction des trois variables\n\$\\ell\$, \$w\$, \$h\$.

\n" } }, { "id": "3955ce09-5b38-4069-a059-221aeda787dd", "type": "reponse", "value": { "latex": "On écrit $V(\\ell,w,h) = \\ell\\times w \\times h$, $S(\\ell,w,h)=2(wh+w\\ell+h\\ell)$, $D=\\sqrt{\\ell^2+w^2+h^2}$.", "html": "

On écrit \$V(\\ell,w,h) = \\ell\\times w\n\\times h\$, \$S(\\ell,w,h)=2(wh+w\\ell+h\\ell)\$, \$D=\\sqrt{\\ell^2+w^2+h^2}\$.

\n" } }, { "id": "b9d01087-2d19-4f3f-80eb-b13d7b90bd3d", "type": "question", "value": { "latex": "Exprimer $\\dfrac{\\partial D}{\\partial h}(\\ell,w,h)$.", "html": "

Exprimer \$\\dfrac{\\partial D}{\\partial\nh}(\\ell,w,h)\$.

\n" } }, { "id": "7e850a9f-2102-40d1-a265-65e72ceada5a", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\dfrac{\\partial D}{\\partial h}(\\ell,w,h) = \\frac{2h}{2\\sqrt{\\ell^2+w^2+h^2}} = \\frac{h}{\\sqrt{\\ell^2+w^2+h^2}}$", "html": "

\$\\dfrac{\\partial D}{\\partial h}(\\ell,w,h)\n= \\frac{2h}{2\\sqrt{\\ell^2+w^2+h^2}} =\n\\frac{h}{\\sqrt{\\ell^2+w^2+h^2}}\$

\n" } }, { "id": "2b41b7a5-3ddc-4432-8b7b-11c42b4ecfd4", "type": "question", "value": { "latex": "Que valent $\\ell'(t_0)$, $w'(t_0)$, $h'(t_0)$ ?", "html": "

Que valent \$\\ell'(t_0)\$, \$w'(t_0)\$, \$h'(t_0)\$ ?

\n" } }, { "id": "ed0aed2a-22fb-417d-979c-5b720a231442", "type": "reponse", "value": { "latex": "D'après l'énoncé, $\\ell'(t_0) = w'(t_0)=2$, $h'(t_0)=-3$.", "html": "

D’après l’énoncé, \$\\ell'(t_0) =\nw'(t_0)=2\$, \$h'(t_0)=-3\$.

\n" } }, { "id": "1d0553f0-41f3-4cc6-9704-4075ee98a1e9", "type": "question", "value": { "latex": "On pose $\\tilde{V}(t) = V(\\ell(t),w(t),h(t))$. Exprimer $\\frac{\\partial V}{\\partial \\ell}$, $\\frac{\\partial V}{\\partial w}$ et $\\frac{\\partial V}{\\partial h}$ puis en calculant une dérivée partielle, déterminer les taux de variations à l'instant $t_0$ du volume, de la surface et de la diagonale de cette boîte.", "html": "

On pose \$\\tilde{V}(t) =\nV(\\ell(t),w(t),h(t))\$. Exprimer \$\\frac{\\partial V}{\\partial \\ell}\$, \$\\frac{\\partial V}{\\partial w}\$ et \$\\frac{\\partial V}{\\partial h}\$ puis en\ncalculant une dérivée partielle, déterminer les taux de variations à\nl’instant \$t_0\$ du volume, de la\nsurface et de la diagonale de cette boîte.

\n" } }, { "id": "338bc569-0d8f-4ff2-a3b3-114a520d62f6", "type": "reponse", "value": { "latex": "Le taux de variation du volume est modélisé par la dérivée de $\\tilde{V}$ par rapport au temps. On peut voir $V$ comme la composée de la fonction $t\\mapsto (\\ell(t),w(t),h(t)$ avec la fonction de trois variables $(\\ell,w,h) \\mapsto \\ell\\times w \\times h$.\n\t\t\n\t\tD'après la règle des chaînes, \n\t\t$$\\frac{\\partial \\tilde{V}}{\\partial t}(t_0) = \\frac{\\partial V}{\\partial \\ell}(\\ell(t_0),w(t_0),h(t_0)) \\times \\ell'(t_0) + \\frac{\\partial V}{\\partial w}(w(t_0),w(t_0),h(t_0)) \\times w'(t_0) + \\frac{\\partial V}{\\partial h}(h(t_0),w(t_0),h(t_0)) \\times h'(t_0)$$\n\t\tOr $\\frac{\\partial V}{\\partial \\ell}(\\ell,w,h) = wh$, $\\frac{\\partial V}{\\partial w}(\\ell,w,h) = \\ell h$ et $\\frac{\\partial V}{\\partial h}(\\ell,w,h) = \\ell w$.\n\t\t\n\t\tDonc en substituant, on obtient :\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\frac{\\partial V}{\\partial t}(t_0) &= \\ell'(t_0)w(t_0)h(t_0) + \\ell(t_0)w'(t_0)h(t_0)+\\ell(t_0)w(t_0)h'(t_0) \\\\\n\t\t&= 2 \\times 2 \\times 2 + 1 \\times 2 \\times 2 + 1 \\times 2 \\times (-3)\\\\\n\t\t&= 6m^3/s\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tEn suivant le même raisonnement avec la règle des chaînes, on obtient :\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\frac{\\partial S}{\\partial t}(t_0) &= 2\\ell'(t_0)(w(t_0)+h(t_0)) + 2w'(t_0)(\\ell(t_0)+h(t_0)) + 2h'(t_0)(\\ell(t_0)+w(t_0)) \\\\\n\t\t&= 10m^2/s\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tet enfin\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\frac{\\partial D}{\\partial t}(t_0) &= \\frac{\\ell(t_0)\\ell'(t_0)+w(t_0)w'(t_0)+h(t_0)h'(t_0)}{\\sqrt{\\ell^2(t_0)+w^2(t_0)+h^2(t_0)}} \\\\\n\t\t&= 0m/s\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

Le taux de variation du volume est modélisé par la dérivée de \$\\tilde{V}\$ par rapport au temps. On peut\nvoir \$V\$ comme la composée de la\nfonction \$t\\mapsto\n(\\ell(t),w(t),h(t)\$ avec la fonction de trois variables \$(\\ell,w,h) \\mapsto \\ell\\times w \\times\nh\$.

D’après la règle des chaînes, \\[\\frac{\\partial \\tilde{V}}{\\partial t}(t_0) =\n\\frac{\\partial V}{\\partial \\ell}(\\ell(t_0),w(t_0),h(t_0)) \\times\n\\ell'(t_0) + \\frac{\\partial V}{\\partial w}(w(t_0),w(t_0),h(t_0))\n\\times w'(t_0) + \\frac{\\partial V}{\\partial h}(h(t_0),w(t_0),h(t_0))\n\\times h'(t_0)\\] Or \$\\frac{\\partial V}{\\partial \\ell}(\\ell,w,h) =\nwh\$, \$\\frac{\\partial V}{\\partial\nw}(\\ell,w,h) = \\ell h\$ et \$\\frac{\\partial V}{\\partial h}(\\ell,w,h) = \\ell\nw\$.

Donc en substituant, on obtient : \\[\\begin{align*}\n \\frac{\\partial V}{\\partial t}(t_0) &=\n\\ell'(t_0)w(t_0)h(t_0) +\n\\ell(t_0)w'(t_0)h(t_0)+\\ell(t_0)w(t_0)h'(t_0) \\\\\n &= 2 \\times 2 \\times 2 + 1 \\times 2 \\times 2 + 1 \\times 2\n\\times (-3)\\\\\n &= 6m^3/s\n \\end{align*}\\] En suivant le même raisonnement avec la\nrègle des chaînes, on obtient : \\[\\begin{align*}\n \\frac{\\partial S}{\\partial t}(t_0) &=\n2\\ell'(t_0)(w(t_0)+h(t_0)) + 2w'(t_0)(\\ell(t_0)+h(t_0)) +\n2h'(t_0)(\\ell(t_0)+w(t_0)) \\\\\n &= 10m^2/s\n \\end{align*}\\] et enfin \\[\\begin{align*}\n \\frac{\\partial D}{\\partial t}(t_0) &=\n\\frac{\\ell(t_0)\\ell'(t_0)+w(t_0)w'(t_0)+h(t_0)h'(t_0)}{\\sqrt{\\ell^2(t_0)+w^2(t_0)+h^2(t_0)}}\n\\\\\n &= 0m/s\n \\end{align*}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "kOVx", "titre": "Déterminant d'un produit", "theme": [ "calcul déterminant" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:41.328Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:41.328Z" }, "contenu": [ { "id": "9c9c6707-6fd6-4f34-a91a-24e23259801c", "type": "question", "value": { "latex": "En utilisant le déterminant, justifier l'existence d'une matrice $A$ vérifiant :\n$$\n\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t5 & 4 & 3 \\\\\n\t7 & 6 & 5 \\\\\n\t2 & 0 & 1\n\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t0 & 1 & -1 \\\\\n\t1 & 1 & 1 \\\\\n\t1 & 0 & 1\n\\end{array}\\right) \\cdot A\n$$\npuis déterminer $A$.", "html": "

En utilisant le déterminant, justifier l’existence d’une matrice\n\$A\$ vérifiant : \\[\\left(\\begin{array}{ccc}\n 5 & 4 & 3 \\\\\n 7 & 6 & 5 \\\\\n 2 & 0 & 1\n\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{ccc}\n 0 & 1 & -1 \\\\\n 1 & 1 & 1 \\\\\n 1 & 0 & 1\n\\end{array}\\right) \\cdot A\\] puis déterminer \$A\$.

\n" } }, { "id": "6157f69c-04c6-40a8-a033-6e24cb5afdfa", "type": "reponse", "value": { "latex": "Remarque :\nCompte-tenu des règles du produit matriciel, si elles existent, les matrices $A$ et $B$ sont des matrices $3 \\times 3$.\nPuisque $\\left|\\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1\\end{array}\\right| \\neq 0$, la matrice $M=\\left(\\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1\\end{array}\\right)$ est inversible et :\n$$\n\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t0 & 1 & -1 \\\\\n\t1 & 1 & 1 \\\\\n\t1 & 0 & 1\n\\end{array}\\right)^{-1} \\cdot\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t5 & 4 & 3 \\\\\n\t7 & 6 & 5 \\\\\n\t2 & 0 & 1\n\\end{array}\\right)=\\underbrace{\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t0 & 1 & -1 \\\\\n\t\t1 & 1 & 1 \\\\\n\t\t1 & 0 & 1\n\t\\end{array}\\right)^{-1} \\cdot\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t0 & 1 & -1 \\\\\n\t\t1 & 1 & 1 \\\\\n\t\t1 & 0 & 1\n\t\\end{array}\\right)}_{I d} \\cdot A=A\n$$\nOn calcule $\\left(\\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1\\end{array}\\right)^{-1}=\\left(\\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\\\ 0 & 1 & -1 \\\\ -1 & 1 & -1\\end{array}\\right)$ par l'une ou l'autre méthode d'inversion.\nMéthode 1 :\nPar la méthode du pivot de Gauss. Posons :\n$$\nM=\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t0 & 1 & -1 \\\\\n\t1 & 1 & 1 \\\\\n\t1 & 0 & 1\n\\end{array}\\right) \\quad I_3=\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t1 & 0 & 0 \\\\\n\t0 & 1 & 0 \\\\\n\t0 & 0 & 1\n\\end{array}\\right)\n$$\nPermutons la première et la troisième ligne :\n$$\n\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t1 & 0 & 1 \\\\\n\t1 & 1 & 1 \\\\\n\t0 & 1 & -1\n\\end{array}\\right) \\quad\\left(\\begin{array}{lll}\n\t0 & 0 & 1 \\\\\n\t0 & 1 & 0 \\\\\n\t1 & 0 & 0\n\\end{array}\\right)\n$$\nRetranchons la première ligne de la deuxième :\n$$\n\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t1 & 0 & 1 \\\\\n\t0 & 1 & 0 \\\\\n\t0 & 1 & -1\n\\end{array}\\right) \\quad\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t0 & 0 & 1 \\\\\n\t0 & 1 & -1 \\\\\n\t1 & 0 & 0\n\\end{array}\\right)\n$$\nRetranchons la deuxième ligne de la troisième :\n$$\n\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t1 & 0 & 1 \\\\\n\t0 & 1 & 0 \\\\\n\t0 & 0 & -1\n\\end{array}\\right) \\quad\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t0 & 0 & 1 \\\\\n\t0 & 1 & -1 \\\\\n\t1 & -1 & 1\n\\end{array}\\right)\n$$\nChangeons le signe de la troisième ligne :\n$$\n\\left(\\begin{array}{lll}\n\t1 & 0 & 1 \\\\\n\t0 & 1 & 0 \\\\\n\t0 & 0 & 1\n\\end{array}\\right) \\quad\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t0 & 0 & 1 \\\\\n\t0 & 1 & -1 \\\\\n\t-1 & 1 & -1\n\\end{array}\\right)\n$$\nRetranchons la troisième ligne de la première :\n$$\nI_3=\\left(\\begin{array}{lll}\n\t1 & 0 & 0 \\\\\n\t0 & 1 & 0 \\\\\n\t0 & 0 & 1\n\\end{array}\\right) \\quad\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t1 & -1 & 2 \\\\\n\t0 & 1 & -1 \\\\\n\t-1 & 1 & -1\n\\end{array}\\right)=M^{-1}\n$$", "html": "

Remarque : Compte-tenu des règles du produit matriciel, si elles\nexistent, les matrices \$A\$ et \$B\$ sont des matrices \$3 \\times 3\$. Puisque \$\\left|\\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\\\ 1\n& 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1\\end{array}\\right| \\neq 0\$,\nla matrice \$M=\\left(\\begin{array}{ccc}0 &\n1 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 &\n1\\end{array}\\right)\$ est inversible et : \\[\\left(\\begin{array}{ccc}\n 0 & 1 & -1 \\\\\n 1 & 1 & 1 \\\\\n 1 & 0 & 1\n\\end{array}\\right)^{-1} \\cdot\\left(\\begin{array}{ccc}\n 5 & 4 & 3 \\\\\n 7 & 6 & 5 \\\\\n 2 & 0 & 1\n\\end{array}\\right)=\\underbrace{\\left(\\begin{array}{ccc}\n 0 & 1 & -1 \\\\\n 1 & 1 & 1 \\\\\n 1 & 0 & 1\n \\end{array}\\right)^{-1} \\cdot\\left(\\begin{array}{ccc}\n 0 & 1 & -1 \\\\\n 1 & 1 & 1 \\\\\n 1 & 0 & 1\n \\end{array}\\right)}_{I d} \\cdot A=A\\] On calcule \$\\left(\\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\\\ 1\n& 1 & 1 \\\\ 1 & 0 &\n1\\end{array}\\right)^{-1}=\\left(\\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\\\ 0\n& 1 & -1 \\\\ -1 & 1 & -1\\end{array}\\right)\$ par\nl’une ou l’autre méthode d’inversion. Méthode 1 : Par la méthode du\npivot de Gauss. Posons : \\[M=\\left(\\begin{array}{ccc}\n 0 & 1 & -1 \\\\\n 1 & 1 & 1 \\\\\n 1 & 0 & 1\n\\end{array}\\right) \\quad I_3=\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & 0 & 0 \\\\\n 0 & 1 & 0 \\\\\n 0 & 0 & 1\n\\end{array}\\right)\\] Permutons la première et la troisième ligne\n: \\[\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & 0 & 1 \\\\\n 1 & 1 & 1 \\\\\n 0 & 1 & -1\n\\end{array}\\right) \\quad\\left(\\begin{array}{lll}\n 0 & 0 & 1 \\\\\n 0 & 1 & 0 \\\\\n 1 & 0 & 0\n\\end{array}\\right)\\] Retranchons la première ligne de la deuxième\n: \\[\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & 0 & 1 \\\\\n 0 & 1 & 0 \\\\\n 0 & 1 & -1\n\\end{array}\\right) \\quad\\left(\\begin{array}{ccc}\n 0 & 0 & 1 \\\\\n 0 & 1 & -1 \\\\\n 1 & 0 & 0\n\\end{array}\\right)\\] Retranchons la deuxième ligne de la\ntroisième : \\[\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & 0 & 1 \\\\\n 0 & 1 & 0 \\\\\n 0 & 0 & -1\n\\end{array}\\right) \\quad\\left(\\begin{array}{ccc}\n 0 & 0 & 1 \\\\\n 0 & 1 & -1 \\\\\n 1 & -1 & 1\n\\end{array}\\right)\\] Changeons le signe de la troisième ligne :\n\\[\\left(\\begin{array}{lll}\n 1 & 0 & 1 \\\\\n 0 & 1 & 0 \\\\\n 0 & 0 & 1\n\\end{array}\\right) \\quad\\left(\\begin{array}{ccc}\n 0 & 0 & 1 \\\\\n 0 & 1 & -1 \\\\\n -1 & 1 & -1\n\\end{array}\\right)\\] Retranchons la troisième ligne de la\npremière : \\[I_3=\\left(\\begin{array}{lll}\n 1 & 0 & 0 \\\\\n 0 & 1 & 0 \\\\\n 0 & 0 & 1\n\\end{array}\\right) \\quad\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & -1 & 2 \\\\\n 0 & 1 & -1 \\\\\n -1 & 1 & -1\n\\end{array}\\right)=M^{-1}\\]

\n" } }, { "id": "1302dd6b-aae2-4ac2-9659-43a228992266", "type": "question", "value": { "latex": "Peut-on utiliser le même procédé pour déterminer $B$ qui vérifie :\n$$\n\\left(\\begin{array}{lll}\n\t5 & 4 & 3 \\\\\n\t7 & 6 & 5 \\\\\n\t2 & 0 & 1\n\\end{array}\\right)=B \\cdot\\left(\\begin{array}{lll}\n\t1 & 2 & 3 \\\\\n\t2 & 3 & 4 \\\\\n\t1 & 2 & 3\n\\end{array}\\right)\n$$", "html": "

Peut-on utiliser le même procédé pour déterminer \$B\$ qui vérifie : \\[\\left(\\begin{array}{lll}\n 5 & 4 & 3 \\\\\n 7 & 6 & 5 \\\\\n 2 & 0 & 1\n\\end{array}\\right)=B \\cdot\\left(\\begin{array}{lll}\n 1 & 2 & 3 \\\\\n 2 & 3 & 4 \\\\\n 1 & 2 & 3\n\\end{array}\\right)\\]

\n" } }, { "id": "43d749f6-abbb-40f3-ba9e-f463259421d8", "type": "reponse", "value": { "latex": "En revanche, puisque $\\forall M, N \\in \\mathcal{M}_n(\\mathbb{R}) \\operatorname{det}(M \\times N)=\\operatorname{det}(M) \\times \\operatorname{det}(N)$, il n'existe pas de matrice $B \\in \\mathcal{M}_3(\\mathbb{R})$ telle que $\\left(\\begin{array}{lll}5 & 4 & 3 \\\\ 7 & 6 & 5 \\\\ 2 & 0 & 1\\end{array}\\right)=B \\cdot\\left(\\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 3 & 4 \\\\ 1 & 2 & 3\\end{array}\\right)$ car $\\left|\\begin{array}{lll}5 & 4 & 3 \\\\ 7 & 6 & 5 \\\\ 2 & 0 & 1\\end{array}\\right| \\neq 0$ et $\\left|\\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 3 & 4 \\\\ 1 & 2 & 3\\end{array}\\right|=0$.", "html": "

En revanche, puisque \$\\forall M, N \\in\n\\mathcal{M}_n(\\mathbb{R}) \\operatorname{det}(M \\times\nN)=\\operatorname{det}(M) \\times \\operatorname{det}(N)\$, il\nn’existe pas de matrice \$B \\in\n\\mathcal{M}_3(\\mathbb{R})\$ telle que \$\\left(\\begin{array}{lll}5 & 4 & 3 \\\\ 7\n& 6 & 5 \\\\ 2 & 0 & 1\\end{array}\\right)=B\n\\cdot\\left(\\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 3 & 4 \\\\ 1\n& 2 & 3\\end{array}\\right)\$ car \$\\left|\\begin{array}{lll}5 & 4 & 3 \\\\ 7\n& 6 & 5 \\\\ 2 & 0 & 1\\end{array}\\right| \\neq 0\$\net \$\\left|\\begin{array}{lll}1 & 2 & 3\n\\\\ 2 & 3 & 4 \\\\ 1 & 2 &\n3\\end{array}\\right|=0\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "lCVu", "titre": "Déterminant d'un produit", "theme": [ "calcul déterminant" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:42.638Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:42.638Z" }, "contenu": [ { "id": "e0a12051-8143-44db-bce5-408935db623c", "type": "question", "value": { "latex": "Soient $A$ et $B$ deux matrices telles que $|A B|=-2,|B|>0$, et $B=B^{-1}$. Déterminer $|A|$.", "html": "

Soient \$A\$ et \$B\$ deux matrices telles que \$|A B|=-2,|B|>0\$, et \$B=B^{-1}\$. Déterminer \$|A|\$.

\n" } }, { "id": "7bb97c6a-a630-466d-80ba-df2b56c5dc0e", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $\\operatorname{det}(A \\cdot B)=\\operatorname{det}(A) \\times \\operatorname{det}(B)=-2$, et $B=B^{-1} \\Rightarrow \\operatorname{det}(B)=\\operatorname{det}\\left(B^{-1}\\right)$.\nOr $\\operatorname{det}\\left(B^{-1}\\right)=(\\operatorname{det}(B))^{-1}$, aussi :\n$$\n\\operatorname{det}(B)=\\operatorname{det}\\left(B^{-1}\\right)=(\\operatorname{det}(B))^{-1}=\\frac{1}{\\operatorname{det}(B)} \\Leftrightarrow(\\operatorname{det}(B))^2=1 \\Leftrightarrow \\operatorname{det}(B)=\\pm 1\n$$\nPuisque $\\operatorname{det}(B)>0, \\operatorname{det}(B)=+1$ et $\\operatorname{det}(A)=-2$.", "html": "

On a \$\\operatorname{det}(A \\cdot\nB)=\\operatorname{det}(A) \\times \\operatorname{det}(B)=-2\$, et\n\$B=B^{-1} \\Rightarrow\n\\operatorname{det}(B)=\\operatorname{det}\\left(B^{-1}\\right)\$. Or\n\$\\operatorname{det}\\left(B^{-1}\\right)=(\\operatorname{det}(B))^{-1}\$,\naussi : \\[\\operatorname{det}(B)=\\operatorname{det}\\left(B^{-1}\\right)=(\\operatorname{det}(B))^{-1}=\\frac{1}{\\operatorname{det}(B)}\n\\Leftrightarrow(\\operatorname{det}(B))^2=1 \\Leftrightarrow\n\\operatorname{det}(B)=\\pm 1\\] Puisque \$\\operatorname{det}(B)>0,\n\\operatorname{det}(B)=+1\$ et \$\\operatorname{det}(A)=-2\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "5sS2", "titre": "Déterminant de Van Der Monde", "theme": [ "polynomes" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:56.564Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:56.564Z" }, "contenu": [ { "id": "fd2191f0-aa21-4467-8b92-c8d4c6e958f0", "type": "description", "value": { "latex": "On se propose de calculer le déterminant de VAN DER MONDE :\n$$\n\\Delta=\\left|\\begin{array}{cccc}\n1 & 1 & 1 & 1 \\\\\na & b & c & x \\\\\na^2 & b^2 & c^2 & x^2 \\\\\na^3 & b^3 & c^3 & x^3\n\\end{array}\\right|\n$$", "html": "

On se propose de calculer le déterminant de VAN DER MONDE : \\[\\Delta=\\left|\\begin{array}{cccc}\n1 & 1 & 1 & 1 \\\\\na & b & c & x \\\\\na^2 & b^2 & c^2 & x^2 \\\\\na^3 & b^3 & c^3 & x^3\n\\end{array}\\right|\\]

\n" } }, { "id": "202681ba-00ea-4a95-b9ee-df3f9b4895e5", "type": "question", "value": { "latex": "Quel est le degré du polynôme $P(x)=\\Delta$ ?", "html": "

Quel est le degré du polynôme \$P(x)=\\Delta\$ ?

\n" } }, { "id": "b6dd39f9-0d7f-4f11-a0e3-834a57e72508", "type": "reponse", "value": { "latex": "Si l'on développe le déterminant $\\Delta$ par rapport à sa 4 ème colonne, on voit que $P(x)$ est un polynôme de degré au plus 3.", "html": "

Si l’on développe le déterminant \$\\Delta\$ par rapport à sa 4 ème colonne, on\nvoit que \$P(x)\$ est un polynôme de\ndegré au plus 3.

\n" } }, { "id": "ac6ec550-d2d7-4f8b-92aa-99bf6120b5a4", "type": "question", "value": { "latex": "Sans calculer $\\Delta$, donner trois racines évidentes du polynôme $P(x)$. En déduire $\\Delta$.", "html": "

Sans calculer \$\\Delta\$, donner\ntrois racines évidentes du polynôme \$P(x)\$. En déduire \$\\Delta\$.

\n" } }, { "id": "a254a968-a9c4-4ec1-b800-a9151e2ab63b", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour $x=a, \\Delta=0$ car deux colonnes sont identiques. De même, pour $x=b$ et pour $x=c$. Ainsi, $a, b$ et $c$ sont trois racines évidentes de $P(x)$.\nAinsi :\n$$\nP(x)=k \\cdot(x-a)(x-b)(x-c)\n$$\noù $k$ est le coefficient de $x^3$. Ainsi :\n$$\n\\begin{aligned}\n& k=\\left|\\begin{array}{ccc}\n1 & 1 & 1 \\\\\na & b & c \\\\\na^2 & b^2 & c^2\n\\end{array}\\right|=\\left|\\begin{array}{ccc}\n1 & 0 & 0 \\\\\na & b-a & c-a \\\\\na^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2\n\\end{array}\\right| \\\\\n& =(b-a)(c-a)\\left|\\begin{array}{ccc}\n\\mathcal{c}_1 & c_2 & c_3-c_2 \\\\\n1 & 0 & 0 \\\\\na & 1 & 0 \\\\\na^2 & b+a & c-b\n\\end{array}\\right| \\\\\n& =(b-a)(c-a)(c-b) \\\\\n&\n\\end{aligned}\n$$\nConclusion :\n$$\nP(x)=(b-a)(c-a)(c-b)(x-a)(x-b)(x-c)\n$$", "html": "

Pour \$x=a, \\Delta=0\$ car deux\ncolonnes sont identiques. De même, pour \$x=b\$ et pour \$x=c\$. Ainsi, \$a, b\$ et \$c\$ sont trois racines évidentes de \$P(x)\$. Ainsi : \\[P(x)=k \\cdot(x-a)(x-b)(x-c)\\] où \$k\$ est le coefficient de \$x^3\$. Ainsi : \\[\\begin{aligned}\n& k=\\left|\\begin{array}{ccc}\n1 & 1 & 1 \\\\\na & b & c \\\\\na^2 & b^2 & c^2\n\\end{array}\\right|=\\left|\\begin{array}{ccc}\n1 & 0 & 0 \\\\\na & b-a & c-a \\\\\na^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2\n\\end{array}\\right| \\\\\n& =(b-a)(c-a)\\left|\\begin{array}{ccc}\n\\mathcal{c}_1 & c_2 & c_3-c_2 \\\\\n1 & 0 & 0 \\\\\na & 1 & 0 \\\\\na^2 & b+a & c-b\n\\end{array}\\right| \\\\\n& =(b-a)(c-a)(c-b) \\\\\n&\n\\end{aligned}\\] Conclusion : \\[P(x)=(b-a)(c-a)(c-b)(x-a)(x-b)(x-c)\\]

\n" } }, { "id": "33422246-0aca-4976-8527-03e70cc1131f", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\left|\\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & i & -1 & -i \\\\ 1 & -1 & 1 & -1 \\\\ 1 & -i & -1 & i\\end{array}\\right|$.", "html": "

Calculer \$\\left|\\begin{array}{cccc}1 &\n1 & 1 & 1 \\\\ 1 & i & -1 & -i \\\\ 1 & -1 & 1\n& -1 \\\\ 1 & -i & -1 & i\\end{array}\\right|\$.

\n" } }, { "id": "01553b65-9e1d-4877-8e88-bab0729eca3f", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\left|\\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & i & -1 & -i \\\\ 1 & -1 & 1 & -1 \\\\ 1 & -i & -1 & i\\end{array}\\right|=P(-i)$ pour $a=1, b=i$ et $c=-1$.\nAussi :\n$$\n\\begin{aligned}\n\\left|\\begin{array}{cccc}\n1 & 1 & 1 & 1 \\\\\n1 & i & -1 & -i \\\\\n1 & -1 & 1 & -1 \\\\\n1 & -i & -1 & i\n\\end{array}\\right| & =(i-1) \\underbrace{(-1-1)}_{-2}(-1-i)(-i-1) \\underbrace{(-i-i)}_{-2 i}(-i+1) \\\\\n& =4 i \\underbrace{(i-1)(-1-i)}_2 \\underbrace{(-i-1)(-i+1)}_{-2} \\\\\n& =-16 i\n\\end{aligned}\n$$", "html": "

\$\\left|\\begin{array}{cccc}1 & 1 &\n1 & 1 \\\\ 1 & i & -1 & -i \\\\ 1 & -1 & 1 & -1\n\\\\ 1 & -i & -1 & i\\end{array}\\right|=P(-i)\$ pour\n\$a=1, b=i\$ et \$c=-1\$. Aussi : \\[\\begin{aligned}\n\\left|\\begin{array}{cccc}\n1 & 1 & 1 & 1 \\\\\n1 & i & -1 & -i \\\\\n1 & -1 & 1 & -1 \\\\\n1 & -i & -1 & i\n\\end{array}\\right| & =(i-1) \\underbrace{(-1-1)}_{-2}(-1-i)(-i-1)\n\\underbrace{(-i-i)}_{-2 i}(-i+1) \\\\\n& =4 i \\underbrace{(i-1)(-1-i)}_2 \\underbrace{(-i-1)(-i+1)}_{-2} \\\\\n& =-16 i\n\\end{aligned}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "Fe1h", "titre": "Déterminant de Vandermonde", "theme": [ "calcul déterminant" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:07.194Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:07.194Z" }, "contenu": [ { "id": "4066bf1e-b198-4caf-ac3b-de8dfd112c10", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que :\n$$\n\\left|\\begin{array}{lll}\n\t1 & 1 & 1 \\\\\n\ta & b & c \\\\\n\ta^2 & b^2 & c^2\n\\end{array}\\right|=(c-a)(b-a)(c-b)\n$$", "html": "

Montrer que : \\[\\left|\\begin{array}{lll}\n 1 & 1 & 1 \\\\\n a & b & c \\\\\n a^2 & b^2 & c^2\n\\end{array}\\right|=(c-a)(b-a)(c-b)\\]

\n" } }, { "id": "1ab109ea-ea4f-43c5-bda1-56fbb4a02e66", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\n\\begin{aligned}\n\t& \\left|\\begin{array}{ccc}\n\t\t1 & 1 & 1 \\\\\n\t\ta & b & c \\\\\n\t\ta^2 & b^2 & c^2\n\t\\end{array}\\right|=\\left|\\begin{array}{ccc}\n\t\t\\mathcal{c}_1 & \\mathcal{c}_2-\\mathcal{c}_1 & \\mathcal{c}_3-\\mathcal{c}_1 \\\\\n\t\ta & 0 & 0 \\\\\n\t\ta^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2\n\t\\end{array}\\right| \\\\\n\t& =(b-a)(c-a)\\left|\\begin{array}{ccc}\n\t\tc_1 & c_2 & \\mathcal{c}_3-c_2 \\\\\n\t\t1 & 0 & 0 \\\\\n\t\ta & 1 & 0 \\\\\n\t\ta^2 & b+a & c-b\n\t\\end{array}\\right| \\\\\n\t& =(b-a)(c-a)(c-b) \\\\\n\t&\n\\end{aligned}\n$$", "html": "

\\[\\begin{aligned}\n & \\left|\\begin{array}{ccc}\n 1 & 1 & 1 \\\\\n a & b & c \\\\\n a^2 & b^2 & c^2\n \\end{array}\\right|=\\left|\\begin{array}{ccc}\n \\mathcal{c}_1 & \\mathcal{c}_2-\\mathcal{c}_1 &\n\\mathcal{c}_3-\\mathcal{c}_1 \\\\\n a & 0 & 0 \\\\\n a^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2\n \\end{array}\\right| \\\\\n & =(b-a)(c-a)\\left|\\begin{array}{ccc}\n c_1 & c_2 & \\mathcal{c}_3-c_2 \\\\\n 1 & 0 & 0 \\\\\n a & 1 & 0 \\\\\n a^2 & b+a & c-b\n \\end{array}\\right| \\\\\n & =(b-a)(c-a)(c-b) \\\\\n &\n\\end{aligned}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "tQCJ", "titre": "Déterminant nul", "theme": [ "calcul déterminant" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:51.540Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:51.540Z" }, "contenu": [ { "id": "41fe73c6-382d-46cb-a97b-5d3b655a51df", "type": "question", "value": { "latex": "Sans calculs (ou presque), justifier que les déterminants suivants sont nuls. \n$$\n\\Delta_1=\\left|\\begin{array}{cccc}\n\t2 & 3 & 0 & 7 \\\\\n\t16 & 25 & 31 & 12 \\\\\n\t0 & 0 & 0 & 0 \\\\\n\t1 & -11 & 1 & 0\n\\end{array}\\right|, \\quad \\Delta_2=\\left|\\begin{array}{cccc}\n\t1 & 6 & 7 & 14 \\\\\n\t-1 & 1 & 0 & 0 \\\\\n\t2 & 4 & 6 & 4 \\\\\n\t0 & 1 & 1 & 2\n\\end{array}\\right|\n$$", "html": "

Sans calculs (ou presque), justifier que les déterminants suivants\nsont nuls. \\[\\Delta_1=\\left|\\begin{array}{cccc}\n 2 & 3 & 0 & 7 \\\\\n 16 & 25 & 31 & 12 \\\\\n 0 & 0 & 0 & 0 \\\\\n 1 & -11 & 1 & 0\n\\end{array}\\right|, \\quad \\Delta_2=\\left|\\begin{array}{cccc}\n 1 & 6 & 7 & 14 \\\\\n -1 & 1 & 0 & 0 \\\\\n 2 & 4 & 6 & 4 \\\\\n 0 & 1 & 1 & 2\n\\end{array}\\right|\\]

\n" } }, { "id": "691cb245-5c64-43e2-a6fc-93c2ef6b70dc", "type": "reponse", "value": { "latex": "La matrice comporte une ligne de zéro donc par propriété du déterminant : $$\n\t\\Delta_1=\\left|\\begin{array}{cccc}\n\t\t2 & 3 & 0 & 7 \\\\\n\t\t16 & 25 & 31 & 12 \\\\\n\t\t0 & 0 & 0 & 0 \\\\\n\t\t1 & -11 & 1 & 0\n\t\\end{array}\\right|=0\n\t$$\n\tPour le calcul de $\\Delta_2$, on remarque que $\\mathcal{C}_3=\\mathcal{C}_1+\\mathcal{C}_2$, donc :\n\t$$\n\t\\Delta_2=\\left|\\begin{array}{cccc}\n\t\tc_1 & c_2 & c_3 & c_4 \\\\\n\t\t1 & 6 & 7 & 14 \\\\\n\t\t-1 & 1 & 0 & 0 \\\\\n\t\t2 & 4 & 6 & 4 \\\\\n\t\t0 & 1 & 1 & 2\n\t\\end{array}\\right|=0\n\t$$", "html": "

La matrice comporte une ligne de zéro donc par propriété du\ndéterminant : \\[\\Delta_1=\\left|\\begin{array}{cccc}\n 2 & 3 & 0 & 7 \\\\\n 16 & 25 & 31 & 12 \\\\\n 0 & 0 & 0 & 0 \\\\\n 1 & -11 & 1 & 0\n \\end{array}\\right|=0\\] Pour le calcul de \$\\Delta_2\$, on remarque que \$\\mathcal{C}_3=\\mathcal{C}_1+\\mathcal{C}_2\$,\ndonc : \\[\\Delta_2=\\left|\\begin{array}{cccc}\n c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \\\\\n 1 & 6 & 7 & 14 \\\\\n -1 & 1 & 0 & 0 \\\\\n 2 & 4 & 6 & 4 \\\\\n 0 & 1 & 1 & 2\n \\end{array}\\right|=0\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "Ajfy", "titre": "Deux approximations", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:22:02.132Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:02.132Z" }, "contenu": [ { "id": "d0c4d1ad-1b6f-4204-b20a-97070694312c", "type": "description", "value": { "latex": "Une machine produit des rondelles métalliques en grande série. Une rondelle est acceptée si son diamètre extérieur est compris entre $21.9$ et $22.1$ mm. On suppose que sur l'ensemble de la production, le diamètre extérieur des rondelles est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de moyenne $22$ mm et d'écart-type $0.05$ mm.", "html": "

Une machine produit des rondelles métalliques en grande série. Une\nrondelle est acceptée si son diamètre extérieur est compris entre \$21.9\$ et \$22.1\$ mm. On suppose que sur l’ensemble de\nla production, le diamètre extérieur des rondelles est une variable\naléatoire \$X\$ qui suit une loi\nnormale de moyenne \$22\$ mm et\nd’écart-type \$0.05\$ mm.

\n" } }, { "id": "6561d7f5-0e79-4c2a-b58f-8622dcd4adf5", "type": "question", "value": { "latex": "Quelle est la probabilité $p$ qu'une pièce soit refusée ?", "html": "

Quelle est la probabilité \$p\$\nqu’une pièce soit refusée ?

\n" } }, { "id": "a56b9236-9487-4f0d-b38d-b06277405e27", "type": "reponse", "value": { "latex": "On calcule la probabilité qu'une pièce soit acceptée\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\prob(21.9\\leq X\\leq 22.1)\n\t\t&= \\prob(-2\\leq \\frac{X-22}{0.05}\\leq 2)\n\t\t=2\\prob(\\frac{X-22}{0.05}\\leq 2)-1\n\t\t=2\\times 0.9772-1\n\t\t=0.9544.\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tAinsi, la probabilité qu'une pièce soit refusée est $p=1-0.9544=0.0456$.", "html": "

On calcule la probabilité qu’une pièce soit acceptée \\[\\begin{align*}\n \\prob(21.9\\leq X\\leq 22.1)\n &= \\prob(-2\\leq \\frac{X-22}{0.05}\\leq 2)\n =2\\prob(\\frac{X-22}{0.05}\\leq 2)-1\n =2\\times 0.9772-1\n =0.9544.\n \\end{align*}\\] Ainsi, la probabilité qu’une pièce soit\nrefusée est \$p=1-0.9544=0.0456\$.

\n" } }, { "id": "1785756f-275a-4cb9-b37f-c1eff8995d52", "type": "question", "value": { "latex": "On prélève $100$ pièces. En utilisant une approximation par la loi de Poisson, donner une approximation de la probabilité qu'il y ait $k$ rondelles refusées, pour $k\\in\\{0,1,2,3,4\\}$.", "html": "

On prélève \$100\$ pièces. En\nutilisant une approximation par la loi de Poisson, donner une\napproximation de la probabilité qu’il y ait \$k\$ rondelles refusées, pour \$k\\in\\{0,1,2,3,4\\}\$.

\n" } }, { "id": "aaa26074-322f-4447-a1e6-ed031ddfb8e0", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $Y$ le nombre de rondelles refusées sur les $100$ pièces. On a $Y\\sim \\mathcal{B}(100,p)$ et $\\E(Y)=100\\times p = 4.56$ donc $Y$ peut être approchée par la variable aléatoire $Z$ de loi $\\mathcal{P}(4.56)$. Ainsi,\n\t\t\\[ \\forall k \\in\\{0,\\cdots , 4\\},\\quad \\prob(Y=k)\\simeq \\prob(Z=k)=\\frac{4.56^k}{k!}e^{-4.56}.\\]\n\t\tLes résultats demandés sont dans le tableau suivant:\n\t\t\\begin{center}\n\t\t\t\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\n\t\t\t\t\\hline\n\t\t\t\t$k$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\\n\t\t\t\t\\hline\n\t\t\t\t$\\prob(Y=k)$ & $0.0105$ & $0.0477$ & $0.1088$ & $0.1653$ & $0.1885$ \\\\\n\t\t\t\t\\hline\n\t\t\t\\end{tabular}\n\t\t\\end{center}", "html": "

Soit \$Y\$ le nombre de rondelles\nrefusées sur les \$100\$ pièces. On a\n\$Y\\sim \\mathcal{B}(100,p)\$ et \$\\E(Y)=100\\times p = 4.56\$ donc \$Y\$ peut être approchée par la variable\naléatoire \$Z\$ de loi \$\\mathcal{P}(4.56)\$. Ainsi, \\[\\forall k \\in\\{0,\\cdots , 4\\},\\quad\n\\prob(Y=k)\\simeq \\prob(Z=k)=\\frac{4.56^k}{k!}e^{-4.56}.\\] Les\nrésultats demandés sont dans le tableau suivant:

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

\$k\$	0	1	2	3	4
\$\\prob(Y=k)\$	\$0.0105\$	\$0.0477\$	\$0.1088\$	\$0.1653\$	\$0.1885\$

\n" } }, { "id": "fe82bf18-2ad4-44b5-b592-8bafd24b14b7", "type": "question", "value": { "latex": "On prélève $\\nombre{1000}$ pièces. Proposer une approximation de la probabilité qu'il y ait au moins $50$ pièces refusées.", "html": "

On prélève \$\\nombre{1000}\$ pièces.\nProposer une approximation de la probabilité qu’il y ait au moins \$50\$ pièces refusées.

\n" } }, { "id": "77224171-abc0-4d13-ba08-a8cfedc6a1e3", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $R$ le nombre de pièces refusées parmi les $\\nombre{1000}$ pièces. Alors $Z\\sim \\mathcal{B}(\\nombre{1000},p)$ qui peut être approchée par une loi Normale:\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\prob(Y\\geq 50) \n\t\t&\\simeq \\prob(Z\\geq 49.5) \\quad \\text{ où } Z \\sim \\mathcal{N}(45.6,\\sigma^2=43.52) \\\\\n\t\t&\\simeq \\p\\left(\\frac{Z-45.6}{\\sqrt{43.52}}\\geq 0.59\\right) \\\\\n\t\t& \\simeq 1- \\p\\left(\\frac{Z-45.6}{\\sqrt{43.52}}\\leq 0.59\\right) \\\\\n\t\t&\\simeq 1-0.7224 \\\\\n\t\t&\\simeq 0.2776\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tIl y a donc environ $27.76$\\% de chances d'avoir au moins $50$ pièces refusées dans le lot de $\\nombre{1000}$ pièces.", "html": "

Soit \$R\$ le nombre de pièces\nrefusées parmi les \$\\nombre{1000}\$\npièces. Alors \$Z\\sim\n\\mathcal{B}(\\nombre{1000},p)\$ qui peut être approchée par une\nloi Normale: \\[\\begin{align*}\n \\prob(Y\\geq 50)\n &\\simeq \\prob(Z\\geq 49.5) \\quad \\text{ où } Z \\sim\n\\mathcal{N}(45.6,\\sigma^2=43.52) \\\\\n &\\simeq \\p\\left(\\frac{Z-45.6}{\\sqrt{43.52}}\\geq 0.59\\right)\n\\\\\n & \\simeq 1- \\p\\left(\\frac{Z-45.6}{\\sqrt{43.52}}\\leq\n0.59\\right) \\\\\n &\\simeq 1-0.7224 \\\\\n &\\simeq 0.2776\n \\end{align*}\\] Il y a donc environ \$27.76\$% de chances d’avoir au moins \$50\$ pièces refusées dans le lot de \$\\nombre{1000}\$ pièces.

\n" } } ] }, { "uuid": "tjMm", "titre": "Deux calculs d'intégrale", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:22:52.081Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:52.081Z" }, "contenu": [ { "id": "ea19c3f2-3702-4e9a-9712-5fb2c2148727", "type": "question", "value": { "latex": "Proposer au moins deux méthodes de Monte Carlo permettant de fournir une valeur approchée de l'intégrale :\n\t$$I = \\int_0^1 \\cos(x^3)e^{-x}dx$$", "html": "

Proposer au moins deux méthodes de Monte Carlo permettant de fournir\nune valeur approchée de l’intégrale : \\[I =\n\\int_0^1 \\cos(x^3)e^{-x}dx\\]

\n" } }, { "id": "574247f0-0e05-49b0-9735-c316fb326240", "type": "reponse", "value": { "latex": "On voit que $I= \\int \\cos(x^3)e^{-x} \\chi_{[0;1]}(x)dx = \\mathbb{E}\\left( \\cos(U^3)e^{-U} \\right)$ où $U$ suit une loi $\\mathcal{U}([0;1])$. Donc si $U_1,U_2...$ est une suite de VA iid selon la loi $\\mathcal{U}([0;1])$, alors la loi des grands nombres donne la convergence presque sûre :\n\t$$\\frac{\\cos(U_1^3)e^{-U_1}+...+\\cos(U_n^3)e^{-U_n}}{n} \\longrightarrow I$$\n\t\n\tIl suffit donc de programmer l'algorithme suivant :\n\t\n\t\\begin{itemize}\n\t\t\\item N=1000\n\t\t\\item S = 0\n\t\t\\item Pour i variant de 1 à N : \\\\ \n\t\tU = réalisation d'une loi $\\mathcal{U}([0;1])$ \\\\\n\t\t$S = S+ \\cos(U^3) \\times \\exp(-U)$\n\t\t\\item Afficher $S/N$\n\t\\end{itemize}\n\t\n\tOn voit aussi que $I= \\int \\cos(x^3) \\chi_{[0;1]}(x) \\chi_{[0;+\\infty[}(x) e^{-x}dx = \\mathbb{E}\\left(\\cos(V^3) \\chi_{[0;1]}(V) \\right) $ où $V$ suit une loi $\\mathcal{E}(1)$.", "html": "

On voit que \$I= \\int \\cos(x^3)e^{-x}\n\\chi_{[0;1]}(x)dx = \\mathbb{E}\\left( \\cos(U^3)e^{-U} \\right)\$ où\n\$U\$ suit une loi \$\\mathcal{U}([0;1])\$. Donc si \$U_1,U_2...\$ est une suite de VA iid selon\nla loi \$\\mathcal{U}([0;1])\$, alors la\nloi des grands nombres donne la convergence presque sûre : \\[\\frac{\\cos(U_1^3)e^{-U_1}+...+\\cos(U_n^3)e^{-U_n}}{n}\n\\longrightarrow I\\]

Il suffit donc de programmer l’algorithme suivant :

N=1000
S = 0
Pour i variant de 1 à N :
\nU = réalisation d’une loi \$\\mathcal{U}([0;1])\$
\n\$S = S+ \\cos(U^3) \\times\n\\exp(-U)\$
Afficher \$S/N\$

On voit aussi que \$I= \\int \\cos(x^3)\n\\chi_{[0;1]}(x) \\chi_{[0;+\\infty[}(x) e^{-x}dx =\n\\mathbb{E}\\left(\\cos(V^3) \\chi_{[0;1]}(V) \\right)\$ où \$V\$ suit une loi \$\\mathcal{E}(1)\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "Ab62", "titre": "Développement d'une fonction en série de Fourier", "theme": [ "séries" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:01.708Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:01.708Z" }, "contenu": [ { "id": "2eef4ea0-ee41-4305-a4eb-026a88b9ae3c", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $f \\colon \\R \\to \\R$ la fonction $2\\pi$-périodique définie par :\n$$f(x) =\\left\\{\n\\begin{array}{cl}\n\t1&\\textrm{si $x \\in ]-\\pi;0[$}\\\\\n\t0& \\textrm{si $x =0$}\\\\\n\t-1&\\textrm{si $x \\in ]0;\\pi[$}\\end{array}\\right.$$", "html": "

Soit \$f \\colon \\R \\to \\R\$ la\nfonction \$2\\pi\$-périodique définie\npar : \\[f(x) =\\left\\{\n\\begin{array}{cl}\n 1&\\textrm{si $x \\in ]-\\pi;0[$}\\\\\n 0& \\textrm{si $x =0$}\\\\\n -1&\\textrm{si $x \\in ]0;\\pi[$}\\end{array}\\right.\\]

\n" } }, { "id": "ab991692-fe1c-4f82-920d-f4c1c9ac83fd", "type": "question", "value": { "latex": "Représenter graphiquement l'allure de la fonction $f$ et vérifier que $f$ est une fonction impaire.", "html": "

Représenter graphiquement l’allure de la fonction \$f\$ et vérifier que \$f\$ est une fonction impaire.

\n" } }, { "id": "235496df-d8d7-477e-bb36-813ef5b61325", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer les coefficients de Fourier trigonométriques de la fonction $f$ et en déduire sa série de Fourier. La série de Fourier est-elle égale à $f$ en tout $x \\in \\R$ ?", "html": "

Déterminer les coefficients de Fourier trigonométriques de la\nfonction \$f\$ et en déduire sa série\nde Fourier. La série de Fourier est-elle égale à \$f\$ en tout \$x\n\\in \\R\$ ?

\n" } }, { "id": "20ea5552-1ab5-422d-b703-778edbfa7e9b", "type": "reponse", "value": { "latex": "C'est une fonction impaire donc $a_n = 0$ pour tout $n$. Il reste à calculer :\n\t\t$$b_n=\\frac{1}{\\pi}\\int_{-\\pi}^{0}\\,(1)\\sin(nx)dx+\\frac{1}{\\pi}\\int_{0}^{\\pi}\\,(-1)\\sin(nx)dx=\\frac{2}{n\\pi}(\\cos(n\\pi)-1).$$ soit $$b_n=\\left\\{\n\t\t\\begin{array}{cl}\n\t\t\t0&\\textrm{pour $n$ pair}\\\\\n\t\t\t\\frac{4}{n\\pi}&\\textrm{pour $n$ impair}\\end{array}\\right.$$", "html": "

C’est une fonction impaire donc \$a_n =\n0\$ pour tout \$n\$. Il reste à\ncalculer : \\[b_n=\\frac{1}{\\pi}\\int_{-\\pi}^{0}\\,(1)\\sin(nx)dx+\\frac{1}{\\pi}\\int_{0}^{\\pi}\\,(-1)\\sin(nx)dx=\\frac{2}{n\\pi}(\\cos(n\\pi)-1).\\]\nsoit \\[b_n=\\left\\{\n \\begin{array}{cl}\n 0&\\textrm{pour $n$ pair}\\\\\n \\frac{4}{n\\pi}&\\textrm{pour $n$\nimpair}\\end{array}\\right.\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "Stxj", "titre": "Développement en série entière", "theme": [ "séries entières" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:20.691Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:20.691Z" }, "contenu": [ { "id": "f1e7ec92-e4ca-4b38-b593-0d77bf2a1e4c", "type": "question", "value": { "latex": "Développer en série entière la fonction de la variable réelle suivante : $$f \\colon x \\mapsto \\ln(x^2-5x+6)$$", "html": "

Développer en série entière la fonction de la variable réelle\nsuivante : \\[f \\colon x \\mapsto\n\\ln(x^2-5x+6)\\]

\n" } }, { "id": "33908e8d-572f-4358-93ba-4ad17b3242f1", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour tout réel $x$, $x^2 -5x+6=(x-2)(x-3)$ et donc si $x < 2$, $x^2-5x+6>0$. Pour $x\\in ]-2,2[$,\n\t\n\t\\begin{center}\n\t\t$\\ln(x^2-5x+6)=\\ln(2-x)+\\ln(3-x)=\\ln(6)+\\ln\\left(1-\\frac{x}{2}\\right)+\\ln\\left(1-\\frac{x}{3}\\right)$,\n\t\\end{center}\n\t\n\tet puisque pour $x$ dans $]-2,2[$, $\\frac{x}{2}$ et $\\frac{x}{3}$ sont dans $]-1,1[$, \n\t\n\t\\begin{center}\n\t\t$\\ln(x^2-5x+6)=\\ln(6)-\\sum_{n=1}^{+\\infty}\\left(\\frac{1}{2^n}+\\frac {1}{3^n}\\right)\\frac{x^n}{n}$,\n\t\\end{center}\n\t\n\tEn résumé, la fonction $f$ est développable en série entière et on vérifie avec la règle de d'Alembert que son rayon de convergence est $R = 2$.", "html": "

Pour tout réel \$x\$, \$x^2 -5x+6=(x-2)(x-3)\$ et donc si \$x < 2\$, \$x^2-5x+6>0\$. Pour \$x\\in ]-2,2[\$,

\$\\ln(x^2-5x+6)=\\ln(2-x)+\\ln(3-x)=\\ln(6)+\\ln\\left(1-\\frac{x}{2}\\right)+\\ln\\left(1-\\frac{x}{3}\\right)\$,

et puisque pour \$x\$ dans \$]-2,2[\$, \$\\frac{x}{2}\$ et \$\\frac{x}{3}\$ sont dans \$]-1,1[\$,

\$\\ln(x^2-5x+6)=\\ln(6)-\\sum_{n=1}^{+\\infty}\\left(\\frac{1}{2^n}+\\frac\n{1}{3^n}\\right)\\frac{x^n}{n}\$,

En résumé, la fonction \$f\$ est\ndéveloppable en série entière et on vérifie avec la règle de d’Alembert\nque son rayon de convergence est \$R =\n2\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "tCEz", "titre": "Développement en série entière", "theme": [ "séries entières" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:50.714Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:50.714Z" }, "contenu": [ { "id": "ce5dd79b-746c-4c45-824b-889cdb6bd385", "type": "question", "value": { "latex": "Donner un développement en série entière de la fonction $u \\mapsto \\ln(1-u)$, en précisant le rayon de convergence ;", "html": "

Donner un développement en série entière de la fonction \$u \\mapsto \\ln(1-u)\$, en précisant le rayon\nde convergence ;

\n" } }, { "id": "dce0a6c4-2d17-4642-a6d0-00a3f03f7736", "type": "reponse", "value": { "latex": "Quelque soit $u \\in ]-1;1[$, $\\ln(1-u) = \\sum\\limits_{n=1}^{+\\infty} \\frac{-1}{n}\\ u^n=-u-\\frac{u^2}{2}-\\frac{u^3}{3}+\\cdots$", "html": "

Quelque soit \$u \\in ]-1;1[\$, \$\\ln(1-u) = \\sum\\limits_{n=1}^{+\\infty}\n\\frac{-1}{n}\\ u^n=-u-\\frac{u^2}{2}-\\frac{u^3}{3}+\\cdots\$

\n" } }, { "id": "34047742-c423-4e65-a9af-b59f7ae6b511", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire un développement en série entière de la fonction $x \\mapsto \\ln(1+x+x^2)$ (on précisera son rayon de convergence et on pourra utiliser que $(1-x^3) = (1-x)(1+x+x^2)$).", "html": "

En déduire un développement en série entière de la fonction \$x \\mapsto \\ln(1+x+x^2)\$ (on précisera son\nrayon de convergence et on pourra utiliser que \$(1-x^3) = (1-x)(1+x+x^2)\$).

\n" } }, { "id": "2ea2c2ac-985d-4f82-8e56-782ce53b6632", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a donc $\\ln(1-x^3) = \\ln(1-x) + \\ln(1+x+x^2)$. \\\\ Or $\\ln(1-x) = \\sum\\limits_{n=1}^{+\\infty} -\\frac{1}{n}\\ x^n$ et $\\ln(1-x^3) = \\sum\\limits_{n=1}^{+\\infty} -\\frac{1}{n}\\ x^{3n}$ donc \n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\ln(1+x+x^2) &= \\sum\\limits_{n=1}^{+\\infty} -\\frac{1}{n}\\ x^{3n} - \\sum\\limits_{n=1}^{+\\infty} -\\frac{1}{n}\\ x^n \\\\\n\t\t&= -\\sum\\limits_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{n}\\ x^{3n} + \\sum\\limits_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{n}\\ x^n =\\sum\\limits_{n=1}^{+\\infty}a_n x^{n}\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tavec $a_n = -\\frac{3}{n}+\\frac{1}{n} = \\frac{-2}{n}$ s'il existe $p$ tel que $n=3p$, $a_n = \\frac{1}{n}$ sinon.", "html": "

On a donc \$\\ln(1-x^3) = \\ln(1-x) +\n\\ln(1+x+x^2)\$.
\nOr \$\\ln(1-x) = \\sum\\limits_{n=1}^{+\\infty}\n-\\frac{1}{n}\\ x^n\$ et \$\\ln(1-x^3) =\n\\sum\\limits_{n=1}^{+\\infty} -\\frac{1}{n}\\ x^{3n}\$ donc \\[\\begin{align*}\n \\ln(1+x+x^2) &= \\sum\\limits_{n=1}^{+\\infty} -\\frac{1}{n}\\\nx^{3n} - \\sum\\limits_{n=1}^{+\\infty} -\\frac{1}{n}\\ x^n \\\\\n &= -\\sum\\limits_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{n}\\ x^{3n} +\n\\sum\\limits_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{n}\\ x^n\n=\\sum\\limits_{n=1}^{+\\infty}a_n x^{n}\n \\end{align*}\\] avec \$a_n =\n-\\frac{3}{n}+\\frac{1}{n} = \\frac{-2}{n}\$ s’il existe \$p\$ tel que \$n=3p\$, \$a_n =\n\\frac{1}{n}\$ sinon.

\n" } } ] }, { "uuid": "9oDf", "titre": "Développement en série entière d'une fonction", "theme": [ "séries" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:01.160Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:01.160Z" }, "contenu": [ { "id": "716acae6-b237-4233-b5eb-341e3a0a8472", "type": "description", "value": { "latex": "Soit la fonction d'une variable réelle $f \\colon x \\mapsto e^{x^2}-1$.", "html": "

Soit la fonction d’une variable réelle \$f\n\\colon x \\mapsto e^{x^2}-1\$.

\n" } }, { "id": "93730a1f-7934-47ca-9fdb-26aead5da1b2", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer un développement en série entière de la fonction $f$ et préciser le rayon de convergence.", "html": "

Déterminer un développement en série entière de la fonction \$f\$ et préciser le rayon de\nconvergence.

\n" } }, { "id": "8bec3c9f-5106-4e83-bf4a-87f7d4fb28d3", "type": "reponse", "value": { "latex": "On en déduit en subtistuant $x$ par $x^2$ que pour tout $x \\in \\R$,\n\t\t$$f(x) = \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{x^{2n}}{n!}-1 = \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{x^{2n}}{n!}$$", "html": "

On en déduit en subtistuant \$x\$\npar \$x^2\$ que pour tout \$x \\in \\R\$, \\[f(x) = \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{x^{2n}}{n!}-1 =\n\\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{x^{2n}}{n!}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "ZTjz", "titre": "Développement limité", "theme": [ "analyse asymptotique" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:27.007Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:27.007Z" }, "contenu": [ { "id": "4f5d356b-981f-41c6-b55d-4892b96af2a5", "type": "question", "value": { "latex": "Donner le développement limité de $\\ln(1+x)$ au voisinage de $0$ à l'ordre $3$. En déduire le développement limité de $\\left(\\ln(1+x)\\right)^2$ à l'ordre $3$.", "html": "

Donner le développement limité de \$\\ln(1+x)\$ au voisinage de \$0\$ à l’ordre \$3\$. En déduire le développement limité de\n\$\\left(\\ln(1+x)\\right)^2\$ à l’ordre\n\$3\$.

\n" } }, { "id": "6b304838-2183-4c14-804c-34eebaaef899", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\n\t\\begin{aligned}\n\t\t\\ln (1+x) &=\\underbrace{x-\\frac{x^{2}}{2}+\\frac{x^{3}}{3}}_{P_{1}(x)}+x^{3} \\cdot \\varepsilon(x) \\\\\n\t\t\\left(P_{3}(x)\\right)^{2} &=\\left(x-\\frac{x^{2}}{2}+\\frac{x^{3}}{3}\\right)^{2} \\\\\n\t\t&=\\left(x-\\frac{x^{2}}{2}+\\frac{x^{3}}{3}\\right) \\times\\left(x-\\frac{x^{2}}{2}+\\frac{x^{3}}{3}\\right) \\\\\n\t\t&=x \\times\\left(x-\\frac{x^{2}}{2}\\right)-\\frac{x^{2}}{2} \\times x+ o(x^3) \\\\\n\t\t&=x^{2}-x^{3}+o(x^3)\n\t\\end{aligned}\n\t$$\n\tAinsi, $(\\ln (1+x))^{2}=x^{2}-x^{3}+x^{3} \\cdot \\varepsilon(x)= x^2-x^3 + o(x^3)$", "html": "

\\[\\begin{aligned}\n \\ln (1+x)\n&=\\underbrace{x-\\frac{x^{2}}{2}+\\frac{x^{3}}{3}}_{P_{1}(x)}+x^{3}\n\\cdot \\varepsilon(x) \\\\\n \\left(P_{3}(x)\\right)^{2}\n&=\\left(x-\\frac{x^{2}}{2}+\\frac{x^{3}}{3}\\right)^{2} \\\\\n &=\\left(x-\\frac{x^{2}}{2}+\\frac{x^{3}}{3}\\right)\n\\times\\left(x-\\frac{x^{2}}{2}+\\frac{x^{3}}{3}\\right) \\\\\n &=x \\times\\left(x-\\frac{x^{2}}{2}\\right)-\\frac{x^{2}}{2}\n\\times x+ o(x^3) \\\\\n &=x^{2}-x^{3}+o(x^3)\n \\end{aligned}\\] Ainsi, \$(\\ln\n(1+x))^{2}=x^{2}-x^{3}+x^{3} \\cdot \\varepsilon(x)= x^2-x^3 +\no(x^3)\$

\n" } } ] }, { "uuid": "aWAS", "titre": "Développement limité", "theme": [ "analyse asymptotique" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:28.462Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:28.462Z" }, "contenu": [ { "id": "e2d19272-2ec4-4ea8-b3ea-9f1e27900e5e", "type": "question", "value": { "latex": "Donner le développement limité de $e^x$ et de $\\sin(x)$ au voisinage de $0$ à l'ordre $3$. En déduire le développement limité de $e^x \\cdot \\sin(x)$ à l'ordre $3$.", "html": "

Donner le développement limité de \$e^x\$ et de \$\\sin(x)\$ au voisinage de \$0\$ à l’ordre \$3\$. En déduire le développement limité de\n\$e^x \\cdot \\sin(x)\$ à l’ordre \$3\$.

\n" } }, { "id": "ce96f0e5-3419-419c-b518-751e55af68ef", "type": "reponse", "value": { "latex": "On prend d'abord les développements usuels :\n\t$$\n\t\\begin{aligned}\n\t\te^{x} &=1+x+\\frac{x^{2}}{2 !}+\\frac{x^{3}}{3 !}+x^{3} \\cdot \\varepsilon(x)=1+x+\\frac{x^{2}}{2}+\\frac{x^{3}}{6}+o\\left(x^{3}\\right) \\\\\n\t\t\\sin x &=x-\\frac{x^{3}}{3 !}+x^{3} \\cdot \\varepsilon(x)=x-\\frac{x^{3}}{6}+o\\left(x^{3}\\right)\n\t\\end{aligned}\n\t$$\n\tEffectuons le produit $\\left(1+x+\\frac{x^{2}}{2}+\\frac{x^{3}}{6}\\right) \\times\\left(x-\\frac{x^{3}}{6}\\right)$ en ne conservant que les termes de degré $\\leq 3$ :\n\t$$\n\t\\begin{aligned}\n\t\t\\left(1+x+\\frac{x^{2}}{2}+\\frac{x^{3}}{6}\\right) \\times\\left(x-\\frac{x^{3}}{6}\\right) &=1 \\times\\left(x-\\frac{x^{3}}{6}\\right)+x \\times(x)+\\frac{x^{2}}{2} \\times(x)+\\ldots \\\\\n\t\t&=x+x^{2}+\\left(-\\frac{1}{6}+\\frac{1}{2}\\right) x^{3}+\\ldots \\\\\n\t\t&=x+x^{2}+\\frac{x^{3}}{3}+\\ldots\n\t\\end{aligned}\n\t$$\n\tAinsi : $e^{x} \\cdot \\sin (x)=x+x^{2}+\\frac{x^{3}}{3}+o\\left(x^{3}\\right)=x+x^{2}+\\frac{x^{3}}{3}+x^{3} \\cdot \\varepsilon(x)$", "html": "

On prend d’abord les développements usuels : \\[\\begin{aligned}\n e^{x} &=1+x+\\frac{x^{2}}{2 !}+\\frac{x^{3}}{3 !}+x^{3} \\cdot\n\\varepsilon(x)=1+x+\\frac{x^{2}}{2}+\\frac{x^{3}}{6}+o\\left(x^{3}\\right)\n\\\\\n \\sin x &=x-\\frac{x^{3}}{3 !}+x^{3} \\cdot\n\\varepsilon(x)=x-\\frac{x^{3}}{6}+o\\left(x^{3}\\right)\n \\end{aligned}\\] Effectuons le produit \$\\left(1+x+\\frac{x^{2}}{2}+\\frac{x^{3}}{6}\\right)\n\\times\\left(x-\\frac{x^{3}}{6}\\right)\$ en ne conservant que les\ntermes de degré \$\\leq 3\$ : \\[\\begin{aligned}\n \\left(1+x+\\frac{x^{2}}{2}+\\frac{x^{3}}{6}\\right)\n\\times\\left(x-\\frac{x^{3}}{6}\\right) &=1\n\\times\\left(x-\\frac{x^{3}}{6}\\right)+x \\times(x)+\\frac{x^{2}}{2}\n\\times(x)+\\ldots \\\\\n &=x+x^{2}+\\left(-\\frac{1}{6}+\\frac{1}{2}\\right) x^{3}+\\ldots\n\\\\\n &=x+x^{2}+\\frac{x^{3}}{3}+\\ldots\n \\end{aligned}\\] Ainsi : \$e^{x}\n\\cdot \\sin\n(x)=x+x^{2}+\\frac{x^{3}}{3}+o\\left(x^{3}\\right)=x+x^{2}+\\frac{x^{3}}{3}+x^{3}\n\\cdot \\varepsilon(x)\$

\n" } } ] }, { "uuid": "LBLK", "titre": "Différentiabilité", "theme": [ "calcul différentiel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:13.930Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:13.930Z" }, "contenu": [ { "id": "89230d29-2cab-4592-98a1-701297cc3561", "type": "question", "value": { "latex": "La fonction $f$ est-elle continue en $(0,0)$~?", "html": "

La fonction \$f\$ est-elle continue\nen \$(0,0)\$ ?

\n" } }, { "id": "c7de17e3-81d7-415d-8105-ee5d01ca87ba", "type": "reponse", "value": { "latex": "Notons tout d'abord que $f$ est une fraction rationnelle sur $\\R^2-\\{(0,0)\\}$ donc elle y est définie et $C^{\\infty}$. Comme $f$ est par ailleurs définie en $(0,0)$, on a $\\mathcal{D}_f = \\R^2$.\n\t\t\n\t\tPour étudier la continuité en $(0,0)$, on étudie la différence $f(x,y) - f(0,0)$ et on passe comme souvent en coordonnées polaires. \n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\tf(r \\cos\\theta, r \\sin\\theta) - f(0,0) &= \\frac{-3(r\\cos\\theta)^3+5(r\\sin\\theta)^3}{(r\\cos\\theta)^ +(r\\sin\\theta)^2} \\\\\n\t\t&= \\frac{r^3 (-3\\cos^3\\theta + 5\\sin^3\\theta)}{r^2} \\\\\n\t\t&= r(-3\\cos^3\\theta + 5\\sin^3\\theta)\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tOn obtient la majoration\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t|f(r \\cos\\theta, r \\sin\\theta) - f(0,0)| &\\leq r(|-3\\cos^3\\theta| + 5 |\\sin^3\\theta)|) \\\\\n\t\t&\\leq (3+5)r \\\\\n\t\t& \\underset{r \\to 0_+}{\\longrightarrow} 0 \\text{ indépendamment de $\\theta$}\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tAinsi $f(x,y) \\underset{(x,y) \\to (0,0)}{\\longrightarrow} f(0,0)$, ce qui prouve que \\fbox{$f$ est continue en $(0,0)$.}", "html": "

Notons tout d’abord que \$f\$ est\nune fraction rationnelle sur \$\\R^2-\\{(0,0)\\}\$ donc elle y est définie et\n\$C^{\\infty}\$. Comme \$f\$ est par ailleurs définie en \$(0,0)\$, on a \$\\mathcal{D}_f = \\R^2\$.

Pour étudier la continuité en \$(0,0)\$, on étudie la différence \$f(x,y) - f(0,0)\$ et on passe comme souvent\nen coordonnées polaires. \\[\\begin{align*}\n f(r \\cos\\theta, r \\sin\\theta) - f(0,0) &=\n\\frac{-3(r\\cos\\theta)^3+5(r\\sin\\theta)^3}{(r\\cos\\theta)^\n+(r\\sin\\theta)^2} \\\\\n &= \\frac{r^3 (-3\\cos^3\\theta + 5\\sin^3\\theta)}{r^2} \\\\\n &= r(-3\\cos^3\\theta + 5\\sin^3\\theta)\n \\end{align*}\\] On obtient la majoration \\[\\begin{align*}\n |f(r \\cos\\theta, r \\sin\\theta) - f(0,0)| &\\leq\nr(|-3\\cos^3\\theta| + 5 |\\sin^3\\theta)|) \\\\\n &\\leq (3+5)r \\\\\n & \\underset{r \\to 0_+}{\\longrightarrow} 0 \\text{\nindépendamment de $\\theta$}\n \\end{align*}\\] Ainsi \$f(x,y)\n\\underset{(x,y) \\to (0,0)}{\\longrightarrow} f(0,0)\$, ce qui\nprouve que

\n" } }, { "id": "95792623-d816-4693-bd7a-1764485e1556", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\dpa{f}{x}$ et $\\dpa{f}{y}$ pour $(x,y) \\neq (0,0)$.", "html": "

Calculer \$\\dpa{f}{x}\$ et \$\\dpa{f}{y}\$ pour \$(x,y) \\neq (0,0)\$.

\n" } }, { "id": "141c7747-99a9-4bc9-8fe9-aca9e158f29a", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour $(x,y) \\neq (0,0)$, on est dans le cas d'un point sans problème. Les dérivées partielles existent et se calculent en appliquant les formules classiques de dérivation\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\dpa{f}{x}(x,y) &= \\frac{ \\dpa{}{x} \\left[ -3x^3+5y^3 \\right] (x^2+y^2) - (-3x^3+5y^3) \\dpa{}{x} \\left[ x^2+y^2 \\right]}{(x^2+y^2)^2} \\\\\n\t\t&= \\frac{ (-9x^2)(x^2+y^2) - (-3x^3+5y^3)(2x)}{(x^2+y^2)^2} \\\\\n\t\t&= \\frac{-3x^4 - 9x^2y^2 - 10xy^3}{(x^2+y^2)^2}\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tet\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\dpa{f}{y}(x,y) &= \\frac{ \\dpa{}{y} \\left[ -3x^3+5y^3 \\right] (x^2+y^2) - (-3x^3+5y^3) \\dpa{}{y} \\left[ x^2+y^2 \\right]}{(x^2+y^2)^2} \\\\\n\t\t&= \\frac{ (15y^2)(x^2+y^2) - (-3x^3+5y^3)(2y)}{(x^2+y^2)^2}\\\\\n\t\t&= \\frac{6x^3y + 15x^2y^2 +5 y^4}{(x^2+y^2)^2}\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

Pour \$(x,y) \\neq (0,0)\$, on est\ndans le cas d’un point sans problème. Les dérivées partielles existent\net se calculent en appliquant les formules classiques de dérivation\n\\[\\begin{align*}\n \\dpa{f}{x}(x,y) &= \\frac{ \\dpa{}{x} \\left[ -3x^3+5y^3\n\\right] (x^2+y^2) - (-3x^3+5y^3) \\dpa{}{x} \\left[ x^2+y^2\n\\right]}{(x^2+y^2)^2} \\\\\n &= \\frac{ (-9x^2)(x^2+y^2) - (-3x^3+5y^3)(2x)}{(x^2+y^2)^2}\n\\\\\n &= \\frac{-3x^4 - 9x^2y^2 - 10xy^3}{(x^2+y^2)^2}\n \\end{align*}\\] et \\[\\begin{align*}\n \\dpa{f}{y}(x,y) &= \\frac{ \\dpa{}{y} \\left[ -3x^3+5y^3\n\\right] (x^2+y^2) - (-3x^3+5y^3) \\dpa{}{y} \\left[ x^2+y^2\n\\right]}{(x^2+y^2)^2} \\\\\n &= \\frac{ (15y^2)(x^2+y^2) -\n(-3x^3+5y^3)(2y)}{(x^2+y^2)^2}\\\\\n &= \\frac{6x^3y + 15x^2y^2 +5 y^4}{(x^2+y^2)^2}\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "459b30ed-167b-4297-9e35-f30f8a3a5cc9", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\dpa{f}{x}(0,0)$ et $\\dpa{f}{y}(0,0)$.", "html": "

Calculer \$\\dpa{f}{x}(0,0)\$ et\n\$\\dpa{f}{y}(0,0)\$.

\n" } }, { "id": "8817dfa5-1d6d-4e4d-bf52-b4cb4b53918a", "type": "reponse", "value": { "latex": "Le point $(0,0)$ est un point à problème. Comme précédemment, hors de question d'utiliser la question 2 et de remplacer $x$ et $y$ par $0$, ou de les faire tendre vers $0$. Cette méthode serait pertinente si on savait \\textbf{a priori} que les dérivées partielles sont prolongeables par continuité, mais ce n'est pas le cas et cela fait d'ailleurs l'bjet de la question suivante. \\\\\n\t\t\\emph{On retiendra qu'en général ce n'est pas un très bon réflexe de se lancer dans cette voie.}\\\\ \n\t\tLe plus propre et le plus sur est de revenir à la définition en étudiant les taux d'accroissement.\n\t\t\\[ \\frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \\frac{-3h^3/h^2 - 0}{h} = -3 \\tvq{-3}{h}{0}, \\text{ donc \\fbox{$\\dpa{f}{x}(0,0) = -3$}} \\]\n\t\tet \n\t\t\\[ \\frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \\frac{5k^3/k^2}{h} = 5 \\tvq{5}{k}{0} \\text{ donc } \\dpa{f}{y}(0,0) = 5 \\]", "html": "

Le point \$(0,0)\$ est un point à\nproblème. Comme précédemment, hors de question d’utiliser la question 2\net de remplacer \$x\$ et \$y\$ par \$0\$, ou de les faire tendre vers \$0\$. Cette méthode serait pertinente si on\nsavait a priori que les dérivées partielles sont\nprolongeables par continuité, mais ce n’est pas le cas et cela fait\nd’ailleurs l’bjet de la question suivante.
\nOn retiendra qu’en général ce n’est pas un très bon réflexe de se\nlancer dans cette voie.
\nLe plus propre et le plus sur est de revenir à la définition en étudiant\nles taux d’accroissement. \\[\\frac{f(h,0) -\nf(0,0)}{h} = \\frac{-3h^3/h^2 - 0}{h} = -3 \\tvq{-3}{h}{0}, \\text{\ndonc \\fbox{$\\dpa{f}{x}(0,0) = -3$}}\\] et \\[\\frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \\frac{5k^3/k^2}{h} =\n5 \\tvq{5}{k}{0} \\text{ donc } \\dpa{f}{y}(0,0) = 5\\]

\n" } }, { "id": "5872a379-b73b-4e67-b508-3aa5441545b1", "type": "question", "value": { "latex": "La fonction $f$ est-elle de classe $C^1$ en $(0,0)$~?", "html": "

La fonction \$f\$ est-elle de classe\n\$C^1\$ en \$(0,0)\$ ?

\n" } }, { "id": "28c58631-c6c2-421a-820d-db1e3b82404a", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour établir si $f$ est $C^1$ en $(0,0)$, nous devons étudier\n\t\t\\begin{itemize}\n\t\t\t\\item si $\\dpa{f}{x}(x,y)$ (resp. $\\dpa{f}{y}(x,y)$) admet une limite quand $(x,y) \\to (0,0)$ puis\n\t\t\t\\item si cette limite est égale à $\\dpa{f}{x}(0,0) = -3$ (resp. à $\\dpa{f}{y}(0,0) = 5$)\n\t\t\\end{itemize}\n\t\tRegardons les limites de $\\dpa{f}{x}$ et $\\dpa{f}{y}(x,y)$ quand $(x,y) \\to (0,0)$ selon 3 chemins~: la droite $y=0$, la droite $x=0$, la droite $x=y$. Nous avons~:\n\t\t\\[ \\dpa{f}{x}(x,0) \\to -3,\\ \\ \\dpa{f}{x}(0,y) \\to 0,\\ \\ \\dpa{f}{x}(x,x) \\to -\\frac{11}{2} \\]\n\t\t\\[ \\dpa{f}{y}(x,0) \\to 0,\\ \\ \\dpa{f}{y}(0,y) \\to 5, \\ \\ \\dpa{f}{y}(x,x) \\to -\\frac{13}{2} \\]\n\t\tAinsi ni $\\dpa{f}{x}(x,y)$ ni $\\dpa{f}{y}(x,y)$ n'admettent de limites quand $(x,y) \\to (0,0)$. A fortiori elles ne sont pas continues en $(0,0)$ donc \n\t\t\\fbox{$f$ n'est pas $C^1$ en $(0,0)$}", "html": "

Pour établir si \$f\$ est \$C^1\$ en \$(0,0)\$, nous devons étudier

si \$\\dpa{f}{x}(x,y)\$ (resp.\n\$\\dpa{f}{y}(x,y)\$) admet une limite\nquand \$(x,y) \\to (0,0)\$ puis
si cette limite est égale à \$\\dpa{f}{x}(0,0) = -3\$ (resp. à \$\\dpa{f}{y}(0,0) = 5\$)

Regardons les limites de \$\\dpa{f}{x}\$ et \$\\dpa{f}{y}(x,y)\$ quand \$(x,y) \\to (0,0)\$ selon 3 chemins : la\ndroite \$y=0\$, la droite \$x=0\$, la droite \$x=y\$. Nous avons : \\[\\dpa{f}{x}(x,0) \\to -3,\\ \\ \\dpa{f}{x}(0,y) \\to\n0,\\ \\ \\dpa{f}{x}(x,x) \\to -\\frac{11}{2}\\] \\[\\dpa{f}{y}(x,0) \\to 0,\\ \\ \\dpa{f}{y}(0,y) \\to 5,\n\\ \\ \\dpa{f}{y}(x,x) \\to -\\frac{13}{2}\\] Ainsi ni \$\\dpa{f}{x}(x,y)\$ ni \$\\dpa{f}{y}(x,y)\$ n’admettent de limites\nquand \$(x,y) \\to (0,0)\$. A fortiori\nelles ne sont pas continues en \$(0,0)\$ donc

\n" } }, { "id": "451b040d-c4d5-4221-8e8c-d802ded13881", "type": "question", "value": { "latex": "La fonction $f$ est-elle différentiable en $(0,0)$~?", "html": "

La fonction \$f\$ est-elle\ndifférentiable en \$(0,0)\$ ?

\n" } }, { "id": "9bf3b6dd-342d-4990-96ac-4ed06f780b86", "type": "reponse", "value": { "latex": "On suit la méthode du poly, chap.~2, \\S~II.6. Comme $f$ admet des dérivées partielles en $(0,0)$, $f$ \\underline{peut} être différentiable en $(0,0)$ et si elle l'est sa différentielle $\\dd f(0,0)$ sera nécessairement égale à $-3 \\dd x + 5 \\dd y$. Puisque $f$ n'est pas $C^1$, on ne peut pas conclure directement à la différentiabilité et il faut étudier la limite de\n\t\t\\[ \\frac{f(h,k) - f(0,0) - [(-3)h + 5k]}{\\sqrt{h^2+k^2}} \\]\n\t\tquand $(h,k) \\to (0,0)$. Or \n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\frac{f(h,k) - f(0,0) - (-3h + 5k)}{\\sqrt{h^2+k^2}} &= \\text{(passage en polaires $h = r\\cos\\theta, k=r\\sin\\theta$)} \\\\\n\t\t&= \\frac{r(-3\\cos^3\\theta + 5\\sin^3\\theta) + 3r\\cos\\theta -5r\\sin\\theta}{r} \\\\\n\t\t&= -3\\cos^3\\theta + 5\\sin^3\\theta +3\\cos\\theta -5\\sin\\theta\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tCette quantité n'a pas de limite quand $r \\to 0_+$ puisqu'elle dépend de $\\theta$. A fortiori, elle ne tend pas vers $0$, ce qui signifie par définition que \\fbox{$f$ n'est pas différentiable en $(0,0)$.}", "html": "

On suit la méthode du poly, chap. 2, § II.6. Comme \$f\$ admet des dérivées partielles en \$(0,0)\$, \$f\$ peut être différentiable en\n\$(0,0)\$ et si elle l’est sa\ndifférentielle \$\\dd f(0,0)\$ sera\nnécessairement égale à \$-3 \\dd x + 5 \\dd\ny\$. Puisque \$f\$ n’est pas\n\$C^1\$, on ne peut pas conclure\ndirectement à la différentiabilité et il faut étudier la limite de \\[\\frac{f(h,k) - f(0,0) - [(-3)h +\n5k]}{\\sqrt{h^2+k^2}}\\] quand \$(h,k)\n\\to (0,0)\$. Or \\[\\begin{align*}\n \\frac{f(h,k) - f(0,0) - (-3h + 5k)}{\\sqrt{h^2+k^2}} &=\n\\text{(passage en polaires $h = r\\cos\\theta, k=r\\sin\\theta$)} \\\\\n &= \\frac{r(-3\\cos^3\\theta + 5\\sin^3\\theta) + 3r\\cos\\theta\n-5r\\sin\\theta}{r} \\\\\n &= -3\\cos^3\\theta + 5\\sin^3\\theta +3\\cos\\theta -5\\sin\\theta\n \\end{align*}\\] Cette quantité n’a pas de limite quand\n\$r \\to 0_+\$ puisqu’elle dépend de\n\$\\theta\$. A fortiori, elle ne tend\npas vers \$0\$, ce qui signifie par\ndéfinition que

\n" } } ] }, { "uuid": "MzAb", "titre": "Différentiabilité", "theme": [ "calcul différentiel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:15.681Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:15.681Z" }, "contenu": [ { "id": "2511a54a-6861-4879-85ad-ec9b395f3268", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $f: \\R^2 \\to \\R,\\ (x,y) \\mapsto \\sqrt[5]{2x^3+y^2}$. On note $\\mathcal{S}_f$ sa surface représentative.", "html": "

Soit \$f: \\R^2 \\to \\R,\\ (x,y) \\mapsto\n\\sqrt[5]{2x^3+y^2}\$. On note \$\\mathcal{S}_f\$ sa surface\nreprésentative.

\n" } }, { "id": "45d576f3-957d-43a5-ac21-4e837de01175", "type": "question", "value": { "latex": "Quel est l'ensemble de définition de $f$~?", "html": "

Quel est l’ensemble de définition de \$f\$ ?

\n" } }, { "id": "018a79bd-60b3-411c-be4a-a30b600fa03c", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $\\sqrt[5]{~}$ est définie sur $\\R$, car c'est la bijection réciproque de $\\R \\to \\R, x \\mapsto x^5$. Une étude classique montre qu'elle est continue sur $\\R$, dérivable (et même $C^{\\infty}$) sur $\\R^*$, et non dérivable (avec tangente verticale) en $0$. Ainsi $\\mathcal{D}_f = \\R^2$.", "html": "

La fonction \$\\sqrt[5]{~}\$ est\ndéfinie sur \$\\R\$, car c’est la\nbijection réciproque de \$\\R \\to \\R, x \\mapsto\nx^5\$. Une étude classique montre qu’elle est continue sur \$\\R\$, dérivable (et même \$C^{\\infty}\$) sur \$\\R^*\$, et non dérivable (avec tangente\nverticale) en \$0\$. Ainsi \$\\mathcal{D}_f = \\R^2\$.

\n" } }, { "id": "33024a71-64f3-43c4-8e3c-6743df364886", "type": "question", "value": { "latex": "Étudier la continuité de $f$.", "html": "

Étudier la continuité de \$f\$.

\n" } }, { "id": "65324470-a0a3-40a4-8180-c308a8ce9f8b", "type": "reponse", "value": { "latex": "$f$ est continue sur $\\R^2$ comme composée de fonctions continues.", "html": "

\$f\$ est continue sur \$\\R^2\$ comme composée de fonctions\ncontinues.

\n" } }, { "id": "9530aacf-5331-4027-91cb-e80e713ebeaf", "type": "question", "value": { "latex": "Étudier la différentiabilité de $f$", "html": "

Étudier la différentiabilité de \$f\$

\n" } }, { "id": "9f38c406-662e-4c40-a666-7de25ece746f", "type": "reponse", "value": { "latex": "$f$ est $C^{\\infty}$, donc différentiable, en tout point $(x,y)$ où $2x^3 + y^2$ ne s'annule pas. Soit maintenant un point $(x_0, y_0)$ tel que $2x_0^3 + y_0^2 = 0$. On suit la méthode du poly, chap.2, \\S II.6.\n\t\t\\begin{itemize}\n\t\t\t\\item $f$ est continue. \n\t\t\t\\item On calcule, si elles existent, le dérivées partielles de $f$ en $(x_0,y_0)$. Pour ce faire, on va utiliser le théorème 2.2 du poly, appliqué à la fonction partielle $x \\mapsto f(x,y_0)$. Cette fonction est dérivable sur $\\R-\\{x_0\\}$ et sa dérivée vaut \n\t\t\t\\[ \\dpa{f}{x}(x,y_0) = \\frac{1}{5}(6x^2)(2x^3+y_0^2)^{1/5-1} = \\frac{6x^2}{5(2x^3+y_0^2)^{4/5}} \\]\n\t\t\tOr quand $x \\to x_0+$, $2x^3+y_0^2 \\to 0_+$ et $\\dpa{f}{x}(x,y_0) \\to +\\infty$. Le théorème 2.2 assure alors que le taux d'accroissement \n\t\t\t\\[ \\frac{f(x,y_0) - f(x_0,y_0)}{x-x_0} \\]\n\t\t\ttend aussi vers $+\\infty$ quand $x \\to x_0+$. Et donc $f$ n'admet pas de dérivée partielle par rapport à $x$ en $(x_0,y_0)$. Ceci permet dès à présent de conclure que $f$ n'est pas différentiable en $(x_0,y_0)$. Mais on pourrait prouver, en bonus et de manière analogue, que $f$ n'admet pas non plus de dérivée partielle par rapport à $y$ en $(x_0,y_0)$.\n\t\t\\end{itemize}\n\t\tEn synthèse, nous avons montré que \\\\\n\t\t\\begin{center}\n\t\t\t\\fbox{$f$ est différentiable en $(x,y)\\in\\R^2$ si et seulement si $2x^3+y^2 \\neq 0$}\n\t\t\\end{center}", "html": "

\$f\$ est \$C^{\\infty}\$, donc différentiable, en tout\npoint \$(x,y)\$ où \$2x^3 + y^2\$ ne s’annule pas. Soit\nmaintenant un point \$(x_0, y_0)\$ tel\nque \$2x_0^3 + y_0^2 = 0\$. On suit la\nméthode du poly, chap.2, §II.6.

\$f\$ est continue.
On calcule, si elles existent, le dérivées partielles de \$f\$ en \$(x_0,y_0)\$. Pour ce faire, on va utiliser\nle théorème 2.2 du poly, appliqué à la fonction partielle \$x \\mapsto f(x,y_0)\$. Cette fonction est\ndérivable sur \$\\R-\\{x_0\\}\$ et sa\ndérivée vaut \\[\\dpa{f}{x}(x,y_0) =\n\\frac{1}{5}(6x^2)(2x^3+y_0^2)^{1/5-1} =\n\\frac{6x^2}{5(2x^3+y_0^2)^{4/5}}\\] Or quand \$x \\to x_0+\$, \$2x^3+y_0^2 \\to 0_+\$ et \$\\dpa{f}{x}(x,y_0) \\to +\\infty\$. Le\nthéorème 2.2 assure alors que le taux d’accroissement \\[\\frac{f(x,y_0) - f(x_0,y_0)}{x-x_0}\\] tend\naussi vers \$+\\infty\$ quand \$x \\to x_0+\$. Et donc \$f\$ n’admet pas de dérivée partielle par\nrapport à \$x\$ en \$(x_0,y_0)\$. Ceci permet dès à présent de\nconclure que \$f\$ n’est pas\ndifférentiable en \$(x_0,y_0)\$. Mais\non pourrait prouver, en bonus et de manière analogue, que \$f\$ n’admet pas non plus de dérivée\npartielle par rapport à \$y\$ en \$(x_0,y_0)\$.

En synthèse, nous avons montré que
\n

\n\n

\n" } } ] }, { "uuid": "hqXo", "titre": "Différentiabilité", "theme": [ "calcul différentiel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:38.217Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:38.217Z" }, "contenu": [ { "id": "6e2f6ac5-ca34-48e2-b8d2-df374b1cac16", "type": "question", "value": { "latex": "La fonction $f$ est-elle continue sur $\\R^2$~?", "html": "

La fonction \$f\$ est-elle continue\nsur \$\\R^2\$ ?

\n" } }, { "id": "0882d4ba-9fae-4f61-8e13-14aa9a16b22f", "type": "reponse", "value": { "latex": "Tout d'abord, on remarque que $f$ est bien définie sur $\\R^2$. Elle est continue (et même $C^{\\infty}$ sur $\\R^2-\\{(0,0)\\}$ en tant que fraction rationnelle. Pour étudier la continuité en $(0,0)$, on passe en polaires~:\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\tf(r\\cos\\theta, r\\sin\\theta) - f(0,0) &= \\frac{(r\\cos\\theta)^2(r\\sin\\theta)^3}{ (r\\cos\\theta)^2 + (r\\sin\\theta)^2 } \\\\\n\t\t&= r\\cos^2\\theta \\sin^3\\theta\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tIl suit\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t|f(r\\cos\\theta, r\\sin\\theta) - f(0,0)| &\\leq r \\\\\n\t\t& \\tvq{0}{r}{0+} \\text{ indépendamment de $\\theta$} \n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tAinsi $f$ est continue en $(0,0)$, et finalement \\fbox{$f$ est continue sur $\\R^2$}", "html": "

Tout d’abord, on remarque que \$f\$\nest bien définie sur \$\\R^2\$. Elle est\ncontinue (et même \$C^{\\infty}\$ sur\n\$\\R^2-\\{(0,0)\\}\$ en tant que fraction\nrationnelle. Pour étudier la continuité en \$(0,0)\$, on passe en polaires : \\[\\begin{align*}\n f(r\\cos\\theta, r\\sin\\theta) - f(0,0) &=\n\\frac{(r\\cos\\theta)^2(r\\sin\\theta)^3}{ (r\\cos\\theta)^2 + (r\\sin\\theta)^2\n} \\\\\n &= r\\cos^2\\theta \\sin^3\\theta\n \\end{align*}\\] Il suit \\[\\begin{align*}\n |f(r\\cos\\theta, r\\sin\\theta) - f(0,0)| &\\leq r \\\\\n & \\tvq{0}{r}{0+} \\text{ indépendamment de $\\theta$}\n \\end{align*}\\] Ainsi \$f\$ est continue en \$(0,0)\$, et finalement

\n" } }, { "id": "4d2797a5-13dc-43e1-bc11-7d5c6abd195f", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\overrightarrow{\\textup{grad}}\\ f (x,y)$ pour $(x,y) \\neq (0,0)$.", "html": "

Calculer \$\\overrightarrow{\\textup{grad}}\\\nf (x,y)\$ pour \$(x,y) \\neq\n(0,0)\$.

\n" } }, { "id": "bdfb89b9-c880-4230-bc43-9a9024dcc021", "type": "reponse", "value": { "latex": "pour $(x,y) \\neq (0,0)$\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\overrightarrow{\\textup{grad}}\\ f(x,y) &= \\left[ \\begin{array}{c}\n\t\t\\dpa{}{x}\\left[ \\dfrac{x^2 y^3}{x^2+y^2}\\right] \\\\ \\dpa{}{y}\\left[ \\dfrac{x^2 y^3}{x^2+y^2}\\right] \n\t\t\\end{array} \\right] \\\\\n\t\t&= \\left[ \\begin{array}{c}\n\t\t\\dfrac{(2xy^3)(x^2+y^2) -(x^2 y^3)(2x)}{(x^2+y^2)^2} \\\\ \\dfrac{(3x^2y^2)(x^2+y^2) -(x^2 y^3)(2y)}{(x^2+y^2)^2}\n\t\t\\end{array} \\right] \\\\\n\t\t&= \\frac{1}{(x^2+y^2)^2}\\left[ \\begin{array}{c} 2xy^5 \\\\ x^4y^2 + x^2y^4 \\end{array} \\right]\n\t\t\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

pour \$(x,y) \\neq (0,0)\$ \\[\\begin{align*}\n \\overrightarrow{\\textup{grad}}\\ f(x,y) &= \\left[\n\\begin{array}{c}\n \\dpa{}{x}\\left[ \\dfrac{x^2 y^3}{x^2+y^2}\\right] \\\\\n\\dpa{}{y}\\left[ \\dfrac{x^2 y^3}{x^2+y^2}\\right]\n \\end{array} \\right] \\\\\n &= \\left[ \\begin{array}{c}\n \\dfrac{(2xy^3)(x^2+y^2) -(x^2 y^3)(2x)}{(x^2+y^2)^2} \\\\\n\\dfrac{(3x^2y^2)(x^2+y^2) -(x^2 y^3)(2y)}{(x^2+y^2)^2}\n \\end{array} \\right] \\\\\n &= \\frac{1}{(x^2+y^2)^2}\\left[ \\begin{array}{c} 2xy^5 \\\\\nx^4y^2 + x^2y^4 \\end{array} \\right]\n \n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "1f3f540e-9969-4310-bf08-6390c73a5b65", "type": "question", "value": { "latex": "La fonction $f$ est-elle de classe $C^1$ sur $\\R^2$~?", "html": "

La fonction \$f\$ est-elle de classe\n\$C^1\$ sur \$\\R^2\$ ?

\n" } }, { "id": "8b49e27b-103b-4cd6-ae0e-a0e74f36c8ad", "type": "reponse", "value": { "latex": "Nous avons\n\t\t\\begin{itemize}\n\t\t\t\\item existence des dérivées partielles\\\\\n\t\t\t\\[\\dfrac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = 0 \\tvq{0}{h}{0}\\hspace*{5mm} \\text{ donc $\\dpa{f}{x}(0,0)$ existe et vaut $0$} \\]\n\t\t\t\\[\\dfrac{f(0,h) - f(0,0)}{h} = 0 \\tvq{0}{h}{0}\\hspace*{5mm} \\text{ donc $\\dpa{f}{y}(0,0)$ existe et vaut $0$} \\]\n\t\t\t\\item continuité des dérivées partielles\n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\dpa{f}{x}(x,y) - \\dpa{f}{x}(0,0) &= \\frac{2xy^5}{(x^2+y^2)^2} \\\\\n\t\t\t& \\text{ (passage en polaires)} \\\\\n\t\t\t&= 2r^2 \\cos\\theta \\sin^5\\theta\n\t\t\t\\end{align*}$$\n\t\t\tDonc\n\t\t\t\\[\\left| \\dpa{f}{x}(x,y) - \\dpa{f}{x}(0,0) \\right| \\leq 2r^2 \\tvq{0}{r}{0+} \\text{ indépendamment de $\\theta$} \\]\n\t\t\tDe manière analogue,\n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\dpa{f}{y}(x,y) - \\dpa{f}{y}(0,0) &= \\frac{x^4y^2 + x^2y^4}{(x^2+y^2)^2} \\\\\n\t\t\t& \\text{ (passage en polaires)} \\\\\n\t\t\t&= r^2 \\cos^2\\theta \\sin^2\\theta\n\t\t\t\\end{align*}$$\n\t\t\tDonc\n\t\t\t\\[ \\left| \\dpa{f}{y}(x,y) - \\dpa{f}{y}(0,0) \\right| \\leq r^2 \\tvq{0}{r}{0+} \\text{ indépendamment de $\\theta$} \\]\n\t\t\\end{itemize}\n\t\tOn conclut que $f$ est $C^1$ en $(0,0)$. Par ailleurs, $f$ est $C^1$ sur $\\R^2-\\{(0,0)\\}$. Au final \\fbox{$f$ est $C^1$ sur $\\R^2$}", "html": "

Nous avons

existence des dérivées partielles
\n\\[\\dfrac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = 0\n\\tvq{0}{h}{0}\\hspace*{5mm} \\text{ donc $\\dpa{f}{x}(0,0)$ existe et vaut\n$0$}\\] \\[\\dfrac{f(0,h) - f(0,0)}{h} =\n0 \\tvq{0}{h}{0}\\hspace*{5mm} \\text{ donc $\\dpa{f}{y}(0,0)$ existe et\nvaut $0$}\\]
continuité des dérivées partielles \\[\\begin{align*}\n \\dpa{f}{x}(x,y) - \\dpa{f}{x}(0,0) &=\n\\frac{2xy^5}{(x^2+y^2)^2} \\\\\n & \\text{ (passage en polaires)} \\\\\n &= 2r^2 \\cos\\theta \\sin^5\\theta\n \\end{align*}\\] Donc \\[\\left| \\dpa{f}{x}(x,y) - \\dpa{f}{x}(0,0) \\right|\n\\leq 2r^2 \\tvq{0}{r}{0+} \\text{ indépendamment de $\\theta$}\\] De\nmanière analogue, \\[\\begin{align*}\n \\dpa{f}{y}(x,y) - \\dpa{f}{y}(0,0) &= \\frac{x^4y^2 +\nx^2y^4}{(x^2+y^2)^2} \\\\\n & \\text{ (passage en polaires)} \\\\\n &= r^2 \\cos^2\\theta \\sin^2\\theta\n \\end{align*}\\] Donc \\[\\left| \\dpa{f}{y}(x,y) - \\dpa{f}{y}(0,0) \\right|\n\\leq r^2 \\tvq{0}{r}{0+} \\text{ indépendamment de\n$\\theta$}\\]

On conclut que \$f\$ est \$C^1\$ en \$(0,0)\$. Par ailleurs, \$f\$ est \$C^1\$ sur \$\\R^2-\\{(0,0)\\}\$. Au final

\n" } }, { "id": "f7037a72-d09f-4944-b681-151f46272956", "type": "question", "value": { "latex": "La fonction $f$ est-elle différentiable sur $\\R^2$~?", "html": "

La fonction \$f\$ est-elle\ndifférentiable sur \$\\R^2\$ ?

\n" } }, { "id": "06cf7bbf-7fd2-4419-bbd7-f8897d76e953", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\fbox{$f$ est différentiable sur $\\R^2$} car elle est $C^1$. C'est l'application du théorème 2.9 du poly.", "html": "

car elle est \$C^1\$. C’est\nl’application du théorème 2.9 du poly.

\n" } } ] }, { "uuid": "KZCb", "titre": "Différents types de convergence", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:12.994Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:12.994Z" }, "contenu": [ { "id": "6c839b89-d1b0-4b66-97b7-4f725c187a0d", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $n$ un entier naturel non-nul et soit $a$ un réel. On considère la fonction $f_n$ définie sur $\\mathbb R$ par $$f_n(x)=\\frac{an}{\\pi(1+n^2x^2)}.$$", "html": "

Soit \$n\$ un entier naturel non-nul\net soit \$a\$ un réel. On considère la\nfonction \$f_n\$ définie sur \$\\mathbb R\$ par \\[f_n(x)=\\frac{an}{\\pi(1+n^2x^2)}.\\]

\n" } }, { "id": "98eb744b-0bf1-4a5d-8deb-fc0245347704", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer $a$ pour que $f_n$ soit une densité de variable aléatoire.", "html": "

Déterminer \$a\$ pour que \$f_n\$ soit une densité de variable\naléatoire.

\n" } }, { "id": "6eb1c308-0294-4cdc-934b-b4a51ffe1dec", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $f_n$ étant continue et positive, elle est une densité de variable aléatoire si et seulement si\n\t\t\t$$\n\t\t\t\\int_{-\\infty}^{+\\infty} f_n(x) d x=1\n\t\t\t$$\n\t\t\tOr, effectuant le changement de variables $u=n x$, on a\n\t\t\t$$\n\t\t\t\\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\frac{a n}{\\pi\\left(1+n^2 x^2\\right)} d x=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\frac{a}{\\pi\\left(1+u^2\\right)} d u=\\frac{a}{\\pi}[\\arctan (u)]_{-\\infty}^{+\\infty}=\\frac{a}{\\pi} \\times \\pi=a\n\t\t\t$$\n\t\t\t$f_n$ est donc une densité de variable aléatoire si et seulement si $a=1$.", "html": "

La fonction \$f_n\$ étant continue\net positive, elle est une densité de variable aléatoire si et seulement\nsi \\[\\int_{-\\infty}^{+\\infty} f_n(x) d\nx=1\\] Or, effectuant le changement de variables \$u=n x\$, on a \\[\\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\frac{a\nn}{\\pi\\left(1+n^2 x^2\\right)} d x=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\n\\frac{a}{\\pi\\left(1+u^2\\right)} d u=\\frac{a}{\\pi}[\\arctan\n(u)]_{-\\infty}^{+\\infty}=\\frac{a}{\\pi} \\times \\pi=a\\] \$f_n\$ est donc une densité de variable\naléatoire si et seulement si \$a=1\$.

\n" } }, { "id": "c9814da7-51a7-418e-9b4f-b561b97def36", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires telle que chaque $X_n$\n\t\tadmet pour densité $f_n$. \\'Etudier l'existence de moments pour $X_n$.", "html": "

Soit \$(X_n)\$ une suite de\nvariables aléatoires telle que chaque \$X_n\$ admet pour densité \$f_n\$. Étudier l’existence de moments pour\n\$X_n\$.

\n" } }, { "id": "902f0291-8980-4514-bd55-fd1db1775295", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $x f_n(x) \\sim_{+\\infty} \\frac{1}{\\pi n x}$ dont l'intégrale est divergente au voisinage de $+\\infty$, et qui est une fonction positive. Ainsi, la variable aléatoire $X_n$ n'admet pas d'espérance, ni aucun autre moment.", "html": "

On a \$x f_n(x) \\sim_{+\\infty} \\frac{1}{\\pi\nn x}\$ dont l’intégrale est divergente au voisinage de \$+\\infty\$, et qui est une fonction\npositive. Ainsi, la variable aléatoire \$X_n\$ n’admet pas d’espérance, ni aucun\nautre moment.

\n" } }, { "id": "980f4cc4-caea-4436-ba0f-1a9d6236aaea", "type": "question", "value": { "latex": "\\'Etudier la convergence en loi de la suite $(X_n)$.", "html": "

Étudier la convergence en loi de la suite \$(X_n)\$.

\n" } }, { "id": "c5c63acc-704c-4ec3-8dd6-2f62a1bfbcdd", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $F_n$ la fonction de répartition de $X_n$, définie pour tout $x$ réel par\n\t\t\t$$\n\t\t\tF_n(x)=\\int_{-\\infty}^x f_n(t) d t=\\frac{1}{\\pi}\\left(\\arctan (n x)+\\frac{\\pi}{2}\\right) .\n\t\t\t$$\n\t\t\tSi $x<0, \\arctan (n x) \\rightarrow-\\pi / 2$, et donc $F_n(x) \\longrightarrow 0$. Si $x>0, \\arctan (n x) \\longrightarrow \\pi / 2$ et donc $F_n(x) \\longrightarrow 1$. \n\t\t\t\n\t\t\tSoit maintenant $X$ une variable aléatoire identiquement nulle. Sa fonction de répartition $F_X$ vérifie $F_X(x)=0$ si $x<0$ et $F_X(x)=1$ si $x \\geq 0$. Autrement dit, en tout point de continuité de $F_X$, la suite $\\left(F_n(x)\\right)$ converge vers $F_X(x)$. \n\t\t\t\n\t\t\tOn en déduit la convergence en loi de la suite $\\left(X_n\\right)$ vers $X$.", "html": "

Soit \$F_n\$ la fonction de\nrépartition de \$X_n\$, définie pour\ntout \$x\$ réel par \\[F_n(x)=\\int_{-\\infty}^x f_n(t) d\nt=\\frac{1}{\\pi}\\left(\\arctan (n x)+\\frac{\\pi}{2}\\right) .\\] Si\n\$x<0, \\arctan (n x) \\rightarrow-\\pi /\n2\$, et donc \$F_n(x) \\longrightarrow\n0\$. Si \$x>0, \\arctan (n x)\n\\longrightarrow \\pi / 2\$ et donc \$F_n(x) \\longrightarrow 1\$.

Soit maintenant \$X\$ une variable\naléatoire identiquement nulle. Sa fonction de répartition \$F_X\$ vérifie \$F_X(x)=0\$ si \$x<0\$ et \$F_X(x)=1\$ si \$x\n\\geq 0\$. Autrement dit, en tout point de continuité de \$F_X\$, la suite \$\\left(F_n(x)\\right)\$ converge vers \$F_X(x)\$.

On en déduit la convergence en loi de la suite \$\\left(X_n\\right)\$ vers \$X\$.

\n" } }, { "id": "9c33767f-13df-4780-9dc4-5d645f724cf6", "type": "question", "value": { "latex": "\\'Etudier la convergence en probabilité de la suite $(X_n)$.", "html": "

Étudier la convergence en probabilité de la suite \$(X_n)\$.

\n" } }, { "id": "65a86e86-1d35-4d6a-be85-1ca3d65cc326", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $\\varepsilon>0$. On cherche la limite de $P\\left(\\left|X_n-x\\right|<\\varepsilon\\right)$ où $X$ est la variable nulle.\n\t\t\t$$\n\t\t\t\\text { on } \\begin{aligned}\n\t\t\t\tP\\left(\\left|X_n\\right|<\\varepsilon\\right) &=\\int_{-\\varepsilon}^{\\varepsilon} \\frac{n}{\\pi\\left(1+n^2 x^2\\right)} d x \\\\\n\t\t\t\t&=\\int_{-n \\varepsilon}^{n \\varepsilon} \\frac{d u}{\\pi\\left(1+u^2\\right)} \\\\\n\t\t\t\t&=\\frac{1}{\\pi}(\\operatorname{Arctan}(n \\varepsilon)-\\operatorname{Arctan}(-n \\varepsilon)) \\\\\n\t\t\t\t&=\\frac{2}{\\pi} \\operatorname{Arctan}(n \\varepsilon) \\underset{n \\to\\infty}{\\longrightarrow} \\frac{2}{\\pi} \\times \\frac{\\pi}{2}=1\n\t\t\t\\end{aligned}\n\t\t\t$$\n\t\t\tDonc on a bien $X_n \\underset{\\text { proba }}{\\longrightarrow} 0$", "html": "

Soit \$\\varepsilon>0\$. On\ncherche la limite de \$P\\left(\\left|X_n-x\\right|<\\varepsilon\\right)\$\noù \$X\$ est la variable nulle. \\[\\text { on } \\begin{aligned}\n P\\left(\\left|X_n\\right|<\\varepsilon\\right)\n&=\\int_{-\\varepsilon}^{\\varepsilon} \\frac{n}{\\pi\\left(1+n^2\nx^2\\right)} d x \\\\\n &=\\int_{-n \\varepsilon}^{n \\varepsilon} \\frac{d\nu}{\\pi\\left(1+u^2\\right)} \\\\\n &=\\frac{1}{\\pi}(\\operatorname{Arctan}(n\n\\varepsilon)-\\operatorname{Arctan}(-n \\varepsilon)) \\\\\n &=\\frac{2}{\\pi} \\operatorname{Arctan}(n \\varepsilon)\n\\underset{n \\to\\infty}{\\longrightarrow} \\frac{2}{\\pi} \\times\n\\frac{\\pi}{2}=1\n \\end{aligned}\\] Donc on a bien \$X_n \\underset{\\text { proba }}{\\longrightarrow}\n0\$

\n" } } ] }, { "uuid": "qZkI", "titre": "Dilemme", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "bibmath", "createdAt": "2024-11-06T20:22:47.785Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:47.785Z" }, "contenu": [ { "id": "e241773c-33a5-4e67-b531-cbd7540f687c", "type": "description", "value": { "latex": "On considère deux avions $A$ et $B$ ayant respectivement 4 et 2 moteurs. Les moteurs fonctionnent de manière indépendante et chacun a une probabilité $p \\in ]0;1[$ de tomber en panne. On admet qu'un vol se termine bien si moins de la moitié des moteurs tombe en panne.", "html": "

On considère deux avions \$A\$ et\n\$B\$ ayant respectivement 4 et 2\nmoteurs. Les moteurs fonctionnent de manière indépendante et chacun a\nune probabilité \$p \\in ]0;1[\$ de\ntomber en panne. On admet qu’un vol se termine bien si moins de la\nmoitié des moteurs tombe en panne.

\n" } }, { "id": "ab83c23a-c7e9-436c-856c-356a82cbee54", "type": "question", "value": { "latex": "Quel avion est-il préférable de choisir ?", "html": "

Quel avion est-il préférable de choisir ?

\n" } }, { "id": "1283ff5d-50a4-4776-9ebb-84ba6a083c05", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $X$ le nombre de moteurs tombant en panne sur l'avion $A$ et $Y$ le nombre de moteurs tombant en panne sur l'avion $B$. Alors $X$ suit une loi binomiale $\\mathcal{B}(4,p)$ et $Y$ suit une loi binomiale $\\mathcal{B}(2,p)$. \n\nOn en déduit que $\\prob(X=0)+\\prob(X=1) = (1-p)^4 + 4p(1-p)^3$ et $\\prob(Y=0) = (1-p)^2$.\n\nIl est préférable de prendre l'avion $A$ si et seulement si $\\prob(X=0)+\\prob(X=1) \\geq \\prob(Y=0)$, c'est-à-dire :\n$$p(1-p)^2(2-3p) \\geq 0 \\iff 2-3p \\geq 0$$\n\nEn conclusion, si $p < \\frac{2}{3}$, il est préférable de prendre l'avion $A$.", "html": "

Soit \$X\$ le nombre de moteurs\ntombant en panne sur l’avion \$A\$ et\n\$Y\$ le nombre de moteurs tombant en\npanne sur l’avion \$B\$. Alors \$X\$ suit une loi binomiale \$\\mathcal{B}(4,p)\$ et \$Y\$ suit une loi binomiale \$\\mathcal{B}(2,p)\$.

On en déduit que \$\\prob(X=0)+\\prob(X=1) =\n(1-p)^4 + 4p(1-p)^3\$ et \$\\prob(Y=0) =\n(1-p)^2\$.

Il est préférable de prendre l’avion \$A\$ si et seulement si \$\\prob(X=0)+\\prob(X=1) \\geq \\prob(Y=0)\$,\nc’est-à-dire : \\[p(1-p)^2(2-3p) \\geq 0 \\iff\n2-3p \\geq 0\\]

En conclusion, si \$p <\n\\frac{2}{3}\$, il est préférable de prendre l’avion \$A\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "5Df5", "titre": "Distribution normale", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:55.600Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:55.600Z" }, "contenu": [ { "id": "ee50ca8f-4f32-483a-b1dc-faca5636de4e", "type": "description", "value": { "latex": "Le nombre de déjeuners servis chaque jour ouvrable par un restaurant d'entreprise est une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale de moyenne $\\mu$ et d'écart-type $\\sigma$ telle que :\n\t$$\\PP(X \\geq 1522) = 0{,}33 \\quad \\text{ et } \\quad \\PP(X \\leq 1598) = 0{,}975$$", "html": "

Le nombre de déjeuners servis chaque jour ouvrable par un restaurant\nd’entreprise est une variable aléatoire \$X\$ suivant une loi normale de moyenne\n\$\\mu\$ et d’écart-type \$\\sigma\$ telle que : \\[\\PP(X \\geq 1522) = 0{,}33 \\quad \\text{ et } \\quad\n\\PP(X \\leq 1598) = 0{,}975\\]

\n" } }, { "id": "57b4c2f7-4bce-4a18-80a5-0cc117d3527b", "type": "question", "value": { "latex": "Quel est le nombre minimal de repas qui doivent être préparés chaque midi si l'on veut avoir 99 chances sur 100 de satisfaire la demande ?", "html": "

Quel est le nombre minimal de repas qui doivent être préparés chaque\nmidi si l’on veut avoir 99 chances sur 100 de satisfaire la demande\n?

\n" } }, { "id": "b6517f8b-652b-4b30-9ded-c1a657893324", "type": "reponse", "value": { "latex": "Commençons par déterminer $m$ et $\\sigma$ grâce aux données de l'énoncé:\n\t$$\\begin{align*}\n\t\t&\\p(X\\geq 1522)=0.33 \\ \\Leftrightarrow \\ \\p\\left(\\frac{X-m}{\\sigma}\\leq \\frac{1522-m}{\\sigma}\\right)=0.67\n\t\t\\ \\Leftrightarrow \\ \\frac{1522-m}{\\sigma}=0.44 \\\\\n\t\t&\\p(X\\leq 1598)=0.975 \\ \\Leftrightarrow \\ \\p\\left(\\frac{X-m}{\\sigma}\\leq \\frac{1598-m}{\\sigma}\\right)=0.975\n\t\t\\ \\Leftrightarrow \\ \\frac{1598-m}{\\sigma}=1.96\n\t\\end{align*}$$\n\tIl vient ainsi\n\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t1522-m=0.44\\sigma \\\\\n\t\t\t1598-m=1.96\\sigma\n\t\t\\end{cases}\n\t\\end{align*}$$\n\tsoit $\\sigma=50$ et $m=1500$. Donc $X\\sim \\mathcal{N}(1500,\\sigma=50)$.\n\t\\vspace{1em}\n\t\n\tOn note $n$ le nombre de repas à prévoir pour satisfaire $99$\\% des demandes. Par définition: $\\p(X\\leq n)=0.99$, ce qui donne\n\t\\[ \\p\\left(\\frac{X-1500}{50}\\leq \\frac{n-1500}{50}\\right)= 0.99\\]\n\tsoit $\\frac{n-1500}{50}=2.33$ et finalement $n=1617$.\n\tIl faut donc prévoir $1617$ repas au minimum pour satisfaire la demande dans $99$\\% des cas.", "html": "

Commençons par déterminer \$m\$ et\n\$\\sigma\$ grâce aux données de\nl’énoncé: \\[\\begin{align*}\n &\\p(X\\geq 1522)=0.33 \\ \\Leftrightarrow \\\n\\p\\left(\\frac{X-m}{\\sigma}\\leq \\frac{1522-m}{\\sigma}\\right)=0.67\n \\ \\Leftrightarrow \\ \\frac{1522-m}{\\sigma}=0.44 \\\\\n &\\p(X\\leq 1598)=0.975 \\ \\Leftrightarrow \\\n\\p\\left(\\frac{X-m}{\\sigma}\\leq \\frac{1598-m}{\\sigma}\\right)=0.975\n \\ \\Leftrightarrow \\ \\frac{1598-m}{\\sigma}=1.96\n \\end{align*}\\] Il vient ainsi \\[\\begin{align*}\n \\begin{cases}\n 1522-m=0.44\\sigma \\\\\n 1598-m=1.96\\sigma\n \\end{cases}\n \\end{align*}\\] soit \$\\sigma=50\$ et \$m=1500\$. Donc \$X\\sim \\mathcal{N}(1500,\\sigma=50)\$.

On note \$n\$ le nombre de repas à\nprévoir pour satisfaire \$99\$% des\ndemandes. Par définition: \$\\p(X\\leq\nn)=0.99\$, ce qui donne \\[\\p\\left(\\frac{X-1500}{50}\\leq\n\\frac{n-1500}{50}\\right)= 0.99\\] soit \$\\frac{n-1500}{50}=2.33\$ et finalement\n\$n=1617\$. Il faut donc prévoir \$1617\$ repas au minimum pour satisfaire la\ndemande dans \$99\$% des cas.

\n" } } ] }, { "uuid": "gLXG", "titre": "Divisibilité et racines", "theme": [ "polynomes" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:36.445Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:36.445Z" }, "contenu": [ { "id": "1510404b-f8d4-4585-ba7d-315d83641ddd", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $n \\in \\mathbb{N} \\backslash\\{0,1\\}$. Montrer que $P_n(X)=(X+1)^{2 n}-X^{2 n}-2 X-1$ est divisible par $Q(X)=X(X+1)(2 X+1)$.", "html": "

Soit \$n \\in \\mathbb{N}\n\\backslash\\{0,1\\}\$. Montrer que \$P_n(X)=(X+1)^{2 n}-X^{2 n}-2 X-1\$ est\ndivisible par \$Q(X)=X(X+1)(2\nX+1)\$.

\n" } }, { "id": "22e830fd-c47c-419d-bc17-ca7e941908c6", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a :$$\n\\begin{aligned}\nP_n(0) & =(1)^{2 n}-0-0-1=0 \\\\\nP_n(-1) & =(-1+1)^{2 n}-(-1)^{2 n}-2 \\cdot(-1)-1=0-1+2-1=0 \\\\\nP_n\\left(-\\frac{1}{2}\\right) & =\\left(-\\frac{1}{2}+1\\right)^{2 n}-\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{2 n}-2 \\cdot\\left(-\\frac{1}{2}\\right)-1=\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2 n}-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2 n}+1-1=0\n\\end{aligned}\n$$\n0 racine signifie que $X$ divise $P_n(X): P_n(X)=X . Q_1(X)$;\n$-1$ racine signifie que $(X+1)$ divise $P_n(X): P_n(X)=(X+1) \\cdot \\underbrace{Q_2(X)}_{X \\cdot Q_3(X)}=X \\cdot(X+1) \\cdot Q_3(X)$;\n$-\\frac{1}{2}$ racine signifie que $(2 X+1)$ divise $P_n(X)$ :\n$$\nP_n(X)=(2 X+1) \\cdot Q_4(X)=\\underbrace{X \\cdot(X+1) \\cdot(2 X+1)}_{Q(X)} \\cdot Q_5(X)\n$$\ndonc $Q(X)=X(X+1)(2 X+1)$ divise $P_n(X)=(X+1)^{2 n}-X^{2 n}-2 X-1$.", "html": "

On a :\\[\\begin{aligned}\nP_n(0) & =(1)^{2 n}-0-0-1=0 \\\\\nP_n(-1) & =(-1+1)^{2 n}-(-1)^{2 n}-2 \\cdot(-1)-1=0-1+2-1=0 \\\\\nP_n\\left(-\\frac{1}{2}\\right) & =\\left(-\\frac{1}{2}+1\\right)^{2\nn}-\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{2 n}-2\n\\cdot\\left(-\\frac{1}{2}\\right)-1=\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2\nn}-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2 n}+1-1=0\n\\end{aligned}\\] 0 racine signifie que \$X\$ divise \$P_n(X): P_n(X)=X . Q_1(X)\$; \$-1\$ racine signifie que \$(X+1)\$ divise \$P_n(X): P_n(X)=(X+1) \\cdot \\underbrace{Q_2(X)}_{X\n\\cdot Q_3(X)}=X \\cdot(X+1) \\cdot Q_3(X)\$; \$-\\frac{1}{2}\$ racine signifie que \$(2 X+1)\$ divise \$P_n(X)\$ : \\[P_n(X)=(2 X+1) \\cdot Q_4(X)=\\underbrace{X\n\\cdot(X+1) \\cdot(2 X+1)}_{Q(X)} \\cdot Q_5(X)\\] donc \$Q(X)=X(X+1)(2 X+1)\$ divise \$P_n(X)=(X+1)^{2 n}-X^{2 n}-2 X-1\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "yNs9", "titre": "Division euclidienne et fractions rationnelles", "theme": [ "fractions rationnelles" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:57.493Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:57.493Z" }, "contenu": [ { "id": "47415658-a628-4593-bb8e-c337b2a12016", "type": "question", "value": { "latex": "Effectuer la division euclidienne du polynôme $A(X)=X^3+2 X-5$ par le polynôme $B(X)=X-1$ et en déduire les coefficients $a, b, c$ et $d$ de la décomposition en éléments simples de $$\\frac{A(X)}{B(X)}=\\frac{X^3+2 X-5}{X-1}=a X^2+b X+c+\\frac{d}{X-1}$$.", "html": "

Effectuer la division euclidienne du polynôme \$A(X)=X^3+2 X-5\$ par le polynôme \$B(X)=X-1\$ et en déduire les coefficients\n\$a, b, c\$ et \$d\$ de la décomposition en éléments simples\nde \\[\\frac{A(X)}{B(X)}=\\frac{X^3+2\nX-5}{X-1}=a X^2+b X+c+\\frac{d}{X-1}\\].

\n" } }, { "id": "1eb06cd5-4290-482d-8ddc-b33e5b0f6ab3", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\nA(X)=X^3+2 X-5=\\underbrace{(X-1)}_{B(X)} \\cdot\\left(X^2+X+3\\right)-2\n$$\nOn en déduit :\n$$\n\\begin{aligned}\n\tF(X) & =\\frac{A(X)}{B(X)}=\\frac{X^3+2 X-5}{X-1}=\\frac{(X-1) \\cdot\\left(X^2+X+3\\right)-2}{X-1} \\\\\n\t& =\\frac{(X-1) \\cdot\\left(X^2+X+3\\right)}{X-1}-\\frac{2}{X-1}=X^2+X+3-\\frac{2}{X-1}\n\\end{aligned}\n$$", "html": "

\\[A(X)=X^3+2 X-5=\\underbrace{(X-1)}_{B(X)}\n\\cdot\\left(X^2+X+3\\right)-2\\] On en déduit : \\[\\begin{aligned}\n F(X) & =\\frac{A(X)}{B(X)}=\\frac{X^3+2 X-5}{X-1}=\\frac{(X-1)\n\\cdot\\left(X^2+X+3\\right)-2}{X-1} \\\\\n & =\\frac{(X-1)\n\\cdot\\left(X^2+X+3\\right)}{X-1}-\\frac{2}{X-1}=X^2+X+3-\\frac{2}{X-1}\n\\end{aligned}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "ieFw", "titre": "Domaine de convergence de séries sentières", "theme": [ "séries" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:38.769Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:38.769Z" }, "contenu": [ { "id": "d938b649-eac6-4632-a8af-19a82867fb9e", "type": "description", "value": { "latex": "On considère la série entière de la variable réelle $x$ : \n$$\\sum_{n \\geq 1} \\frac{(-1)^n}{\\sqrt{n}+1}x^n$$", "html": "

On considère la série entière de la variable réelle \$x\$ : \\[\\sum_{n\n\\geq 1} \\frac{(-1)^n}{\\sqrt{n}+1}x^n\\]

\n" } }, { "id": "5099f4dd-0342-4eee-a7ed-bcf877a4822c", "type": "question", "value": { "latex": "Vérifier que le rayon de convergence est égal à $1$.", "html": "

Vérifier que le rayon de convergence est égal à \$1\$.

\n" } }, { "id": "b07084b8-1f13-4f64-985b-cc2b1b492ade", "type": "reponse", "value": { "latex": "On pose $u_n(x) = \\frac{(-1)^n}{\\sqrt{n}+1}x^n$ et on utilise le théorème de d'Alembert : \n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|} &= \\frac{ \\sqrt{n}+1 }{\\sqrt{n+1}+1}\\frac{|x^{n+1}|}{|x^{n}|} \\\\\n\t\t\t& \\sim \\frac{\\sqrt{n}}{\\sqrt{n}} |x| \\\\\n\t\t\t&\\xrightarrow[n\\to+\\infty]{} |x|\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tDonc la série converge si et seulemlent si $|x|<1$. Donc le rayon de convergence est bien $R=1$.", "html": "

On pose \$u_n(x) =\n\\frac{(-1)^n}{\\sqrt{n}+1}x^n\$ et on utilise le théorème de\nd’Alembert : \\[\\begin{align*}\n \\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|} &= \\frac{ \\sqrt{n}+1\n}{\\sqrt{n+1}+1}\\frac{|x^{n+1}|}{|x^{n}|} \\\\\n & \\sim \\frac{\\sqrt{n}}{\\sqrt{n}} |x| \\\\\n &\\xrightarrow[n\\to+\\infty]{} |x|\n \\end{align*}\\] Donc la série converge si et seulemlent si\n\$|x|<1\$. Donc le rayon de\nconvergence est bien \$R=1\$.

\n" } }, { "id": "e3bfdf5d-a813-4a93-8405-0e73d642bd0d", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer le domaine de convergence de cette série entière.", "html": "

Déterminer le domaine de convergence de cette série entière.

\n" } }, { "id": "23f712e1-57ca-4cab-ad7d-81685e6a13c5", "type": "reponse", "value": { "latex": "On sait que la série converge sur l'intervalle $]-R;R[ = ]-1;1[$. Il reste à étudier le cas où $x=-1$ et $x=1$. \n\t\t\n\t\tOr $u_n(-1) = \\frac{1}{\\sqrt{n}+1} \\sum \\frac{1}{n^{\\frac{1}{2}}}$ : la série $\\sum u_n(-1)$ est donc une série à termes positifs et le terme général est équvalent au terme général d'une série de Riemann divergente ($\\alpha = 1/2<1$) donc la série $\\sum u_n(-1)$ diverge. \n\t\t\n\t\tDe plus, \t$u_n(1) = \\frac{(-1)^n}{\\sqrt{n}+1} = (-1)^n a_n$ avec $a_n = \\frac{1}{\\sqrt{n}+1} >0$ pour tout $n \\geq 1$. Donc $u_n(1)$ est le terme général d'une série alternée. Or il est clair que $(a_n)$ est une suite décroissante et $\\lim\\limits_{n\\to+\\infty} a_n = 0$ donc d'après le théorème des séries alternées, la série $\\sum u_n(1)$ converge.\n\t\t\n\t\tEn définitive, le domaine de convergence est \n\t\t$$D = ]-1;1]$$", "html": "

On sait que la série converge sur l’intervalle \$]-R;R[ = ]-1;1[\$. Il reste à étudier le\ncas où \$x=-1\$ et \$x=1\$.

Or \$u_n(-1) = \\frac{1}{\\sqrt{n}+1} \\sum\n\\frac{1}{n^{\\frac{1}{2}}}\$ : la série \$\\sum u_n(-1)\$ est donc une série à termes\npositifs et le terme général est équvalent au terme général d’une série\nde Riemann divergente (\$\\alpha =\n1/2<1\$) donc la série \$\\sum\nu_n(-1)\$ diverge.

De plus, \$u_n(1) =\n\\frac{(-1)^n}{\\sqrt{n}+1} = (-1)^n a_n\$ avec \$a_n = \\frac{1}{\\sqrt{n}+1} >0\$ pour\ntout \$n \\geq 1\$. Donc \$u_n(1)\$ est le terme général d’une série\nalternée. Or il est clair que \$(a_n)\$\nest une suite décroissante et \$\\lim\\limits_{n\\to+\\infty} a_n = 0\$ donc\nd’après le théorème des séries alternées, la série \$\\sum u_n(1)\$ converge.

En définitive, le domaine de convergence est \\[D = ]-1;1]\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "XGrp", "titre": "Domaine de convergence et somme d'une série sentière", "theme": [ "séries" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:24.272Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:24.272Z" }, "contenu": [ { "id": "edca813d-30ce-428f-bb91-8c58a237849b", "type": "question", "value": { "latex": "Vérifier que : $\\forall n \\in \\N$, $ \\frac{n}{n+2} = 1 - \\frac{2}{n+2}$.", "html": "

Vérifier que : \$\\forall n \\in \\N\$,\n\$\\frac{n}{n+2} = 1 -\n\\frac{2}{n+2}\$.

\n" } }, { "id": "a3a1d2d4-6ee7-47e9-a7a4-34783ed08f55", "type": "reponse", "value": { "latex": "Il suffit de voir que $\\frac{n}{n+2} = \\frac{n+2-2}{n+2} = 1 - \\frac{2}{n+2} $.", "html": "

Il suffit de voir que \$\\frac{n}{n+2} =\n\\frac{n+2-2}{n+2} = 1 - \\frac{2}{n+2}\$.

\n" } }, { "id": "f305de2d-99fa-4bc9-82d1-cc1f4a3ff634", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer le domaine de convergence $I$ de cette série entière.", "html": "

Déterminer le domaine de convergence \$I\$ de cette série entière.

\n" } }, { "id": "9e864f30-507c-4432-b69c-95b659f50ba1", "type": "reponse", "value": { "latex": "On pose $u_n(x) = \\frac{n}{n+2}x^n$. On utilise le théorème de d'Alembert :\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|} &= \\frac{ (n+2)(n+1) }{n(n+3)}\\frac{|x^{n+1}|}{|x^{n}|} \\\\\n\t\t\t& \\sim \\frac{n^2}{n^2} |x| \\\\\n\t\t\t&\\xrightarrow[n\\to+\\infty]{} |x|\n\t\t\\end{align*}$$\t\n\t\tDonc le rayon de convergence est $R=1$.\n\t\t\n\t\tDe plus, il $\\lim\\limits_{n\\to+\\infty} u_n(1) = 1$ et $(u_n(-1))$ n'a pas de limite donc la série est grossièrement divergente pour $x=1$ et $x=-1$.\n\t\t\n\t\tPar conséquent, le domaine de convergence est $I = ]-1;1[$.", "html": "

On pose \$u_n(x)\n= \\frac{n}{n+2}x^n\$. On utilise le théorème de d’Alembert :\n\\[\\begin{align*}\n \\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|} &= \\frac{ (n+2)(n+1)\n}{n(n+3)}\\frac{|x^{n+1}|}{|x^{n}|} \\\\\n & \\sim \\frac{n^2}{n^2} |x| \\\\\n &\\xrightarrow[n\\to+\\infty]{} |x|\n \\end{align*}\\] Donc le rayon de convergence est \$R=1\$.

De plus, il \$\\lim\\limits_{n\\to+\\infty}\nu_n(1) = 1\$ et \$(u_n(-1))\$\nn’a pas de limite donc la série est grossièrement divergente pour \$x=1\$ et \$x=-1\$.

Par conséquent, le domaine de convergence est \$I = ]-1;1[\$.

\n" } }, { "id": "a4c84dff-8f3c-4d8d-a6c3-c0d9847b1289", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer la valeur de $\\displaystyle x^2 \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{x^n}{n+2}$ pour tout $x \\in I$.", "html": "

Calculer la valeur de \$\\displaystyle x^2\n\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{x^n}{n+2}\$ pour tout \$x \\in I\$.

\n" } }, { "id": "fa04d403-1db0-4371-96a6-428c06595635", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour tout $x \\in I$ :\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\tx^2 \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{x^n}{n+2} &= \\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{x^{n+2}}{n+2} \\\\\n\t\t\t&= \\sum_{k=2}^{+\\infty}\\frac{x^{k}}{k} \\\\\n\t\t\t&= \\sum_{k=1}^{+\\infty}\\frac{x^{k}}{k} - x \\\\\n\t\t\t&= -\\ln(1-x) -x\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

Pour tout \$x \\in I\$ : \\[\\begin{align*}\n x^2 \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{x^n}{n+2} &=\n\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{x^{n+2}}{n+2} \\\\\n &= \\sum_{k=2}^{+\\infty}\\frac{x^{k}}{k} \\\\\n &= \\sum_{k=1}^{+\\infty}\\frac{x^{k}}{k} - x \\\\\n &= -\\ln(1-x) -x\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "0fd3f6be-d136-4a3b-b18c-19085b7f8668", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire le calcul de la somme $S(x)$ pour tout $x \\in I$.", "html": "

En déduire le calcul de la somme \$S(x)\$ pour tout \$x \\in I\$.

\n" } }, { "id": "884076d2-936b-437a-92f2-a71ecc07811b", "type": "reponse", "value": { "latex": "D'après la question précédente, si $x \\in ]-1;1[$ et $x \\neq 0$ :\n\t\t$$\t\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{x^n}{n+2} = \\frac{-\\ln(1-x)-x}{x^2}$$\n\t\t\n\t\tD'après la 1ère question, pour tout $x \\in ]-1;1[$ et $x \\neq 0$ :\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\tS(x) &= \\sum_{n=0}^{+\\infty} x^n - 2\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{x^{n}}{n+2} \\\\\n\t\t\t&= \\frac{1}{1-x} -2\\frac{-\\ln(1-x)-x}{x^2}\\\\\n\t\t\t&= \\frac{1}{1-x} + \\frac{2\\ln(1-x)}{x^2} + \\frac{2}{x} \n\t\t\\end{align*}$$\t\n\t\tet trivialement $S(0) = 0$.", "html": "

D’après la question précédente, si \$x \\in\n]-1;1[\$ et \$x \\neq 0\$ : \\[\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{x^n}{n+2} =\n\\frac{-\\ln(1-x)-x}{x^2}\\]

D’après la 1ère question, pour tout \$x \\in\n]-1;1[\$ et \$x \\neq 0\$ : \\[\\begin{align*}\n S(x) &= \\sum_{n=0}^{+\\infty} x^n -\n2\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{x^{n}}{n+2} \\\\\n &= \\frac{1}{1-x} -2\\frac{-\\ln(1-x)-x}{x^2}\\\\\n &= \\frac{1}{1-x} + \\frac{2\\ln(1-x)}{x^2} + \\frac{2}{x}\n \\end{align*}\\] et trivialement \$S(0) = 0\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "HojS", "titre": "Domaine de définition", "theme": [ "fonctions de plusieurs variables" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:09.895Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:09.895Z" }, "contenu": [ { "id": "949586c4-cb8e-4f7c-8aaf-a5caf66b9186", "type": "description", "value": { "latex": "Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes et si possible donner une représentation graphique.", "html": "

Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes et si\npossible donner une représentation graphique.

\n" } }, { "id": "9ece3a51-bbec-409a-badb-faadbed7bd13", "type": "question", "value": { "latex": "$f_1(x,y) = \\frac{\\sqrt{-y+x^2}}{\\sqrt{x}}$", "html": "

\$f_1(x,y) =\n\\frac{\\sqrt{-y+x^2}}{\\sqrt{x}}\$

\n" } }, { "id": "0de3af41-c480-4e84-8026-9d25195daca0", "type": "question", "value": { "latex": "$f_2(x,y) = \\frac{\\ln(y)}{\\sqrt{x-y}}$", "html": "

\$f_2(x,y) =\n\\frac{\\ln(y)}{\\sqrt{x-y}}\$

\n" } }, { "id": "ed9fc23d-ee0b-45cb-83a2-61bf2b9e0b31", "type": "question", "value": { "latex": "$f_3(x,y) = \\ln(x+2y)$", "html": "

\$f_3(x,y) = \\ln(x+2y)\$

\n" } }, { "id": "c52522ea-76af-4c46-96d4-3286977f6fb4", "type": "question", "value": { "latex": "$f_4(x,y,z) = \\frac{\\ln(x^2+1)}{yz}$", "html": "

\$f_4(x,y,z) =\n\\frac{\\ln(x^2+1)}{yz}\$

\n" } } ] }, { "uuid": "99Xf", "titre": "Double jeu et probabilités discrètes", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:00.510Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:00.510Z" }, "contenu": [ { "id": "68bc6b97-45a8-4a0e-9e01-4b0c17c003d5", "type": "description", "value": { "latex": "Un joueur effectue une suite de parties de pile ou face indépendantes, avec probabilité $p$ d'obtenir pile à chaque partie. Soit $n$ un entier. Le joueur peut choisir entre deux jeux :\n\t\\begin{description}\n\t\t\\item[le Jeu 1 :] le joueur effectue $2n-1$ parties. Il est déclaré vainqueur s'il obtient au moins $n$ fois pile ;\n\t\t\\item[le Jeu 2 :] le joueur effectue $2n$ parties. S'il obtient au moins $n+1$ fois pile, il est déclaré vainqueur. S'il obtient $n$ fois pile exactement, on tire au sort et il est déclaré vainqueur avec probabilité \n\t\t$\\frac{1}{2}$.\n\t\\end{description}\n\t\n\tOn note $X$ le nombre de piles obtenus lorsque le joueur choisit le Jeu 1, et $Y$ le nombre de piles obtenus lorsqu'il choisit le Jeu 2. On note $p_1$ la probabilité de gagner au Jeu 1 et $p_2$ la probabilité de gagner au Jeu 2. \n\t\n\tL'objectif est de savoir s'il vaut mieux jouer au Jeu 1 ou au Jeu 2.", "html": "

Un joueur effectue une suite de parties de pile ou face\nindépendantes, avec probabilité \$p\$\nd’obtenir pile à chaque partie. Soit \$n\$ un entier. Le joueur peut choisir entre\ndeux jeux :

le Jeu 1 :: \n
le joueur effectue \$2n-1\$ parties.\nIl est déclaré vainqueur s’il obtient au moins \$n\$ fois pile ;
\n
le Jeu 2 :: \n
le joueur effectue \$2n\$ parties.\nS’il obtient au moins \$n+1\$ fois\npile, il est déclaré vainqueur. S’il obtient \$n\$ fois pile exactement, on tire au sort\net il est déclaré vainqueur avec probabilité \$\\frac{1}{2}\$.
\n

On note \$X\$ le nombre de piles\nobtenus lorsque le joueur choisit le Jeu 1, et \$Y\$ le nombre de piles obtenus lorsqu’il\nchoisit le Jeu 2. On note \$p_1\$ la\nprobabilité de gagner au Jeu 1 et \$p_2\$ la probabilité de gagner au Jeu\n2.

L’objectif est de savoir s’il vaut mieux jouer au Jeu 1 ou au Jeu\n2.

\n" } }, { "id": "9adb155f-ac08-42d0-bc53-c452d58a80ad", "type": "question", "value": { "latex": "\\'Ecrire $Y=X+U$ où $U$ est une variable aléatoire indépendante de $X$ dont la loi reste à préciser.", "html": "

Écrire \$Y=X+U\$ où \$U\$ est une variable aléatoire indépendante\nde \$X\$ dont la loi reste à\npréciser.

\n" } }, { "id": "6f3fb8b9-0b01-4ec2-bee1-d2b48485c437", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $U$ la \\va de Bernoulli égale à $1$ si on a choisi le jeu 2 et que le $2n$-ième lancer donne ``pile''. Comme les lancers sont indépendants, la \\va $U$ est indépendante de $X$ et on a bien $Y=X+U$, avec $U \\sim \\mathcal{B}(p)$.", "html": "

Soit \$U\$ la de Bernoulli égale à\n\$1\$ si on a choisi le jeu 2 et que le\n\$2n\$-ième lancer donne “pile”. Comme\nles lancers sont indépendants, la \$U\$\nest indépendante de \$X\$ et on a bien\n\$Y=X+U\$, avec \$U \\sim \\mathcal{B}(p)\$.

\n" } }, { "id": "e2b21c1d-17c4-4fa6-b961-8e491d5b3452", "type": "question", "value": { "latex": "Démontrer que $\\PP(Y>n) = \\PP(X>n) + p\\PP(X=n)$.", "html": "

Démontrer que \$\\PP(Y>n) = \\PP(X>n) +\np\\PP(X=n)\$.

\n" } }, { "id": "94d120a0-5aa6-4bf7-93bb-9cd16dab7cb2", "type": "reponse", "value": { "latex": "Comme $Y=X+U$, on a\n\t\t \t$$\\begin{align*}\n\t\t \t\\p(Y>n)&=\\p(Y>n,X>n) + \\p(Y>n,X=n) + \\p(Y>n,Xn)+\\p(X=n,U=1) + 0 \\\\\n\t\t \t&= \\p(X>n)+\\p(X=n)\\ \\p(U=1) \\text{ par indépendance de $X$ et $U$ }\\\\\n\t\t \t&= \\p(X>n)+p\\ \\p(X=n).\n\t\t \t\\end{align*}$$", "html": "

Comme \$Y=X+U\$, on a \\[\\begin{align*}\n \\p(Y>n)&=\\p(Y>n,X>n) + \\p(Y>n,X=n) +\n\\p(Y>n,X<n) \\text{ d'après le th. des proba. totales } \\\\\n &= \\p(X>n)+\\p(X=n,U=1) + 0 \\\\\n &= \\p(X>n)+\\p(X=n)\\ \\p(U=1) \\text{ par\nindépendance de $X$ et $U$ }\\\\\n &= \\p(X>n)+p\\ \\p(X=n).\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "4620446e-aae6-48c5-b568-16cba8161699", "type": "question", "value": { "latex": "Vérifier que $p_1-p_2 = (1-p)\\PP(X=n) - \\frac{1}{2}\\PP(Y=n)$", "html": "

Vérifier que \$p_1-p_2 = (1-p)\\PP(X=n) -\n\\frac{1}{2}\\PP(Y=n)\$

\n" } }, { "id": "f88b6572-dd4f-4683-9817-ed14db975dd9", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a:\n\t\t \t$$\\begin{align*}\n\t\t \tp_1-p_2&=\\p(X\\geq n)-\\left[\\p(Y>n)+\\frac{1}{2}\\ \\p(Y=n)\\right] \\\\\n\t\t \t\n\t\t \t&= \\p(X=n)+\\p(X>n)-\\p(X>n)-p\\ \\p(X=n)-\\frac{1}{2}\\ \\p(Y=n) \\\\\n\t\t \t&= (1-p)\\ \\p(X=n)-\\frac{1}{2}\\ \\p(Y=n).\n\t\t \t\\end{align*}$$", "html": "

On a: \\[\\begin{align*}\n p_1-p_2&=\\p(X\\geq n)-\\left[\\p(Y>n)+\\frac{1}{2}\\\n\\p(Y=n)\\right] \\\\\n \n &= \\p(X=n)+\\p(X>n)-\\p(X>n)-p\\\n\\p(X=n)-\\frac{1}{2}\\ \\p(Y=n) \\\\\n &= (1-p)\\ \\p(X=n)-\\frac{1}{2}\\ \\p(Y=n).\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "9fec5f41-6a46-43f4-afe6-98f4fe71731e", "type": "question", "value": { "latex": "Conclure.", "html": "

Conclure.

\n" } }, { "id": "f297a7bb-b60b-4859-8679-145eca0c1e4c", "type": "reponse", "value": { "latex": "Étudions le signe de $p_1-p_2$. Comme $X \\sim \\mathcal{B}(2n-1,p)$ et $Y \\sim \\mathcal{B}(2n,p)$, on a\n\t\t \t$$\\begin{align*}\n\t\t \tp_1-p_2&=(1-p) \\binom{2n-1}{n} p^n (1-p)^{2n-1-n} -\\frac{1}{2} \\binom{n}{2n} p^n (1-p)^{2n-n} \\\\\n\t\t \t&= \\frac{(2n-1)!}{n!\\times (n-1)!}p^n(1-p)^n -\\frac{1}{2}\\times\\frac{(2n)!}{ n! \\times n!}p^n(1-p)^n \\\\\n\t\t \t&= \\frac{(2n)!}{(n!)^2}\\left( \\frac{n}{2n}- \\frac{1}{2} \\right) p^n (1-p)^n \\\\\n\t\t \t&= 0\n\t\t \t\\end{align*}$$\n\t\t \tOn en conclut qu'aucun des deux jeux n'est préférable à l'autre.", "html": "

Étudions le signe de \$p_1-p_2\$.\nComme \$X \\sim \\mathcal{B}(2n-1,p)\$ et\n\$Y \\sim \\mathcal{B}(2n,p)\$, on a\n\\[\\begin{align*}\n p_1-p_2&=(1-p) \\binom{2n-1}{n} p^n (1-p)^{2n-1-n}\n-\\frac{1}{2} \\binom{n}{2n} p^n (1-p)^{2n-n} \\\\\n &= \\frac{(2n-1)!}{n!\\times (n-1)!}p^n(1-p)^n\n-\\frac{1}{2}\\times\\frac{(2n)!}{ n! \\times n!}p^n(1-p)^n \\\\\n &= \\frac{(2n)!}{(n!)^2}\\left( \\frac{n}{2n}-\n\\frac{1}{2} \\right) p^n (1-p)^n \\\\\n &= 0\n \\end{align*}\\] On en conclut qu’aucun des deux\njeux n’est préférable à l’autre.

\n" } } ] }, { "uuid": "jmDd", "titre": "Durée de vie", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:40.955Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:40.955Z" }, "contenu": [ { "id": "6bace83d-4f17-4f22-8df2-cd5057bf3c28", "type": "description", "value": { "latex": "Une machine est composée de trois alternateurs indépendants. La durée de vie de $T$ de chaque alternateur suit une loi exponentielle de paramètre $\\lambda$. La machine fonctionne si et seulement si au moins deux des alternateurs fonctionnent. On appelle $X$ la variable aléatoire mesurant le temps de fonctionnement de la machine.", "html": "

Une machine est composée de trois alternateurs indépendants. La durée\nde vie de \$T\$ de chaque alternateur\nsuit une loi exponentielle de paramètre \$\\lambda\$. La machine fonctionne si et\nseulement si au moins deux des alternateurs fonctionnent. On appelle\n\$X\$ la variable aléatoire mesurant le\ntemps de fonctionnement de la machine.

\n" } }, { "id": "9e77bb4c-08f4-4135-af5b-85b6848c6e0b", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la loi de $X$ et calculer son espérance.", "html": "

Déterminer la loi de \$X\$ et\ncalculer son espérance.

\n" } }, { "id": "8d268a4e-4d02-48ab-9110-a77f8fa83ac8", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soient $T_1$, $T_2$ et $T_3$ les durées de vie des alternateurs. Soit $t >0$, on a~: \n $$\\begin{align*}\n \\prob(X \\geq t) & = \\prob(T_1 \\geq t, T_2 \\geq t, T_3 \\geq t) + \\prob(T_1 < t, T_2 \\geq t, T_3 \\geq t) \\\\ &+ \\prob(T_1 \\geq t, T_2 < t, T_3 \\geq t) + \\prob(T_1 \\geq t, T_2 \\geq t, T_3 < t) \\\\\n & = \\prob(T_1 \\geq t) \\prob(T_2 \\geq t) \\prob(T_3 \\geq t) + \\prob(T_1 < t) \\prob(T_2 \\geq t) \\prob(T_3 \\geq t) \\\\ & + \\prob(T_1 \\geq t) \\prob(T_2 < t) \\prob(T_3 \\geq t) + \\prob(T_1 \\geq t) \\prob(T_2 \\geq t) \\prob(T_3 < t) \\\\\n & = e^{-3\\lambda t} + 3 e^{-2\\lambda t} (1-e^{-\\lambda t}) \\\\\n &= 3 e^{-2\\lambda t} - 2 e^{-3\\lambda t} \n \\end{align*}$$\n Donc la fonction de répartition de $X$ est~: \n $$\\begin{align*}\n F_X(t) & = \\prob(X \\leq t) \\\\\n & = 1 - \\prob(X \\geq t) \\\\\n & = 1 - 3 e^{-2\\lambda t} + 2 e^{-3\\lambda t} \n \\end{align*}$$\n Cete fonction est dérivable sur $\\R_+$ et sa dérivée est~:\n $$\\begin{align*}\n f_X(t) & = 6\\lambda e^{-2\\lambda t} - 6 \\lambda e^{-3\\lambda t} \\\\\n \\end{align*}$$\nOn conclut que $X$ admet pour densité de probabilité $f_X(x) = 6 ( e^{-2\\lambda x} - e^{-3\\lambda x})1_{\\R_+}(x)$. \n\nOn peut alors calculer son espérance : \n$$\\begin{align*}\n \\E(X) & = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} x f_X(x) dx \\\\\n & = \\int_{0}^{+\\infty} 6 x ( e^{-2\\lambda x} - e^{-3\\lambda x}) dx \\\\\n &= 3 \\times \\frac{1}{2\\lambda} - 2 \\times \\frac{1}{3\\lambda} \\\\\n & = \\frac{5}{6\\lambda} \\\\\n\\end{align*}$$", "html": "

Soient \$T_1\$, \$T_2\$ et \$T_3\$ les durées de vie des alternateurs.\nSoit \$t >0\$, on a : \\[\\begin{align*}\n \\prob(X \\geq t) & = \\prob(T_1 \\geq t, T_2 \\geq t, T_3 \\geq\nt) + \\prob(T_1 < t, T_2 \\geq t, T_3 \\geq t) \\\\ &+ \\prob(T_1 \\geq\nt, T_2 < t, T_3 \\geq t) + \\prob(T_1 \\geq t, T_2 \\geq t, T_3 < t)\n\\\\\n & = \\prob(T_1 \\geq t) \\prob(T_2 \\geq t) \\prob(T_3 \\geq t) +\n\\prob(T_1 < t) \\prob(T_2 \\geq t) \\prob(T_3 \\geq t) \\\\ & +\n\\prob(T_1 \\geq t) \\prob(T_2 < t) \\prob(T_3 \\geq t) + \\prob(T_1 \\geq\nt) \\prob(T_2 \\geq t) \\prob(T_3 < t) \\\\\n & = e^{-3\\lambda t} + 3 e^{-2\\lambda t} (1-e^{-\\lambda t})\n\\\\\n &= 3 e^{-2\\lambda t} - 2 e^{-3\\lambda t}\n \\end{align*}\\] Donc la fonction de répartition de \$X\$ est : \\[\\begin{align*}\n F_X(t) & = \\prob(X \\leq t) \\\\\n & = 1 - \\prob(X \\geq t) \\\\\n & = 1 - 3 e^{-2\\lambda t} + 2 e^{-3\\lambda t}\n \\end{align*}\\] Cete fonction est dérivable sur \$\\R_+\$ et sa dérivée est : \\[\\begin{align*}\n f_X(t) & = 6\\lambda e^{-2\\lambda t} - 6 \\lambda\ne^{-3\\lambda t} \\\\\n \\end{align*}\\] On conclut que \$X\$ admet pour densité de probabilité \$f_X(x) = 6 ( e^{-2\\lambda x} - e^{-3\\lambda\nx})1_{\\R_+}(x)\$.

On peut alors calculer son espérance : \\[\\begin{align*}\n \\E(X) & = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} x f_X(x) dx \\\\\n & = \\int_{0}^{+\\infty} 6 x ( e^{-2\\lambda x} - e^{-3\\lambda x})\ndx \\\\\n &= 3 \\times \\frac{1}{2\\lambda} - 2 \\times \\frac{1}{3\\lambda} \\\\\n & = \\frac{5}{6\\lambda} \\\\\n\\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "d02ca414-6e72-4176-9332-8bb0da2abb30", "type": "question", "value": { "latex": "Soient les réels $t>0$, $h>0$. Sachant que la machine a déjà fonctionné pendant un temps $t$, quelle est la probabilité qu'elle fonctionne encore pendant un temps $h$ ? Déterminer la limite de cette probabilité, à $h$ fixé, lorsque $t \\to +\\infty$.", "html": "

Soient les réels \$t>0\$, \$h>0\$. Sachant que la machine a déjà\nfonctionné pendant un temps \$t\$,\nquelle est la probabilité qu’elle fonctionne encore pendant un temps\n\$h\$ ? Déterminer la limite de cette\nprobabilité, à \$h\$ fixé, lorsque\n\$t \\to +\\infty\$.

\n" } }, { "id": "2026db2f-9a66-4e37-b486-1a1578509a2f", "type": "reponse", "value": { "latex": "On exprime la probabilité conditionnelle : \n $$\\begin{align*}\n \\prob(X \\geq t+h | X \\geq t) & = \\frac{\\prob(X \\geq t+h, X \\geq t)}{\\prob(X \\geq t)} \\\\\n & = \\frac{\\prob(X \\geq t+h)}{\\prob(X \\geq t)} \\\\\n &= \\frac{3e^{-2\\lambda (t+h)} -2 e^{-3\\lambda (t+h)}}{3e^{-2\\lambda t} -2 e^{-3\\lambda t}} \\\\\n & = \\frac{ 3 e^{-2\\lambda h} - 2 e^{-\\lambda t} e^{-3\\lambda h}}{3 - 2 e^{-\\lambda t}} \\\\\n & \\xrightarrow[t \\to +\\infty]{} e^{-2\\lambda h}\n \\end{align*}$$", "html": "

On exprime la probabilité conditionnelle : \\[\\begin{align*}\n \\prob(X \\geq t+h | X \\geq t) & = \\frac{\\prob(X \\geq t+h, X\n\\geq t)}{\\prob(X \\geq t)} \\\\\n & = \\frac{\\prob(X \\geq t+h)}{\\prob(X \\geq t)} \\\\\n &= \\frac{3e^{-2\\lambda (t+h)} -2 e^{-3\\lambda\n(t+h)}}{3e^{-2\\lambda t} -2 e^{-3\\lambda t}} \\\\\n & = \\frac{ 3 e^{-2\\lambda h} - 2 e^{-\\lambda t} e^{-3\\lambda\nh}}{3 - 2 e^{-\\lambda t}} \\\\\n & \\xrightarrow[t \\to +\\infty]{} e^{-2\\lambda h}\n \\end{align*}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "ingl", "titre": "Durée de vie et temps d'attente", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:39.317Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:39.317Z" }, "contenu": [ { "id": "77166455-87bb-4b48-a999-555375c85168", "type": "description", "value": { "latex": "On considère $n$ lampes, $n \\in \\mathbb{N}^*$. La durée de vie (en années) d'une lampe est une variable aléatoire absolument continue dont la densité $f$ est définie sur $\\mathbb{R}$ par \n\t$$ f \\colon t \\mapsto \\frac{1}{16} t e^{-\\frac{t}{4}} 1_{[0;+\\infty[}(t)$$\n\tOn suppose que les lampes évoluent de manière indépendante. \n\t\n\tPour tout entier $i \\in \\{1,...,n\\}$, on note $X_i$ la variable aléatoire égale à la durée de vie de la $i$-ème lampe.", "html": "

On considère \$n\$ lampes, \$n \\in \\mathbb{N}^*\$. La durée de vie (en\nannées) d’une lampe est une variable aléatoire absolument continue dont\nla densité \$f\$ est définie sur \$\\mathbb{R}\$ par \\[f \\colon t \\mapsto \\frac{1}{16} t\ne^{-\\frac{t}{4}} 1_{[0;+\\infty[}(t)\\] On suppose que les lampes\névoluent de manière indépendante.

Pour tout entier \$i \\in\n\\{1,...,n\\}\$, on note \$X_i\$\nla variable aléatoire égale à la durée de vie de la \$i\$-ème lampe.

\n" } }, { "id": "24adc3ec-d696-491b-8033-b49e4b2c9d3e", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire $X_1$.", "html": "

Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire \$X_1\$.

\n" } }, { "id": "9368e332-8819-4ddc-a914-396166b1c5e9", "type": "reponse", "value": { "latex": "On note $F_{X_1}$ la fonction de répartition de la variable aléatoire $X_1$. Par définition, \n\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\forall t\\in\\R, F_{X_1}(t) &= \\int_{-\\infty}^t f(x)dx \\\\\n\t\t&=\\begin{cases}\n\t\t\t0 & \\text{ si } t<0 \\\\\n\t\t\t\\int_0^t \\frac{1}{16}xe^{-\\frac{x}{4}}dx & \\text{ si } t\\geq 0\n\t\t\\end{cases}\n\t\\end{align*}$$\n\tc'est-à-dire pour $t\\in\\R^+$,\n\t$$\\begin{align*}\n\t\tF_{X_1}(t) &=\\left[ \\frac{-1}{4}xe^{-\\frac{x}{4}}\\right]_0^t +\\int_0^t \\frac{1}{4}e^{-\\frac{x}{4}} dx \\quad \\text{ par une I.P.P.}\\\\\n\t\t&=\\frac{-1}{4}te^{-\\frac{t}{4}} +\\left[-e^{-\\frac{x}{4}} \\right]_0^t \\\\\n\t\t&=1-e^{-\\frac{t}{4}} \\left(\\frac{t}{4}+1 \\right)\n\t\\end{align*}$$\n\tFinalement on a :\n\t\\[ \\forall t\\in\\R, \\quad F_{X_1}(t)=\\left(1-e^{-\\frac{t}{4}} \\left(\\frac{t}{4}+1 \\right)\\right) \\mathbf{1}_{[0;+\\infty[}(t)\\]", "html": "

On note \$F_{X_1}\$ la fonction de\nrépartition de la variable aléatoire \$X_1\$. Par définition, \\[\\begin{align*}\n \\forall t\\in\\R, F_{X_1}(t) &= \\int_{-\\infty}^t f(x)dx \\\\\n &=\\begin{cases}\n 0 & \\text{ si } t<0 \\\\\n \\int_0^t \\frac{1}{16}xe^{-\\frac{x}{4}}dx & \\text{ si }\nt\\geq 0\n \\end{cases}\n \\end{align*}\\] c’est-à-dire pour \$t\\in\\R^+\$, \\[\\begin{align*}\n F_{X_1}(t) &=\\left[ \\frac{-1}{4}xe^{-\\frac{x}{4}}\\right]_0^t\n+\\int_0^t \\frac{1}{4}e^{-\\frac{x}{4}} dx \\quad \\text{ par une I.P.P.}\\\\\n &=\\frac{-1}{4}te^{-\\frac{t}{4}} +\\left[-e^{-\\frac{x}{4}}\n\\right]_0^t \\\\\n &=1-e^{-\\frac{t}{4}} \\left(\\frac{t}{4}+1 \\right)\n \\end{align*}\\] Finalement on a : \\[\\forall t\\in\\R, \\quad\nF_{X_1}(t)=\\left(1-e^{-\\frac{t}{4}} \\left(\\frac{t}{4}+1 \\right)\\right)\n\\mathbf{1}_{[0;+\\infty[}(t)\\]

\n" } }, { "id": "3cdd6a8e-087b-4033-a89f-6154868cb805", "type": "description", "value": { "latex": "Un appareil de type $A$ comporte 6 lampes, toutes nécessaires à son fonctionement. On note $T = \\min\\limits_{i \\in \\{1,...,6\\} }(X_i)$.", "html": "

Un appareil de type \$A\$ comporte 6\nlampes, toutes nécessaires à son fonctionement. On note \$T = \\min\\limits_{i \\in \\{1,...,6\\}\n}(X_i)\$.

\n" } }, { "id": "533874b9-798a-4a46-a636-c9ef5d3b3354", "type": "question", "value": { "latex": "Que modélise la variable aléatoire $T$ ?", "html": "

Que modélise la variable aléatoire \$T\$ ?

\n" } }, { "id": "745d8d30-7819-4781-9703-47f0c4405bfa", "type": "reponse", "value": { "latex": "La variable aléatoire $T$ modélise la durée de fonctionnement de l'appareil de type $A$.", "html": "

La variable aléatoire \$T\$ modélise\nla durée de fonctionnement de l’appareil de type \$A\$.

\n" } }, { "id": "385a05b4-40c0-4339-b277-61990fa3507f", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la loi de $T$.", "html": "

Déterminer la loi de \$T\$.

\n" } }, { "id": "a3ac6256-856d-41fc-9825-687d86a7ee48", "type": "reponse", "value": { "latex": "On détermine la fonction de répartition de $T$:\n\t\t\t\\[ \\forall t \\in \\mathbb{R}, \\quad F_T(t)=\\p(T\\leq t).\\]\n\t\t\tSi $t\\leq 0$, \\ $F(t)=0$. Soit $t\\in\\R^+$. Alors\n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\tF_T(t) &= \\p( \\min\\limits_{i \\in \\{1,...,6\\} }(X_i) \\leq t) \\\\\n\t\t\t\t&= 1- \\p( \\min\\limits_{i \\in \\{1,...,6\\} }(X_i)>t) \\\\\n\t\t\t\t&=1-\\p(\\{X_1>t\\}\\cap \\cdots \\cap \\{X_6>t\\}) \\\\\n\t\t\t\t&=1-\\prod_{i=1}^6 \\p(X_i>t) \\quad \\text{ par indépendance des } (X_i)_{i\\in\\{1,\\cdots,6\\}} \\\\\n\t\t\t\t&=1-\\p(X_1>t)^6 \\quad \\text{ car les } (X_i)_{i\\in\\{1,\\cdots,6\\}} \\text{ sont de même loi} \\\\\n\t\t\t\t&=1-(1-F_{X_1}(t))^6.\n\t\t\t\\end{align*}$$\n\t\tEn utilisant la question 1, on en déduit que : \n\t\t\t \t\\[ \\forall t \\in \\R, \\quad \n\t\tF_T(t)=\\left(1-e^{-\\frac{3t}{2}}\\left(1+\\frac{t}{4}\\right)^6 \\right)\\mathbf{1}_{[0;+\\infty[}(t).\n\t\t\\]", "html": "

On détermine la fonction de répartition de \$T\$: \\[\\forall t\n\\in \\mathbb{R}, \\quad F_T(t)=\\p(T\\leq t).\\] Si \$t\\leq 0\$, \$F(t)=0\$. Soit \$t\\in\\R^+\$. Alors \\[\\begin{align*}\n F_T(t) &= \\p( \\min\\limits_{i \\in \\{1,...,6\\} }(X_i)\n\\leq t) \\\\\n &= 1- \\p( \\min\\limits_{i \\in \\{1,...,6\\}\n}(X_i)>t) \\\\\n &=1-\\p(\\{X_1>t\\}\\cap \\cdots \\cap \\{X_6>t\\}) \\\\\n &=1-\\prod_{i=1}^6 \\p(X_i>t) \\quad \\text{ par\nindépendance des } (X_i)_{i\\in\\{1,\\cdots,6\\}} \\\\\n &=1-\\p(X_1>t)^6 \\quad \\text{ car les }\n(X_i)_{i\\in\\{1,\\cdots,6\\}} \\text{ sont de même loi} \\\\\n &=1-(1-F_{X_1}(t))^6.\n \\end{align*}\\] En utilisant la question 1, on en\ndéduit que : \\[\\forall t \\in \\R, \\quad\n F_T(t)=\\left(1-e^{-\\frac{3t}{2}}\\left(1+\\frac{t}{4}\\right)^6\n\\right)\\mathbf{1}_{[0;+\\infty[}(t).\\]

\n" } }, { "id": "d2327f34-023c-442f-95c3-a87010954043", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer la probabilité que l'appareil de type $A$ fonctionne de manière continue pendant au moins 4 ans à partir de sa mise en marche, sans changer de lampe.", "html": "

Calculer la probabilité que l’appareil de type \$A\$ fonctionne de manière continue pendant\nau moins 4 ans à partir de sa mise en marche, sans changer de lampe.

\n" } }, { "id": "72fb38d6-48d0-4615-a253-67be9795265b", "type": "reponse", "value": { "latex": "On cherche à déterminer la probabilité $\\PP(T\\geq 4)$:\n\t\t\t\\[\\PP(T\\geq 4)=1-\\p(T<4)=1-F_T(4)=2^6e^{-6} \\simeq 0.1586.\\]\n\t\t\tLa probabilité que l'appareil de type $A$ fonctionne de manière continue pendant au moins $4$ ans à partir de sa mise en marche est d'environ $15.86$\\%.", "html": "

On cherche à déterminer la probabilité \$\\PP(T\\geq 4)\$: \\[\\PP(T\\geq 4)=1-\\p(T<4)=1-F_T(4)=2^6e^{-6}\n\\simeq 0.1586.\\] La probabilité que l’appareil de type \$A\$ fonctionne de manière continue pendant\nau moins \$4\$ ans à partir de sa mise\nen marche est d’environ \$15.86\$%.

\n" } }, { "id": "c142fd02-070e-47ff-bf59-0189c790a4f0", "type": "description", "value": { "latex": "Un appareil de type $B$ fonctionne avec une lampe seulement. On dispose cette fois d'une lampe de remplacement. Lorsque l'appareil fonctionne et que la lampe tombe en panne, celle-ci est immédiatement remplacée par la lampe de remplacement. Soit $U$ la variable aléatoire donnant la durée de fonctionnement d'un appareil de type $B$ avec une lampe de remplacement.", "html": "

Un appareil de type \$B\$ fonctionne\navec une lampe seulement. On dispose cette fois d’une lampe de\nremplacement. Lorsque l’appareil fonctionne et que la lampe tombe en\npanne, celle-ci est immédiatement remplacée par la lampe de\nremplacement. Soit \$U\$ la variable\naléatoire donnant la durée de fonctionnement d’un appareil de type \$B\$ avec une lampe de remplacement.

\n" } }, { "id": "73a57fb3-5762-4429-b8c7-45c9ebf7ca03", "type": "question", "value": { "latex": "Exprimer $U$ en fonction de $X_1$ et $X_2$.", "html": "

Exprimer \$U\$ en fonction de \$X_1\$ et \$X_2\$.

\n" } }, { "id": "43c7d732-af28-4ed4-bbed-bb2be116e805", "type": "reponse", "value": { "latex": "D'après l'énoncé, \t$U=X_1+X_2$.", "html": "

D’après l’énoncé, \$U=X_1+X_2\$.

\n" } }, { "id": "a2b53201-e27a-4d78-97fd-e7ee5dbd10dd", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la loi de $U$.", "html": "

Déterminer la loi de \$U\$.

\n" } }, { "id": "73d48333-abca-49a7-87d4-49a3aef17e9e", "type": "reponse", "value": { "latex": "Comme $U$ est une somme de deux variables aléatoires indépendantes de densité $f$, une densité de $U$ se calcule à l'aide du produit de convolution~: pour $s\\in\\R$,\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\tf_U(s)&=f * f(s) \\\\\n\t\t\t &= \\int_{\\R} f(s-x)f(x) dx \\\\\n\t\t\t\t&=\\frac{1}{16^2}e^{-\\frac{s}{4}}\\mathbf{1}_{[0;+\\infty[}(s) \\int_0^s x(s-x)dx\\\\\n\t\t\t\t&=\\frac{1}{16^2}e^{-\\frac{s}{4}}\\mathbf{1}_{[0;+\\infty[}(s) \\left[ \\frac{1}{2}x^2s-\\frac{1}{3}x^3\\right]_{x=0}^{x=s} \\\\\n\t\t\t\t&=\\frac{1}{16^2}e^{-\\frac{s}{4}}\\mathbf{1}_{[0;+\\infty[}(s) \\left( \\frac{1}{2}-\\frac{1}{3}\\right)s^3 \\\\\n\t\t\t\t&=\\frac{1}{16^2\\times 6}s^3e^{-\\frac{s}{4}}\\mathbf{1}_{[0;+\\infty[}(s) \\\\\n\t\t\t\t&=\\frac{1}{1536}s^3e^{-\\frac{s}{4}}\\mathbf{1}_{[0;+\\infty[}(s),\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\t\tce qui détermine la loi de $U$.", "html": "

Comme \$U\$ est une somme de deux\nvariables aléatoires indépendantes de densité \$f\$, une densité de \$U\$ se calcule à l’aide du produit de\nconvolution : pour \$s\\in\\R\$, \\[\\begin{align*}\n f_U(s)&=f * f(s) \\\\\n &= \\int_{\\R} f(s-x)f(x) dx \\\\\n &=\\frac{1}{16^2}e^{-\\frac{s}{4}}\\mathbf{1}_{[0;+\\infty[}(s)\n\\int_0^s x(s-x)dx\\\\\n &=\\frac{1}{16^2}e^{-\\frac{s}{4}}\\mathbf{1}_{[0;+\\infty[}(s)\n\\left[ \\frac{1}{2}x^2s-\\frac{1}{3}x^3\\right]_{x=0}^{x=s} \\\\\n &=\\frac{1}{16^2}e^{-\\frac{s}{4}}\\mathbf{1}_{[0;+\\infty[}(s)\n\\left( \\frac{1}{2}-\\frac{1}{3}\\right)s^3 \\\\\n &=\\frac{1}{16^2\\times\n6}s^3e^{-\\frac{s}{4}}\\mathbf{1}_{[0;+\\infty[}(s) \\\\\n &=\\frac{1}{1536}s^3e^{-\\frac{s}{4}}\\mathbf{1}_{[0;+\\infty[}(s),\n \\end{align*}\\] ce qui détermine la loi de \$U\$.

\n" } }, { "id": "876db30b-2e3a-41bb-a6ac-b0928fc801cd", "type": "description", "value": { "latex": "On dispose de 4 appareils de type $B$, sans aucune lampe de remplacement. On met en marche ces 4 appareils simultanément. On note $V$ le temps durant lequel au moins un des 4 appareils fonctionne.", "html": "

On dispose de 4 appareils de type \$B\$, sans aucune lampe de remplacement. On\nmet en marche ces 4 appareils simultanément. On note \$V\$ le temps durant lequel au moins un des\n4 appareils fonctionne.

\n" } }, { "id": "55770304-320f-4eac-9fb9-b3850a996786", "type": "question", "value": { "latex": "Exprimer $V$ en fonction de $X_1$, $X_2$, $X_3$, $X_4$.", "html": "

Exprimer \$V\$ en fonction de \$X_1\$, \$X_2\$, \$X_3\$, \$X_4\$.

\n" } }, { "id": "fb082d5c-ef1f-444a-8b2c-cab78cb4a101", "type": "reponse", "value": { "latex": "D'après l'énoncé,\n\t\t\t$V=\\max\\limits_{i \\in \\{1,...,4\\} }(X_i)$.", "html": "

D’après l’énoncé, \$V=\\max\\limits_{i \\in\n\\{1,...,4\\} }(X_i)\$.

\n" } }, { "id": "6e917fe8-3abb-497a-9c61-6974f9d58b7b", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire la loi de $V$.", "html": "

En déduire la loi de \$V\$.

\n" } }, { "id": "16a72dfe-5e3a-454a-8d56-4a58c5f59e3a", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour tout $t\\in\\R$, on a:\n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\tF_V(t) &= \\p( \\max\\limits_{i \\in \\{1,...,4\\} }(X_i) \\leq t) \\\\\n\t\t\t\t&=\\p(\\{X_1\\leq t\\}\\cap \\cdots \\cap \\{X_4\\leq t\\}) \\\\\n\t\t\t\t&=\\prod_{i=1}^4 \\p(X_i\\leq t) \\quad \\text{ par indépendance des } (X_i)_{i\\in\\{1,\\cdots,4\\}} \\\\\n\t\t\t\t&=F_{X_1}(t)^4 \\quad \\text{ car les } (X_i)_{i\\in\\{1,\\cdots,4\\}} \\text{ sont de même loi} \\\\\n\t\t\t\t&= \\left(1-e^{-\\frac{t}{4}} \\left(1+\\frac{t}{4} \\right)\\right)^4 \\mathbf{1}_{[0;+\\infty[}(t)\n\t\t\t\\end{align*}$$", "html": "

Pour tout \$t\\in\\R\$, on a: \\[\\begin{align*}\n F_V(t) &= \\p( \\max\\limits_{i \\in \\{1,...,4\\} }(X_i)\n\\leq t) \\\\\n &=\\p(\\{X_1\\leq t\\}\\cap \\cdots \\cap \\{X_4\\leq t\\}) \\\\\n &=\\prod_{i=1}^4 \\p(X_i\\leq t) \\quad \\text{ par\nindépendance des } (X_i)_{i\\in\\{1,\\cdots,4\\}} \\\\\n &=F_{X_1}(t)^4 \\quad \\text{ car les }\n(X_i)_{i\\in\\{1,\\cdots,4\\}} \\text{ sont de même loi} \\\\\n &= \\left(1-e^{-\\frac{t}{4}} \\left(1+\\frac{t}{4}\n\\right)\\right)^4 \\mathbf{1}_{[0;+\\infty[}(t)\n \\end{align*}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "uSXE", "titre": "Durées des contrôles fiscaux", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:52.943Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:52.943Z" }, "contenu": [ { "id": "3fedb6e9-d5f9-46c8-a572-69356deae353", "type": "description", "value": { "latex": "On s'intéresse à la méthode de contrôle fiscal d'une entreprise qui consiste à vérifier la comptabilité de l'entreprise.\n\nOn considère que le temps de contrôle d'une entreprise est une variable aléatoire de loi $\\mathcal{N}\\left(m, \\sigma^2\\right)$. On réalise 7 contrôles et on obtient les temps suivants (en jours) :\n$$\n\\begin{array}{lllllll}\n\t57 & 61 & 42 & 53 & 45 & 65 & 58 .\n\\end{array}\n$$", "html": "

On s’intéresse à la méthode de contrôle fiscal d’une entreprise qui\nconsiste à vérifier la comptabilité de l’entreprise.

On considère que le temps de contrôle d’une entreprise est une\nvariable aléatoire de loi \$\\mathcal{N}\\left(m, \\sigma^2\\right)\$. On\nréalise 7 contrôles et on obtient les temps suivants (en jours) : \\[\\begin{array}{lllllll}\n 57 & 61 & 42 & 53 & 45 & 65 & 58 .\n\\end{array}\\]

\n" } }, { "id": "d429e742-5f39-4419-9528-0aac7a8cdd98", "type": "question", "value": { "latex": "Donner une estimation de $m$ et de $\\sigma^2$. On précisera les estimateurs utilisés en indiquant leurs propriétés.", "html": "

Donner une estimation de \$m\$ et de\n\$\\sigma^2\$. On précisera les\nestimateurs utilisés en indiquant leurs propriétés.

\n" } }, { "id": "a9d42740-060a-45c3-8f80-720f9d088b78", "type": "reponse", "value": { "latex": "On estime la moyenne $m$ à l'aide de la moyenne empirique $\\left(\\bar{X}=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n X_i\\right)$, qui est sans biais et convergente :\n$$\n\\bar{x}=\\frac{57+61+42+53+45+65+58}{7}=\\frac{381}{7} \\simeq 54.43\n$$\n On estime la variance $\\sigma^2$ à l'aide de la variance empirique $\\left(S^2=\\frac{1}{n-1} \\sum_{i=1}^n\\left(X_i-\\bar{X}\\right)^2\\right)$, qui est sans biais et convergent :\n$$\ns^2=\\frac{1}{6}\\left((57-54.43)^2+(61-54.43)^2+\\ldots+(58-54.43)^2\\right) \\simeq 69.95\n$$", "html": "

On estime la moyenne \$m\$ à l’aide\nde la moyenne empirique \$\\left(\\bar{X}=\\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n\nX_i\\right)\$, qui est sans biais et convergente : \\[\\bar{x}=\\frac{57+61+42+53+45+65+58}{7}=\\frac{381}{7}\n\\simeq 54.43\\] On estime la variance \$\\sigma^2\$ à l’aide de la variance\nempirique \$\\left(S^2=\\frac{1}{n-1}\n\\sum_{i=1}^n\\left(X_i-\\bar{X}\\right)^2\\right)\$, qui est sans\nbiais et convergent : \\[s^2=\\frac{1}{6}\\left((57-54.43)^2+(61-54.43)^2+\\ldots+(58-54.43)^2\\right)\n\\simeq 69.95\\]

\n" } }, { "id": "87d643c3-4e1d-49c7-a573-cdd371b9d0f8", "type": "question", "value": { "latex": "Donner un intervalle de confiance de niveau $90 \\%$ permettant d'estimer $m$.", "html": "

Donner un intervalle de confiance de niveau \$90 \\%\$ permettant d’estimer \$m\$.

\n" } }, { "id": "f7090d00-b60a-468b-8d73-04f9b818cae0", "type": "reponse", "value": { "latex": "Il s'agit d'un intervalle de confiance d'une moyenne dans le cas où la variance est inconnue et la loi mère de l'échantillon est une loi Normale. On a donc:\n$$\nI C(\\bar{X})=\\left[\\bar{x}-t \\times \\frac{s}{\\sqrt{n}} ; \\bar{x}+t \\times \\frac{s}{\\sqrt{n}}\\right]\n$$\navec $\\bar{x}=54.43, s=\\sqrt{69.95} \\simeq 8.36, n=7$ et $t$ est le réel tel que $\\mathbb{P}(U \\leq t)=1-\\frac{0.10}{2}=0.95$, où $U \\sim S t(6)$, c'est-à-dire $t=1.9432$. On obtient alors\n$$\nI C(\\bar{X})=[48.29 ; 60.57]\n$$", "html": "

Il s’agit d’un intervalle de confiance d’une moyenne dans le cas où\nla variance est inconnue et la loi mère de l’échantillon est une loi\nNormale. On a donc: \\[I\nC(\\bar{X})=\\left[\\bar{x}-t \\times \\frac{s}{\\sqrt{n}} ; \\bar{x}+t \\times\n\\frac{s}{\\sqrt{n}}\\right]\\] avec \$\\bar{x}=54.43, s=\\sqrt{69.95} \\simeq 8.36,\nn=7\$ et \$t\$ est le réel tel\nque \$\\mathbb{P}(U \\leq\nt)=1-\\frac{0.10}{2}=0.95\$, où \$U \\sim\nS t(6)\$, c’est-à-dire \$t=1.9432\$. On obtient alors \\[I C(\\bar{X})=[48.29 ; 60.57]\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "S3Kp", "titre": "Échantillons de pièces usinées", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:20.207Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:20.207Z" }, "contenu": [ { "id": "8fa640ae-05cc-402c-a024-94b3474b4407", "type": "description", "value": { "latex": "Chaque pièce fabriquée par une certaine machine pèse en moyenne $0.50$~g avec un écart type de $0.02$~g.", "html": "

Chaque pièce fabriquée par une certaine machine pèse en moyenne \$0.50\$ g avec un écart type de \$0.02\$ g.

\n" } }, { "id": "a62434cf-11d5-4726-a9ac-9941606e16e3", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soient les variables aléatoires $X_i$ représentant le poids d'une pièce. Ces variables sont indépendantes et de même loi, d'espérance $\\mathbb{E}(X_i)=0.5$ et d'écart-type $\\sigma(X_i)=0.02$.", "html": "

Soient les variables aléatoires \$X_i\$ représentant le poids d’une pièce.\nCes variables sont indépendantes et de même loi, d’espérance \$\\mathbb{E}(X_i)=0.5\$ et d’écart-type \$\\sigma(X_i)=0.02\$.

\n" } }, { "id": "37f646ff-ec01-46f7-85f5-9c2c1f39417a", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $\\overline{X}$ la variable aléatoire égale au poids moyen d'une pièce dans un échantillon de $n$ pièces où $n$ est un entier naturel non nul quelconque. En fonction de $n$, que peut-on dire de la loi de $\\overline{X}$ ?", "html": "

Soit \$\\overline{X}\$ la variable\naléatoire égale au poids moyen d’une pièce dans un échantillon de \$n\$ pièces où \$n\$ est un entier naturel non nul\nquelconque. En fonction de \$n\$, que\npeut-on dire de la loi de \$\\overline{X}\$ ?

\n" } }, { "id": "3478d05d-abcc-424e-b2e2-3dc9094df545", "type": "reponse", "value": { "latex": "Comme $\\bar{X}$ est le poids moyen des pièces sur un échantillon de $n$ pièces, on a $\\displaystyle \\bar{X}=\\frac{1}{n}=\\sum_{i=1}^n X_i$. \n\t\tPar le théorème central-limite, pour $n$ grand, la variable aléatoire $\\displaystyle \\sum_{i=1}^n X_i$ suit approximativement une loi Normale de paramètres $\\mu=n\\times 0.5$ et $\\sigma=\\sqrt{n}\\times 0.02$. Par conséquent, la variable $\\overline{X}$ suit approximativement la loi $\\displaystyle\\mathcal{N}\\left(0.50,\\sigma=\\frac{0.02}{\\sqrt{n}}\\right)$.\n\nSi $n$ est petit ($n < 30$ par convention), on ne connaît pas la loi de $\\overline{X}$.", "html": "

Comme \$\\bar{X}\$ est le poids moyen\ndes pièces sur un échantillon de \$n\$\npièces, on a \$\\displaystyle\n\\bar{X}=\\frac{1}{n}=\\sum_{i=1}^n X_i\$. Par le théorème\ncentral-limite, pour \$n\$ grand, la\nvariable aléatoire \$\\displaystyle\n\\sum_{i=1}^n X_i\$ suit approximativement une loi Normale de\nparamètres \$\\mu=n\\times 0.5\$ et \$\\sigma=\\sqrt{n}\\times 0.02\$. Par\nconséquent, la variable \$\\overline{X}\$ suit approximativement la\nloi \$\\displaystyle\\mathcal{N}\\left(0.50,\\sigma=\\frac{0.02}{\\sqrt{n}}\\right)\$.

Si \$n\$ est petit (\$n < 30\$ par convention), on ne connaît\npas la loi de \$\\overline{X}\$.

\n" } }, { "id": "fb52891b-8724-46c4-b705-d969573e838a", "type": "question", "value": { "latex": "On considère deux échantillons de 1000 pièces chacun. Déterminer la probabilité que la différence de poids entre deux lots de 1000 pièces soit supérieure à 2 grammes.", "html": "

On considère deux échantillons de 1000 pièces chacun. Déterminer la\nprobabilité que la différence de poids entre deux lots de 1000 pièces\nsoit supérieure à 2 grammes.

\n" } }, { "id": "63cf8432-dd8c-4222-8387-bf55bb0886a0", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $Y_1$ et $Y_2$ deux variables aléatoires indépendantes et de même loi que $\\displaystyle \\sum_{i=1}^n X_i$, où $n=1000$. Comme $n$ est grand, $Y_1$ et $Y_2$ suivent approximativement la loi $\\displaystyle\\mathcal{N}\\left(500,\\sigma=0.02\\sqrt{1000}\\right)$.\n\t\tDonc $Y_1-Y_2$ suit encore une loi Normale de paramètres $\\mu=\\E(Y_1)-\\E(Y_2)=0$ et de variance $\\sigma^2=\\sigma^2(Y_1-Y_2)=2\\sigma^2(Y_1)=0.8$, ce que l'on peut résumer par\n\t\t\\[ Y_1-Y_2 \\ \\sim \\ \\mathcal{N}\\left( 0,\\sigma=\\sqrt{0.8} \\right).\\]\n\t\tOn cherche à déterminer la probabilité suivante:\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\mathbb{P}(|Y_1-Y_2|>2) \n\t\t\t&= \\mathbb{P}\\left( \\left| \\frac{Y_1-Y_2}{\\sqrt{8}}\\right|\\right) \\\\\n\t\t\t& \\simeq \\mathbb{P}(|Z| > 2.24), \\quad \\text{ où } Z\\sim\\mathcal{N}(0,1) \\\\\n\t\t\t& \\simeq 1-\\mathbb{P}(|Z|\\leq 2.24) \\\\\n\t\t\t& \\simeq 1-(2\\mathbb{P}(Z\\leq 2.24)-1) \\\\\n\t\t\t& \\simeq 2-2\\times 0.9875 \\quad \\text{ par lecture de la table de loi} \\\\\n\t\t\t& \\simeq 0.025.\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tLa probabilité que le poids de deux lots de $1000$ pièces chacun diffèrent entre eux de plus de $2$ grammes est d'environ $2.5$\\%.", "html": "

Soit \$Y_1\$ et \$Y_2\$ deux variables aléatoires\nindépendantes et de même loi que \$\\displaystyle \\sum_{i=1}^n X_i\$, où \$n=1000\$. Comme \$n\$ est grand, \$Y_1\$ et \$Y_2\$ suivent approximativement la loi\n\$\\displaystyle\\mathcal{N}\\left(500,\\sigma=0.02\\sqrt{1000}\\right)\$.\nDonc \$Y_1-Y_2\$ suit encore une loi\nNormale de paramètres \$\\mu=\\E(Y_1)-\\E(Y_2)=0\$ et de variance\n\$\\sigma^2=\\sigma^2(Y_1-Y_2)=2\\sigma^2(Y_1)=0.8\$,\nce que l’on peut résumer par \\[Y_1-Y_2 \\ \\sim\n\\ \\mathcal{N}\\left( 0,\\sigma=\\sqrt{0.8} \\right).\\] On cherche à\ndéterminer la probabilité suivante: \\[\\begin{align*}\n \\mathbb{P}(|Y_1-Y_2|>2)\n &= \\mathbb{P}\\left( \\left|\n\\frac{Y_1-Y_2}{\\sqrt{8}}\\right|\\right) \\\\\n & \\simeq \\mathbb{P}(|Z| > 2.24), \\quad \\text{ où }\nZ\\sim\\mathcal{N}(0,1) \\\\\n & \\simeq 1-\\mathbb{P}(|Z|\\leq 2.24) \\\\\n & \\simeq 1-(2\\mathbb{P}(Z\\leq 2.24)-1) \\\\\n & \\simeq 2-2\\times 0.9875 \\quad \\text{ par lecture de la\ntable de loi} \\\\\n & \\simeq 0.025.\n \\end{align*}\\] La probabilité que le poids de deux lots\nde \$1000\$ pièces chacun diffèrent\nentre eux de plus de \$2\$ grammes est\nd’environ \$2.5\$%.

\n" } } ] }, { "uuid": "DkWo", "titre": "Effet d'un traitement", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:05.437Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:05.437Z" }, "contenu": [ { "id": "5f564eb1-fef9-407d-a923-62204d4332b0", "type": "description", "value": { "latex": "On a mesuré les dimensions (en cm$^2$) d'une tumeur chez des souris. Certaines sont traitées avec une substance, d'autres non. On a obtenu les résultats suivants :\n\n\\begin{center}\n\t\n\t\\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\n\t\t\\hline & taille échantillon & moyenne & écart type \\\\ \n\t\t\\hline souris témoins & 20 & 7.075 cm$^2$ & 0.576 cm$^2$ \\\\ \n\t\t\\hline souris traitées & 18 & 5.850 cm$^2$ & 0.614 cm$^2$ \\\\ \n\t\t\\hline \n\t\\end{tabular} \n\t\n\\end{center}", "html": "

On a mesuré les dimensions (en cm\$^2\$) d’une tumeur chez des souris.\nCertaines sont traitées avec une substance, d’autres non. On a obtenu\nles résultats suivants :

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

	taille échantillon	moyenne	écart type
souris témoins	20	7.075 cm\$^2\$	0.576 cm\$^2\$
souris traitées	18	5.850 cm\$^2\$	0.614 cm\$^2\$

\n" } }, { "id": "dbb49c5b-69bd-4395-9305-833b521ae771", "type": "question", "value": { "latex": "A partir de ces résultats, peut-on affirmer que le traitement a permis de réduire significativement la taille des tumeurs ?", "html": "

A partir de ces résultats, peut-on affirmer que le traitement a\npermis de réduire significativement la taille des tumeurs ?

\n" } }, { "id": "8ea6b3ca-5158-49b2-a92d-d25f09dc4927", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\href{https://stcyrterrenetdefensegouvf-my.sharepoint.com/:x:/g/personal/maxime_nguyen_st-cyr_terre-net_defense_gouv_fr/EYlCPJY62BdMpTYscg1T6zABc9_WCIR_pzt6XSOajALYhw?e=u1SXuH&nav=MTVfezAwMDAwMDAwLTAwMDEtMDAwMC0wNjAwLTAwMDAwMDAwMDAwMH0}{lien vers tableur}", "html": "

lien\nvers tableur

\n" } } ] }, { "uuid": "Kush", "titre": "Egalité à une série de Fourier", "theme": [ "séries de fourier" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:13.683Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:13.683Z" }, "contenu": [ { "id": "88027969-227a-410d-9787-86d0ecda7d6f", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $f:\\R\\rightarrow \\R$, impaire, $2\\pi$-p\\'eriodique, d\\'efinie par $f(x)=1$ pour tout $x\\in]0,\\pi[ $.", "html": "

Soit \$f:\\R\\rightarrow \\R\$,\nimpaire, \$2\\pi\$-périodique, définie\npar \$f(x)=1\$ pour tout \$x\\in]0,\\pi[\$.

\n" } }, { "id": "0bd7be71-67c4-4c83-877e-c89da1810c6b", "type": "question", "value": { "latex": "Dessiner le graphe de $f$. Quelle est la r\\'egularit\\'e de $f$ ?", "html": "

Dessiner le graphe de \$f\$. Quelle\nest la régularité de \$f\$ ?

\n" } }, { "id": "dd0e3edf-7851-45e9-a529-1c8984dfcce3", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\begin{center}\n\t\t\t\\begin{tikzpicture}[xscale=0.5]\n\t\t\t\t\\draw[->] (-4,0) -- (8,0);\n\t\t\t\t\\draw (8,0) node[right] {$x$};\n\t\t\t\t\\draw (6.28,0) node[below] {$2\\pi$};\n\t\t\t\t\\draw (3.14,0) node[below] {$\\pi$};\n\t\t\t\t\\draw (-3.14,0) node[below] {$-\\pi$};\n\t\t\t\t\\draw [->] (0,-1) -- (0,1.2);\n\t\t\t\t\\draw (0,1.2) node[above] {$y$};\n\t\t\t\t\\draw[line width=3pt, color=red] (7,1) -- (6.28,1);\n\t\t\t\t\\draw[line width=3pt, color=red] (3.14,-1) -- (6.28,-1);\n\t\t\t\t\\draw[line width=3pt, color=red] (0,1) -- (3.14,1);\n\t\t\t\t\\draw[color=red] (0,0) node {$\\bullet$} ;\n\t\t\t\t\\draw[color=red] (-3.14,0) node {$\\bullet$} ;\n\t\t\t\t\\draw[color=red] (3.14,0) node {$\\bullet$} ;\n\t\t\t\t\\draw[color=red] (6.28,0) node {$\\bullet$} ;\n\t\t\t\t\\draw[line width=3pt, color=red] (0,-1) -- (-3.14,-1);\n\t\t\t\t\\draw[line width=3pt, color=red] (-4,1) -- (-3.14,1);\n\t\t\t\\end{tikzpicture}\n\t\t\\end{center}\n\t\tLa fonction $f$ est continue par morceaux, discontinue aux points $(k\\pi), \\, k\\in \\Z$. Elle est impaire donc $f(0)=0$.", "html": "

\n\n

La fonction \$f\$ est continue par\nmorceaux, discontinue aux points \$(k\\pi), \\,\nk\\in \\Z\$. Elle est impaire donc \$f(0)=0\$.

\n" } }, { "id": "757626c8-a600-4b60-ba4e-d5dd3c86781f", "type": "question", "value": { "latex": "D\\'eterminer les coefficients de Fourier trigonom\\'etriques de $f$.", "html": "

Déterminer les coefficients de Fourier trigonométriques de \$f\$.

\n" } }, { "id": "da28dc72-5a96-4933-8124-1ee466089eff", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $f$ étant impaire, les coefficients de Fourier $a_n(f)$ sont nuls et : \n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\tb_n(f) &= \\frac{2}{\\pi} \\int_0^{\\pi} f(t)\\sin(nt)\\mathrm{d}t \\\\\n\t\t\t&= \\frac{2}{\\pi} \\int_0^{ {\\pi}} \\sin(nt)\\mathrm{d}t \\\\\n\t\t\t&= \\frac{2}{\\pi} \\left[-\\frac{1}{n}\\cos(nt)\\right]_0^{ {\\pi}} \\\\\n\t\t\t&= \\frac{2}{n\\pi}\\left(1-\\cos\\left({n\\pi}\\right)\\right)\\\\\n\t\t\t&= \\frac{2}{n\\pi}\\left(1-(-1)^n\\right)\n\t\t\\end{align*}$$\t\n\t\tLa série de Fourier est donc $\\displaystyle S_n(f) = \\sum_{n\\geq 1} \\frac{2}{n\\pi}\\left(1-(-1)^n\\right)\\sin(nx) = \\sum_{k \\geq 0} \\frac{4}{(2k+1)\\pi}\\sin((2k+1)x)$.", "html": "

La fonction \$f\$ étant impaire, les\ncoefficients de Fourier \$a_n(f)\$ sont\nnuls et : \\[\\begin{align*}\n b_n(f) &= \\frac{2}{\\pi} \\int_0^{\\pi}\nf(t)\\sin(nt)\\mathrm{d}t \\\\\n &= \\frac{2}{\\pi} \\int_0^{ {\\pi}} \\sin(nt)\\mathrm{d}t \\\\\n &= \\frac{2}{\\pi} \\left[-\\frac{1}{n}\\cos(nt)\\right]_0^{\n{\\pi}} \\\\\n &=\n\\frac{2}{n\\pi}\\left(1-\\cos\\left({n\\pi}\\right)\\right)\\\\\n &= \\frac{2}{n\\pi}\\left(1-(-1)^n\\right)\n \\end{align*}\\] La série de Fourier est donc \$\\displaystyle S_n(f) = \\sum_{n\\geq 1}\n\\frac{2}{n\\pi}\\left(1-(-1)^n\\right)\\sin(nx) = \\sum_{k \\geq 0}\n\\frac{4}{(2k+1)\\pi}\\sin((2k+1)x)\$.

\n" } }, { "id": "c405ebdc-7e96-4ce9-9bad-a1d6fa7d96ec", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer les sommes :\n\t$$\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{(-1)^n }{2n+1 } \\qquad \\text{ et } \\qquad \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{1 }{(2n+1)^2 }.$$", "html": "

Calculer les sommes : \\[\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{(-1)^n }{2n+1 } \\qquad\n\\text{ et } \\qquad \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{1 }{(2n+1)^2\n}.\\]

\n" } }, { "id": "4b289128-be26-416b-8402-ca1cbac8464a", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $f$ étant continue en $\\frac{\\pi}{2}$, d'après le théorème de Dirichlet on a :\n\t\t$$f\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) = \\sum_{k=0}^{+\\infty }\t\\frac{4}{(2k+1)\\pi}\\sin\\left((2k+1)\\frac{\\pi}{2}\\right) = \\sum_{k=0}^{+\\infty }\t\\frac{4}{(2k+1)\\pi} \\times (-1)^k$$\n\t\td'où $\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{(-1)^n }{2n+1 } = \\frac{4}{\\pi}$. \n\t\t\n\t\tD'après la formule de Parseval,\n\t\t$$\\frac{1}{2\\pi}\\int_0^{2\\pi}f(t)^2 \\mathrm{d}t = 0 + \\frac{1}{2} \\sum_{k=0}^{+\\infty }\t\\left(\\frac{4}{(2k+1)\\pi}\\right)^2$$\n\t\tOr par définition de $f$, $\\frac{1}{2\\pi}\\int_0^{2\\pi}f(t)^2 \\mathrm{d}t = \\frac{1}{2\\pi}\\int_0^{2\\pi}1 \\mathrm{d}t = 1$ donc $\\displaystyle \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{1 }{(2n+1)^2 } = 2 \\times \\frac{\\pi^2}{4^2} = \\frac{\\pi^2}{8}$.", "html": "

La fonction \$f\$ étant continue en\n\$\\frac{\\pi}{2}\$, d’après le théorème\nde Dirichlet on a : \\[f\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) = \\sum_{k=0}^{+\\infty\n} \\frac{4}{(2k+1)\\pi}\\sin\\left((2k+1)\\frac{\\pi}{2}\\right) =\n\\sum_{k=0}^{+\\infty } \\frac{4}{(2k+1)\\pi} \\times (-1)^k\\] d’où\n\$\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{(-1)^n }{2n+1 } =\n\\frac{4}{\\pi}\$.

D’après la formule de Parseval, \\[\\frac{1}{2\\pi}\\int_0^{2\\pi}f(t)^2 \\mathrm{d}t = 0\n+ \\frac{1}{2} \\sum_{k=0}^{+\\infty }\n\\left(\\frac{4}{(2k+1)\\pi}\\right)^2\\] Or par définition de \$f\$, \$\\frac{1}{2\\pi}\\int_0^{2\\pi}f(t)^2 \\mathrm{d}t =\n\\frac{1}{2\\pi}\\int_0^{2\\pi}1 \\mathrm{d}t = 1\$ donc \$\\displaystyle \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{1\n}{(2n+1)^2 } = 2 \\times \\frac{\\pi^2}{4^2} =\n\\frac{\\pi^2}{8}\$.

\n" } }, { "id": "d0b3e122-19e9-4868-a297-47608b4d9bd9", "type": "question", "value": { "latex": "En d\\'eduire la valeur exacte de $ \\displaystyle \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1 }{n^2 }$.", "html": "

En déduire la valeur exacte de \$\\displaystyle \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1 }{n^2\n}\$.

\n" } }, { "id": "f3e6d334-9ea5-44d7-b589-035a2d947153", "type": "reponse", "value": { "latex": "On remarque que \n\t\t$$\\begin{align*} \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1 }{n^2 } &= \\sum_{k=1}^{+\\infty} \\frac{1 }{(2k)^2} + \\sum_{k=0}^{+\\infty} \\frac{1 }{(2k+1)^2} \\\\\n\t\t\t&= \\frac{1}{4} \\sum_{k=1}^{+\\infty} \\frac{1 }{k^2} + \\frac{\\pi^2}{8}\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\td'où $\\frac{3}{4} \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1 }{n^2 } = \\frac{\\pi^2}{8}$ d'où $$\\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1 }{n^2 } = \\frac{\\pi^2}{6}$$", "html": "

On remarque que \\[\\begin{align*}\n\\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1 }{n^2 } &= \\sum_{k=1}^{+\\infty} \\frac{1\n}{(2k)^2} + \\sum_{k=0}^{+\\infty} \\frac{1 }{(2k+1)^2} \\\\\n &= \\frac{1}{4} \\sum_{k=1}^{+\\infty} \\frac{1 }{k^2} +\n\\frac{\\pi^2}{8}\n \\end{align*}\\] d’où \$\\frac{3}{4} \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1 }{n^2 } =\n\\frac{\\pi^2}{8}\$ d’où \\[\\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1 }{n^2 } =\n\\frac{\\pi^2}{6}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "zAlF", "titre": "Elements simples", "theme": [ "fractions rationnelles" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:58.391Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:58.391Z" }, "contenu": [ { "id": "f876ff95-7d16-4feb-b4d8-03734af26a8d", "type": "question", "value": { "latex": "Pour chacune des fractions rationnelles, indiquer s'il s'agit d'un élément simple dans $\\mathbb{R}(X)$.\n\n\\begin{center}\n\t\\begin{tabular}{|c|c|c||c|c|c|}\n\t\\hline Fraction rationnelle & Oui & Non & Fraction rationnelle & Oui & Non \\\\\n\t\\hline$F_1(X)=\\frac{1}{(X+1)}$ & & & $F_4(X)=\\frac{X-1}{\\left(X^2+1\\right)}$ & & \\\\\n\t\\hline$F_2(X)=\\frac{1}{\\left(X^2+1\\right)}$ & & & $F_5(X)=\\frac{X-1}{(X+1)^2}$ & & \\\\\n\t\\hline$F_3(X)=\\frac{1}{(X+1)^3}$ & & & $F_6(X)=\\frac{X^2+X+1}{\\left(X^3+1\\right)}$ & & \\\\\n\t\\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}", "html": "

Pour chacune des fractions rationnelles, indiquer s’il s’agit d’un\nélément simple dans \$\\mathbb{R}(X)\$.

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

Fraction rationnelle	Oui	Non	Fraction rationnelle	Oui	Non
\$F_1(X)=\\frac{1}{(X+1)}\$			\$F_4(X)=\\frac{X-1}{\\left(X^2+1\\right)}\$
\$F_2(X)=\\frac{1}{\\left(X^2+1\\right)}\$			\$F_5(X)=\\frac{X-1}{(X+1)^2}\$
\$F_3(X)=\\frac{1}{(X+1)^3}\$			\$F_6(X)=\\frac{X^2+X+1}{\\left(X^3+1\\right)}\$

\n" } }, { "id": "3b12067c-43c1-43c5-a763-4d9e7d7571d4", "type": "reponse", "value": { "latex": "$F_1(X)=\\frac{1}{(X+1)}$ est un élément simple car le dénominateur $(X+1)$ est un polynôme de degré 1 donc irréductible sur $\\mathbb{R}$ et le numérateur est une constante, donc de degré $0(<1)$.\n$F_2(X)=\\frac{1}{\\left(X^2+1\\right)}$ est un élément simple car le dénominateur $\\left(X^2+1\\right)$ est un polynôme de degré 2 irréductible sur $\\mathbb{R}$ et le numérateur est une constante, donc de degré $0(<2)$.\n\n$F_3(X)=\\frac{1}{(X+1)^3}$ est un élément simple car le dénominateur $(X+1)^3$ est constitué d'un polynôme de degré 1 irréductible sur $\\mathbb{R}$, élevé à la puissance 3 , et le numérateur est une constante, donc de degré $0(<1)$.\n$F_4(X)=\\frac{X-1}{\\left(X^2+1\\right)}$ est un élément simple car le dénominateur $\\left(X^2+1\\right)$ est un polynôme de degré 2 irréductible sur $\\mathbb{R}$, et le numérateur est un polynôme de degré $0(<2)$.\n$F_5(X)=\\frac{X-1}{(X+1)^2}$ n'est pas un élément simple car le dénominateur $(X+1)^2$ est constitué d'un polynôme de degré 1 irréductible sur $\\mathbb{R}$, élevé à la puissance 2, et le numérateur est un polynôme lui aussi de degré 1 .\n$F_6(X)=\\frac{X^2+X+1}{\\left(X^3+1\\right)}$ n'est pas un élément simple car le dénominateur $\\left(X^3+1\\right)$ n'est pas un polynôme irréductible sur $\\mathbb{R}$, car c'est un polynôme de degré 3 .", "html": "

\$F_1(X)=\\frac{1}{(X+1)}\$ est un\nélément simple car le dénominateur \$(X+1)\$ est un polynôme de degré 1 donc\nirréductible sur \$\\mathbb{R}\$ et le\nnumérateur est une constante, donc de degré \$0(<1)\$. \$F_2(X)=\\frac{1}{\\left(X^2+1\\right)}\$ est\nun élément simple car le dénominateur \$\\left(X^2+1\\right)\$ est un polynôme de\ndegré 2 irréductible sur \$\\mathbb{R}\$\net le numérateur est une constante, donc de degré \$0(<2)\$.

\$F_3(X)=\\frac{1}{(X+1)^3}\$ est un\nélément simple car le dénominateur \$(X+1)^3\$ est constitué d’un polynôme de\ndegré 1 irréductible sur \$\\mathbb{R}\$, élevé à la puissance 3 , et\nle numérateur est une constante, donc de degré \$0(<1)\$. \$F_4(X)=\\frac{X-1}{\\left(X^2+1\\right)}\$ est\nun élément simple car le dénominateur \$\\left(X^2+1\\right)\$ est un polynôme de\ndegré 2 irréductible sur \$\\mathbb{R}\$, et le numérateur est un\npolynôme de degré \$0(<2)\$. \$F_5(X)=\\frac{X-1}{(X+1)^2}\$ n’est pas un\nélément simple car le dénominateur \$(X+1)^2\$ est constitué d’un polynôme de\ndegré 1 irréductible sur \$\\mathbb{R}\$, élevé à la puissance 2, et le\nnumérateur est un polynôme lui aussi de degré 1 . \$F_6(X)=\\frac{X^2+X+1}{\\left(X^3+1\\right)}\$\nn’est pas un élément simple car le dénominateur \$\\left(X^3+1\\right)\$ n’est pas un polynôme\nirréductible sur \$\\mathbb{R}\$, car\nc’est un polynôme de degré 3 .

\n" } } ] }, { "uuid": "dmDL", "titre": "Equivalents : vrai ou faux", "theme": [ "limite" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:33.442Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:33.442Z" }, "contenu": [ { "id": "a8cee9c9-cf53-4f92-9fc7-94107fef8787", "type": "description", "value": { "latex": "Quels sont les équivalents corrects parmi les propositions suivantes ? Justifier (en revenant à la définition si nécessaire).", "html": "

Quels sont les équivalents corrects parmi les propositions suivantes\n? Justifier (en revenant à la définition si nécessaire).

\n" } }, { "id": "78150578-4623-4ca4-8ca8-558fae25347f", "type": "question", "value": { "latex": "$x+1 \\underset{x\\to+\\infty}\\sim x$", "html": "

\$x+1 \\underset{x\\to+\\infty}\\sim\nx\$

\n" } }, { "id": "f2f3695b-b01d-4541-a8db-5ce6bc245c9c", "type": "question", "value": { "latex": "$x^2-x \\underset{x\\to+\\infty}\\sim x$", "html": "

\$x^2-x \\underset{x\\to+\\infty}\\sim\nx\$

\n" } }, { "id": "18de01ae-41bc-4293-b66f-81b306defae9", "type": "question", "value": { "latex": "$ \\ln(x) \\underset{x\\to+\\infty}\\sim \\ln(10^6x)$", "html": "

\$\\ln(x) \\underset{x\\to+\\infty}\\sim\n\\ln(10^6x)\$

\n" } }, { "id": "dfa9a792-08b0-4b86-bad1-dffbb30a4483", "type": "question", "value": { "latex": "$x^2+2x+1 \\underset{x\\to+\\infty}\\sim x^2+2x$", "html": "

\$x^2+2x+1 \\underset{x\\to+\\infty}\\sim\nx^2+2x\$

\n" } }, { "id": "d87e6d2d-4cef-4d33-9686-a43ae8305c38", "type": "question", "value": { "latex": "$\\sqrt{x+1} \\underset{x\\to 0}\\sim 1$", "html": "

\$\\sqrt{x+1} \\underset{x\\to 0}\\sim\n1\$

\n" } }, { "id": "1d5f2a0d-d0f4-418b-af6a-85ed9c730f44", "type": "question", "value": { "latex": "$ x \\underset{x\\to 0}\\sim 2x$", "html": "

\$x \\underset{x\\to 0}\\sim 2x\$

\n" } }, { "id": "540cf517-344b-4204-8d0d-3919a68ad27e", "type": "question", "value": { "latex": "$e^x \\underset{x\\to+\\infty}\\sim e^{x+10^6}$", "html": "

\$e^x \\underset{x\\to+\\infty}\\sim\ne^{x+10^6}\$

\n" } }, { "id": "569d6a8b-0c66-4558-b1de-e8da8126f20d", "type": "question", "value": { "latex": "$e^x \\underset{x\\to 0}\\sim e^{2x}$", "html": "

\$e^x \\underset{x\\to 0}\\sim\ne^{2x}\$

\n" } }, { "id": "0eb0c2f1-cbcc-425a-b723-30b8be3f6487", "type": "question", "value": { "latex": "$\\frac{6x^3+2x}{2x+1} \\underset{x\\to+\\infty}\\sim 3x^2$", "html": "

\$\\frac{6x^3+2x}{2x+1}\n\\underset{x\\to+\\infty}\\sim 3x^2\$

\n" } }, { "id": "98668ba4-6960-4393-828e-1f1729043d0a", "type": "question", "value": { "latex": "$\\frac{6x^3+2x}{2x+1} \\underset{x\\to 0}\\sim 2x$", "html": "

\$\\frac{6x^3+2x}{2x+1} \\underset{x\\to\n0}\\sim 2x\$

\n" } } ] }, { "uuid": "tSoF", "titre": "Equivalents simples", "theme": [ "limite" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:52.030Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:52.030Z" }, "contenu": [ { "id": "45213ed6-1a9c-43b3-8a34-cfbcd04e9461", "type": "question", "value": { "latex": "$\\frac{1}{x-1}-\\frac{1}{x+1}$", "html": "

\$\\frac{1}{x-1}-\\frac{1}{x+1}\$

\n" } }, { "id": "016b9d00-66f4-4f97-b40e-cad38fcf4c7b", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\frac{1}{x-1}-\\frac{1}{x+1}=\\frac{2}{x^{2}-1} \\underset{x \\rightarrow+\\infty}{ } \\frac{2}{x^{2}}$, car $x^{2}-1 \\underset{x \\rightarrow+\\infty}{ } x^{2} .$", "html": "

\$\\frac{1}{x-1}-\\frac{1}{x+1}=\\frac{2}{x^{2}-1}\n\\underset{x \\rightarrow+\\infty}{ } \\frac{2}{x^{2}}\$, car \$x^{2}-1 \\underset{x \\rightarrow+\\infty}{ } x^{2}\n.\$

\n" } }, { "id": "acb4b6c7-9bba-448c-b056-7d40d6d0a46f", "type": "question", "value": { "latex": "$x+1+\\ln(x)$", "html": "

\$x+1+\\ln(x)\$

\n" } }, { "id": "9de90580-8eab-4cee-a5bd-001a28635293", "type": "reponse", "value": { "latex": "$x+1+\\ln (x) \\underset{x \\rightarrow+\\infty}{-} x$, car $\\lim\\limits_{x \\rightarrow+\\infty} \\frac{x+1+\\ln (x)}{x}=\\lim\\limits_{x \\rightarrow+\\infty} \\frac{x \\times\\left(1+\\frac{1}{x}+\\frac{\\ln (x)}{x}\\right)}{x}=\\lim\\limits_{x \\rightarrow+\\infty} 1+\\frac{1}{x}+\\frac{\\ln (x)}{x}=1 .$", "html": "

\$x+1+\\ln (x) \\underset{x\n\\rightarrow+\\infty}{-} x\$, car \$\\lim\\limits_{x \\rightarrow+\\infty} \\frac{x+1+\\ln\n(x)}{x}=\\lim\\limits_{x \\rightarrow+\\infty} \\frac{x\n\\times\\left(1+\\frac{1}{x}+\\frac{\\ln (x)}{x}\\right)}{x}=\\lim\\limits_{x\n\\rightarrow+\\infty} 1+\\frac{1}{x}+\\frac{\\ln (x)}{x}=1 .\$

\n" } }, { "id": "ed1ba862-b8d1-4dca-87fe-868c1d1dff93", "type": "question", "value": { "latex": "$\\sin\\left(\\frac{1}{\\sqrt{x+1}}\\right)$", "html": "

\$\\sin\\left(\\frac{1}{\\sqrt{x+1}}\\right)\$

\n" } }, { "id": "91ab75da-d285-43e7-94c6-7d219afd5fb1", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\sin (u) \\underset{u \\rightarrow 0}{\\sim} u \\Rightarrow \\sin \\left(\\frac{1}{\\sqrt{x+1}}\\right) \\underset{x \\rightarrow+\\infty}{\\sim} \\frac{1}{\\sqrt{x+1}} \\underset{x \\rightarrow+\\infty}{\\sim} \\frac{1}{\\sqrt{x}}$", "html": "

\$\\sin (u) \\underset{u \\rightarrow 0}{\\sim}\nu \\Rightarrow \\sin \\left(\\frac{1}{\\sqrt{x+1}}\\right) \\underset{x\n\\rightarrow+\\infty}{\\sim} \\frac{1}{\\sqrt{x+1}} \\underset{x\n\\rightarrow+\\infty}{\\sim} \\frac{1}{\\sqrt{x}}\$

\n" } }, { "id": "dd99009d-7014-4431-8b8f-dc629939fa68", "type": "question", "value": { "latex": "$\\sqrt{x+1}-\\sqrt{x-1}$", "html": "

\$\\sqrt{x+1}-\\sqrt{x-1}\$

\n" } }, { "id": "b83843b0-3f15-430d-a52b-b621891b001f", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a : \n $\\sqrt{x+1}-\\sqrt{x-1}=\\frac{(\\sqrt{x+1}-\\sqrt{x-1})(\\sqrt{x+1}+\\sqrt{x-1})}{\\sqrt{x+1}+\\sqrt{x-1}}=\\frac{(x+1)-(x-1)}{\\sqrt{x+1}+\\sqrt{x-1}}=\\frac{2}{\\sqrt{x+1}+\\sqrt{x-1}}$\\\\\n et $\\sqrt{x+1}+\\sqrt{x-1} \\underset{x \\rightarrow+\\infty}{\\sim } 2 \\sqrt{x}$ car :\\\\\n $\\lim\\limits_{x \\rightarrow+\\infty} \\frac{\\sqrt{x+1}+\\sqrt{x-1}}{2 \\sqrt{x}}=\\lim\\limits_{x \\rightarrow+\\infty} \\frac{1}{2} \\sqrt{\\frac{x+1}{x}}+\\frac{1}{2} \\sqrt{\\frac{x-1}{x}}=\\lim\\limits_{x \\rightarrow+\\infty} \\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}=1$\n Aussi :\n $$\n \\sqrt{x+1}-\\sqrt{x-1} \\underset{x \\rightarrow+\\infty}{\\sim } \\frac{2}{2 \\sqrt{x}}=\\frac{1}{\\sqrt{x}}\n $$", "html": "

On a : \$\\sqrt{x+1}-\\sqrt{x-1}=\\frac{(\\sqrt{x+1}-\\sqrt{x-1})(\\sqrt{x+1}+\\sqrt{x-1})}{\\sqrt{x+1}+\\sqrt{x-1}}=\\frac{(x+1)-(x-1)}{\\sqrt{x+1}+\\sqrt{x-1}}=\\frac{2}{\\sqrt{x+1}+\\sqrt{x-1}}\$
\net \$\\sqrt{x+1}+\\sqrt{x-1} \\underset{x\n\\rightarrow+\\infty}{\\sim } 2 \\sqrt{x}\$ car :
\n\$\\lim\\limits_{x \\rightarrow+\\infty}\n\\frac{\\sqrt{x+1}+\\sqrt{x-1}}{2 \\sqrt{x}}=\\lim\\limits_{x\n\\rightarrow+\\infty} \\frac{1}{2} \\sqrt{\\frac{x+1}{x}}+\\frac{1}{2}\n\\sqrt{\\frac{x-1}{x}}=\\lim\\limits_{x \\rightarrow+\\infty}\n\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}=1\$ Aussi : \\[\\sqrt{x+1}-\\sqrt{x-1} \\underset{x\n\\rightarrow+\\infty}{\\sim } \\frac{2}{2\n\\sqrt{x}}=\\frac{1}{\\sqrt{x}}\\]

\n" } }, { "id": "22fffdc0-f7c1-47ea-9b63-186ed9b56474", "type": "question", "value": { "latex": "$\\ln\\left(\\frac{x^2+x+2}{x^2+x-1}\\right)$", "html": "

\$\\ln\\left(\\frac{x^2+x+2}{x^2+x-1}\\right)\$

\n" } }, { "id": "3c314081-75b9-45f9-9dcf-6296b79adbef", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\frac{x^{2}+x+2}{x^{2}+x-1}=\\frac{x^{2} \\times\\left(1+\\frac{1}{x}+\\frac{2}{x^{2}}\\right)}{x^{2} \\times\\left(1+\\frac{1}{x}-\\frac{1}{x^{2}}\\right)}=\\frac{1+\\frac{1}{x}+\\frac{2}{x^{2}}}{1+\\frac{1}{x}-\\frac{1}{x^{2}}}$\n \n $$\n \\frac{1+u+2 u^{2}}{1+u-u^{2}}=1+3 u^{2}+u^{2} . \\varepsilon(u)\n $$\n $\\ln (1+v)=v-\\frac{v^{2}}{2}+v^{2} . \\underset{v \\neq 0}{\\varepsilon(v)} \\Rightarrow \\ln \\left(\\frac{1+u+2 u^{2}}{1+u-u^{2}}\\right)=3 u^{2}+u^{2} . \\varepsilon(u)$\\\\\n Ainsi : $\\ln \\left(\\frac{x^{2}+x+2}{x^{2}+x-1}\\right)=\\frac{3}{x^{2}}+\\frac{1}{x^{2}} \\cdot \\varepsilon\\left(\\frac{1}{x}\\right)$ ou encore $\\ln \\left(\\frac{x^{2}+x+2}{x^{2}+x-1}\\right) \\underset{x \\rightarrow+\\infty}{\\sim} \\frac{3}{x^{2}}$", "html": "

\$\\frac{x^{2}+x+2}{x^{2}+x-1}=\\frac{x^{2}\n\\times\\left(1+\\frac{1}{x}+\\frac{2}{x^{2}}\\right)}{x^{2}\n\\times\\left(1+\\frac{1}{x}-\\frac{1}{x^{2}}\\right)}=\\frac{1+\\frac{1}{x}+\\frac{2}{x^{2}}}{1+\\frac{1}{x}-\\frac{1}{x^{2}}}\$

\\[\\frac{1+u+2 u^{2}}{1+u-u^{2}}=1+3\nu^{2}+u^{2} . \\varepsilon(u)\\] \$\\ln\n(1+v)=v-\\frac{v^{2}}{2}+v^{2} . \\underset{v \\neq 0}{\\varepsilon(v)}\n\\Rightarrow \\ln \\left(\\frac{1+u+2 u^{2}}{1+u-u^{2}}\\right)=3 u^{2}+u^{2}\n. \\varepsilon(u)\$
\nAinsi : \$\\ln\n\\left(\\frac{x^{2}+x+2}{x^{2}+x-1}\\right)=\\frac{3}{x^{2}}+\\frac{1}{x^{2}}\n\\cdot \\varepsilon\\left(\\frac{1}{x}\\right)\$ ou encore \$\\ln \\left(\\frac{x^{2}+x+2}{x^{2}+x-1}\\right)\n\\underset{x \\rightarrow+\\infty}{\\sim} \\frac{3}{x^{2}}\$

\n" } } ] }, { "uuid": "zmLP", "titre": "Equivalents simples", "theme": [ "limite" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:59.301Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:59.301Z" }, "contenu": [ { "id": "63bc40c7-e687-4cd0-9534-d43d3578d6ce", "type": "description", "value": { "latex": "Trouver un équivalent simple pour chaque fonction suivante :", "html": "

Trouver un équivalent simple pour chaque fonction suivante :

\n" } }, { "id": "ef85e3e0-342b-48a2-9458-c8a2f74eabd9", "type": "question", "value": { "latex": "$\\frac{x^2+2x+1}{x^3+x+2} \\ \\text{ en } 0$", "html": "

\$\\frac{x^2+2x+1}{x^3+x+2} \\ \\text{ en }\n0\$

\n" } }, { "id": "b13f333c-c1a2-40ff-a288-4c6f2ce5bf36", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\frac{1}{2}$", "html": "

\$\\frac{1}{2}\$

\n" } }, { "id": "2afd3a24-181b-4faf-aac4-10099a30b466", "type": "question", "value": { "latex": "\\frac{(x+1)^3}{(2x^4-3x^2+5)^2} \\ \\text{ en } +\\infty$", "html": "" } }, { "id": "6b4fb01f-b45a-4c22-acb5-3baa9115f46b", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\frac{1}{4x^8}$", "html": "

\$\\frac{1}{4x^8}\$

\n" } }, { "id": "8d141a2f-503e-4f35-a181-6f52a106562c", "type": "question", "value": { "latex": "$\\sin x + \\cos x \\ \\text{ en } 0$", "html": "

\$\\sin x + \\cos x \\ \\text{ en }\n0\$

\n" } }, { "id": "56cc0811-a1c2-47a9-b116-c998e61278d1", "type": "reponse", "value": { "latex": "$1$", "html": "

\$1\$

\n" } }, { "id": "e3719262-bd3c-444e-aba7-3d39657d0d3f", "type": "question", "value": { "latex": "$ \\sqrt{\\frac{1}{x^2}+1} \\ \\text{ en } +\\infty$", "html": "

\$\\sqrt{\\frac{1}{x^2}+1} \\ \\text{ en }\n+\\infty\$

\n" } }, { "id": "6bf18ed1-e6b9-46eb-8068-f948daa4d791", "type": "reponse", "value": { "latex": "$1$", "html": "

\$1\$

\n" } }, { "id": "a80f3e92-6275-44fe-8a71-bf36dc502217", "type": "question", "value": { "latex": "$1-e^{{x}} \\ \\text{ en } 0$", "html": "

\$1-e^{{x}} \\ \\text{ en } 0\$

\n" } }, { "id": "601c1e33-218a-4db4-b39c-7eb8a451c32b", "type": "reponse", "value": { "latex": "$-x$", "html": "

\$-x\$

\n" } }, { "id": "47e010b4-5c8c-4361-9318-a634674c8260", "type": "question", "value": { "latex": "$1-e^{\\frac{1}{x^2}} \\ \\text{ en } +\\infty$", "html": "

\$1-e^{\\frac{1}{x^2}} \\ \\text{ en }\n+\\infty\$

\n" } }, { "id": "764af8ae-2221-4230-968c-c55b6a12dad9", "type": "reponse", "value": { "latex": "$-\\frac{1}{x^2}$", "html": "

\$-\\frac{1}{x^2}\$

\n" } }, { "id": "3dc96ace-35bd-46f7-8f10-82ec44022bcf", "type": "question", "value": { "latex": "$ x\\sin\\left(\\frac{1}{x}\\right) \\ \\text{ en } +\\infty$", "html": "

\$x\\sin\\left(\\frac{1}{x}\\right) \\ \\text{ en\n} +\\infty\$

\n" } }, { "id": "782b3a86-4f1d-4c66-ba3a-c223cfbe8c19", "type": "reponse", "value": { "latex": "$1$", "html": "

\$1\$

\n" } }, { "id": "26ab9c74-156e-4af2-a953-9f54ee66ba96", "type": "question", "value": { "latex": "$ \\frac{\\sqrt{x}+1}{2x^2+x} \\ \\text{ en } +\\infty$", "html": "

\$\\frac{\\sqrt{x}+1}{2x^2+x} \\ \\text{ en }\n+\\infty\$

\n" } }, { "id": "2736621a-ccd3-4788-b00f-db0be5bda768", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\frac{1}{2x\\sqrt{x}}$", "html": "

\$\\frac{1}{2x\\sqrt{x}}\$

\n" } }, { "id": "fb9ab9f6-870a-44ae-8eb4-e39e9fa90673", "type": "question", "value": { "latex": "$ \\sqrt{x} \\ln\\left(1+\\frac{1}{\\sqrt{x}}\\right) \\ \\text{ en } +\\infty$", "html": "

\$\\sqrt{x}\n\\ln\\left(1+\\frac{1}{\\sqrt{x}}\\right) \\ \\text{ en } +\\infty\$

\n" } }, { "id": "6d44bc60-4c24-45de-92cb-ca5159ebb817", "type": "reponse", "value": { "latex": "$1$", "html": "

\$1\$

\n" } }, { "id": "5b8ca038-eb3f-4436-93c9-c7d85a17a064", "type": "question", "value": { "latex": "$ e^x+\\sin(x^3) \\ \\text{ en } 0$", "html": "

\$e^x+\\sin(x^3) \\ \\text{ en }\n0\$

\n" } }, { "id": "80893dc0-98ea-45e8-8f9b-41509e9d653b", "type": "reponse", "value": { "latex": "$1$", "html": "

\$1\$

\n" } }, { "id": "3ea46b20-35da-4fb6-8b40-f246a57d652f", "type": "question", "value": { "latex": "$ \\ln(\\cos(x)) \\ \\text{ en } 0 $", "html": "

\$\\ln(\\cos(x)) \\ \\text{ en } 0\$

\n" } }, { "id": "5afef2a2-0909-4a0b-a661-5beb487fb160", "type": "reponse", "value": { "latex": "$-\\frac{x^2}{2}$", "html": "

\$-\\frac{x^2}{2}\$

\n" } } ] }, { "uuid": "wVDA", "titre": "Erreur relative et consistance", "theme": [ "analyse numérique" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:55.712Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:55.712Z" }, "contenu": [ { "id": "72555ef4-d14b-4bd1-b9c8-b9dd3bb0499d", "type": "description", "value": { "latex": "Soient $b$ et $\\delta b$ deux vecteurs de $\\mathbb{R}^n$ avec $b\\neq 0$ et $A=(a_{ij})\\in\\mathbb{R}^{n\\times n}$ une matrice inversible. \n\tLa matrice $A$ étant inversible, soient $X$ l'unique solution de $AX=b$ et $X+\\delta X$ l'unique solution de $A(X+\\delta X)=b+\\delta b$.", "html": "

Soient \$b\$ et \$\\delta b\$ deux vecteurs de \$\\mathbb{R}^n\$ avec \$b\\neq 0\$ et \$A=(a_{ij})\\in\\mathbb{R}^{n\\times n}\$ une\nmatrice inversible. La matrice \$A\$\nétant inversible, soient \$X\$ l’unique\nsolution de \$AX=b\$ et \$X+\\delta X\$ l’unique solution de \$A(X+\\delta X)=b+\\delta b\$.

\n" } }, { "id": "58a8d4f6-143f-464e-8ed5-2806f77a09c5", "type": "question", "value": { "latex": "Démontrer que : $$\\frac{||\\delta X||}{||X||}\\leq \\text{cond}(A) \\frac{||\\delta b||}{||b||}$$", "html": "

Démontrer que : \\[\\frac{||\\delta\nX||}{||X||}\\leq \\text{cond}(A) \\frac{||\\delta b||}{||b||}\\]

\n" } }, { "id": "c701eae6-7fe2-4a42-b3cd-4a46475ba1f6", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire l'encadrement \n\t\t$$\n\t\t\\frac{1}{\\text{cond}(A)} \\frac{||\\delta b||}{||b||}\n\t\t\\leq \n\t\t\\frac{||\\delta X||}{||X||}\n\t\t\\leq \n\t\t\\mathrm{cond}(A) \\frac{||\\delta b||}{||b||}$$", "html": "

En déduire l’encadrement \\[\\frac{1}{\\text{cond}(A)} \\frac{||\\delta\nb||}{||b||}\n \\leq\n \\frac{||\\delta X||}{||X||}\n \\leq\n \\mathrm{cond}(A) \\frac{||\\delta b||}{||b||}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "DEZs", "titre": "Estimateur et intervalle de confiance", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:04.836Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:04.836Z" }, "contenu": [ { "id": "e85d27a8-47a2-4e4c-8865-2c446b20b030", "type": "description", "value": { "latex": "Soient $X_1,...,X_n$ des variables aléatoires indépendantes et de même loi ayant pour densité :\n\t$$f_\\theta \\colon x \\mapsto \\left\\{\n\t\\begin{array}{ll}\n\t\t\\frac{1}{2}(1+\\theta x) & \\mbox{si } -1 \\leq x \\leq 1 \\\\\n\t\t0 & \\mbox{sinon.}\n\t\\end{array}\n\t\\right.$$\n\toù $\\theta \\in [-1;1]$ est un paramètre.", "html": "

Soient \$X_1,...,X_n\$ des variables\naléatoires indépendantes et de même loi ayant pour densité : \\[f_\\theta \\colon x \\mapsto \\left\\{\n \\begin{array}{ll}\n \\frac{1}{2}(1+\\theta x) & \\mbox{si } -1 \\leq x \\leq 1 \\\\\n 0 & \\mbox{sinon.}\n \\end{array}\n \\right.\\] où \$\\theta \\in\n[-1;1]\$ est un paramètre.

\n" } }, { "id": "758b236e-3179-4620-9d24-dda743f28f7f", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que pour tout $\\theta \\in [-1;1]$, $f_\\theta $ est une densité de probabilité.", "html": "

Montrer que pour tout \$\\theta \\in\n[-1;1]\$, \$f_\\theta\$ est une\ndensité de probabilité.

\n" } }, { "id": "42410054-bd24-4723-b915-232c96c7c25f", "type": "reponse", "value": { "latex": "Le fait que $\\theta \\in [-1;1]$ garantit que $f_{\\theta}(x) \\geq 0$ pour tout $x \\in [-1;1]$. De plus, \n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\int f_\\theta(x) dx &= \\int_{-1}^{1} \\frac{1}{2}(1+\\theta x) dx \\\\\n\t\t\t&= \\int_{-1}^{1} \\frac{1}{2}(1+0) dx \\quad \\text{ par imparité de x} \\\\\n\t\t\t&= 1\n\t\t\\end{align*}$$\t\n\t\tDonc $f_{\\theta}$ définit une bien une densité de probabilité.", "html": "

Le fait que \$\\theta \\in [-1;1]\$\ngarantit que \$f_{\\theta}(x) \\geq 0\$\npour tout \$x \\in [-1;1]\$. De plus,\n\\[\\begin{align*}\n \\int f_\\theta(x) dx &= \\int_{-1}^{1}\n\\frac{1}{2}(1+\\theta x) dx \\\\\n &= \\int_{-1}^{1} \\frac{1}{2}(1+0) dx \\quad \\text{ par\nimparité de x} \\\\\n &= 1\n \\end{align*}\\] Donc \$f_{\\theta}\$ définit une bien une densité\nde probabilité.

\n" } }, { "id": "eda9bd1c-ccb0-49d4-ae85-f2a126388102", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\mathbb{E}(X_1)$ et $\\mathbb{V}(X_1)$. En déduire l'espérance et la variance de la variable aléatoire $\\overline{X} = \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n X_i$.", "html": "

Calculer \$\\mathbb{E}(X_1)\$ et\n\$\\mathbb{V}(X_1)\$. En déduire\nl’espérance et la variance de la variable aléatoire \$\\overline{X} = \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n\nX_i\$.

\n" } }, { "id": "a7935455-a9bd-40cb-bd01-7036a3fd21e8", "type": "reponse", "value": { "latex": "On calcule les moments d'ordre 1 et 2 de la variable à densité $X_1$ :\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\mathbb{E}(X_1) &= \\int x f_\\theta(x) dx \\\\\n\t\t\t&= \\int_{-1}^{1} \\frac{1}{2}(x+\\theta x^2) dx \\\\\n\t\t\t&= \\int_{-1}^{1} \\frac{1}{2}(\\theta x^2) dx \\quad \\text{ par imparité de $x$} \\\\\n\t\t\t&= 2\\int_{0}^{1} \\frac{1}{2}(\\theta x^2) dx \\quad \\text{ par parité de $x^2$} \\\\\n\t\t\t&= \\frac{\\theta}{3}\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tDe même, \t\t\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\mathbb{E}(X_1^2) &= \\int x^2 f_\\theta(x) dx \\\\\n\t\t\t&= \\int_{-1}^{1} \\frac{1}{2}(x^2+\\theta x^3) dx \\\\\n\t\t\t&= \\int_{-1}^{1} \\frac{1}{2}(x^2) dx \\quad \\text{ par imparité de $x^3$} \\\\\n\t\t\t&= \\int_{0}^{1} x^2 dx \\quad \\text{ par parité de $x^2$} \\\\\n\t\t\t&= \\frac{1}{3}\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\t\n\t\tAvec la formule de Koenig Huygens, on en déduit que \n\t\t$$\\mathbb{V}(X_1) = \\mathbb{E}(X_1^2) - \t\\mathbb{E}(X_1)^2 = \\frac{1}{3}-\\frac{\\theta^2}{9} = \\frac{3-\\theta^2}{9}$$", "html": "

On calcule les moments d’ordre 1 et 2 de la variable à densité \$X_1\$ : \\[\\begin{align*}\n \\mathbb{E}(X_1) &= \\int x f_\\theta(x) dx \\\\\n &= \\int_{-1}^{1} \\frac{1}{2}(x+\\theta x^2) dx \\\\\n &= \\int_{-1}^{1} \\frac{1}{2}(\\theta x^2) dx \\quad \\text{\npar imparité de $x$} \\\\\n &= 2\\int_{0}^{1} \\frac{1}{2}(\\theta x^2) dx \\quad \\text{\npar parité de $x^2$} \\\\\n &= \\frac{\\theta}{3}\n \\end{align*}\\] De même, \\[\\begin{align*}\n \\mathbb{E}(X_1^2) &= \\int x^2 f_\\theta(x) dx \\\\\n &= \\int_{-1}^{1} \\frac{1}{2}(x^2+\\theta x^3) dx \\\\\n &= \\int_{-1}^{1} \\frac{1}{2}(x^2) dx \\quad \\text{ par\nimparité de $x^3$} \\\\\n &= \\int_{0}^{1} x^2 dx \\quad \\text{ par parité de\n$x^2$} \\\\\n &= \\frac{1}{3}\n \\end{align*}\\]

Avec la formule de Koenig Huygens, on en déduit que \\[\\mathbb{V}(X_1) = \\mathbb{E}(X_1^2)\n- \\mathbb{E}(X_1)^2 = \\frac{1}{3}-\\frac{\\theta^2}{9} =\n\\frac{3-\\theta^2}{9}\\]

\n" } }, { "id": "cdf11da9-fa83-4356-8b39-e5b470e6d0a5", "type": "question", "value": { "latex": "On pose $T_n = \\frac{3}{n} \\sum_{i=1}^{n} X_i$. Montrer que $T$ est un estimateur sans biais et convergent de $\\theta$.", "html": "

On pose \$T_n = \\frac{3}{n} \\sum_{i=1}^{n}\nX_i\$. Montrer que \$T\$ est un\nestimateur sans biais et convergent de \$\\theta\$.

\n" } }, { "id": "e378f7ed-91d6-4b1c-84f3-792998db3ea9", "type": "reponse", "value": { "latex": "On calcule par linéarité de l'espérance : $\\mathbb{E}(T_n) = \\frac{3}{n} \\times n \\mathbb{E}(X_1) = \\theta$. Donc le biais de $T_n$ est \n\t\t$B(T_n) = \\mathbb{E}(T_n-\\theta) =\\theta - \\theta = 0$.\n\t\t\n\t\tDe plus, par propriétés de la variance et indépendance, \n\t\t$$\\mathbb{V}(T_n) = \\frac{9}{n^2} \\times n \\times \\mathbb{V}(X_1) = \\frac{3-\\theta^2}{n}$$\n\t\tOr $EQM(T_n) = \\mathbb{V}(T_n) + B(T_n)^2$ donc $EQM(T_n) = \\frac{3-\\theta^2}{n} \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{} 0$ : cela prouve que l'estimateur $T_n$ est convergent.", "html": "

On calcule par linéarité de l’espérance : \$\\mathbb{E}(T_n) = \\frac{3}{n} \\times n\n\\mathbb{E}(X_1) = \\theta\$. Donc le biais de \$T_n\$ est \$B(T_n) = \\mathbb{E}(T_n-\\theta) =\\theta - \\theta =\n0\$.

De plus, par propriétés de la variance et indépendance, \\[\\mathbb{V}(T_n) = \\frac{9}{n^2} \\times n \\times\n\\mathbb{V}(X_1) = \\frac{3-\\theta^2}{n}\\] Or \$EQM(T_n) = \\mathbb{V}(T_n) + B(T_n)^2\$\ndonc \$EQM(T_n) = \\frac{3-\\theta^2}{n}\n\\xrightarrow[n \\to +\\infty]{} 0\$ : cela prouve que l’estimateur\n\$T_n\$ est convergent.

\n" } }, { "id": "b750654c-82b4-46d1-9d38-85cec9261654", "type": "question", "value": { "latex": "\\`A l'aide du Théorème Central Limite, donner une approximation de la loi de $T_n$.", "html": "

À l’aide du Théorème Central Limite, donner une approximation de la\nloi de \$T_n\$.

\n" } }, { "id": "d1ad42d5-9422-4143-bca7-a3494aa36bf9", "type": "reponse", "value": { "latex": "On pose $\\mu = \\mathbb{E}(X_1)$ et $\\sigma = \\sqrt{\\mathbb{V}(X_1)}$. Les variables $(X_i)$ sont iid, admettent une espérance et une variance donc d'après le théorème central limite, la variable \n\t\t$$\\frac{\\sum_{i=1}^n X_i - n\\mu}{\\sigma\\sqrt{n} }$$ converge en loi vers une loi normale $\\mathcal{N}(0,1)$.\n\t\tEn réécrivant, cela revient à dire que \t\n\t\t$$\\frac{\\frac{3}{n}\\sum_{i=1}^n X_i - 3\\mu}{3\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} } = \\frac{T_n-\\theta}{\\sqrt{\\frac{3-\\theta^2}{n}}}$$ converge en loi vers une loi normale $\\mathcal{N}(0,1)$.\n\t\t\n\t\tSi $n$ est grand ($n \\geq 30$), cela revient à dire que $T_n$ suit approximativement une loi normale $\\mathcal{N}(\\theta, \\sigma^2 = \\frac{3-\\theta^2}{n})$.", "html": "

On pose \$\\mu = \\mathbb{E}(X_1)\$ et\n\$\\sigma = \\sqrt{\\mathbb{V}(X_1)}\$.\nLes variables \$(X_i)\$ sont iid,\nadmettent une espérance et une variance donc d’après le théorème central\nlimite, la variable \\[\\frac{\\sum_{i=1}^n X_i\n- n\\mu}{\\sigma\\sqrt{n} }\\] converge en loi vers une loi normale\n\$\\mathcal{N}(0,1)\$. En réécrivant,\ncela revient à dire que \\[\\frac{\\frac{3}{n}\\sum_{i=1}^n X_i -\n3\\mu}{3\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} } =\n\\frac{T_n-\\theta}{\\sqrt{\\frac{3-\\theta^2}{n}}}\\] converge en loi\nvers une loi normale \$\\mathcal{N}(0,1)\$.

Si \$n\$ est grand (\$n \\geq 30\$), cela revient à dire que \$T_n\$ suit approximativement une loi\nnormale \$\\mathcal{N}(\\theta, \\sigma^2 =\n\\frac{3-\\theta^2}{n})\$.

\n" } }, { "id": "470ef66a-a051-4ad4-b3de-c77ef2195fad", "type": "question", "value": { "latex": "Démontrer qu'il existe une constante $M_n$ ne dépendant pas de $\\theta$ telle que si $\\lambda >0$, \n\t\t$$\\PP(|T_n-\\theta| < \\lambda) \\geq 1-\\frac{M_n}{\\lambda^2}$$", "html": "

Démontrer qu’il existe une constante \$M_n\$ ne dépendant pas de \$\\theta\$ telle que si \$\\lambda >0\$, \\[\\PP(|T_n-\\theta| < \\lambda) \\geq\n1-\\frac{M_n}{\\lambda^2}\\]

\n" } }, { "id": "7f4a71e4-1f87-494d-becb-5a5f891bc52f", "type": "reponse", "value": { "latex": "D'après l'inégalité de Bienaymé Tchebichev, \n\t\t$$\\PP(|T_n-\\mathbb{E}(T_n)| \\geq \\lambda) \\leq \\frac{\\mathbb{V}(T_n)}{\\lambda^2}$$\n\t\td'où $$\\PP(|T_n-\\theta| \\geq \\lambda) \\leq \\frac{3-\\theta^2}{n\\lambda^2} \\leq \\frac{3}{n\\lambda^2} = \\frac{M_n}{\\lambda^2}$$\n\t\ten posant $M_n = \\frac{3}{n}$. Par passage au complémentaire, on obtient finalement :\n\t\t$$\\PP(|T_n-\\theta| < \\lambda) \\geq 1-\\frac{3}{n\\lambda^2}$$", "html": "

D’après l’inégalité de Bienaymé Tchebichev, \\[\\PP(|T_n-\\mathbb{E}(T_n)| \\geq \\lambda) \\leq\n\\frac{\\mathbb{V}(T_n)}{\\lambda^2}\\] d’où \\[\\PP(|T_n-\\theta| \\geq \\lambda) \\leq\n\\frac{3-\\theta^2}{n\\lambda^2} \\leq \\frac{3}{n\\lambda^2} =\n\\frac{M_n}{\\lambda^2}\\] en posant \$M_n\n= \\frac{3}{n}\$. Par passage au complémentaire, on obtient\nfinalement : \\[\\PP(|T_n-\\theta| < \\lambda)\n\\geq 1-\\frac{3}{n\\lambda^2}\\]

\n" } }, { "id": "d94d0678-8b10-49bc-a200-4c9d853330e9", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer un intervalle de confiance permettant d'estimer $\\theta$ avec une confiance d'au moins $95\\%$.", "html": "

Déterminer un intervalle de confiance permettant d’estimer \$\\theta\$ avec une confiance d’au moins\n\$95\\%\$.

\n" } }, { "id": "b7bfab9d-0966-4f13-b4f3-a58f2c2bbdaf", "type": "reponse", "value": { "latex": "On cherche un intervalle $I$ tel que $\\PP(\\theta \\in I) \\geq 0{,}95$. Or d'après ce qui précède,\n\t\t\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\PP(|T_n-\\theta| < \\lambda) \\geq 1-\\frac{3}{n\\lambda^2} &\\iff \\PP(-\\lambda < T_n-\\theta < \\lambda ) \\geq 1-\\frac{3}{n\\lambda^2} \\\\\n\t\t\t&\\iff\t\\PP( \\theta \\in ]T_n-\\lambda ; T_n + \\lambda [) \\geq 1-\\frac{3}{n\\lambda^2} \t\n\t\t\\end{align*}$$ \n\t\tOr \t$1-\\frac{3}{n\\lambda^2} = 0{,}95 \\iff \\frac{3}{n\\lambda^2} = 0{,}05 \\iff \\lambda^2 = \\frac{3}{0{,}05 n}$\n\t\tdonc \n\t\t$$\\PP\\left( \\theta \\in \\left]T_n - \\sqrt{\\frac{3}{0{,}05 n}} ; T_n + \\sqrt{\\frac{3}{0{,}05 n}} \\right[\\right) \\geq 0{,}95$$\n\t\td'où l'intervalle de confiance $I = \\left]T_n - \\sqrt{\\frac{3}{0{,}05 n}} ; T_n + \\sqrt{\\frac{3}{0{,}05 n}} \\right[$.", "html": "

On cherche un intervalle \$I\$ tel\nque \$\\PP(\\theta \\in I) \\geq 0{,}95\$.\nOr d’après ce qui précède,

\\[\\begin{align*}\n \\PP(|T_n-\\theta| < \\lambda) \\geq 1-\\frac{3}{n\\lambda^2}\n&\\iff \\PP(-\\lambda < T_n-\\theta < \\lambda ) \\geq\n1-\\frac{3}{n\\lambda^2} \\\\\n &\\iff \\PP( \\theta \\in ]T_n-\\lambda ; T_n + \\lambda [)\n\\geq 1-\\frac{3}{n\\lambda^2} \n \\end{align*}\\] Or \$1-\\frac{3}{n\\lambda^2} = 0{,}95 \\iff\n\\frac{3}{n\\lambda^2} = 0{,}05 \\iff \\lambda^2 = \\frac{3}{0{,}05\nn}\$ donc \\[\\PP\\left( \\theta \\in\n\\left]T_n - \\sqrt{\\frac{3}{0{,}05 n}} ; T_n + \\sqrt{\\frac{3}{0{,}05\nn}} \\right[\\right) \\geq 0{,}95\\] d’où l’intervalle de confiance\n\$I = \\left]T_n - \\sqrt{\\frac{3}{0{,}05 n}} ;\nT_n + \\sqrt{\\frac{3}{0{,}05 n}} \\right[\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "0e0x", "titre": "Estimateurs et intervalles de confiance", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime NGUYEN", "createdAt": "2024-11-06T20:21:51.228Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:51.228Z" }, "contenu": [ { "id": "be9f27ee-977c-4b06-86aa-0c9586ac9e21", "type": "description", "value": { "latex": "Un centre médical mène des études statistiques sur le taux de cholestérol de son personnel, mesuré en centigramme par litre de sang. Les observations sur 20 individus supposés sains, tirés au sort, sont les suivantes :\n \n \\begin{center}\n \\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|}\n\\hline\n{\\bf Taux de cholestérol en cg} & 120 & 160 & 200 & 240 & 280 & 320 \\\\ \\hline\n{\\bf Nombre de sujets observés} & 2 & 4 & 5 & 4 & 3 & 2 \\\\ \\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\n\nLe taux de cholestérol chez un individu sain (noté $X$) est supposé suivre une loi normale.", "html": "

Un centre médical mène des études statistiques sur le taux de\ncholestérol de son personnel, mesuré en centigramme par litre de sang.\nLes observations sur 20 individus supposés sains, tirés au sort, sont\nles suivantes :

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

Taux de cholestérol en\ncg	120	160	200	240	280	320
Nombre de sujets\nobservés	2	4	5	4	3	2

Le taux de cholestérol chez un individu sain (noté \$X\$) est supposé suivre une loi\nnormale.

\n" } }, { "id": "8df4b84e-595b-4231-867b-81a361ea815b", "type": "question", "value": { "latex": "Donner une estimation $\\overline{x}$ de l'espérance mathématique de $X$ et une estimation $s^2$ de la variance de $X$. On précisera les estimateurs choisis et on en donnera les propriétés.", "html": "

Donner une estimation \$\\overline{x}\$ de l’espérance mathématique\nde \$X\$ et une estimation \$s^2\$ de la variance de \$X\$. On précisera les estimateurs choisis\net on en donnera les propriétés.

\n" } }, { "id": "4457f986-f849-4367-8cd9-451042e8e685", "type": "reponse", "value": { "latex": "Avec l'estimateur usuel $\\overline{X}$, on obtient à partir de la réalisation de cet échantillon de taille $20$ une estimation $\\overline{x} = 216$. Avec l'estimateur de variance corrigée $S^2$, on obtient une estimation de la variance $s^2 \\approx 3604{,}21$.", "html": "

Avec l’estimateur usuel \$\\overline{X}\$, on obtient à partir de la\nréalisation de cet échantillon de taille \$20\$ une estimation \$\\overline{x} = 216\$. Avec l’estimateur de\nvariance corrigée \$S^2\$, on obtient\nune estimation de la variance \$s^2 \\approx\n3604{,}21\$.

\n" } }, { "id": "c7665f98-9871-4453-a7ce-cc90c7259424", "type": "question", "value": { "latex": "Donner l'intervalle de confiance de l'espérance de $X$, centré sur $\\overline{x}$, au risque $\\alpha=0.01$.", "html": "

Donner l’intervalle de confiance de l’espérance de \$X\$, centré sur \$\\overline{x}\$, au risque \$\\alpha=0.01\$.

\n" } }, { "id": "6cda1f2b-042e-457c-a336-a016b4f16139", "type": "reponse", "value": { "latex": "Au vu de la taille de l'échantillon, la variable mère est supposée suivre une loi normale donc on utilise une loi de Student $St(19)$ pour calculer la réalisation de l'intervalle de confiance avec la formule du cours : on trouve $[177{,}5;254{,}5]$. \n \n\\href{https://stcyrterrenetdefensegouvf-my.sharepoint.com/:x:/g/personal/maxime_nguyen_st-cyr_terre-net_defense_gouv_fr/EdFYJYRKwvBGoIULbkJQ6NkBRZn1HoiI2RaoiEOYqpaQFg?e=cQhUaa}{Feuille de calcul}", "html": "

Au vu de la taille de l’échantillon, la variable mère est supposée\nsuivre une loi normale donc on utilise une loi de Student \$St(19)\$ pour calculer la réalisation de\nl’intervalle de confiance avec la formule du cours : on trouve \$[177{,}5;254{,}5]\$.

Feuille\nde calcul

\n" } } ] }, { "uuid": "pfS1", "titre": "Estimation d'un paramètre", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:46.628Z", "organisation": "", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:46.628Z" }, "contenu": [ { "id": "ad9d4364-fe3d-472a-8630-05f806e3d164", "type": "description", "value": { "latex": "Dans une usine, une machine produit des pièces dont la longueur suit une loi normale de paramètres $\\mu$ (en cm) et $\\sigma^2 = 4$ (en cm²). On souhaite estimer $\\mu$ à partir d'un échantillon de taille $n=5$. On note $(X_1,...,X_5)$ cet échantillon.\n\nOn considère les deux estimateurs suivants :\n$$T_1 = \\frac{1}{5}\\sum_{i=1}^{5} X_i \\qquad T_2 = \\frac{1}{4}(X_1 + X_2) + \\frac{1}{6}(X_3 + X_4 + X_5)$$\n\nOn pose également :\n$$U = \\sum_{i=1}^{5} (X_i - T_1)^2 \\qquad V = \\frac{1}{2}(X_1 - X_2)$$", "html": "

Dans une usine, une machine produit des pièces dont la longueur suit\nune loi normale de paramètres \$\\mu\$\n(en cm) et \$\\sigma^2 = 4\$ (en cm²).\nOn souhaite estimer \$\\mu\$ à partir\nd’un échantillon de taille \$n=5\$. On\nnote \$(X_1,...,X_5)\$ cet\néchantillon.

On considère les deux estimateurs suivants : \\[T_1 = \\frac{1}{5}\\sum_{i=1}^{5} X_i \\qquad T_2 =\n\\frac{1}{4}(X_1 + X_2) + \\frac{1}{6}(X_3 + X_4 + X_5)\\]

On pose également : \\[U = \\sum_{i=1}^{5}\n(X_i - T_1)^2 \\qquad V = \\frac{1}{2}(X_1 - X_2)\\]

\n" } }, { "id": "4c258fe3-4294-49f6-92a2-72abfce16914", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que $V$ suit une loi normale dont on précisera les paramètres.", "html": "

Montrer que \$V\$ suit une loi\nnormale dont on précisera les paramètres.

\n" } }, { "id": "cc01a59c-f6c0-4950-92d0-356f44ac1bca", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par linéarité de l'espérance : \n\t$\\E(V) = \\frac{1}{2}(\\E(X_1) - \\E(X_2)) = \\frac{1}{2}(\\mu - \\mu) = 0$\n\t\n\tPar indépendance des variables :\n\t$\\V(V) = \\frac{1}{4}(\\V(X_1) + \\V(X_2)) = \\frac{1}{4}(4 + 4) = 2$\n\t\n\tDonc $V \\sim \\mathcal{N}(0,2)$", "html": "

Par linéarité de l’espérance : \$\\E(V) =\n\\frac{1}{2}(\\E(X_1) - \\E(X_2)) = \\frac{1}{2}(\\mu - \\mu) = 0\$

Par indépendance des variables : \$\\V(V) =\n\\frac{1}{4}(\\V(X_1) + \\V(X_2)) = \\frac{1}{4}(4 + 4) = 2\$

Donc \$V \\sim \\mathcal{N}(0,2)\$

\n" } }, { "id": "56f7d9da-d088-4091-8e24-eacdc58560f9", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\prob(-4{,}5 \\leq V \\leq 4{,}5)$ avec 8 chiffres significatifs.", "html": "

Calculer \$\\prob(-4{,}5 \\leq V \\leq\n4{,}5)\$ avec 8 chiffres significatifs.

\n" } }, { "id": "9dd84ceb-f4e3-4492-bb0e-b52bec35c437", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\\begin{align*}\n\t\t\\prob(-4{,}5 \\leq V \\leq 4{,}5) &= \\prob\\left(-\\frac{4{,}5}{2} \\leq \\frac{V}{2} \\leq \\frac{4{,}5}{2}\\right) \\\\\n\t\t&= \\prob(-2{,}25 \\leq \\frac{V}{2} \\leq 2{,}25) \\\\\n\t\t&= 2\\Phi(2{,}25) - 1 \\\\\n\t\t&\\approx 2 \\times 0{,}98758067 - 1 \\\\\n\t\t&\\approx 0{,}97516134\n\t\\end{align*}$$", "html": "

\\[\\begin{align*}\n \\prob(-4{,}5 \\leq V \\leq 4{,}5) &=\n\\prob\\left(-\\frac{4{,}5}{2} \\leq \\frac{V}{2} \\leq \\frac{4{,}5}{2}\\right)\n\\\\\n &= \\prob(-2{,}25 \\leq \\frac{V}{2} \\leq 2{,}25) \\\\\n &= 2\\Phi(2{,}25) - 1 \\\\\n &\\approx 2 \\times 0{,}98758067 - 1 \\\\\n &\\approx 0{,}97516134\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "27be63c1-6dea-4cbf-82ca-f18fc088dc32", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la loi suivie par la variable $T_1$.", "html": "

Déterminer la loi suivie par la variable \$T_1\$.

\n" } }, { "id": "aead23c3-bd21-4509-a042-ede87994bcfc", "type": "reponse", "value": { "latex": "$T_1 = \\frac{1}{5}\\sum_{i=1}^{5} X_i$ est une somme de variables aléatoires normales indépendantes. Donc $T_1$ suit une loi normale de moyenne $\\mu$ et de variance $\\frac{4}{5}$.", "html": "

\$T_1 = \\frac{1}{5}\\sum_{i=1}^{5}\nX_i\$ est une somme de variables aléatoires normales\nindépendantes. Donc \$T_1\$ suit une\nloi normale de moyenne \$\\mu\$ et de\nvariance \$\\frac{4}{5}\$.

\n" } }, { "id": "f57f4d88-244b-4155-bfe2-afefda305cab", "type": "question", "value": { "latex": "Étudier le biais des estimateurs $T_1$ et $T_2$.", "html": "

Étudier le biais des estimateurs \$T_1\$ et \$T_2\$.

\n" } }, { "id": "c5fc9d7a-5555-4490-a6cc-10a98a4e92ea", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour $T_1$ :\n\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\E(T_1) &= \\frac{1}{5}\\sum_{i=1}^{5} \\E(X_i) = \\frac{5\\mu}{5} = \\mu\n\t\\end{align*}$$\n\tDonc $T_1$ est sans biais.\n\t\n\tPour $T_2$ :\n\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\E(T_2) &= \\frac{1}{4}(\\E(X_1) + \\E(X_2)) + \\frac{1}{6}(\\E(X_3) + \\E(X_4) + \\E(X_5)) \\\\\n\t\t&= \\frac{2\\mu}{4} + \\frac{3\\mu}{6} = \\mu\n\t\\end{align*}$$\n\tDonc $T_2$ est aussi sans biais.", "html": "

Pour \$T_1\$ : \\[\\begin{align*}\n \\E(T_1) &= \\frac{1}{5}\\sum_{i=1}^{5} \\E(X_i) =\n\\frac{5\\mu}{5} = \\mu\n \\end{align*}\\] Donc \$T_1\$\nest sans biais.

Pour \$T_2\$ : \\[\\begin{align*}\n \\E(T_2) &= \\frac{1}{4}(\\E(X_1) + \\E(X_2)) +\n\\frac{1}{6}(\\E(X_3) + \\E(X_4) + \\E(X_5)) \\\\\n &= \\frac{2\\mu}{4} + \\frac{3\\mu}{6} = \\mu\n \\end{align*}\\] Donc \$T_2\$\nest aussi sans biais.

\n" } }, { "id": "1f101fd0-1fa3-4112-80f9-ef32bf98b051", "type": "question", "value": { "latex": "Lequel de ces deux estimateurs est le plus efficace ?", "html": "

Lequel de ces deux estimateurs est le plus efficace ?

\n" } }, { "id": "54531f73-b5b9-4b90-a114-10677fd3818e", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour $T_1$, par indépendance :\n\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\V(T_1) &= \\frac{1}{25}\\sum_{i=1}^{5} \\V(X_i) = \\frac{5 \\times 4}{25} = \\frac{4}{5}\n\t\\end{align*}$$\n\t\n\tPour $T_2$ :\n\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\V(T_2) &= \\frac{1}{16}\\V(X_1 + X_2) + \\frac{1}{36}\\V(X_3 + X_4 + X_5) \\\\\n\t\t&= \\frac{8}{16} + \\frac{12}{36} \\\\\n\t\t&= \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} > \\frac{4}{5}\n\t\\end{align*}$$\n\t\n\tComme $\\frac{4}{5} < \\frac{30}{36}$, $T_1$ est plus efficace que $T_2$.", "html": "

Pour \$T_1\$, par indépendance :\n\\[\\begin{align*}\n \\V(T_1) &= \\frac{1}{25}\\sum_{i=1}^{5} \\V(X_i) = \\frac{5\n\\times 4}{25} = \\frac{4}{5}\n \\end{align*}\\]

Pour \$T_2\$ : \\[\\begin{align*}\n \\V(T_2) &= \\frac{1}{16}\\V(X_1 + X_2) + \\frac{1}{36}\\V(X_3 +\nX_4 + X_5) \\\\\n &= \\frac{8}{16} + \\frac{12}{36} \\\\\n &= \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} > \\frac{4}{5}\n \\end{align*}\\]

Comme \$\\frac{4}{5} <\n\\frac{30}{36}\$, \$T_1\$ est\nplus efficace que \$T_2\$.

\n" } }, { "id": "36cf7dc2-b57f-4e97-8e70-b17d265502cc", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer un coefficient $a \\in \\R$ tel que $aU$ suive une loi du $\\chi^2$ dont on précisera le nombre de degrés de liberté.", "html": "

Déterminer un coefficient \$a \\in\n\\R\$ tel que \$aU\$ suive une\nloi du \$\\chi^2\$ dont on précisera le\nnombre de degrés de liberté.

\n" } }, { "id": "33eb3464-3ebf-4715-8a5b-3a246767d672", "type": "reponse", "value": { "latex": "$U = \\sum_{i=1}^{5} (X_i - T_1)^2$ où $T_1$ est la moyenne empirique.\n\tD'après le cours (théorème de Fisher), $\\frac{U}{\\sigma^2}$ suit une loi du $\\chi^2$ à $n-1 = 4$ degrés de liberté.\n\tDonc $\\frac{1}{4}U$ suit une loi du $\\chi^2$ à 4 degrés de liberté.", "html": "

\$U = \\sum_{i=1}^{5} (X_i - T_1)^2\$\noù \$T_1\$ est la moyenne empirique.\nD’après le cours (théorème de Fisher), \$\\frac{U}{\\sigma^2}\$ suit une loi du \$\\chi^2\$ à \$n-1\n= 4\$ degrés de liberté. Donc \$\\frac{1}{4}U\$ suit une loi du \$\\chi^2\$ à 4 degrés de liberté.

\n" } }, { "id": "5d7ce3c5-baed-40c0-8832-c199c447be73", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire la loi suivie par la variable $W = \\frac{T_1 - \\mu}{\\sqrt{\\frac{U}{20}}}$.", "html": "

En déduire la loi suivie par la variable \$W = \\frac{T_1 -\n\\mu}{\\sqrt{\\frac{U}{20}}}\$.

\n" } }, { "id": "59341da7-5126-40c6-842a-510de80434f6", "type": "reponse", "value": { "latex": "On sait que $\\frac{T_1 - \\mu}{\\sigma/\\sqrt{5}} \\sim \\mathcal{N}(0,1)$ indépendant de $\\frac{U}{4} \\sim \\chi^2(4)$\n\t\n\tDonc $W = \\frac{T_1 - \\mu}{\\sqrt{\\frac{U}{20}}} = \\frac{\\frac{T_1 - \\mu}{\\sqrt{\\frac{4}{5}}}}{\\sqrt{\\frac{\\frac{U}{4}}{4}}} \\sim St(4)$.\t\n\tAinsi, $W \\sim St(4)$", "html": "

On sait que \$\\frac{T_1 -\n\\mu}{\\sigma/\\sqrt{5}} \\sim \\mathcal{N}(0,1)\$ indépendant de\n\$\\frac{U}{4} \\sim \\chi^2(4)\$

Donc \$W = \\frac{T_1 -\n\\mu}{\\sqrt{\\frac{U}{20}}} = \\frac{\\frac{T_1 -\n\\mu}{\\sqrt{\\frac{4}{5}}}}{\\sqrt{\\frac{\\frac{U}{4}}{4}}} \\sim\nSt(4)\$. Ainsi, \$W \\sim\nSt(4)\$

\n" } } ] }, { "uuid": "X7o5", "titre": "Estimation d'un paramètre de Pareto", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:24.104Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:24.104Z" }, "contenu": [ { "id": "46e42033-0ab5-43e1-90d2-140a88b1a639", "type": "description", "value": { "latex": "Soient $a > 1$ et $b=1$ deux réels. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Pareto de paramètres $(a,1)$. Alors $X$ admet pour densité la fonction $f$ définie pour tout $x \\in \\R$ par : \n$$f(x)=\\frac{a}{x^{a+1}} \\mathbf{1}_{[1;+\\infty[}(x).$$\nSoit $\\left(X_n\\right)_{n \\in \\N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi de Pareto de paramètres $(a,1)$. \n\n", "html": "

Soient \$a > 1\$ et \$b=1\$ deux réels. Soit \$X\$ une variable aléatoire suivant une loi\nde Pareto de paramètres \$(a,1)\$.\nAlors \$X\$ admet pour densité la\nfonction \$f\$ définie pour tout \$x \\in \\R\$ par : \\[f(x)=\\frac{a}{x^{a+1}}\n\\mathbf{1}_{[1;+\\infty[}(x).\\] Soit \$\\left(X_n\\right)_{n \\in \\N^*}\$ une suite\nde variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi de Pareto\nde paramètres \$(a,1)\$.

\n" } }, { "id": "7b120d91-e294-4bfc-be22-4226916c9ca4", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer l'espérance de $X_1$.", "html": "

Calculer l’espérance de \$X_1\$.

\n" } }, { "id": "1755db55-109d-4f6b-a787-38d34b5c3fe7", "type": "reponse", "value": { "latex": "Avec $a>1$, on a $\\EX_1 = \\int_1^{+\\infty} \\frac{a}{x^{a+1}} dx = \\left[ -\\frac{a}{x^a} \\right]_1^{+\\infty} = \\frac{a}{a-1}$.", "html": "

Avec \$a>1\$, on a \$\\EX_1 = \\int_1^{+\\infty} \\frac{a}{x^{a+1}} dx =\n\\left[ -\\frac{a}{x^a} \\right]_1^{+\\infty} = \\frac{a}{a-1}\$.

\n" } }, { "id": "7343f914-d0a6-4eaf-805d-f15fa8a99c38", "type": "question", "value": { "latex": "On pose $\\displaystyle T_n = \\frac{n}{\\sum\\limits_{i=1}^n \\ln(X_i)}$. Montrer que $T_n$ est un estimateur de $a$ issu de la méthode du maximum de vraisemblance.", "html": "

On pose \$\\displaystyle T_n =\n\\frac{n}{\\sum\\limits_{i=1}^n \\ln(X_i)}\$. Montrer que \$T_n\$ est un estimateur de \$a\$ issu de la méthode du maximum de\nvraisemblance.

\n" } }, { "id": "e52f6e82-7928-4327-9946-f513f633b831", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction de vraisemblance de l'échantillon $\\left(X_1,X_2,\\cdots{},X_n\\right)$ est donnée par : \n $$\\begin{align*}\n L(a) &= \\prod_{i=1}^n f_{X_i}(x_i) \\\\\n &= \\prod_{i=1}^n \\frac{a}{x_i^{a+1}} \\mathbf{1}_{[1;+\\infty[}(x_i) \\\\\n &= a^n \\prod_{i=1}^n \\frac{1}{x_i^{a+1}} \\mathbf{1}_{[1;+\\infty[}(x_i) \\\\\n &= a^n \\frac{1}{\\prod_{i=1}^n x_i^{a+1}} \\mathbf{1}_{[1;+\\infty[}(x_i) \\\\\n &= \\begin{cases}\n a^n \\left(\\prod_{i=1}^n x_i \\right)^{-a-1} & \\text{si } \\forall i \\in \\{1,...,n\\}, x_i \\geq 1 \\\\\n 0 & \\text{sinon}\n \\end{cases}\n \\end{align*}$$\n La log vraisemblance est donc donnée par :\n $$\\begin{align*}\n \\ln(L(a)) &= \\ln(a^n) - (a+1) \\sum_{i=1}^n \\ln(x_i) \\\\\n &= n \\ln(a) - (a+1) \\sum_{i=1}^n \\ln(x_i)\n \\end{align*}$$\n Donc $\\ln(L(a))$ est maximal pour $a = \\frac{n}{\\sum_{i=1}^n \\ln(x_i)}$.", "html": "

La fonction de vraisemblance de l’échantillon \$\\left(X_1,X_2,\\cdots{},X_n\\right)\$ est\ndonnée par : \\[\\begin{align*}\n L(a) &= \\prod_{i=1}^n f_{X_i}(x_i) \\\\\n &= \\prod_{i=1}^n \\frac{a}{x_i^{a+1}}\n\\mathbf{1}_{[1;+\\infty[}(x_i) \\\\\n &= a^n \\prod_{i=1}^n \\frac{1}{x_i^{a+1}}\n\\mathbf{1}_{[1;+\\infty[}(x_i) \\\\\n &= a^n \\frac{1}{\\prod_{i=1}^n x_i^{a+1}}\n\\mathbf{1}_{[1;+\\infty[}(x_i) \\\\\n &= \\begin{cases}\n a^n \\left(\\prod_{i=1}^n x_i \\right)^{-a-1} &\n\\text{si } \\forall i \\in \\{1,...,n\\}, x_i \\geq 1 \\\\\n 0 & \\text{sinon}\n \\end{cases}\n \\end{align*}\\] La log vraisemblance est donc donnée\npar : \\[\\begin{align*}\n \\ln(L(a)) &= \\ln(a^n) - (a+1) \\sum_{i=1}^n \\ln(x_i)\n\\\\\n &= n \\ln(a) - (a+1) \\sum_{i=1}^n \\ln(x_i)\n \\end{align*}\\] Donc \$\\ln(L(a))\$ est maximal pour \$a = \\frac{n}{\\sum_{i=1}^n \\ln(x_i)}\$.

\n" } }, { "id": "cd171021-432f-47a2-b2a2-e577b9aefae3", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que $a \\ln(X_1)$ suit une loi exponentielle de paramètre $1$.", "html": "

Montrer que \$a \\ln(X_1)\$ suit une\nloi exponentielle de paramètre \$1\$.

\n" } }, { "id": "8b23e736-0518-4c47-ae0c-7b83c4288b7b", "type": "reponse", "value": { "latex": "On détermine la fonction de répartition de $a \\ln(X_1)$. \n Soit $t \\geq 0$. On a : \n $$\\begin{align*}\n \\prob(a \\ln(X_1) \\leq t) &= \\prob(\\ln(X_1) \\leq \\frac{t}{a}) \\\\\n &= \\prob(X_1 \\leq e^{\\frac{t}{a}}) \\\\\n &= F_{X_1}(e^{\\frac{t}{a}}) \\\\\n &= 1 - \\left( e^{\\frac{t}{a}} \\right)^{a} \\text{ car } e^{\\frac{t}{a}} \\geq 1 \\\\\n &= 1 - e^t\n \\end{align*}$$\n Si $t < 0$, $e^{\\frac{t}{a}} < 1$ donc $\\prob(a \\ln(X_1) \\leq t) = 0$. Donc $a \\ln(X_1)$ suit une loi exponentielle de paramètre $1$.", "html": "

On détermine la fonction de répartition de \$a \\ln(X_1)\$. Soit \$t \\geq 0\$. On a : \\[\\begin{align*}\n \\prob(a \\ln(X_1) \\leq t) &= \\prob(\\ln(X_1) \\leq\n\\frac{t}{a}) \\\\\n &= \\prob(X_1 \\leq e^{\\frac{t}{a}}) \\\\\n &= F_{X_1}(e^{\\frac{t}{a}}) \\\\\n &= 1 - \\left( e^{\\frac{t}{a}} \\right)^{a} \\text{ car\n} e^{\\frac{t}{a}} \\geq 1 \\\\\n &= 1 - e^t\n \\end{align*}\\] Si \$t <\n0\$, \$e^{\\frac{t}{a}} < 1\$\ndonc \$\\prob(a \\ln(X_1) \\leq t) = 0\$.\nDonc \$a \\ln(X_1)\$ suit une loi\nexponentielle de paramètre \$1\$.

\n" } }, { "id": "b93773ee-8593-47a7-a0fe-5a4f45f28f3b", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire l'espérance et la variance de $\\frac{1}{T_n}$.", "html": "

En déduire l’espérance et la variance de \$\\frac{1}{T_n}\$.

\n" } }, { "id": "a0136379-66e4-43ac-b682-37188bd42112", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par linéarité de l'espérance, on a $\\E\\left(\\frac{1}{T_n}\\right) = \\frac{1}{an}\\sum_{i=1}^n \\E\\left(a \\ln(X_i)\\right) = \\frac{1}{an} \\sum_{i=1}^n \\frac{1}{1} = \\frac{1}{a}$. \n\n Par propriétés de la variance, on a $\\var\\left(\\frac{1}{T_n} \\right) = \\frac{1}{a^2 n^2} \\sum_{i=1}^n \\var(a \\ln(X_i)) = \\frac{1}{a^2 n^2} \\sum_{i=1}^n 1 = \\frac{1}{a^2 n}$.", "html": "

Par linéarité de l’espérance, on a \$\\E\\left(\\frac{1}{T_n}\\right) =\n\\frac{1}{an}\\sum_{i=1}^n \\E\\left(a \\ln(X_i)\\right) = \\frac{1}{an}\n\\sum_{i=1}^n \\frac{1}{1} = \\frac{1}{a}\$.

Par propriétés de la variance, on a \$\\var\\left(\\frac{1}{T_n} \\right) = \\frac{1}{a^2\nn^2} \\sum_{i=1}^n \\var(a \\ln(X_i)) = \\frac{1}{a^2 n^2} \\sum_{i=1}^n 1 =\n\\frac{1}{a^2 n}\$.

\n" } }, { "id": "94361adf-a025-4098-8e8a-c3f4515b8116", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que la suite de variables aléatoires $\\left(\\frac{1}{T_n}\\right)_{n \\in \\N^*}$ converge presque sûrement vers une constante que l'on déterminera.", "html": "

Montrer que la suite de variables aléatoires \$\\left(\\frac{1}{T_n}\\right)_{n \\in \\N^*}\$\nconverge presque sûrement vers une constante que l’on déterminera.

\n" } }, { "id": "80f7c66d-0942-43b6-9afe-889f8e34754e", "type": "reponse", "value": { "latex": "D'après la loi forte des grands nombres, on a $\\frac{1}{T_n} = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n \\ln(X_i) \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{\\text{p.s.}} \\E(\\ln(X_1))$. Or $\\E(a\\ln(X_1)) = \\frac{1}{1} = 1$. Donc $\\frac{1}{T_n} \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{\\text{p.s.}} \\frac{1}{a}$.", "html": "

D’après la loi forte des grands nombres, on a \$\\frac{1}{T_n} = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n \\ln(X_i)\n\\xrightarrow[n \\to +\\infty]{\\text{p.s.}} \\E(\\ln(X_1))\$. Or \$\\E(a\\ln(X_1)) = \\frac{1}{1} = 1\$. Donc\n\$\\frac{1}{T_n} \\xrightarrow[n \\to\n+\\infty]{\\text{p.s.}} \\frac{1}{a}\$.

\n" } }, { "id": "7ae062d2-5b43-4677-802a-f1afa6d09291", "type": "question", "value": { "latex": "Pour tout $n \\in \\N^*$, on pose $Z_n = \\sqrt{n}\\left(\\frac{a}{T_n} - 1 \\right)$. Montrer que la suite de variables aléatoires $\\left(Z_n\\right)_{n \\in \\N^*}$ converge en loi vers une loi normale centrée réduite.", "html": "

Pour tout \$n \\in \\N^*\$, on pose\n\$Z_n = \\sqrt{n}\\left(\\frac{a}{T_n} - 1\n\\right)\$. Montrer que la suite de variables aléatoires \$\\left(Z_n\\right)_{n \\in \\N^*}\$ converge en\nloi vers une loi normale centrée réduite.

\n" } }, { "id": "3915c85a-5dad-4b14-9463-c3b1e02764ad", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire un intervalle de confiance au niveau de confiance $95\\%$ pour $a$ sous la forme : $$\\left[ \\frac{\\sqrt{n}-c}{\\sqrt{n}}T_n~;~\\frac{\\sqrt{n}+c}{\\sqrt{n}}T_n \\right]$$ où $c$ est un réel à déterminer.", "html": "

En déduire un intervalle de confiance au niveau de confiance \$95\\%\$ pour \$a\$ sous la forme : \\[\\left[\n\\frac{\\sqrt{n}-c}{\\sqrt{n}}T_n~;~\\frac{\\sqrt{n}+c}{\\sqrt{n}}T_n\n\\right]\\] où \$c\$ est un réel à\ndéterminer.

\n" } } ] }, { "uuid": "fGoC", "titre": "Estimation d'un paramètre de Pareto", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:35.420Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:35.420Z" }, "contenu": [ { "id": "a8fca8f1-434a-492a-a9e8-99491d97ee7a", "type": "description", "value": { "latex": "Soient $a = 3$ et $b$ deux réels strictement positifs. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Pareto de paramètres $(3,b)$. Alors $X$ admet pour densité la fonction $f$ définie pour tout $x \\in \\R$ par : \n$$f(x)=\\frac{3 b^3}{x^{4}} \\mathbf{1}_{[b;+\\infty[}(x).$$\nSoit $n \\in \\N^*$ et soit $X_1,X_2,\\cdots{},X_n$ un échantillon de $n$ variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi de Pareto de paramètres $(3,b)$. On définit alors les deux variables aléatoires : $$Y_n = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n X_i \\quad \\text{et} \\quad Z_n = \\min(X_1,X_2,\\cdots{},X_n).$$\n\nLe but de l'exercice est de construire un bon estimateur du paramètre $b$ de la loi de Pareto.", "html": "

Soient \$a = 3\$ et \$b\$ deux réels strictement positifs. Soit\n\$X\$ une variable aléatoire suivant\nune loi de Pareto de paramètres \$(3,b)\$. Alors \$X\$ admet pour densité la fonction \$f\$ définie pour tout \$x \\in \\R\$ par : \\[f(x)=\\frac{3 b^3}{x^{4}}\n\\mathbf{1}_{[b;+\\infty[}(x).\\] Soit \$n\n\\in \\N^*\$ et soit \$X_1,X_2,\\cdots{},X_n\$ un échantillon de\n\$n\$ variables aléatoires\nindépendantes suivant chacune la loi de Pareto de paramètres \$(3,b)\$. On définit alors les deux\nvariables aléatoires : \\[Y_n = \\frac{1}{n}\n\\sum_{i=1}^n X_i \\quad \\text{et} \\quad Z_n =\n\\min(X_1,X_2,\\cdots{},X_n).\\]

Le but de l’exercice est de construire un bon estimateur du paramètre\n\$b\$ de la loi de Pareto.

\n" } }, { "id": "0129251e-698c-48e2-b8f5-fce46823f6b2", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer l'espérance et la variance de $Y_n$.", "html": "

Déterminer l’espérance et la variance de \$Y_n\$.

\n" } }, { "id": "d26917a5-ff91-4e89-ba89-a36666107a0a", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $\\E(Y_n) = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n \\E(X_i) = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n \\frac{3b}{2} = \\frac{3b}{2}$.\n On calcule d'abord $\\E(X_i^2)$ pour tout $i \\in \\{1,...,n\\}$ : \n $$\\begin{align*}\n \\E(X_i^2) &= \\int_b^{+\\infty} \\frac{3 b^3}{x^{4}} x^2 dx \\\\\n &= \\left[ -\\frac{3 b^3}{x} \\right]_b^{+\\infty} \\\\\n &= 3b^2\n \\end{align*}$$\n Donc $\\var(X_i) = \\E(X_i^2) - \\E(X_i)^2 = 3b^2 - \\left(\\frac{3b}{2}\\right)^2 = \\frac{3b^2}{4}$.", "html": "

On a \$\\E(Y_n) = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n\n\\E(X_i) = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^n \\frac{3b}{2} = \\frac{3b}{2}\$.\nOn calcule d’abord \$\\E(X_i^2)\$ pour\ntout \$i \\in \\{1,...,n\\}\$ : \\[\\begin{align*}\n \\E(X_i^2) &= \\int_b^{+\\infty} \\frac{3 b^3}{x^{4}} x^2 dx\n\\\\\n &= \\left[ -\\frac{3 b^3}{x} \\right]_b^{+\\infty} \\\\\n &= 3b^2\n \\end{align*}\\] Donc \$\\var(X_i)\n= \\E(X_i^2) - \\E(X_i)^2 = 3b^2 - \\left(\\frac{3b}{2}\\right)^2 =\n\\frac{3b^2}{4}\$.

\n" } }, { "id": "ed76fc4f-3c6c-4b70-abe5-df9eb8cdff0d", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire un estimateur sans biais de $b$ sous la forme $\\alpha_n Y_n$ où $\\alpha_n$ est un réel à déterminer.", "html": "

En déduire un estimateur sans biais de \$b\$ sous la forme \$\\alpha_n Y_n\$ où \$\\alpha_n\$ est un réel à déterminer.

\n" } }, { "id": "7427e153-7fb1-4172-9151-23b42b19201b", "type": "reponse", "value": { "latex": "Il suffit de prendre $\\alpha_n = \\frac{2}{3}$ pour que $\\alpha_n Y_n$ soit un estimateur sans biais de $b$.", "html": "

Il suffit de prendre \$\\alpha_n =\n\\frac{2}{3}\$ pour que \$\\alpha_n\nY_n\$ soit un estimateur sans biais de \$b\$.

\n" } }, { "id": "e53055c8-9dc2-49dd-94da-2d6c0074630e", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la fonction de répartition de $Z_n$.", "html": "

Déterminer la fonction de répartition de \$Z_n\$.

\n" } }, { "id": "5e7142c5-e019-45e4-afd7-dfbd7201253c", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $t \\geq b$. On a : \n $$\\begin{align*}\n \\prob(Z_n \\leq t) &= \\prob(\\min(X_1,X_2,\\cdots{},X_n) \\leq t) \\\\\n &= 1 - \\prob(\\min(X_1,X_2,\\cdots{},X_n) > t) \\\\\n &= 1 - \\prob(X_1 > t, X_2 > t, \\cdots{}, X_n > t) \\\\\n &= 1 - \\prod_{i=1}^n \\prob(X_i > t) \\\\\n &= 1 - \\left(1 - \\prob(X_1 \\leq t)\\right)^n \\\\\n &= 1 - \\left(1 - F_{X_1}(t)\\right)^n \\\\\n &= 1 - \\left(1 - \\left(1 - \\frac{b^3}{t^3}\\right)\\right)^n \\\\\n &= 1 - \\left(\\frac{b^3}{t^3}\\right)^n \\\\\n &= 1 - \\frac{b^{3n}}{t^{3n}}\n \\end{align*}$$\n et si $t < b$, $\\prob(Z_n \\leq t) = 0$.", "html": "

Soit \$t \\geq b\$. On a : \\[\\begin{align*}\n \\prob(Z_n \\leq t) &= \\prob(\\min(X_1,X_2,\\cdots{},X_n)\n\\leq t) \\\\\n &= 1 - \\prob(\\min(X_1,X_2,\\cdots{},X_n) > t) \\\\\n &= 1 - \\prob(X_1 > t, X_2 > t, \\cdots{}, X_n >\nt) \\\\\n &= 1 - \\prod_{i=1}^n \\prob(X_i > t) \\\\\n &= 1 - \\left(1 - \\prob(X_1 \\leq t)\\right)^n \\\\\n &= 1 - \\left(1 - F_{X_1}(t)\\right)^n \\\\\n &= 1 - \\left(1 - \\left(1 -\n\\frac{b^3}{t^3}\\right)\\right)^n \\\\\n &= 1 - \\left(\\frac{b^3}{t^3}\\right)^n \\\\\n &= 1 - \\frac{b^{3n}}{t^{3n}}\n \\end{align*}\\] et si \$t <\nb\$, \$\\prob(Z_n \\leq t) =\n0\$.

\n" } }, { "id": "96de7a41-0cfe-4678-bc4c-1b0f0f7b18db", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire que $Z_n$ suit une loi de Pareto de paramètres $(3n, b)$.", "html": "

En déduire que \$Z_n\$ suit une loi\nde Pareto de paramètres \$(3n,\nb)\$.

\n" } }, { "id": "ed481336-7885-425e-8bf7-734f87dd30ec", "type": "reponse", "value": { "latex": "D'après la partie 1, question 2, on reconnait la fonction de répartition d'une loi de Pareto de paramètres $(3n, b)$.", "html": "

D’après la partie 1, question 2, on reconnait la fonction de\nrépartition d’une loi de Pareto de paramètres \$(3n, b)\$.

\n" } }, { "id": "39dcd98c-7ac1-4765-a64e-a350a2bea344", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire un estimateur sans biais de $b$ sous la forme $\\beta_n Z_n$ où $\\beta_n$ est un réel à déterminer.", "html": "

En déduire un estimateur sans biais de \$b\$ sous la forme \$\\beta_n Z_n\$ où \$\\beta_n\$ est un réel à déterminer.

\n" } }, { "id": "ae2f7e95-9dc1-4bd9-86c7-552ddf015814", "type": "reponse", "value": { "latex": "L'espérance de $Z_n$ est donnée par $\\E(Z_n) = \\frac{3nb}{3n-1}$. Donc on pose $\\beta_n = \\frac{3n-1}{3n}$ pour que $\\beta_n Z_n$ soit un estimateur sans biais de $b$.", "html": "

L’espérance de \$Z_n\$ est donnée\npar \$\\E(Z_n) = \\frac{3nb}{3n-1}\$.\nDonc on pose \$\\beta_n =\n\\frac{3n-1}{3n}\$ pour que \$\\beta_n\nZ_n\$ soit un estimateur sans biais de \$b\$.

\n" } }, { "id": "e6754b43-eda1-4c13-b82d-ec9d4145b958", "type": "question", "value": { "latex": "Lequel des deux estimateurs de $b$ est le meilleur ? Justifier.", "html": "

Lequel des deux estimateurs de \$b\$\nest le meilleur ? Justifier.

\n" } }, { "id": "2ee79373-3855-4be5-99b0-6d6b2f642794", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $\\var(\\alpha_n Y_n) = \\alpha_n^2 \\var(Y_n) = \\frac{4}{9} \\frac{3b^2}{4n} = \\frac{b^2}{3n}$. \n\n Pour calculer la variance de $\\beta_n Z_n$, on doit d'abord connaître la variance d'une loi de Pareto de paramètres $(3n, b)$. Après calculs, on a $\\var(Z_n) = \\frac{3nb^2}{(3n-1)^2(3n-2)}$. \n \n D'autre part, $\\var(\\beta_n Z_n) = \\beta_n^2 \\var(Z_n) = \\frac{b^2}{3n(3n-2)}$ < $\\frac{b^2}{3n}$. \n\n Donc $\\beta_n Z_n$ est un meilleur estimateur de $b$ que $\\alpha_n Y_n$.", "html": "

On a \$\\var(\\alpha_n Y_n) = \\alpha_n^2\n\\var(Y_n) = \\frac{4}{9} \\frac{3b^2}{4n} = \\frac{b^2}{3n}\$.

Pour calculer la variance de \$\\beta_n\nZ_n\$, on doit d’abord connaître la variance d’une loi de Pareto\nde paramètres \$(3n, b)\$. Après\ncalculs, on a \$\\var(Z_n) =\n\\frac{3nb^2}{(3n-1)^2(3n-2)}\$.

D’autre part, \$\\var(\\beta_n Z_n) =\n\\beta_n^2 \\var(Z_n) = \\frac{b^2}{3n(3n-2)}\$ < \$\\frac{b^2}{3n}\$.

Donc \$\\beta_n Z_n\$ est un meilleur\nestimateur de \$b\$ que \$\\alpha_n Y_n\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "PwkL", "titre": "Estimation des paramètres d'une loi normale", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime NGUYEN", "createdAt": "2024-11-06T20:22:18.554Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:18.554Z" }, "contenu": [ { "id": "a2a7399a-b452-42fa-8e48-7e1ad23ccda7", "type": "description", "value": { "latex": "On considère un échantillon $X_1,...,X_n$ suivant une loi normale $\\mathcal{N}(\\mu,\\sigma^2)$. On cherche un estimateur de $\\mu$ et de $\\sigma$ par la méthode du maximum de vraisemblance. On note $(x_1,...,x_n)$ une réalisation de cet échantillon. On rappelle que la densité d'une loi normale est $$f(x)=\\frac{1}{\\sigma \\sqrt{2\\pi}} e^{-\\frac{(x-\\mu)^2}{2\\sigma^2}}$$", "html": "

On considère un échantillon \$X_1,...,X_n\$ suivant une loi normale \$\\mathcal{N}(\\mu,\\sigma^2)\$. On cherche un\nestimateur de \$\\mu\$ et de \$\\sigma\$ par la méthode du maximum de\nvraisemblance. On note \$(x_1,...,x_n)\$ une réalisation de cet\néchantillon. On rappelle que la densité d’une loi normale est \\[f(x)=\\frac{1}{\\sigma \\sqrt{2\\pi}}\ne^{-\\frac{(x-\\mu)^2}{2\\sigma^2}}\\]

\n" } }, { "id": "de94854a-a774-4b9c-9d71-acb4379f9c26", "type": "question", "value": { "latex": "Exprimer la fonction de vraisemblance $L(x_1,...,x_n,\\mu,\\sigma)$, puis son logarithme.", "html": "

Exprimer la fonction de vraisemblance \$L(x_1,...,x_n,\\mu,\\sigma)\$, puis son\nlogarithme.

\n" } }, { "id": "c45d41f5-473f-4c33-b619-541e7a93f035", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$L(x_1,...,x_n,\\mu,\\sigma) = \\prod_{i=1}^n f(x_i) = \\prod_{i=1}^n \\frac{1}{\\sigma \\sqrt{2\\pi}} e^{-\\frac{(x_i-\\mu)^2}{2\\sigma^2}}$$\n\t\t$$\\ln L(x_1,...,x_n,\\mu,\\sigma) = \\sum_{i=1}^n \\ln \\left(\\frac{1}{\\sigma \\sqrt{2\\pi}} e^{-\\frac{(x_i-\\mu)^2}{2\\sigma^2}}\\right) = -n\\ln(\\sigma \\sqrt{2\\pi}) - \\sum_{i=1}^n \\frac{(x_i-\\mu)^2}{2\\sigma^2}$$", "html": "

\\[L(x_1,...,x_n,\\mu,\\sigma) =\n\\prod_{i=1}^n f(x_i) = \\prod_{i=1}^n \\frac{1}{\\sigma \\sqrt{2\\pi}}\ne^{-\\frac{(x_i-\\mu)^2}{2\\sigma^2}}\\] \\[\\ln L(x_1,...,x_n,\\mu,\\sigma) = \\sum_{i=1}^n \\ln\n\\left(\\frac{1}{\\sigma \\sqrt{2\\pi}}\ne^{-\\frac{(x_i-\\mu)^2}{2\\sigma^2}}\\right) = -n\\ln(\\sigma \\sqrt{2\\pi}) -\n\\sum_{i=1}^n \\frac{(x_i-\\mu)^2}{2\\sigma^2}\\]

\n" } }, { "id": "0d429e70-3fd9-4e81-ba87-33a743b8bd35", "type": "question", "value": { "latex": "Dériver $\\ln L(x_1,...,x_n,\\mu,\\sigma)$ par rapport à $\\mu$.", "html": "

Dériver \$\\ln\nL(x_1,...,x_n,\\mu,\\sigma)\$ par rapport à \$\\mu\$.

\n" } }, { "id": "e4c80afb-3b2f-4e22-bc73-6e9dca957d88", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\\frac{\\partial \\ln L(x_1,...,x_n,\\mu,\\sigma)}{\\partial \\mu} = \\sum_{i=1}^n \\frac{x_i-\\mu}{\\sigma^2}$$", "html": "

\\[\\frac{\\partial \\ln\nL(x_1,...,x_n,\\mu,\\sigma)}{\\partial \\mu} = \\sum_{i=1}^n\n\\frac{x_i-\\mu}{\\sigma^2}\\]

\n" } }, { "id": "c139ef16-a06d-4895-99ba-e8db528ee094", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire un estimateur de $\\mu$.", "html": "

En déduire un estimateur de \$\\mu\$.

\n" } }, { "id": "2f074f53-794a-4adc-b0f4-545a82d9e14a", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\\frac{\\partial \\ln L(x_1,...,x_n,\\mu,\\sigma)}{\\partial \\mu} = 0 \\Leftrightarrow \\sum_{i=1}^n \\frac{x_i-\\mu}{\\sigma^2} = 0 \\Leftrightarrow \\sum_{i=1}^n x_i - n\\mu = 0 \\Leftrightarrow \\mu = \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n x_i$$\n\t\tdonc $\\hat{\\mu} = \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n x_i$ est un estimateur de $\\mu$.", "html": "

\\[\\frac{\\partial \\ln\nL(x_1,...,x_n,\\mu,\\sigma)}{\\partial \\mu} = 0 \\Leftrightarrow\n\\sum_{i=1}^n \\frac{x_i-\\mu}{\\sigma^2} = 0 \\Leftrightarrow \\sum_{i=1}^n\nx_i - n\\mu = 0 \\Leftrightarrow \\mu = \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n\nx_i\\] donc \$\\hat{\\mu} =\n\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n x_i\$ est un estimateur de \$\\mu\$.

\n" } }, { "id": "66efc8ca-042a-4cea-94a4-bc9f2e03ba54", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer un estimateur de $\\sigma$ avec une démarche analogue.", "html": "

Déterminer un estimateur de \$\\sigma\$ avec une démarche analogue.

\n" } }, { "id": "aa49ec8a-b05f-4e12-be79-8bc0673e5b21", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\\frac{\\partial \\ln L(x_1,...,x_n,\\mu,\\sigma)}{\\partial \\sigma} = \\sum_{i=1}^n \\frac{(x_i-\\mu)^2}{\\sigma^3} - \\frac{n}{\\sigma}$$\n\t\t$$\\frac{\\partial \\ln L(x_1,...,x_n,\\mu,\\sigma)}{\\partial \\sigma} = 0 \\Leftrightarrow \\sum_{i=1}^n \\frac{(x_i-\\mu)^2}{\\sigma^3} - \\frac{n}{\\sigma} = 0 \\Leftrightarrow \\sum_{i=1}^n (x_i-\\mu)^2 = n\\sigma^2$$\n\t\t$$\\Leftrightarrow \\sigma^2 = \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n (x_i-\\mu)^2$$\n\t\tdonc $\\hat{\\sigma} = \\sqrt{\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n (x_i-\\mu)^2}$ est un estimateur de $\\sigma$.", "html": "

\\[\\frac{\\partial \\ln\nL(x_1,...,x_n,\\mu,\\sigma)}{\\partial \\sigma} = \\sum_{i=1}^n\n\\frac{(x_i-\\mu)^2}{\\sigma^3} - \\frac{n}{\\sigma}\\] \\[\\frac{\\partial \\ln\nL(x_1,...,x_n,\\mu,\\sigma)}{\\partial \\sigma} = 0 \\Leftrightarrow\n\\sum_{i=1}^n \\frac{(x_i-\\mu)^2}{\\sigma^3} - \\frac{n}{\\sigma} = 0\n\\Leftrightarrow \\sum_{i=1}^n (x_i-\\mu)^2 = n\\sigma^2\\] \\[\\Leftrightarrow \\sigma^2 =\n\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n (x_i-\\mu)^2\\] donc \$\\hat{\\sigma} = \\sqrt{\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n\n(x_i-\\mu)^2}\$ est un estimateur de \$\\sigma\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "dXNn", "titre": "Estimation du paramètre d'une loi", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime NGUYEN", "createdAt": "2024-11-06T20:22:33.231Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:33.231Z" }, "contenu": [ { "id": "a8230817-21b7-4cb9-a18e-412fe041c06f", "type": "description", "value": { "latex": "On fixe un réel $a>0$ et on définit une variable aléatoire $X$ sur $\\mathbb{N}$ dont la loi de probabilité est définie par \n$$\\PP(X=k)=\\frac{a^k}{(1+a)^{k+1}}$$\npour tout $k \\in \\mathbb{N}$.", "html": "

On fixe un réel \$a>0\$ et on\ndéfinit une variable aléatoire \$X\$\nsur \$\\mathbb{N}\$ dont la loi de\nprobabilité est définie par \\[\\PP(X=k)=\\frac{a^k}{(1+a)^{k+1}}\\] pour\ntout \$k \\in \\mathbb{N}\$.

\n" } }, { "id": "e63c016d-0846-4258-a476-bdef3ac8260b", "type": "question", "value": { "latex": "A l'aide de la méthode du maximum de vraisemblance, définir un estimateur de $a$ et déterminer son biais.", "html": "

A l’aide de la méthode du maximum de vraisemblance, définir un\nestimateur de \$a\$ et déterminer son\nbiais.

\n" } }, { "id": "3ffe6848-ec5d-4168-95ed-5a296de58e25", "type": "reponse", "value": { "latex": "On définit un échantillon $X_1,...,X_n$ et on considère la probabilité que cet échantillon réalise un ensemble de valeurs $V=\\{x_1,...,x_n\\}$. La fonction de vraisemblance s'écrit alors \n$$L(x_1,...,x_n,a) = \\PP(X_1=x_1,...,X_n=x_n) = \\prod_{k=1}^{n} \\PP(X=x_k) = \\prod_{k=1}^n \\frac{a^{x_k}}{(1+a)^{x_k+1}} = \\frac{a^{\\sum x_k}}{(1+a)^{\\sum x_k+1}}$$\n\nOn dérive ce quotient par rapport à $a$, on factorise par $a^{\\sum x_k-1}(1+a)^{n+\\sum x_k -1}$ et on trouve que \n$$\\frac{\\partial L}{\\partial a}(x_1,...,x_n,a) = 0 \\iff \\sum_{k=0}^n x_k(1+a) - a(n+\\sum_{k=0}^n x_k) = 0 \\iff a = \\frac{1}{n} \\sum_{k=0}^n x_k$$\n\nOn a donc trouvé un meilleur estimateur du paramètre $a$ selon la méthode du maximum de vraisemblance : il s'agit de l'estimateur $T = \\frac{1}{n} \\sum_{k=0}^n X_k$.\n\nReste à calculer le biais de cet estimateur, autrement dit à calculer $B(T) = \\mathbb{E}(T-a)$. Or pour tout entier $i$, $X_i$ suit la loi définie ci-dessus et on espérance se calcule de la manière suivante :\n$$\\mathbb{E}(X_i) = \\sum_{k=0}^n k\\PP(X_i=k) = \\sum_{k=0}^n k \\left( \\frac{a}{1+a} \\right)^{k-1} \\frac{a}{(1+a)^2} = \\frac{1}{\\left(1-\\frac{a}{1+a}\\right)^2} \\times \\frac{a}{(1+a)^2} = a$$\nDonc $B(T) = \\frac{1}{n} \\times n \\times a - a = 0$ : la variable $T$ est donc un estimateur sans biais du paramètre $a$.", "html": "

On définit un échantillon \$X_1,...,X_n\$ et on considère la\nprobabilité que cet échantillon réalise un ensemble de valeurs \$V=\\{x_1,...,x_n\\}\$. La fonction de\nvraisemblance s’écrit alors \\[L(x_1,...,x_n,a) = \\PP(X_1=x_1,...,X_n=x_n) =\n\\prod_{k=1}^{n} \\PP(X=x_k) = \\prod_{k=1}^n \\frac{a^{x_k}}{(1+a)^{x_k+1}}\n= \\frac{a^{\\sum x_k}}{(1+a)^{\\sum x_k+1}}\\]

On dérive ce quotient par rapport à \$a\$, on factorise par \$a^{\\sum x_k-1}(1+a)^{n+\\sum x_k -1}\$ et on\ntrouve que \\[\\frac{\\partial L}{\\partial\na}(x_1,...,x_n,a) = 0 \\iff \\sum_{k=0}^n x_k(1+a) - a(n+\\sum_{k=0}^n x_k)\n= 0 \\iff a = \\frac{1}{n} \\sum_{k=0}^n x_k\\]

On a donc trouvé un meilleur estimateur du paramètre \$a\$ selon la méthode du maximum de\nvraisemblance : il s’agit de l’estimateur \$T\n= \\frac{1}{n} \\sum_{k=0}^n X_k\$.

Reste à calculer le biais de cet estimateur, autrement dit à calculer\n\$B(T) = \\mathbb{E}(T-a)\$. Or pour\ntout entier \$i\$, \$X_i\$ suit la loi définie ci-dessus et on\nespérance se calcule de la manière suivante : \\[\\mathbb{E}(X_i) = \\sum_{k=0}^n k\\PP(X_i=k) =\n\\sum_{k=0}^n k \\left( \\frac{a}{1+a} \\right)^{k-1} \\frac{a}{(1+a)^2} =\n\\frac{1}{\\left(1-\\frac{a}{1+a}\\right)^2} \\times \\frac{a}{(1+a)^2} =\na\\] Donc \$B(T) = \\frac{1}{n} \\times n\n\\times a - a = 0\$ : la variable \$T\$ est donc un estimateur sans biais du\nparamètre \$a\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "dsIx", "titre": "Estimation et loi puissance", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:33.777Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:33.777Z" }, "contenu": [ { "id": "060844d4-5395-4919-b09c-ba4b4d9af00a", "type": "description", "value": { "latex": "En 2008, le célèbre opérateur FSR proposait un forfait téléphonique de 1 heure mensuelle. Pour étudier la consommation des clients ayant opté pour ce forfait, il a relevé la proportion mensuelle du forfait consommé par 15 clients et a obtenu, après avoir ordonné les résultats :\n\t\n\t$$0.29 \\qquad 0.46 \\qquad 0.51 \\qquad 0.61 \\qquad 0.70 \\qquad 0.72 \\qquad 0.76 \\qquad 0.79$$\n\t$$0.84 \\qquad 0.85 \\qquad 0.86 \\qquad 0.92 \\qquad 0.94 \\qquad 0.96 \\qquad 1$$\n\t\n\tCette répartition suggère de modéliser les observations à l'aide d'une loi puissance de paramètre $(\\lambda,1)$ avec $\\lambda>0$ dont la fonction densité est :\n\t$$f_\\lambda(x) = \\lambda \\, x^{\\lambda-1}\\textbf{1}_{[0;1]}(x)$$", "html": "

En 2008, le célèbre opérateur FSR proposait un forfait téléphonique\nde 1 heure mensuelle. Pour étudier la consommation des clients ayant\nopté pour ce forfait, il a relevé la proportion mensuelle du forfait\nconsommé par 15 clients et a obtenu, après avoir ordonné les résultats\n:

\\[0.29 \\qquad 0.46 \\qquad 0.51 \\qquad 0.61\n\\qquad 0.70 \\qquad 0.72 \\qquad 0.76 \\qquad 0.79\\] \\[0.84 \\qquad 0.85 \\qquad 0.86 \\qquad 0.92 \\qquad\n0.94 \\qquad 0.96 \\qquad 1\\]

Cette répartition suggère de modéliser les observations à l’aide\nd’une loi puissance de paramètre \$(\\lambda,1)\$ avec \$\\lambda>0\$ dont la fonction densité est\n: \\[f_\\lambda(x) = \\lambda \\,\nx^{\\lambda-1}\\textbf{1}_{[0;1]}(x)\\]

\n" } }, { "id": "8ea5ce89-5ead-4bb5-8069-ccfbed69d321", "type": "question", "value": { "latex": "\\'A l'aide de la méthode du maximum de vraisemblance, construire un estimateur du paramètre $\\lambda$, pour un $n$-échantillon $(X_1,...,X_n)$. On notera cet estimateur $\\widehat{\\lambda_n}$.", "html": "

Á l’aide de la méthode du maximum de vraisemblance, construire un\nestimateur du paramètre \$\\lambda\$,\npour un \$n\$-échantillon \$(X_1,...,X_n)\$. On notera cet estimateur\n\$\\widehat{\\lambda_n}\$.

\n" } }, { "id": "ad7914b1-c9a2-4577-bf71-bd65cd55b1d3", "type": "reponse", "value": { "latex": "Avec la log-vraisemblance, on obtient l'estimateur $\\widehat{\\lambda_n} = \\frac{n}{-\\sum \\ln(x_i)}$.", "html": "

Avec la log-vraisemblance, on obtient l’estimateur \$\\widehat{\\lambda_n} = \\frac{n}{-\\sum\n\\ln(x_i)}\$.

\n" } }, { "id": "90a922a7-bb62-474d-9ea4-e9c254532916", "type": "question", "value": { "latex": "On admet que la variable aléatoire $2n\\, \\frac{\\lambda}{\\widehat{\\lambda_n}}$ suit une loi $\\chi^2(2n)$. En déduire l'expression d'un intervalle de confiance de niveau $1-\\alpha$ sous la forme $]-\\infty~;~T]$ pour le paramètre $\\lambda$.", "html": "

On admet que la variable aléatoire \$2n\\,\n\\frac{\\lambda}{\\widehat{\\lambda_n}}\$ suit une loi \$\\chi^2(2n)\$. En déduire l’expression d’un\nintervalle de confiance de niveau \$1-\\alpha\$ sous la forme \$]-\\infty~;~T]\$ pour le paramètre \$\\lambda\$.

\n" } }, { "id": "9b4a7f60-352f-4cf9-8e6e-d40353c221c4", "type": "reponse", "value": { "latex": "Si on note $q_{\\alpha,n}$ le quantile tel que $\\PP(ZSi on note \$q_{\\alpha,n}\$ le\nquantile tel que \$\\PP(Z<q_{\\alpha,n}) =\n1-\\alpha\$ où \$Z \\sim\n\\chi^2(n)\$, on obtient un intervalle de confiance \\[]-\\infty~;~q_{\\alpha,2n}\\,\\frac{\\widehat{\\lambda_n}}{2n}]\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "ZMBI", "titre": "Estimation par inégalité", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:22:26.592Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:26.592Z" }, "contenu": [ { "id": "e6817a82-903f-4171-ab85-837634739420", "type": "description", "value": { "latex": "On sait qu'il y a à peu près une chance sur deux d'avoir une fille à chaque naissance, mais on veut avoir une estimation plus précise de cette probabilité $p$. \\\\\nOn regarde ce qui se passe sur $n$ naissances, et on appelle $S_n$ le nombre de filles parmi les $n$ naissances.", "html": "

On sait qu’il y a à peu près une chance sur deux d’avoir une fille à\nchaque naissance, mais on veut avoir une estimation plus précise de\ncette probabilité \$p\$.
\nOn regarde ce qui se passe sur \$n\$\nnaissances, et on appelle \$S_n\$ le\nnombre de filles parmi les \$n\$\nnaissances.

\n" } }, { "id": "6c14f72e-45ce-4095-819e-39f25a392a81", "type": "question", "value": { "latex": "Que vaut la variable $Y_n$ égale à la proportion de filles dans les naissances ? Donner son espérance et sa variance.", "html": "

Que vaut la variable \$Y_n\$ égale à\nla proportion de filles dans les naissances ? Donner son espérance et sa\nvariance.

\n" } }, { "id": "225c2ea8-b3a4-433a-9375-1b86133d7019", "type": "reponse", "value": { "latex": "$Y_n=\\frac{S_n}{n}$, où $S_n$ est une variable aléatoire de loi $\\mathcal{B}(n,p)$. On a donc \n\t\t\\[\\E(Y_n)=\\frac{1}{n}\\E(S_n)=\\frac{1}{n}\\times np=p \\text{ et } \\sigma^2(X)=\\frac{1}{n^2}\\sigma^2(S_n)=\\frac{1}{n^2}\\times np(1-p)=\\frac{p(1-p)}{n}.\\]", "html": "

\$Y_n=\\frac{S_n}{n}\$, où \$S_n\$ est une variable aléatoire de loi\n\$\\mathcal{B}(n,p)\$. On a donc \\[\\E(Y_n)=\\frac{1}{n}\\E(S_n)=\\frac{1}{n}\\times np=p\n\\text{ et } \\sigma^2(X)=\\frac{1}{n^2}\\sigma^2(S_n)=\\frac{1}{n^2}\\times\nnp(1-p)=\\frac{p(1-p)}{n}.\\]

\n" } }, { "id": "1b37f0d0-30a3-405a-88bc-c85459b2c188", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $a>0$. Montrer que $\\prob(|Y_n-p|\\geq a)\\leq \\frac{1}{4na^2}$.", "html": "

Soit \$a>0\$. Montrer que \$\\prob(|Y_n-p|\\geq a)\\leq\n\\frac{1}{4na^2}\$.

\n" } }, { "id": "7cd6d844-85cc-4ef4-9984-89e7ef91e24f", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $a>0$. On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à $Y_n$:\n\t\t\\[ \\prob(|Y_n-p|\\geq a)\\leq \\frac{\\sigma^2(Y_n)}{a^2}=\\frac{p(1-p)}{a^2n} \\leq \\frac{1}{4na^2},\\]\n\t\ten utilisant l'indication donnée dans l'énoncé.", "html": "

Soit \$a>0\$. On applique\nl’inégalité de Bienaymé-Tchebychev à \$Y_n\$: \\[\\prob(|Y_n-p|\\geq a)\\leq\n\\frac{\\sigma^2(Y_n)}{a^2}=\\frac{p(1-p)}{a^2n} \\leq\n\\frac{1}{4na^2},\\] en utilisant l’indication donnée dans\nl’énoncé.

\n" } }, { "id": "792a3453-1f1f-428d-848a-8ef4933b4314", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer un nombre $n$ d'observations à faire pour que l'on puisse déduire de $Y_n$, avec moins de $1$\\% de chances de se tromper, que $Y_n-0.01\\leq p\\leq Y_n+0.01$.", "html": "

Déterminer un nombre \$n\$\nd’observations à faire pour que l’on puisse déduire de \$Y_n\$, avec moins de \$1\$% de chances de se tromper, que \$Y_n-0.01\\leq p\\leq Y_n+0.01\$.

\n" } }, { "id": "6c62aba4-b168-4009-9924-86a365fdeb30", "type": "reponse", "value": { "latex": "On souhaite avoir $\\prob(Y_n-0.01\\leq p \\leq Y_n+0.01)\\geq 0.99$. Or\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\prob(Y_n-0.01\\leq p \\leq Y_n+0.01)\n\t\t&=\\prob(-0.01\\leq p-Y_n \\leq 0.01)\n\t\t=\\prob(|Y_n-p|\\leq 0.01)\\\\\n\t\t&=1-\\prob(|Y_n-p|\\geq 0.01)\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tOn souhaite donc avoir $\\prob(|Y_n-p|\\geq 0.01)\\leq 0.01$.\n\t\tOr par la question 2., avec $a=0.01$, on a l'inégalité:\n\t\t\\[\\prob(|Y_n-p|\\geq a)\\leq \\frac{\\sigma^2(Y_n)}{a^2}\\leq \\frac{1}{4n\\times(0.01)^2}. \\]\n\t\tOn prend donc $n$ tel que $\\frac{1}{4n\\times (0.01)^2}\\leq 0.01$, c'est-à-dire $n\\geq 250\\ 000$.", "html": "

On souhaite avoir \$\\prob(Y_n-0.01\\leq p\n\\leq Y_n+0.01)\\geq 0.99\$. Or \\[\\begin{align*}\n \\prob(Y_n-0.01\\leq p \\leq Y_n+0.01)\n &=\\prob(-0.01\\leq p-Y_n \\leq 0.01)\n =\\prob(|Y_n-p|\\leq 0.01)\\\\\n &=1-\\prob(|Y_n-p|\\geq 0.01)\n \\end{align*}\\] On souhaite donc avoir \$\\prob(|Y_n-p|\\geq 0.01)\\leq 0.01\$. Or par\nla question 2., avec \$a=0.01\$, on a\nl’inégalité: \\[\\prob(|Y_n-p|\\geq a)\\leq\n\\frac{\\sigma^2(Y_n)}{a^2}\\leq \\frac{1}{4n\\times(0.01)^2}.\\] On\nprend donc \$n\$ tel que \$\\frac{1}{4n\\times (0.01)^2}\\leq 0.01\$,\nc’est-à-dire \$n\\geq 250\\ 000\$.

\n" } }, { "id": "ad4aabb4-eff7-411f-8093-80b6539edebd", "type": "question", "value": { "latex": "Parmi $\\nombre{250000}$ naissances, combien faut-il, au minimum, observer de naissances de filles pour conclure avec $99$\\% de chances de ne pas se tromper, qu'il naît plus de filles que de garçons ?", "html": "

Parmi \$\\nombre{250000}\$\nnaissances, combien faut-il, au minimum, observer de naissances de\nfilles pour conclure avec \$99\$% de\nchances de ne pas se tromper, qu’il naît plus de filles que de garçons\n?

\n" } }, { "id": "d7e90e1b-0741-46d8-b986-0ac9455bae22", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par la question 3., on sait que $\\prob(p\\in[Y_n-0.01;Y_n+0.01])\\geq 0.99$. \\\\\n\t\tSoit $X_0$ le nombre de filles observées.\n\t\tAvec moins de $1$\\% de chances de se tromper, on veut que $p>\\frac{1}{2}$, c'est-à-dire $\\frac{X_0}{n}-0.01>\\frac{1}{2}$, donc $X_0>125\\ 250$. \\\\\n\t\tIl faut donc observer au minimum $500$ filles de plus que de garçons pour être sûr à $99$\\% qu'il y a plus de filles que de garçons.", "html": "

Par la question 3., on sait que \$\\prob(p\\in[Y_n-0.01;Y_n+0.01])\\geq\n0.99\$.
\nSoit \$X_0\$ le nombre de filles\nobservées. Avec moins de \$1\$% de\nchances de se tromper, on veut que \$p>\\frac{1}{2}\$, c’est-à-dire \$\\frac{X_0}{n}-0.01>\\frac{1}{2}\$, donc\n\$X_0>125\\ 250\$.
\nIl faut donc observer au minimum \$500\$ filles de plus que de garçons pour\nêtre sûr à \$99\$% qu’il y a plus de\nfilles que de garçons.

\n" } } ] }, { "uuid": "gl15", "titre": "Estimation par inégalité", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:36.810Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:36.810Z" }, "contenu": [ { "id": "d9324887-6f95-4c98-ae5f-8a29deb98276", "type": "description", "value": { "latex": "Une population de personnes doit voter à l'élection présidentielle. La proportion souhaitant voter pour la candidate Mme A. est inconnue, on la note $p$. Pour approcher cette valeur, on effectue un sondage sur $n$ personnes : l'échantillon est modélisé par une suite de variables aléatoires indépendantes $(X_1,...,X_n)$ suivant chacune une loi de Bernoulli de paramètre $p$ ($X_i=1$ si le $i$-ème individu souhaite voter pour Mme A., $X_i=0$ sinon). \n\nOn note $S_n=\\sum_{i=1}^n X_i$ de sorte que $\\frac{S_n}{n}$ représente la proportion de personnes votant pour Mme A. dans l'échantillon.", "html": "

Une population de personnes doit voter à l’élection présidentielle.\nLa proportion souhaitant voter pour la candidate Mme A. est inconnue, on\nla note \$p\$. Pour approcher cette\nvaleur, on effectue un sondage sur \$n\$ personnes : l’échantillon est modélisé\npar une suite de variables aléatoires indépendantes \$(X_1,...,X_n)\$ suivant chacune une loi de\nBernoulli de paramètre \$p\$ (\$X_i=1\$ si le \$i\$-ème individu souhaite voter pour Mme\nA., \$X_i=0\$ sinon).

On note \$S_n=\\sum_{i=1}^n X_i\$ de\nsorte que \$\\frac{S_n}{n}\$ représente\nla proportion de personnes votant pour Mme A. dans l’échantillon.

\n" } }, { "id": "7463b076-b4c6-476a-899b-037f46f15814", "type": "question", "value": { "latex": "Quelle est la loi suivie par $S_n$ ?", "html": "

Quelle est la loi suivie par \$S_n\$\n?

\n" } }, { "id": "3ac41668-ed62-498a-b7bb-c319f09596b7", "type": "reponse", "value": { "latex": "$S_n$ suit une loi binomiale $\\mathcal{B}(n,p)$.", "html": "

\$S_n\$ suit une loi binomiale \$\\mathcal{B}(n,p)\$.

\n" } }, { "id": "2617f7ca-d835-4195-b720-911f13563047", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer l'espérance et la variance de $\\frac{S_n}{n}$.", "html": "

Déterminer l’espérance et la variance de \$\\frac{S_n}{n}\$.

\n" } }, { "id": "d48df5ff-7e30-4b02-b0dd-43432391e777", "type": "reponse", "value": { "latex": "On en déduit que $\\mathbb{E}(S_n)=np$ et $V(S_n)=np(1-p)$. D'après les propriétés de l'espérance et de la variance, on en déduit que $\\mathbb{E}\\left(\\frac{S_n}{n}\\right)=p$ et $V\\left(\\frac{S_n}{n}\\right)=\\frac{p(1-p)}{n}$.", "html": "

On en déduit que \$\\mathbb{E}(S_n)=np\$ et \$V(S_n)=np(1-p)\$. D’après les propriétés de\nl’espérance et de la variance, on en déduit que \$\\mathbb{E}\\left(\\frac{S_n}{n}\\right)=p\$ et\n\$V\\left(\\frac{S_n}{n}\\right)=\\frac{p(1-p)}{n}\$.

\n" } }, { "id": "8a6ab4a5-eaaa-4824-9989-4e22046c9c95", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $\\varepsilon >0$. Démontrer que \n\t$$\\PP\\left(\\left| \\frac{S_n}{n}-p \\right| > \\varepsilon \\right) \\leq \\frac{1}{4n\\varepsilon^2}$$", "html": "

Soit \$\\varepsilon >0\$.\nDémontrer que \\[\\PP\\left(\\left|\n\\frac{S_n}{n}-p \\right| > \\varepsilon \\right) \\leq\n\\frac{1}{4n\\varepsilon^2}\\]

\n" } }, { "id": "b5649f4a-b79e-4bfd-9531-d886a4031b6c", "type": "reponse", "value": { "latex": "D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, \n\t$$\\PP\\left(\\left| \\frac{S_n}{n}-p \\right| > \\varepsilon \\right) \\leq \\frac{p(1-p)}{n\\varepsilon^2}$$\n\tet on conclut en remarquant que $p(1-p) \\leq \\frac{1}{4}$.", "html": "

D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, \\[\\PP\\left(\\left| \\frac{S_n}{n}-p \\right| >\n\\varepsilon \\right) \\leq \\frac{p(1-p)}{n\\varepsilon^2}\\] et on\nconclut en remarquant que \$p(1-p) \\leq\n\\frac{1}{4}\$.

\n" } }, { "id": "e685e806-b844-4d11-932d-bef6a5cd1a2d", "type": "question", "value": { "latex": "Comment choisir la taille de l'échantillon de sorte que le résultat du sondage soit proche de $p$ à $\\varepsilon=0.05$ près avec une probabilité supérieure à $95\\%$ ?", "html": "

Comment choisir la taille de l’échantillon de sorte que le résultat\ndu sondage soit proche de \$p\$ à \$\\varepsilon=0.05\$ près avec une\nprobabilité supérieure à \$95\\%\$ ?

\n" } }, { "id": "f5cac5c1-5b70-4277-b6ce-97891c601b1f", "type": "reponse", "value": { "latex": "Il faut choisir $n$ tel que $\\frac{1}{4} n \\varepsilon^2 \\leq 0.05$, on peut prendre $n=2000$.", "html": "

Il faut choisir \$n\$ tel que \$\\frac{1}{4} n \\varepsilon^2 \\leq 0.05\$, on\npeut prendre \$n=2000\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "ptxH", "titre": "Estimation par inégalité", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:22:46.948Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:46.948Z" }, "contenu": [ { "id": "b09fd670-df92-4b04-81e1-a8587e28077b", "type": "description", "value": { "latex": "On sait qu'une personne sur cent est dyslexique. Lors des journées \"citoyens\", on détecte ce problème. Sur $n$ jeunes examinés, on note $Y_n$ la proportion de dyslexiques.", "html": "

On sait qu’une personne sur cent est dyslexique. Lors des journées\n\"citoyens\", on détecte ce problème. Sur \$n\$ jeunes examinés, on note \$Y_n\$ la proportion de dyslexiques.

\n" } }, { "id": "9fce44b1-9ae5-46de-836d-f6b82da0945f", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer l'espérance et la variance de $Y_n$: on introduira la variable $X_n$ comptant le nombre de dyslexiques parmi les $n$ jeunes.", "html": "

Calculer l’espérance et la variance de \$Y_n\$: on introduira la variable \$X_n\$ comptant le nombre de dyslexiques\nparmi les \$n\$ jeunes.

\n" } }, { "id": "ecd7aadf-e52f-4133-9f69-40c36370260c", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $X_n\\sim \\mathcal{B}(n,0.01)$. Ainsi, $\\E(X_n)=0.01\\times n$ et $\\sigma^2(X)=0.01\\times 0.09 \\times n$. \\\\\n\t\t\tComme $Y_n=\\frac{X_n}{n}$ donc $\\E(Y_n)=\\frac{1}{n}\\E(X_n)=0.01$ et $\\sigma^2(Y_n)=\\frac{1}{n^2}\\sigma^2(X_n)=\\frac{0.0099}{n}$.", "html": "

On a \$X_n\\sim\n\\mathcal{B}(n,0.01)\$. Ainsi, \$\\E(X_n)=0.01\\times n\$ et \$\\sigma^2(X)=0.01\\times 0.09 \\times\nn\$.
\nComme \$Y_n=\\frac{X_n}{n}\$ donc \$\\E(Y_n)=\\frac{1}{n}\\E(X_n)=0.01\$ et \$\\sigma^2(Y_n)=\\frac{1}{n^2}\\sigma^2(X_n)=\\frac{0.0099}{n}\$.

\n" } }, { "id": "4991d2f1-8408-4944-993b-adfcea22e274", "type": "question", "value": { "latex": "Trouver un entier $n$ tel que la probabilité que $0.009\\leq Y_n\\leq 0.011$ soit supérieure à $0.9$.", "html": "

Trouver un entier \$n\$ tel que la\nprobabilité que \$0.009\\leq Y_n\\leq\n0.011\$ soit supérieure à \$0.9\$.

\n" } }, { "id": "841a2043-3924-445d-88d2-d69e4837abf2", "type": "reponse", "value": { "latex": "On cherche $n$ tel que $\\prob(0.009\\leq Y_n\\leq 0.011)\\geq 0.9$. On a\n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\prob(0.009\\leq Y_n\\leq 0.011)&=\\prob(-0.001\\leq Y_n-0.01\\leq 0.001) \\\\\n\t\t\t&= \\prob(|Y_n-0.01|\\leq 0.001) \\\\\n\t\t\t&= 1-\\prob(|Y_n-0.01|\\geq 0.001).\n\t\t\t\\end{align*}$$\n\t\t\tOn cherche donc $n$ tel que \n\t\t\t\\[\\prob(|Y_n-0.01|\\geq 0.001)\\leq 0.1.\\]\n\t\t\tOr par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a\n\t\t\t\\[\\prob(|Y_n-0.01|\\geq 0.001)\\leq \\frac{\\sigma^2(Y_n)}{(0.001)^2}=\\frac{\\nombre{9900}}{n}.\\]\n\t\t\tSi on impose que \n\t\t\t\\[ \\frac{\\nombre{9900}}{n}\\leq 0.10, \\]\n\t\t\ton obtient bien $\\prob(|Y_n-0.01|\\geq 0.001)\\leq 0.1$.\n\t\t\tIl faut donc que \n\t\t\t\\[ n\\geq \\frac{\\nombre{9900}}{0.1}=\\nombre{99000}.\n\t\t\t\\]\n\t\t\tOn en conclut qu'il faut au moins examinés $\\nombre{99000}$ jeunes pour avoir, dans $90$\\% des cas, une proportion de dyslexiques comprise entre $0.9$\\% et $1.1$\\%.", "html": "

On cherche \$n\$ tel que \$\\prob(0.009\\leq Y_n\\leq 0.011)\\geq 0.9\$.\nOn a \\[\\begin{align*}\n \\prob(0.009\\leq Y_n\\leq 0.011)&=\\prob(-0.001\\leq\nY_n-0.01\\leq 0.001) \\\\\n &= \\prob(|Y_n-0.01|\\leq 0.001) \\\\\n &= 1-\\prob(|Y_n-0.01|\\geq 0.001).\n \\end{align*}\\] On cherche donc \$n\$ tel que \\[\\prob(|Y_n-0.01|\\geq 0.001)\\leq 0.1.\\] Or\npar l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a \\[\\prob(|Y_n-0.01|\\geq 0.001)\\leq\n\\frac{\\sigma^2(Y_n)}{(0.001)^2}=\\frac{\\nombre{9900}}{n}.\\] Si on\nimpose que \\[\\frac{\\nombre{9900}}{n}\\leq\n0.10,\\] on obtient bien \$\\prob(|Y_n-0.01|\\geq 0.001)\\leq 0.1\$. Il\nfaut donc que \\[n\\geq\n\\frac{\\nombre{9900}}{0.1}=\\nombre{99000}.\\] On en conclut qu’il\nfaut au moins examinés \$\\nombre{99000}\$ jeunes pour avoir, dans\n\$90\$% des cas, une proportion de\ndyslexiques comprise entre \$0.9\$% et\n\$1.1\$%.

\n" } } ] }, { "uuid": "JABn", "titre": "Estimation par intervalle de confiance", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:22:11.497Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:11.497Z" }, "contenu": [ { "id": "a63e5942-fe29-40b9-9034-d5522aa66e91", "type": "description", "value": { "latex": "Le tableau suivant donne la répartition de 10 000 personnes en fonction de leur groupe sanguin et de leur facteur Rhésus. \n\n\\begin{center}\n\t\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\n\t\t\\hline & O & A & B & AB \\\\ \n\t\t\\hline Rh+ & 3500 & 3800 & 900 & 170 \\\\ \n\t\t\\hline Rh- & 700 & 700 & 200 & 30 \\\\ \n\t\t\\hline \n\t\\end{tabular} \n\\end{center}", "html": "

Le tableau suivant donne la répartition de 10 000 personnes en\nfonction de leur groupe sanguin et de leur facteur Rhésus.

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

	O	A	B	AB
Rh+	3500	3800	900	170
Rh-	700	700	200	30

\n" } }, { "id": "3308f163-2f30-4859-a8cd-68f6d20ec536", "type": "question", "value": { "latex": "Les deux caractères \\og groupe sanguin \\fg{} et \\og facteur Rhésus \\fg{} sont-ils indépendants ?", "html": "

Les deux caractères groupe sanguin et facteur Rhésus sont-ils\nindépendants ?

\n" } }, { "id": "bf6f081f-3040-4901-a4cd-257de014c0f8", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\href{https://stcyrterrenetdefensegouvf-my.sharepoint.com/:x:/g/personal/maxime_nguyen_st-cyr_terre-net_defense_gouv_fr/EYlCPJY62BdMpTYscg1T6zABc9_WCIR_pzt6XSOajALYhw?e=kf80uR&nav=MTVfezAwMDAwMDAwLTAwMDEtMDAwMC0wMzAwLTAwMDAwMDAwMDAwMH0}{Lien vers tableur}", "html": "

Lien\nvers tableur

\n" } } ] }, { "uuid": "Xvzc", "titre": "Estimation par intervalle de confiance", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:22:25.413Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:25.413Z" }, "contenu": [ { "id": "98def235-8bc8-4610-9dd2-71a4cc9a3cb0", "type": "description", "value": { "latex": "On s'intéresse au taux de glucose dans une population de 768 patients atteints de diabète. On note $m$ le taux moyen de glucose dans cette population et à $\\sigma$ son écart type.", "html": "

On s’intéresse au taux de glucose dans une population de 768 patients\natteints de diabète. On note \$m\$ le\ntaux moyen de glucose dans cette population et à \$\\sigma\$ son écart type.

\n" } }, { "id": "6c32f92b-1d1f-41d0-b35d-266a9a761358", "type": "question", "value": { "latex": "Donner une estimation de $m$ à l'aide de l'échantillon fourni \\href{https://moodle.st-cyr.terre.defense.gouv.fr/moodle/mod/resource/view.php?id=44475}{en suivant ce lien}, en précisant la taille de l'échantillon donné et l'estimateur choisi.", "html": "

Donner une estimation de \$m\$ à\nl’aide de l’échantillon fourni en\nsuivant ce lien, en précisant la taille de l’échantillon donné et\nl’estimateur choisi.

\n" } }, { "id": "fffb0dd8-9cf8-45d1-ad7c-d96b9b31d125", "type": "question", "value": { "latex": "Avec l'échantillon de taille 40 dont la réalisation est fournie, on obtient avec l'estimateur de moyenne empirique (non biaisé) l'estimation $\\overline{x} = 124{,}35$.", "html": "

Avec l’échantillon de taille 40 dont la réalisation est fournie, on\nobtient avec l’estimateur de moyenne empirique (non biaisé) l’estimation\n\$\\overline{x} = 124{,}35\$.

\n" } }, { "id": "5383489e-a76d-4fd1-a959-8bdb1a4a45c3", "type": "question", "value": { "latex": "Donner une estimation de $m$ par intervalle de confiance au niveau $95\\%$ et $99\\%$, en donnant les valeurs numériques des calculs intermédiaires.", "html": "

Donner une estimation de \$m\$ par\nintervalle de confiance au niveau \$95\\%\$ et \$99\\%\$, en donnant les valeurs numériques\ndes calculs intermédiaires.

\n" } }, { "id": "70e6788e-6bda-4d9b-be80-bff3c46fc3ba", "type": "reponse", "value": { "latex": "On utilise la formule du cours : $$I_{conf}(\\overline{X})=\\left[\\overline{X}-u_{\\alpha/2} \\frac{S}{\\sqrt{n}}~;~\\overline{X} + u_{\\alpha/2} \\frac{S}{\\sqrt{n}} \\right]$$\n\tavec $\\overline{x} = 124{,}35$, $s = 30{,}0994505$ et $n=40$. \n\t\n\tPour $\\alpha=0.05$, on obtient : $I_{conf} = [115{,}022255 ; 133{,}677745]$\n\t\n\tPour $\\alpha=0.01$, on obtient : $I_{conf} = [112{,}0912651 ; 136{,}6087349]$", "html": "

On utilise la formule du cours : \\[I_{conf}(\\overline{X})=\\left[\\overline{X}-u_{\\alpha/2}\n\\frac{S}{\\sqrt{n}}~;~\\overline{X} + u_{\\alpha/2} \\frac{S}{\\sqrt{n}}\n\\right]\\] avec \$\\overline{x} =\n124{,}35\$, \$s = 30{,}0994505\$\net \$n=40\$.

Pour \$\\alpha=0.05\$, on obtient :\n\$I_{conf} = [115{,}022255 ;\n133{,}677745]\$

Pour \$\\alpha=0.01\$, on obtient :\n\$I_{conf} = [112{,}0912651 ;\n136{,}6087349]\$

\n" } }, { "id": "51f74c68-677b-4efa-8091-06fbd3e68cf4", "type": "question", "value": { "latex": "Le fichier \\href{https://github.com/smaxx73/Exercices/blob/main/data/diabetes-1.csv}{\"diabetes.csv\"} contient les données des 768 patients. Convertir les données pour pouvoir les afficher avec le tableur et donner la valeur réelle de $m$. Quel niveau de confiance avait-on besoin de prendre, a posteriori, pour que l'intervalle de confiance de la question précédente contienne bien la valeur recherchée ?", "html": "

Le fichier \"diabetes.csv\"\ncontient les données des 768 patients. Convertir les données pour\npouvoir les afficher avec le tableur et donner la valeur réelle de \$m\$. Quel niveau de confiance avait-on\nbesoin de prendre, a posteriori, pour que l’intervalle de confiance de\nla question précédente contienne bien la valeur recherchée ?

\n" } }, { "id": "40fc6a26-d900-43ee-84c6-0cbd192363d0", "type": "reponse", "value": { "latex": "Dans la population totale, on trouve $m = 120{,}8945313$. Pour que $I_conf$ ne contienne pas cette valeur, il faudrait que $\\overline{X}-u_{\\alpha/2} \\frac{S}{\\sqrt{n}} > m$ soit $(\\overline{X}-m)\\frac{\\sqrt{n}}{S} > u_{\\alpha/2}$ soit $u_{\\alpha/2} < 0.726$ soit $\\alpha \\geq 0,467795957$.", "html": "

Dans la population totale, on trouve \$m =\n120{,}8945313\$. Pour que \$I_conf\$ ne contienne pas cette valeur, il\nfaudrait que \$\\overline{X}-u_{\\alpha/2}\n\\frac{S}{\\sqrt{n}} > m\$ soit \$(\\overline{X}-m)\\frac{\\sqrt{n}}{S} >\nu_{\\alpha/2}\$ soit \$u_{\\alpha/2} <\n0.726\$ soit \$\\alpha \\geq\n0,467795957\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "f4qb", "titre": "Estimation par intervalle de confiance", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:22:34.918Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:34.918Z" }, "contenu": [ { "id": "e288507f-00cf-4e4f-af0c-e5614480b457", "type": "description", "value": { "latex": "On trouve dans le fichier \\texttt{TP\\_norm1.xls} 15 tirages indépendants d'une variable aléatoire suivant une loi normale.", "html": "

On trouve dans le fichier TP_norm1.xls 15 tirages\nindépendants d’une variable aléatoire suivant une loi normale.

\n" } }, { "id": "7458ef47-7f6b-43aa-90c6-a4228a19e114", "type": "question", "value": { "latex": "Donner une estimation par intervalle de confiance (avec différents niveaux de confiance) de la moyenne et l'écart type de cette loi.", "html": "

Donner une estimation par intervalle de confiance (avec différents\nniveaux de confiance) de la moyenne et l’écart type de cette loi.

\n" } }, { "id": "b63f061d-ece6-4472-9e9a-deb6be3baef2", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\href{https://stcyrterrenetdefensegouvf-my.sharepoint.com/:x:/g/personal/maxime_nguyen_st-cyr_terre-net_defense_gouv_fr/EYlCPJY62BdMpTYscg1T6zABc9_WCIR_pzt6XSOajALYhw?e=4IOvfq&nav=MTVfezAwMDAwMDAwLTAwMDEtMDAwMC0wMTAwLTAwMDAwMDAwMDAwMH0}{Lien vers tableur}", "html": "

Lien\nvers tableur

\n" } } ] }, { "uuid": "nhpq", "titre": "Estimation par intervalle de confiance", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:22:44.873Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:44.873Z" }, "contenu": [ { "id": "35425cdb-50f8-4e06-b6b3-eada2f84866a", "type": "description", "value": { "latex": "Dans une base militaire, un nouveau type de radio est en cours de test pour évaluer sa fiabilité en conditions opérationnelles. Un échantillon de 150 radios a été testé durant un exercice, et il a été constaté que 135 de ces radios ont fonctionné sans défaillance tout au long de l'exercice.", "html": "

Dans une base militaire, un nouveau type de radio est en cours de\ntest pour évaluer sa fiabilité en conditions opérationnelles. Un\néchantillon de 150 radios a été testé durant un exercice, et il a été\nconstaté que 135 de ces radios ont fonctionné sans défaillance tout au\nlong de l’exercice.

\n" } }, { "id": "5684969e-f62f-49de-bfd2-6a59f4d8c95f", "type": "question", "value": { "latex": "Donner une estimation de la proportion de ces nouvelles radios fonctionnant sans défaillance, en précisant l'estimateur utilisé et son biais.", "html": "

Donner une estimation de la proportion de ces nouvelles radios\nfonctionnant sans défaillance, en précisant l’estimateur utilisé et son\nbiais.

\n" } }, { "id": "d3a929ba-ce17-46da-87bd-92674034631d", "type": "reponse", "value": { "latex": "On utilise l'estimateur de fréquence empirique $F = \\frac{1}{150}\\sum_{i=1}^{150} X_i$ avec $X_i \\sim \\mathcal{B}(p)$, sans biais pour estimer la proportion $p$ de radios sans défaillance : sa réalisation ici est $p_{obs} = \\frac{130}{150} = 0{,}90$.", "html": "

On utilise l’estimateur de fréquence empirique \$F = \\frac{1}{150}\\sum_{i=1}^{150} X_i\$\navec \$X_i \\sim \\mathcal{B}(p)\$, sans\nbiais pour estimer la proportion \$p\$\nde radios sans défaillance : sa réalisation ici est \$p_{obs} = \\frac{130}{150} = 0{,}90\$.

\n" } }, { "id": "cd61f35f-b1cc-4dc0-aecb-43ccde17c5e4", "type": "question", "value": { "latex": "Donner cette estimation à l'aide d'un intervalle de confiance à 90\\%, 95\\% et 99\\%.", "html": "

Donner cette estimation à l’aide d’un intervalle de confiance à 90%,\n95% et 99%.

\n" } }, { "id": "e65c2227-90a9-49a4-b344-6df7bfc09147", "type": "reponse", "value": { "latex": "On utilise la formule du cours : \n\t\t$$I_{conf}(F(\\omega))=\\left[f_{obs}-u_{\\alpha/2} \\sqrt{\\frac{f_{obs}(1-f_{obs})}{n}} ~;~ f_{obs} + u_{\\alpha/2} \\sqrt{\\frac{f_{obs}(1-f_{obs})}{n}} \\right]$$\n\tavec $\\alpha = 0.1$ : $I_{conf} = [0,859709479 ; 0,940290521]$\n\t\n\t\tavec $\\alpha = 0.05$ : $I_{conf} = [0,851990883 ; 0,948009117]$\n\t\t\n\t\tavec $\\alpha = 0.01$ : $I_{conf} = [0,836905325 ; 0,963094675]$", "html": "

On utilise la formule du cours : \\[I_{conf}(F(\\omega))=\\left[f_{obs}-u_{\\alpha/2}\n\\sqrt{\\frac{f_{obs}(1-f_{obs})}{n}} ~;~ f_{obs} + u_{\\alpha/2}\n\\sqrt{\\frac{f_{obs}(1-f_{obs})}{n}} \\right]\\] avec \$\\alpha = 0.1\$ : \$I_{conf} = [0,859709479 ;\n0,940290521]\$

avec \$\\alpha = 0.05\$ : \$I_{conf} = [0,851990883 ;\n0,948009117]\$

avec \$\\alpha = 0.01\$ : \$I_{conf} = [0,836905325 ;\n0,963094675]\$

\n" } }, { "id": "ed65c6f9-5bd8-47cd-ac95-f10cc3181097", "type": "question", "value": { "latex": "Quelle taille d'échantillon devrait-on choisir pour que l'amplitude de l'intervalle de confiance ne dépasse pas $0.01$ avec une erreur de première espèce de $5\\%$ ?", "html": "

Quelle taille d’échantillon devrait-on choisir pour que l’amplitude\nde l’intervalle de confiance ne dépasse pas \$0.01\$ avec une erreur de première espèce\nde \$5\\%\$ ?

\n" } }, { "id": "018d73c3-446b-4374-b8b2-1b673943715c", "type": "reponse", "value": { "latex": "On utilise la formule simplifiée du cours : \n\t\t$$I_{conf}(F(\\omega))=\\left[ f_{obs}-u_{\\alpha/2} \\frac{1}{2 \\sqrt{n}} ~;~ f_{obs} + u_{\\alpha/2} \\frac{1}{2 \\sqrt{n}} \\right]$$\n\tet on cherche $n$ tel que $u_{\\alpha/2} \\frac{1}{\\sqrt{n}} \\leq 0.01 \\iff \\sqrt{n} \\geq \\frac{1.96}{0.01}$ soit $n \\geq 38415$.", "html": "

On utilise la formule simplifiée du cours : \\[I_{conf}(F(\\omega))=\\left[ f_{obs}-u_{\\alpha/2}\n\\frac{1}{2 \\sqrt{n}} ~;~ f_{obs} + u_{\\alpha/2} \\frac{1}{2 \\sqrt{n}}\n\\right]\\] et on cherche \$n\$\ntel que \$u_{\\alpha/2} \\frac{1}{\\sqrt{n}} \\leq\n0.01 \\iff \\sqrt{n} \\geq \\frac{1.96}{0.01}\$ soit \$n \\geq 38415\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "y9mx", "titre": "Etude d'estimateur", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:57.439Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:57.439Z" }, "contenu": [ { "id": "9107ba23-4343-4ed6-8c76-de3891605497", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli $\\mathcal{B}(p)$ où $p \\in ]0;1[$. On considère un $n$-échantillon de $X$ et on note $\\overline{X}$ sa moyenne empirique. On pose $Y = n\\overline{X}$.", "html": "

Soit \$X\$ une variable aléatoire\nsuivant une loi de Bernoulli \$\\mathcal{B}(p)\$ où \$p \\in ]0;1[\$. On considère un \$n\$-échantillon de \$X\$ et on note \$\\overline{X}\$ sa moyenne empirique. On\npose \$Y = n\\overline{X}\$.

\n" } }, { "id": "78f11a05-f934-4085-922a-66cc41afea8c", "type": "question", "value": { "latex": "Exprimer $\\mathbb{E}(Y)$ et $\\mathbb{E}(Y^2)$ en fonction de $n$ et $p$.", "html": "

Exprimer \$\\mathbb{E}(Y)\$ et \$\\mathbb{E}(Y^2)\$ en fonction de \$n\$ et \$p\$.

\n" } }, { "id": "2de548f7-b712-41d5-98f0-2ffb139bc8f4", "type": "reponse", "value": { "latex": "On considère $Y = n\\overline{X} = \\sum_{i=1}^n X_i$ : par définition, $Y$ suit une loi binomiale $\\mathcal{B}(n,p)$, ce qui permet d'affirmer que $\\mathbb{E}(Y) = np$ et $V(Y) = np(1-p)$. Or on sait que $V(Y) = \\mathbb{E}(Y^2)-(\\mathbb{E}(Y))^2$, donc $\\mathbb{E}(Y^2) = np(1-p)+(np)^2 = np(1+p(n-1))$", "html": "

\n" } }, { "id": "dc331545-c804-49ea-afd0-8a539866248c", "type": "question", "value": { "latex": "On pose $Z = \\overline{X}^2$. Peut-on dire que $Z$ est un estimateur sais biais de $p^2$ ?", "html": "

On pose \$Z = \\overline{X}^2\$.\nPeut-on dire que \$Z\$ est un\nestimateur sais biais de \$p^2\$ ?

\n" } }, { "id": "cd3d84a5-608f-478e-b774-52c1109a0cbe", "type": "reponse", "value": { "latex": "En voyant la variable $Z$ comme un estimateur de $p^2$, on va calculer son biais $B(Z)=\\mathbb{E}(Z-p^2) = \\mathbb{E}(Z)-p^2$. Or $\\mathbb{E}(Z) = \\mathbb{E}\\left(\\left(\\frac{1}{n}Y\\right)^2\\right) = \\frac{1}{n^2}\\mathbb{E}(Y^2) = \\frac{p}{n} + p^2 \\frac{n-1}{n} \\neq p^2$ donc $B(Z) \\neq 0$.", "html": "

\n" } }, { "id": "75d6a2f9-8af5-4c0d-9b88-42b546951b4b", "type": "question", "value": { "latex": "On pose $T = \\frac{Y(Y-1)}{n(n-1)}$. Vérifier que $T$ est un estimateur sans biais de $p^2$.", "html": "

On pose \$T =\n\\frac{Y(Y-1)}{n(n-1)}\$. Vérifier que \$T\$ est un estimateur sans biais de \$p^2\$.

\n" } }, { "id": "9ba7c240-484f-4d54-b1f4-e13573a9d741", "type": "reponse", "value": { "latex": "En revanche, $\\mathbb{E}(T) = \\frac{1}{n(n-1)}\\mathbb{E}(Y(Y-1)) = \\frac{1}{n(n-1)}(np(1+(n-1)p)-np) = p^2$ donc $T$ est un estimateur non biaisé de la valeur $p^2$.", "html": "

En revanche, \$\\mathbb{E}(T) =\n\\frac{1}{n(n-1)}\\mathbb{E}(Y(Y-1)) = \\frac{1}{n(n-1)}(np(1+(n-1)p)-np) =\np^2\$ donc \$T\$ est un\nestimateur non biaisé de la valeur \$p^2\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "XtkF", "titre": "Etude d'extrema", "theme": [ "calcul différentiel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:25.261Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:25.261Z" }, "contenu": [ { "id": "b74540df-4616-4519-aa42-ced4c6802bec", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $K = \\{(x,y)\\in \\R^2 \\mid x^2+y^2 \\leq 16\\}$. Pour tout $(x,y) \\in K$, on pose \n\t$$f(x,y) = \\sqrt{x^2+y^2}+x^2-3$$", "html": "

Soit \$K = \\{(x,y)\\in \\R^2 \\mid x^2+y^2\n\\leq 16\\}\$. Pour tout \$(x,y) \\in\nK\$, on pose \\[f(x,y) =\n\\sqrt{x^2+y^2}+x^2-3\\]

\n" } }, { "id": "d7bfd358-a74b-4132-91c3-55f837a9b099", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\href{https://www.geogebra.org/3d/e8thkac8}{graphe de la fonction f}", "html": "

graphe de la fonction\nf

\n" } }, { "id": "0c93ece5-3338-4406-baea-6657bffa0ca2", "type": "question", "value": { "latex": "Justifier l'existence d'un minimum et d'un maximum de $f$ sur $K$.", "html": "

Justifier l’existence d’un minimum et d’un maximum de \$f\$ sur \$K\$.

\n" } }, { "id": "d4df6fb8-ea3c-412a-98a3-77b051ecef89", "type": "reponse", "value": { "latex": "$K$ est fermé borné, la fonction $f$ est continue sur $K$ donc d'après le théorème des valeurs extrêmes, $f$ atteint son maximum et son minimum sur $K$.", "html": "

\$K\$ est fermé borné, la fonction\n\$f\$ est continue sur \$K\$ donc d’après le théorème des valeurs\nextrêmes, \$f\$ atteint son maximum et\nson minimum sur \$K\$.

\n" } }, { "id": "9451435a-b097-4b0e-8983-ae7f6d0c8d65", "type": "question", "value": { "latex": "En quels points sont-ils atteints ?", "html": "

En quels points sont-ils atteints ?

\n" } }, { "id": "650a4613-4a4c-4d93-ac5b-016bbbfc85eb", "type": "reponse", "value": { "latex": "On cherche d'abord les points stationnaires dans l'intérieur de $K$ : la fonction $f$ n'est pas dérivable en $(0,0)$, on calcule les dérivées partielles en $(x,y) \\in \\overset{\\circ}{K} \\backslash \\{(0,0)\\} = \\{(x,y)\\in \\R^2 \\mid 0< x^2+y^2 < 16\\} $ :\n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t\t\t\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) = 0\\\\\n\t\t\t\t\t\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) =0\n\t\t\t\t\\end{cases}\n\t\t\t\t\\Leftrightarrow\n\t\t\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t\t\t\\frac{x}{\\sqrt{x^2+y^2}}+2x = 0\\\\\n\t\t\t\t\t\\frac{y}{\\sqrt{x^2+y^2}} =0\n\t\t\t\t\\end{cases}\t\t\n\t\t\t\t\\Leftrightarrow\n\t\t\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t\t\t\\frac{x}{|x|} + 2x = 0\\\\\n\t\t\t\t\ty =0\n\t\t\t\t\\end{cases}\t\t\t\n\t\t\t\\end{align*}$$\nIl n'y a aucune solution à ce système d'équations (si $x>0$ alors $1+2x>0$ et si $x<0$ alors $-1+2x=0$). Donc $f$ n'admet pas de points stationnaires sur $\\overset{\\circ}{K} \\backslash \\{(0,0)\\} $.\n\t\t\t\nLa fonction $f$ n'a donc d'autre choix que d'atteindre ses bornes en $(0,0)$ ou bien sur la frontière du domaine $K$. \n\t\t\t\nOr $f(0,0) = -3$ et pour tout $(x,y) \\in K$, $\\sqrt{x^2+y^2}+x^2 \\geq 0$ donc $f(x,y) \\geq -3 = f(0,0)$. On en déduit que \\fbox{$f$ atteint son minimum en $(0,0)$ et ce minimum vaut $-3$}.\n\t\t\t\nD'autre part, la frontière de $K$ est le cercle d'équation $x^2+y^2=16$, sur lequel $f(x,y) = 1+x^2$. On en déduit que le maximum est atteint si $x \\in \\{-4,4\\}$, ce qui impose $y=0$. Le \\fbox{maximum est donc atteint aux points $(-4,0)$ et $(4,0)$}, la valeur de ce maximum est $17$.", "html": "

On cherche d’abord les points stationnaires dans l’intérieur de \$K\$ : la fonction \$f\$ n’est pas dérivable en \$(0,0)\$, on calcule les dérivées partielles\nen \$(x,y) \\in \\overset{\\circ}{K} \\backslash\n\\{(0,0)\\} = \\{(x,y)\\in \\R^2 \\mid 0< x^2+y^2 < 16\\}\$ :\n\\[\\begin{align*}\n \\begin{cases}\n \\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) = 0\\\\\n \\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) =0\n \\end{cases}\n \\Leftrightarrow\n \\begin{cases}\n \\frac{x}{\\sqrt{x^2+y^2}}+2x = 0\\\\\n \\frac{y}{\\sqrt{x^2+y^2}} =0\n \\end{cases} \n \\Leftrightarrow\n \\begin{cases}\n \\frac{x}{|x|} + 2x = 0\\\\\n y =0\n \\end{cases} \n \\end{align*}\\] Il n’y a aucune solution à ce système\nd’équations (si \$x>0\$ alors \$1+2x>0\$ et si \$x<0\$ alors \$-1+2x=0\$). Donc \$f\$ n’admet pas de points stationnaires sur\n\$\\overset{\\circ}{K} \\backslash\n\\{(0,0)\\}\$.

La fonction \$f\$ n’a donc d’autre\nchoix que d’atteindre ses bornes en \$(0,0)\$ ou bien sur la frontière du domaine\n\$K\$.

Or \$f(0,0) = -3\$ et pour tout\n\$(x,y) \\in K\$, \$\\sqrt{x^2+y^2}+x^2 \\geq 0\$ donc \$f(x,y) \\geq -3 = f(0,0)\$. On en déduit que\n.

D’autre part, la frontière de \$K\$\nest le cercle d’équation \$x^2+y^2=16\$, sur lequel \$f(x,y) = 1+x^2\$. On en déduit que le\nmaximum est atteint si \$x \\in\n\\{-4,4\\}\$, ce qui impose \$y=0\$. Le , la valeur de ce maximum est\n\$17\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "zhwJ", "titre": "Etude d'extrema", "theme": [ "calcul différentiel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:58.792Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:58.792Z" }, "contenu": [ { "id": "11b64ba6-d16f-44d7-af67-369dabb5c868", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$ et vérifier que $f$ est de classe $\\mathcal{C}^2$ sur son ensemble de définition.", "html": "

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \$f\$ et vérifier que \$f\$ est de classe \$\\mathcal{C}^2\$ sur son ensemble de\ndéfinition.

\n" } }, { "id": "d00c5b73-4fbc-45d9-9dc3-a180979f235f", "type": "reponse", "value": { "latex": "L'ensemble de définition de $f$ est $D_f = \\{(x,y) \\in \\R^2\\, , \\, x>0, y>0 \\}$", "html": "

L’ensemble de définition de \$f\$\nest \$D_f = \\{(x,y) \\in \\R^2\\, , \\, x>0,\ny>0 \\}\$

\n" } }, { "id": "43160431-e9ab-4321-a384-f998fa019b33", "type": "question", "value": { "latex": "On pose $h(t) = t-\\ln(t)-\\frac{1}{t}$ : déterminer l'ensemble de définition de $h$ et étudier ses variations.", "html": "

On pose \$h(t) =\nt-\\ln(t)-\\frac{1}{t}\$ : déterminer l’ensemble de définition de\n\$h\$ et étudier ses variations.

\n" } }, { "id": "8dd7ad74-5041-43c2-89f4-e3039acd8bc5", "type": "reponse", "value": { "latex": "L'ensemble de définition de $h$ est $D_h = \\{t \\in \\R\\, , \\, t>0\\}= \\R_+^*$. La fonction $h$ est dérivable sur son ensemble de définition et $\\forall t \\in \\R_+^*$ : \n\t\t\t$$h'(t) = 1-\\frac{1}{t}+\\frac{1}{t^2} = \\frac{t^2-t+1}{t^2} = \\frac{(t+1)^2+t}{t^2} > 0$$\n\t\t\tPar conséquent, $h$ est strictement croissante sur $]0;+\\infty[$.", "html": "

L’ensemble de définition de \$h\$\nest \$D_h = \\{t \\in \\R\\, , \\, t>0\\}=\n\\R_+^*\$. La fonction \$h\$ est\ndérivable sur son ensemble de définition et \$\\forall t \\in \\R_+^*\$ : \\[h'(t) = 1-\\frac{1}{t}+\\frac{1}{t^2} =\n\\frac{t^2-t+1}{t^2} = \\frac{(t+1)^2+t}{t^2} > 0\\] Par\nconséquent, \$h\$ est strictement\ncroissante sur \$]0;+\\infty[\$.

\n" } }, { "id": "b8f0ffe4-1bda-4f8b-8749-8cb509237004", "type": "question", "value": { "latex": "Démontrer que $\\mathrm{grad}_f(x,y)=(0,0) \\iff \t\\begin{cases}\n\t\t\th\\left(\\frac{x}{y}\\right) = 0\\\\\n\t\t\t\\frac{x}{y} - \\ln(x) =0\n\t\t\\end{cases}$", "html": "

Démontrer que \$\\mathrm{grad}_f(x,y)=(0,0)\n\\iff \\begin{cases}\n h\\left(\\frac{x}{y}\\right) = 0\\\\\n \\frac{x}{y} - \\ln(x) =0\n \\end{cases}\$

\n" } }, { "id": "b849d917-88c9-49cf-8c2e-6b29d8ded0ac", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\\begin{align*}\n\t\t\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t\t\t\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) = 0\\\\\n\t\t\t\t\t\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) =0\n\t\t\t\t\\end{cases}\n\t\t\t\t\\Leftrightarrow\n\t\t\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t\t\t\\ln(y) - \\frac{y}{x} = 0\\\\\n\t\t\t\t\t\\frac{x}{y} - \\ln(x)=0\n\t\t\t\t\\end{cases}\t\t\n\t\t\t\t\\Leftrightarrow\n\t\t\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t\t\t\\ln(y) - \\ln(x) + \\frac{x}{y} - \\frac{y}{x} = 0 \\\\\n\t\t\t\t\t\\frac{x}{y} - \\ln(x) = 0\n\t\t\t\t\\end{cases}\t\t\n\t\t\t\t\\Leftrightarrow\n\t\t\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t\t\th\\left(\\frac{x}{y}\\right) = 0 \\\\\n\t\t\t\t\t\\frac{x}{y} - \\ln(x) = 0\n\t\t\t\t\\end{cases}\t\t\t\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

\\[\\begin{align*}\n \\begin{cases}\n \\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) = 0\\\\\n \\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) =0\n \\end{cases}\n \\Leftrightarrow\n \\begin{cases}\n \\ln(y) - \\frac{y}{x} = 0\\\\\n \\frac{x}{y} - \\ln(x)=0\n \\end{cases} \n \\Leftrightarrow\n \\begin{cases}\n \\ln(y) - \\ln(x) + \\frac{x}{y} - \\frac{y}{x} =\n0 \\\\\n \\frac{x}{y} - \\ln(x) = 0\n \\end{cases} \n \\Leftrightarrow\n \\begin{cases}\n h\\left(\\frac{x}{y}\\right) = 0 \\\\\n \\frac{x}{y} - \\ln(x) = 0\n \\end{cases} \n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "bfa3f5c5-32f4-40d4-8197-e544aa7738b0", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire l'ensemble des points stationnaires de $f$.", "html": "

En déduire l’ensemble des points stationnaires de \$f\$.

\n" } }, { "id": "1fceda14-07fd-42fa-805b-85646b71b645", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $h$ s'annule une et une seule fois sur son ensemble définition en $t=1$ donc $(x,y)$ est un point stationnaire si et seulement si $x=y=e$. Il existe un unique point stationnaire qui est le point $(e,e)$.", "html": "

La fonction \$h\$ s’annule une et\nune seule fois sur son ensemble définition en \$t=1\$ donc \$(x,y)\$ est un point stationnaire si et\nseulement si \$x=y=e\$. Il existe un\nunique point stationnaire qui est le point \$(e,e)\$.

\n" } }, { "id": "7e4d3151-d874-495a-89c0-b890f9ca64f6", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer l'ensemble des points extrémaux (locaux et globaux) de $f$.", "html": "

Déterminer l’ensemble des points extrémaux (locaux et globaux) de\n\$f\$.

\n" } }, { "id": "09b2b408-c478-42da-8112-65b26c3e339f", "type": "reponse", "value": { "latex": "Il est clair que $f$ n'admet pas d'extremum global. En effet, on peut voir par exemple que $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty}f(x,1) = -\\infty$ et $\\lim\\limits_{y \\to +\\infty}f(1,y) = +\\infty$.\n\t\t\t\n\t\t\tDe plus, au voisinage du point stationnaire $(e,e)$, on peut étudier les conditions du second ordre en formant la matrice hessienne : \n\t\t\t\n\t\t\t$$Hess_f(x,y)=\\begin{pmatrix} \n\t\t\t\t\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x,y) = 1/x^2 & \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y) = 1/y-1/x \\\\\n\t\t\t\t\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x}(x,y) = 1/y-1/x & \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}(x,y) = -1/y^2 \n\t\t\t\\end{pmatrix}$$\n\t\t\td'où \n\t\t\t$$Hess_f(e,e)=\\begin{pmatrix} \n\t\t\t\t1/e^2 & 0 \\\\\n\t\t\t\t0 & -1/e^2 \n\t\t\t\\end{pmatrix}$$\n\t\t\t\n\t\t\tOn a un déterminant négatif, donc le point $(e,e)$ est un point selle.", "html": "

Il est clair que \$f\$ n’admet pas\nd’extremum global. En effet, on peut voir par exemple que \$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty}f(x,1) =\n-\\infty\$ et \$\\lim\\limits_{y \\to\n+\\infty}f(1,y) = +\\infty\$.

De plus, au voisinage du point stationnaire \$(e,e)\$, on peut étudier les conditions du\nsecond ordre en formant la matrice hessienne :

\\[Hess_f(x,y)=\\begin{pmatrix}\n \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x,y) = 1/x^2 &\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y) = 1/y-1/x \\\\\n \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x}(x,y) =\n1/y-1/x & \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}(x,y) = -1/y^2\n \\end{pmatrix}\\] d’où \\[Hess_f(e,e)=\\begin{pmatrix}\n 1/e^2 & 0 \\\\\n 0 & -1/e^2\n \\end{pmatrix}\\]

On a un déterminant négatif, donc le point \$(e,e)\$ est un point selle.

\n" } } ] }, { "uuid": "5hoU", "titre": "Étude d'un domaine de $\\R^2$", "theme": [ "topologie" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:56.319Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:56.319Z" }, "contenu": [ { "id": "0b4f33b3-10bb-47a9-b9f1-8d4157e6fe8d", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\begin{tikzpicture}[scale=1.5]\n\t\t\t\\draw[->] (-2,0) -- (2,0) node[right] {$x$};\n\t\t\t\\draw[->] (0,-2) -- (0,2) node[above] {$y$};\n\t\t\t\\fill[blue!20,domain=0:2,smooth] (2,-2) -- (0,-2) -- (0,0) -- cycle;\n\t\t\t\\draw[blue] (0,0) -- (2,-2) node[midway,left] {$y=-x$};\n\t\t\t\\draw[dashed, blue] (0,0) -- (0,-2);\n\t\t\\end{tikzpicture}", "html": "\n" } }, { "id": "91600e17-9e3d-43c2-ba3e-2a257d8db816", "type": "reponse", "value": { "latex": "$D$ n'est pas ouvert dans $\\R^2$ car par exemple, le point $(1,-1)$ appartient à $D$ mais aucune boule centrée en ce point de peut être contenue dans $D$.", "html": "

\$D\$ n’est pas ouvert dans \$\\R^2\$ car par exemple, le point \$(1,-1)\$ appartient à \$D\$ mais aucune boule centrée en ce point\nde peut être contenue dans \$D\$.

\n" } }, { "id": "32af17c5-3910-4983-83f5-45fe1b325984", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $(0,-1) \\notin D$ par définition de $D$, en revanche on peut définir la suite $(x_k,y_k) = (1/k,-1) \\in D$ qui converge vers $(0,-1)$.", "html": "

On a \$(0,-1) \\notin D\$ par\ndéfinition de \$D\$, en revanche on\npeut définir la suite \$(x_k,y_k) = (1/k,-1)\n\\in D\$ qui converge vers \$(0,-1)\$.

\n" } }, { "id": "0065b993-585f-4e1c-a532-f2fa05a5aab8", "type": "reponse", "value": { "latex": "$D$ n'est pas fermé dans $\\R^2$ car par exemple, le point $(2,-2)$ appartient au complémentaire de $D$ et aucune boule centrée en ce point ne peut être contenue dans le complémentaire de $D$.", "html": "

\$D\$ n’est pas fermé dans \$\\R^2\$ car par exemple, le point \$(2,-2)\$ appartient au complémentaire de\n\$D\$ et aucune boule centrée en ce\npoint ne peut être contenue dans le complémentaire de \$D\$.

\n" } }, { "id": "d28ce33f-5ddc-44df-913c-36d01c4e1a27", "type": "question", "value": { "latex": "Définir le plus grand ensemble $D'$ inclu dans $D$ de sorte que $D'$ soit un ouvert de $\\R^2$.", "html": "

Définir le plus grand ensemble \$D'\$ inclu dans \$D\$ de sorte que \$D'\$ soit un ouvert de \$\\R^2\$.

\n" } }, { "id": "1a9825c1-62f3-46ad-881a-c075ecb91ac9", "type": "reponse", "value": { "latex": "Il suffit d'enlever la droite $x+y=0$ à l'ensemble $D$ pour définir $D' = \\{(x,y) \\in \\R^2 \\, , \\, x > 0 \\, , \\, x+y < 0\\}$.", "html": "

Il suffit d’enlever la droite \$x+y=0\$ à l’ensemble \$D\$ pour définir \$D' = \\{(x,y) \\in \\R^2 \\, , \\, x > 0 \\, , \\,\nx+y < 0\\}\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "U9xy", "titre": "Étude d'un domaine de $\\R^2$", "theme": [ "topologie" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:22.125Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:22.125Z" }, "contenu": [ { "id": "c81aeeb1-dc20-4d82-ab56-2a48f0f38ee8", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\begin{tikzpicture}[scale=1.5]\n\t\t\t\\draw[->] (-2,0) -- (2,0) node[right] {$x$};\n\t\t\t\\draw[->] (0,-2) -- (0,2) node[above] {$y$};\n\t\t\t\\fill[blue!20,domain=0:2,smooth] (2,2) -- (2,0) -- (0,0) -- cycle;\n\t\t\t\\draw[dashed, blue] (0,0) -- (2,2) node[midway,left] {$x=y$};\n\t\t\t\\draw[blue] (0,0) -- (2,0);\n\t\t\\end{tikzpicture}", "html": "\n" } }, { "id": "109598ff-23b7-464b-90de-1e576d824fce", "type": "reponse", "value": { "latex": "$D$ n'est pas ouvert dans $\\R^2$ car par exemple, le point $(1,0)$ appartient à $D$ mais aucune boule centrée en ce point de peut être contenue dans $D$.", "html": "

\$D\$ n’est pas ouvert dans \$\\R^2\$ car par exemple, le point \$(1,0)\$ appartient à \$D\$ mais aucune boule centrée en ce point\nde peut être contenue dans \$D\$.

\n" } }, { "id": "2edb2683-5ce2-408c-83da-d22ade13dadf", "type": "reponse", "value": { "latex": "$D$ n'est pas fermé dans $\\R^2$ car par exemple, le point $(2,2)$ appartient au complémentaire de $D$ et aucune boule centrée en ce point ne peut être contenue dans le complémentaire de $D$.", "html": "

\$D\$ n’est pas fermé dans \$\\R^2\$ car par exemple, le point \$(2,2)\$ appartient au complémentaire de\n\$D\$ et aucune boule centrée en ce\npoint ne peut être contenue dans le complémentaire de \$D\$.

\n" } }, { "id": "1bf49a19-cd01-40c0-b7c1-36e3f904a25c", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $2-2 = 0$ donc $(2,2) \\notin D$, en revanche on peut définir la suite $(x_k,y_k) = (2+1/k,2-1/^k) \\in D$ qui converge vers $(2,2)$.", "html": "

On a \$2-2 = 0\$ donc \$(2,2) \\notin D\$, en revanche on peut\ndéfinir la suite \$(x_k,y_k) = (2+1/k,2-1/^k)\n\\in D\$ qui converge vers \$(2,2)\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "V97L", "titre": "Étude d'un gain", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:22.843Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:22.843Z" }, "contenu": [ { "id": "5d2c0b15-d553-4c93-9d8b-95165de3f6f2", "type": "description", "value": { "latex": "On lance un dé équilibré. On gagne 1 euro si le résultat est pair, on pert 1 euro si le résultat est impair. Ŝoit $n \\geq 1$ le nombre de parties. On note $X$ le nombre le nombre de lancers pairs obtenus au bout de $n$ parties et $G$ le gain obtenu au bout de $n$ parties.", "html": "

On lance un dé équilibré. On gagne 1 euro si le résultat est pair, on\npert 1 euro si le résultat est impair. Ŝoit \$n \\geq 1\$ le nombre de parties. On note\n\$X\$ le nombre le nombre de lancers\npairs obtenus au bout de \$n\$ parties\net \$G\$ le gain obtenu au bout de\n\$n\$ parties.

\n" } }, { "id": "e1b4fd23-b2ad-4e9f-929a-0df7028cd088", "type": "question", "value": { "latex": "Donner la loi de $X$, son espérance et sa variance.", "html": "

Donner la loi de \$X\$, son\nespérance et sa variance.

\n" } }, { "id": "b8d1068e-3b03-45ef-8b08-8b6aad14372d", "type": "reponse", "value": { "latex": "La variable aléatoire $X$ donne le nombre de succès à l'issue de $n$ expériences indépendantes de Bernoulli où le succès est l'obtention d'un résultat pair, de probabilité $p=0.5$. On a donc $X\\sim\\mathcal{B}(n,0.5)$, $\\E(X) = n\\times0.5 = \\frac{n}{2}$ et $\\V(X) = n\\times0.5\\times0.5 = \\frac{n}{4}$.", "html": "

La variable aléatoire \$X\$ donne le\nnombre de succès à l’issue de \$n\$\nexpériences indépendantes de Bernoulli où le succès est l’obtention d’un\nrésultat pair, de probabilité \$p=0.5\$. On a donc \$X\\sim\\mathcal{B}(n,0.5)\$, \$\\E(X) = n\\times0.5 = \\frac{n}{2}\$ et \$\\V(X) = n\\times0.5\\times0.5 =\n\\frac{n}{4}\$.

\n" } }, { "id": "3334d3a1-7b37-40fe-b1a7-ccb6abb61bd7", "type": "question", "value": { "latex": "Exprimer $G$ en fonction de $X$.", "html": "

Exprimer \$G\$ en fonction de \$X\$.

\n" } }, { "id": "ebebbf54-83cb-4053-a30e-9c7a66c8b1d2", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $G = X - (n-X) = 2X-n$.", "html": "

On a \$G = X - (n-X) = 2X-n\$.

\n" } }, { "id": "9a7b8ff9-7843-4979-b59f-1d22199e7863", "type": "question", "value": { "latex": "Exprimer l'événement \\og le gain ou la perte n'excède pas 20 euros \\fg{} en fonction de $X$.", "html": "

Exprimer l’événement le gain ou la perte n’excède pas 20 euros en\nfonction de \$X\$.

\n" } }, { "id": "2729262b-99de-4057-a290-9d133bb6eb6a", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $-20 \\leq G \\leq 20 \\iff -20 \\leq 2X-n \\leq 20 \\iff -10 \\leq X-\\frac{n}{2} \\leq 10$. Donc l'événement considéré est $\\{|X - \\frac{n}{2}| \\leq 10\\}$ ou encore $\\{-10 \\leq X - \\frac{n}{2} \\leq 10\\}$.", "html": "

On a \$-20 \\leq G \\leq 20 \\iff -20 \\leq\n2X-n \\leq 20 \\iff -10 \\leq X-\\frac{n}{2} \\leq 10\$. Donc\nl’événement considéré est \$\\{|X -\n\\frac{n}{2}| \\leq 10\\}\$ ou encore \$\\{-10 \\leq X - \\frac{n}{2} \\leq 10\\}\$.

\n" } }, { "id": "9d6a712f-3213-4719-8b36-26b1f85c17b0", "type": "question", "value": { "latex": "En utilisant le théorème central limite sans correction de continuité, déterminer le nombre maximal de lancers $n$ à effectuer pour que la probabilité de l'événement \\og le gain ou la perte n'excède pas 20 euros \\fg{} soit supérieure à $0.9544$.", "html": "

En utilisant le théorème central limite sans correction de\ncontinuité, déterminer le nombre maximal de lancers \$n\$ à effectuer pour que la probabilité de\nl’événement le gain ou la perte n’excède pas 20 euros soit supérieure à\n\$0.9544\$.

\n" } }, { "id": "4fdb7d2f-d5e8-4690-b555-29c3802f50bb", "type": "reponse", "value": { "latex": "On cherche $n$ tel que $\\prob(|X - \\frac{n}{2}| \\leq 10) \\geq 0.9544$. On sait que $\\E(X) = \\frac{n}{2}$ et $\\V(X) = \\frac{n}{4}$. D'après le théorème central limite, la variable aléatoire $Z = \\frac{X-\\frac{n}{2}}{\\frac{\\sqrt{n}}{2}}$ suit approximativement une loi normale centrée réduite. On a donc : \n $$\\prob(|X - \\frac{n}{2}| \\leq 10) = \\prob\\left(\\frac{|X - \\frac{n}{2}|}{\\frac{\\sqrt{n}}{2}} \\leq \\frac{10}{\\frac{\\sqrt{n}}{2}}\\right) = \\prob\\left(|Z| \\leq \\frac{10}{\\frac{\\sqrt{n}}{2}}\\right)$$\n On cherche donc $n$ tel que $\\prob(|Z| \\leq \\frac{10}{\\frac{\\sqrt{n}}{2}}) = 2 \\times \\Phi(\\frac{10}{\\frac{\\sqrt{n}}{2}}) - 1 = 2 \\times \\Phi(\\frac{20}{\\sqrt{n}}) - 1 \\geq 0.9544$ soit encore $\\Phi(\\frac{20}{\\sqrt{n}}) \\geq 0.9772$.\n\n Par lecture de table, on trouve $\\frac{20}{\\sqrt{n}} \\geq 2$ soit $n \\leq 100$.", "html": "

On cherche \$n\$ tel que \$\\prob(|X - \\frac{n}{2}| \\leq 10) \\geq\n0.9544\$. On sait que \$\\E(X) =\n\\frac{n}{2}\$ et \$\\V(X) =\n\\frac{n}{4}\$. D’après le théorème central limite, la variable\naléatoire \$Z =\n\\frac{X-\\frac{n}{2}}{\\frac{\\sqrt{n}}{2}}\$ suit approximativement\nune loi normale centrée réduite. On a donc : \\[\\prob(|X - \\frac{n}{2}| \\leq 10) =\n\\prob\\left(\\frac{|X - \\frac{n}{2}|}{\\frac{\\sqrt{n}}{2}} \\leq\n\\frac{10}{\\frac{\\sqrt{n}}{2}}\\right) = \\prob\\left(|Z| \\leq\n\\frac{10}{\\frac{\\sqrt{n}}{2}}\\right)\\] On cherche donc \$n\$ tel que \$\\prob(|Z| \\leq \\frac{10}{\\frac{\\sqrt{n}}{2}}) = 2\n\\times \\Phi(\\frac{10}{\\frac{\\sqrt{n}}{2}}) - 1 = 2 \\times\n\\Phi(\\frac{20}{\\sqrt{n}}) - 1 \\geq 0.9544\$ soit encore \$\\Phi(\\frac{20}{\\sqrt{n}}) \\geq\n0.9772\$.

Par lecture de table, on trouve \$\\frac{20}{\\sqrt{n}} \\geq 2\$ soit \$n \\leq 100\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "4Z0U", "titre": "Etude d'un jeu", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:54.766Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:54.766Z" }, "contenu": [ { "id": "8661d843-389f-4c6b-a86f-0554745c861c", "type": "description", "value": { "latex": "Timothée vient d'ouvrir un salon de jeux. Pour l'instant, il n'a installé qu'une roulette et a simplifié le jeu de la manière suivante : on ne peut miser que 1 euro sur 1 seul des numéros (de 0 à 36 ) à la fois. Si le numéro misé sort, le joueur récupère sa mise plus 34 fois celle-ci ; sinon il perd sa mise.", "html": "

Timothée vient d’ouvrir un salon de jeux. Pour l’instant, il n’a\ninstallé qu’une roulette et a simplifié le jeu de la manière suivante :\non ne peut miser que 1 euro sur 1 seul des numéros (de 0 à 36 ) à la\nfois. Si le numéro misé sort, le joueur récupère sa mise plus 34 fois\ncelle-ci ; sinon il perd sa mise.

\n" } }, { "id": "ac74a1b5-6e87-4b4f-b56c-0756f8282307", "type": "description", "value": { "latex": "Camille vient au salon de jeux de Timothée et mise un euro sur le 21 . On note $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique de Camille.", "html": "

Camille vient au salon de jeux de Timothée et mise un euro sur le 21\n. On note \$X\$ la variable aléatoire\ndonnant le gain algébrique de Camille.

\n" } }, { "id": "f910da74-3aa0-4a75-8809-94bbfb8e4ba5", "type": "question", "value": { "latex": "Donner la loi de $X$ .", "html": "

Donner la loi de \$X\$ .

\n" } }, { "id": "2628d98c-88f4-4b0e-a725-190dfd2c619e", "type": "reponse", "value": { "latex": "$X(\\Omega)=\\{-1 ; 34\\}, \\mathbb{P}(X=-1)=\\frac{36}{37}$ et $\\mathbb{P}(X=34)=\\frac{1}{37}$", "html": "

\$X(\\Omega)=\\{-1 ; 34\\},\n\\mathbb{P}(X=-1)=\\frac{36}{37}\$ et \$\\mathbb{P}(X=34)=\\frac{1}{37}\$

\n" } }, { "id": "4ed88dd7-34a3-4e0f-8694-80462e28ffa1", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer l'espérance de $X$.", "html": "

Calculer l’espérance de \$X\$.

\n" } }, { "id": "3f951eba-afe9-4252-998f-fa95c220b9c1", "type": "reponse", "value": { "latex": "Commenter. $-\\frac{2}{37}$", "html": "

Commenter. \$-\\frac{2}{37}\$

\n" } }, { "id": "fe2a9f21-d3e5-4f69-b7c9-a05c8eee00f3", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer l'écart type de $X$.", "html": "

Calculer l’écart type de \$X\$.

\n" } }, { "id": "258706d6-4268-4079-ae75-4aa9e08b3de8", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\frac{210}{37}$", "html": "

\$\\frac{210}{37}\$

\n" } }, { "id": "73f32f96-3fdb-4a4d-a0dc-50608ea3e62b", "type": "description", "value": { "latex": "Timothée s'attend à avoir 5000 mises de un euro effectuées par mois dans son salon de jeux. On note $X_1, X_2, \\ldots, X_{5000}$ les 5000 variables aléatoires représentant les gains algébriques des clients correspondant à 5000 mises de un euro. On suppose les mises et donc les variables $X_1, X_2, \\ldots, X_{5000}$ indépendantes.", "html": "

Timothée s’attend à avoir 5000 mises de un euro effectuées par mois\ndans son salon de jeux. On note \$X_1, X_2,\n\\ldots, X_{5000}\$ les 5000 variables aléatoires représentant les\ngains algébriques des clients correspondant à 5000 mises de un euro. On\nsuppose les mises et donc les variables \$X_1,\nX_2, \\ldots, X_{5000}\$ indépendantes.

\n" } }, { "id": "8eb02727-8ac2-40ec-85f6-f8175a28886a", "type": "question", "value": { "latex": "Donner une approximation de la loi de la variablea léatoire $\\bar{X}_{5000}$.", "html": "

Donner une approximation de la loi de la variablea léatoire \$\\bar{X}_{5000}\$.

\n" } }, { "id": "43f1e08a-c46a-4a7a-937e-b0f4ecad27db", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\bar{X}_{5000} \\underset{a p p r o x}{\\sim} \\mathcal{N}\\left(-\\frac{2}{37} ; \\frac{21 \\sqrt{2}}{370}\\right)$", "html": "

\$\\bar{X}_{5000} \\underset{a p p r o\nx}{\\sim} \\mathcal{N}\\left(-\\frac{2}{37} ; \\frac{21\n\\sqrt{2}}{370}\\right)\$

\n" } }, { "id": "045e690e-5510-4fc3-bd14-64c91da79a9d", "type": "question", "value": { "latex": "Quelle est la probabilité que Timothée et son salon de jeux perdent de l'argent sur 5000 mises ?", "html": "

Quelle est la probabilité que Timothée et son salon de jeux perdent\nde l’argent sur 5000 mises ?

\n" } }, { "id": "028d5269-7fbc-42ef-9826-d02899b077dd", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\simeq 0.25$", "html": "

\$\\simeq 0.25\$

\n" } }, { "id": "21e7e2ba-b816-4315-aaf7-a5f5acee01a5", "type": "question", "value": { "latex": "À partir de combien de mises la probabilité que Timothée et son salon de jeux perdent de l'argent sur ces mises soit inférieure à $5 \\%$ ?", "html": "

À partir de combien de mises la probabilité que Timothée et son salon\nde jeux perdent de l’argent sur ces mises soit inférieure à \$5 \\%\$ ?

\n" } }, { "id": "b567a92b-ca8b-4723-ad56-51aaa3c0a991", "type": "reponse", "value": { "latex": "$29834$", "html": "

\$29834\$

\n" } } ] }, { "uuid": "g9JP", "titre": "Etude d'un schéma à un pas", "theme": [ "analyse numérique" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:36.368Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:36.368Z" }, "contenu": [ { "id": "b0afb4d0-eae3-4dce-8351-9d5d0aa76bb8", "type": "description", "value": { "latex": "Soit l'équation différentielle sur $[0,T]$ :\n$$(E)\t\\begin{cases} \n\ty'(t) = f(t,y(t)) \\\\\n\ty(0) = a,\n\\end{cases} $$\noù\n$$\nf(t,y)=\\cos(t^2+y),\\quad a=0,\\quad T=1.\n$$\n\n\n\nPour approcher la solution de $(E)$, on propose le schéma numérique suivant : \n$h=T/N$, $t_n=nh$, $y_0=a$ et \n$$(S) \\colon y_{n+1} = y_n + \\frac{h}{3}\\left( f(t_n,y_n)+2f\\left(t_n+ \\frac{3h}{4},y_n+\\frac{3h}{4}f(t_n,y_n) \\right) \\right)$$", "html": "

Soit l’équation différentielle sur \$[0,T]\$ : \\[(E) \\begin{cases}\n y'(t) = f(t,y(t)) \\\\\n y(0) = a,\n\\end{cases}\\] où \\[f(t,y)=\\cos(t^2+y),\\quad a=0,\\quad\nT=1.\\]

Pour approcher la solution de \$(E)\$, on propose le schéma numérique\nsuivant : \$h=T/N\$, \$t_n=nh\$, \$y_0=a\$ et \\[(S)\n\\colon y_{n+1} = y_n + \\frac{h}{3}\\left( f(t_n,y_n)+2f\\left(t_n+\n\\frac{3h}{4},y_n+\\frac{3h}{4}f(t_n,y_n) \\right) \\right)\\]

\n" } }, { "id": "07401a9f-8d77-43d7-a417-87609a003fdd", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que $f$ est globablement lipschitzienne par rapport à la variable $y$.", "html": "

Montrer que \$f\$ est globablement\nlipschitzienne par rapport à la variable \$y\$.

\n" } }, { "id": "9dfc7e1a-0a52-4a3e-a8ea-de8421c8402f", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $\\left|\\frac{\\partial f }{\\partial y}(t,y)\\right| = |\\cos(t^2 + y)| \\leq 1$ pour tout $(t,y) \\in [0,T]\\times\\R$ donc par théorème des accroisements finis, $f$ est $1$-lipschitzienne par rapport $y$.", "html": "

On a \$\\left|\\frac{\\partial f }{\\partial\ny}(t,y)\\right| = |\\cos(t^2 + y)| \\leq 1\$ pour tout \$(t,y) \\in [0,T]\\times\\R\$ donc par théorème\ndes accroisements finis, \$f\$ est\n\$1\$-lipschitzienne par rapport \$y\$.

\n" } }, { "id": "276daa40-3f83-4a26-9154-4cf941543ed6", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire que le schéma numérique proposé est zéro-stable.", "html": "

En déduire que le schéma numérique proposé est zéro-stable.

\n" } }, { "id": "48ffb8f3-ee90-4211-94a2-c88a71c5f355", "type": "reponse", "value": { "latex": "On pose $F(t,y,h) = \\frac{1}{3}\\left( f(t,y)+2f\\left(t+ \\frac{3h}{4},y+\\frac{3h}{4}f(t,y) \\right) \\right)$. \n\t\tOn a $$\\begin{align*}\n\t\t\t|F(t,y,h) - F(t,u,h)| &\\leq \\frac{1}{3}|\\left(f(t,y,h) - f(t,u,h)\\right)|\\\\ &+ \\frac{2}{3}\\left|f\\left(t+ \\frac{3h}{4},y+\\frac{3h}{4}f(t,y) \\right)- f\\left(t+ \\frac{3h}{4},u+\\frac{3h}{4}f(t,u) \\right) \\right| \\\\\n\t\t\t& \\leq \\frac{1}{3}|y-u| + \\frac{2}{3} \\left|y+\\frac{3h}{4}f(t,y) - u+\\frac{3h}{4}f(t,u)\\right| \\\\\n\t\t\t& \\leq \\frac{1}{3}|y-u| + \\frac{2}{3}|y-u| + \\frac{6h}{12}|y-u|\n\t\t\t\\end{align*}$$\n\t\tPuisque $h$ est borné (par exemple par $1$), on en déduit que la fonction $F$ définissant le schéma numérique est globalement lipschizienne par rapport à la deuxième variable. \n\t\t\n\t\tPar propriété du cours, le schéma numérique est donc zéro-stable.", "html": "

On pose \$F(t,y,h) = \\frac{1}{3}\\left(\nf(t,y)+2f\\left(t+ \\frac{3h}{4},y+\\frac{3h}{4}f(t,y) \\right)\n\\right)\$. On a \\[\\begin{align*}\n |F(t,y,h) - F(t,u,h)| &\\leq \\frac{1}{3}|\\left(f(t,y,h) -\nf(t,u,h)\\right)|\\\\ &+ \\frac{2}{3}\\left|f\\left(t+\n\\frac{3h}{4},y+\\frac{3h}{4}f(t,y) \\right)- f\\left(t+\n\\frac{3h}{4},u+\\frac{3h}{4}f(t,u) \\right) \\right| \\\\\n & \\leq \\frac{1}{3}|y-u| + \\frac{2}{3}\n\\left|y+\\frac{3h}{4}f(t,y) - u+\\frac{3h}{4}f(t,u)\\right| \\\\\n & \\leq \\frac{1}{3}|y-u| + \\frac{2}{3}|y-u| +\n\\frac{6h}{12}|y-u|\n \\end{align*}\\] Puisque \$h\$ est borné (par exemple par \$1\$), on en déduit que la fonction \$F\$ définissant le schéma numérique est\nglobalement lipschizienne par rapport à la deuxième variable.

Par propriété du cours, le schéma numérique est donc zéro-stable.

\n" } }, { "id": "8a51aa44-f283-4255-9026-beeb8bea4475", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que le schéma numérique est consistant d'ordre au moins $2$.", "html": "

Montrer que le schéma numérique est consistant d’ordre au moins \$2\$.

\n" } }, { "id": "b4ee4004-d651-4533-b6a8-5658d63b403f", "type": "reponse", "value": { "latex": "On vérifie qu'il est consistant d'ordre 1 en appliquant le résultat du cours : on écrit le schéma sous la forme standard $y_{n+1} = y_n+hF(t_n,y_n,h)$ et on vérifie que $F(t,y,0) = f(t,y)$. \n\t\t\n\tPour voir qu'il est au moins d'ordre $2$, on applique le critère de consistance en calculant $\\frac{1}{2}f^{[1]}(t,y)$.", "html": "

On vérifie qu’il est consistant d’ordre 1 en appliquant le résultat\ndu cours : on écrit le schéma sous la forme standard \$y_{n+1} = y_n+hF(t_n,y_n,h)\$ et on vérifie\nque \$F(t,y,0) = f(t,y)\$.

Pour voir qu’il est au moins d’ordre \$2\$, on applique le critère de consistance\nen calculant \$\\frac{1}{2}f^{[1]}(t,y)\$.

\n" } }, { "id": "2349c4f8-bf2a-43a0-bdee-ae09a8c6313c", "type": "question", "value": { "latex": "Le schéma est-il convergent ?", "html": "

Le schéma est-il convergent ?

\n" } }, { "id": "84e9a636-9a80-4632-b050-8eb05b5437e7", "type": "reponse", "value": { "latex": "Le schéma est consistant et stable, donc convergent.", "html": "

Le schéma est consistant et stable, donc convergent.

\n" } } ] }, { "uuid": "hLkm", "titre": "Etude d'un schéma numérique", "theme": [ "analyse numérique" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:37.632Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:37.632Z" }, "contenu": [ { "id": "20fc9ab7-cb92-4d20-a310-cd9f5c11ec4c", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $f$ une application de classe $\\mathcal{C}^2 \\colon [0;T] \\times \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}$, $a \\in \\mathbb{R}$ et l'équation différentielle :\n$$(E)\t\\begin{cases} \ny'(t) = f(t,y(t)) \\\\\ny(0) = a\n\\end{cases} $$\n\npour laquelle on admet l'existence et l'unicité d'une solution $y$ de classe $\\mathcal{C}^1$.", "html": "

Soit \$f\$ une application de classe\n\$\\mathcal{C}^2 \\colon [0;T] \\times \\mathbb{R}\n\\to \\mathbb{R}\$, \$a \\in\n\\mathbb{R}\$ et l’équation différentielle : \\[(E) \\begin{cases}\ny'(t) = f(t,y(t)) \\\\\ny(0) = a\n\\end{cases}\\]

pour laquelle on admet l’existence et l’unicité d’une solution \$y\$ de classe \$\\mathcal{C}^1\$.

\n" } }, { "id": "f9e5806c-cf77-42ae-938c-907d03bec059", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que $y$ est de classe $\\mathcal{C}^3$.", "html": "

Montrer que \$y\$ est de classe\n\$\\mathcal{C}^3\$.

\n" } }, { "id": "5279b411-032f-403f-a9a5-b31c28c8cf42", "type": "reponse", "value": { "latex": "Comme $y'(t)=f(t,y(t))$, $y'$ est de classe $\\mathcal{C}^2$ donc $y$ est de classe $\\mathcal{C}^3$.", "html": "

Comme \$y'(t)=f(t,y(t))\$, \$y'\$ est de classe \$\\mathcal{C}^2\$ donc \$y\$ est de classe \$\\mathcal{C}^3\$.

\n" } }, { "id": "aac56c6c-89bc-4f18-b2ed-630d9dfb0be7", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que pour tout $t,h \\in \\mathbb{R}^+$, \n\t$$y(t+h)=y(t)+hf(t,y(t)) + \\frac{h^2}{2}\\left( \\frac{\\partial f}{\\partial t}(t,y(t))+f(t,y(t)) \\frac{\\partial f}{\\partial y}(t,y(t)) \\right) + O(h^3)$$", "html": "

Montrer que pour tout \$t,h \\in\n\\mathbb{R}^+\$, \\[y(t+h)=y(t)+hf(t,y(t)) + \\frac{h^2}{2}\\left(\n\\frac{\\partial f}{\\partial t}(t,y(t))+f(t,y(t)) \\frac{\\partial\nf}{\\partial y}(t,y(t)) \\right) + O(h^3)\\]

\n" } }, { "id": "865c3ad3-6459-4690-afda-81c95f679be5", "type": "reponse", "value": { "latex": "D'après la formule de Taylor, on a \n\t\t$$y(t+h) = y(t)+hy'(t)+\\frac{h^2}{2}y''(t) + O(h^3)$$\n\t\tOr $y''(t) = \\frac{\\partial}{\\partial t} f(t,y(t)) = \\frac{\\partial f}{\\partial t}(t,y(t))+y'(t)\\frac{\\partial f}{\\partial y}(t,y(t))$\n\t\td'où le résultat.", "html": "

D’après la formule de Taylor, on a \\[y(t+h) =\ny(t)+hy'(t)+\\frac{h^2}{2}y''(t) + O(h^3)\\] Or \$y''(t) = \\frac{\\partial}{\\partial t}\nf(t,y(t)) = \\frac{\\partial f}{\\partial\nt}(t,y(t))+y'(t)\\frac{\\partial f}{\\partial y}(t,y(t))\$ d’où\nle résultat.

\n" } }, { "id": "22029f77-a540-4b48-bd5b-647e1319228b", "type": "description", "value": { "latex": "Pour approcher la solution de $(E)$, on propose le schéma numérique suivant : \n\t$h=T/N$, $t_n=nh$, $y_0=a$ et \n\t$$(S) \\colon y_{n+1} = y_n + hf(t_n,y_n) + \\frac{h^2}{2}\\left( \\frac{\\partial f}{\\partial t}(t_n,y_n)+f(t_n,y_n)\\frac{\\partial f}{\\partial y}(t_n,y_n) \\right)$$", "html": "

Pour approcher la solution de \$(E)\$, on propose le schéma numérique\nsuivant : \$h=T/N\$, \$t_n=nh\$, \$y_0=a\$ et \\[(S)\n\\colon y_{n+1} = y_n + hf(t_n,y_n) + \\frac{h^2}{2}\\left( \\frac{\\partial\nf}{\\partial t}(t_n,y_n)+f(t_n,y_n)\\frac{\\partial f}{\\partial y}(t_n,y_n)\n\\right)\\]

\n" } }, { "id": "2e048be4-4e7d-4095-a574-f9118ae182ff", "type": "question", "value": { "latex": "Expliquer cette méthode, puis vérifier qu'elle est consistante. Quel est son ordre de consistance ?", "html": "

Expliquer cette méthode, puis vérifier qu’elle est consistante. Quel\nest son ordre de consistance ?

\n" } }, { "id": "70992756-36b9-4714-81a8-293e328c20ce", "type": "reponse", "value": { "latex": "Ce schéma revient à négliger le terme $O(h^3)$ dans le développement de Taylor. Il est consistant car si on pose $F(t,y,h) = f(t,y(t)) + \\frac{h}{2}\\left( \\frac{\\partial f}{\\partial t}(t,y(t))+f(t,y(t)) \\frac{\\partial f}{\\partial y}(t,y(t)) \\right)$, le schéma s'écrit $y_{n+1} = y_n + hF(t_n,y_n,h)$ avec $F(t,y,0)=f(t,y)$.\n\t\t\t\n\t\t\tDe plus, $f^{[1]}(t,y) = \\frac{\\partial f}{\\partial t}(t,y(t))+f(t,y(t)) \\frac{\\partial f}{\\partial y}(t,y(t))$ donc $\\frac{\\partial F}{\\partial h}(t,y,h) = \\frac{1}{2}f^{[1]}(t,y)$.\n\t\t\t\n\t\t\tD'après la propriété de consistance vue à l'exercice 5, le schéma est donc consistant d'ordre au moins 2. Par ailleurs, $\\frac{\\partial^2 F}{\\partial h^2}(t,y,h) = 0$ donc la méthode est d'ordre 2 en général.", "html": "

Ce schéma revient à négliger le terme \$O(h^3)\$ dans le développement de Taylor.\nIl est consistant car si on pose \$F(t,y,h) =\nf(t,y(t)) + \\frac{h}{2}\\left( \\frac{\\partial f}{\\partial\nt}(t,y(t))+f(t,y(t)) \\frac{\\partial f}{\\partial y}(t,y(t))\n\\right)\$, le schéma s’écrit \$y_{n+1}\n= y_n + hF(t_n,y_n,h)\$ avec \$F(t,y,0)=f(t,y)\$.

De plus, \$f^{[1]}(t,y) = \\frac{\\partial\nf}{\\partial t}(t,y(t))+f(t,y(t)) \\frac{\\partial f}{\\partial\ny}(t,y(t))\$ donc \$\\frac{\\partial\nF}{\\partial h}(t,y,h) = \\frac{1}{2}f^{[1]}(t,y)\$.

D’après la propriété de consistance vue à l’exercice 5, le schéma est\ndonc consistant d’ordre au moins 2. Par ailleurs, \$\\frac{\\partial^2 F}{\\partial h^2}(t,y,h) =\n0\$ donc la méthode est d’ordre 2 en général.

\n" } }, { "id": "0b2a50cc-a9d3-44c8-a457-81600d26e885", "type": "description", "value": { "latex": "On suppose que : \n\t\t\t\\begin{itemize}\n\t\t\t\t\\item l'équation est autonome, c'est-à-dire que $f$ ne dépend pas de $t$ ;\n\t\t\t\t\\item il existe une constante $L>0$ telle que $f$ et $f'$ sont $L$-lipschitziennes ;\n\t\t\t\t\\item il existe une constante $M>0$ telle que pour tout $y \\in \\mathbb{R}$, $|f(y)|\\leq M$ et $|f'(y)| \\leq M$. \n\t\t\t\\end{itemize}", "html": "

On suppose que :

l’équation est autonome, c’est-à-dire que \$f\$ ne dépend pas de \$t\$ ;
il existe une constante \$L>0\$ telle que \$f\$ et \$f'\$ sont \$L\$-lipschitziennes ;
il existe une constante \$M>0\$ telle que pour tout \$y \\in \\mathbb{R}\$, \$|f(y)|\\leq M\$ et \$|f'(y)| \\leq M\$.

\n" } }, { "id": "e2cf46d7-0339-4813-9c61-8bfdd8786463", "type": "question", "value": { "latex": "Démontrer que la méthode est stable et convergente.", "html": "

Démontrer que la méthode est stable et convergente.

\n" } }, { "id": "7dcd503f-bfac-4906-8db5-56742385aa1e", "type": "reponse", "value": { "latex": "Si l'équation est autonome, $f$ ne dépend pas de $t$ et $F$ non plus, ce qui permet de réécrire \n\t\t\t$$F(t,y,h) = F(y,h) = f(y)+\\frac{h}{2}f(y)f'(y)$$\n\t\t\tPour montrer que la méthode est stable, il suffit de montrer que $F$ est lipschitzienne en $y$ uniformément en $h$ :\n\t\t\t\n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\t|F(y,h)-F(z,h)| &\\leq |f(y)-f(z)|+\\frac{h}{2}|f(y)f'(y)-f(z)f'(z)| \\\\\n\t\t\t\t&\\leq |f(y)-f(z)|+\\frac{h}{2}\\left( |f(y)|\\cdot|f'(y)-f'(z)|+|f'(z)|\\cdot|f(y)-f(z)| \\right)\\\\\n\t\t\t\t&\\leq (L+TLM)|y-z|\n\t\t\t\\end{align*}$$\n\t\t\tLa méthode est donc stable et consistante, elle est donc convergente.", "html": "

Si l’équation est autonome, \$f\$ ne\ndépend pas de \$t\$ et \$F\$ non plus, ce qui permet de réécrire\n\\[F(t,y,h) = F(y,h) =\nf(y)+\\frac{h}{2}f(y)f'(y)\\] Pour montrer que la méthode est\nstable, il suffit de montrer que \$F\$\nest lipschitzienne en \$y\$\nuniformément en \$h\$ :

\\[\\begin{align*}\n |F(y,h)-F(z,h)| &\\leq\n|f(y)-f(z)|+\\frac{h}{2}|f(y)f'(y)-f(z)f'(z)| \\\\\n &\\leq |f(y)-f(z)|+\\frac{h}{2}\\left(\n|f(y)|\\cdot|f'(y)-f'(z)|+|f'(z)|\\cdot|f(y)-f(z)| \\right)\\\\\n &\\leq (L+TLM)|y-z|\n \\end{align*}\\] La méthode est donc stable et\nconsistante, elle est donc convergente.

\n" } }, { "id": "0dac95f0-167b-46b9-af1d-dab8b8955993", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $N$ un entier supérieur ou égal à 2. En exploitant le travail ci-dessus, proposer un schéma d'ordre $N$.", "html": "

Soit \$N\$ un entier supérieur ou\négal à 2. En exploitant le travail ci-dessus, proposer un schéma d’ordre\n\$N\$.

\n" } }, { "id": "65f77757-9fe6-416a-882a-000227942ae7", "type": "reponse", "value": { "latex": "Si $f$ est de classe $\\mathcal{C}^N$, on a \n\t\t\t$$y(t+h) = y(t)+hy'(t)+\\frac{h^2}{2}y''(t)+...+\\frac{h^N}{N!}y^{(N)}(t) + O(h^{N+1})$$\n\t\t\tOr $y^{(k)}(t) = f^{[k-1]}(t,y(t))$\n\t\t\tdonc on peut proposer le schéma :\n\t\t\t$$y_{n+1}=y_n + h \\left( f+ \\frac{h}{2}f^{[1]}+...+\\frac{h^{N-1}}{N!}f^{[N-1]} \\right)(t_n,y_n)$$", "html": "

Si \$f\$ est de classe \$\\mathcal{C}^N\$, on a \\[y(t+h) =\ny(t)+hy'(t)+\\frac{h^2}{2}y''(t)+...+\\frac{h^N}{N!}y^{(N)}(t)\n+ O(h^{N+1})\\] Or \$y^{(k)}(t) =\nf^{[k-1]}(t,y(t))\$ donc on peut proposer le schéma : \\[y_{n+1}=y_n + h \\left( f+\n\\frac{h}{2}f^{[1]}+...+\\frac{h^{N-1}}{N!}f^{[N-1]} \\right)(t_n,y_n)\\]

\n" } }, { "id": "feb809bf-20ff-4eb0-a4c6-32b3179a0d44", "type": "question", "value": { "latex": "On pose $f(t,x)=-tx$. \\'Ecrire un algorithme pour le schéma $(S)$ calculant un terme $y_n$.", "html": "

On pose \$f(t,x)=-tx\$. Écrire un\nalgorithme pour le schéma \$(S)\$\ncalculant un terme \$y_n\$.

\n" } }, { "id": "46cc4645-e13c-431c-a536-51a0b88bbaf4", "type": "reponse", "value": { "latex": "Avec $f(t,y) = -ty$, $\\frac{\\partial f}{\\partial t}(t,y(t)) = -y(t)$ et $\\frac{\\partial f}{\\partial y}(t,y(t)) = -t$, le schéma devient :\n\t\t$$y_{n+1}=y_n \\left( 1-h^2\\left(n+ \\frac{1}{2}(1-(nh)^2) \\right) \\right)$$", "html": "

Avec \$f(t,y) = -ty\$, \$\\frac{\\partial f}{\\partial t}(t,y(t)) =\n-y(t)\$ et \$\\frac{\\partial f}{\\partial\ny}(t,y(t)) = -t\$, le schéma devient : \\[y_{n+1}=y_n \\left( 1-h^2\\left(n+\n\\frac{1}{2}(1-(nh)^2) \\right) \\right)\\]

\n" } }, { "id": "af0b6047-323e-4148-bf63-4d8735d804ac", "type": "question", "value": { "latex": "Résoudre analytiquement l'équation différentielle $y' = -ty$.", "html": "

Résoudre analytiquement l’équation différentielle \$y' = -ty\$.

\n" } }, { "id": "c408157f-3917-46fa-b3a1-e29f248f4ab6", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer les 20 premières valeurs données par le schéma défini précédemment et comparer avec le résultat exact et ceux obtenus avec la méthode d'Euler et la méthode d'Euler améliorée (méthode du point milieu).", "html": "

Calculer les 20 premières valeurs données par le schéma défini\nprécédemment et comparer avec le résultat exact et ceux obtenus avec la\nméthode d’Euler et la méthode d’Euler améliorée (méthode du point\nmilieu).

\n" } }, { "id": "e0b6667a-3f24-4bc3-b018-9127d6c41158", "type": "reponse", "value": { "latex": "La solution exacte de l'EDO pour $f(t,y) = -ty$ et $y(0)=a=1$ est $y(t = e^{-t^2/2})$. Pour un pas $h=1/5$, on obtient les valeurs suivantes :\n\t\t\n\t\t\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\n\t\t\t\\hline \n\t\t\t$n$ & 1 & 3 & 5 & 10 & 15 & 20 \\\\ \n\t\t\t\\hline \n\t\t\t$t_n$ & 0.2 & 0.6 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ \n\t\t\t\\hline \n\t\t\t$y(t_n)$ & 0.9802 & 0.8353 & 0.6065 & 0.1353 & 0.1111 & 0.0003 \\\\ \n\t\t\t\\hline \n\t\t\tEuler & 1 & 0.8832 & 0.6529 & 0.1244 & 0.0046 & 0.00001 \\\\ \n\t\t\t\\hline \n\t\t\tEuler améliorée & 0.9801 & 0.8323 & 0.5961 & 0.1167 & 0.0065 & 0.00009 \\\\ \n\t\t\t\\hline \n\t\n\t\n\t\t\\end{tabular} \n\t\t\n\t\tEn lecture rapide de ce tableau, on voit que la méthode d'Euler explicite (d'ordre 1) est moins bonne que les autres sur cet exemple.", "html": "

La solution exacte de l’EDO pour \$f(t,y) =\n-ty\$ et \$y(0)=a=1\$ est \$y(t = e^{-t^2/2})\$. Pour un pas \$h=1/5\$, on obtient les valeurs suivantes\n:

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

\$n\$	1	3	5	10	15	20
\$t_n\$	0.2	0.6	1	2	3	4
\$y(t_n)\$	0.9802	0.8353	0.6065	0.1353	0.1111	0.0003
Euler	1	0.8832	0.6529	0.1244	0.0046	0.00001
Euler améliorée	0.9801	0.8323	0.5961	0.1167	0.0065	0.00009

En lecture rapide de ce tableau, on voit que la méthode d’Euler\nexplicite (d’ordre 1) est moins bonne que les autres sur cet\nexemple.

\n" } } ] }, { "uuid": "5gPB", "titre": "Étude d'un schéma numérique", "theme": [ "" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:56.171Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:56.171Z" }, "contenu": [ { "id": "d1c75b9a-9db7-48ea-a3e7-004019003221", "type": "description", "value": { "latex": "On considère l'équation différentielle ordinaire suivante :\n\n$$\\begin{cases} y'(t) = f(t, y(t)), \\quad t \\in [0, T] \\\\ y(0) = y_0 \\end{cases}$$\n\noù $f : [0, T] \\times \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}$ est une fonction suffisamment régulière (par exemple de classe $C^2$).\n\nOn se propose d'étudier la consistance du schéma numérique de Leapfrog défini par :\n\n$$\\begin{cases} t_n = n \\cdot h, \\quad n = 0, \\ldots, N \\\\ y_{n+1} = y_n + h \\cdot f(t_n + \\frac{h}{2}, y_n + \\frac{h}{2} f(t_n, y_n)) \\end{cases}$$\n\noù $h = \\frac{T}{N}$ est le pas de discrétisation en temps et $N$ est un entier strictement positif. \n\nOn donne le développement de Taylor-Lagrange à l'ordre 1 pour une fonction $g$ de classe $\\mathcal{C}^2$ de deux variables $x$ et $y$ au voisinage du point $(x_0, y_0)$ est donné par :\n\n$$g(x, y) = g(x_0, y_0) + \\frac{\\partial g}{\\partial x}(x_0, y_0) (x - x_0) + \\frac{\\partial g}{\\partial y}(x_0, y_0) (y - y_0) + R_1(x, y)$$\n\noù $R_1(x, y)$ est le reste du développement limité, qui vérifie :\n\n$$R_1(x, y) = \\frac{1}{2} \\left( \\frac{\\partial^2 g}{\\partial x^2}(\\xi, \\eta) (x - x_0)^2 + 2 \\frac{\\partial^2 g}{\\partial x \\partial y}(\\xi, \\eta) (x - x_0)(y - y_0) + \\frac{\\partial^2 g}{\\partial y^2}(\\xi, \\eta) (y - y_0)^2 \\right)$$\n\navec $(\\xi, \\eta)$ un point situé sur le segment reliant les points $(x_0, y_0)$ et $(x, y)$.", "html": "

On considère l’équation différentielle ordinaire suivante :

\\[\\begin{cases} y'(t) = f(t, y(t)),\n\\quad t \\in [0, T] \\\\ y(0) = y_0 \\end{cases}\\]

où \$f : [0, T] \\times \\mathbb{R} \\to\n\\mathbb{R}\$ est une fonction suffisamment régulière (par exemple\nde classe \$C^2\$).

On se propose d’étudier la consistance du schéma numérique de\nLeapfrog défini par :

\\[\\begin{cases} t_n = n \\cdot h, \\quad n =\n0, \\ldots, N \\\\ y_{n+1} = y_n + h \\cdot f(t_n + \\frac{h}{2}, y_n +\n\\frac{h}{2} f(t_n, y_n)) \\end{cases}\\]

où \$h = \\frac{T}{N}\$ est le pas de\ndiscrétisation en temps et \$N\$ est un\nentier strictement positif.

On donne le développement de Taylor-Lagrange à l’ordre 1 pour une\nfonction \$g\$ de classe \$\\mathcal{C}^2\$ de deux variables \$x\$ et \$y\$ au voisinage du point \$(x_0, y_0)\$ est donné par :

\\[g(x, y) = g(x_0, y_0) + \\frac{\\partial\ng}{\\partial x}(x_0, y_0) (x - x_0) + \\frac{\\partial g}{\\partial y}(x_0,\ny_0) (y - y_0) + R_1(x, y)\\]

où \$R_1(x, y)\$ est le reste du\ndéveloppement limité, qui vérifie :

\\[R_1(x, y) = \\frac{1}{2} \\left(\n\\frac{\\partial^2 g}{\\partial x^2}(\\xi, \\eta) (x - x_0)^2 + 2\n\\frac{\\partial^2 g}{\\partial x \\partial y}(\\xi, \\eta) (x - x_0)(y - y_0)\n+ \\frac{\\partial^2 g}{\\partial y^2}(\\xi, \\eta) (y - y_0)^2\n\\right)\\]

avec \$(\\xi, \\eta)\$ un point situé\nsur le segment reliant les points \$(x_0,\ny_0)\$ et \$(x, y)\$.

\n" } }, { "id": "e4e3f094-1d2b-4615-8135-3ae66c6f4a93", "type": "question", "value": { "latex": "Justifier l'existence de $\\xi_n \\in [t_n, t_{n+1}]$ tel que : \n\t$$y(t_{n+1}) = y(t_n + h) = y(t_n) + h \\cdot f(t_n, y(t_n)) + \\frac{h^2}{2} y''(\\xi_n)$$", "html": "

Justifier l’existence de \$\\xi_n \\in [t_n,\nt_{n+1}]\$ tel que : \\[y(t_{n+1}) =\ny(t_n + h) = y(t_n) + h \\cdot f(t_n, y(t_n)) + \\frac{h^2}{2}\ny''(\\xi_n)\\]

\n" } }, { "id": "2f116c2f-a78f-4dd0-8a61-45bd03c35ad2", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$y(t_{n+1}) = y(t_n + h) = y(t_n) + h \\cdot y'(t_n) + \\frac{h^2}{2} y''(\\xi_n)$$\n\t\t\n\t\toù $\\xi_n \\in [t_n, t_{n+1}]$.", "html": "

\\[y(t_{n+1}) = y(t_n + h) = y(t_n) + h\n\\cdot y'(t_n) + \\frac{h^2}{2} y''(\\xi_n)\\]

où \$\\xi_n \\in [t_n, t_{n+1}]\$.

\n" } }, { "id": "e9ee813b-242e-4405-a52e-f730495ca439", "type": "question", "value": { "latex": "Donne le développement de Taylor-Lagrange à l'ordre $1$ de $f(t_n + \\frac{h}{2}, y(t_n) + \\frac{h}{2} f(t_n, y(t_n)))$ au voisinage de $(t_n,y(t_n))$.", "html": "

Donne le développement de Taylor-Lagrange à l’ordre \$1\$ de \$f(t_n +\n\\frac{h}{2}, y(t_n) + \\frac{h}{2} f(t_n, y(t_n)))\$ au voisinage\nde \$(t_n,y(t_n))\$.

\n" } }, { "id": "6d0ce7ad-4680-4027-bc9f-cea6245e4521", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$f(t_n + \\frac{h}{2}, y(t_n) + \\frac{h}{2} f(t_n, y(t_n))) = f(t_n, y(t_n)) + \\frac{h}{2} \\left( \\frac{\\partial f}{\\partial t}(t_n, y(t_n)) + f(t_n, y(t_n)) \\frac{\\partial f}{\\partial y}(t_n, y(t_n)) \\right) + \\mathcal{O}(h^2)$$", "html": "

\\[f(t_n + \\frac{h}{2}, y(t_n) +\n\\frac{h}{2} f(t_n, y(t_n))) = f(t_n, y(t_n)) + \\frac{h}{2} \\left(\n\\frac{\\partial f}{\\partial t}(t_n, y(t_n)) + f(t_n, y(t_n))\n\\frac{\\partial f}{\\partial y}(t_n, y(t_n)) \\right) +\n\\mathcal{O}(h^2)\\]

\n" } }, { "id": "f5997036-f025-4e6d-a073-ad6294508636", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire que le schéma de Leapfrogest consistant d'ordre au moins $1$.", "html": "

En déduire que le schéma de Leapfrogest consistant d’ordre au moins\n\$1\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "88TT", "titre": "Etude d'une fonction", "theme": [ "Optimisation" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:59.810Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:59.810Z" }, "contenu": [ { "id": "fecdf4a2-9871-4818-b6b8-3d2b2c74aa34", "type": "description", "value": { "latex": "Soit la fonction $f$ définie sur $\\mathcal{D} \\subset \\R^2$ par \n$$f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$$\noù $\\mathcal{D} = \\{ (x,y) \\in \\R^2 \\, , \\max(|x|,|y|) \\leq 2\\}$.", "html": "

Soit la fonction \$f\$ définie sur\n\$\\mathcal{D} \\subset \\R^2\$ par \\[f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy\\] où \$\\mathcal{D} = \\{ (x,y) \\in \\R^2 \\, , \\max(|x|,|y|)\n\\leq 2\\}\$.

\n" } }, { "id": "205a5aa9-58f7-4c75-bf47-4f2e2f5050d9", "type": "question", "value": { "latex": "Parmi les trois domaines représentés graphiquement ci-dessus, lequel est susceptible de représenter $\\mathcal{D}$ ?", "html": "

Parmi les trois domaines représentés graphiquement ci-dessus, lequel\nest susceptible de représenter \$\\mathcal{D}\$ ?

\n" } }, { "id": "ed16b723-de7e-469d-9f54-d29b58edea54", "type": "question", "value": { "latex": "L'ensemble $\\mathcal{D}$ est-il ouvert dans $\\R^2$ ? fermé dans $\\R^2$ ? Justifier très brièvement.", "html": "

L’ensemble \$\\mathcal{D}\$ est-il\nouvert dans \$\\R^2\$ ? fermé dans \$\\R^2\$ ? Justifier très brièvement.

\n" } }, { "id": "74048933-308e-4c40-b431-ec5a85e9afbb", "type": "question", "value": { "latex": "Vérifier que $(0,0)$ et $(1,1)$ sont les deux seuls points critiques de $f$ dans l'intérieur du domaine $\\mathcal{D}$.", "html": "

Vérifier que \$(0,0)\$ et \$(1,1)\$ sont les deux seuls points\ncritiques de \$f\$ dans l’intérieur du\ndomaine \$\\mathcal{D}\$.

\n" } }, { "id": "fffa4153-8809-4b85-8738-34634cdde374", "type": "question", "value": { "latex": "La fonction $f$ admet-elle un extremum local sur l'intérieur de $\\mathcal{D}$ ?", "html": "

La fonction \$f\$ admet-elle un\nextremum local sur l’intérieur de \$\\mathcal{D}\$ ?

\n" } }, { "id": "a1ddc819-6b44-407e-95fe-34e5009e585d", "type": "question", "value": { "latex": "Justifier que $f$ admet un maximum global sur $\\mathcal{D}$ et le calculer.", "html": "

Justifier que \$f\$ admet un maximum\nglobal sur \$\\mathcal{D}\$ et le\ncalculer.

\n" } } ] }, { "uuid": "aiup", "titre": "Étude d'une fonction", "theme": [ "fonctions de plusieurs variables" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:29.385Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:29.385Z" }, "contenu": [ { "id": "e2b1bff1-43f6-4305-ba68-cf99d39e8c86", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $f \\colon \\mathbb{R}^2 \\to \\mathbb{R}$ une fonction définie par \n$$f(x,y) = x^3+y^3-3xy-1$$", "html": "

Soit \$f \\colon \\mathbb{R}^2 \\to\n\\mathbb{R}\$ une fonction définie par \\[f(x,y) = x^3+y^3-3xy-1\\]

\n" } }, { "id": "d26ab94a-7e70-48fc-bc54-7fad6b0b8ffe", "type": "question", "value": { "latex": "Vérifier que $f$ admet deux points critiques (stationnaires) : $(0,0)$ et $(1,1)$.", "html": "

Vérifier que \$f\$ admet deux points\ncritiques (stationnaires) : \$(0,0)\$\net \$(1,1)\$.

\n" } }, { "id": "f2ffe9b3-6953-4339-b981-9aac5faebfef", "type": "reponse", "value": { "latex": "Il s'agit de résoudre le système :\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t\t\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) = 0\\\\\n\t\t\t\t\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) =0\n\t\t\t\\end{cases}\n\t\t\t\\Leftrightarrow\n\t\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t\t3x^2-3y = 0\\\\\n\t\t\t\t3y^2-3x =0\n\t\t\t\\end{cases}\t\t\n\t\t\t\\Leftrightarrow\n\t\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t\tx^2 = x^3\\\\\n\t\t\t\ty^2 = x\n\t\t\t\\end{cases}\n\t\t\t\\iff (x,y)=(1,1) \\text{ ou } (x,y)=(0,0)\t\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

Il s’agit de résoudre le système : \\[\\begin{align*}\n \\begin{cases}\n \\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) = 0\\\\\n \\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) =0\n \\end{cases}\n \\Leftrightarrow\n \\begin{cases}\n 3x^2-3y = 0\\\\\n 3y^2-3x =0\n \\end{cases} \n \\Leftrightarrow\n \\begin{cases}\n x^2 = x^3\\\\\n y^2 = x\n \\end{cases}\n \\iff (x,y)=(1,1) \\text{ ou } (x,y)=(0,0) \n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "4995de06-a5a9-47b9-90c2-74958eeb962d", "type": "question", "value": { "latex": "La fonction $f$ admet-elle un maximum ou un minimum local sur $\\mathbb{R}^2$ ?", "html": "

La fonction \$f\$ admet-elle un\nmaximum ou un minimum local sur \$\\mathbb{R}^2\$ ?

\n" } }, { "id": "ccbcf115-5bde-4e24-b85a-0fb6ba98bb33", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour distinguer les types de points stationnaires, on peut étudier leur nature à l'aide des conditions d'ordre 2. Pour cela, on calcule la matrice hessienne :\n\t\t$$Hess_f(x,y) = \\begin{pmatrix} 6x & -3 \\\\ -3 & 6y \\end{pmatrix}$$\n\t\tet son déterminant vaut $\\Delta(x,y) = 36xy-9$.\n\t\t\n\t\tOn évalue en les deux points stationnaires ; $\\Delta(0,0) = -9<0$ et $\\Delta(1,1) = 27>0$. Le cours nous permet de conclure que $(0,0)$ est un point selle. De plus, pour $(x,y)=(1,1)$, $6x=6>0$ donc le point $(1,1)$ réalise un minimum local de $f$.", "html": "

Pour distinguer les types de points stationnaires, on peut étudier\nleur nature à l’aide des conditions d’ordre 2. Pour cela, on calcule la\nmatrice hessienne : \\[Hess_f(x,y)\n= \\begin{pmatrix} 6x & -3 \\\\ -3 & 6y \\end{pmatrix}\\] et\nson déterminant vaut \$\\Delta(x,y) =\n36xy-9\$.

On évalue en les deux points stationnaires ; \$\\Delta(0,0) = -9<0\$ et \$\\Delta(1,1) = 27>0\$. Le cours nous\npermet de conclure que \$(0,0)\$ est un\npoint selle. De plus, pour \$(x,y)=(1,1)\$, \$6x=6>0\$ donc le point \$(1,1)\$ réalise un minimum local de \$f\$.

\n" } }, { "id": "5db9d678-c6e6-45bf-a746-2808fb1132cd", "type": "question", "value": { "latex": "Parmi les trois graphiques ci-dessous, lequel représente des lignes de niveaux de $f$ ? Justifier brièvement.\n\\begin{figure}[h!]\n\t\\begin{minipage}{0.32\\textwidth}\n\t\t\n\t\t\\includegraphics[width=1\\linewidth]{niveau1}\n\t\t\\caption{N1}\n\t\t\\label{fig:niveau1}\n\t\t\n\t\\end{minipage}\n\t\\begin{minipage}{0.32\\textwidth}\n\t\t\n\t\t\\includegraphics[width=1\\linewidth]{niveau2}\n\t\t\\caption{N2}\n\t\t\\label{fig:niveau2}\n\t\t\n\t\\end{minipage}\n\t\\begin{minipage}{0.32\\textwidth}\n\t\t\n\t\t\\includegraphics[width=1\\linewidth]{niveau3}\n\t\t\\caption{N3}\n\t\t\\label{fig:niveau3}\n\t\t\n\t\\end{minipage}\n\\end{figure}", "html": "

Parmi les trois graphiques ci-dessous, lequel représente des lignes\nde niveaux de \$f\$ ? Justifier\nbrièvement.

\n" } }, { "id": "11106737-467b-45b5-ba00-6ba08fe6e1e5", "type": "reponse", "value": { "latex": "La figure N3 ne respecte pas les symétries en $x$ et $y$ de la fonction. La figure N2 ne présente clairement pas un point stationnaire en $(1,1)$ puisqu'on y voit passer \\\\\n\tdes lignes de niveau qui laissent penser que la pente y est non nulle, notamment dans la direction $y=x$. La figure N1 laisse assez clairement deviner la présence des deux points stationnaires trouvés plus haut.", "html": "

La figure N3 ne respecte pas les symétries en \$x\$ et \$y\$ de la fonction. La figure N2 ne\nprésente clairement pas un point stationnaire en \$(1,1)\$ puisqu’on y voit passer
\ndes lignes de niveau qui laissent penser que la pente y est non nulle,\nnotamment dans la direction \$y=x\$. La\nfigure N1 laisse assez clairement deviner la présence des deux points\nstationnaires trouvés plus haut.

\n" } }, { "id": "bc225821-f88c-4c04-af87-c5ed5e35f536", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x,0)$ et $\\lim\\limits_{x \\to -\\infty} f(x,0)$.", "html": "

Calculer \$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty}\nf(x,0)\$ et \$\\lim\\limits_{x \\to\n-\\infty} f(x,0)\$.

\n" } }, { "id": "5137d43f-37c5-49d9-9f29-325faf22db7e", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x,0) = \\lim\\limits_{x \\to +\\infty} x^3-1 = +\\infty$ ; $\\lim\\limits_{x \\to -\\infty} f(x,0) = \\lim\\limits_{x \\to -\\infty} x^3-1 = -\\infty$", "html": "

\$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x,0)\n= \\lim\\limits_{x \\to +\\infty} x^3-1 = +\\infty\$ ; \$\\lim\\limits_{x \\to -\\infty} f(x,0)\n= \\lim\\limits_{x \\to -\\infty} x^3-1 = -\\infty\$

\n" } }, { "id": "23afda6f-d634-4fd4-8d65-5a3507010e51", "type": "question", "value": { "latex": "La fonction $f$ admet-elle un maximum ou un minimum global sur $\\mathbb{R}^2$ ?", "html": "

La fonction \$f\$ admet-elle un\nmaximum ou un minimum global sur \$\\mathbb{R}^2\$ ?

\n" } }, { "id": "62efaa55-6ac3-473f-871e-37b256fd109a", "type": "reponse", "value": { "latex": "Les limites trouvées précédemment prouvent qu'il n'existe pas de maximum global, ni de minimum global puisque $f(x,y)$ peut atteindre des valeurs aussi grandes (respectivement petites) que l'on veut avec $(x,y)$ variant dans l'ensemble de définition qui est ici $\\R^2$.", "html": "

Les limites trouvées précédemment prouvent qu’il n’existe pas de\nmaximum global, ni de minimum global puisque \$f(x,y)\$ peut atteindre des valeurs aussi\ngrandes (respectivement petites) que l’on veut avec \$(x,y)\$ variant dans l’ensemble de\ndéfinition qui est ici \$\\R^2\$.

\n" } }, { "id": "52d09693-fcc7-4643-88ed-f0956545bdd0", "type": "description", "value": { "latex": "Soit l'ensemble $D = \\{(x,y) \\in \\mathbb{R}^2 \\, \\mid \\, x^3 + y^3 - 3xy \\leq 8\\, , \\, x \\geq 0 \\, , \\, y \\geq 0 \\}$ dont voici une représentation graphique ci-dessous. \n\t\\begin{figure}[h!]\n\t\t\\centering\n\t\t\\includegraphics[width=0.4\\linewidth]{graphique.png}\n\t\t\\caption{Représentation graphique de $D$.}\n\t\t\\label{fig:graphique}\n\t\\end{figure}", "html": "

Soit l’ensemble \$D = \\{(x,y) \\in\n\\mathbb{R}^2 \\, \\mid \\, x^3 + y^3 - 3xy \\leq 8\\, , \\, x \\geq 0 \\, , \\, y\n\\geq 0 \\}\$ dont voici une représentation graphique\nci-dessous.

\n" } }, { "id": "ebcd80ad-ae50-4f9b-91c4-cc1debc4d5a4", "type": "question", "value": { "latex": "Vérifier par le calcul que les deux points de coordonnées respectives $(1,1)$ et $(0,2)$ appartiennent à $D$. Ces deux points appartiennent-ils à l'intérieur de $D$ ou au bord (frontière) de $D$ ?", "html": "

Vérifier par le calcul que les deux points de coordonnées respectives\n\$(1,1)\$ et \$(0,2)\$ appartiennent à \$D\$. Ces deux points appartiennent-ils à\nl’intérieur de \$D\$ ou au bord\n(frontière) de \$D\$ ?

\n" } }, { "id": "ce3eacb4-4652-433c-8d0d-8e6cbfa98bc2", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a des coordonnées positives, de plus $1^3+1^3-3 \\leq 8$ et $0^3 + 2^3 - 0 \\leq 8$ donc ces deux points appartiennent bien à $D$. Le premier point appartient à l'intérieur de $D$ (car $1>0$ et $1^3+1^3-3 < 8$) et le point $(0,2)$ appartient au bord de $D$.", "html": "

On a des coordonnées positives, de plus \$1^3+1^3-3 \\leq 8\$ et \$0^3 + 2^3 - 0 \\leq 8\$ donc ces deux points\nappartiennent bien à \$D\$. Le premier\npoint appartient à l’intérieur de \$D\$\n(car \$1>0\$ et \$1^3+1^3-3 < 8\$) et le point \$(0,2)\$ appartient au bord de \$D\$.

\n" } }, { "id": "db77b4f5-4436-4ac1-b879-fc6b322ca2e5", "type": "question", "value": { "latex": "Justifier que la fonction $f$ admet un maximum et un minimum global sur $D$.", "html": "

Justifier que la fonction \$f\$\nadmet un maximum et un minimum global sur \$D\$.

\n" } }, { "id": "cce22cfd-0bbd-4ba3-bcef-0e1fc751a182", "type": "reponse", "value": { "latex": "On remarque $D$ est fermé et borné, de plus $f$ est continue sur $D$ donc par théorème elle admet un maximum et un minimum global qui sont atteints sur $D$.", "html": "

On remarque \$D\$ est fermé et\nborné, de plus \$f\$ est continue sur\n\$D\$ donc par théorème elle admet un\nmaximum et un minimum global qui sont atteints sur \$D\$.

\n" } }, { "id": "ccd2251c-8a8b-4590-b8e6-bb2259d9a121", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer les extrema de $f$ sur $D$ en précisant en quel(s) point(s) ils sont atteints.", "html": "

Déterminer les extrema de \$f\$ sur\n\$D\$ en précisant en quel(s) point(s)\nils sont atteints.

\n" } }, { "id": "0516ff6a-8853-4e98-9e43-4bf5854dd468", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a vu précédemment que $f$ admet un minimum local en $(1,1) \\in D$. On a $f(1,1) = -2$. On étudie maintenant $f$ sur le bord du domaine : soient les points $O(0,0)$, $A(2,0)$ et $B(0,2)$.\n \t\t\\begin{itemize}\n \t\t\t\\item Sur le segment $[OA]$, $f(x,y) = f(x,0) = x^3 - 1$ avec $x \\in [0,2]$. Puisque la fonction $x \\mapsto x^3-1$ est croissante sur $[0,2]$, La valeur minimale est $f(0,0) = -1$ et la valeur maximale est $f(2,0) = 7$. \n \t\t\t\\item Sur le segment $[OB]$, $f(x,y) = f(0,y) = y^3 - 1$ avec $y \\in [0,2]$. Comme le cas précédent, la valeur minimale est $f(0,0) = -1$ et la valeur maximale est $f(0,2) = 7$.\n \t\t\t\\item Sur la portion de courbe $(AB)$, on a $x^3 + y^3 - 3xy = 8$ (c'est l'équation de la courbe) donc $f(x,y) = 8-1 = 7$ : la fonction $f$ est constante sur cette courbe. \n \t\t\\end{itemize}\t\n \tLa fonction $f$ admet donc un maximum global sur le bord, c'est la valeuur $7$ et ce maximum est atteint en tout point de la courbe d'équation $x^3 + y^3 - 3xy = 8$. \n \t\n \tLa fonction $f$ admet un minimum global à l'intérieur de $D$, au point $(1,1)$, ce minimum vaut $-2$.", "html": "

On a vu précédemment que \$f\$ admet\nun minimum local en \$(1,1) \\in D\$. On\na \$f(1,1) = -2\$. On étudie maintenant\n\$f\$ sur le bord du domaine : soient\nles points \$O(0,0)\$, \$A(2,0)\$ et \$B(0,2)\$.

Sur le segment \$[OA]\$, \$f(x,y) = f(x,0) = x^3 - 1\$ avec \$x \\in [0,2]\$. Puisque la fonction \$x \\mapsto x^3-1\$ est croissante sur \$[0,2]\$, La valeur minimale est \$f(0,0) = -1\$ et la valeur maximale est\n\$f(2,0) = 7\$.
Sur le segment \$[OB]\$, \$f(x,y) = f(0,y) = y^3 - 1\$ avec \$y \\in [0,2]\$. Comme le cas précédent, la\nvaleur minimale est \$f(0,0) = -1\$ et\nla valeur maximale est \$f(0,2) =\n7\$.
Sur la portion de courbe \$(AB)\$, on a \$x^3 + y^3 - 3xy = 8\$ (c’est l’équation de\nla courbe) donc \$f(x,y) = 8-1 = 7\$ :\nla fonction \$f\$ est constante sur\ncette courbe.

La fonction \$f\$ admet donc un\nmaximum global sur le bord, c’est la valeuur \$7\$ et ce maximum est atteint en tout point\nde la courbe d’équation \$x^3 + y^3 - 3xy =\n8\$.

La fonction \$f\$ admet un minimum\nglobal à l’intérieur de \$D\$, au point\n\$(1,1)\$, ce minimum vaut \$-2\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "GGzj", "titre": "Étude d'une fonction de deux variables", "theme": [ "fonctions de plusieurs variables" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:08.211Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:08.211Z" }, "contenu": [ { "id": "6d61c3b8-f1be-4c4c-a7ba-b20e89ac3350", "type": "description", "value": { "latex": "Soit la fonction $f \\colon \\R^2 \\to \\R$ définie par : $$f(x,y) = \\frac{x+y}{x^2+y^2}$$", "html": "

Soit la fonction \$f \\colon \\R^2 \\to\n\\R\$ définie par : \\[f(x,y) =\n\\frac{x+y}{x^2+y^2}\\]

\n" } }, { "id": "460f1109-a11d-4a99-8f8b-7ae88b409d65", "type": "question", "value": { "latex": "Donner l'ensemble de définition de $f$.", "html": "

Donner l’ensemble de définition de \$f\$.

\n" } }, { "id": "44a892ad-9fd4-47ba-a56f-f6754aa11498", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $f$ est définie pour tout $(x,y) \\in \\R^2$ tels que $x^2+y^2 \\neq 0$, c'est-à-dire $(x,y) \\neq (0,0)$. L'ensemble de définition est donc $\\mathcal{D}_f = \\{(x,y) \\in \\R^2 \\, , \\, (x,y) \\neq (0,0) \\}$.", "html": "

La fonction \$f\$ est définie pour\ntout \$(x,y) \\in \\R^2\$ tels que \$x^2+y^2 \\neq 0\$, c’est-à-dire \$(x,y) \\neq (0,0)\$. L’ensemble de\ndéfinition est donc \$\\mathcal{D}_f = \\{(x,y)\n\\in \\R^2 \\, , \\, (x,y) \\neq (0,0) \\}\$.

\n" } }, { "id": "492e20c2-920e-475e-a749-2b76ad2777fb", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que la courbe de niveau $k=0$ est une droite dont on précisera l'équation.", "html": "

Montrer que la courbe de niveau \$k=0\$ est une droite dont on précisera\nl’équation.

\n" } }, { "id": "432d4429-bda8-4ec4-9e7e-3cf982e11946", "type": "reponse", "value": { "latex": "$f(x,y) = 0 \\iff y = -x$, la courbe de niveau $0$ est donc la droite d'équation $y=-x$.", "html": "

\$f(x,y) = 0 \\iff y = -x\$, la\ncourbe de niveau \$0\$ est donc la\ndroite d’équation \$y=-x\$.

\n" } }, { "id": "8a00805e-7802-4258-afc2-9c278cc04f6f", "type": "question", "value": { "latex": "Quelle est la forme des courbes de niveau $k \\neq 0$ ?", "html": "

Quelle est la forme des courbes de niveau \$k \\neq 0\$ ?

\n" } }, { "id": "2115fc43-0eeb-400b-bebd-b2361c16c74e", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $k \\neq 0$ : $f(x,y) = k \\iff x+y = k(x^2+y^2) \\iff x^2 + y^2 - \\frac{1}{k}x - \\frac{1}{k}y = 0$, la courbe de niveau $k$ est donc un cercle.", "html": "

Soit \$k \\neq 0\$ : \$f(x,y) = k \\iff x+y = k(x^2+y^2) \\iff x^2 + y^2 -\n\\frac{1}{k}x - \\frac{1}{k}y = 0\$, la courbe de niveau \$k\$ est donc un cercle.

\n" } }, { "id": "d2a1dedf-ccc9-4270-9c9d-5d9ddfe423d8", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\lim\\limits_{x \\to 0} f(x,0)$, $\\lim\\limits_{x \\to 0} f(x,x)$ et $\\lim\\limits_{x \\to 0} f(x,-x)$.", "html": "

Calculer \$\\lim\\limits_{x \\to 0}\nf(x,0)\$, \$\\lim\\limits_{x \\to 0}\nf(x,x)\$ et \$\\lim\\limits_{x \\to 0}\nf(x,-x)\$.

\n" } }, { "id": "a6f374a8-5833-4f03-b09e-5e1ad0deb9e6", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\lim\\limits_{x \\to 0} f(x,0) = \\lim\\limits_{x \\to 0}\\frac{1}{x} = \\begin{cases}\n\t\t\t+\\infty & \\text{ si } x > 0 \\\\\n\t\t\t-\\infty & \\text{ si } x < 0\n\t\t\t\\end{cases}$. \\\\\n\t\tDe même, $\\lim\\limits_{x \\to 0} f(x,x) = \\lim\\limits_{x \\to 0} \\frac{2x}{2x^2} = \\begin{cases}\n\t\t\t+\\infty & \\text{ si } x > 0 \\\\\n\t\t\t-\\infty & \\text{ si } x < 0\n\t\t\\end{cases}$. \\\\\n\tEnfin, $\\lim\\limits_{x \\to 0} f(x,-x) = \\lim\\limits_{x \\to 0} 0 = 0$.", "html": "

\$\\lim\\limits_{x \\to 0} f(x,0) =\n\\lim\\limits_{x \\to 0}\\frac{1}{x} = \\begin{cases}\n +\\infty & \\text{ si } x > 0 \\\\\n -\\infty & \\text{ si } x < 0\n \\end{cases}\$.
\nDe même, \$\\lim\\limits_{x \\to 0} f(x,x) =\n\\lim\\limits_{x \\to 0} \\frac{2x}{2x^2} = \\begin{cases}\n +\\infty & \\text{ si } x > 0 \\\\\n -\\infty & \\text{ si } x < 0\n \\end{cases}\$.
\nEnfin, \$\\lim\\limits_{x \\to 0} f(x,-x) =\n\\lim\\limits_{x \\to 0} 0 = 0\$.

\n" } }, { "id": "2588aaa0-8691-4e4c-bdc8-d2da04b63ef6", "type": "question", "value": { "latex": "Peut-on prolonger la fonction $f$ en $(0,0)$ afin qu'elle soit continue en $(0,0)$ ? Justifier.", "html": "

Peut-on prolonger la fonction \$f\$\nen \$(0,0)\$ afin qu’elle soit continue\nen \$(0,0)\$ ? Justifier.

\n" } }, { "id": "c6c0160b-527b-42d4-80b2-4fccb04c042f", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour pouvoir prolonger la fonction $f$ en $(0,0)$ afin qu'elle soit continue en $(0,0)$, il faudrait que $f$ admette une limite quand $(x,y) \\to (0,0)$. D'après la question précédente, ce n'est pas le cas.", "html": "

Pour pouvoir prolonger la fonction \$f\$ en \$(0,0)\$ afin qu’elle soit continue en \$(0,0)\$, il faudrait que \$f\$ admette une limite quand \$(x,y) \\to (0,0)\$. D’après la question\nprécédente, ce n’est pas le cas.

\n" } } ] }, { "uuid": "Kdi9", "titre": "Étude d'une fonction de deux variables", "theme": [ "fonctions de plusieurs variables" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:13.203Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:13.203Z" }, "contenu": [ { "id": "00a242c4-76a4-4f11-a5d8-152e32527498", "type": "description", "value": { "latex": "Soit la fonction $f: \\R^2 \\to \\R$,\n$$ (x,y) \\mapsto \\left\\{ \\begin{array}{ll} \\dfrac{x^3y-xy^3}{x^2+y^2} & \\text{ si } (x,y) \\neq (0,0) \\\\\n\t0 & \\text{ si } (x,y) = (0,0)\n\\end{array}\n\\right. $$", "html": "

Soit la fonction \$f: \\R^2 \\to \\R\$,\n\\[(x,y) \\mapsto \\left\\{ \\begin{array}{ll}\n\\dfrac{x^3y-xy^3}{x^2+y^2} & \\text{ si } (x,y) \\neq (0,0) \\\\\n 0 & \\text{ si } (x,y) = (0,0)\n\\end{array}\n\\right.\\]

\n" } }, { "id": "cbf6fd21-4128-4cd4-ad22-c2c7b698d549", "type": "question", "value": { "latex": "Pour tout $(x,y) \\in \\mathbb{R}^2$, on passe en coordonnées polaires en posant $x=r\\cos(\\theta)$ et $y=r\\sin(\\theta)$ avec $(r,\\theta) \\in [0;+\\infty[ \\times [0;2\\pi[$ . \\\\\n\tVérifier que $$|f(r\\cos(\\theta),r\\sin(\\theta))| \\leq 2r^2$$", "html": "

Pour tout \$(x,y) \\in\n\\mathbb{R}^2\$, on passe en coordonnées polaires en posant \$x=r\\cos(\\theta)\$ et \$y=r\\sin(\\theta)\$ avec \$(r,\\theta) \\in [0;+\\infty[ \\times\n[0;2\\pi[\$ .
\nVérifier que \\[|f(r\\cos(\\theta),r\\sin(\\theta))| \\leq\n2r^2\\]

\n" } }, { "id": "9c4674b6-3722-490d-a14b-d0cd42b64a37", "type": "reponse", "value": { "latex": "Le dénominateur vaut $x^2+y^2 = r^2$. On majore le numérateur : \n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t|f(r \\cos\\theta, r \\sin\\theta)| &= \\frac{|(r\\cos\\theta)^3(r\\sin\\theta)-(r\\cos\\theta)(r\\sin\\theta)^3|}{r^2} \\\\\n\t\t\t&= \\frac{|r^4 \\cos^3\\theta\\sin\\theta - r^4\\cos\\theta\\sin^3\\theta|}{r^2} \\\\\n\t\t\t&\\leq \\frac{|r^4 \\cos^3\\theta\\sin\\theta| + |r^4\\cos\\theta\\sin^3\\theta|}{r^2} \\text{ par inégalité triangulaire} \\\\\n\t\t\t&\\leq \\frac{r^4(|\\cos^3\\theta\\sin\\theta| + |\\cos\\theta\\sin^3\\theta|)}{r^2} \\\\\n\t\t\t&\\leq \\frac{r^4(1 + 1)}{r^2} \\text{ car } |\\cos\\theta| \\leq 1 \\text{ et } |\\sin\\theta| \\leq 1 \\\\\n\t\t\t&\\leq 2r^2\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

Le dénominateur vaut \$x^2+y^2 =\nr^2\$. On majore le numérateur : \\[\\begin{align*}\n |f(r \\cos\\theta, r \\sin\\theta)| &=\n\\frac{|(r\\cos\\theta)^3(r\\sin\\theta)-(r\\cos\\theta)(r\\sin\\theta)^3|}{r^2}\n\\\\\n &= \\frac{|r^4 \\cos^3\\theta\\sin\\theta -\nr^4\\cos\\theta\\sin^3\\theta|}{r^2} \\\\\n &\\leq \\frac{|r^4 \\cos^3\\theta\\sin\\theta| +\n|r^4\\cos\\theta\\sin^3\\theta|}{r^2} \\text{ par inégalité triangulaire} \\\\\n &\\leq \\frac{r^4(|\\cos^3\\theta\\sin\\theta| +\n|\\cos\\theta\\sin^3\\theta|)}{r^2} \\\\\n &\\leq \\frac{r^4(1 + 1)}{r^2} \\text{ car } |\\cos\\theta|\n\\leq 1 \\text{ et } |\\sin\\theta| \\leq 1 \\\\\n &\\leq 2r^2\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "9e10266c-a013-420d-9251-b65a63ab8146", "type": "question", "value": { "latex": "Peut-on conclure que la fonction $f$ est continue en $(0,0)$~? Justifier.", "html": "

Peut-on conclure que la fonction \$f\$ est continue en \$(0,0)\$ ? Justifier.

\n" } }, { "id": "9529b889-f891-4d11-91df-0a409ee376e0", "type": "reponse", "value": { "latex": "$|f(x,y)-f(0,0)| = |f(x,y)-0| \\leq 2r^2 \\xrightarrow[r \\to 0]{}0$. La convergence en $r$ est uniforme en $\\theta$. On peut ainsi conclure que $f$ est bien continue en $(0,0)$.", "html": "

\$|f(x,y)-f(0,0)| = |f(x,y)-0| \\leq 2r^2\n\\xrightarrow[r \\to 0]{}0\$. La convergence en \$r\$ est uniforme en \$\\theta\$. On peut ainsi conclure que \$f\$ est bien continue en \$(0,0)\$.

\n" } }, { "id": "f2318540-063a-4d11-b664-4f84a896d19f", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\dpa{f}{x}(x,y)$ et $\\dpa{f}{y}(x,y)$ pour tout $(x,y) \\neq (0,0)$.", "html": "

Calculer \$\\dpa{f}{x}(x,y)\$ et\n\$\\dpa{f}{y}(x,y)\$ pour tout \$(x,y) \\neq (0,0)\$.

\n" } }, { "id": "dbdaa758-b6a4-4658-8c25-2472bdd0107c", "type": "reponse", "value": { "latex": "Les formules de dérivation usuelles s'appliquent sur l'expression de $f$ en tout point $(x,y) \\neq (0,0)$ : \n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\dpa{f}{x}(x,y) &= \\frac{y (x^{4}+4 x^{2} y^{2}-y^{4})}{\\left(y^{2}+x^{2}\\right)^{2}} \\\\\n\t\t\t\\dpa{f}{y}(x,y) &= \\frac{(-x) (y^{4}+4 y^{2} x^{2}-x^{4})}{\\left(x^{2}+y^{2}\\right)^{2}}\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

Les formules de dérivation usuelles s’appliquent sur l’expression de\n\$f\$ en tout point \$(x,y) \\neq (0,0)\$ : \\[\\begin{align*}\n \\dpa{f}{x}(x,y) &= \\frac{y (x^{4}+4 x^{2}\ny^{2}-y^{4})}{\\left(y^{2}+x^{2}\\right)^{2}} \\\\\n \\dpa{f}{y}(x,y) &= \\frac{(-x) (y^{4}+4 y^{2}\nx^{2}-x^{4})}{\\left(x^{2}+y^{2}\\right)^{2}}\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "b9a05c50-b6ab-4720-ae38-66b888a1cc38", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\dpa{f}{x}(0,0)$ et $\\dpa{f}{y}(0,0)$", "html": "

Calculer \$\\dpa{f}{x}(0,0)\$ et\n\$\\dpa{f}{y}(0,0)\$

\n" } }, { "id": "f0cd6808-590d-4d8b-aefc-3fc3babc0447", "type": "reponse", "value": { "latex": "Hors de question ici d'utiliser des formules de dérivation puisqu'il n'y a pas d'expression de la fonction au voisinage de ce point... On doit donc revenir à la définition et regarder la limite du taux d'accroissement pour chaque variable.\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\dpa{f}{x}(0,0) &= \\lim\\limits_{h \\to 0} \\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = 0 \\\\\n\t\t\t\\dpa{f}{y}(0,0) &= \\lim\\limits_{h \\to 0} \\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} = 0 \n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

Hors de question ici d’utiliser des formules de dérivation puisqu’il\nn’y a pas d’expression de la fonction au voisinage de ce point... On\ndoit donc revenir à la définition et regarder la limite du taux\nd’accroissement pour chaque variable. \\[\\begin{align*}\n \\dpa{f}{x}(0,0) &= \\lim\\limits_{h \\to 0}\n\\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = 0 \\\\\n \\dpa{f}{y}(0,0) &= \\lim\\limits_{h \\to 0}\n\\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} = 0 \n \\end{align*}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "m5P9", "titre": "Étude d'une fonction de deux variables", "theme": [ "fonctions de plusieurs variables" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:43.695Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:43.695Z" }, "contenu": [ { "id": "579a2087-5fb5-4793-9055-1558081d298f", "type": "description", "value": { "latex": "Soit la fonction $f \\colon \\R^2 \\to \\R$ définie par : $$f(x,y) = \\begin{cases} \\frac{x-2y}{x^2+y^2} & \\text{ si } (x,y) \\neq (0,0) \\\\\n\t0\t& \\text{ sinon. } \n\t\t\\end{cases}$$", "html": "

Soit la fonction \$f \\colon \\R^2 \\to\n\\R\$ définie par : \\[f(x,y) =\n\\begin{cases} \\frac{x-2y}{x^2+y^2} & \\text{ si } (x,y) \\neq (0,0) \\\\\n 0 & \\text{ sinon. }\n \\end{cases}\\]

\n" } }, { "id": "51ded1a6-db82-48aa-b011-2a4a33bb576c", "type": "question", "value": { "latex": "Donner l'ensemble de définition de $f$.", "html": "

Donner l’ensemble de définition de \$f\$.

\n" } }, { "id": "1899a280-9935-423a-a9c2-2c44877971a9", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $(x,y) \\mapsto \\frac{x-2y}{x^2+y^2}$ est définie pour tout $(x,y) \\in \\R^2$ tels que $x^2+y^2 \\neq 0$, c'est-à-dire $(x,y) \\neq (0,0)$. Mais $f(0,0)$ est défini à part. Donc l'ensemble de définition de $f$ est $\\R^2$.", "html": "

La fonction \$(x,y) \\mapsto\n\\frac{x-2y}{x^2+y^2}\$ est définie pour tout \$(x,y) \\in \\R^2\$ tels que \$x^2+y^2 \\neq 0\$, c’est-à-dire \$(x,y) \\neq (0,0)\$. Mais \$f(0,0)\$ est défini à part. Donc l’ensemble\nde définition de \$f\$ est \$\\R^2\$.

\n" } }, { "id": "acddb325-7801-455b-8a0a-774b252c3629", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la courbe de niveau $k=0$ de la fonction $f$.", "html": "

Déterminer la courbe de niveau \$k=0\$ de la fonction \$f\$.

\n" } }, { "id": "de159217-3792-4749-b99f-6c1b1d20335e", "type": "reponse", "value": { "latex": "$f(x,y) = 0 \\iff x = 2y$, la courbe de niveau $0$ est donc la droite d'équation $y=\\frac{x}{2}$.", "html": "

\$f(x,y) = 0 \\iff x = 2y\$, la\ncourbe de niveau \$0\$ est donc la\ndroite d’équation \$y=\\frac{x}{2}\$.

\n" } }, { "id": "e6d02778-3143-45f0-ac47-8703438b34da", "type": "question", "value": { "latex": "Vérifier que la courbe de niveau $k=1$ est un cercle de centre $\\left(\\frac{1}{2} ; -1 \\right)$ dont on déterminera le rayon.", "html": "

Vérifier que la courbe de niveau \$k=1\$ est un cercle de centre \$\\left(\\frac{1}{2} ; -1 \\right)\$ dont on\ndéterminera le rayon.

\n" } }, { "id": "7e280ba3-a041-4884-9472-9b2c22f1a3da", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $k = 1$ : $f(x,y) = 1 \\iff x-2y = (x^2+y^2) \\iff x^2 -x + y^2 +2y = 0 \\iff \\left(x - \\frac{1}{2}\\right)^2 + \\left(y + 1 \\right)^2 = \\frac{5}{4}$, la courbe de niveau $1$ est donc un cercle de centre $\\left(\\frac{1}{2} ; -1 \\right)$ et de rayon $\\frac{\\sqrt{5}}{2}$.", "html": "

Soit \$k = 1\$ : \$f(x,y) = 1 \\iff x-2y = (x^2+y^2) \\iff x^2 -x + y^2\n+2y = 0 \\iff \\left(x - \\frac{1}{2}\\right)^2 + \\left(y + 1 \\right)^2 =\n\\frac{5}{4}\$, la courbe de niveau \$1\$ est donc un cercle de centre \$\\left(\\frac{1}{2} ; -1 \\right)\$ et de\nrayon \$\\frac{\\sqrt{5}}{2}\$.

\n" } }, { "id": "9db3f73b-7756-4939-9077-e01100933a9f", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\lim\\limits_{h \\to 0} f(h,0)$ et $\\lim\\limits_{h \\to 0} f(2h,h)$.", "html": "

Calculer \$\\lim\\limits_{h \\to 0}\nf(h,0)\$ et \$\\lim\\limits_{h \\to 0}\nf(2h,h)\$.

\n" } }, { "id": "67df139e-0972-4fd6-9b9d-b8325657450d", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\lim\\limits_{h \\to 0} f(h,0) = \\lim\\limits_{h \\to 0}\\frac{1}{h} = \\begin{cases}\n\t\t\t+\\infty & \\text{ si } h > 0 \\\\\n\t\t\t-\\infty & \\text{ si } h < 0\n\t\t\t\\end{cases}$. \\\\\n\t\tDe même, $\\lim\\limits_{h \\to 0} f(2h,h) = \\lim\\limits_{h \\to 0} 0 = 0$.", "html": "

\$\\lim\\limits_{h \\to 0} f(h,0) =\n\\lim\\limits_{h \\to 0}\\frac{1}{h} = \\begin{cases}\n +\\infty & \\text{ si } h > 0 \\\\\n -\\infty & \\text{ si } h < 0\n \\end{cases}\$.
\nDe même, \$\\lim\\limits_{h \\to 0} f(2h,h) =\n\\lim\\limits_{h \\to 0} 0 = 0\$.

\n" } }, { "id": "55692e83-5b17-43eb-aeca-c89a8aa0e477", "type": "question", "value": { "latex": "La fonction $f$ est-elle continue en $(0,0)$ ? Justifier.", "html": "

La fonction \$f\$ est-elle continue\nen \$(0,0)\$ ? Justifier.

\n" } }, { "id": "8a2d556c-bd16-45de-a395-6ab1970f0934", "type": "reponse", "value": { "latex": "D'après la question précédente, ce n'est pas le cas, car $f$ n'admet pas de limite en $(0,0)$.", "html": "

D’après la question précédente, ce n’est pas le cas, car \$f\$ n’admet pas de limite en \$(0,0)\$.

\n" } }, { "id": "e6f3f776-889d-4c6a-a5df-96d778aa4964", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y)$ et $\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y)$ pour tout $(x,y) \\neq (0,0)$.", "html": "

Calculer \$\\frac{\\partial f}{\\partial\nx}(x,y)\$ et \$\\frac{\\partial\nf}{\\partial y}(x,y)\$ pour tout \$(x,y)\n\\neq (0,0)\$.

\n" } }, { "id": "ea481418-e235-4812-9623-023695e16614", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) = \\frac{y^2 + 4xy - x^2}{(x^2+y^2)^2}$ et $\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) = \\frac{-2xy + 2y^2 - 2x^2}{(x^2+y^2)^2}$.", "html": "

\$\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) =\n\\frac{y^2 + 4xy - x^2}{(x^2+y^2)^2}\$ et \$\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) = \\frac{-2xy +\n2y^2 - 2x^2}{(x^2+y^2)^2}\$.

\n" } }, { "id": "86093d1f-bb1f-4348-b4ae-502ef7cd9c45", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\frac{\\partial f}{\\partial x}(0,0)$ et $\\frac{\\partial f}{\\partial y}(0,0)$. Les dérivées partielles de $f$ sont-elles continues en $(0,0)$ ?", "html": "

Calculer \$\\frac{\\partial f}{\\partial\nx}(0,0)\$ et \$\\frac{\\partial\nf}{\\partial y}(0,0)\$. Les dérivées partielles de \$f\$ sont-elles continues en \$(0,0)\$ ?

\n" } }, { "id": "3bad089f-8ddb-457c-9286-5fda2074c5c4", "type": "reponse", "value": { "latex": "On calcule la limite du taux d'accroissement pour chaque variable : $\\frac{\\partial f}{\\partial x}(0,0) = \\lim\\limits_{h \\to 0} \\frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \\lim\\limits_{h \\to 0} \\frac{1}{h^2} = +\\infty$ et $\\frac{\\partial f}{\\partial y}(0,0) = \\lim\\limits_{h \\to 0} \\frac{f(0,h) - f(0,0)}{h} = \\lim\\limits_{h \\to 0} \\frac{-2}{h^2} = -\\infty$. \n\n\t\tDonc les dérivées partielles de $f$ n'existent pas, et a fortiori ne sont pas continues en $(0,0)$.", "html": "

On calcule la limite du taux d’accroissement pour chaque variable :\n\$\\frac{\\partial f}{\\partial x}(0,0) =\n\\lim\\limits_{h \\to 0} \\frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \\lim\\limits_{h \\to 0}\n\\frac{1}{h^2} = +\\infty\$ et \$\\frac{\\partial f}{\\partial y}(0,0) =\n\\lim\\limits_{h \\to 0} \\frac{f(0,h) - f(0,0)}{h} = \\lim\\limits_{h \\to 0}\n\\frac{-2}{h^2} = -\\infty\$.

Donc les dérivées partielles de \$f\$ n’existent pas, et a fortiori ne sont\npas continues en \$(0,0)\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "J7Sl", "titre": "Étude d'une loi absolument continue", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:11.405Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:11.405Z" }, "contenu": [ { "id": "0c6caa9c-553f-4645-bfd3-f8d4019fada3", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $k \\in \\R$ et $f$ la fonction définie sur $\\R$ pour tout $x \\in \\R$ par :\n $$ f(x) = \\begin{cases}\n kx(1-x) & \\text{ si } x \\in [0,1] \\\\\n 0 & \\text{ sinon }\n \\end{cases} $$", "html": "

Soit \$k \\in \\R\$ et \$f\$ la fonction définie sur \$\\R\$ pour tout \$x \\in \\R\$ par : \\[f(x) = \\begin{cases}\n kx(1-x) & \\text{ si } x \\in [0,1] \\\\\n 0 & \\text{ sinon }\n \\end{cases}\\]

\n" } }, { "id": "0d5cfcc0-dd24-4471-a069-c1e29698664b", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la valeur de $k$ pour que $f$ soit une densité de probabilité.", "html": "

Déterminer la valeur de \$k\$ pour\nque \$f\$ soit une densité de\nprobabilité.

\n" } }, { "id": "7afcdad4-d912-4b39-bd74-da422f7c7bfd", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a :\n $$\\begin{align*}\n \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(x) dx &= \\int_{-\\infty}^0 f(x) dx + \\int_0^1 f(x) dx + \\int_1^{+\\infty} f(x) dx \\\\\n &= 0 + \\int_0^1 kx(1-x) dx + 0 \\\\\n &= k \\int_0^1 (x - x^2) dx \\\\\n &= k \\left[ \\frac{x^2}{2} - \\frac{x^3}{3} \\right]_0^1 \\\\\n &= k \\left( \\frac{1}{2} - \\frac{1}{3} \\right) \\\\\n &= \\frac{k}{6}.\n \\end{align*}$$\n On a donc $k = 6$.", "html": "

On a : \\[\\begin{align*}\n \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(x) dx &= \\int_{-\\infty}^0\nf(x) dx + \\int_0^1 f(x) dx + \\int_1^{+\\infty} f(x) dx \\\\\n &= 0 + \\int_0^1 kx(1-x) dx + 0 \\\\\n &= k \\int_0^1 (x - x^2) dx \\\\\n &= k \\left[ \\frac{x^2}{2} - \\frac{x^3}{3} \\right]_0^1 \\\\\n &= k \\left( \\frac{1}{2} - \\frac{1}{3} \\right) \\\\\n &= \\frac{k}{6}.\n \\end{align*}\\] On a donc \$k =\n6\$.

\n" } }, { "id": "98cd1cf0-866d-4309-bb51-c504d8afb2ef", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $X$ une variable aléatoire réelle de densité $f$. Déterminer la fonction de répartition $F$ de $X$.", "html": "

Soit \$X\$ une variable aléatoire\nréelle de densité \$f\$. Déterminer la\nfonction de répartition \$F\$ de \$X\$.

\n" } }, { "id": "e7bf13ae-e17e-484e-85d6-a8c34c716f76", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $t \\in \\R$. Si $t \\leq 0$, on a : $\\prob(X \\leq t) = 0$. Si $t \\geq 1$, on a : $\\prob(X \\leq t) = 1$. Si $t \\in ]0,1[$, on a : \n $$\\begin{align*}\n \\prob(X \\leq t) &= \\int_{-\\infty}^t f(x) dx \\\\\n &= \\int_0^t 6x(1-x) dx \\\\\n &= 6 \\int_0^t (x - x^2) dx \\\\\n &= 6 \\left[ \\frac{x^2}{2} - \\frac{x^3}{3} \\right]_0^t \\\\\n &= 6 \\left( \\frac{t^2}{2} - \\frac{t^3}{3} \\right) \\\\\n &= 6 \\left( \\frac{3t^2 - 2t^3}{6} \\right) \\\\\n &= 3t^2 - 2t^3.\n \\end{align*}$$\n On a donc $F(t) = \\begin{cases}\n 0 & \\text{ si } t \\leq 0 \\\\\n 3t^2 - 2t^3 & \\text{ si } t \\in ]0,1[ \\\\\n 1 & \\text{ si } t \\geq 1.\n \\end{cases}$", "html": "

Soit \$t \\in \\R\$. Si \$t \\leq 0\$, on a : \$\\prob(X \\leq t) = 0\$. Si \$t \\geq 1\$, on a : \$\\prob(X \\leq t) = 1\$. Si \$t \\in ]0,1[\$, on a : \\[\\begin{align*}\n \\prob(X \\leq t) &= \\int_{-\\infty}^t f(x) dx \\\\\n &= \\int_0^t 6x(1-x) dx \\\\\n &= 6 \\int_0^t (x - x^2) dx \\\\\n &= 6 \\left[ \\frac{x^2}{2} - \\frac{x^3}{3} \\right]_0^t \\\\\n &= 6 \\left( \\frac{t^2}{2} - \\frac{t^3}{3} \\right) \\\\\n &= 6 \\left( \\frac{3t^2 - 2t^3}{6} \\right) \\\\\n &= 3t^2 - 2t^3.\n \\end{align*}\\] On a donc \$F(t)\n= \\begin{cases}\n 0 & \\text{ si } t \\leq 0 \\\\\n 3t^2 - 2t^3 & \\text{ si } t \\in ]0,1[ \\\\\n 1 & \\text{ si } t \\geq 1.\n \\end{cases}\$

\n" } }, { "id": "35b87edd-21cc-4933-9723-1d57ac042889", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la probabilité que $X$ prenne une valeur dans l'intervalle $[0{,}5\\,;\\,1]$.", "html": "

Déterminer la probabilité que \$X\$\nprenne une valeur dans l’intervalle \$[0{,}5\\,;\\,1]\$.

\n" } }, { "id": "5a630979-870f-4765-b7fe-9041950108c2", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a :\n $$\\begin{align*}\n \\prob(0{,}5 \\leq X \\leq 1) &= \\prob(X \\leq 1) - \\prob(X \\leq 0{,}5) \\\\\n &= F(1) - F(0{,}5) \\\\\n &= 1 - (3 \\times 0{,}5^2 - 2 \\times 0{,}5^3) \\\\\n &= 1 - (3 \\times 0{,}25 - 2 \\times 0{,}125) \\\\\n &= 1 - (0{,}75 - 0{,}25) \\\\\n &= 1 - 0{,}5 \\\\\n &= 0{,}5.\n \\end{align*}$$", "html": "

On a : \\[\\begin{align*}\n \\prob(0{,}5 \\leq X \\leq 1) &= \\prob(X \\leq 1) - \\prob(X\n\\leq 0{,}5) \\\\\n &= F(1) - F(0{,}5) \\\\\n &= 1 - (3 \\times 0{,}5^2 - 2 \\times 0{,}5^3) \\\\\n &= 1 - (3 \\times 0{,}25 - 2 \\times 0{,}125) \\\\\n &= 1 - (0{,}75 - 0{,}25) \\\\\n &= 1 - 0{,}5 \\\\\n &= 0{,}5.\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "4ef34a8a-9e0f-477a-a9bd-1818e49e6a06", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer l'espérance et la variance de $X$.", "html": "

Déterminer l’espérance et la variance de \$X\$.

\n" } }, { "id": "d3601de5-d3d8-47f4-ae5f-18b5d531a7a8", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a : \n $$\\begin{align*}\n \\E(X) &= \\int_{-\\infty}^{+\\infty} x f(x) dx \\\\\n &= \\int_0^1 6x^2(1-x) dx \\\\\n &= 6 \\int_0^1 (x^2 - x^3) dx \\\\\n &= 6 \\left[ \\frac{x^3}{3} - \\frac{x^4}{4} \\right]_0^1 \\\\\n &= 6 \\left( \\frac{1}{3} - \\frac{1}{4} \\right) \\\\\n &= 6 \\times \\frac{1}{12} \\\\\n &= \\frac{1}{2}.\n \\end{align*}$$\n On a aussi d'après le théorème de transfert : \n $$\\begin{align*}\n \\E(X^2) &= \\int_{-\\infty}^{+\\infty} x^2 f(x) dx \\\\\n &= \\int_0^1 6x^3(1-x) dx \\\\\n &= 6 \\int_0^1 (x^3 - x^4) dx \\\\\n &= 6 \\left[ \\frac{x^4}{4} - \\frac{x^5}{5} \\right]_0^1 \\\\\n &= 6 \\left( \\frac{1}{4} - \\frac{1}{5} \\right) \\\\\n &= 6 \\times \\frac{1}{20} \\\\\n &= \\frac{3}{10}.\n \\end{align*}$$\n On a donc $\\V(X) = \\E(X^2) - \\E(X)^2 = \\frac{3}{10} - \\frac{1}{4} = \\frac{1}{20}$.", "html": "

On a : \\[\\begin{align*}\n \\E(X) &= \\int_{-\\infty}^{+\\infty} x f(x) dx \\\\\n &= \\int_0^1 6x^2(1-x) dx \\\\\n &= 6 \\int_0^1 (x^2 - x^3) dx \\\\\n &= 6 \\left[ \\frac{x^3}{3} - \\frac{x^4}{4} \\right]_0^1 \\\\\n &= 6 \\left( \\frac{1}{3} - \\frac{1}{4} \\right) \\\\\n &= 6 \\times \\frac{1}{12} \\\\\n &= \\frac{1}{2}.\n \\end{align*}\\] On a aussi d’après le théorème de\ntransfert : \\[\\begin{align*}\n \\E(X^2) &= \\int_{-\\infty}^{+\\infty} x^2 f(x) dx \\\\\n &= \\int_0^1 6x^3(1-x) dx \\\\\n &= 6 \\int_0^1 (x^3 - x^4) dx \\\\\n &= 6 \\left[ \\frac{x^4}{4} - \\frac{x^5}{5} \\right]_0^1 \\\\\n &= 6 \\left( \\frac{1}{4} - \\frac{1}{5} \\right) \\\\\n &= 6 \\times \\frac{1}{20} \\\\\n &= \\frac{3}{10}.\n \\end{align*}\\] On a donc \$\\V(X) = \\E(X^2) - \\E(X)^2 = \\frac{3}{10} -\n\\frac{1}{4} = \\frac{1}{20}\$.

\n" } }, { "id": "7d4d4985-44e1-4cba-b00e-9cd95fad49d3", "type": "question", "value": { "latex": "Soit la variable aléatoire $Y = X^2$. En distinguant éventuellement selon les valeurs de $t \\in \\R$, déterminer $a(t)$ et $b(t)$ de telle sorte que $\\{Y \\leq t\\} = \\left\\{a(t) \\leq X \\leq b(t)\\right\\}$.", "html": "

Soit la variable aléatoire \$Y =\nX^2\$. En distinguant éventuellement selon les valeurs de \$t \\in \\R\$, déterminer \$a(t)\$ et \$b(t)\$ de telle sorte que \$\\{Y \\leq t\\} = \\left\\{a(t) \\leq X \\leq\nb(t)\\right\\}\$.

\n" } }, { "id": "57778fb1-1261-4129-9d53-9239e5920630", "type": "reponse", "value": { "latex": "Si $t < 0$, on a $\\{Y \\leq t\\} = \\emptyset$. Si $t \\geq 0$, on a $\\{Y \\leq t\\} = \\{X \\in [-\\sqrt{t},\\sqrt{t}]\\}$.", "html": "

Si \$t < 0\$, on a \$\\{Y \\leq t\\} = \\emptyset\$. Si \$t \\geq 0\$, on a \$\\{Y \\leq t\\} = \\{X \\in\n[-\\sqrt{t},\\sqrt{t}]\\}\$.

\n" } }, { "id": "e43d7ccf-66ce-493b-adae-8cd64d0c900e", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire une expression de la fonction de répartition de $Y$ puis une densité de probabilité de $Y$.", "html": "

En déduire une expression de la fonction de répartition de \$Y\$ puis une densité de probabilité de\n\$Y\$.

\n" } }, { "id": "8e2bbb16-c485-41d0-b7e4-7fd525abc6a1", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $t \\in \\R$. Si $t < 0$, on a $F_Y(t) = 0$. Si $t \\geq 0$, on a : \n $$\\begin{align*}\n F_Y(t) &= \\prob(Y \\leq t) \\\\\n &= \\prob(X \\in [-\\sqrt{t},\\sqrt{t}]) \\\\\n &= F(\\sqrt{t}) - F(-\\sqrt{t}) \\\\\n &= F(\\sqrt{t}) - 0 \\\\\n &= \\begin{cases}\n 3t - 2t^{3/2} & \\text{ si } t \\in [0,1] \\\\\n 1 & \\text{ si } t \\geq 1.\n \\end{cases}\n \\end{align*}$$\n On a donc par dérivation $f_Y(x) = \\begin{cases}\n 3 - 3 \\sqrt{x} & \\text{ si } x \\in [0,1] \\\\\n 0 & \\text{ sinon }\n \\end{cases}$.", "html": "

Soit \$t \\in \\R\$. Si \$t < 0\$, on a \$F_Y(t) = 0\$. Si \$t \\geq 0\$, on a : \\[\\begin{align*}\n F_Y(t) &= \\prob(Y \\leq t) \\\\\n &= \\prob(X \\in [-\\sqrt{t},\\sqrt{t}]) \\\\\n &= F(\\sqrt{t}) - F(-\\sqrt{t}) \\\\\n &= F(\\sqrt{t}) - 0 \\\\\n &= \\begin{cases}\n 3t - 2t^{3/2} & \\text{ si } t \\in [0,1] \\\\\n 1 & \\text{ si } t \\geq 1.\n \\end{cases}\n \\end{align*}\\] On a donc par dérivation \$f_Y(x) = \\begin{cases}\n 3 - 3 \\sqrt{x} & \\text{ si } x \\in [0,1] \\\\\n 0 & \\text{ sinon }\n \\end{cases}\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "j4xc", "titre": "Etude d'une loi de probabilité", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:22:40.029Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:40.029Z" }, "contenu": [ { "id": "d9447067-deb0-42c9-944e-dbfdeaaf33cf", "type": "description", "value": { "latex": "On considère la fonction $f$ définie sur $\\R$ par \n$$f(x)=\\begin{cases} \\lambda x & \\text{ si } x\\in[0,1] \\\\ \n 0 &\\text{ si } x\\notin [0,1].\n \\end{cases}\n$$", "html": "

On considère la fonction \$f\$\ndéfinie sur \$\\R\$ par \\[f(x)=\\begin{cases} \\lambda x & \\text{ si }\nx\\in[0,1] \\\\ \n 0 &\\text{ si } x\\notin [0,1].\n \\end{cases}\\]

\n" } }, { "id": "bcff1041-f8a7-4ac4-a3ba-062ddfc3e6a2", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\lambda$ pour que $f$ soit la densité d'une variable aléatoire absolument continue $X$.", "html": "

Calculer \$\\lambda\$ pour que \$f\$ soit la densité d’une variable\naléatoire absolument continue \$X\$.

\n" } }, { "id": "c994df58-b135-4b79-aa58-46080a6c42b1", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour que $f$ soit une densité, il faut que $f$ soit positive sur $\\R$ (ce qui est le cas ici) et que $\\int_\\R f(x) \\dx =1$. Or\n \\[ \\int_\\R f(x) \\dx=\\int_0^1 \\lambda x \\dx =\\left[ \\frac{\\lambda}{2}x^2\\right]_0^1 =\\frac{\\lambda}{2}\\]\n donc $\\lambda=2$.", "html": "

Pour que \$f\$ soit une densité, il\nfaut que \$f\$ soit positive sur \$\\R\$ (ce qui est le cas ici) et que \$\\int_\\R f(x) \\dx =1\$. Or \\[\\int_\\R f(x) \\dx=\\int_0^1 \\lambda x \\dx =\\left[\n\\frac{\\lambda}{2}x^2\\right]_0^1 =\\frac{\\lambda}{2}\\] donc \$\\lambda=2\$.

\n" } }, { "id": "13c51350-bbed-43de-8771-7d8735f04e44", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer $\\prob\\left(X\\leq \\frac{1}{3}\\right)$ et $\\prob\\left(X\\leq \\frac{2}{3} \\mid X>\\frac{1}{3}\\right)$.", "html": "

Déterminer \$\\prob\\left(X\\leq\n\\frac{1}{3}\\right)\$ et \$\\prob\\left(X\\leq \\frac{2}{3} \\mid\nX>\\frac{1}{3}\\right)\$.

\n" } }, { "id": "610f35d6-8f7e-4741-9e56-f493410f0277", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\\begin{align*}\n &\\prob\\left(X\\leq \\frac{1}{3}\\right)=\\int_{-\\infty}^\\frac{1}{3} f(x)\\dx =[x^2]_0^\\frac{1}{3}=\\frac{1}{9} \\\\\n &\\prob\\left(X\\leq \\frac{2}{3} \\mid X>\\frac{1}{3}\\right)=\\frac{\\prob\\left(\\frac{1}{3}\\frac{1}{3}\\right)}\n = \\frac{\\int_\\frac{1}{3}^\\frac{2}{3}2x \\dx}{1-\\prob\\left(X\\leq \\frac{1}{3}\\right)}\n =\\frac{[x^2]_\\frac{1}{3}^\\frac{2}{3}}{1-\\frac{1}{9}}\n = \\frac{\\frac{1}{3}}{\\frac{8}{9}}\n =\\frac{3}{8}\n \\end{align*}$$", "html": "

\\[\\begin{align*}\n &\\prob\\left(X\\leq \\frac{1}{3}\\right)=\\int_{-\\infty}^\\frac{1}{3}\nf(x)\\dx =[x^2]_0^\\frac{1}{3}=\\frac{1}{9} \\\\\n &\\prob\\left(X\\leq \\frac{2}{3} \\mid\nX>\\frac{1}{3}\\right)=\\frac{\\prob\\left(\\frac{1}{3}<X\\leq\n\\frac{2}{3}\\right)}{\\prob\\left(X>\\frac{1}{3}\\right)}\n = \\frac{\\int_\\frac{1}{3}^\\frac{2}{3}2x \\dx}{1-\\prob\\left(X\\leq\n\\frac{1}{3}\\right)}\n =\\frac{[x^2]_\\frac{1}{3}^\\frac{2}{3}}{1-\\frac{1}{9}}\n = \\frac{\\frac{1}{3}}{\\frac{8}{9}}\n =\\frac{3}{8}\n\\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "dc5ce1f9-403d-4edb-b1e8-2d2194d0bb20", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\E(X)$ et $\\var(X)$.", "html": "

Calculer \$\\E(X)\$ et \$\\var(X)\$.

\n" } }, { "id": "1ab03ab5-07de-4359-8f2a-c0c5407d2e00", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\\E(X)=\\int_\\R xf(x)\\dx =\\int_0^1 2x^2 \\dx =\\left[ \\frac{2}{3}x^3\\right]_0^1=\\frac{2}{3}$$\n $$\\begin{align*}\n \\var(X) &= \\E(X^2)-\\E(X)^2\n = \\int_\\R x^2f(x)\\dx -\\left(\\frac{2}{3}\\right)^2 \n = \\left[ \\frac{1}{2}x^4\\right]_0^1-\\frac{4}{9}\n =\\frac{1}{2}-\\frac{4}{9}\n =\\frac{1}{18}\n \\end{align*}$$", "html": "

\\[\\E(X)=\\int_\\R xf(x)\\dx =\\int_0^1 2x^2\n\\dx =\\left[ \\frac{2}{3}x^3\\right]_0^1=\\frac{2}{3}\\] \\[\\begin{align*}\n \\var(X) &= \\E(X^2)-\\E(X)^2\n = \\int_\\R x^2f(x)\\dx -\\left(\\frac{2}{3}\\right)^2\n = \\left[ \\frac{1}{2}x^4\\right]_0^1-\\frac{4}{9}\n =\\frac{1}{2}-\\frac{4}{9}\n =\\frac{1}{18}\n\\end{align*}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "xQe9", "titre": "Etude d'une loi de probabilité", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:22:56.642Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:56.642Z" }, "contenu": [ { "id": "3d875f66-e6a3-468b-b1ac-3c403a26a327", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $X$ une variable aléatoire réelle suivant une loi uniforme sur $[0;1]$. Soit $\\lambda >0$ et soit la variable aléatoire $Y=\\frac{-1}{\\lambda}\\ln(1-X)$. On note $F_X$, respectivement $F_Y$, la fonction de répartition de la variable $X$, respectivement $Y$.", "html": "

Soit \$X\$ une variable aléatoire\nréelle suivant une loi uniforme sur \$[0;1]\$. Soit \$\\lambda >0\$ et soit la variable\naléatoire \$Y=\\frac{-1}{\\lambda}\\ln(1-X)\$. On note\n\$F_X\$, respectivement \$F_Y\$, la fonction de répartition de la\nvariable \$X\$, respectivement \$Y\$.

\n" } }, { "id": "9af93990-5ce6-42d4-ba07-07bafee134a9", "type": "question", "value": { "latex": "Exprimer $F_Y(t)$ en fonction de $F_X$.", "html": "

Exprimer \$F_Y(t)\$ en fonction de\n\$F_X\$.

\n" } }, { "id": "ed67bf8f-7b3d-4e51-9011-3d4044d259f8", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $t\\in\\mathbb{R}$. On a\n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\tF_Y(t) &= \\prob(Y\\leq t) \\\\\n\t\t\t\t&= \\prob(\\frac{-1}{\\lambda}\\ln(1-X)\\leq t) \\\\\n\t\t\t\t&= \\prob(\\ln(1-X)\\geq -\\lambda t) \\\\\n\t\t\t\t&= \\prob(1-X\\geq e^{-\\lambda t}) \\\\\n\t\t\t\t&= \\prob(X\\leq 1-e^{-\\lambda t}) \\\\\n\t\t\t\t&= F_X(1-e^{-\\lambda t}).\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

Soit \$t\\in\\mathbb{R}\$. On a \\[\\begin{align*}\n F_Y(t) &= \\prob(Y\\leq t) \\\\\n &= \\prob(\\frac{-1}{\\lambda}\\ln(1-X)\\leq t) \\\\\n &= \\prob(\\ln(1-X)\\geq -\\lambda t) \\\\\n &= \\prob(1-X\\geq e^{-\\lambda t}) \\\\\n &= \\prob(X\\leq 1-e^{-\\lambda t}) \\\\\n &= F_X(1-e^{-\\lambda t}).\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "160a2736-8fa9-4042-a708-444280fee0ee", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire la loi suivie par $Y=\\frac{-1}{\\lambda}\\ln(1-X)$ ?", "html": "

En déduire la loi suivie par \$Y=\\frac{-1}{\\lambda}\\ln(1-X)\$ ?

\n" } }, { "id": "934f9612-af90-42b4-94df-540c77f79ce3", "type": "reponse", "value": { "latex": "Or $X\\sim \\mathcal{U}([0;1])$ donc $F_X(x)=\\begin{cases} 0 & \\text{ si } x<0 \\\\ x & \\text{ si } x\\in[0;1[ \\\\ 1 & \\text{ si } x\\geq 1 \\end{cases}$.\n\t\t\t\n\t\t\tDe plus, si $t\\geq 0$, $1-e^{-\\lambda t} \\in [0;1[$ et si $t\\leq 0$, $1-e^{-\\lambda t}<0$.\n\t\t\t\n\t\t\tPar conséquent,\n\t\t\t\\[ F_Y(t)=\\begin{cases}\n\t\t\t\t0 & \\text{ si } t<0 \\\\\n\t\t\t\t1-e^{-\\lambda t} & \\text{ si } t\\geq 0\n\t\t\t\\end{cases}\n\t\t\t\\]\n\t\t\tce qui nous permet de reconnaître la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre $\\lambda$ donc $Y\\sim \\mathcal{E}(\\lambda)$.", "html": "

Or \$X\\sim \\mathcal{U}([0;1])\$ donc\n\$F_X(x)=\\begin{cases} 0 & \\text{ si }\nx<0 \\\\ x & \\text{ si } x\\in[0;1[ \\\\ 1 & \\text{ si } x\\geq 1\n\\end{cases}\$.

De plus, si \$t\\geq 0\$, \$1-e^{-\\lambda t} \\in [0;1[\$ et si \$t\\leq 0\$, \$1-e^{-\\lambda t}<0\$.

Par conséquent, \\[F_Y(t)=\\begin{cases}\n 0 & \\text{ si } t<0 \\\\\n 1-e^{-\\lambda t} & \\text{ si } t\\geq 0\n \\end{cases}\\] ce qui nous permet de reconnaître la\nfonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre \$\\lambda\$ donc \$Y\\sim \\mathcal{E}(\\lambda)\$.

\n" } }, { "id": "1ab8b201-d09a-471c-a4bb-41b377219db7", "type": "question", "value": { "latex": "Dans un langage de programmation, on simule une loi uniforme sur $[0;1]$ avec la commande $\\texttt{rand()}$. Quelle commande peut-on écrire pour simuler une loi exponentielle de paramètre $\\lambda$ ?", "html": "

Dans un langage de programmation, on simule une loi uniforme sur\n\$[0;1]\$ avec la commande \$\\texttt{rand()}\$. Quelle commande peut-on\nécrire pour simuler une loi exponentielle de paramètre \$\\lambda\$ ?

\n" } }, { "id": "033ce418-78d4-4c25-9f64-426ee9aaf5d6", "type": "reponse", "value": { "latex": "Il suffit d'écrire \\texttt{-1/lambda*log(1-rand())} et même \\texttt{-1/lambda*log(rand())} car $1-X$ suit une loi uniforme sur $[0;1]$.", "html": "

Il suffit d’écrire -1/lambda*log(1-rand()) et même\n-1/lambda*log(rand()) car \$1-X\$ suit une loi uniforme sur \$[0;1]\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "aOYg", "titre": "Etude d'une matrice pentadiagonale", "theme": [ "analyse numérique" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:27.826Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:27.826Z" }, "contenu": [ { "id": "0365e23e-320c-44b2-9d51-409f601de559", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $n \\geq 3$, $\\varepsilon >0$ et $A_\\varepsilon$ la matrice pentadiagonale définie par \n\n$$A_\\varepsilon = \\begin{pmatrix}\n\t1 & \\varepsilon & \\varepsilon^2 & & & \\\\\n\t\\varepsilon & 1 & \\varepsilon & \\varepsilon^2 & & \\\\\n\t\\varepsilon^2 & \\ddots & \\ddots & \\ddots & & \\\\\n\t& \\ddots & & & \\varepsilon & \\varepsilon^2 \\\\\n\t& & & \\varepsilon &1 &\\varepsilon \\\\\n\t& & & \\varepsilon^2 & \\varepsilon & 1 \\\\\n\\end{pmatrix}\n$$\net on s'intéresse au système $A_\\varepsilon x = b$ où $x,b \\in \\mathbb{R}^n$.", "html": "

Soit \$n \\geq 3\$, \$\\varepsilon >0\$ et \$A_\\varepsilon\$ la matrice pentadiagonale\ndéfinie par

\\[A_\\varepsilon = \\begin{pmatrix}\n 1 & \\varepsilon & \\varepsilon^2 & & & \\\\\n \\varepsilon & 1 & \\varepsilon & \\varepsilon^2 &\n& \\\\\n \\varepsilon^2 & \\ddots & \\ddots & \\ddots & & \\\\\n & \\ddots & & & \\varepsilon & \\varepsilon^2\n\\\\\n & & & \\varepsilon &1 &\\varepsilon \\\\\n & & & \\varepsilon^2 & \\varepsilon & 1 \\\\\n\\end{pmatrix}\\] et on s’intéresse au système \$A_\\varepsilon x = b\$ où \$x,b \\in \\mathbb{R}^n\$.

\n" } }, { "id": "2bc15d39-a89b-49b2-a70d-ebd25bccbaf0", "type": "question", "value": { "latex": "Ecrire une fonction Python qui génère la matrice $A_\\varepsilon$ pour tout $n$ et $\\varepsilon$ :", "html": "

Ecrire une fonction Python qui génère la matrice \$A_\\varepsilon\$ pour tout \$n\$ et \$\\varepsilon\$ :

\n" } }, { "id": "306c0cb0-0ec8-46f7-bf2a-da479b07e00c", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\insertnotebook{aOYg}", "html": "\n" } }, { "id": "1b16ebbe-7581-44f6-acd4-259192bff721", "type": "question", "value": { "latex": "Donner un intervalle de valeurs de $\\varepsilon$ pour lesquelles $A_\\varepsilon$ est à diagonale strictement dominante.", "html": "

Donner un intervalle de valeurs de \$\\varepsilon\$ pour lesquelles \$A_\\varepsilon\$ est à diagonale strictement\ndominante.

\n" } }, { "id": "4c7654f4-01b2-4bf8-ac0c-a622d63562b9", "type": "reponse", "value": { "latex": "La matrice $A_\\varepsilon$ est à diagonale strictement dominante si et seulement si $1 > 2\\varepsilon + 2\\varepsilon^2 \\iff \\varepsilon \\in \\left[0 ; \\frac{\\sqrt{3}-1}{2} \\right]$.", "html": "

La matrice \$A_\\varepsilon\$ est à\ndiagonale strictement dominante si et seulement si \$1 > 2\\varepsilon + 2\\varepsilon^2 \\iff\n\\varepsilon \\in \\left[0 ; \\frac{\\sqrt{3}-1}{2} \\right]\$.

\n" } }, { "id": "ae1547f4-b906-44a9-afef-a93593ac4d52", "type": "question", "value": { "latex": "Que permet de calculer la fonction suivante où \\texttt{matrice} est une matrice carrée de taille $n$ quelconque ?", "html": "

Que permet de calculer la fonction suivante où matrice\nest une matrice carrée de taille \$n\$\nquelconque ?

\n" } }, { "id": "1d9de224-93ea-4910-bb4a-371219a692e8", "type": "reponse", "value": { "latex": "On reconnaît le calcul du rayon spectral de la matrice.", "html": "

On reconnaît le calcul du rayon spectral de la matrice.

\n" } }, { "id": "8a4e43c5-6dfb-4846-9e29-9f02921479f6", "type": "question", "value": { "latex": "Ecrire une fonction Python qui génère la matrice $b_{\\varepsilon} = A_\\varepsilon\\overline{x}$ où $\\overline{x} = (1,...,1) \\in \\mathbb{R}^n$.", "html": "

Ecrire une fonction Python qui génère la matrice \$b_{\\varepsilon} =\nA_\\varepsilon\\overline{x}\$ où \$\\overline{x} = (1,...,1) \\in\n\\mathbb{R}^n\$.

\n" } }, { "id": "5f0d2499-2e84-4d49-b238-3f4cebaf4220", "type": "question", "value": { "latex": "La méthode de Jacobi est-elle convergente pour $n=10$ et $\\varepsilon = 0.2$ ? Si oui, résoudre le système $A_\\varepsilon x = b_{\\varepsilon}$ par cette méthode et donner le nombre d'itérations nécessaire pour une erreur de $10^{-8}$ et un vecteur initial $x_0 = 0$.", "html": "

La méthode de Jacobi est-elle convergente pour \$n=10\$ et \$\\varepsilon = 0.2\$ ? Si oui, résoudre le\nsystème \$A_\\varepsilon x =\nb_{\\varepsilon}\$ par cette méthode et donner le nombre\nd’itérations nécessaire pour une erreur de \$10^{-8}\$ et un vecteur initial \$x_0 = 0\$.

\n" } }, { "id": "45055e7b-2dcb-4ba2-8383-ab6d4b4a77c4", "type": "reponse", "value": { "latex": "La matrice est à diagonale strictement dominante pour cette valeur de $\\varepsilon$. La résolution demande $26$ itérations.", "html": "

La matrice est à diagonale strictement dominante pour cette valeur de\n\$\\varepsilon\$. La résolution demande\n\$26\$ itérations.

\n" } }, { "id": "3a9230bb-db2e-4d1a-ae60-aaf2f6f20b54", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $B$ la matrice d'itération associée à la méthode de Jacobi pour la matrice $A_\\varepsilon$. Pour $n=20$ fixé, représenter graphiquement le rayon spectral de $B$ en fonction de $\\varepsilon \\in [0;1]$.", "html": "

Soit \$B\$ la matrice d’itération\nassociée à la méthode de Jacobi pour la matrice \$A_\\varepsilon\$. Pour \$n=20\$ fixé, représenter graphiquement le\nrayon spectral de \$B\$ en fonction de\n\$\\varepsilon \\in [0;1]\$.

\n" } }, { "id": "3ed2828e-f22a-406f-b5c0-a09392c87a72", "type": "question", "value": { "latex": "Faire de même pour la méthode de Gauss-Seidel.", "html": "

Faire de même pour la méthode de Gauss-Seidel.

\n" } } ] }, { "uuid": "b1T2", "titre": "Etude d'une matrice tridiagonale", "theme": [ "analyse numérique" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:30.352Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:30.352Z" }, "contenu": [ { "id": "511616bb-fbf3-4df6-b6ce-68682935a105", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $A \\in \\mathcal{M}_{n}(\\mathbb{R})$ la matrice tridiagonale d'ordre $n > 2$ définie par \n$$A = \\begin{pmatrix}\n\t2 & -1 & & & & \\\\\n\t-1 & 2 & -1 & & &\\\\\n\t& \\ddots & \\ddots & \\ddots && \\\\\n\t& & -1 &2 &-1 \\\\\n\t& & & -1 & 2 \\\\\n\\end{pmatrix}\n$$\n\nOn admet que l'ensemble des valeurs propres de $A$ est $$sp(A) = \\left\\{ \\lambda_k = 4 \\sin^2\\left(\\frac{k\\pi}{2(n+1)} \\right) \\, , \\, k \\in \\{1,...,n \\} \\right\\}$$\n\nOn souhaite résoudre un système linéaire $AX=b$ à l'aide d'une méthode itérative et on note $X$ sa solution.", "html": "

Soit \$A \\in\n\\mathcal{M}_{n}(\\mathbb{R})\$ la matrice tridiagonale d’ordre\n\$n > 2\$ définie par \\[A = \\begin{pmatrix}\n 2 & -1 & & & & \\\\\n -1 & 2 & -1 & & &\\\\\n & \\ddots & \\ddots & \\ddots && \\\\\n & & -1 &2 &-1 \\\\\n & & & -1 & 2 \\\\\n\\end{pmatrix}\\]

On admet que l’ensemble des valeurs propres de \$A\$ est \\[sp(A)\n= \\left\\{ \\lambda_k = 4 \\sin^2\\left(\\frac{k\\pi}{2(n+1)} \\right) \\, , \\,\nk \\in \\{1,...,n \\} \\right\\}\\]

On souhaite résoudre un système linéaire \$AX=b\$ à l’aide d’une méthode itérative et\non note \$X\$ sa solution.

\n" } }, { "id": "05dc4daf-849e-4a64-8ef9-261dfe905c21", "type": "question", "value": { "latex": "Exprimer la suite des itérés de la méthode de Jacobi sous la forme $X^{(k+1)}=BX^{(k)}+C$ en exprimant la matrice $B$ en fonction de la matrice identité $I_n$ et de la matrice $A$. La matrice $A$ est-elle à diagonale strictement dominante ?", "html": "

Exprimer la suite des itérés de la méthode de Jacobi sous la forme\n\$X^{(k+1)}=BX^{(k)}+C\$ en exprimant\nla matrice \$B\$ en fonction de la\nmatrice identité \$I_n\$ et de la\nmatrice \$A\$. La matrice \$A\$ est-elle à diagonale strictement\ndominante ?

\n" } }, { "id": "f6bd2a58-3a07-4e89-b63e-cc00a70ea8b9", "type": "reponse", "value": { "latex": "Avec les notations du cours, $A=M-N$ avec $M=2I$ d'où la suite de Jacobi $x^{(k+1)}=M^{-1}Nx^{(k)}+M^{-1}b = (I-\\frac{1}{2}A) x^{(k)} + \\frac{1}{2}b$.\n\t\tLa matrice $A$ n'est pas à diagonale strictement dominante donc la convergence de la méthode de Jacobi n'est pas acquise.", "html": "

Avec les notations du cours, \$A=M-N\$ avec \$M=2I\$ d’où la suite de Jacobi \$x^{(k+1)}=M^{-1}Nx^{(k)}+M^{-1}b =\n(I-\\frac{1}{2}A) x^{(k)} + \\frac{1}{2}b\$. La matrice \$A\$ n’est pas à diagonale strictement\ndominante donc la convergence de la méthode de Jacobi n’est pas\nacquise.

\n" } }, { "id": "ae121bac-4125-4dfe-a190-a19d323f53fa", "type": "question", "value": { "latex": "On définit l'erreur $e^{(k)}=X^{(k)}-X$ à la $k$-ème itération. Exprimer $e^{(k)}$ en fonction de $e^{(k-1)}$ et en déduire que $\\Vert e^{(k)}\\Vert \\leq \\vvvert B\\vvvert^k\\Vert e^{(0)}\\Vert$ où $\\Vert.\\Vert$ est une norme quelconque sur $\\mathbb{R}^{n}$ et $\\vvvert.\\vvvert$ la norme induite sur $\\mathcal{M}_{n}(\\mathbb{R})$.", "html": "

On définit l’erreur \$e^{(k)}=X^{(k)}-X\$ à la \$k\$-ème itération. Exprimer \$e^{(k)}\$ en fonction de \$e^{(k-1)}\$ et en déduire que \$\\Vert e^{(k)}\\Vert \\leq \\vvvert B\\vvvert^k\\Vert\ne^{(0)}\\Vert\$ où \$\\Vert.\\Vert\$ est une norme quelconque sur\n\$\\mathbb{R}^{n}\$ et \$\\vvvert.\\vvvert\$ la norme induite sur\n\$\\mathcal{M}_{n}(\\mathbb{R})\$.

\n" } }, { "id": "96bde868-e101-4650-877b-53e6b4fe11a5", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\\begin{align*}\n\t\t\te^{(k)} &= X^{k}-X\\\\\n\t\t\t&=(BX^{k-1}+ C) - (BX+C) \\\\\n\t\t\t&= B(X^{(k-1)}-X) \\\\\n\t\t\t&=B e^{(k-1)} \n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tdonc par récurrence $e^{(k)}=B^ke^{(0)}$.\tEn passant à la norme et par inégalité des normes induites, $|| e^{(k)}|| \\leq \\vvvert B\\vvvert^k || e^{(0)}||$", "html": "

\\[\\begin{align*}\n e^{(k)} &= X^{k}-X\\\\\n &=(BX^{k-1}+ C) - (BX+C) \\\\\n &= B(X^{(k-1)}-X) \\\\\n &=B e^{(k-1)}\n \\end{align*}\\] donc par récurrence \$e^{(k)}=B^ke^{(0)}\$. En passant à la norme\net par inégalité des normes induites, \$||\ne^{(k)}|| \\leq \\vvvert B\\vvvert^k || e^{(0)}||\$

\n" } }, { "id": "25f43507-7973-4ec5-890b-5688bf459822", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\vvvert B\\vvvert_{\\infty}$. Qu'en conclure ?", "html": "

Calculer \$\\vvvert\nB\\vvvert_{\\infty}\$. Qu’en conclure ?

\n" } }, { "id": "ec2bdcc6-05ee-4bf7-a96e-8447d494b14c", "type": "reponse", "value": { "latex": "On calcule $B = \\begin{pmatrix}\n\t\t\t0 & \\frac{1}{2} & & & & \\\\\n\t\t\t\\frac{1}{2} & 0 & \\frac{1}{2} & & &\\\\\n\t\t\t& \\ddots & \\ddots & \\ddots && \\\\\n\t\t\t& & \\frac{1}{2} &0 &\\frac{1}{2} \\\\\n\t\t\t& & & \\frac{1}{2} & 0 \\\\\n\t\t\\end{pmatrix}\n\t\t$ D'après le cours, $\\displaystyle\\vvvert B\\vvvert_{\\infty} = \\sup\\limits_{1 \\leq i \\leq N} \\sum_{j=1}^N|b_{i,j}| = \\frac{1}{2}+\\frac{1}{2} = 1$. Donc ce choix de norme ne permet pas de conclure que l'erreur tend vers $0$.", "html": "

On calcule \$B = \\begin{pmatrix}\n 0 & \\frac{1}{2} & & & & \\\\\n \\frac{1}{2} & 0 & \\frac{1}{2} & &\n&\\\\\n & \\ddots & \\ddots & \\ddots && \\\\\n & & \\frac{1}{2} &0 &\\frac{1}{2} \\\\\n & & & \\frac{1}{2} & 0 \\\\\n \\end{pmatrix}\$ D’après le cours, \$\\displaystyle\\vvvert B\\vvvert_{\\infty}\n= \\sup\\limits_{1 \\leq i \\leq N} \\sum_{j=1}^N|b_{i,j}| =\n\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2} = 1\$. Donc ce choix de norme ne permet\npas de conclure que l’erreur tend vers \$0\$.

\n" } }, { "id": "d2831b07-9841-4077-b217-c867cea67f89", "type": "question", "value": { "latex": "Vérifier que le rayon spectral de $B$ est $\\rho(B)=\\cos\\left(\\frac{\\pi}{n+1}\\right)$.", "html": "

Vérifier que le rayon spectral de \$B\$ est \$\\rho(B)=\\cos\\left(\\frac{\\pi}{n+1}\\right)\$.

\n" } }, { "id": "50718539-9dd4-418d-a9a1-a6149423ecda", "type": "reponse", "value": { "latex": "Les valeurs propres de $B=I-\\frac{1}{2}A$ sont les valeurs $\\mu_k = 1-2 \\sin^2\\left(\\frac{k\\pi}{2(n+1)}\\right) = \\cos\\left(\\frac{k\\pi}{n+1}\\right)$ donc $\\rho(B) = \\max\\{|\\mu_k|\\} = \\cos\\left(\\frac{\\pi}{n+1}\\right)$.", "html": "

Les valeurs propres de \$B=I-\\frac{1}{2}A\$ sont les valeurs \$\\mu_k = 1-2 \\sin^2\\left(\\frac{k\\pi}{2(n+1)}\\right)\n= \\cos\\left(\\frac{k\\pi}{n+1}\\right)\$ donc \$\\rho(B) = \\max\\{|\\mu_k|\\} =\n\\cos\\left(\\frac{\\pi}{n+1}\\right)\$.

\n" } }, { "id": "a8803a6c-ba6b-4da3-bd82-e65c8dfb1ee3", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire que la méthode de Jacobi converge pour la matrice $A$ quelque soit l'initialisation.", "html": "

En déduire que la méthode de Jacobi converge pour la matrice \$A\$ quelque soit l’initialisation.

\n" } }, { "id": "b0774a29-101e-4556-a701-ba82ba27515d", "type": "reponse", "value": { "latex": "On remarque que $A$ est une matrice symétrique donc $B$ est une matrice symétrique. D'après la propriété 1 admise, $||B||_2 =\\rho(B) = \\cos\\left(\\frac{\\pi}{n+1}\\right)$ donc $0<||B||_2<1$. Donc d'après la question 2, $|| e^{(k)}||_2 \\to 0$ quelque soit l'erreur $e^{(0)}$.\n\t\tcommise au départ, autrement dit la méthode converge.", "html": "

On remarque que \$A\$ est une\nmatrice symétrique donc \$B\$ est une\nmatrice symétrique. D’après la propriété 1 admise, \$||B||_2 =\\rho(B)\n= \\cos\\left(\\frac{\\pi}{n+1}\\right)\$ donc \$0<||B||_2<1\$. Donc d’après la\nquestion 2, \$|| e^{(k)}||_2 \\to 0\$\nquelque soit l’erreur \$e^{(0)}\$.\ncommise au départ, autrement dit la méthode converge.

\n" } } ] }, { "uuid": "aYzL", "titre": "Étude d'une méthode de Monte Carlo", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:22:28.773Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:28.773Z" }, "contenu": [ { "id": "15774268-498a-45bd-9974-c70f9c394f4d", "type": "description", "value": { "latex": "On souhaite calculer à l'aide d'une méthode de Monte Carlo une approximation de l'intégrale $$I=\\int_0^1 \\sin(\\sqrt{x})dx$$ \n\tSoit $(X_i)_{i \\in \\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées selon une loi uniforme $\\mathcal{U}([0;1])$.", "html": "

On souhaite calculer à l’aide d’une méthode de Monte Carlo une\napproximation de l’intégrale \\[I=\\int_0^1\n\\sin(\\sqrt{x})dx\\] Soit \$(X_i)_{i \\in\n\\mathbb{N}^*}\$ une suite de variables aléatoires indépendantes\nidentiquement distribuées selon une loi uniforme \$\\mathcal{U}([0;1])\$.

\n" } }, { "id": "2a4f1b59-facc-4c03-bc05-8ce6da21a014", "type": "question", "value": { "latex": "Démontrer que si on définit la suite de variables aléatoires $(I_n)$ par \n\t\t$$I_n = \\frac{1}{n}\\sum_{k=1}^n \\sin\\left( \\sqrt{X_k} \\right)$$\n\t\talors la suite $(I_n)$ converge presque sûrement vers la constante $I$.", "html": "

Démontrer que si on définit la suite de variables aléatoires \$(I_n)\$ par \\[I_n = \\frac{1}{n}\\sum_{k=1}^n \\sin\\left(\n\\sqrt{X_k} \\right)\\] alors la suite \$(I_n)\$ converge presque sûrement vers la\nconstante \$I\$.

\n" } }, { "id": "ff794c06-39dd-4475-b89f-8af441d24229", "type": "reponse", "value": { "latex": "Les variables $\\left(\\sin\\left( \\sqrt{X_k} \\right) \\right)_i$ sont indépendantes et identiquement distribuées, elles admettent en outre une espérance qui se calcule à l'aide du théorème de transfert. Soit $f$ la densité d'une loi uniforme sur $[0;1]$. Alors $\\mathbb{E}(X_1) = \\int \\sin\\left( \\sqrt{x} \\right) f(x)dx = \\int_0^1 \\sin\\left( \\sqrt{x} \\right)dx = I$.\n\t\t\n\t\tD'après la loi forte de grands nombres, la suite de variables aléatoires $(I_n)$ converge donc presque sûrement vers $\\mathbb{E}(X_1) = I$.", "html": "

Les variables \$\\left(\\sin\\left( \\sqrt{X_k}\n\\right) \\right)_i\$ sont indépendantes et identiquement\ndistribuées, elles admettent en outre une espérance qui se calcule à\nl’aide du théorème de transfert. Soit \$f\$ la densité d’une loi uniforme sur \$[0;1]\$. Alors \$\\mathbb{E}(X_1) = \\int \\sin\\left( \\sqrt{x} \\right)\nf(x)dx = \\int_0^1 \\sin\\left( \\sqrt{x} \\right)dx = I\$.

D’après la loi forte de grands nombres, la suite de variables\naléatoires \$(I_n)\$ converge donc\npresque sûrement vers \$\\mathbb{E}(X_1) =\nI\$.

\n" } }, { "id": "7f163501-1ecd-42d6-8262-9f264763c88c", "type": "question", "value": { "latex": "Compléter le code Python ci-dessous, comportant deux champs manquants, afin qu'il affiche une approximation de $I$.\n\t\t\n\t{\\centering \\fbox{\\BUseVerbatim{aYzLpython}}\\par}", "html": "

Compléter le code Python ci-dessous, comportant deux champs\nmanquants, afin qu’il affiche une approximation de \$I\$.

\n" } }, { "id": "4520deba-0940-49d1-8e3f-3e33da279493", "type": "reponse", "value": { "latex": "{\\centering \\fbox{\\BUseVerbatim{aYzLpythonsolution}}\\par}", "html": "\n" } }, { "id": "09f3a0f5-9138-4394-b736-1ce547e2757b", "type": "description", "value": { "latex": "Pour tout $k \\in \\mathbb{N}^*$, on pose $Y_k= \\sin\\left( \\sqrt{X_k} \\right)$. Les variables aléatoires $(X_k)$ étant i.i.d., les variables aléatoires $(Y_k)$ le sont aussi et on note $\\mu$ leur espérance et $\\sigma^2$ leur variance.", "html": "

Pour tout \$k \\in \\mathbb{N}^*\$, on\npose \$Y_k= \\sin\\left( \\sqrt{X_k}\n\\right)\$. Les variables aléatoires \$(X_k)\$ étant i.i.d., les variables\naléatoires \$(Y_k)\$ le sont aussi et\non note \$\\mu\$ leur espérance et \$\\sigma^2\$ leur variance.

\n" } }, { "id": "2d3d75b8-7a75-4a10-b9bb-6979672bfec6", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer l'espérance et la variance de la variable aléatoire $I_n$ en fonction de $\\mu$, $\\sigma$ et $n$.", "html": "

Calculer l’espérance et la variance de la variable aléatoire \$I_n\$ en fonction de \$\\mu\$, \$\\sigma\$ et \$n\$.

\n" } }, { "id": "09d19e7b-a11f-4e75-8c86-e7f90380c699", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par linéarité de l'espérance, $\\mathbb{E}(I_n) = \\frac{1}{n} \\times n \\times I =I $.\n\t\t\tPar propriétés de la variance et indépendance des variables dans la somme, $V(I_n) = \\frac{1}{n^2} \\times n \\times V(Y_1) = \\frac{V(Y_1)}{n} = \\frac{\\sigma^2}{n}$.", "html": "

Par linéarité de l’espérance, \$\\mathbb{E}(I_n) = \\frac{1}{n} \\times n \\times I\n=I\$. Par propriétés de la variance et indépendance des variables\ndans la somme, \$V(I_n) = \\frac{1}{n^2} \\times\nn \\times V(Y_1) = \\frac{V(Y_1)}{n} = \\frac{\\sigma^2}{n}\$.

\n" } }, { "id": "3025d28c-d47d-4da3-b539-1d5a8e9c8727", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer, en justifiant, une approximation de la loi de la variable aléatoire $$\\frac{\\sqrt{n}}{\\sigma}(I_n-I)$$\n\t\t\tlorsque $n$ est suffisamment grand.", "html": "

Déterminer, en justifiant, une approximation de la loi de la variable\naléatoire \\[\\frac{\\sqrt{n}}{\\sigma}(I_n-I)\\] lorsque\n\$n\$ est suffisamment grand.

\n" } }, { "id": "51f27214-37c3-4d0c-bcc9-93462ff9b371", "type": "reponse", "value": { "latex": "Les variables $Y_k$ sont indépendantes, identiquement distribuées, admettent une espérance et une variance finies, donc d'après le Théorème Central Limite, la variable \n\t\t\t$$\\frac{\\frac{1}{n}\\sum_{k=1}^n Y_k - I }{\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}} = \n\t\t\t\\frac{ \\sum_{k=1}^n \\frac{Y_k}{n} - \\mathbb{E}\\left(\\sum_{k=1}^n \\frac{Y_k}{n} \\right) }{\\sigma\\left(\\sum_{k=1}^n \\frac{Y_k}{n} \\right)}$$\n\t\t\tsuit approximativement une loi normale centrée réduite.", "html": "

Les variables \$Y_k\$ sont\nindépendantes, identiquement distribuées, admettent une espérance et une\nvariance finies, donc d’après le Théorème Central Limite, la variable\n\\[\\frac{\\frac{1}{n}\\sum_{k=1}^n Y_k -\nI }{\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}} =\n \\frac{ \\sum_{k=1}^n \\frac{Y_k}{n} -\n\\mathbb{E}\\left(\\sum_{k=1}^n \\frac{Y_k}{n} \\right)\n}{\\sigma\\left(\\sum_{k=1}^n \\frac{Y_k}{n} \\right)}\\] suit\napproximativement une loi normale centrée réduite.

\n" } }, { "id": "e8bc1a54-5b1b-4a78-a27b-70b3a351d6c6", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire le nombre d'itérations $N_0$ (dépendant de $\\sigma$) à partir duquel la suite $(I_n)$ réalise une approximation de $I$ à $10^{-3}$ près avec une confiance de $95\\%$.", "html": "

En déduire le nombre d’itérations \$N_0\$ (dépendant de \$\\sigma\$) à partir duquel la suite \$(I_n)\$ réalise une approximation de \$I\$ à \$10^{-3}\$ près avec une confiance de \$95\\%\$.

\n" } }, { "id": "238ba144-9287-4ee8-aa7e-07106dc3873d", "type": "reponse", "value": { "latex": "On cherche le rang à partir duquel $\\PP(|I_n-I|<\\varepsilon) \\geq 0.95$ où $\\varepsilon = 10^{-3}$. Or \n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\t\\PP(|I_n-I|<\\varepsilon) &= \\PP(-\\varepsilon < I_n-I < \\varepsilon) \\\\\n\t\t\t\t&= \\PP\\left(-\\frac{\\sqrt{n}}{\\sigma}\\varepsilon < \\frac{\\sqrt{n}}{\\sigma} (I_n-I) < \\frac{\\sqrt{n}}{\\sigma}\\varepsilon \\right) \\\\\n\t\t\t\t&\\approx \\PP\\left(-\\frac{\\sqrt{n}}{\\sigma}\\varepsilon < Z < \\frac{\\sqrt{n}}{\\sigma}\\varepsilon \\right) \\text{ où } Z \\sim \\mathcal{N}(0,1)\n\t\t\t\\end{align*}$$\n\t\t\tOr par lecture de tables, $\\PP(-1.96 < Z < 1.96) \\approx 0.95$ donc il suffit de prendre $n$ tel que $\\frac{\\sqrt{n}}{\\sigma}\\varepsilon \\geq 1.96$ i.e.\n\t\t\t$$n \\geq 10^6 \\left(1.96 \\sigma\\right)^2$$", "html": "

On cherche le rang à partir duquel \$\\PP(|I_n-I|<\\varepsilon) \\geq 0.95\$ où\n\$\\varepsilon = 10^{-3}\$. Or \\[\\begin{align*}\n \\PP(|I_n-I|<\\varepsilon) &= \\PP(-\\varepsilon <\nI_n-I < \\varepsilon) \\\\\n &= \\PP\\left(-\\frac{\\sqrt{n}}{\\sigma}\\varepsilon <\n\\frac{\\sqrt{n}}{\\sigma} (I_n-I) < \\frac{\\sqrt{n}}{\\sigma}\\varepsilon\n\\right) \\\\\n &\\approx\n\\PP\\left(-\\frac{\\sqrt{n}}{\\sigma}\\varepsilon < Z <\n\\frac{\\sqrt{n}}{\\sigma}\\varepsilon \\right) \\text{ où } Z \\sim\n\\mathcal{N}(0,1)\n \\end{align*}\\] Or par lecture de tables, \$\\PP(-1.96 < Z < 1.96) \\approx 0.95\$\ndonc il suffit de prendre \$n\$ tel que\n\$\\frac{\\sqrt{n}}{\\sigma}\\varepsilon \\geq\n1.96\$ i.e. \\[n \\geq 10^6 \\left(1.96\n\\sigma\\right)^2\\]

\n" } }, { "id": "182b1dc1-bd30-4e2f-b251-5c05157bf0ee", "type": "question", "value": { "latex": "Soit la variable \n\t\t\t$$V_n = \\frac{1}{2n} \\sum_{k=1}^n (Y_{2k}-Y_{2k-1})^2$$\n\t\t\tVérifier que la suite $(V_n)$ permet d'approcher la valeur de $\\sigma^2$.", "html": "

Soit la variable \\[V_n = \\frac{1}{2n}\n\\sum_{k=1}^n (Y_{2k}-Y_{2k-1})^2\\] Vérifier que la suite \$(V_n)\$ permet d’approcher la valeur de\n\$\\sigma^2\$.

\n" } }, { "id": "0b9680c6-c8e2-496d-9115-5043490731b1", "type": "reponse", "value": { "latex": "On calcule \n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\t\\mathbb{E}((Y_{2k}-Y_{2k-1})^2) &= \\mathbb{E}(Y_{2k}^2-2Y_{2k}Y_{2k-1} + Y_{2k-1}^2) \\\\\n\t\t\t\t&= \\mathbb{E}(Y_{2k}^2) - 2 \\mathbb{E}(Y_{2k}Y_{2k-1}) +\\mathbb{E}(Y_{2k-1}^2) \\text{ par linéarité } \\\\\n\t\t\t\t&= 2\\mathbb{E}(Y_{2k}^2)- 2 \\mathbb{E}(Y_{2k}Y_{2k-1}) \\text{ par identique distribution } \\\\\n\t\t\t\t&= 2\\mathbb{E}(Y_{2k}^2)- 2 \\mathbb{E}(Y_{2k}) \\mathbb{E}(Y_{2k-1}) \\text{ par indépendance} \\\\\n\t\t\t\t&= 2\\mathbb{E}(Y_{2k}^2)- 2 \\mathbb{E}(Y_{2k})^2 \\\\\n\t\t\t\t&= 2\\mathbb{E}(Y_{1}^2)- 2 \\mathbb{E}(Y_{1})^2 \\\\\n\t\t\t\t&= 2V(Y_1) \n\t\t\t\\end{align*}$$\n\t\t\tdonc d'après la loi forte des grands nombres, $\\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^n (Y_{2k}-Y_{2k-1})^2$ converge simplement vers $2V(Y_1)$, ce qui répond à la question posée.", "html": "

On calcule \\[\\begin{align*}\n \\mathbb{E}((Y_{2k}-Y_{2k-1})^2) &=\n\\mathbb{E}(Y_{2k}^2-2Y_{2k}Y_{2k-1} + Y_{2k-1}^2) \\\\\n &= \\mathbb{E}(Y_{2k}^2) - 2\n\\mathbb{E}(Y_{2k}Y_{2k-1}) +\\mathbb{E}(Y_{2k-1}^2) \\text{ par linéarité\n} \\\\\n &= 2\\mathbb{E}(Y_{2k}^2)- 2\n\\mathbb{E}(Y_{2k}Y_{2k-1}) \\text{ par identique distribution } \\\\\n &= 2\\mathbb{E}(Y_{2k}^2)- 2\n\\mathbb{E}(Y_{2k}) \\mathbb{E}(Y_{2k-1}) \\text{ par indépendance} \\\\\n &= 2\\mathbb{E}(Y_{2k}^2)- 2 \\mathbb{E}(Y_{2k})^2 \\\\\n &= 2\\mathbb{E}(Y_{1}^2)- 2 \\mathbb{E}(Y_{1})^2 \\\\\n &= 2V(Y_1)\n \\end{align*}\\] donc d’après la loi forte des grands\nnombres, \$\\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^n\n(Y_{2k}-Y_{2k-1})^2\$ converge simplement vers \$2V(Y_1)\$, ce qui répond à la question\nposée.

\n" } } ] }, { "uuid": "tPCs", "titre": "Etude d'une méthode itérative", "theme": [ "analyse numérique" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:51.134Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:51.134Z" }, "contenu": [ { "id": "f1079809-52ee-48dd-bf1f-be416ff795f1", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $A \\in \\mathcal{M}_N(\\R)$ une matrice réelle symétrique définie positive et $b\\in \\R^N$. On note $\\rho(A)$ le rayon spectral de la matrice $A$. Pour résoudre le système \n$$Ax=b$$\non considère la suite définie par $x_0 \\in \\R^N$ et $\\sigma \\in \\R$ :\n$$x_{n+1} = x_n - \\sigma(Ax_n-b)$$", "html": "

Soit \$A \\in \\mathcal{M}_N(\\R)\$ une\nmatrice réelle symétrique définie positive et \$b\\in \\R^N\$. On note \$\\rho(A)\$ le rayon spectral de la matrice\n\$A\$. Pour résoudre le système \\[Ax=b\\] on considère la suite définie par\n\$x_0 \\in \\R^N\$ et \$\\sigma \\in \\R\$ : \\[x_{n+1} = x_n - \\sigma(Ax_n-b)\\]

\n" } }, { "id": "a4956090-52bc-4f35-9d82-31e4943d4fb6", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que la méthode converge vers la solution $x$ du système si et seulement si :\n\t$$0 < \\sigma < \\frac{2}{\\rho(A)}$$", "html": "

Montrer que la méthode converge vers la solution \$x\$ du système si et seulement si : \\[0 < \\sigma < \\frac{2}{\\rho(A)}\\]

\n" } }, { "id": "5cf2e8e5-4c47-4628-96ed-dfe1d7cdef6c", "type": "reponse", "value": { "latex": "On vérifie dans un premier temps que si la méthode converge vers un vecteur $y \\in \\R^n$, alors $y$ vérifie $y=y-\\sigma(Ay-b) \\iff Ay=b$ à condition que $\\sigma \\neq 0$.\n\t\t\n\t\tPour que la méthode converge, le cours dit qu'il est nécessaire et suffisant que la matrice d'itération $B$ vérifie $\\rho(B)<1$. Ici, $B = I-\\sigma A$, le spectre de $B$ est $sp(B) = \\{1- \\sigma\\lambda \\mid \\lambda \\in sp(A)\\}$.", "html": "

On vérifie dans un premier temps que si la méthode converge vers un\nvecteur \$y \\in \\R^n\$, alors \$y\$ vérifie \$y=y-\\sigma(Ay-b) \\iff Ay=b\$ à condition\nque \$\\sigma \\neq 0\$.

Pour que la méthode converge, le cours dit qu’il est nécessaire et\nsuffisant que la matrice d’itération \$B\$ vérifie \$\\rho(B)<1\$. Ici, \$B = I-\\sigma A\$, le spectre de \$B\$ est \$sp(B) =\n\\{1- \\sigma\\lambda \\mid \\lambda \\in sp(A)\\}\$.

\n" } }, { "id": "ab6c17b0-bfd8-43fd-896d-5beb3de96d38", "type": "question", "value": { "latex": "Comment choisir $\\sigma$ pour que optimiser la vitesse de convergence de cette méthode ? Exprimer le résultat en fonction de $\\rho(A)$ et $\\rho(A^{-1})$.", "html": "

Comment choisir \$\\sigma\$ pour que\noptimiser la vitesse de convergence de cette méthode ? Exprimer le\nrésultat en fonction de \$\\rho(A)\$ et\n\$\\rho(A^{-1})\$.

\n" } }, { "id": "d4cc66c2-095c-4317-b02a-b10d40bcfb62", "type": "reponse", "value": { "latex": "On cherche $\\sigma$ tel que $\\rho(B)$ soit minimal. Or $\\rho(B) = \\max_i|1-\\sigma\\lambda_i|$. On sait que les valeurs propres de $A$ sont strictement positives, on peut les ranger dans l'ordre croissant $0 < \\lambda _1 \\leq ... \\leq \\lambda _n$, ce qui permet d'affirmer que $\\rho(B) = \\max\\{1-\\sigma \\lambda_1 ; \\sigma \\lambda_n -1 \\}$. \\'Etant donné que cette fonction est décroissante jusqu'au point $\\sigma$ tel que $1-\\sigma \\lambda_1 = \\sigma \\lambda_n-1$, puis croissante au delà, la solution est $\\sigma = \\frac{2}{\\lambda_1+\\lambda_n}$. Or $\\lambda_1 = \\frac{1}{\\rho(A^{-1})}$ et $\\lambda_n = \\rho(A)$ d'où \n\t\t$$\\sigma = \\frac{2}{\\frac{1}{\\rho(A^{-1})} + \\rho(A)}$$", "html": "

On cherche \$\\sigma\$ tel que \$\\rho(B)\$ soit minimal. Or \$\\rho(B) = \\max_i|1-\\sigma\\lambda_i|\$. On\nsait que les valeurs propres de \$A\$\nsont strictement positives, on peut les ranger dans l’ordre croissant\n\$0 < \\lambda _1 \\leq ... \\leq \\lambda\n_n\$, ce qui permet d’affirmer que \$\\rho(B) = \\max\\{1-\\sigma \\lambda_1 ; \\sigma\n\\lambda_n -1 \\}\$. Étant donné que cette fonction est\ndécroissante jusqu’au point \$\\sigma\$\ntel que \$1-\\sigma \\lambda_1 = \\sigma\n\\lambda_n-1\$, puis croissante au delà, la solution est \$\\sigma = \\frac{2}{\\lambda_1+\\lambda_n}\$.\nOr \$\\lambda_1 =\n\\frac{1}{\\rho(A^{-1})}\$ et \$\\lambda_n\n= \\rho(A)\$ d’où \\[\\sigma =\n\\frac{2}{\\frac{1}{\\rho(A^{-1})} + \\rho(A)}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "BZWM", "titre": "Étude d'une série à termes positifs", "theme": [ "séries" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:03.210Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:03.210Z" }, "contenu": [ { "id": "78d825c8-24cf-416c-af54-bc79523d2594", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que la s\\'erie $\\displaystyle\\sum_{n\\geq 1} u_n$ converge.", "html": "

Montrer que la série \$\\displaystyle\\sum_{n\\geq 1} u_n\$\nconverge.

\n" } }, { "id": "fa6af702-807b-4bb2-936b-c54a3fe4e949", "type": "reponse", "value": { "latex": "La suite $(u_n)$ est positive. Calculons le quotient $\\frac{u_{n+1}}{u_n}:$\n$$\\forall n \\in \\N^{*},\\quad \\frac{u_{n+1}}{u_n}=\\frac{(n+1)^{2}}{n!}\\times \\frac{n-1!}{n^{2}}=\\left(\\frac{n+1}{n}\\right)^{2}\\times \\frac{1}{n} \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{} 0<1.$$\nPar la régle de d'Alembert la série $\\displaystyle\\sum_{n\\geq 1} u_n$ converge.", "html": "

La suite \$(u_n)\$ est positive.\nCalculons le quotient \$\\frac{u_{n+1}}{u_n}:\$ \\[\\forall n \\in \\N^{*},\\quad\n\\frac{u_{n+1}}{u_n}=\\frac{(n+1)^{2}}{n!}\\times\n\\frac{n-1!}{n^{2}}=\\left(\\frac{n+1}{n}\\right)^{2}\\times \\frac{1}{n}\n\\xrightarrow[n \\to +\\infty]{} 0<1.\\] Par la régle de\nd’Alembert la série \$\\displaystyle\\sum_{n\\geq\n1} u_n\$ converge.

\n" } } ] }, { "uuid": "800X", "titre": "Etude d'une série entière", "theme": [ "séries entières" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:59.673Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:59.673Z" }, "contenu": [ { "id": "f797cb16-1e7a-46a9-8ea1-cfc3651a7ec2", "type": "question", "value": { "latex": "Donner un équivalent de $\\sin\\left(\\frac{1}{\\sqrt{n}}\\right)$ quand $n \\to +\\infty$.", "html": "

Donner un équivalent de \$\\sin\\left(\\frac{1}{\\sqrt{n}}\\right)\$ quand\n\$n \\to +\\infty\$.

\n" } }, { "id": "a3863d24-9a5c-4522-ba97-bd20db908d1c", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $f$.", "html": "

Déterminer le rayon de convergence \$R\$ de la série entière \$f\$.

\n" } }, { "id": "ec82779a-0baf-47ac-868b-bb0c0efef0cf", "type": "question", "value": { "latex": "La série est-elle convergente lorsque $x=R$ ? $x=-R$ ? En déduire le domaine de convergence de $f$.", "html": "

La série est-elle convergente lorsque \$x=R\$ ? \$x=-R\$ ? En déduire le domaine de\nconvergence de \$f\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "Y8t7", "titre": "Etude d'une série entière", "theme": [ "séries entières" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:25.696Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:25.696Z" }, "contenu": [ { "id": "7175ca23-381f-498c-9200-8dcacefcbc77", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer le rayon de convergence de la série : \n\t$$\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{n^2+4n-1}{n!(n+2)}x^n$$\npuis déterminer sa somme dans l'intervalle ouvert de convergence.", "html": "

Déterminer le rayon de convergence de la série : \\[\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{n^2+4n-1}{n!(n+2)}x^n\\]\npuis déterminer sa somme dans l’intervalle ouvert de convergence.

\n" } }, { "id": "823fdc78-eceb-4f16-98fd-9672721f7410", "type": "reponse", "value": { "latex": "La règle de d'\\textsc{Alembert} montre que le rayon de convergence est égal à $+\\infty$.\n\nPour $n$ entier naturel donné, $\\frac{n^2+4n-1}{n!(n+2)}=\\frac{n^3+5n^2+3n-1}{(n+2)!}$ puis \n\n$$\\begin{align*}\\ensuremath\nn^3+5n^2+3n-1&= (n+2)(n+1)n+2n^2+n-1 = (n+2)(n+1)n+2(n+2)(n+1) - 5n - 5\\\\\n&= (n+2)(n+1)n + 2(n+2)(n+1) - 5(n+2) + 5\n\\end{align*}$$\n\nDonc, pour tout réel $x$,\n\n\t$$f(x) =\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{(n+2)(n+1)n}{(n+2)!}x^n +2\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{(n+2)(n+1)}{(n+2)!}x^n- 5\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{n+2}{(n+2)!}x^n+ 5\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{1}{(n+2)!}x^n.$$\n\nEnsuite $f(0) = -\\frac{1}{2}$ et pour $x\\neq 0$,\n\n$$\\begin{align*}\nf(x)&=\\sum_{n=1}^{+\\infty}\\frac{1}{(n-1)!}x^n +2\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{1}{n!}x^n- 5\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{1}{(n+1)!}x^n+ 5\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{1}{(n+2)!}x^n\\\\\n&= xe^x + 2e^x -5\\frac{e^x-1}{x}+ 5\\frac{e^x-1-x}{x^2}= \\frac{e^x(x^3+2x^2-5x+5) -5x}{x^2}.\n\\end{align*}$$\n\n\t\t$$\\forall x\\in\\Rr \\, \\quad, \\quad \\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{n^2+4n-1}{n!(n+2)}x^n=\\left\\{\n\t\t\\begin{array}{l}\n\t\t\\frac{e^x(x^3+2x^2-5x+5) -5x}{x^2}\\;\\text{si}\\;x\\in\\Rr^*\\\\\n\t\t-\\frac{1}{2}\\;\\text{si}\\;x=0\n\t\t\\end{array}\n\t\t\\right.$$", "html": "

La règle de d’Alembert montre que le\nrayon de convergence est égal à \$+\\infty\$.

Pour \$n\$ entier naturel donné,\n\$\\frac{n^2+4n-1}{n!(n+2)}=\\frac{n^3+5n^2+3n-1}{(n+2)!}\$\npuis

\\[\\begin{align*}\\ensuremath\nn^3+5n^2+3n-1&= (n+2)(n+1)n+2n^2+n-1 = (n+2)(n+1)n+2(n+2)(n+1) - 5n\n- 5\\\\\n&= (n+2)(n+1)n + 2(n+2)(n+1) - 5(n+2) + 5\n\\end{align*}\\]

Donc, pour tout réel \$x\$,

\\[f(x)\n=\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{(n+2)(n+1)n}{(n+2)!}x^n\n+2\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{(n+2)(n+1)}{(n+2)!}x^n-\n5\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{n+2}{(n+2)!}x^n+\n5\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{1}{(n+2)!}x^n.\\]

Ensuite \$f(0) = -\\frac{1}{2}\$ et\npour \$x\\neq 0\$,

\\[\\begin{align*}\nf(x)&=\\sum_{n=1}^{+\\infty}\\frac{1}{(n-1)!}x^n\n+2\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{1}{n!}x^n-\n5\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{1}{(n+1)!}x^n+\n5\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{1}{(n+2)!}x^n\\\\\n&= xe^x + 2e^x -5\\frac{e^x-1}{x}+ 5\\frac{e^x-1-x}{x^2}=\n\\frac{e^x(x^3+2x^2-5x+5) -5x}{x^2}.\n\\end{align*}\\]

\\[\\forall x\\in\\Rr \\, \\quad, \\quad\n\\sum_{n=0}^{+\\infty}\\frac{n^2+4n-1}{n!(n+2)}x^n=\\left\\{\n \\begin{array}{l}\n \\frac{e^x(x^3+2x^2-5x+5) -5x}{x^2}\\;\\text{si}\\;x\\in\\Rr^*\\\\\n -\\frac{1}{2}\\;\\text{si}\\;x=0\n \\end{array}\n \\right.\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "LHbK", "titre": "Étude d'une série numérique", "theme": [ "séries" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:14.182Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:14.182Z" }, "contenu": [ { "id": "7201c6ea-b785-4eb6-ba65-f8579aa3420a", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer un équivalent simple de $v_n$ quand $n$ tend vers l'infini.", "html": "

Déterminer un équivalent simple de \$v_n\$ quand \$n\$ tend vers l’infini.

\n" } }, { "id": "aac5ae91-c10f-4060-bf30-273c041f3eb8", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$v_n = \\frac{n(n+1)}{2n^{\\alpha}} = \\underset{n\\to +\\infty}{\\sim} \\frac{n^2}{2n^{\\alpha}} = \\frac{1}{2}n^{2-\\alpha} \\, .$$", "html": "

\\[v_n = \\frac{n(n+1)}{2n^{\\alpha}} =\n\\underset{n\\to +\\infty}{\\sim} \\frac{n^2}{2n^{\\alpha}} =\n\\frac{1}{2}n^{2-\\alpha} \\, .\\]

\n" } }, { "id": "316b1ebb-4aa2-4bf7-a605-e0f2803d2c74", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire que l'ensemble des valeurs de $\\alpha$ pour lesquelles la série $\\displaystyle\\sum_{n\\geq 1}v_n$ diverge.", "html": "

En déduire que l’ensemble des valeurs de \$\\alpha\$ pour lesquelles la série \$\\displaystyle\\sum_{n\\geq 1}v_n\$\ndiverge.

\n" } }, { "id": "1a9a6154-e600-486d-b83d-764c73b0a8aa", "type": "reponse", "value": { "latex": "Il s'agit du terme général d'une série de Riemann. La série $\\displaystyle\\sum_{n\\geq 1}v_n$ diverge si et seulement si $\\alpha - 2 \\leq 1$ c'est-à-dire $\\alpha \\leq 3$.", "html": "

Il s’agit du terme général d’une série de Riemann. La série \$\\displaystyle\\sum_{n\\geq 1}v_n\$ diverge si\net seulement si \$\\alpha - 2 \\leq 1\$\nc’est-à-dire \$\\alpha \\leq 3\$.

\n" } }, { "id": "7c6fe4d9-ff9a-4f4d-856d-a386f71a20e8", "type": "question", "value": { "latex": "Donner un développement limité de $\\ln\\left(1+\\frac{1}{n^{\\alpha-1}}\\right)$ à l'ordre $1$ quand $n \\to +\\infty$. En déduire que : $$w_n = \\frac{1}{n^{\\alpha-2}} + \\underset{n\\to +\\infty}o\\left(\\frac{1}{n^{\\alpha-2}}\\right) \\, .$$", "html": "

Donner un développement limité de \$\\ln\\left(1+\\frac{1}{n^{\\alpha-1}}\\right)\$\nà l’ordre \$1\$ quand \$n \\to +\\infty\$. En déduire que : \\[w_n = \\frac{1}{n^{\\alpha-2}} + \\underset{n\\to\n+\\infty}o\\left(\\frac{1}{n^{\\alpha-2}}\\right) \\, .\\]

\n" } }, { "id": "56aef18c-bd88-4de8-a803-c0c252acca82", "type": "reponse", "value": { "latex": "D'après le cours, on a :\n\t\t$$\\ln\\left(1+\\frac{1}{n^{\\alpha-1}}\\right) = \\frac{1}{n^{\\alpha-1}} + o\\left(\\frac{1}{n^{\\alpha-1}}\\right) \\, .$$\n\t\tOr $\\left(1+\\frac{n}{n^{\\alpha}}\\right)^{n} = \\exp\\left(n\\ln\\left(1+\\frac{1}{n^{\\alpha-1}}\\right)\\right)$. En utilisant le développement limité de $\\ln\\left(1+\\frac{1}{n^{\\alpha-1}}\\right)$ à l'ordre $1$, on obtient :\n\t\t$$w_n = \\exp\\left(\\frac{n}{n^{\\alpha-1}} + o\\left(\\frac{n}{n^{\\alpha-1}}\\right)\\right) = \\exp\\left(\\frac{1}{n^{\\alpha-2}} + o\\left(\\frac{1}{n^{\\alpha-2}}\\right)\\right)$$\n\t\tOr $\\exp(x) = 1 + x + o(x)$, donc $\\exp(x)-1 = x + o(x)$. On a donc :\n\t\t$$w_n = \\frac{1}{n^{\\alpha-2}} + o\\left(\\frac{1}{n^{\\alpha-2}}\\right) \\, .$$", "html": "

D’après le cours, on a : \\[\\ln\\left(1+\\frac{1}{n^{\\alpha-1}}\\right) =\n\\frac{1}{n^{\\alpha-1}} + o\\left(\\frac{1}{n^{\\alpha-1}}\\right) \\,\n.\\] Or \$\\left(1+\\frac{n}{n^{\\alpha}}\\right)^{n} =\n\\exp\\left(n\\ln\\left(1+\\frac{1}{n^{\\alpha-1}}\\right)\\right)\$. En\nutilisant le développement limité de \$\\ln\\left(1+\\frac{1}{n^{\\alpha-1}}\\right)\$\nà l’ordre \$1\$, on obtient : \\[w_n = \\exp\\left(\\frac{n}{n^{\\alpha-1}} +\no\\left(\\frac{n}{n^{\\alpha-1}}\\right)\\right) =\n\\exp\\left(\\frac{1}{n^{\\alpha-2}} +\no\\left(\\frac{1}{n^{\\alpha-2}}\\right)\\right)\\] Or \$\\exp(x) = 1 + x + o(x)\$, donc \$\\exp(x)-1 = x + o(x)\$. On a donc : \\[w_n = \\frac{1}{n^{\\alpha-2}} +\no\\left(\\frac{1}{n^{\\alpha-2}}\\right) \\, .\\]

\n" } }, { "id": "29d66962-3105-4968-9b28-45c8cc7eee36", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer l'inégalité suivante, pour tout $n \\geq 1:$\n$$0\\le u_n \\leq \\left(1+\\frac{n}{n^{\\alpha}}\\right)^{n}-1.$$\nEn déduire que la série $\\displaystyle\\sum_{n\\geq 1}u_n$ converge si $\\alpha>3$.", "html": "

Montrer l’inégalité suivante, pour tout \$n\n\\geq 1:\$ \\[0\\le u_n \\leq\n\\left(1+\\frac{n}{n^{\\alpha}}\\right)^{n}-1.\\] En déduire que la\nsérie \$\\displaystyle\\sum_{n\\geq\n1}u_n\$ converge si \$\\alpha>3\$.

\n" } }, { "id": "3073ecfa-05c4-4900-9cc5-1fbd04c56f5a", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour tout $k \\in \\{1, \\ldots, n\\}$, on a $1+\\frac{k}{n^{\\alpha}} \\leq 1+\\frac{n}{n^{\\alpha}}$. Par produit, on obtient : \n\t$$\\left(1+\\frac{1}{n^{\\alpha}}\\right)\\times\\left(1+\\frac{2}{n^{\\alpha}}\\right)\\times \\cdots \\times \\left(1+\\frac{n}{n^{\\alpha}}\\right) \\leq \\left(1+\\frac{n}{n^{\\alpha}}\\right)^n \\, .$$\n\tDe plus, pour tout $k \\in \\{1, \\ldots, n\\}$, on a $1+\\frac{k}{n^{\\alpha}} \\geq 1$ donc par produit, on obtient :\n\t$$\\left(1+\\frac{1}{n^{\\alpha}}\\right)\\times\\left(1+\\frac{2}{n^{\\alpha}}\\right)\\times \\cdots \\times \\left(1+\\frac{n}{n^{\\alpha}}\\right) \\geq 1 \\, .$$\n\tEn combinant les deux inégalités précédentes, on obtient :\n\t$$0\\le u_n \\leq \\left(1+\\frac{n}{n^{\\alpha}}\\right)^{n}-1 \\, .$$\n\tOr $\\left(1+\\frac{n}{n^{\\alpha}}\\right)^{n}-1 = w_n$. D'après la question précédente, on a $w_n = \\frac{1}{n^{\\alpha-2}} + o\\left(\\frac{1}{n^{\\alpha-2}}\\right)$. Donc $w_n \\underset{n\\to +\\infty}{\\sim} \\frac{1}{n^{\\alpha-2}}$. Or si $\\alpha > 3$, alors $\\alpha - 2 > 1$ et la série $\\displaystyle\\sum_{n\\geq 1}\\frac{1}{n^{\\alpha-2}}$ converge. Donc par comparaison de séries à termes positifs, la série $\\displaystyle\\sum_{n\\geq 1}u_n$ converge.", "html": "

Pour tout \$k \\in \\{1, \\ldots,\nn\\}\$, on a \$1+\\frac{k}{n^{\\alpha}}\n\\leq 1+\\frac{n}{n^{\\alpha}}\$. Par produit, on obtient : \\[\\left(1+\\frac{1}{n^{\\alpha}}\\right)\\times\\left(1+\\frac{2}{n^{\\alpha}}\\right)\\times\n\\cdots \\times \\left(1+\\frac{n}{n^{\\alpha}}\\right) \\leq\n\\left(1+\\frac{n}{n^{\\alpha}}\\right)^n \\, .\\] De plus, pour tout\n\$k \\in \\{1, \\ldots, n\\}\$, on a \$1+\\frac{k}{n^{\\alpha}} \\geq 1\$ donc par\nproduit, on obtient : \\[\\left(1+\\frac{1}{n^{\\alpha}}\\right)\\times\\left(1+\\frac{2}{n^{\\alpha}}\\right)\\times\n\\cdots \\times \\left(1+\\frac{n}{n^{\\alpha}}\\right) \\geq 1 \\, .\\]\nEn combinant les deux inégalités précédentes, on obtient : \\[0\\le u_n \\leq\n\\left(1+\\frac{n}{n^{\\alpha}}\\right)^{n}-1 \\, .\\] Or \$\\left(1+\\frac{n}{n^{\\alpha}}\\right)^{n}-1 =\nw_n\$. D’après la question précédente, on a \$w_n = \\frac{1}{n^{\\alpha-2}} +\no\\left(\\frac{1}{n^{\\alpha-2}}\\right)\$. Donc \$w_n \\underset{n\\to +\\infty}{\\sim}\n\\frac{1}{n^{\\alpha-2}}\$. Or si \$\\alpha > 3\$, alors \$\\alpha - 2 > 1\$ et la série \$\\displaystyle\\sum_{n\\geq\n1}\\frac{1}{n^{\\alpha-2}}\$ converge. Donc par comparaison de\nséries à termes positifs, la série \$\\displaystyle\\sum_{n\\geq 1}u_n\$\nconverge.

\n" } }, { "id": "513a65ab-3bb3-48a2-940c-c2558cc7a80a", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que pour tout entier naturel $n \\geq 1,$ la suite $(u_n)$ v\\'erifie l'inégalité suivante:\n\t$$u_n \\geq \\frac{n(n+1)}{2n^{\\alpha}} \\,.$$", "html": "

Montrer que pour tout entier naturel \$n\n\\geq 1,\$ la suite \$(u_n)\$\nvérifie l’inégalité suivante: \\[u_n \\geq\n\\frac{n(n+1)}{2n^{\\alpha}} \\,.\\]

\n" } }, { "id": "e8ac1254-155a-4bb4-852d-eccba1d4e9ca", "type": "reponse", "value": { "latex": "En développant le produit, on observe que :\n\t$$\\left(1+\\frac{1}{n^{\\alpha}}\\right)\\times\\left(1+\\frac{2}{n^{\\alpha}}\\right)\\times \\cdots \\times \\left(1+\\frac{n}{n^{\\alpha}}\\right) = 1 \\times \\cdots \\times 1 + 1 \\times \\cdots \\times 1 \\times \\frac{1}{n^{\\alpha}} + \\cdots + \\frac{n}{n^{\\alpha}} + \\cdots$$\n\tDonc :\n\t$$u_n \\geq 1 + \\frac{1}{n^{\\alpha}} + \\cdots + \\frac{n}{n^{\\alpha}} - 1 = \\frac{n(n+1)}{2n^{\\alpha}} \\, .$$", "html": "

En développant le produit, on observe que : \\[\\left(1+\\frac{1}{n^{\\alpha}}\\right)\\times\\left(1+\\frac{2}{n^{\\alpha}}\\right)\\times\n\\cdots \\times \\left(1+\\frac{n}{n^{\\alpha}}\\right) = 1 \\times \\cdots\n\\times 1 + 1 \\times \\cdots \\times 1 \\times \\frac{1}{n^{\\alpha}} +\n\\cdots + \\frac{n}{n^{\\alpha}} + \\cdots\\] Donc : \\[u_n \\geq 1 + \\frac{1}{n^{\\alpha}} + \\cdots +\n\\frac{n}{n^{\\alpha}} - 1 = \\frac{n(n+1)}{2n^{\\alpha}} \\, .\\]

\n" } }, { "id": "63d2c34b-bec8-47fb-8621-2823ff90ed8d", "type": "question", "value": { "latex": "Déduire des questions précédentes l'ensemble des valeurs de $\\alpha$ pour lesquelles la série $\\displaystyle\\sum_{n\\geq 1}u_n$ converge.", "html": "

Déduire des questions précédentes l’ensemble des valeurs de \$\\alpha\$ pour lesquelles la série \$\\displaystyle\\sum_{n\\geq 1}u_n\$\nconverge.

\n" } }, { "id": "2d238633-5a4f-4e94-a472-09a1880e61a1", "type": "reponse", "value": { "latex": "Le terme général $u_n$ est minoré par $v_n$ qui est le terme général d'une série divergente si $\\alpha \\leq 3$, donc $\\displaystyle\\sum_{n\\geq 1}u_n$ diverge si $\\alpha \\leq 3$. De plus, le terme général $u_n$ est majoré par $w_n$ qui est le terme général d'une série convergente si $\\alpha > 3$, donc $\\displaystyle\\sum_{n\\geq 1}u_n$ converge si $\\alpha > 3$. \n\n\tFinalement, la série $\\displaystyle\\sum_{n\\geq 1}u_n$ converge si et seulement si $\\alpha > 3$.", "html": "

Le terme général \$u_n\$ est minoré\npar \$v_n\$ qui est le terme général\nd’une série divergente si \$\\alpha \\leq\n3\$, donc \$\\displaystyle\\sum_{n\\geq\n1}u_n\$ diverge si \$\\alpha \\leq\n3\$. De plus, le terme général \$u_n\$ est majoré par \$w_n\$ qui est le terme général d’une série\nconvergente si \$\\alpha > 3\$, donc\n\$\\displaystyle\\sum_{n\\geq 1}u_n\$\nconverge si \$\\alpha > 3\$.

Finalement, la série \$\\displaystyle\\sum_{n\\geq 1}u_n\$ converge\nsi et seulement si \$\\alpha >\n3\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "PPhD", "titre": "Etude d'une variable aléatoire à densité", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:22:17.956Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:17.956Z" }, "contenu": [ { "id": "1039325d-d90c-4c9f-b9ea-28a781535b83", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la valeur de $k$.", "html": "

Déterminer la valeur de \$k\$.

\n" } }, { "id": "2bb41eea-be9f-4d97-b4e2-4f6d91d7ff41", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour que $f_X$ soit une densité, il faut que $\\int_{\\R} f_X(x) dx = 1$. On a donc :\n $$\\begin{align*}\n \\int_{\\R} f_X(x) dx &= \\int_{-1}^1 kx^2 dx \\\\\n &= \\left[ \\frac{k}{3}x^3 \\right]_{-1}^1 \\\\\n &= \\frac{2k}{3} = 1\n \\end{align*}$$\n Donc $k = \\frac{3}{2}$.", "html": "

Pour que \$f_X\$ soit une densité,\nil faut que \$\\int_{\\R} f_X(x) dx =\n1\$. On a donc : \\[\\begin{align*}\n \\int_{\\R} f_X(x) dx &= \\int_{-1}^1 kx^2 dx \\\\\n &= \\left[ \\frac{k}{3}x^3 \\right]_{-1}^1 \\\\\n &= \\frac{2k}{3} = 1\n \\end{align*}\\] Donc \$k =\n\\frac{3}{2}\$.

\n" } }, { "id": "9a6119a5-cceb-414d-b5e9-c4f2924ea301", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la fonction de répartition $F_X$ de $X$.", "html": "

Déterminer la fonction de répartition \$F_X\$ de \$X\$.

\n" } }, { "id": "456bef25-16f8-4edc-99f1-e5eaf7e9e679", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\\begin{align*}\n F_X \\colon t \\mapsto \\begin{cases}\n 0 & \\text{si } t < -1 \\\\\n \\frac{3}{2} \\int_{-1}^t x^2 dx & \\text{si } t \\in [-1;1] \\\\\n 1 & \\text{si } t > 1\n \\end{cases}\n \\end{align*}$$\n donc :\n $$\\begin{align*}\n F_X \\colon x \\mapsto \\begin{cases}\n 0 & \\text{si } t < -1 \\\\\n \\frac{1}{2}t^3 + \\frac{1}{2} & \\text{si } t \\in [-1;1] \\\\\n 1 & \\text{si } t > 1\n \\end{cases}\n \\end{align*}$$", "html": "

\\[\\begin{align*}\n F_X \\colon t \\mapsto \\begin{cases}\n 0 & \\text{si } t < -1 \\\\\n \\frac{3}{2} \\int_{-1}^t x^2 dx & \\text{si } t \\in [-1;1]\n\\\\\n 1 & \\text{si } t > 1\n \\end{cases}\n \\end{align*}\\] donc : \\[\\begin{align*}\n F_X \\colon x \\mapsto \\begin{cases}\n 0 & \\text{si } t < -1 \\\\\n \\frac{1}{2}t^3 + \\frac{1}{2} & \\text{si } t \\in [-1;1]\n\\\\\n 1 & \\text{si } t > 1\n \\end{cases}\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "b55386a2-e923-48ce-9d3d-cc3fdc5af9ad", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\prob(X \\leq \\frac{1}{2} \\mid X > 0)$.", "html": "

Calculer \$\\prob(X \\leq \\frac{1}{2} \\mid X\n> 0)\$.

\n" } }, { "id": "1358c67f-b265-4d5c-9577-b046bf41b551", "type": "reponse", "value": { "latex": "D'après la formule des probabilités conditionnelles, on a :\n$$\\begin{align*}\n \\prob(X \\leq \\frac{1}{2} \\mid X > 0) &= \\frac{\\prob(X \\leq \\frac{1}{2} \\cap X > 0)}{\\prob(X > 0)} \\\\\n &= \\frac{\\prob(0 < X \\leq \\frac{1}{2})}{\\prob(X > 0)}\n\\end{align*}$$\nOr $\\prob(X>0) = 1 - \\prob(X \\leq 0) = 1 - F_X(0) = 1 - \\frac{1}{2} = \\frac{1}{2}$ et : \n$$\\begin{align*}\n \\prob(0 < X \\leq \\frac{1}{2}) &= F_X(\\frac{1}{2}) - F_X(0) \\\\\n &= \\frac{1}{2}(\\frac{1}{2})^3 + \\frac{1}{2} - \\frac{1}{2} \\\\\n &= \\frac{1}{16} \n\\end{align*}$$\nDonc $\\prob(X \\leq \\frac{1}{2} \\mid X > 0) = \\frac{\\frac{1}{16}}{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{8}$.", "html": "

D’après la formule des probabilités conditionnelles, on a : \\[\\begin{align*}\n \\prob(X \\leq \\frac{1}{2} \\mid X > 0) &= \\frac{\\prob(X \\leq\n\\frac{1}{2} \\cap X > 0)}{\\prob(X > 0)} \\\\\n &= \\frac{\\prob(0 < X \\leq \\frac{1}{2})}{\\prob(X > 0)}\n\\end{align*}\\] Or \$\\prob(X>0) = 1 -\n\\prob(X \\leq 0) = 1 - F_X(0) = 1 - \\frac{1}{2} = \\frac{1}{2}\$ et\n: \\[\\begin{align*}\n \\prob(0 < X \\leq \\frac{1}{2}) &= F_X(\\frac{1}{2}) - F_X(0) \\\\\n &= \\frac{1}{2}(\\frac{1}{2})^3 + \\frac{1}{2} - \\frac{1}{2} \\\\\n &= \\frac{1}{16}\n\\end{align*}\\] Donc \$\\prob(X \\leq\n\\frac{1}{2} \\mid X > 0) = \\frac{\\frac{1}{16}}{\\frac{1}{2}} =\n\\frac{1}{8}\$.

\n" } }, { "id": "5953868b-564b-461c-829a-a676907884f0", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\E(X)$ et $\\var(X)$.", "html": "

Calculer \$\\E(X)\$ et \$\\var(X)\$.

\n" } }, { "id": "513798ed-2292-42d2-92b4-67e665512a84", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\\begin{align*}\n \\E(X) &= \\int_{\\R} xf_X(x) dx \\\\\n &= \\int_{-1}^1 x \\frac{3}{2}x^2 dx \\\\\n &= \\left[ \\frac{3}{8}x^4 \\right]_{-1}^1 \\\\\n &= 0\n \\end{align*}$$\n D'après le théorème de transfert, on a : \n $$\\begin{align*}\n \\E(X^2) &= \\int_{\\R} x^2 f_X(x) dx \\\\\n &= \\int_{-1}^1 x^2 \\frac{3}{2}x^2 dx \\\\\n &= \\left[ \\frac{3}{10}x^5 \\right]_{-1}^1 \\\\\n &= \\frac{3}{5}\n \\end{align*}$$\n Donc $\\var(X) = \\E(X^2) - \\E(X)^2 = \\frac{3}{5}$.", "html": "

\\[\\begin{align*}\n \\E(X) &= \\int_{\\R} xf_X(x) dx \\\\\n &= \\int_{-1}^1 x \\frac{3}{2}x^2 dx \\\\\n &= \\left[ \\frac{3}{8}x^4 \\right]_{-1}^1 \\\\\n &= 0\n \\end{align*}\\] D’après le théorème de transfert, on a : \\[\\begin{align*}\n \\E(X^2) &= \\int_{\\R} x^2 f_X(x) dx \\\\\n &= \\int_{-1}^1 x^2 \\frac{3}{2}x^2 dx \\\\\n &= \\left[ \\frac{3}{10}x^5 \\right]_{-1}^1 \\\\\n &= \\frac{3}{5}\n \\end{align*}\\] Donc \$\\var(X) =\n\\E(X^2) - \\E(X)^2 = \\frac{3}{5}\$.

\n" } }, { "id": "72436438-a8c3-4e3a-9aa4-2c4dcd84de33", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $Y = X^2$. Déterminer la fonction de répartition $F_Y$ de $Y$ et en déduire sa densité.", "html": "

Soit \$Y = X^2\$. Déterminer la\nfonction de répartition \$F_Y\$ de\n\$Y\$ et en déduire sa densité.

\n" } }, { "id": "d2302c21-f346-46ee-b06e-83c2d0ebc4dd", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par définition, si $t \\in \\R$ alors $F_Y(t) = \\prob(Y \\leq t) = \\prob(X^2 \\leq t)$. Donc : \n $$F_Y(t) = \\begin{cases}\n 0 & \\text{si } t < 0 \\\\\n \\prob(-\\sqrt{t} \\leq X \\leq \\sqrt{t}) & \\text{si } t \\geq 0\n \\end{cases}$$\n Or si $t \\geq 0$, $\\prob(-\\sqrt{t} \\leq X \\leq \\sqrt{t}) = F_X(\\sqrt{t}) - F_X(-\\sqrt{t}) = \\begin{cases}\n 1 & \\text{si } t \\geq 1 \\\\\n \\left[ \\frac{1}{2} x^3 \\right]_{-\\sqrt{t}}^{\\sqrt{t}} = t\\sqrt{t} & \\text{si } t \\in [0;1]\n \\end{cases}$.\n\n En définitive, $$F_Y(t) = \\begin{cases}\n 0 & \\text{si } t < 0 \\\\\n t\\sqrt{t} & \\text{si } t \\in [0;1] \\\\\n 1 & \\text{si } t \\geq 1\n \\end{cases}$$\nPar dérivation de la fonction de répartition, on obtient la densité de $Y$ : \n$$f_Y(t) = \\begin{cases}\n \\frac{3}{2}\\sqrt{t} & \\text{si } t \\in [0;1] \\\\\n 0 & \\text{sinon}\n\\end{cases}$$", "html": "

Par définition, si \$t \\in \\R\$\nalors \$F_Y(t) = \\prob(Y \\leq t) = \\prob(X^2\n\\leq t)\$. Donc : \\[F_Y(t) =\n\\begin{cases}\n 0 & \\text{si } t < 0 \\\\\n \\prob(-\\sqrt{t} \\leq X \\leq \\sqrt{t}) & \\text{si } t \\geq 0\n \\end{cases}\\] Or si \$t \\geq\n0\$, \$\\prob(-\\sqrt{t} \\leq X \\leq\n\\sqrt{t}) = F_X(\\sqrt{t}) - F_X(-\\sqrt{t}) = \\begin{cases}\n 1 & \\text{si } t \\geq 1 \\\\\n \\left[ \\frac{1}{2} x^3 \\right]_{-\\sqrt{t}}^{\\sqrt{t}} =\nt\\sqrt{t} & \\text{si } t \\in [0;1]\n \\end{cases}\$.

En définitive, \\[F_Y(t) = \\begin{cases}\n 0 & \\text{si } t < 0 \\\\\n t\\sqrt{t} & \\text{si } t \\in [0;1] \\\\\n 1 & \\text{si } t \\geq 1\n \\end{cases}\\] Par dérivation de la fonction de répartition,\non obtient la densité de \$Y\$ : \\[f_Y(t) = \\begin{cases}\n \\frac{3}{2}\\sqrt{t} & \\text{si } t \\in [0;1] \\\\\n 0 & \\text{sinon}\n\\end{cases}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "urL7", "titre": "Etude de diverses séries", "theme": [ "séries" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:53.749Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:53.749Z" }, "contenu": [ { "id": "55b39ddc-6a40-431c-8598-f87b0082c897", "type": "description", "value": { "latex": "Dans chacun des cas, dire si la série est absolument convergente, semi-convergente, divergente ou grossièrement divergente.", "html": "

Dans chacun des cas, dire si la série est absolument convergente,\nsemi-convergente, divergente ou grossièrement divergente.

\n" } }, { "id": "7ea7d059-82d5-4d59-b67b-cf1562d92e8b", "type": "question", "value": { "latex": "$\\sum (\\sqrt{n+1}-\\sqrt{n})$", "html": "

\$\\sum (\\sqrt{n+1}-\\sqrt{n})\$

\n" } }, { "id": "d9352909-bf94-4e18-9284-0866673c1f1c", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $u_n=\\sqrt{n+1}-\\sqrt{n}$ pour $n\\in\\N$. La série $\\sum u_n$ est à termes positifs. Il s'agit d'une série télescopique: pour $n\\geq 1$,\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\tS_n=&\\sum_{k=0}^n (\\sqrt{k+1}-\\sqrt{k}) =\\sum_{k=0}^n \\sqrt{k+1}- \\sum_{k=0}^n\\sqrt{k} \n\t\t=\\sum_{k=1}^{n+1} \\sqrt{k}- \\sum_{k=0}^n\\sqrt{k} \\\\\n\t\t=& (1+\\sqrt{2}+\\cdots + \\sqrt{n} +\\sqrt{n+1})-(0+1+\\sqrt{2}+\\cdots + \\sqrt{n}) \\\\\n\t\t=& \\sqrt{n+1}.\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tEn faisant tendre $n$ vers l'infini, on obtient que la suite des sommes partielles de la série $\\sum u_n$ tend vers l'infini. Par conséquent, la série $\\sum (\\sqrt{n+1}-\\sqrt{n})$ est une \\textbf{série divergente}.", "html": "

Soit \$u_n=\\sqrt{n+1}-\\sqrt{n}\$\npour \$n\\in\\N\$. La série \$\\sum u_n\$ est à termes positifs. Il s’agit\nd’une série télescopique: pour \$n\\geq\n1\$, \\[\\begin{align*}\n S_n=&\\sum_{k=0}^n (\\sqrt{k+1}-\\sqrt{k}) =\\sum_{k=0}^n\n\\sqrt{k+1}- \\sum_{k=0}^n\\sqrt{k}\n =\\sum_{k=1}^{n+1} \\sqrt{k}- \\sum_{k=0}^n\\sqrt{k} \\\\\n =& (1+\\sqrt{2}+\\cdots + \\sqrt{n}\n+\\sqrt{n+1})-(0+1+\\sqrt{2}+\\cdots + \\sqrt{n}) \\\\\n =& \\sqrt{n+1}.\n \\end{align*}\\] En faisant tendre \$n\$ vers l’infini, on obtient que la suite\ndes sommes partielles de la série \$\\sum\nu_n\$ tend vers l’infini. Par conséquent, la série \$\\sum (\\sqrt{n+1}-\\sqrt{n})\$ est une\nsérie divergente.

\n" } }, { "id": "3956bb2f-b830-47f2-a518-b9f704a3e2a4", "type": "question", "value": { "latex": "$\\sum \\left(1-\\cos \\left(\\frac{\\pi}{n}\\right)\\right)$", "html": "

\$\\sum \\left(1-\\cos\n\\left(\\frac{\\pi}{n}\\right)\\right)\$

\n" } }, { "id": "041590a7-406f-4fc4-bddc-6923b1964d86", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $u_n=1-\\cos(\\frac{\\pi}{n})$. La série $\\sum u_n$ est une série à termes positifs. Quand $n$ tend vers l'infini, on a l'équivalence suivante:\n\t\t\\[ 1- \\cos\\Big(\\frac{\\pi}{n}\\Big) \\sim \\frac{\\pi^2}{n^2}.\\]\n\t\tOr $\\sum \\frac{1}{n^2}$ est une série de Riemann convergente donc $\\sum \\frac{\\pi^2}{n^2}$ est également convergente. \\\\\n\t\tPar le théorème d'équivalence, on en déduit que la série $\\sum u_n$ est convergente. Comme cette série est à termes positifs, cela revient à dire que la série $\\sum u_n$ est une \\textbf{série absolument convergente}.", "html": "

Soit \$u_n=1-\\cos(\\frac{\\pi}{n})\$.\nLa série \$\\sum u_n\$ est une série à\ntermes positifs. Quand \$n\$ tend vers\nl’infini, on a l’équivalence suivante: \\[1-\n\\cos\\Big(\\frac{\\pi}{n}\\Big) \\sim \\frac{\\pi^2}{n^2}.\\] Or \$\\sum \\frac{1}{n^2}\$ est une série de\nRiemann convergente donc \$\\sum\n\\frac{\\pi^2}{n^2}\$ est également convergente.
\nPar le théorème d’équivalence, on en déduit que la série \$\\sum u_n\$ est convergente. Comme cette\nsérie est à termes positifs, cela revient à dire que la série \$\\sum u_n\$ est une série absolument\nconvergente.

\n" } }, { "id": "1fcdcbd8-d910-4dbd-ac28-8f7a10f155b1", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $u_n=\\frac{2^n+100}{3^n+1}$ pour $n\\in\\N$. La série $\\sum u_n$ est à termes positifs. On a:\n\t\t\\[ \\frac{2^n+100}{3^n+1} \\sim \\frac{2^n}{3^n}=\\Big(\\frac{2}{3}\\Big)^n,\\]\n\t\tqui est le terme général d'une série géométrique de raison $\\frac{2}{3}<1$ donc convergente. Par équivalence, on en déduit que la série $\\sum u_n$ est convergente. Comme $u_n\\geq 0$ pour tout $n\\in\\N$, la série $\\sum u_n$ est \\textbf{absolument convergente}.", "html": "

Soit \$u_n=\\frac{2^n+100}{3^n+1}\$\npour \$n\\in\\N\$. La série \$\\sum u_n\$ est à termes positifs. On a:\n\\[\\frac{2^n+100}{3^n+1} \\sim\n\\frac{2^n}{3^n}=\\Big(\\frac{2}{3}\\Big)^n,\\] qui est le terme\ngénéral d’une série géométrique de raison \$\\frac{2}{3}<1\$ donc convergente. Par\néquivalence, on en déduit que la série \$\\sum\nu_n\$ est convergente. Comme \$u_n\\geq\n0\$ pour tout \$n\\in\\N\$, la\nsérie \$\\sum u_n\$ est\nabsolument convergente.

\n" } }, { "id": "bf2ce00a-f82a-4802-8406-223ad80f9c7d", "type": "question", "value": { "latex": "$\\sum \\Big(1-(1-\\frac{1}{\\sqrt{n}})^n\\Big)$", "html": "

\$\\sum\n\\Big(1-(1-\\frac{1}{\\sqrt{n}})^n\\Big)\$

\n" } }, { "id": "60319a2d-92b1-420c-bb75-b5a5417126c2", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $ u_n=1-(1-\\frac{1}{\\sqrt{n}})^n$ pour $n\\geq 1$. La série $\\sum u_n$ est à termes positifs. On a:\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t1-\\Big(1-\\frac{1}{\\sqrt{n}}\\Big)^n=1-e^{n\\ln\\Big(1-\\frac{1}{\\sqrt{n}}\\Big)}\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tOn utilise ensuite un développement limité (car l'utilisation d'équivalent n'est pas possible dans l'exponentielle):\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t1-\\Big(1-\\frac{1}{\\sqrt{n}}\\Big)^n=&1-e^{n\\Big(\\frac{-1}{\\sqrt{n}}-\\frac{1}{2n} +o(\\frac{1}{n})\\Big)} \n\t\t=1-e^{\\frac{-n}{\\sqrt{n}}-\\frac{n}{2n} +o(\\frac{n}{n})} \n\t\t=1-e^{-\\sqrt{n}-\\frac{1}{2}+o(1)}, \n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tqui a pour limite $1$ quand $n$ vers plus l'infini.\\\\\n\t\tLe terme général de la série $\\sum u_n$ ne tend donc pas vers $0$. Par conséquent, cette série \\textbf{diverge grossièrement}.", "html": "

Soit \$u_n=1-(1-\\frac{1}{\\sqrt{n}})^n\$ pour \$n\\geq 1\$. La série \$\\sum u_n\$ est à termes positifs. On a:\n\\[\\begin{align*}\n 1-\\Big(1-\\frac{1}{\\sqrt{n}}\\Big)^n=1-e^{n\\ln\\Big(1-\\frac{1}{\\sqrt{n}}\\Big)}\n \\end{align*}\\] On utilise ensuite un développement limité\n(car l’utilisation d’équivalent n’est pas possible dans\nl’exponentielle): \\[\\begin{align*}\n 1-\\Big(1-\\frac{1}{\\sqrt{n}}\\Big)^n=&1-e^{n\\Big(\\frac{-1}{\\sqrt{n}}-\\frac{1}{2n}\n+o(\\frac{1}{n})\\Big)}\n =1-e^{\\frac{-n}{\\sqrt{n}}-\\frac{n}{2n} +o(\\frac{n}{n})}\n =1-e^{-\\sqrt{n}-\\frac{1}{2}+o(1)},\n \\end{align*}\\] qui a pour limite \$1\$ quand \$n\$ vers plus l’infini.
\nLe terme général de la série \$\\sum\nu_n\$ ne tend donc pas vers \$0\$. Par conséquent, cette série\ndiverge grossièrement.

\n" } }, { "id": "0a38dd0e-477f-4093-8a15-94155ff0928d", "type": "question", "value": { "latex": "$\\sum \\Big(\\frac{1}{n}-\\ln\\Big(1+\\frac{1}{n}\\Big) \\Big)$", "html": "

\$\\sum\n\\Big(\\frac{1}{n}-\\ln\\Big(1+\\frac{1}{n}\\Big) \\Big)\$

\n" } }, { "id": "b878ecdd-d0a0-405d-94de-261937c7aae4", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $u_n=\\frac{1}{n}-\\ln(1+\\frac{1}{n})$ pour $n\\geq 1$. La série $\\sum u_n$ est à termes positifs. On utilise un développement limité (car on ne peut pas sommer des équivalents):\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\tu_n=\\frac{1}{n}-\\Big(\\frac{1}{n}-\\frac{1}{2n^2}+o(\\frac{1}{n^2})\\Big) \n\t\t= \\frac{1}{2n^2}+o(\\frac{1}{n^2})\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tce qui donne l'équivalence:\n\t\t\\[u_n \\sim_{+\\infty} \\frac{1}{2n^2},\\]\n\t\tqui est le terme d'une série de Riemann convergente. On en déduit que la série $\\sum u_n$ converge. De plus, cette série étant à termes positifs, elle \\textbf{converge absolument}.", "html": "

Soit \$u_n=\\frac{1}{n}-\\ln(1+\\frac{1}{n})\$ pour\n\$n\\geq 1\$. La série \$\\sum u_n\$ est à termes positifs. On\nutilise un développement limité (car on ne peut pas sommer des\néquivalents): \\[\\begin{align*}\n u_n=\\frac{1}{n}-\\Big(\\frac{1}{n}-\\frac{1}{2n^2}+o(\\frac{1}{n^2})\\Big)\n = \\frac{1}{2n^2}+o(\\frac{1}{n^2})\n \\end{align*}\\] ce qui donne l’équivalence: \\[u_n \\sim_{+\\infty} \\frac{1}{2n^2},\\] qui\nest le terme d’une série de Riemann convergente. On en déduit que la\nsérie \$\\sum u_n\$ converge. De plus,\ncette série étant à termes positifs, elle converge\nabsolument.

\n" } }, { "id": "cf177ae0-7f6c-44a7-8473-c9987fe39815", "type": "question", "value": { "latex": "$\\sum \\frac{1}{\\sqrt{n}}(\\sqrt{n+1}-\\sqrt{n})^2$", "html": "

\$\\sum\n\\frac{1}{\\sqrt{n}}(\\sqrt{n+1}-\\sqrt{n})^2\$

\n" } }, { "id": "26e4ba1c-0b32-41e2-8638-9cc2ed17ee5c", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $u_n= \\frac{1}{\\sqrt{n}}(\\sqrt{n+1}-\\sqrt{n})^2$ pour $n\\geq 1$. La série $\\sum u_n$ est à termes positifs. On a:\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\tu_n&= \\frac{1}{\\sqrt{n}}(\\sqrt{n+1}-\\sqrt{n})^2 \\\\\n\t\t&= \\frac{1}{\\sqrt{n}}\\Big(\\frac{(\\sqrt{n+1}-\\sqrt{n})(\\sqrt{n+1}+\\sqrt{n})}{(\\sqrt{n+1}+\\sqrt{n})}\\Big)^2 \\\\\n\t\t&= \\frac{1}{\\sqrt{n}}\\Big(\\frac{\\sqrt{n+1}^2-\\sqrt{n}^2}{(\\sqrt{n+1}+\\sqrt{n}) }\\Big)^2\\\\\n\t\t&= \\frac{1}{\\sqrt{n}}\\Big(\\frac{1}{(\\sqrt{n+1}+\\sqrt{n}) }\\Big)^2\\\\\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tce qui nous donne l'équivalence suivante:\n\t\t\\[u_n \\sim_{+\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{n}}\\Big(\\frac{1}{2\\sqrt{n}}\\Big)^2=\\frac{1}{4n\\sqrt{n}}=\\frac{1}{4n^{\\frac{3}{2}}}.\\]\n\t\tOr la série $\\sum \\frac{1}{4n^{\\frac{3}{2}}}$ est une série de Riemann convergente. Par le théorème d'équivalence, on en déduit que la série $\\sum u_n$ converge. \\\\\n\t\tComme cette série est à termes positifs, cette série \\textbf{converge absolument}.", "html": "

Soit \$u_n=\n\\frac{1}{\\sqrt{n}}(\\sqrt{n+1}-\\sqrt{n})^2\$ pour \$n\\geq 1\$. La série \$\\sum u_n\$ est à termes positifs. On a:\n\\[\\begin{align*}\n u_n&= \\frac{1}{\\sqrt{n}}(\\sqrt{n+1}-\\sqrt{n})^2 \\\\\n &=\n\\frac{1}{\\sqrt{n}}\\Big(\\frac{(\\sqrt{n+1}-\\sqrt{n})(\\sqrt{n+1}+\\sqrt{n})}{(\\sqrt{n+1}+\\sqrt{n})}\\Big)^2\n\\\\\n &=\n\\frac{1}{\\sqrt{n}}\\Big(\\frac{\\sqrt{n+1}^2-\\sqrt{n}^2}{(\\sqrt{n+1}+\\sqrt{n})\n}\\Big)^2\\\\\n &= \\frac{1}{\\sqrt{n}}\\Big(\\frac{1}{(\\sqrt{n+1}+\\sqrt{n})\n}\\Big)^2\\\\\n \\end{align*}\\] ce qui nous donne l’équivalence suivante:\n\\[u_n \\sim_{+\\infty}\n\\frac{1}{\\sqrt{n}}\\Big(\\frac{1}{2\\sqrt{n}}\\Big)^2=\\frac{1}{4n\\sqrt{n}}=\\frac{1}{4n^{\\frac{3}{2}}}.\\]\nOr la série \$\\sum\n\\frac{1}{4n^{\\frac{3}{2}}}\$ est une série de Riemann\nconvergente. Par le théorème d’équivalence, on en déduit que la série\n\$\\sum u_n\$ converge.
\nComme cette série est à termes positifs, cette série converge\nabsolument.

\n" } }, { "id": "90878d4a-bb22-40af-9bc1-db0f6dc1e394", "type": "question", "value": { "latex": "$\\sum \\cos(\\pi n) \\sin\\Big(\\frac{\\pi}{n}\\Big)$", "html": "

\$\\sum \\cos(\\pi n)\n\\sin\\Big(\\frac{\\pi}{n}\\Big)\$

\n" } }, { "id": "b128b93d-2cbf-4a3c-a65e-99dc4f9d71dc", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $u_n= \\cos(\\pi n) \\sin(\\frac{\\pi}{n})$ pour $n\\geq 1$. On a\n\t\t\\[u_n=(-1)^n \\sin \\Big(\\frac{\\pi}{n}\\Big).\\]\n\t\tIl s'agit d'une série alternée car pour tout $n\\in\\N^*$, $\\sin(\\frac{\\pi}{n})\\geq 0$. \\\\\n\t\tOn étudie d'abord la convergence absolue de la série $\\sum u_n$:\n\t\t\\[|u_n|=\\Big | (-1)^n \\sin \\Big(\\frac{\\pi}{n}\\Big)\\Big |=\\Big | \\sin \\Big(\\frac{\\pi}{n}\\Big)\\Big |\n\t\t\\sim_{+\\infty} \\frac{\\pi}{n}.\\]\n\t\tOr la série $\\sum \\frac{\\pi}{n}$ est une série de Riemann divergente donc la série $\\sum |u_n|$ diverge, ce qui revient à dire que la série $\\sum u_n$ ne converge pas absolument. \\\\\n\t\tIl nous reste donc à étudier la convergence de la série $\\sum u_n$. On utilise le critère des séries alternées: soit $v_n=\\sin(\\frac{\\pi}{n})$. La suite $(v_n)$ est décroissante pour $n\\geq 2$ et sa limite vaut $\\sin(0)=0$. Par le théorème des séries alternées, on en conclut que la série $\\sum u_n$ converge. \\\\\n\t\tFinalement, la série $\\sum u_n$ converge mais ne converge pas absolument; elle est donc \\textbf{semi-convergente}.", "html": "

Soit \$u_n= \\cos(\\pi n)\n\\sin(\\frac{\\pi}{n})\$ pour \$n\\geq\n1\$. On a \\[u_n=(-1)^n \\sin\n\\Big(\\frac{\\pi}{n}\\Big).\\] Il s’agit d’une série alternée car\npour tout \$n\\in\\N^*\$, \$\\sin(\\frac{\\pi}{n})\\geq 0\$.
\nOn étudie d’abord la convergence absolue de la série \$\\sum u_n\$: \\[|u_n|=\\Big | (-1)^n \\sin\n\\Big(\\frac{\\pi}{n}\\Big)\\Big |=\\Big | \\sin \\Big(\\frac{\\pi}{n}\\Big)\\Big |\n \\sim_{+\\infty} \\frac{\\pi}{n}.\\] Or la série \$\\sum \\frac{\\pi}{n}\$ est une série de\nRiemann divergente donc la série \$\\sum\n|u_n|\$ diverge, ce qui revient à dire que la série \$\\sum u_n\$ ne converge pas\nabsolument.
\nIl nous reste donc à étudier la convergence de la série \$\\sum u_n\$. On utilise le critère des\nséries alternées: soit \$v_n=\\sin(\\frac{\\pi}{n})\$. La suite \$(v_n)\$ est décroissante pour \$n\\geq 2\$ et sa limite vaut \$\\sin(0)=0\$. Par le théorème des séries\nalternées, on en conclut que la série \$\\sum\nu_n\$ converge.
\nFinalement, la série \$\\sum u_n\$\nconverge mais ne converge pas absolument; elle est donc\nsemi-convergente.

\n" } }, { "id": "dd5b5757-78bd-46a7-9853-354683a615f8", "type": "question", "value": { "latex": "$\\sum \\frac{n!}{n^n}$", "html": "

\$\\sum \\frac{n!}{n^n}\$

\n" } }, { "id": "00cf79eb-6c80-4c99-8e23-e197f75126dc", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $u_n= \\frac{n!}{n^n}$ pour $n\\geq 1$. La série $\\sum u_n$ est à termes positifs. Appliquons la règle de D'Alembert:\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\frac{u_{n+1}}{u_n}&=\\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\\times \\frac{n^n}{n!}=\\frac{(n+1) \\times n^n}{(n+1)^{n+1}}\n\t\t=\\Big(\\frac{n}{n+1}\\Big)^n=\\Big(\\frac{n+1-1}{n+1}\\Big)^n \\\\\n\t\t&=\\Big(1-\\frac{1}{n+1}\\Big)^n\n\t\t= e^{n \\ln(1-\\frac{1}{n+1})}\n\t\t=e^{n(\\frac{-1}{n+1}+o(\\frac{1}{n}))}\n\t\t=e^{\\frac{-n}{n+1}+o(1))} \\\\\n\t\t&\\longrightarrow_{n\\rightarrow +\\infty}\\ e^{-1}.\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tOr $e^{-1}<1$ donc par la règle de D'Alembert, la série $\\sum u_n$ converge. Elle est également \\textbf{absolument convergente} (en tant que série à terme général positif).", "html": "

Soit \$u_n= \\frac{n!}{n^n}\$ pour\n\$n\\geq 1\$. La série \$\\sum u_n\$ est à termes positifs.\nAppliquons la règle de D’Alembert: \\[\\begin{align*}\n \\frac{u_{n+1}}{u_n}&=\\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\\times\n\\frac{n^n}{n!}=\\frac{(n+1) \\times n^n}{(n+1)^{n+1}}\n =\\Big(\\frac{n}{n+1}\\Big)^n=\\Big(\\frac{n+1-1}{n+1}\\Big)^n \\\\\n &=\\Big(1-\\frac{1}{n+1}\\Big)^n\n = e^{n \\ln(1-\\frac{1}{n+1})}\n =e^{n(\\frac{-1}{n+1}+o(\\frac{1}{n}))}\n =e^{\\frac{-n}{n+1}+o(1))} \\\\\n &\\longrightarrow_{n\\rightarrow +\\infty}\\ e^{-1}.\n \\end{align*}\\] Or \$e^{-1}<1\$ donc par la règle de\nD’Alembert, la série \$\\sum u_n\$\nconverge. Elle est également absolument convergente (en\ntant que série à terme général positif).

\n" } } ] }, { "uuid": "uR6d", "titre": "Étude de la nature d'une série", "theme": [ "séries" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:52.815Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:52.815Z" }, "contenu": [ { "id": "ea7c5171-4bad-4d56-bf5f-fc0ab7d38921", "type": "question", "value": { "latex": "Prouver qu'un équivalent de $e^{x^2}-\\cos(x)$ au voisinage de $0$ est $\\frac{3x^2}{2}$. On pourra utiliser un développement limité.", "html": "

Prouver qu’un équivalent de \$e^{x^2}-\\cos(x)\$ au voisinage de \$0\$ est \$\\frac{3x^2}{2}\$. On pourra utiliser un\ndéveloppement limité.

\n" } }, { "id": "37ffcc88-c969-4aa9-a0a5-df7bcab0926f", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour démontrer ceci, nous devons d'abord obtenir les développements limités de $e^{x^2}$ et $\\cos(x)$ autour de $0$ jusqu'à l'ordre $2$ :\n\t\n\t$$\\begin{align*}\n\t\te^{x^2} & = 1 + x^2 + o(x^2)\\\\\n\t\t\\cos(x) & = 1 - \\frac{x^2}{2} + o(x^2)\n\t\\end{align*}$$\n\n\t\n\tEnsuite, nous soustrayons ces deux séries terme à terme pour obtenir le développement limité de $e^{x^2}-\\cos(x)$ :\n\t\n\t$$\\begin{align*}\n\t\te^{x^2} - \\cos(x) & = (1 + x^2 + o(x^2)) - (1 - \\frac{x^2}{2} + o(x^2))\\\\\n\t\t& = \\frac{3x^2}{2} + o(x^2)\n\t\\end{align*}$$\n\t\n\tOn en déduit que l'équivalent de $e^{x^2}-\\cos(x)$ au voisinage de $0$ est bien $\\frac{3x^2}{2}$.", "html": "

Pour démontrer ceci, nous devons d’abord obtenir les développements\nlimités de \$e^{x^2}\$ et \$\\cos(x)\$ autour de \$0\$ jusqu’à l’ordre \$2\$ :

\\[\\begin{align*}\n e^{x^2} & = 1 + x^2 + o(x^2)\\\\\n \\cos(x) & = 1 - \\frac{x^2}{2} + o(x^2)\n \\end{align*}\\]

Ensuite, nous soustrayons ces deux séries terme à terme pour obtenir\nle développement limité de \$e^{x^2}-\\cos(x)\$ :

\\[\\begin{align*}\n e^{x^2} - \\cos(x) & = (1 + x^2 + o(x^2)) - (1 -\n\\frac{x^2}{2} + o(x^2))\\\\\n & = \\frac{3x^2}{2} + o(x^2)\n \\end{align*}\\]

On en déduit que l’équivalent de \$e^{x^2}-\\cos(x)\$ au voisinage de \$0\$ est bien \$\\frac{3x^2}{2}\$.

\n" } }, { "id": "17996cf2-1a87-4a64-a700-af75477d3d26", "type": "question", "value": { "latex": "Étudier la convergence de la série $\\displaystyle \\sum_{n \\geq 1} u_n$ où pour tout $n \\geq 1$, $$u_n = e^{\\frac{1}{n^2}}-\\cos\\left(\\frac1n\\right).$$", "html": "

Étudier la convergence de la série \$\\displaystyle \\sum_{n \\geq 1} u_n\$ où\npour tout \$n \\geq 1\$, \\[u_n =\ne^{\\frac{1}{n^2}}-\\cos\\left(\\frac1n\\right).\\]

\n" } }, { "id": "8711b6d1-98a7-490a-84ea-308163fe2f69", "type": "reponse", "value": { "latex": "On déduit de la question précédente que $$u_n \\underset{+\\infty}\\sim \\frac{3}{2n^2}$$\nCela prouve que $u_n \\geq 0$ à partir d'un certain rang et que la série $\\displaystyle \\sum_{n \\geq 1} u_n$ converge par comparaison à une série de Riemann convergente.", "html": "

On déduit de la question précédente que \\[u_n \\underset{+\\infty}\\sim\n\\frac{3}{2n^2}\\] Cela prouve que \$u_n\n\\geq 0\$ à partir d’un certain rang et que la série \$\\displaystyle \\sum_{n \\geq 1} u_n\$\nconverge par comparaison à une série de Riemann convergente.

\n" } } ] }, { "uuid": "qGet", "titre": "Etude de point fixe", "theme": [ "méthodes numériques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:47.441Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:47.441Z" }, "contenu": [ { "id": "59ec9475-9ee6-4ca4-9eb8-6ee63b7c36d0", "type": "description", "value": { "latex": "On s'intéresse au calcul de $\\ell\\in[0;\\pi]$ tel que $\\ell=\\ell-\\frac{1}{4}\\cos(\\ell)$. \n\nOn considère la méthode de point fixe suivante: $x_0\\in[0;\\pi]$ et $x_{k+1}=\\phi(x_k)$ pour tout $k\\geq 0$, où $\\phi$ est la fonction définie sur l'intervalle $[0;\\pi]$ par $\\phi(x)=1-\\frac{1}{4}\\cos(x)$.", "html": "

On s’intéresse au calcul de \$\\ell\\in[0;\\pi]\$ tel que \$\\ell=\\ell-\\frac{1}{4}\\cos(\\ell)\$.

On considère la méthode de point fixe suivante: \$x_0\\in[0;\\pi]\$ et \$x_{k+1}=\\phi(x_k)\$ pour tout \$k\\geq 0\$, où \$\\phi\$ est la fonction définie sur\nl’intervalle \$[0;\\pi]\$ par \$\\phi(x)=1-\\frac{1}{4}\\cos(x)\$.

\n" } }, { "id": "c04350ea-b0b3-490d-8313-9a0f4c4ac32f", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que la méthode converge pour tout $x_0\\in[0;\\pi]$.", "html": "

Montrer que la méthode converge pour tout \$x_0\\in[0;\\pi]\$.

\n" } }, { "id": "4a402fcb-0db5-46d6-91b1-4d15a2fbfa65", "type": "reponse", "value": { "latex": "La dérivée de la fonction $g$ vérifie $\\forall x\\in[0;\\pi]$, $|\\phi'(x)|\\leq \\frac{1}{4}<1$. De plus, $\\phi([0;\\pi])=[\\frac{3}{4};\\frac{5}{4}]\\subset[0;\\pi]$. Par conséquent, la méthode de point fixe converge vers le point fixe $l$ pour tout $x_0\\in[0;\\pi]$.", "html": "

La dérivée de la fonction \$g\$\nvérifie \$\\forall x\\in[0;\\pi]\$, \$|\\phi'(x)|\\leq \\frac{1}{4}<1\$. De\nplus, \$\\phi([0;\\pi])=[\\frac{3}{4};\\frac{5}{4}]\\subset[0;\\pi]\$.\nPar conséquent, la méthode de point fixe converge vers le point fixe\n\$l\$ pour tout \$x_0\\in[0;\\pi]\$.

\n" } }, { "id": "7a93d8cd-b6eb-4e2b-85ce-886e87bee86e", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer qu'il existe une constante $C \\in ]0;1[$ telle que pour tout $k \\in \\N$, $|x_k-\\ell|\\leq C^k|x_0-\\ell|$ et donner une valeur de $C$.", "html": "

Montrer qu’il existe une constante \$C \\in\n]0;1[\$ telle que pour tout \$k \\in\n\\N\$, \$|x_k-\\ell|\\leq\nC^k|x_0-\\ell|\$ et donner une valeur de \$C\$.

\n" } }, { "id": "2faa5661-f689-40d4-89af-8f6bb591038b", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire le nombre d'itérations nécessaires pour approcher $\\ell$ à $10^{-3}$ près.", "html": "

En déduire le nombre d’itérations nécessaires pour approcher \$\\ell\$ à \$10^{-3}\$ près.

\n" } }, { "id": "7fee8e2e-5d09-4c9b-b72e-6466ef380ca7", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par le théorème des accroissements finis, on a l'existence de $\\zeta_k$ compris entre $\\ell$ et $x_{k}$ tel que\n\t\t\\[ |x_k-\\ell|=|\\phi(x_{k-1})-g(\\ell)|=|\\phi'(\\zeta_k)| |x_{k-1}-\\ell| \\leq \\frac{1}{4}|x_{k-1}-\\ell|.\\]\n\t\tPar récurrence, on montre ainsi \n\t\t\\[ |x_k-\\ell|\\leq \\frac{1}{4^k}|x_0-\\ell|.\\]\n\t\tOn a donc $|x_k-\\ell|\\leq \\frac{\\pi}{4^k}$. Pour approcher $\\ell$ à $10^{-3}$ près, il faut\n\t\t\\[ \\frac{\\pi}{4^k}\\leq 10^{-3} \\quad \\Leftrightarrow \\quad k\\geq \\frac{\\ln(\\pi 10^3)}{\\ln(2)}\\simeq 5.9,\\]\n\t\tsoit $6$ itérations.", "html": "

Par le théorème des accroissements finis, on a l’existence de \$\\zeta_k\$ compris entre \$\\ell\$ et \$x_{k}\$ tel que \\[|x_k-\\ell|=|\\phi(x_{k-1})-g(\\ell)|=|\\phi'(\\zeta_k)|\n|x_{k-1}-\\ell| \\leq \\frac{1}{4}|x_{k-1}-\\ell|.\\] Par récurrence,\non montre ainsi \\[|x_k-\\ell|\\leq\n\\frac{1}{4^k}|x_0-\\ell|.\\] On a donc \$|x_k-\\ell|\\leq \\frac{\\pi}{4^k}\$. Pour\napprocher \$\\ell\$ à \$10^{-3}\$ près, il faut \\[\\frac{\\pi}{4^k}\\leq 10^{-3} \\quad \\Leftrightarrow\n\\quad k\\geq \\frac{\\ln(\\pi 10^3)}{\\ln(2)}\\simeq 5.9,\\] soit \$6\$ itérations.

\n" } }, { "id": "3fc5218e-41e0-4815-92de-9de3d1959b02", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que pour tout $k \\in \\N$, $|x_k - \\ell| \\leq \\frac{4}{3} |x_{k+1}-x_{k}|$.", "html": "

Montrer que pour tout \$k \\in \\N\$,\n\$|x_k - \\ell| \\leq \\frac{4}{3}\n|x_{k+1}-x_{k}|\$.

\n" } }, { "id": "ec6d45eb-7b2a-4bb7-830e-d34ac51b6c3a", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire la valeur $\\varepsilon$ du contrôle de l'incrément (en tant que critère d'arrêt) pour approcher $\\ell$ à $10^{-3}$ près.", "html": "

En déduire la valeur \$\\varepsilon\$\ndu contrôle de l’incrément (en tant que critère d’arrêt) pour approcher\n\$\\ell\$ à \$10^{-3}\$ près.

\n" } }, { "id": "efe61c40-f7fe-4d40-a089-db5574ca1550", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t|x_k-l|-|x_{k+1}-x_k| & \\leq |x_k-l+x_{k+1}-x_k|=|x_{k+1}-l| \\\\\n\t\t& \\leq C |x_k-l|\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\td'où $|x_k-l|-C|x_k-l|\\leq |x_{k+1}-x_k|$ qui implique\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t|x_k-l| \\leq \\frac{1}{1-C}|x_{k+1}-x_k| \\leq \\frac{\\varepsilon}{1-C}.\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tIl faut choisir $\\varepsilon$ tel que $\\frac{\\varepsilon}{1-C}<10^{-3}$ pour approcher $l$ à $10^{-3}$ près.", "html": "

On a \\[\\begin{align*}\n |x_k-l|-|x_{k+1}-x_k| & \\leq |x_k-l+x_{k+1}-x_k|=|x_{k+1}-l|\n\\\\\n & \\leq C |x_k-l|\n \\end{align*}\\] d’où \$|x_k-l|-C|x_k-l|\\leq |x_{k+1}-x_k|\$ qui\nimplique \\[\\begin{align*}\n |x_k-l| \\leq \\frac{1}{1-C}|x_{k+1}-x_k| \\leq\n\\frac{\\varepsilon}{1-C}.\n \\end{align*}\\] Il faut choisir \$\\varepsilon\$ tel que \$\\frac{\\varepsilon}{1-C}<10^{-3}\$ pour\napprocher \$l\$ à \$10^{-3}\$ près.

\n" } } ] }, { "uuid": "PPFk", "titre": "Etude de points critiques", "theme": [ "calcul différentiel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:17.746Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:17.746Z" }, "contenu": [ { "id": "ccc6fd04-92a9-4834-8a4a-cc89388fda35", "type": "description", "value": { "latex": "Soit la fonction $f$ de deux variables $x$ et $y$ définie par \n\t$$f(x,y) = 4 - \\sqrt{1+x^2+y^2}$$", "html": "

Soit la fonction \$f\$ de deux\nvariables \$x\$ et \$y\$ définie par \\[f(x,y) = 4 - \\sqrt{1+x^2+y^2}\\]

\n" } }, { "id": "a8909169-1c63-4a34-b189-e48ee87284b0", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$.", "html": "

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \$f\$.

\n" } }, { "id": "7b014c5e-b32d-422a-9948-a9a6c2e8de8c", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour tous réels $x$ et $y$, $1+x^2+y^2 \\geq 0$ donc la fonction $f$ est bien définie sur $\\R^2$.", "html": "

Pour tous réels \$x\$ et \$y\$, \$1+x^2+y^2\n\\geq 0\$ donc la fonction \$f\$\nest bien définie sur \$\\R^2\$.

\n" } }, { "id": "9ef5bb7c-126f-457e-a45b-84dd8d72fbbd", "type": "question", "value": { "latex": "Exprimer les équations des lignes de niveau $k$ de cette fonction.", "html": "

Exprimer les équations des lignes de niveau \$k\$ de cette fonction.

\n" } }, { "id": "a7b79440-3c60-4cf7-b052-31e3c85ac1ec", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $k$ réel : la ligne de niveau $k$ est l'ensemble des points $(x,y)$ tels que $f(x,y)=k$, c'est-à-dire \n\t\t\t$$\\sqrt{1+x^2+y^2} = 4 - k$$\n\t\t\t\n\t\t\tOr $1+x^2+y^2 \\geq 1$ quels que soient $x$ et $y$ réels donc $\\sqrt{1+x^2+y^2} \\geq 1$ et ainsi l'ensemble des points $(x,y)$ tels que $f(x,y)=k$ est non vide si $4-k \\geq 1$ soit $k \\leq 3$ : dans ce cas, la ligne de niveau est un cercle centré en $0$ de rayon $\\sqrt{(4-k)^2-1}$.", "html": "

Soit \$k\$ réel : la ligne de niveau\n\$k\$ est l’ensemble des points \$(x,y)\$ tels que \$f(x,y)=k\$, c’est-à-dire \\[\\sqrt{1+x^2+y^2} = 4 - k\\]

Or \$1+x^2+y^2 \\geq 1\$ quels que\nsoient \$x\$ et \$y\$ réels donc \$\\sqrt{1+x^2+y^2} \\geq 1\$ et ainsi\nl’ensemble des points \$(x,y)\$ tels\nque \$f(x,y)=k\$ est non vide si \$4-k \\geq 1\$ soit \$k \\leq 3\$ : dans ce cas, la ligne de\nniveau est un cercle centré en \$0\$ de\nrayon \$\\sqrt{(4-k)^2-1}\$.

\n" } }, { "id": "2431b8fa-9203-41f0-932f-eba7faa0359f", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer les dérivées partielles de la fonction $f$.", "html": "

Calculer les dérivées partielles de la fonction \$f\$.

\n" } }, { "id": "c0d75982-1f0d-43dd-91a4-8d1eabeba646", "type": "reponse", "value": { "latex": "On calcule les dérivées partielles :\n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\t\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) &= 0-\\frac{0+2x+0}{2\\sqrt{1+x^2+y^2}} \\\\\n\t\t\t\t&= \\frac{-x}{\\sqrt{1+x^2+y^2}}\\\\\n\t\t\t\t\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) &= 0-\\frac{0 + 0 + 2y}{2\\sqrt{1+x^2+y^2}} \\\\\n\t\t\t\t&= \\frac{-y}{\\sqrt{1+x^2+y^2}}\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

On calcule les dérivées partielles : \\[\\begin{align*}\n \\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) &=\n0-\\frac{0+2x+0}{2\\sqrt{1+x^2+y^2}} \\\\\n &= \\frac{-x}{\\sqrt{1+x^2+y^2}}\\\\\n \\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) &= 0-\\frac{0 + 0\n+ 2y}{2\\sqrt{1+x^2+y^2}} \\\\\n &= \\frac{-y}{\\sqrt{1+x^2+y^2}}\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "c87398eb-c54a-40f1-beaa-26bcaf24dcf2", "type": "question", "value": { "latex": "Exprimer la matrice hessienne de $f$.", "html": "

Exprimer la matrice hessienne de \$f\$.

\n" } }, { "id": "79cd4c6f-7550-4d42-841a-7d8c5fc12375", "type": "reponse", "value": { "latex": "On calcule les dérivées partielles secondes :\n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\t\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x,y) \t&= \\frac{-\\sqrt{1+x^2+y^2} - \\frac{-x \\times 2x}{2\\sqrt{1+x^2+y^2}}}{\\left(\\sqrt{1+x^2+y^2}\\right)^2}\\\\\n\t\t\t\t&= \\frac{-\\sqrt{1+x^2+y^2} + \\frac{x^2}{\\sqrt{1+x^2+y^2}}}{{1+x^2+y^2}}\\\\\n\t\t\t\t&= \\frac{ \\frac{-(1+x^2+y^2)+x^2}{\\sqrt{1+x^2+y^2}}}{{1+x^2+y^2}}\\\\\n\t\t\t\t&= \\frac{-(1+x^2+y^2)+x^2}{(1+x^2+y^2)\\sqrt{1+x^2+y^2}}\\\\\n\t\t\t\t&= \\frac{-1-y^2}{(1+x^2+y^2)^{\\frac{3}{2}}}\\\\\n\t\t\t\t&= -(1+y^2)(1+x^2+y^2)^{-\\frac{3}{2}}\n\t\t\t\\end{align*}$$\n\t\t\tDe même, $x$ et $y$ jouant des rôles symétriques, \n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\t\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}(x,y) \t&= \\frac{-1-x^2}{(1+x^2+y^2)^{\\frac{3}{2}}}\\\\\n\t\t\t\t&= -(1+x^2)(1+x^2+y^2)^{-\\frac{3}{2}}\n\t\t\t\\end{align*}$$\n\t\t\tEnfin, on calcule $\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y) = \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x}(x,y)$ en réécrivant $\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) = \\frac{-x}{\\sqrt{1+x^2+y^2}} = -x\\,(1+x^2+y^2)^{-\\frac{1}{2}}$ puis en dérivant cette expression par rapport à $y$ :\n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\t\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y) \t&= -x \\times (2y) \\times \\frac{-1}{2} (1+x^2+y^2)^{-\\frac{1}{2}-1}\\\\\n\t\t\t\t&= xy \\, (1+x^2+y^2)^{-\\frac{3}{2}}\n\t\t\t\\end{align*}$$\n\t\t\t\n\t\t\tOn peut enfin écrire la matrice hessienne :\n\t\t\t\n\t\t\t$$\\begin{align*} Hess_f(x,y) &= \\begin{pmatrix}\n\t\t\t\t\t-(1+y^2)(1+x^2+y^2)^{-\\frac{3}{2}} & xy \\, (1+x^2+y^2)^{-\\frac{3}{2}} \\\\\n\t\t\t\t\txy \\, (1+x^2+y^2)^{-\\frac{3}{2}} & -(1+x^2)(1+x^2+y^2)^{-\\frac{3}{2}}\n\t\t\t\t\\end{pmatrix}\\\\\n\t\t\t\t&= (1+x^2+y^2)^{-\\frac{3}{2}} \\begin{pmatrix}\n\t\t\t\t\t-(1+y^2) & xy \\\\\n\t\t\t\t\txy & -(1+x^2)\n\t\t\t\t\\end{pmatrix}\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

On calcule les dérivées partielles secondes : \\[\\begin{align*}\n \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x,y) &=\n\\frac{-\\sqrt{1+x^2+y^2} - \\frac{-x \\times\n2x}{2\\sqrt{1+x^2+y^2}}}{\\left(\\sqrt{1+x^2+y^2}\\right)^2}\\\\\n &= \\frac{-\\sqrt{1+x^2+y^2} +\n\\frac{x^2}{\\sqrt{1+x^2+y^2}}}{{1+x^2+y^2}}\\\\\n &= \\frac{\n\\frac{-(1+x^2+y^2)+x^2}{\\sqrt{1+x^2+y^2}}}{{1+x^2+y^2}}\\\\\n &=\n\\frac{-(1+x^2+y^2)+x^2}{(1+x^2+y^2)\\sqrt{1+x^2+y^2}}\\\\\n &= \\frac{-1-y^2}{(1+x^2+y^2)^{\\frac{3}{2}}}\\\\\n &= -(1+y^2)(1+x^2+y^2)^{-\\frac{3}{2}}\n \\end{align*}\\] De même, \$x\$ et \$y\$ jouant des rôles symétriques, \\[\\begin{align*}\n \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}(x,y) &=\n\\frac{-1-x^2}{(1+x^2+y^2)^{\\frac{3}{2}}}\\\\\n &= -(1+x^2)(1+x^2+y^2)^{-\\frac{3}{2}}\n \\end{align*}\\] Enfin, on calcule \$\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y) =\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x}(x,y)\$ en réécrivant\n\$\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) =\n\\frac{-x}{\\sqrt{1+x^2+y^2}} = -x\\,(1+x^2+y^2)^{-\\frac{1}{2}}\$\npuis en dérivant cette expression par rapport à \$y\$ : \\[\\begin{align*}\n \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial\ny}(x,y) &= -x \\times (2y) \\times \\frac{-1}{2}\n(1+x^2+y^2)^{-\\frac{1}{2}-1}\\\\\n &= xy \\, (1+x^2+y^2)^{-\\frac{3}{2}}\n \\end{align*}\\]

On peut enfin écrire la matrice hessienne :

\\[\\begin{align*} Hess_f(x,y) &=\n\\begin{pmatrix}\n -(1+y^2)(1+x^2+y^2)^{-\\frac{3}{2}} & xy \\,\n(1+x^2+y^2)^{-\\frac{3}{2}} \\\\\n xy \\, (1+x^2+y^2)^{-\\frac{3}{2}} &\n-(1+x^2)(1+x^2+y^2)^{-\\frac{3}{2}}\n \\end{pmatrix}\\\\\n &= (1+x^2+y^2)^{-\\frac{3}{2}} \\begin{pmatrix}\n -(1+y^2) & xy \\\\\n xy & -(1+x^2)\n \\end{pmatrix}\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "b7b9d775-3990-427f-93ee-43fcf2dfa6b6", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer les points critiques de la fonction $f$.", "html": "

Déterminer les points critiques de la fonction \$f\$.

\n" } }, { "id": "66b37cbf-99ac-428c-ba17-0631a44f5a9d", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour déterminer les points critiques (stationnaires) de la fonction $f$, on résout \n\t\t\tle système d'équations :\n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t\t\t\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) = 0\\\\\n\t\t\t\t\t\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) =0\n\t\t\t\t\\end{cases}\n\t\t\t\t\\Leftrightarrow\n\t\t\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t\t\t\\frac{-x}{\\sqrt{1+x^2+y^2}} = 0\\\\\n\t\t\t\t\t\\frac{-y}{\\sqrt{1+x^2+y^2}} =0\n\t\t\t\t\\end{cases}\t\t\n\t\t\t\t\\Leftrightarrow\n\t\t\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t\t\tx = 0\\\\\n\t\t\t\t\ty =0\n\t\t\t\t\\end{cases}\t\t\t\n\t\t\t\\end{align*}$$\n\t\t\tIl existe donc un unique point stationnaire : c'est le point $(0,0)$.", "html": "

Pour déterminer les points critiques (stationnaires) de la fonction\n\$f\$, on résout le système d’équations\n: \\[\\begin{align*}\n \\begin{cases}\n \\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) = 0\\\\\n \\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) =0\n \\end{cases}\n \\Leftrightarrow\n \\begin{cases}\n \\frac{-x}{\\sqrt{1+x^2+y^2}} = 0\\\\\n \\frac{-y}{\\sqrt{1+x^2+y^2}} =0\n \\end{cases} \n \\Leftrightarrow\n \\begin{cases}\n x = 0\\\\\n y =0\n \\end{cases} \n \\end{align*}\\] Il existe donc un unique point\nstationnaire : c’est le point \$(0,0)\$.

\n" } }, { "id": "88421cfc-7dba-4b65-a219-e0e1713b00a7", "type": "question", "value": { "latex": "Vérifier que la fonction $f$ admet un maximum local au point $(0,0)$ et donner la valeur de ce maximum. Peut-on dire que ce maximum est global ?", "html": "

Vérifier que la fonction \$f\$ admet\nun maximum local au point \$(0,0)\$ et\ndonner la valeur de ce maximum. Peut-on dire que ce maximum est global\n?

\n" } }, { "id": "bfbad1a9-5f35-47e0-b221-cb4cfb687a28", "type": "reponse", "value": { "latex": "On étudie la nature de ce point stationnaire en évaluant $Hess_f(0,0) = 1 \\times \\begin{pmatrix}\n\t\t\t\t-1 & 0 \\\\\n\t\t\t\t0 & -1\n\t\t\t\\end{pmatrix}$. Le déterminant de cette matrice est $(-1) \\times (-1) = 1 >0$ donc la matrice admet bien un extremum local. Du fait que $\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(0,0) = -1 <0$, on en déduit qu'il s'agit bien d'un maximum local dont la valeur est $f(0,0) = 4-\\sqrt{1} = 3$. \\\\\n\t\t\tIl s'agit bien d'un maximum global car pour tout $(x,y) \\in \\R^2$, $\\sqrt{1+x^2+y^2} \\geq 1$ ce qui implique que $f(x,y) \\leq 3$.", "html": "

On étudie la nature de ce point stationnaire en évaluant \$Hess_f(0,0) = 1 \\times \\begin{pmatrix}\n -1 & 0 \\\\\n 0 & -1\n \\end{pmatrix}\$. Le déterminant de cette matrice est\n\$(-1) \\times (-1) = 1 >0\$ donc la\nmatrice admet bien un extremum local. Du fait que \$\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(0,0) =\n-1 <0\$, on en déduit qu’il s’agit bien d’un maximum local\ndont la valeur est \$f(0,0) = 4-\\sqrt{1} =\n3\$.
\nIl s’agit bien d’un maximum global car pour tout \$(x,y) \\in \\R^2\$, \$\\sqrt{1+x^2+y^2} \\geq 1\$ ce qui implique\nque \$f(x,y) \\leq 3\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "56tw", "titre": "Etude de points critiques et d'ue ligne de niveau", "theme": [ "calcul différentiel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:55.453Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:55.453Z" }, "contenu": [ { "id": "b13c0355-50ea-4da2-9519-1430dfe78efa", "type": "description", "value": { "latex": "On pose $$f(x,y)= x\\hskip 2pt (x+1)^2 - y^2$$", "html": "

On pose \\[f(x,y)= x\\hskip 2pt (x+1)^2 -\ny^2\\]

\n" } }, { "id": "dcb32e8d-210c-4887-aeb5-49ed861b66fe", "type": "question", "value": { "latex": "D\\'eterminer les points stationnaires de \tla fonction $f$ et pr\\'eciser\tla nature de chacun d'eux.", "html": "

Déterminer les points stationnaires de la fonction \$f\$ et préciser la nature de chacun\nd’eux.

\n" } }, { "id": "370fa661-3f63-4ffe-8ed3-0df76f599ddd", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) = -2y$ et\n\t\t$\\frac{\\partial f}{\\partial x} = (x+1)(3x+1)$\n\t\t\n\t\tOn a $\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) = 0 \\iff y=0$\\\\ et $\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) = 0 \\iff x \\in \\{-1;-1/3\\}$. \n\t\t\n\t\tDonc les points stationnaires de $f$ sont les points\n\t\t$(-1,0)$ et $(-1/3,0)$.\n\t\t\n\t\tPour étudier la nature de ces points stationnaires, on utilise les conditions d'ordre 2 en donnant la matrice hessienne : \n\t\t$$\\mathrm{Hess}_f(x,y)=\\begin{pmatrix} \n\t\t\t6x+4 & 0\\\\ 0 & -2\n\t\t\\end{pmatrix}$$ \n\t\td'o\\`u\n\t\t$\\mathrm{Hess}_f(-1,0)= \\begin{pmatrix} \n\t\t\t-2 & 0\\\\ 0 & -2\n\t\t\\end{pmatrix}$\n\t\tet\n\t\t$\\mathrm{Hess}_f(-1/3,0)= \\begin{pmatrix} \n\t\t\t2 & 0\\\\ 0 & -2\n\t\t\\end{pmatrix}$.\n\t\t\n\t\tOn a $(-2)\\times(-2)>0$ et $-2<0$ donc la fonction $f$ présente un maximum local en $(-1,0)$.\n\t\t\n\t\tDe même, $2 \\times (-2) <0$ donc la fonction $f$ présente un point selle en $(-1/3,0)$..", "html": "

On a \$\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) =\n-2y\$ et \$\\frac{\\partial f}{\\partial\nx} = (x+1)(3x+1)\$

On a \$\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) =\n0 \\iff y=0\$
\net \$\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) = 0\n\\iff x \\in \\{-1;-1/3\\}\$.

Donc les points stationnaires de \$f\$ sont les points \$(-1,0)\$ et \$(-1/3,0)\$.

Pour étudier la nature de ces points stationnaires, on utilise les\nconditions d’ordre 2 en donnant la matrice hessienne : \\[\\mathrm{Hess}_f(x,y)=\\begin{pmatrix}\n 6x+4 & 0\\\\ 0 & -2\n \\end{pmatrix}\\] d’où \$\\mathrm{Hess}_f(-1,0)= \\begin{pmatrix}\n -2 & 0\\\\ 0 & -2\n \\end{pmatrix}\$ et \$\\mathrm{Hess}_f(-1/3,0)= \\begin{pmatrix}\n 2 & 0\\\\ 0 & -2\n \\end{pmatrix}\$.

On a \$(-2)\\times(-2)>0\$ et\n\$-2<0\$ donc la fonction \$f\$ présente un maximum local en \$(-1,0)\$.

De même, \$2 \\times (-2) <0\$\ndonc la fonction \$f\$ présente un\npoint selle en \$(-1/3,0)\$..

\n" } }, { "id": "8d5eb2e3-e6af-4396-8b0a-183b9016a3c3", "type": "question", "value": { "latex": "Tracer la courbe \tconstitu\\'ee des points tels que $f(x,y)=0$ et $x \\geq 0$ en faisant apparaître des éléments qualitatifs (tangente, inflexion de la courbe).", "html": "

Tracer la courbe constituée des points tels que \$f(x,y)=0\$ et \$x\n\\geq 0\$ en faisant apparaître des éléments qualitatifs\n(tangente, inflexion de la courbe).

\n" } }, { "id": "4acdf356-0243-41bd-8c18-965cd78afd43", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\begin{minipage}{0.6\\textwidth}\n\t\t\tOn cherche l'ensemble des points $(x,y) \\in \\R^2$ tels que $f(x,y)=0 \\iff y^2 = x(x+1)^2$.\n\t\t\t\n\t\t\tSi on se restreint aux $x \\geq 0$, $f(x,y)=0 \\iff y= \\sqrt{x} \\hskip 2pt (x+1)$.\n\t\t\t\n\t\t\tPour étudier la courbe d'équation $y= \\sqrt{x} \\hskip 2pt (x+1)$ pour $x\\geq 0$ dans le plan, on pose $g(x) = \\sqrt{x} \\hskip 2pt (x+1)$ : c'est une fonction continue sur $[0;+\\infty[$ et dérivable sur $]0;+\\infty[$. \n\t\t\t\n\t\t\tPour tout $x>0$, on a :\n\t\t\t$$g'(x)= \\tfrac 32 \\sqrt x + \\tfrac 12 (\\sqrt x)^{-1}>0$$ et \t$$g''(x)= \\tfrac 34 x^{-\\tfrac 12} - \\tfrac 14 x^{-\\tfrac 32}$$\n\t\t\tDe l'expression de $g(x)$, on déduit que la courbe passe par les points $(0,0)$, $(\\tfrac 13,\\tfrac 43 \\sqrt 3)$, \n\t\t\t$(1,2)$, et $(2,3 \\sqrt 2)$;\n\t\t\t\n\t\t\tDe l'expression de $g'(x)$, on déduit que la courbe a une tangente verticale \\`a l'origine.\n\t\t\t\n\t\t\tDe la résolution de $g''(x)=0$, on déduit que \tle point $(\\tfrac 13,\\tfrac 43 \\sqrt 3)$\n\t\t\test un point d'inflexion, la pente en ce point vaut $g'(\\tfrac 13) = \\sqrt 3$,\n\t\t\tet c'est la pente minimale de la courbe.\n\t\t\t\n\t\t\tLa courbe constitu\\'ee des points tels que $f(x,y)=0$ et $x \\geq 0$\n\t\t\ts'obtient par r\\'eflexion de la courbe\n\t\t\t$y= \\sqrt{x} \\hskip 2pt (x+1)$ pour $x\\geq 0$\n\t\t\tpar rapport \\`a l'axe des $x$.\n\t\t\\end{minipage}\n\t\t\\begin{minipage}{0.4\\textwidth}\n\t\t\t\\begin{tikzpicture}[domain=0:1.3]\n\t\t\t\t\\draw[dotted, very thin, gray!40, step=0.5] (-1.5,-2.5) grid (2.5,2.5) ;\n\t\t\t\t\\draw[dotted, gray!60] (-1.5,-2.5) grid (2.5,2.5) ;\n\t\t\t\t\\draw[->,thick] (-1.6,0) -- (2.6,0) node[right] {$x$};\n\t\t\t\t\\draw[->,thick] (0,-2.8) -- (0,2.8) node[above] {$g(x)$};\n\t\t\t\t\\draw[line width = 3pt,color=red] plot(\\x,{sqrt(\\x)*(1+\\x)}) node [right] {$ \\sqrt{x} \\hskip 2pt (x+1)$};\n\t\t\t\t\\draw[line width = 3pt,color=pink,densely dashed] plot(\\x,{-sqrt(\\x)*(1+\\x)}) node [right] {$ -\\sqrt{x} \\hskip 2pt (x+1)$};\n\t\t\t\t\\draw[<-> , line width = 1pt,color=green,densely dashed] (0,1)--(0,-1) ;\n\t\t\t\t\\node at (0.333,0.77) {\\textbullet};\n\t\t\t\t\\node at (1,2) {\\textbullet};\n\t\t\t\\end{tikzpicture}\n\t\t\\end{minipage}", "html": "

On cherche l’ensemble des points \$(x,y)\n\\in \\R^2\$ tels que \$f(x,y)=0 \\iff y^2\n= x(x+1)^2\$.

Si on se restreint aux \$x \\geq 0\$,\n\$f(x,y)=0 \\iff y= \\sqrt{x} \\hskip 2pt\n(x+1)\$.

Pour étudier la courbe d’équation \$y=\n\\sqrt{x} \\hskip 2pt (x+1)\$ pour \$x\\geq 0\$ dans le plan, on pose \$g(x) = \\sqrt{x} \\hskip 2pt (x+1)\$ : c’est\nune fonction continue sur \$[0;+\\infty[\$ et dérivable sur \$]0;+\\infty[\$.

Pour tout \$x>0\$, on a : \\[g'(x)= \\tfrac 32 \\sqrt x + \\tfrac 12 (\\sqrt\nx)^{-1}>0\\] et \\[g''(x)=\n\\tfrac 34 x^{-\\tfrac 12} - \\tfrac 14 x^{-\\tfrac 32}\\] De\nl’expression de \$g(x)\$, on déduit que\nla courbe passe par les points \$(0,0)\$, \$(\\tfrac 13,\\tfrac 43 \\sqrt 3)\$, \$(1,2)\$, et \$(2,3 \\sqrt 2)\$;

De l’expression de \$g'(x)\$, on\ndéduit que la courbe a une tangente verticale à l’origine.

De la résolution de \$g''(x)=0\$, on déduit que le point\n\$(\\tfrac 13,\\tfrac 43 \\sqrt 3)\$ est\nun point d’inflexion, la pente en ce point vaut \$g'(\\tfrac 13) = \\sqrt 3\$, et c’est la\npente minimale de la courbe.

La courbe constituée des points tels que \$f(x,y)=0\$ et \$x\n\\geq 0\$ s’obtient par réflexion de la courbe \$y= \\sqrt{x} \\hskip 2pt (x+1)\$ pour \$x\\geq 0\$ par rapport à l’axe des \$x\$.

\n" } }, { "id": "92958cc8-c8df-4b5d-b977-ed40afed0620", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que \tle point $(-1,0)$ est un point isol\\'e de la partie ${\\cal C}=\\{(x,y); f(x,y)=0\\}$\n\tdu plan, c'est-\\`a-dire, le point $(-1,0)$ appartient \\`a cette partie\tet il existe un nombre r\\'eel \n\t$\\varepsilon >0$ tel que \t$D_{\\varepsilon} \\cap {\\cal C} =\\{(-1,0)\\}$ o\\`u $D_{\\varepsilon}$ est le disque ouvert centr\\'e en $(-1,0)$ et de rayon $\\varepsilon$.", "html": "

Montrer que le point \$(-1,0)\$ est\nun point isolé de la partie \${\\cal\nC}=\\{(x,y); f(x,y)=0\\}\$ du plan, c’est-à-dire, le point \$(-1,0)\$ appartient à cette partie et il\nexiste un nombre réel \$\\varepsilon\n>0\$ tel que \$D_{\\varepsilon} \\cap\n{\\cal C} =\\{(-1,0)\\}\$ où \$D_{\\varepsilon}\$ est le disque ouvert\ncentré en \$(-1,0)\$ et de rayon \$\\varepsilon\$.

\n" } }, { "id": "fff22522-c5a1-440e-886f-c9342ac18da0", "type": "reponse", "value": { "latex": "Dans la boule ouverte \t$\\{(x,y,z);(x+1)^2+y^2+x^2 <1\\} \\subseteq \\R^3$, on est notamment dans le demi espace $\\{x<0\\}$. Or si $x<0$ et $f(x,y)=0$ alors nécessairement $y^2 = x(x+1)^2 \\geq 0$ ce qui ne laisse d'autre choix que d'avoir $(x+1)^2 =0$. \n\t\t\n\t\tPar conséquent, le graphe\n\t\t$z=f(x,y)$ de la fonction $f$ ne rencontre le plan des $x$ et $y$ qu'au point\n\t\t$(-1,0)$. Par cons\\'equent, l'intersection \n\t\t$D \\cap \\cal C$ du disque\n\t\t\\[\n\t\tD=\\{(x,y); (x+1)^2+y^2<1\\}\n\t\t\\]\n\t\tavec $\\cal C$ ne consiste qu'au point $(-1,0)$.", "html": "

Dans la boule ouverte \$\\{(x,y,z);(x+1)^2+y^2+x^2 <1\\} \\subseteq\n\\R^3\$, on est notamment dans le demi espace \$\\{x<0\\}\$. Or si \$x<0\$ et \$f(x,y)=0\$ alors nécessairement \$y^2 = x(x+1)^2 \\geq 0\$ ce qui ne laisse\nd’autre choix que d’avoir \$(x+1)^2\n=0\$.

Par conséquent, le graphe \$z=f(x,y)\$ de la fonction \$f\$ ne rencontre le plan des \$x\$ et \$y\$ qu’au point \$(-1,0)\$. Par conséquent, l’intersection\n\$D \\cap \\cal C\$ du disque \\[D=\\{(x,y); (x+1)^2+y^2<1\\}\\] avec \$\\cal C\$ ne consiste qu’au point \$(-1,0)\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "H0fC", "titre": "Etude de points critiques et d'ue ligne de niveau", "theme": [ "calcul différentiel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:08.870Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:08.870Z" }, "contenu": [ { "id": "2f281094-c6c3-4d09-8b59-9e5d5480e550", "type": "description", "value": { "latex": "Une usine produit deux types de matériaux, que l'on note respectivement $A$ et $B$. Si elle produit $x$ kg de type $A$ et $y$ de type $B$ sur une semaine, le coût total hebdomadaire de production est \n$$c(x,y) = 600+200x+200y-2x^2y$$\n\nEn pleine capacité, la production totale sur une semaine peut atteindre au maximum 30 kg. Dans cette modélisation, le coût peut être négatif.", "html": "

Une usine produit deux types de matériaux, que l’on note\nrespectivement \$A\$ et \$B\$. Si elle produit \$x\$ kg de type \$A\$ et \$y\$ de type \$B\$ sur une semaine, le coût total\nhebdomadaire de production est \\[c(x,y) =\n600+200x+200y-2x^2y\\]

En pleine capacité, la production totale sur une semaine peut\natteindre au maximum 30 kg. Dans cette modélisation, le coût peut être\nnégatif.

\n" } }, { "id": "541cd1b0-870a-44a3-9fc3-72d4178f64aa", "type": "question", "value": { "latex": "Décrire et représenter graphiquement le domaine de définition de la fonction $c$.", "html": "

Décrire et représenter graphiquement le domaine de définition de la\nfonction \$c\$.

\n" } }, { "id": "88b45cd0-9a0e-4a5e-b7d6-eff3483d232f", "type": "reponse", "value": { "latex": "D'après les informations données ici, on travaille sous la condition que $x+y \\leq 30$ et $x\\geq 0$, $y \\geq 0$. Ces trois conditions définissent un triangle dans $\\R^2$ :\n\t\t\\begin{center}\n\t\t\t\\begin{tikzpicture}\n\t\t\t\t\\draw[thick,->] (-0.4,0)--(3.2,0)node[above] {$x$ };\n\t\t\t\t\\draw[thick,->] (0,-0.4)--(0,3.2)node[left] {$y$};\n\t\t\t\t\\draw[ultra thick, color=red, fill=red!50, opacity=0.4] (0,0)--(3,0)--(0,3) -- cycle;\n\t\t\t\t\\draw[red] (1,1) node{$\\mathcal{D}_c$};\n\t\t\t\t\\draw (3,0) node[below]{$30$};\n\t\t\t\t\\draw (0,3) node[left]{$30$};\n\t\t\t\\end{tikzpicture}\n\t\t\\end{center}", "html": "

D’après les informations données ici, on travaille sous la condition\nque \$x+y \\leq 30\$ et \$x\\geq 0\$, \$y\n\\geq 0\$. Ces trois conditions définissent un triangle dans \$\\R^2\$ :

\n\n

\n" } }, { "id": "03bfbfaa-b973-4398-802b-3ad8404fcc83", "type": "question", "value": { "latex": "Faire une recherche de minimum local à l'intérieur du domaine du définition.", "html": "

Faire une recherche de minimum local à l’intérieur du domaine du\ndéfinition.

\n" } }, { "id": "f931fcc3-9aaa-4ddb-b511-1ecd403689dd", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $c$ est polynomiale donc de classe $\\mathcal{C}^{\\infty}$ sur $\\R^2$. On fait une recherche de points stationnaires $(x,y) \\in \\mathcal{D}_c$ :\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t\t\\frac{\\partial c}{\\partial x}(x,y) = 0\\\\\n\t\t\t\t\\frac{\\partial c}{\\partial y}(x,y) =0\n\t\t\t\\end{cases}\n\t\t\t\\Leftrightarrow\n\t\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t\t200-4xy = 0\\\\\n\t\t\t\t200-2x^2 =0\n\t\t\t\\end{cases}\t\t\n\t\t\t\\Leftrightarrow\n\t\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t\tx = 10\\\\\n\t\t\t\ty = 5\n\t\t\t\\end{cases}\t\t\t\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tUn unique point stationnaire (point critique) est trouvé, il reste à étudier sa nature en regardant les conditions d'ordre 2. \n\t\t\n\t\t$$Hess_c(x,y)=\\begin{pmatrix} \n\t\t\t\\frac{\\partial^2 c}{\\partial x^2}(x,y) = -4y & \\frac{\\partial^2 c}{\\partial x \\partial y}(x,y) = -4x \\\\\n\t\t\t\\frac{\\partial^2 c}{\\partial y \\partial x}(x,y) = -4x & \\frac{\\partial^2 c}{\\partial y^2}(x,y) = 0 &\n\t\t\\end{pmatrix}$$\n\t\tSon déterminant est $0-16x^2$ donc pour le point stationnaire, $x=10$ et le déterminant vaut $-1600 <0$. D'après le cours, cette fonction présente un point selle en $(10,5)$. C'est le seul point stationnaire, il n'y a donc pas de minimum local pour la fonction $c$ à l'intérieur de $\\mathcal{D}_c$.", "html": "

La fonction \$c\$ est polynomiale\ndonc de classe \$\\mathcal{C}^{\\infty}\$\nsur \$\\R^2\$. On fait une recherche de\npoints stationnaires \$(x,y) \\in\n\\mathcal{D}_c\$ : \\[\\begin{align*}\n \\begin{cases}\n \\frac{\\partial c}{\\partial x}(x,y) = 0\\\\\n \\frac{\\partial c}{\\partial y}(x,y) =0\n \\end{cases}\n \\Leftrightarrow\n \\begin{cases}\n 200-4xy = 0\\\\\n 200-2x^2 =0\n \\end{cases} \n \\Leftrightarrow\n \\begin{cases}\n x = 10\\\\\n y = 5\n \\end{cases} \n \\end{align*}\\] Un unique point stationnaire (point\ncritique) est trouvé, il reste à étudier sa nature en regardant les\nconditions d’ordre 2.

\\[Hess_c(x,y)=\\begin{pmatrix}\n \\frac{\\partial^2 c}{\\partial x^2}(x,y) = -4y &\n\\frac{\\partial^2 c}{\\partial x \\partial y}(x,y) = -4x \\\\\n \\frac{\\partial^2 c}{\\partial y \\partial x}(x,y) = -4x &\n\\frac{\\partial^2 c}{\\partial y^2}(x,y) = 0 &\n \\end{pmatrix}\\] Son déterminant est \$0-16x^2\$ donc pour le point stationnaire,\n\$x=10\$ et le déterminant vaut \$-1600 <0\$. D’après le cours, cette\nfonction présente un point selle en \$(10,5)\$. C’est le seul point stationnaire,\nil n’y a donc pas de minimum local pour la fonction \$c\$ à l’intérieur de \$\\mathcal{D}_c\$.

\n" } }, { "id": "7b211653-32f7-4827-9a77-9c588b44d925", "type": "question", "value": { "latex": "En substituant une variable en fonction d'une autre, étudier la fonction $c$ au bord du domaine.", "html": "

En substituant une variable en fonction d’une autre, étudier la\nfonction \$c\$ au bord du domaine.

\n" } }, { "id": "303d0e49-0bce-4f8d-95e7-1b480c341114", "type": "reponse", "value": { "latex": "On travaille sur le bord :\n\t\t\\begin{itemize}\n\t\t\t\\item $x=0$ : on ne produit que du type B, le coût total est $c(0,y)=600+200y$, cette quantité est maximale pour $y=30$ et vaut $c(0,30)=6600$, cette quantité est minimale pour $y=0$ et vaut $c(0,0)=600$.\n\t\t\t\\item $y=0$ : on ne produit que du type A, le coût total est $c(x,0)=600+200x$, cette quantité est maximale pour $x=30$ et vaut $c(300,0)=6600$, cette quantité est minimale pour $x=0$ et vaut $c(0,0)=600$.\n\t\t\t\\item $x+y=300$ : \n\t\t\t\\begin{itemize}\n\t\t\t\t\\item \\textbf{Méthode par substitution} : on remplace $y$ par $30-x$ et on étudie la fonction d'une variable $f(x)=c(x,30-x) = 6600-60x^2+2x^3$ définie et dérivable sur $[0;30]$. On dérive : $f'(x) = 6x(x-20)$, on voit que $f'$ s'annule à l'intérieur du domaine en un seul point : $x_0 = 20$. On étudie la nature de ce point critique avec la dérivée seconde : \n\t\t\t\t$f''(x_0) = 120 >0$, en déduit qu'il s'agit d'un minimum. \n\t\t\t\t\n\t\t\t\tPour minimiser le coût, l'usine doit produire 20 kg de type A et 10 kg de de type B pour un coût hebdomadaire de $c(20,10) = -1400$. \\\\\n\t\t\t\t\\textbf{Méthode du Lagrangien} : le lagrangien s'écrit ici $L(x,y,\\lambda) = c(x,y)-\\lambda(x+y-30) = 600+200x+200y-2x^2y-\\lambda(x+y-30)$. On cherche son maximum par recherche de points critiques sur l'ensemble $]0;30[\\times]0;30[\\times\\R$. On résout :\n\t\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t\t\t\t\\frac{\\partial L}{\\partial x}(x,y,\\lambda) = 0\\\\\n\t\t\t\t\t\t\\frac{\\partial L}{\\partial y}(x,y,\\lambda) = 0\\\\\n\t\t\t\t\t\t\\frac{\\partial L}{\\partial \\lambda}(x,y,\\lambda) = 0\\\\\n\t\t\t\t\t\\end{cases}\n\t\t\t\t\t\\Leftrightarrow\n\t\t\t\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t\t\t\t200-4xy-\\lambda = 0\\\\\n\t\t\t\t\t\t200-2x^2-\\lambda = 0\\\\\n\t\t\t\t\t\t30-x-y = 0\\\\\n\t\t\t\t\t\\end{cases}\n\t\t\t\t\t\\Leftrightarrow\n\t\t\t\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t\t\t\t200-4x(30-x)-(200-2x^2) = 0\\\\\n\t\t\t\t\t\t\\lambda = 200-2x^2\\\\\n\t\t\t\t\t\ty= 30-x\\\\\n\t\t\t\t\t\\end{cases} \\\\\n\t\t\t\t\t\\Leftrightarrow \\begin{cases}\n\t\t\t\t\t\tx = 20\\\\\n\t\t\t\t\t\t\\lambda = -1600\\\\\n\t\t\t\t\t\ty= 10\\\\\n\t\t\t\t\t\\end{cases}\n\t\t\t\t\\end{align*}$$\n\t\t\t\tReste à vérifier que ce point réalise le maximum du lagrangien en étudiant les conditions de second ordre : on évalue $\\Delta(x,y,\\lambda) = \\frac{\\partial^2 L}{\\partial x^2}(x,y,\\lambda)\\frac{\\partial^2 L}{\\partial y^2}(x,y,\\lambda) - \\left(\\frac{\\partial^2 L}{\\partial x \\partial y}(x,y,\\lambda) \\right)^2 = -16x^2<0$. D'après le cours, on ne peut pas conclure directement. On doit donc étudier le signe de $c(x,y)-c(20,10)$ au voisinage de $(20,10)$ le long de la ligne d'équation $x+y=300$ : on étudie donc $d(h,k)=c(20+h,10+k)-c(20,10)$ compte tenu de la contrainte que $10+h+20+k = 30 \\iff h=-k$. On étudie donc $d(h,-h) = 2h^2(30+h) \\geq 0$. Cela garantit que $c(20,10)$ est bien un minimum de la fonction $c$.\n\t\t\t\\end{itemize}\n\t\t\\end{itemize}", "html": "

On travaille sur le bord :

\$x=0\$ : on ne produit que du\ntype B, le coût total est \$c(0,y)=600+200y\$, cette quantité est\nmaximale pour \$y=30\$ et vaut \$c(0,30)=6600\$, cette quantité est minimale\npour \$y=0\$ et vaut \$c(0,0)=600\$.
\$y=0\$ : on ne produit que du\ntype A, le coût total est \$c(x,0)=600+200x\$, cette quantité est\nmaximale pour \$x=30\$ et vaut \$c(300,0)=6600\$, cette quantité est\nminimale pour \$x=0\$ et vaut \$c(0,0)=600\$.
\$x+y=300\$ :
\n
- Méthode par substitution : on remplace \$y\$ par \$30-x\$ et on étudie la fonction d’une\nvariable \$f(x)=c(x,30-x) =\n6600-60x^2+2x^3\$ définie et dérivable sur \$[0;30]\$. On dérive : \$f'(x) = 6x(x-20)\$, on voit que \$f'\$ s’annule à l’intérieur du domaine\nen un seul point : \$x_0 = 20\$. On\nétudie la nature de ce point critique avec la dérivée seconde : \$f''(x_0) = 120 >0\$, en déduit\nqu’il s’agit d’un minimum.
  \n
  Pour minimiser le coût, l’usine doit produire 20 kg de type A et 10\nkg de de type B pour un coût hebdomadaire de \$c(20,10) = -1400\$.
  \nMéthode du Lagrangien : le lagrangien s’écrit ici \$L(x,y,\\lambda) = c(x,y)-\\lambda(x+y-30) =\n600+200x+200y-2x^2y-\\lambda(x+y-30)\$. On cherche son maximum par\nrecherche de points critiques sur l’ensemble \$]0;30[\\times]0;30[\\times\\R\$. On résout :\n\\[\\begin{align*}\n \\begin{cases}\n \\frac{\\partial L}{\\partial x}(x,y,\\lambda) = 0\\\\\n \\frac{\\partial L}{\\partial y}(x,y,\\lambda) = 0\\\\\n \\frac{\\partial L}{\\partial \\lambda}(x,y,\\lambda)\n= 0\\\\\n \\end{cases}\n \\Leftrightarrow\n \\begin{cases}\n 200-4xy-\\lambda = 0\\\\\n 200-2x^2-\\lambda = 0\\\\\n 30-x-y = 0\\\\\n \\end{cases}\n \\Leftrightarrow\n \\begin{cases}\n 200-4x(30-x)-(200-2x^2) = 0\\\\\n \\lambda = 200-2x^2\\\\\n y= 30-x\\\\\n \\end{cases} \\\\\n \\Leftrightarrow \\begin{cases}\n x = 20\\\\\n \\lambda = -1600\\\\\n y= 10\\\\\n \\end{cases}\n \\end{align*}\\] Reste à vérifier que ce point\nréalise le maximum du lagrangien en étudiant les conditions de second\nordre : on évalue \$\\Delta(x,y,\\lambda) =\n\\frac{\\partial^2 L}{\\partial x^2}(x,y,\\lambda)\\frac{\\partial^2\nL}{\\partial y^2}(x,y,\\lambda) - \\left(\\frac{\\partial^2 L}{\\partial x\n\\partial y}(x,y,\\lambda) \\right)^2 = -16x^2<0\$. D’après le\ncours, on ne peut pas conclure directement. On doit donc étudier le\nsigne de \$c(x,y)-c(20,10)\$ au\nvoisinage de \$(20,10)\$ le long de la\nligne d’équation \$x+y=300\$ : on\nétudie donc \$d(h,k)=c(20+h,10+k)-c(20,10)\$ compte tenu\nde la contrainte que \$10+h+20+k = 30 \\iff\nh=-k\$. On étudie donc \$d(h,-h)\n= 2h^2(30+h) \\geq 0\$. Cela garantit que \$c(20,10)\$ est bien un minimum de la\nfonction \$c\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "I38C", "titre": "Étude de séries à termes positifs", "theme": [ "séries" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:10.600Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:10.600Z" }, "contenu": [ { "id": "e333d274-8a53-4ef5-a7b9-1504955de42c", "type": "description", "value": { "latex": "Pour chacune des séries suivantes, déterminer si elle converge ou diverge.", "html": "

Pour chacune des séries suivantes, déterminer si elle converge ou\ndiverge.

\n" } }, { "id": "812290c5-d1c8-46c8-8c2b-fffaa86a06dc", "type": "question", "value": { "latex": "$\\displaystyle \\sum_{n\\geq 1} \\frac{1}{n^2+1}$ ;", "html": "

\$\\displaystyle \\sum_{n\\geq 1}\n\\frac{1}{n^2+1}\$ ;

\n" } }, { "id": "89e7d68b-3a3e-47fb-b655-b5f3340cffb5", "type": "reponse", "value": { "latex": "On pose $u_n = \\frac{1}{n^2+1}$. Alors $u_n \\geq 0$ pour tout $n \\in \\N$ et $u_n \\underset{+\\infty}\\sim \\frac{1}{n^2}$ donc par comparaison à une série de Riemann convergente ($\\alpha = 2>1$), la série $\\sum u_n$ converge.", "html": "

On pose \$u_n = \\frac{1}{n^2+1}\$.\nAlors \$u_n \\geq 0\$ pour tout \$n \\in \\N\$ et \$u_n \\underset{+\\infty}\\sim \\frac{1}{n^2}\$\ndonc par comparaison à une série de Riemann convergente (\$\\alpha = 2>1\$), la série \$\\sum u_n\$ converge.

\n" } }, { "id": "2cfa9f79-c2bc-47c2-aef2-18d6b91555b4", "type": "question", "value": { "latex": "$\\displaystyle \\sum_{n\\geq 1} \\frac{|\\cos(n)|}{n^2(\\sqrt{n}+1)}$ ;", "html": "

\$\\displaystyle \\sum_{n\\geq 1}\n\\frac{|\\cos(n)|}{n^2(\\sqrt{n}+1)}\$ ;

\n" } }, { "id": "988e1f8a-2384-4e95-9216-f2949e40c877", "type": "reponse", "value": { "latex": "On pose $u_n = \\frac{|\\cos(n)|}{n^2(\\sqrt{n}+1)}$. Alors $u_n \\geq 0$ pour tout $n \\in \\N$ et $u_n \\leq \\frac{1}{n^2(\\sqrt{n}+1)} \\underset{+\\infty}\\sim \\frac{1}{n^{5/2}}$ pour tout $n \\in \\N$ donc par comparaison d'une série positive à une série de Riemann convergente, la série $\\sum u_n$ converge.", "html": "

On pose \$u_n =\n\\frac{|\\cos(n)|}{n^2(\\sqrt{n}+1)}\$. Alors \$u_n \\geq 0\$ pour tout \$n \\in \\N\$ et \$u_n \\leq \\frac{1}{n^2(\\sqrt{n}+1)}\n\\underset{+\\infty}\\sim \\frac{1}{n^{5/2}}\$ pour tout \$n \\in \\N\$ donc par comparaison d’une série\npositive à une série de Riemann convergente, la série \$\\sum u_n\$ converge.

\n" } } ] }, { "uuid": "MWOk", "titre": "Etude de séries entières", "theme": [ "séries entières" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:15.518Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:15.518Z" }, "contenu": [ { "id": "cd7853d3-6b96-4f10-bfc4-db6014820e20", "type": "description", "value": { "latex": "Déterminer le rayon de convergence des séries entières réelles suivantes :", "html": "

Déterminer le rayon de convergence des séries entières réelles\nsuivantes :

\n" } }, { "id": "7d2cb261-1a83-4062-8442-52db49aeebb8", "type": "question", "value": { "latex": "$\\displaystyle \\sum_{n \\geq 0} \\frac{3n^2-1}{2^{2n+1}\\sqrt{n+1}} x^n$", "html": "

\$\\displaystyle \\sum_{n \\geq 0}\n\\frac{3n^2-1}{2^{2n+1}\\sqrt{n+1}} x^n\$

\n" } }, { "id": "0db8dd9c-1fb1-49ad-ae44-dc022b4e70b0", "type": "reponse", "value": { "latex": "On pose $u_n(x) = \\frac{3n^2-1}{2^{2n+1}\\sqrt{n+1}} x^n$ et on utilise le théorème de d'Alembert : \n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|} &= \\frac{(3(n+1)^2-1) \\times 2^{2n+1}\\sqrt{n+1}}{\\left(2^{2(n+1)+1}\\sqrt{n+1+1}\\right)(3n^2-1)}\\frac{|x^{n+1}|}{|x^n|} \\\\\n\t\t\t&= \\frac{1}{2^2}\\sqrt{\\frac{n+1}{n+2}} \\frac{3n^2+6n+3-1}{3n^2-1} |x| \\\\\n\t\t\t&\\xrightarrow[n\\to+\\infty]{} \\frac{1}{4}|x|\n\t\t\t\\end{align*}$$\t\n\t\t\tOr $ \\frac{1}{4}|x| <1 \\iff |x| < 4$ donc le rayon de convergence est $R=4$.", "html": "

On pose \$u_n(x) =\n\\frac{3n^2-1}{2^{2n+1}\\sqrt{n+1}} x^n\$ et on utilise le théorème\nde d’Alembert : \\[\\begin{align*}\n \\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|} &= \\frac{(3(n+1)^2-1)\n\\times\n2^{2n+1}\\sqrt{n+1}}{\\left(2^{2(n+1)+1}\\sqrt{n+1+1}\\right)(3n^2-1)}\\frac{|x^{n+1}|}{|x^n|}\n\\\\\n &= \\frac{1}{2^2}\\sqrt{\\frac{n+1}{n+2}}\n\\frac{3n^2+6n+3-1}{3n^2-1} |x| \\\\\n &\\xrightarrow[n\\to+\\infty]{} \\frac{1}{4}|x|\n \\end{align*}\\] Or \$\\frac{1}{4}|x| <1 \\iff |x| < 4\$ donc\nle rayon de convergence est \$R=4\$.

\n" } }, { "id": "6e510b47-637b-481d-9829-bd2f679086dc", "type": "question", "value": { "latex": "$\\displaystyle \\sum_{n \\geq 1} 9^n \\left(\\frac{n-1}{n}\\right)^nx^{2n}$", "html": "

\$\\displaystyle \\sum_{n \\geq 1} 9^n\n\\left(\\frac{n-1}{n}\\right)^nx^{2n}\$

\n" } }, { "id": "f734907a-bd1e-4d3e-bd63-d527c9f97d2f", "type": "reponse", "value": { "latex": "On pose $u_n(x) = 9^n \\left(\\frac{n-1}{n}\\right)^nx^{2n}$ et on utilise le théorème de Cauchy : \n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\left(|u_n(x)|\\right)^{\\frac{1}{n}} &= \\left(9^n \\left(\\frac{n-1}{n}\\right)^n|x|^{2n}\\right)^{\\frac{1}{n}} \\\\\n\t\t\t&= 9 \\left(\\frac{n-1}{n}\\right) |x|^2 \\\\\n\t\t\t&\\xrightarrow[n\\to+\\infty]{} 9|x|^2\n\t\t\t\\end{align*}$$\t\n\t\t\tOr $ 9|x|^2 <1 \\iff |x|^2 < \\frac{1}{9} \\iff |x| < \\frac{1}{3}$ donc le rayon de convergence est $R=\\frac{1}{3}$.", "html": "

On pose \$u_n(x) = 9^n\n\\left(\\frac{n-1}{n}\\right)^nx^{2n}\$ et on utilise le théorème de\nCauchy : \\[\\begin{align*}\n \\left(|u_n(x)|\\right)^{\\frac{1}{n}} &= \\left(9^n\n\\left(\\frac{n-1}{n}\\right)^n|x|^{2n}\\right)^{\\frac{1}{n}} \\\\\n &= 9 \\left(\\frac{n-1}{n}\\right) |x|^2 \\\\\n &\\xrightarrow[n\\to+\\infty]{} 9|x|^2\n \\end{align*}\\] Or \$9|x|^2\n<1 \\iff |x|^2 < \\frac{1}{9} \\iff |x| < \\frac{1}{3}\$\ndonc le rayon de convergence est \$R=\\frac{1}{3}\$.

\n" } }, { "id": "6c446887-d4cf-43bc-bd59-500efa237765", "type": "question", "value": { "latex": "Que peut-on dire de la série $\\displaystyle \\sum_{n \\geq 0} \\frac{3n^2-1}{2^{2n+1}\\sqrt{n+1}} \\left(-\\frac{9}{8}\\right)^n$ ? Justifier votre réponse.", "html": "

Que peut-on dire de la série \$\\displaystyle \\sum_{n \\geq 0}\n\\frac{3n^2-1}{2^{2n+1}\\sqrt{n+1}} \\left(-\\frac{9}{8}\\right)^n\$ ?\nJustifier votre réponse.

\n" } }, { "id": "5657e43e-4d88-4ead-88cd-cbbf43f13492", "type": "reponse", "value": { "latex": "On reconnaît la série entière de la question 1.(a) évaluée en $x = -\\frac{9}{8}$. Or $-\\frac{9}{8} \\in ]-4;4[$ donc la série est absolument convergente.", "html": "

On reconnaît la série entière de la question 1.(a) évaluée en \$x = -\\frac{9}{8}\$. Or \$-\\frac{9}{8} \\in ]-4;4[\$ donc la série est\nabsolument convergente.

\n" } }, { "id": "f22e9d94-7943-4513-a12e-fffcc9597e34", "type": "question", "value": { "latex": "Que peut-on dire de la série $\\displaystyle \\sum_{n \\geq 1} 9^n \\left(\\frac{n-1}{n}\\right)^n\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{2n}$ ? Justifier votre réponse.", "html": "

Que peut-on dire de la série \$\\displaystyle \\sum_{n \\geq 1} 9^n\n\\left(\\frac{n-1}{n}\\right)^n\\left(\\frac{2}{3}\\right)^{2n}\$ ?\nJustifier votre réponse.

\n" } }, { "id": "a6905f61-7a40-4769-a1db-1f74db2862f6", "type": "reponse", "value": { "latex": "On reconnaît la série entière de la question 1.(b) évaluée en $x = \\frac{2}{3}$. Or $\\frac{2}{3} \\notin ]-\\frac{1}{3};\\frac{1}{3}[$ donc la série est grossièrement divergente.", "html": "

On reconnaît la série entière de la question 1.(b) évaluée en \$x = \\frac{2}{3}\$. Or \$\\frac{2}{3} \\notin\n]-\\frac{1}{3};\\frac{1}{3}[\$ donc la série est grossièrement\ndivergente.

\n" } } ] }, { "uuid": "SfKE", "titre": "Etude de séries entières", "theme": [ "séries entières" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:20.644Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:20.644Z" }, "contenu": [ { "id": "3102a515-41ec-4bad-960c-cb40ec501387", "type": "description", "value": { "latex": "On considère la série entière réelle $\\displaystyle \\sum_{n \\geq 0} \\dfrac{(n+1)x^n}{2^n}$.", "html": "

On considère la série entière réelle \$\\displaystyle \\sum_{n \\geq 0}\n\\dfrac{(n+1)x^n}{2^n}\$.

\n" } }, { "id": "9e4bafff-e156-477e-b7fc-61fe279a50c4", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer le rayon de convergence $R$ de cette série entière.", "html": "

Calculer le rayon de convergence \$R\$ de cette série entière.

\n" } }, { "id": "efebc2de-1f73-4dd8-9f74-55059089b4f5", "type": "reponse", "value": { "latex": "On pose $u_n(x) = \\frac{(n+1)x^n}{2^n}$ et on utilise le théorème de d'Alembert : \n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|} &= \\frac{(n+2)|x|^{n+1}}{2^{n+1}} \\times \\frac{2^n}{(n+1)|x|^n} \\\\\n\t\t\t&= \\frac{(n+2)}{2(n+1)}|x| \\\\\n\t\t\t&\\xrightarrow[n\\to+\\infty]{} \\frac{1}{2}|x|\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tDonc la série converge absolument si et seulement si $\\frac{1}{2}|x|<1 \\iff |x|<2$, cela revient à dire que le rayon de convergence est $R=2$.", "html": "

On pose \$u_n(x) =\n\\frac{(n+1)x^n}{2^n}\$ et on utilise le théorème de d’Alembert :\n\\[\\begin{align*}\n \\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|} &=\n\\frac{(n+2)|x|^{n+1}}{2^{n+1}} \\times \\frac{2^n}{(n+1)|x|^n} \\\\\n &= \\frac{(n+2)}{2(n+1)}|x| \\\\\n &\\xrightarrow[n\\to+\\infty]{} \\frac{1}{2}|x|\n \\end{align*}\\] Donc la série converge absolument si et\nseulement si \$\\frac{1}{2}|x|<1 \\iff\n|x|<2\$, cela revient à dire que le rayon de convergence est\n\$R=2\$.

\n" } }, { "id": "83c3fc93-023d-48d1-b1bc-59da76876f5d", "type": "question", "value": { "latex": "\\'Etudier la série évaluée en $x=R$ et $x=-R$. En déduire le domaine de convergence de cette série entière.", "html": "

Étudier la série évaluée en \$x=R\$\net \$x=-R\$. En déduire le domaine de\nconvergence de cette série entière.

\n" } }, { "id": "0de8973c-58e7-436e-a57f-04a00419fcee", "type": "reponse", "value": { "latex": "D'après le cours, la série converge absolument si $x \\in ]-2,2[$.\n\t\t\n\t\tSi $x=2$ ou $x=-2$, on a un terme général $|u_n(2)|=|u_n(-2)| = n+1$ donc $\\lim\\limits_{n\\to +\\infty}u_n(2) \\neq 0$ et $\\lim\\limits_{n\\to +\\infty}u_n(-2) \\neq 0$.\n\t\t\n\t\tLa série diverge donc grossièrement pour $x=2$ et $x=-2$.", "html": "

D’après le cours, la série converge absolument si \$x \\in ]-2,2[\$.

Si \$x=2\$ ou \$x=-2\$, on a un terme général \$|u_n(2)|=|u_n(-2)| = n+1\$ donc \$\\lim\\limits_{n\\to +\\infty}u_n(2) \\neq 0\$\net \$\\lim\\limits_{n\\to +\\infty}u_n(-2) \\neq\n0\$.

La série diverge donc grossièrement pour \$x=2\$ et \$x=-2\$.

\n" } }, { "id": "a0b0e1b2-e02b-4c61-85b2-26411a9af5b8", "type": "question", "value": { "latex": "Soit la série $\\displaystyle \\sum_{n \\geq 0} \\left( \\frac{x}{2} \\right)^n$ et $R'$ son rayon de convergence. Calculer $R'$ puis calculer la somme de cette série pour tout $x\\in ]-R',R'[$.", "html": "

Soit la série \$\\displaystyle \\sum_{n \\geq\n0} \\left( \\frac{x}{2} \\right)^n\$ et \$R'\$ son rayon de convergence. Calculer\n\$R'\$ puis calculer la somme de\ncette série pour tout \$x\\in\n]-R',R'[\$.

\n" } }, { "id": "e8a32bab-d5a3-43eb-8539-ded74bf8aa43", "type": "reponse", "value": { "latex": "On reconnaît une série géométrique qui converge si $\\frac{|x|}{2}<1$ d'où un rayon de convergence $R'=2$. La somme vaut \n\t\t$$ \\sum_{n = 0}^{+\\infty}\\left( \\frac{x}{2} \\right)^n = \\frac{1}{1-\\frac{x}{2}} = \\frac{2}{2-x}$$", "html": "

On reconnaît une série géométrique qui converge si \$\\frac{|x|}{2}<1\$ d’où un rayon de\nconvergence \$R'=2\$. La somme vaut\n\\[\\sum_{n = 0}^{+\\infty}\\left( \\frac{x}{2}\n\\right)^n = \\frac{1}{1-\\frac{x}{2}} = \\frac{2}{2-x}\\]

\n" } }, { "id": "00810336-ab63-488b-89d6-9ebc980218aa", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire la somme de la série $\\displaystyle \\sum_{n \\geq 0} \\frac{(n+1)x^n}{2^n}$.", "html": "

En déduire la somme de la série \$\\displaystyle \\sum_{n \\geq 0}\n\\frac{(n+1)x^n}{2^n}\$.

\n" } }, { "id": "0f6a7352-9bdb-4b40-a617-45b0bc4f7c27", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par dérivation d'une série entière sur son intervalle ouvert de convergence, on obtient pour tout $x \\in ]-2;2[$ : \n\t\t$$ \\sum_{n = 0}^{+\\infty} \\frac{nx^{n-1}}{2^n} = \\frac{2}{\\left(2-x\\right)^{2}}$$\n\t\tOr $$ \\sum_{n = 0}^{+\\infty} \\frac{nx^{n-1}}{2^n} = \\sum_{n = 1}^{+\\infty} \\frac{nx^{n-1}}{2^n} = \\sum_{n = 0}^{+\\infty} \\frac{(n+1)x^{n}}{2^{n+1}} = \\frac{1}{2}\\sum_{n = 0}^{+\\infty} \\frac{(n+1)x^{n}}{2^{n}} $$\n\t\tdonc \n\t\t$$\\sum_{n = 0}^{+\\infty} \\frac{(n+1)x^{n}}{2^{n}} = \\frac{4}{\\left(2-x\\right)^{2}}$$", "html": "

Par dérivation d’une série entière sur son intervalle ouvert de\nconvergence, on obtient pour tout \$x \\in\n]-2;2[\$ : \\[\\sum_{n = 0}^{+\\infty}\n\\frac{nx^{n-1}}{2^n} = \\frac{2}{\\left(2-x\\right)^{2}}\\] Or \\[\\sum_{n = 0}^{+\\infty} \\frac{nx^{n-1}}{2^n}\n= \\sum_{n = 1}^{+\\infty} \\frac{nx^{n-1}}{2^n} = \\sum_{n = 0}^{+\\infty}\n\\frac{(n+1)x^{n}}{2^{n+1}} = \\frac{1}{2}\\sum_{n = 0}^{+\\infty}\n\\frac{(n+1)x^{n}}{2^{n}}\\] donc \\[\\sum_{n = 0}^{+\\infty} \\frac{(n+1)x^{n}}{2^{n}} =\n\\frac{4}{\\left(2-x\\right)^{2}}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "iQFz", "titre": "Etude de séries entières", "theme": [ "séries entières" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:38.429Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:38.429Z" }, "contenu": [ { "id": "35461cdb-d5e1-42cf-b5f1-8a0ae932e8ff", "type": "description", "value": { "latex": "Déterminer le rayon de convergence des séries entières réelles suivantes :", "html": "

Déterminer le rayon de convergence des séries entières réelles\nsuivantes :

\n" } }, { "id": "2212cdbd-ef61-4744-bbc7-b6620d25611a", "type": "question", "value": { "latex": "$\\displaystyle \\sum_{n \\geq 0} \\frac{3n^2-1}{2^{2n+1}\\sqrt{n+1}} x^n$", "html": "

\$\\displaystyle \\sum_{n \\geq 0}\n\\frac{3n^2-1}{2^{2n+1}\\sqrt{n+1}} x^n\$

\n" } }, { "id": "bcc80b0e-5c37-4cde-8a7c-e120028588c1", "type": "reponse", "value": { "latex": "On pose $u_n(x) = \\frac{3n^2-1}{2^{2n+1}\\sqrt{n+1}} x^n$ et on utilise le théorème de d'Alembert : \n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|} &= \\frac{(3(n+1)^2-1) \\times 2^{2n+1}\\sqrt{n+1}}{\\left(2^{2(n+1)+1}\\sqrt{n+1+1}\\right)(3n^2-1)}\\frac{|x^{n+1}|}{|x^n|} \\\\\n\t\t\t&= \\frac{1}{2^2}\\sqrt{\\frac{n+1}{n+2}} \\frac{3n^2+6n+3-1}{3n^2-1} |x| \\\\\n\t\t\t&\\xrightarrow[n\\to+\\infty]{} \\frac{1}{4}|x|\n\t\t\t\\end{align*}$$\t\n\t\t\tOr $ \\frac{1}{4}|x| <1 \\iff |x| < 4$ donc le rayon de convergence est $R=4$.", "html": "

\n" } }, { "id": "ab920c77-c9a1-4874-87cb-1d4afc06617a", "type": "question", "value": { "latex": "$\\displaystyle \\sum_{n \\geq 1} 9^n \\left(\\frac{n-1}{n}\\right)^nx^{n}$", "html": "

\$\\displaystyle \\sum_{n \\geq 1} 9^n\n\\left(\\frac{n-1}{n}\\right)^nx^{n}\$

\n" } }, { "id": "f5da9482-7211-4295-8729-7648df9e53f5", "type": "reponse", "value": { "latex": "On pose $u_n(x) = 9^n \\left(\\frac{n-1}{n}\\right)^nx^{2n}$ et on utilise le théorème de Cauchy : \n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\left(|u_n(x)|\\right)^{\\frac{1}{n}} &= \\left(9^n \\left(\\frac{n-1}{n}\\right)^n|x|^{2n}\\right)^{\\frac{1}{n}} \\\\\n\t\t\t&= 9 \\left(\\frac{n-1}{n}\\right) |x| \\\\\n\t\t\t&\\xrightarrow[n\\to+\\infty]{} 9|x|\n\t\t\t\\end{align*}$$\t\n\t\t\tOr $ 9|x| <1 \\iff |x| < \\frac{1}{9}$ donc le rayon de convergence est $R=\\frac{1}{9}$.", "html": "

On pose \$u_n(x) = 9^n\n\\left(\\frac{n-1}{n}\\right)^nx^{2n}\$ et on utilise le théorème de\nCauchy : \\[\\begin{align*}\n \\left(|u_n(x)|\\right)^{\\frac{1}{n}} &= \\left(9^n\n\\left(\\frac{n-1}{n}\\right)^n|x|^{2n}\\right)^{\\frac{1}{n}} \\\\\n &= 9 \\left(\\frac{n-1}{n}\\right) |x| \\\\\n &\\xrightarrow[n\\to+\\infty]{} 9|x|\n \\end{align*}\\] Or \$9|x|\n<1 \\iff |x| < \\frac{1}{9}\$ donc le rayon de convergence\nest \$R=\\frac{1}{9}\$.

\n" } }, { "id": "9115b5b9-354a-485a-b84f-950998a9fb82", "type": "question", "value": { "latex": "Que peut-on dire de la série $\\displaystyle \\sum_{n \\geq 0} \\frac{3n^2-1}{2^{2n+1}\\sqrt{n+1}} \\left(-\\frac{9}{8}\\right)^n$ ? Justifier.", "html": "

Que peut-on dire de la série \$\\displaystyle \\sum_{n \\geq 0}\n\\frac{3n^2-1}{2^{2n+1}\\sqrt{n+1}} \\left(-\\frac{9}{8}\\right)^n\$ ?\nJustifier.

\n" } }, { "id": "2b9ff9d3-ed23-43c7-8d39-deb1b5fe2911", "type": "reponse", "value": { "latex": "On reconnaît la série entière de la question 1.(a) évaluée en $x = -\\frac{9}{8}$. Or $-\\frac{9}{8} \\in ]-4;4[$ donc la série est absolument convergente.", "html": "

On reconnaît la série entière de la question 1.(a) évaluée en \$x = -\\frac{9}{8}\$. Or \$-\\frac{9}{8} \\in ]-4;4[\$ donc la série est\nabsolument convergente.

\n" } }, { "id": "0247500d-3ba6-4bb2-9335-4a7bd4438f4d", "type": "question", "value": { "latex": "Que peut-on dire de la série $\\displaystyle \\sum_{n \\geq 1} 9^n \\left(\\frac{2n-2}{3n}\\right)^n$ ? Justifier.", "html": "

Que peut-on dire de la série \$\\displaystyle \\sum_{n \\geq 1} 9^n\n\\left(\\frac{2n-2}{3n}\\right)^n\$ ? Justifier.

\n" } }, { "id": "a2ee438e-f623-40a8-9bf8-3dc864d51c21", "type": "reponse", "value": { "latex": "On reconnaît la série entière de la question 1.(b) évaluée en $x = \\frac{2}{3}$. Or $\\frac{2}{3} \\notin ]-\\frac{1}{9};\\frac{1}{9}[$ donc la série est grossièrement divergente.", "html": "

On reconnaît la série entière de la question 1.(b) évaluée en \$x = \\frac{2}{3}\$. Or \$\\frac{2}{3} \\notin\n]-\\frac{1}{9};\\frac{1}{9}[\$ donc la série est grossièrement\ndivergente.

\n" } } ] }, { "uuid": "7J6y", "titre": "Etude de séries numériques", "theme": [ "séries" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:59.235Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:59.235Z" }, "contenu": [ { "id": "124f609c-6c89-4efd-9a9f-d2ab96ad7d43", "type": "description", "value": { "latex": "Dans chacun des cas, dire si la série de terme général $u_n$ est absolument convergente, semi-convergente, divergente, grossièrement divergente. \\\\\nAttention, pour pouvoir répondre, certaines séries demandent deux démonstrations: par exemple, pour montrer que $\\sum u_n$ est semi-convergente, il faut démontrer que $\\sum u_n$ est convergente et que $\\sum |u_n|$ est divergente.", "html": "

Dans chacun des cas, dire si la série de terme général \$u_n\$ est absolument convergente,\nsemi-convergente, divergente, grossièrement divergente.
\nAttention, pour pouvoir répondre, certaines séries demandent deux\ndémonstrations: par exemple, pour montrer que \$\\sum u_n\$ est semi-convergente, il faut\ndémontrer que \$\\sum u_n\$ est\nconvergente et que \$\\sum |u_n|\$ est\ndivergente.

\n" } }, { "id": "2ff9f822-2c58-44a1-9312-f3d596b05651", "type": "question", "value": { "latex": "$u_n=\\frac{\\sin(n^2)}{n^2}$", "html": "

\$u_n=\\frac{\\sin(n^2)}{n^2}\$

\n" } }, { "id": "df0404d8-240f-417f-af5f-c0dc9628a108", "type": "reponse", "value": { "latex": "La série converge car elle est absolument convergente (le terme général est dominé par $1/n^2$).", "html": "

La série converge car elle est absolument convergente (le terme\ngénéral est dominé par \$1/n^2\$).

\n" } }, { "id": "e9c4d129-c299-40d0-8f52-dc2290d3c4af", "type": "question", "value": { "latex": "$u_n=\\frac{(-1)^n\\ln(n)}{n}$", "html": "

\$u_n=\\frac{(-1)^n\\ln(n)}{n}\$

\n" } }, { "id": "12205aef-8bd9-49ff-ba0b-b1b6e90d707b", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $|u_n|\\geq \\frac{1}{n}$, qui est le terme général d'une série de Riemann divergente. Par comparaison, la série $\\sum u_n$ ne converge pas absolument. \\\\\n\t\tPar le critère des séries alternées, comme la suite $\\left(\\frac{\\ln(n)}{n}\\right)_n$ est décroissante et tend vers $0$, la série $\\sum u_n$ converge. \\\\\n\t\tDonc la série $\\sum u_n$ est \\textbf{semi-convergente}.", "html": "

On a \$|u_n|\\geq \\frac{1}{n}\$, qui\nest le terme général d’une série de Riemann divergente. Par comparaison,\nla série \$\\sum u_n\$ ne converge pas\nabsolument.
\nPar le critère des séries alternées, comme la suite \$\\left(\\frac{\\ln(n)}{n}\\right)_n\$ est\ndécroissante et tend vers \$0\$, la\nsérie \$\\sum u_n\$ converge.
\nDonc la série \$\\sum u_n\$ est\nsemi-convergente.

\n" } }, { "id": "17cba002-7aaf-41e5-8896-b3388780edf4", "type": "question", "value": { "latex": "$u_n=\\frac{\\cos(n^2\\pi)}{n\\ln(n)}$", "html": "

\$u_n=\\frac{\\cos(n^2\\pi)}{n\\ln(n)}\$

\n" } }, { "id": "deb417b5-2185-449c-bf36-9ec7d13386f7", "type": "reponse", "value": { "latex": "La série converge absolument, par comparaisno à une série de Bertrand.", "html": "

La série converge absolument, par comparaisno à une série de\nBertrand.

\n" } }, { "id": "5fcfbc71-df7d-48b4-a5ff-4c269ecdabf3", "type": "question", "value": { "latex": "$u_n=\\frac{(2n+1)^4}{(7n^2+1)^3}$", "html": "

\$u_n=\\frac{(2n+1)^4}{(7n^2+1)^3}\$

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C’est une série à termes positifs, elle converge car le terme général\nest équivalent à \$\\frac{16}{7^3n^2}\$\nqui est une série de Riemann convergente de paramètre 2.

\n" } }, { "id": "ec2669b5-86d7-47c8-9191-cb6660e21087", "type": "question", "value": { "latex": "$u_n=\\Big(1-\\frac{1}{n}\\Big)^n$", "html": "

\$u_n=\\Big(1-\\frac{1}{n}\\Big)^n\$

\n" } }, { "id": "a6de8866-7c01-4d63-aaae-fca497176bbb", "type": "reponse", "value": { "latex": "La série diverge grossièrement car le terme général tend vers $1/e$ et ne tend donc pas vers 0.", "html": "

La série diverge grossièrement car le terme général tend vers \$1/e\$ et ne tend donc pas vers 0.

\n" } }, { "id": "33f9ff3c-9c6c-4798-bc77-04bcbe4bc7c2", "type": "question", "value": { "latex": "$u_n=\\ln(1+e^{-n})$", "html": "

\$u_n=\\ln(1+e^{-n})\$

\n" } }, { "id": "0e8bfacd-360b-4727-bd42-38bf02ee7977", "type": "reponse", "value": { "latex": "C'est une série à termes positifs, elle converge car le terme général est équivalent à $1/e^n$, c'est le terme général d'une série géométrique convergente.", "html": "

C’est une série à termes positifs, elle converge car le terme général\nest équivalent à \$1/e^n\$, c’est le\nterme général d’une série géométrique convergente.

\n" } }, { "id": "2edd6572-892a-4fb3-a4b6-46aad0d73415", "type": "question", "value": { "latex": "$u_n=\\frac{1}{n\\cos^2(n)}$", "html": "

\$u_n=\\frac{1}{n\\cos^2(n)}\$

\n" } }, { "id": "564869ca-3b25-445f-9047-62cf766a0429", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour tout $n$, on a $u_n \\geq \\frac{1}{n} \\geq 0$ donc par comparaison de séries à termes positifs, la série diverge.", "html": "

Pour tout \$n\$, on a \$u_n \\geq \\frac{1}{n} \\geq 0\$ donc par\ncomparaison de séries à termes positifs, la série diverge.

\n" } }, { "id": "3bdb72b7-4c88-4e29-9439-eafa999c2e57", "type": "question", "value": { "latex": "$u_n=\\sin\\Big(\\frac{n^2+1}{n}\\pi \\Big)$", "html": "

\$u_n=\\sin\\Big(\\frac{n^2+1}{n}\\pi\n\\Big)\$

\n" } }, { "id": "5ddbf61c-33eb-4f11-90c0-c81fae989f91", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a: \n\t\t$u_n=\\sin((n+\\frac{1}{n})\\pi)=\\sin(n\\pi+\\frac{\\pi}{n})=\n\t\t=(-1)^n\\sin(\\frac{\\pi}{n})$.\n\t\t$u_n$ n'est pas de signe constant: on commence par étudier la convergence absolue. $|u_n|\\sim \\frac{\\pi}{n}$, qui est le terme d'une série de Riemann divergente donc la série $\\sum u_n$ ne converge pas absolument. \\\\\n\t\tPar le critère des séries alternées, comme la suite $(\\sin(\\frac{\\pi}{n}))_n$ est décroissante et tend vers $\\sin(0)=0$, la série $\\sum u_n$ converge. \\\\\n\t\tFinalement, la série $\\sum u_n$ est \\textbf{semi-convergente}.", "html": "

On a: \$u_n=\\sin((n+\\frac{1}{n})\\pi)=\\sin(n\\pi+\\frac{\\pi}{n})=\n =(-1)^n\\sin(\\frac{\\pi}{n})\$. \$u_n\$ n’est pas de signe constant: on\ncommence par étudier la convergence absolue. \$|u_n|\\sim \\frac{\\pi}{n}\$, qui est le terme\nd’une série de Riemann divergente donc la série \$\\sum u_n\$ ne converge pas\nabsolument.
\nPar le critère des séries alternées, comme la suite \$(\\sin(\\frac{\\pi}{n}))_n\$ est décroissante\net tend vers \$\\sin(0)=0\$, la série\n\$\\sum u_n\$ converge.
\nFinalement, la série \$\\sum u_n\$ est\nsemi-convergente.

\n" } }, { "id": "f3f259f7-340a-429b-b809-7ac558b2a35a", "type": "question", "value": { "latex": "$u_n=\\frac{n}{2^n}$", "html": "

\$u_n=\\frac{n}{2^n}\$

\n" } }, { "id": "8ce9192d-f9b3-43b4-97c7-b6a9df1301b7", "type": "reponse", "value": { "latex": "On utilise le critère de d'Alembert: $\\frac{u_{n+1}}{u_n}=\\frac{n+1}{2n}$, qui tend vers $\\frac{1}{2}<1$. On en conclut que la série $\\sum u_n$ converge. Comme il s'agit d'une série à termes positifs, cette série \\textbf{converge absolument}.", "html": "

On utilise le critère de d’Alembert: \$\\frac{u_{n+1}}{u_n}=\\frac{n+1}{2n}\$, qui\ntend vers \$\\frac{1}{2}<1\$. On en\nconclut que la série \$\\sum u_n\$\nconverge. Comme il s’agit d’une série à termes positifs, cette série\nconverge absolument.

\n" } }, { "id": "9affe2dc-ba96-49d4-952f-cca7576252e2", "type": "question", "value": { "latex": "$u_n=\\Big(1+\\frac{1}{n}\\Big)^{n^2}$", "html": "

\$u_n=\\Big(1+\\frac{1}{n}\\Big)^{n^2}\$

\n" } }, { "id": "e2e001d7-1c74-46a9-83b1-4a4e29538e36", "type": "reponse", "value": { "latex": "$u_n=(1+\\frac{1}{n})^{n^2}>1$ donc la suite $(u_n)$ ne peut pas tendre vers $0$: la série $\\sum u_n$ \\textbf{diverge grossièrement}", "html": "

\$u_n=(1+\\frac{1}{n})^{n^2}>1\$\ndonc la suite \$(u_n)\$ ne peut pas\ntendre vers \$0\$: la série \$\\sum u_n\$ diverge\ngrossièrement

\n" } }, { "id": "b2efdf70-b0a7-4a9e-be13-12960be7148e", "type": "question", "value": { "latex": "$u_n=\\frac{n^{10000}}{n!}$", "html": "

\$u_n=\\frac{n^{10000}}{n!}\$

\n" } }, { "id": "5faeafce-7058-4a38-9fe2-a2e65e8fd017", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\frac{u_{n+1}}{u_n}=(\\frac{n+1}{n})^{10000}\\frac{1}{n+1}$ tend vers $0$ en l'infini. Par le critère de D'Alembert, la série $\\sum u_n$ converge. Comme elle est à termes positifs, cette série \\textbf{converge absolument}.", "html": "

\$\\frac{u_{n+1}}{u_n}=(\\frac{n+1}{n})^{10000}\\frac{1}{n+1}\$\ntend vers \$0\$ en l’infini. Par le\ncritère de D’Alembert, la série \$\\sum\nu_n\$ converge. Comme elle est à termes positifs, cette série\nconverge absolument.

\n" } }, { "id": "fa4250be-e4d8-4e68-a1d5-8535fd028b8c", "type": "question", "value": { "latex": "$u_n= \\frac{(-1)^n}{\\sqrt{n+1}}$", "html": "

\$u_n=\n\\frac{(-1)^n}{\\sqrt{n+1}}\$

\n" } }, { "id": "ede0901c-345b-4354-9773-3b9008613054", "type": "reponse", "value": { "latex": "$u_n$ est de signe non constant; on commence par étudier la convergence absolue. $|u_n|\\sim \\frac{1}{n^{\\frac{1}{2}}}$ donc la série $\\sum u_n$ ne converge pas absolument. \\\\\n\tPar le critère des séries alternées, comme $(\\frac{1}{\\sqrt{n+1}})_n$ est une suite décroissante et de limite $0$, la série $\\sum u_n$ converge. \\\\\n\tConclusion: la série $\\sum u_n$ est \\textbf{semi-convergente}.", "html": "

\$u_n\$ est de signe non constant;\non commence par étudier la convergence absolue. \$|u_n|\\sim \\frac{1}{n^{\\frac{1}{2}}}\$ donc\nla série \$\\sum u_n\$ ne converge pas\nabsolument.
\nPar le critère des séries alternées, comme \$(\\frac{1}{\\sqrt{n+1}})_n\$ est une suite\ndécroissante et de limite \$0\$, la\nsérie \$\\sum u_n\$ converge.
\nConclusion: la série \$\\sum u_n\$ est\nsemi-convergente.

\n" } }, { "id": "b4340f3d-7401-41b7-9a42-fcb7509a5da5", "type": "question", "value": { "latex": "$u_n=\\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$", "html": "

\$u_n=\\frac{1}{n(n+1)(n+2)}\$

\n" } }, { "id": "4d616638-4030-44eb-becb-c6ac83ca07f6", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $u_n \\sim \\frac{1}{n^3}$ qui est le terme général d'une série de Riemann convergente. La série $\\sum u_n$ est absolument convergente. Comme il s'agit d'une série télescopique, on peut calculer sa somme: on décompose la fraction en éléments simples:\n\t\t\\[ \\frac{1}{n(n+1)(n+2)} =\\frac{\\frac{1}{2}}{n}-\\frac{1}{n+1}+\\frac{\\frac{1}{2}}{n+2}\\]\n\t\tOn calcule les sommes partielles:\n\t\t\\[ \\sum_{k=1}^{n} u_k=\\frac{1}{4}+\\frac{1}{2(n+1)} +\\frac{1}{2(n+2)} \\ \\underset{n\\rightarrow+\\infty}\\longrightarrow \\frac{1}{4}.\\]\n\t\tDonc la somme de la série $\\sum u_n$ vaut $\\frac{1}{4}$.", "html": "

On a \$u_n \\sim \\frac{1}{n^3}\$ qui\nest le terme général d’une série de Riemann convergente. La série \$\\sum u_n\$ est absolument convergente.\nComme il s’agit d’une série télescopique, on peut calculer sa somme: on\ndécompose la fraction en éléments simples: \\[\\frac{1}{n(n+1)(n+2)}\n=\\frac{\\frac{1}{2}}{n}-\\frac{1}{n+1}+\\frac{\\frac{1}{2}}{n+2}\\] On\ncalcule les sommes partielles: \\[\\sum_{k=1}^{n} u_k=\\frac{1}{4}+\\frac{1}{2(n+1)}\n+\\frac{1}{2(n+2)} \\ \\underset{n\\rightarrow+\\infty}\\longrightarrow\n\\frac{1}{4}.\\] Donc la somme de la série \$\\sum u_n\$ vaut \$\\frac{1}{4}\$.

\n" } }, { "id": "9fb97741-9502-48e1-972f-984aff4be7c2", "type": "question", "value": { "latex": "$u_n=\\frac{1}{(\\ln(n))^n}$", "html": "

\$u_n=\\frac{1}{(\\ln(n))^n}\$

\n" } }, { "id": "f6233ed1-bfdf-469b-9923-a4e7f4a32f9f", "type": "reponse", "value": { "latex": "$(|u_n|)^{\\frac{1}{n}}=\\frac{1}{\\ln(n)}$ qui tend vers $0$ en l'infini. Par le critère de Cauchy, la série est convergente. Comme elle est à termes positifs, elle est également \\textbf{absolument convergente}.\n\t\t\\item $u_n\\sim \\frac{1}{2n^2}$, qui est une série de Riemann convergente donc la série $\\sum u_n$ converge. Étant à termes positifs, elle \\textbf{converge absolument}.", "html": "

\$(|u_n|)^{\\frac{1}{n}}=\\frac{1}{\\ln(n)}\$\nqui tend vers \$0\$ en l’infini. Par le\ncritère de Cauchy, la série est convergente. Comme elle est à termes\npositifs, elle est également absolument\nconvergente.

\$u_n\\sim \\frac{1}{2n^2}\$, qui est\nune série de Riemann convergente donc la série \$\\sum u_n\$ converge. Étant à termes\npositifs, elle converge absolument.

\n" } }, { "id": "f598c622-d6e7-4834-854d-addcaa385178", "type": "question", "value": { "latex": "$u_n=1-\\cos\\big(\\frac{1}{n}\\Big)$", "html": "

\$u_n=1-\\cos\\big(\\frac{1}{n}\\Big)\$

\n" } }, { "id": "4baab847-2d45-4a56-84b8-ea36d6801ec7", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par développement limité du cosinus, on obtient l'équivalent : $u_n\\sim \\frac{1}{2n^2}$, qui est le terme général d'une série de Riemann convergente. Donc la série $\\sum u_n$ converge. Étant à termes positifs, elle \\textbf{converge absolument}.", "html": "

Par développement limité du cosinus, on obtient l’équivalent : \$u_n\\sim \\frac{1}{2n^2}\$, qui est le terme\ngénéral d’une série de Riemann convergente. Donc la série \$\\sum u_n\$ converge. Étant à termes\npositifs, elle converge absolument.

\n" } }, { "id": "3f204c76-59d8-48f2-8d42-4455424716fa", "type": "question", "value": { "latex": "$u_n=\\Big(\\frac{4n+1}{3n+2}\\Big)^n$", "html": "

\$u_n=\\Big(\\frac{4n+1}{3n+2}\\Big)^n\$

\n" } }, { "id": "6469b99e-25c0-4777-95c7-47497b6f2096", "type": "reponse", "value": { "latex": "La série diverge grossièrement car le terme général ne tend pas vers $0$.", "html": "

La série diverge grossièrement car le terme général ne tend pas vers\n\$0\$.

\n" } }, { "id": "b5d0b61a-e5b1-49a2-a732-edb35aec3c8e", "type": "question", "value": { "latex": "$u_n=\\frac{\\ln(n)}{n}$", "html": "

\$u_n=\\frac{\\ln(n)}{n}\$

\n" } }, { "id": "f367a50a-502b-45b4-8395-6bb344e276d2", "type": "reponse", "value": { "latex": "C'est une série à termes positifs et $u_n \\geq \\frac{1}{n}$ donc par comparaison à une série de Riemann divergente, la série diverge.", "html": "

C’est une série à termes positifs et \$u_n\n\\geq \\frac{1}{n}\$ donc par comparaison à une série de Riemann\ndivergente, la série diverge.

\n" } } ] }, { "uuid": "mjqR", "titre": "Étude de séries numériques", "theme": [ "séries" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:44.274Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:44.274Z" }, "contenu": [ { "id": "2ab7a5fe-964f-458d-ad9b-511e4a618dec", "type": "description", "value": { "latex": "Pour chacune des séries ci-dessous, préciser si elle est absolument convergente, semi-convergente, grossièrement divergente ou divergente sans l'être grossièrement. Donner une courte justification de votre réponse.", "html": "

Pour chacune des séries ci-dessous, préciser si elle est absolument\nconvergente, semi-convergente, grossièrement divergente ou divergente\nsans l’être grossièrement. Donner une courte justification de votre\nréponse.

\n" } }, { "id": "10ec86b4-c38b-4bd1-966c-d1a5b3268409", "type": "question", "value": { "latex": "$\\displaystyle \\sum\\limits_{n \\geq 2} \\dfrac{1}{\\sqrt{n}-1} $", "html": "

\$\\displaystyle \\sum\\limits_{n \\geq 2}\n\\dfrac{1}{\\sqrt{n}-1}\$

\n" } }, { "id": "5a7a51c6-f234-4a64-b1dc-1b1d496b899b", "type": "reponse", "value": { "latex": "C'est une série à termes positifs, le terme général $\\frac{1}{\\sqrt{n}-1}$ est équivalent à $\\frac{1}{\\sqrt{n}}$, c'est le terme général d'une série \\fbox{divergente} (Riemann) mais non grossièrement (il tend vers $0$).", "html": "

C’est une série à termes positifs, le terme général \$\\frac{1}{\\sqrt{n}-1}\$ est équivalent à\n\$\\frac{1}{\\sqrt{n}}\$, c’est le terme\ngénéral d’une série (Riemann) mais non grossièrement (il tend vers \$0\$).

\n" } }, { "id": "7b13a509-e85c-424a-8d6c-a93983d69744", "type": "question", "value": { "latex": "$\\displaystyle \\sum\\limits_{n \\geq 0} \\dfrac{2+\\cos\\left(n^2+n+1\\right)}{n^2+n+1}$", "html": "

\$\\displaystyle \\sum\\limits_{n \\geq 0}\n\\dfrac{2+\\cos\\left(n^2+n+1\\right)}{n^2+n+1}\$

\n" } }, { "id": "d43fe4b5-26cb-403b-a200-4e322ec85920", "type": "reponse", "value": { "latex": "On pose $u_n = \\dfrac{2+\\cos\\left(n^2+n+1\\right)}{n^2+n+1}$. On a \n\t\t$$|u_n| \\leq \\frac{2+1}{n^2+n+1} \\leq \\frac{3}{n^2}$$. \n\t\tOr $\\sum \\frac{1}{n^2}$ est une série convergente (Riemann) donc par comparaison, la série $\\sum u_n$ est \\fbox{absolument convergente} donc convergente.", "html": "

On pose \$u_n\n= \\dfrac{2+\\cos\\left(n^2+n+1\\right)}{n^2+n+1}\$. On a \\[|u_n| \\leq \\frac{2+1}{n^2+n+1} \\leq\n\\frac{3}{n^2}\\]. Or \$\\sum\n\\frac{1}{n^2}\$ est une série convergente (Riemann) donc par\ncomparaison, la série \$\\sum u_n\$ est\ndonc convergente.

\n" } } ] }, { "uuid": "bXCC", "titre": "Étude des zéros d'une fonction non linéaire", "theme": [ "" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:31.076Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:31.076Z" }, "contenu": [ { "id": "242289d4-2834-4337-bffc-9ec9f8c0ff69", "type": "description", "value": { "latex": "Soit \n$$\nf:\\;\n\\begin{array}{rcl}\n\t[0,1]&\\to& \\mathbb{R}\\\\\n\tx&\\to& x(1+e^x)-e^x.\n\\end{array}\n$$\nOn recherche les z\\'eros $\\ell$ de $f$ dans $[0,1]$:\n$$\nf(\\ell)=0.\n$$", "html": "

Soit \\[f:\\;\n\\begin{array}{rcl}\n [0,1]&\\to& \\mathbb{R}\\\\\n x&\\to& x(1+e^x)-e^x.\n\\end{array}\\] On recherche les zéros \$\\ell\$ de \$f\$ dans \$[0,1]\$: \\[f(\\ell)=0.\\]

\n" } }, { "id": "8d734e59-725d-4e6c-ba01-f48b23b3a6e5", "type": "question", "value": { "latex": "Démontrer qu'il existe un unique z\\'ero $\\ell$ de la fonction $f$ sur $[0,1]$", "html": "

Démontrer qu’il existe un unique zéro \$\\ell\$ de la fonction \$f\$ sur \$[0,1]\$

\n" } }, { "id": "13ed2bb9-e86c-4bca-a87e-fcaf9fd20cee", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $f$ est $C^\\infty$. Sa dérivée\n\t\t$$\n\t\tf'(x)=1+xe^x,\n\t\t$$\n\t\tétant strictement positive, la fonction $f$ est strictement croissante. De plus\n\t\t$$\n\t\tf(0)=-1,\\quad f(1)=1.\n\t\t$$\n\t\tLa continuité et la stricte croissance de $f$ assure donc l'existence et l'unicité d'un zéro sur $[0,1]$.", "html": "

La fonction \$f\$ est \$C^\\infty\$. Sa dérivée \\[f'(x)=1+xe^x,\\] étant strictement\npositive, la fonction \$f\$ est\nstrictement croissante. De plus \\[f(0)=-1,\\quad f(1)=1.\\] La continuité et\nla stricte croissance de \$f\$ assure\ndonc l’existence et l’unicité d’un zéro sur \$[0,1]\$.

\n" } }, { "id": "4a158aae-b56a-429a-a064-904338f156b7", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que $\\ell$ est un point fixe de $\\varphi_1$.", "html": "

Montrer que \$\\ell\$ est un point\nfixe de \$\\varphi_1\$.

\n" } }, { "id": "989b81ae-3734-40f1-a4d7-9a07d2d41d2e", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que la suite $(x_n)$ converge localement vers $\\ell$ avec un ordre de convergence supérieur ou égal à $2$.", "html": "

Montrer que la suite \$(x_n)\$\nconverge localement vers \$\\ell\$ avec\nun ordre de convergence supérieur ou égal à \$2\$.

\n" } }, { "id": "70c4ed90-ec75-4098-9eed-a421dc47745e", "type": "reponse", "value": { "latex": "On remarque d'abord que $\\phi(x)=x$ équivaut à $f(x)=0$. Donc $l$ est l'unique point fixe de $\\phi$.\n\t\t\t\n\t\t\tUne méthode itérative donnée par la relation de récurrence \n\t\t\t$$\n\t\t\tx_{n+1}=\\phi(x_n),\n\t\t\t$$\n\t\t\tconverge vers le point fixe $l$ de $\\phi$ pour $x_0$ pris dans un voisinage de $l$ si $|\\phi'(l)|<1$. Or\n\t\t\t$$\n\t\t\t\\phi'(l)=-\\frac{e^l(1+l)(l(1+e^l)-e^l)}{(1+le^l)^2}.\n\t\t\t$$\n\t\t\tOr par définition\n\t\t\t$$\n\t\t\tl(1+e^l)-e^l=0,\n\t\t\t$$\n\t\t\tce qui assure\n\t\t\t$$\n\t\t\t\\phi'(l)=0.\n\t\t\t$$", "html": "

On remarque d’abord que \$\\phi(x)=x\$ équivaut à \$f(x)=0\$. Donc \$l\$ est l’unique point fixe de \$\\phi\$.

Une méthode itérative donnée par la relation de récurrence \\[x_{n+1}=\\phi(x_n),\\] converge vers le\npoint fixe \$l\$ de \$\\phi\$ pour \$x_0\$ pris dans un voisinage de \$l\$ si \$|\\phi'(l)|<1\$. Or \\[\\phi'(l)=-\\frac{e^l(1+l)(l(1+e^l)-e^l)}{(1+le^l)^2}.\\]\nOr par définition \\[l(1+e^l)-e^l=0,\\]\nce qui assure \\[\\phi'(l)=0.\\]

\n" } }, { "id": "4b81d9d2-3a96-4fbd-83d8-66d078d33c07", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que $\\ell$ est l'unique point fixe de $\\varphi_2$ dans $[0,1]$.", "html": "

Montrer que \$\\ell\$ est l’unique\npoint fixe de \$\\varphi_2\$ dans \$[0,1]\$.

\n" } }, { "id": "3f37ac24-074c-4ddc-bd75-354e20038f29", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par définition\n\t\t\t$$\n\t\t\tl(1+e^l)-e^l=0,\n\t\t\t$$\n\t\t\tce qui donne\n\t\t\t$$\n\t\t\tl(1+e^l)=e^l,\n\t\t\t$$\n\t\t\tet donc\n\t\t\t$$\n\t\t\tg(l)=\\frac{e^l}{1+e^l}=l.\n\t\t\t$$", "html": "

Par définition \\[l(1+e^l)-e^l=0,\\]\nce qui donne \\[l(1+e^l)=e^l,\\] et donc\n\\[g(l)=\\frac{e^l}{1+e^l}=l.\\]

\n" } }, { "id": "520459f4-ce80-47c5-bbc7-0b35626dd08a", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que l'intervalle $[0,1]$ est stable par $\\varphi_2$ : $\\varphi_2([0,1])\\subset [0,1]$.", "html": "

Montrer que l’intervalle \$[0,1]\$\nest stable par \$\\varphi_2\$ : \$\\varphi_2([0,1])\\subset [0,1]\$.

\n" } }, { "id": "fc955475-372b-4ebc-a4ea-8536b2a95480", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $\\varphi_2$ est $C^\\infty$ et \n\t\t\t$$\n\t\t\t\\varphi_2'(x)=\\frac{e^x}{(1+e^x)^2}>0.\n\t\t\t$$\n\t\t\tLa fonction $\\varphi_2$ est donc continue croissante. Il suit\n\t\t\t$$\n\t\t\t\\varphi_2([0,1])= [\\varphi_2(0),\\varphi_2(1)].\n\t\t\t$$\n\t\t\tOr \n\t\t\t$$\n\t\t\t\\varphi_2(0)=\\frac{1}{2}>0,\\quad \\varphi_2(1)=\\frac{e}{1+e}<1.\n\t\t\t$$", "html": "

La fonction \$\\varphi_2\$ est \$C^\\infty\$ et \\[\\varphi_2'(x)=\\frac{e^x}{(1+e^x)^2}>0.\\]\nLa fonction \$\\varphi_2\$ est donc\ncontinue croissante. Il suit \\[\\varphi_2([0,1])=\n[\\varphi_2(0),\\varphi_2(1)].\\] Or \\[\\varphi_2(0)=\\frac{1}{2}>0,\\quad\n\\varphi_2(1)=\\frac{e}{1+e}<1.\\]

\n" } }, { "id": "0a788918-7e0f-4e83-8417-d0d5007192c9", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer $L$ tel que $0Déterminer \$L\$ tel que \$0<L<1\$ que \$\\varphi_2\$ est \$L\$-Lipschitzienne sur \$[0,1]\$.

\n" } }, { "id": "c3825c49-4bb3-4e87-a3dc-7bc207c1d859", "type": "reponse", "value": { "latex": "On remarque que\n\t\t\t$$\n\t\t\t\\varphi_2'(x)\\leq \\frac{1+e^x}{(1+e^x)^2}\\leq \\frac{1}{1+e^x},\n\t\t\t$$\n\t\t\tet donc\n\t\t\t$$\n\t\t\t0\\leq \\varphi_2'(x)\\leq \\frac{1}{1+e}<1.\n\t\t\t$$\n\t\t\tLa fonction $\\varphi_2$ est donc $L$-Lipschitz sur $[0,1]$ avec \n\t\t\t$$\n\t\t\tL=\\frac{1}{1+e}.\n\t\t\t$$", "html": "

On remarque que \\[\\varphi_2'(x)\\leq\n\\frac{1+e^x}{(1+e^x)^2}\\leq \\frac{1}{1+e^x},\\] et donc \\[0\\leq \\varphi_2'(x)\\leq\n\\frac{1}{1+e}<1.\\] La fonction \$\\varphi_2\$ est donc \$L\$-Lipschitz sur \$[0,1]\$ avec \\[L=\\frac{1}{1+e}.\\]

\n" } }, { "id": "1c4bf384-ab6a-44a9-8bf2-a646d6522749", "type": "question", "value": { "latex": "En d\\'eduire que la suite $(x_n)$ tend vers $\\ell$.", "html": "

En déduire que la suite \$(x_n)\$\ntend vers \$\\ell\$.

\n" } }, { "id": "723bf4bf-f84f-44d7-bb16-42f621944b89", "type": "reponse", "value": { "latex": "Les propriétés (b) et (c) assure que $\\varphi_2$ admet un unique point fixe et que la suite $(x_n)_n$ tend vers cet unique point fixe quelque soit $x_0$. La propriété (a) assure que cet unique point fixe est $l$.", "html": "

Les propriétés (b) et (c) assure que \$\\varphi_2\$ admet un unique point fixe et\nque la suite \$(x_n)_n\$ tend vers cet\nunique point fixe quelque soit \$x_0\$.\nLa propriété (a) assure que cet unique point fixe est \$l\$.

\n" } }, { "id": "acb57a5c-cf29-4f11-855f-410d468a7e2c", "type": "question", "value": { "latex": "Ecrire un algorithme qui donne une approximation de $\\ell$ à $2^{-20}$ près. Combien faut-il d'itérations pour atteindre cette précision ?", "html": "

Ecrire un algorithme qui donne une approximation de \$\\ell\$ à \$2^{-20}\$ près. Combien faut-il\nd’itérations pour atteindre cette précision ?

\n" } } ] }, { "uuid": "J50Z", "titre": "Evolution d'une concentration chimique", "theme": [ "analyse numérique" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:11.103Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:11.103Z" }, "contenu": [ { "id": "6f04c248-2973-43b9-9f3f-14e4244b0208", "type": "description", "value": { "latex": "L'évolution de la concentration de certaines réactions chimiques au cours du temps peut être décrite par l'équation différentielle :\n\t$$y'(t) = - \\frac{1}{1+t^2}y(t)$$", "html": "

L’évolution de la concentration de certaines réactions chimiques au\ncours du temps peut être décrite par l’équation différentielle : \\[y'(t) = - \\frac{1}{1+t^2}y(t)\\]

\n" } }, { "id": "f1228333-8f01-4b9e-84e7-826301e9e0b1", "type": "question", "value": { "latex": "Sachant qu'à l'instant $t=0$, la concentration vaut $y(0)=5$, déterminer la concentration en $t=2$ à l'aide de la méthode d'Euler implicite avec un pas $h=0.5$.", "html": "

Sachant qu’à l’instant \$t=0\$, la\nconcentration vaut \$y(0)=5\$,\ndéterminer la concentration en \$t=2\$\nà l’aide de la méthode d’Euler implicite avec un pas \$h=0.5\$.

\n" } }, { "id": "c66b7663-ce58-4425-981c-acd605521936", "type": "reponse", "value": { "latex": "Le schéma implicite s'écrit \n\t\t$$y_{n+1} = y_n + hF(t_{n+1},y_{n+1})$$\n\t\toù $F(t,y) = - \\frac{1}{1+t^2}y$.\n\t\t\n\t\tAprès réécriture sous forme explicite, on obtient \n\t\t$$y_{n+1}=\\frac{y_n}{1+ \\frac{h}{1+t_{n+1}^2} }$$\n\t\tAvec $h=0.5$, on a $t_n = \\frac{n}{2}$.\n\t\t\n\t\tAprès calculs, on trouve $y_4 = \\frac{520}{231} \\approx 2.25$ soit $y(2) \\approx 2.25$.", "html": "

Le schéma implicite s’écrit \\[y_{n+1} =\ny_n + hF(t_{n+1},y_{n+1})\\] où \$F(t,y)\n= - \\frac{1}{1+t^2}y\$.

Après réécriture sous forme explicite, on obtient \\[y_{n+1}=\\frac{y_n}{1+ \\frac{h}{1+t_{n+1}^2}\n}\\] Avec \$h=0.5\$, on a \$t_n = \\frac{n}{2}\$.

Après calculs, on trouve \$y_4 =\n\\frac{520}{231} \\approx 2.25\$ soit \$y(2) \\approx 2.25\$.

\n" } }, { "id": "56228954-9257-4060-80a2-93669eada642", "type": "question", "value": { "latex": "Faire de même pour un pas de $h=10^{-3}$ et commenter la différence.", "html": "

Faire de même pour un pas de \$h=10^{-3}\$ et commenter la différence.

\n" } }, { "id": "f3b2ec4d-bac7-4995-8fb3-a28a579b741b", "type": "question", "value": { "latex": "Résoudre analytiquement l'équation différentielle, puis proposer sur un même graphique la solution approchée de la méthode d'Euler implicite et la solution exacte pour différentes valeurs de $h$.", "html": "

Résoudre analytiquement l’équation différentielle, puis proposer sur\nun même graphique la solution approchée de la méthode d’Euler implicite\net la solution exacte pour différentes valeurs de \$h\$.

\n" } }, { "id": "310ca459-c3f0-4b32-b984-c706ab3cde93", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\insertnotebook{J50Z}", "html": "\n" } } ] }, { "uuid": "7aqI", "titre": "Expérience scientifique", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:59.402Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:59.402Z" }, "contenu": [ { "id": "08ea1d2c-13ce-4012-b554-3ed3b3794647", "type": "description", "value": { "latex": "En 1908, en France, Binet publie une étude concernant la mesure de l'intelligence des enfants. Son échelle d'intelligence se base sur un certain nombre d'épreuves classées dans un ordre croissant de difficulté. On peut donc classer l'enfant dans une des 5 catégories suivantes : retardé de 2 ans, retardé d'1 an, régulier, avancé de 1 an et avancé de 2 ans. Voici les données, en\n\tfréquences relatives, que Binet obtient sur un échantillon de 192 enfants : \n\t\n\t\n\t\\begin{center}\n\t\t\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\n\t\t\t\\hline \n\t\t\t-2 & -1 & 0 & +1 & +2 \\\\ \n\t\t\t\\hline \n\t\t\t0{,}06 & 0{,}23 & 0{,}48 & 0{,}22 & 0{,}01 \\\\ \n\t\t\t\\hline \n\t\t\\end{tabular} \n\t\t\n\t\\end{center}\n\t\n\tDes chercheurs, un américain (Goddard) et un allemand (Bobertag) font passer le test de Binet à un échantillon de 1547 enfants américains (Goddard) et 228 enfants allemands (Bobertag). Ils obtiennent les effectifs suivants :\n\t\n\t\\begin{center}\n\t\t\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\n\t\t\t\\hline \n\t\t\t& -2 & -1 & 0 & +1 & +2 \\\\ \n\t\t\t\\hline \n\t\t\tGoddard &\t\t294 & 309 & 557 & \n\t\t\t325 & 62 \\\\ \n\t\t\t\\hline\n\t\t\tBobertag & 6 & 40 & 119 & 57 & 6 \\\\\n\t\t\t\\hline \n\t\t\\end{tabular} \n\t\\end{center}", "html": "

En 1908, en France, Binet publie une étude concernant la mesure de\nl’intelligence des enfants. Son échelle d’intelligence se base sur un\ncertain nombre d’épreuves classées dans un ordre croissant de\ndifficulté. On peut donc classer l’enfant dans une des 5 catégories\nsuivantes : retardé de 2 ans, retardé d’1 an, régulier, avancé de 1 an\net avancé de 2 ans. Voici les données, en fréquences relatives, que\nBinet obtient sur un échantillon de 192 enfants :

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

-2	-1	0	+1	+2
0,06	0,23	0,48	0,22	0,01

Des chercheurs, un américain (Goddard) et un allemand (Bobertag) font\npasser le test de Binet à un échantillon de 1547 enfants américains\n(Goddard) et 228 enfants allemands (Bobertag). Ils obtiennent les\neffectifs suivants :

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

	-2	-1	0	+1	+2
Goddard	294	309	557	325	62
Bobertag	6	40	119	57	6

\n" } }, { "id": "d490c58f-b02a-4746-b5f5-588c647b958e", "type": "question", "value": { "latex": "Avec un niveau de confiance de $95\\%$, peut-on dire que les données chez les enfants américains et allemands sont cohérentes avec la distribution obtenue par Binet chez les enfants français ?", "html": "

Avec un niveau de confiance de \$95\\%\$, peut-on dire que les données chez\nles enfants américains et allemands sont cohérentes avec la distribution\nobtenue par Binet chez les enfants français ?

\n" } }, { "id": "7ec74b45-0c5d-4cd4-86a0-3f4bfd4ce019", "type": "reponse", "value": { "latex": "Les effectifs théoriques sous hypothèse de distribution de Binet :\n\t\n\t\\begin{center}\n\t\t\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\n\t\t\t\\hline \n\t\t\t& -2 & -1 & 0 & +1 & +2 \\\\ \n\t\t\t\\hline \n\t\t\tGoddard &\t\t92.82 & 355.81 & 742.56 & \n\t\t\t340.34 & 15.47 \\\\ \n\t\t\t\\hline\n\t\t\tBobertag & 13.68 & 52.44 & 109.44 & 50.16 & 2.28 \\\\\n\t\t\t\\hline \n\t\t\\end{tabular} \n\t\t\n\t\\end{center}\n\tOn fait un test du $\\chi^2$ avec une variable de décision qui suit une loi du $\\chi^2(4)$ la valeur critique est 9,49 pour une erreur de première espèce $\\alpha = 5\\%$ : la valeur observée pour Goddard est 629,21, celle pour Bobertag est 15.09, on rejette l'hypothèse $H_0$ pour les deux test.", "html": "

Les effectifs théoriques sous hypothèse de distribution de Binet\n:

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

	-2	-1	0	+1	+2
Goddard	92.82	355.81	742.56	340.34	15.47
Bobertag	13.68	52.44	109.44	50.16	2.28

On fait un test du \$\\chi^2\$ avec\nune variable de décision qui suit une loi du \$\\chi^2(4)\$ la valeur critique est 9,49\npour une erreur de première espèce \$\\alpha =\n5\\%\$ : la valeur observée pour Goddard est 629,21, celle pour\nBobertag est 15.09, on rejette l’hypothèse \$H_0\$ pour les deux test.

\n" } } ] }, { "uuid": "lH75", "titre": "Extremum d'un polynôme", "theme": [ "calcul différentiel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:42.801Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:42.801Z" }, "contenu": [ { "id": "5ab58bb7-35c2-4fc9-bd0c-3e5b621a96d7", "type": "description", "value": { "latex": "Soit une fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}^2$ par : \n\t$$f \\colon (x,y) \\mapsto x^2+xy+y^2+2x+3y$$", "html": "

Soit une fonction \$f\$ définie sur\n\$\\mathbb{R}^2\$ par : \\[f \\colon (x,y) \\mapsto\nx^2+xy+y^2+2x+3y\\]

\n" } }, { "id": "9a9c9ad1-54b2-4d16-8386-7305f7fde34e", "type": "question", "value": { "latex": "La fonction $f$ admet-elle des points critiques sur $\\mathbb{R}^2$ ?", "html": "

La fonction \$f\$ admet-elle des\npoints critiques sur \$\\mathbb{R}^2\$\n?

\n" } }, { "id": "528728bf-1777-4d39-8d02-36013051bd60", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $f$ est de classe $\\mathcal{C}^1$ sur $\\mathbb{R}^2$. On étudie d'abord l'éventualité d'un extremum local en cherchant les points critiques :\n\t\t\t$$\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) = \\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) = 0 \\iff 2x+y+2 = x+2y+3 = 0 \\iff (x,y)=\\left(-\\frac{1}{3},-\\frac{4}{3}\\right)$$", "html": "

La fonction \$f\$ est de classe\n\$\\mathcal{C}^1\$ sur \$\\mathbb{R}^2\$. On étudie d’abord\nl’éventualité d’un extremum local en cherchant les points critiques :\n\\[\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) =\n\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) = 0 \\iff 2x+y+2 = x+2y+3 = 0 \\iff\n(x,y)=\\left(-\\frac{1}{3},-\\frac{4}{3}\\right)\\]

\n" } }, { "id": "dadc52b3-1ac3-4956-ae2e-4c60ae3a0f68", "type": "question", "value": { "latex": "Vérifier que $-\\frac{7}{3}$ constitue un minimum local et global de $f$ sur $\\R^2$.", "html": "

Vérifier que \$-\\frac{7}{3}\$\nconstitue un minimum local et global de \$f\$ sur \$\\R^2\$.

\n" } }, { "id": "f34d2ecd-6516-408b-95a4-f36bc1533bc2", "type": "reponse", "value": { "latex": "Or $f(x,y) = (x+y/2+1)^2 + \\frac{3}{4}(y+4/3)^2-\\frac{7}{3} \\geq -\\frac{7}{3} = f\\left(-\\frac{1}{3},-\\frac{4}{3}\\right)$\n\t\tdonc $-\\frac{7}{3}$ est un minimum local et global de $f$.", "html": "

Or \$f(x,y) = (x+y/2+1)^2 +\n\\frac{3}{4}(y+4/3)^2-\\frac{7}{3} \\geq -\\frac{7}{3} =\nf\\left(-\\frac{1}{3},-\\frac{4}{3}\\right)\$ donc \$-\\frac{7}{3}\$ est un minimum local et\nglobal de \$f\$.

\n" } }, { "id": "aef80d6d-2edc-4b6a-8c1c-321444c808ec", "type": "question", "value": { "latex": "La fonction $f$ admet-elle un maximum global sur $\\R^2$ ?", "html": "

La fonction \$f\$ admet-elle un\nmaximum global sur \$\\R^2\$ ?

\n" } }, { "id": "51621b1b-b34b-4ab2-b3c8-a9529605bd38", "type": "reponse", "value": { "latex": "On constate facilement que $f$ n'admet pas de maximum global car $f(x,0) \\xrightarrow[]{x \\to +\\infty} +\\infty$.", "html": "

On constate facilement que \$f\$\nn’admet pas de maximum global car \$f(x,0)\n\\xrightarrow[]{x \\to +\\infty} +\\infty\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "2yzb", "titre": "Factorielles", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:53.050Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:53.050Z" }, "contenu": [ { "id": "62cfa830-0997-4930-b249-521aafa569aa", "type": "description", "value": { "latex": "Les questions suivantes sont indépendantes :", "html": "

Les questions suivantes sont indépendantes :

\n" } }, { "id": "5acda2f5-6f57-41c8-b344-9df2785c4fe4", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $n$ un entier naturel, $n \\geq 2$. Simplifier la fraction $\\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}$.", "html": "

Soit \$n\$ un entier naturel, \$n \\geq 2\$. Simplifier la fraction \$\\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}\$.

\n" } }, { "id": "711fb8e9-aa2b-426c-9861-999d1a0949b3", "type": "question", "value": { "latex": "Démontrer que pour tout entier naturel $k \\in \\mathbb{N}$, $(k+1)! - k! = k \\times k!$", "html": "

Démontrer que pour tout entier naturel \$k\n\\in \\mathbb{N}\$, \$(k+1)! - k! = k\n\\times k!\$

\n" } }, { "id": "2c92b28f-141f-45d3-9a7b-c01aedb31b64", "type": "question", "value": { "latex": "Ecrire ce produit à l'aide de factorielles : $100 \\times 99 \\times \\cdots \\times 80$.", "html": "

Ecrire ce produit à l’aide de factorielles : \$100 \\times 99 \\times \\cdots \\times\n80\$.

\n" } }, { "id": "5549bbf2-9299-42e2-bef5-b62e0e63b0fb", "type": "question", "value": { "latex": "De combien de façons peut-on répartir 7 personnes sur 7 chaises ?", "html": "

De combien de façons peut-on répartir 7 personnes sur 7 chaises ?

\n" } }, { "id": "83fb8368-e101-4d98-9f6a-e2d14af7348e", "type": "question", "value": { "latex": "L'alphabet est un ensemble de 26 lettres. On appelle << mot >> un ensemble de lettres. On choisit 5 lettres distinctes de l'alphabet. Combien de mots différents peut-on former avec ces 5 lettres ?", "html": "

L’alphabet est un ensemble de 26 lettres. On appelle << mot\n>> un ensemble de lettres. On choisit 5 lettres distinctes de\nl’alphabet. Combien de mots différents peut-on former avec ces 5 lettres\n?

\n" } } ] }, { "uuid": "ZyzY", "titre": "Factorisation d'un polynôme", "theme": [ "polynomes" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:27.465Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:27.465Z" }, "contenu": [ { "id": "571328ba-2dde-4a8a-9945-33856377cb0a", "type": "description", "value": { "latex": "Soient les polynômes $P,Q \\in \\R[X]$ définis par $P(X) = -6X^3 + 4X^2 + X^4 + X^3 + 3X + 9$ et $Q(X) = X^2 + X + 1$.", "html": "

Soient les polynômes \$P,Q \\in\n\\R[X]\$ définis par \$P(X) = -6X^3 +\n4X^2 + X^4 + X^3 + 3X + 9\$ et \$Q(X) =\nX^2 + X + 1\$.

\n" } }, { "id": "a293f53a-64bb-4362-9db8-ab2df05d8c8c", "type": "question", "value": { "latex": "Donner le degré des polynômes $P$ et $Q$.", "html": "

Donner le degré des polynômes \$P\$\net \$Q\$.

\n" } }, { "id": "202b19e6-3fba-4468-9950-b5577086e672", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que $3$ est une racine double de $P$.", "html": "

Montrer que \$3\$ est une racine\ndouble de \$P\$.

\n" } }, { "id": "96265372-7fe1-4723-9a6c-cc2bd3cc2190", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer l'ensemble des racines réelles de $Q$ puis l'ensemble des racines complexes de $Q$. En déduire une factorisation de $Q$ en polynômes irréductibles dans $\\mathbb{C}[X]$.", "html": "

Déterminer l’ensemble des racines réelles de \$Q\$ puis l’ensemble des racines complexes\nde \$Q\$. En déduire une factorisation\nde \$Q\$ en polynômes irréductibles\ndans \$\\mathbb{C}[X]\$.

\n" } }, { "id": "94832a0d-6408-4eba-a07f-41dc8c6b8742", "type": "question", "value": { "latex": "Effectuer la division euclidienne de $P$ par $Q$.", "html": "

Effectuer la division euclidienne de \$P\$ par \$Q\$.

\n" } }, { "id": "f18f998a-1daa-418a-8676-00d73b9dfd82", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire une factorisation de $P$ en polynômes irréductibles dans $\\mathbb{C}[X]$.", "html": "

En déduire une factorisation de \$P\$ en polynômes irréductibles dans \$\\mathbb{C}[X]\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "qjd1", "titre": "Factoriser dans un déterminant", "theme": [ "calcul déterminant" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:47.840Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:47.840Z" }, "contenu": [ { "id": "d2dea7ec-db96-490f-92dd-b8034df2dc2b", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $P=\\left(\\begin{array}{ccc}a^2 & a b & a c \\\\ a b & b^2 & b c \\\\ a c & b c & c^2\\end{array}\\right)$. Justifier que $\\operatorname{det} P=0$.", "html": "

Soit \$P=\\left(\\begin{array}{ccc}a^2 &\na b & a c \\\\ a b & b^2 & b c \\\\ a c & b c &\nc^2\\end{array}\\right)\$. Justifier que \$\\operatorname{det} P=0\$.

\n" } }, { "id": "7297758a-a95f-4369-9155-5b1769ed5203", "type": "reponse", "value": { "latex": "On remarque que l'on peut mettre :\n- $a$ en facteur de la première ligne ;\n- $b$ en facteur de la deuxième ligne ;\n- $c$ en facteur de la troisième ligne ;\nAinsi :\n$$\n\\operatorname{det} P=\\left|\\begin{array}{lll}\n\ta^2 & a b & a c \\\\\n\ta b & b^2 & b c \\\\\n\ta c & b c & c^2\n\\end{array}\\right|=a\\left|\\begin{array}{ccc}\n\ta & b & c \\\\\n\ta b & b^2 & b c \\\\\n\ta c & b c & c^2\n\\end{array}\\right|=a b\\left|\\begin{array}{ccc}\n\ta & b & c \\\\\n\ta & b & c \\\\\n\ta c & b c & c^2\n\\end{array}\\right|=a b c\\left|\\begin{array}{lll}\n\ta & b & c \\\\\n\ta & b & c \\\\\n\ta & b & c\n\\end{array}\\right|=0\n$$\n$\\left|\\begin{array}{lll}a & b & c \\\\ a & b & c \\\\ a & b & c\\end{array}\\right|=0$", "html": "

On remarque que l’on peut mettre : - \$a\$ en facteur de la première ligne ; -\n\$b\$ en facteur de la deuxième ligne ;\n- \$c\$ en facteur de la troisième\nligne ; Ainsi : \\[\\operatorname{det}\nP=\\left|\\begin{array}{lll}\n a^2 & a b & a c \\\\\n a b & b^2 & b c \\\\\n a c & b c & c^2\n\\end{array}\\right|=a\\left|\\begin{array}{ccc}\n a & b & c \\\\\n a b & b^2 & b c \\\\\n a c & b c & c^2\n\\end{array}\\right|=a b\\left|\\begin{array}{ccc}\n a & b & c \\\\\n a & b & c \\\\\n a c & b c & c^2\n\\end{array}\\right|=a b c\\left|\\begin{array}{lll}\n a & b & c \\\\\n a & b & c \\\\\n a & b & c\n\\end{array}\\right|=0\\] \$\\left|\\begin{array}{lll}a & b & c \\\\ a\n& b & c \\\\ a & b & c\\end{array}\\right|=0\$

\n" } } ] }, { "uuid": "WCGV", "titre": "Fiabilité", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:23.481Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:23.481Z" }, "contenu": [ { "id": "ce40830d-0a1e-4015-aa1a-30f4956bd4d1", "type": "description", "value": { "latex": "Une usine produit des circuits imprimés dont $1$\\% sont défectueux.", "html": "

Une usine produit des circuits imprimés dont \$1\$% sont défectueux.

\n" } }, { "id": "39c0e56c-51e2-46fe-9d18-df12a99d3cd3", "type": "question", "value": { "latex": "On fait un prélèvement de $100$ circuits imprimés. Quelle est la probabilité qu'il n'y ait pas de circuit imprimé défectueux dans ce prélèvement ?", "html": "

On fait un prélèvement de \$100\$\ncircuits imprimés. Quelle est la probabilité qu’il n’y ait pas de\ncircuit imprimé défectueux dans ce prélèvement ?

\n" } }, { "id": "48c0e87b-10e8-4e66-88d1-99e4de3d02b6", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $X$ le nombre de circuits défectueux dans ce prélèvement.\n\t\tAlors $X\\sim \\mathcal{B}(100,0.01)$. La probabilité qu'il n'y ait pas de circuit défectueux est:\n\t\t\\[ \\prob(X=0)=\\binom{100}{0}\\times 0.01^{0}\\times 0.99^{100}=0.99^{100} \\simeq 0.366.\\]", "html": "

Soit \$X\$ le nombre de circuits\ndéfectueux dans ce prélèvement. Alors \$X\\sim\n\\mathcal{B}(100,0.01)\$. La probabilité qu’il n’y ait pas de\ncircuit défectueux est: \\[\\prob(X=0)=\\binom{100}{0}\\times 0.01^{0}\\times\n0.99^{100}=0.99^{100} \\simeq 0.366.\\]

\n" } }, { "id": "2a792f33-ca77-4361-a8a6-c2701bc7311f", "type": "question", "value": { "latex": "Quelle est la probabilité qu'il y ait deux circuits imprimés défectueux dans un prélèvement de $100$ circuits imprimés ?", "html": "

Quelle est la probabilité qu’il y ait deux circuits imprimés\ndéfectueux dans un prélèvement de \$100\$ circuits imprimés ?

\n" } }, { "id": "aec0d0ab-6797-4feb-9f38-a85b659852b0", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\prob(X=2)=\\binom{100}{2}\\times 0.01^{2}\\times 0.99^{98}\\simeq 0.185$", "html": "

\$\\prob(X=2)=\\binom{100}{2}\\times\n0.01^{2}\\times 0.99^{98}\\simeq 0.185\$

\n" } }, { "id": "f2e370be-2efa-4248-ad0b-9bfae14f0bc0", "type": "question", "value": { "latex": "On prélève les circuits imprimés un par un et on les teste immédiatement. Quelle est la probabilité que le premier circuit imprimé défectueux apparaisse au $100$\\up{ème} tirage ?", "html": "

On prélève les circuits imprimés un par un et on les teste\nimmédiatement. Quelle est la probabilité que le premier circuit imprimé\ndéfectueux apparaisse au \$100\$ tirage\n?

\n" } }, { "id": "5597c9bf-13bb-43ff-bf67-290056e50bb0", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $Y$ le rang du premier circuit imprimé défectueux. Alors $Y\\sim \\mathcal{G}(0.01)$ et on a:\n\t\t\\[ \\prob(Y=100)=0.99^{99}\\times 0.01 \\simeq 0.0037,\\]\n\t\tsoit environ $0.37$\\% de chance de rencontrer le premier circuit défectueux au dernier tirage.", "html": "

Soit \$Y\$ le rang du premier\ncircuit imprimé défectueux. Alors \$Y\\sim\n\\mathcal{G}(0.01)\$ et on a: \\[\\prob(Y=100)=0.99^{99}\\times 0.01 \\simeq\n0.0037,\\] soit environ \$0.37\$%\nde chance de rencontrer le premier circuit défectueux au dernier\ntirage.

\n" } }, { "id": "3f63fb6e-ded0-4eed-9793-5901bf3c9d75", "type": "question", "value": { "latex": "Sur $N=10\\ 000$ circuits imprimés en stock dont $d=100$ sont défectueux, on en choisit $500$. Quelle est la probabilité que sur les $500$ prélevés il y en ait cinq défectueux ?", "html": "

Sur \$N=10\\ 000\$ circuits imprimés\nen stock dont \$d=100\$ sont\ndéfectueux, on en choisit \$500\$.\nQuelle est la probabilité que sur les \$500\$ prélevés il y en ait cinq défectueux\n?

\n" } }, { "id": "a1c62f6f-a5ec-4c5d-9de3-6d5f4f9e9686", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $Z$ le nombre de circuits défectueux sur les $500$ prélevés. Alors $Z\\sim \\mathcal{H}(500,0.01,10\\ 000)$ et on a\n\t\t\\[ \\prob(Z=5)=\\frac{\\binom{100}{5}\\binom{9900}{495}}{\\binom{10\\ 000}{500}}.\n\t\t\\]\n\t\tQuand le paramètre $N$ est grand (dans les faits, quand $\\frac n N < 0,1$), on peut approcher une loi hypergéométrique $\\mathcal{H}(n,p,N)$ par une loi binomiale $\\mathcal{B}(n,p)$. Ici, on obtient une approximation de $\\prob(X=5)$ par $\\binom{500}{5}\\times 0.01^5 \\times 0.99^{495} \\simeq 0.18$.", "html": "

Soit \$Z\$ le nombre de circuits\ndéfectueux sur les \$500\$ prélevés.\nAlors \$Z\\sim \\mathcal{H}(500,0.01,10\\\n000)\$ et on a \\[\\prob(Z=5)=\\frac{\\binom{100}{5}\\binom{9900}{495}}{\\binom{10\\\n000}{500}}.\\] Quand le paramètre \$N\$ est grand (dans les faits, quand \$\\frac n N < 0,1\$), on peut approcher\nune loi hypergéométrique \$\\mathcal{H}(n,p,N)\$ par une loi binomiale\n\$\\mathcal{B}(n,p)\$. Ici, on obtient\nune approximation de \$\\prob(X=5)\$ par\n\$\\binom{500}{5}\\times 0.01^5 \\times\n0.99^{495} \\simeq 0.18\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "YYAZ", "titre": "Fiabilité", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:26.114Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:26.114Z" }, "contenu": [ { "id": "3c85f862-bf3d-4cec-be53-c1ce330e2242", "type": "description", "value": { "latex": "Une chaîne de montage d'ordinateurs utilise un lot de composants électroniques contenant $2$\\% d'éléments défectueux. En début de chaîne, chaque composant est vérifié par un testeur dont la fiabilité n'est pas parfaite, de sorte que la probabilité que le testeur déclare un composant en bon état, sachant que le composant est réellement en bon état est de $0{,}95$, et que la probabilité que le testeur déclare un composant en mauvais état, sachant que le composant est réellement en mauvais état est de $0{,}94$.", "html": "

Une chaîne de montage d’ordinateurs utilise un lot de composants\nélectroniques contenant \$2\$%\nd’éléments défectueux. En début de chaîne, chaque composant est vérifié\npar un testeur dont la fiabilité n’est pas parfaite, de sorte que la\nprobabilité que le testeur déclare un composant en bon état, sachant que\nle composant est réellement en bon état est de \$0{,}95\$, et que la probabilité que le\ntesteur déclare un composant en mauvais état, sachant que le composant\nest réellement en mauvais état est de \$0{,}94\$.

\n" } }, { "id": "1162b4a5-54a9-48c9-a916-02f15f23e95a", "type": "question", "value": { "latex": "Quelle est la probabilité qu'un composant déclaré en mauvais état par le testeur soit réellement en mauvais état ?", "html": "

Quelle est la probabilité qu’un composant déclaré en mauvais état par\nle testeur soit réellement en mauvais état ?

\n" } }, { "id": "50d38c3b-7fe8-4305-99f3-a90786f4d8c2", "type": "reponse", "value": { "latex": "On note $D$ l'événement \\og le composant est défectueux \\fg{} et $T$ l'événement \\og le testeur déclare le composant en mauvais état \\fg{}. On cherche à calculer $\\prob(D|T)$. \n \n D'après l'énoncé, on a : $\\prob(D) = 0{,}02$, $\\prob(T|\\overline{D}) = 0{,}95$ et $\\prob(\\overline{T}|D) = 0{,}94$. On a donc :\n\n $$\\begin{align*}\n \\prob(D|T) &= \\frac{\\prob(D\\cap T)}{\\prob(T)} \\\\\n &= \\frac{\\prob(T|D)\\prob(D)}{\\prob(T|D)\\prob(D) + \\prob(T|\\overline{D})\\prob(\\overline{D})} \\\\\n &= \\frac{0{,}94\\times 0{,}02}{0{,}05 \\times 0{,}98 + 0{,}02 \\times 0{,}94} \\\\\n &= \\frac{94}{339} \\\\\n &\\approx 0{,}277\n \\end{align*}$$\n\n La probabilité qu'un composant déclaré en mauvais état par le testeur soit réellement en mauvais état est donc d'environ $27{,}7$\\%.", "html": "

On note \$D\$ l’événement le\ncomposant est défectueux et \$T\$\nl’événement le testeur déclare le composant en mauvais état . On cherche\nà calculer \$\\prob(D|T)\$.

D’après l’énoncé, on a : \$\\prob(D) =\n0{,}02\$, \$\\prob(T|\\overline{D}) =\n0{,}95\$ et \$\\prob(\\overline{T}|D) =\n0{,}94\$. On a donc :

\\[\\begin{align*}\n \\prob(D|T) &= \\frac{\\prob(D\\cap T)}{\\prob(T)} \\\\\n &= \\frac{\\prob(T|D)\\prob(D)}{\\prob(T|D)\\prob(D) +\n\\prob(T|\\overline{D})\\prob(\\overline{D})} \\\\\n &= \\frac{0{,}94\\times 0{,}02}{0{,}05 \\times 0{,}98 + 0{,}02\n\\times 0{,}94} \\\\\n &= \\frac{94}{339} \\\\\n &\\approx 0{,}277\n \\end{align*}\\]

La probabilité qu’un composant déclaré en mauvais état par le testeur\nsoit réellement en mauvais état est donc d’environ \$27{,}7\$%.

\n" } } ] }, { "uuid": "kWDX", "titre": "Fiabilité d'un système électronique", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:41.635Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:41.635Z" }, "contenu": [ { "id": "7c96e517-10ee-4fd5-9638-7db5f8b1525d", "type": "description", "value": { "latex": "Un système électronique est constitué de $n$ composants disposés en série. Cela implique que la panne d'un composant entraîne la panne de tout le système. Chacun des composants a une durée de vie $T_k$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\\lambda = 1$, pour tout $k \\in \\{1, \\ldots, n\\}$. On admet que les variables aléatoires $T_1, \\ldots, T_n$ sont indépendantes. On note $S$ la durée de vie du système et on note $t \\geq 0$ la variable de temps.", "html": "

Un système électronique est constitué de \$n\$ composants disposés en série. Cela\nimplique que la panne d’un composant entraîne la panne de tout le\nsystème. Chacun des composants a une durée de vie \$T_k\$ qui suit une loi exponentielle de\nparamètre \$\\lambda = 1\$, pour tout\n\$k \\in \\{1, \\ldots, n\\}\$. On admet\nque les variables aléatoires \$T_1, \\ldots,\nT_n\$ sont indépendantes. On note \$S\$ la durée de vie du système et on note\n\$t \\geq 0\$ la variable de temps.

\n" } }, { "id": "b9f10056-a199-4a78-98d3-aa8ec4776e5c", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $t \\geq 0$. Pour tout $k \\in \\{1, \\ldots, n \\}$, on note $R_k(t) = \\prob(T_k > t)$ la fiabilité du composant $k$ à l'instant $t$. C'est la probabilité que le composant $k$ fonctionne encore après un temps d'utilisation $t$. Déterminer $R_k(t)$.", "html": "

Soit \$t \\geq 0\$. Pour tout \$k \\in \\{1, \\ldots, n \\}\$, on note \$R_k(t) = \\prob(T_k > t)\$ la fiabilité\ndu composant \$k\$ à l’instant \$t\$. C’est la probabilité que le composant\n\$k\$ fonctionne encore après un temps\nd’utilisation \$t\$. Déterminer \$R_k(t)\$.

\n" } }, { "id": "30a9deee-d79e-421a-96ec-f1d51da6ed72", "type": "reponse", "value": { "latex": "$R_k(t) = \\int_{t}^{+\\infty} e^{-x} dx = e^{-t}$ pour tout $t \\geq 0$.", "html": "

\$R_k(t) = \\int_{t}^{+\\infty} e^{-x} dx =\ne^{-t}\$ pour tout \$t \\geq\n0\$.

\n" } }, { "id": "bc7a1fce-6b63-4cde-878d-922eb02eaa52", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\E(T_k)$ et déterminer la probabilité que le composant $k$ fonctionne après un temps d'utilisation égal à $\\E(T_k)$.", "html": "

Calculer \$\\E(T_k)\$ et déterminer\nla probabilité que le composant \$k\$\nfonctionne après un temps d’utilisation égal à \$\\E(T_k)\$.

\n" } }, { "id": "68ab63ae-2dc2-4100-9058-4a3f7231179b", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\E(T_k) = \\frac{1}{\\lambda} = 1$ et $R_k(\\E(T_k)) = e^{-\\E(T_k)} = e^{-1} \\approx 0,37$.", "html": "

\$\\E(T_k) = \\frac{1}{\\lambda} = 1\$\net \$R_k(\\E(T_k)) = e^{-\\E(T_k)} = e^{-1}\n\\approx 0,37\$.

\n" } }, { "id": "9ef6b365-bf5e-4172-a24e-dc58e266c11b", "type": "question", "value": { "latex": "On note $R(t) = \\prob(S > t)$ la fiabilité du système à l'instant $t$. C'est la probabilité que le système fonctionne encore après un temps d'utilisation $t$. Exprimer $R(t)$ en fonction de $R_1(t), \\ldots, R_n(t)$ et en déduire que $S$ suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.", "html": "

On note \$R(t) = \\prob(S > t)\$\nla fiabilité du système à l’instant \$t\$. C’est la probabilité que le système\nfonctionne encore après un temps d’utilisation \$t\$. Exprimer \$R(t)\$ en fonction de \$R_1(t), \\ldots, R_n(t)\$ et en déduire que\n\$S\$ suit une loi exponentielle dont\non précisera le paramètre.

\n" } }, { "id": "146c1acd-a699-4bda-bae2-05cbf8246e10", "type": "reponse", "value": { "latex": "$R(t) = \\prob(S > t) = \\prob(T_1 > t, \\ldots, T_n > t) = \\prod_{k=1}^{n} \\prob(T_k > t) = \\prod_{k=1}^{n} R_k(t) = e^{-nt}$ pour tout $t \\geq 0$. Donc $S$ suit une loi exponentielle de paramètre $n$.", "html": "

\$R(t) = \\prob(S > t) = \\prob(T_1 >\nt, \\ldots, T_n > t) = \\prod_{k=1}^{n} \\prob(T_k > t) =\n\\prod_{k=1}^{n} R_k(t) = e^{-nt}\$ pour tout \$t \\geq 0\$. Donc \$S\$ suit une loi exponentielle de paramètre\n\$n\$.

\n" } }, { "id": "ee179be8-ed0e-43eb-94d8-391050e8436d", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer le temps moyen de bon fonctionnement du système.", "html": "

Déterminer le temps moyen de bon fonctionnement du système.

\n" } }, { "id": "6c973ffe-9d0a-4bdf-ac38-23657992704c", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\E(S) = \\frac{1}{\\lambda} = \\frac{1}{n}$.", "html": "

\$\\E(S) = \\frac{1}{\\lambda} =\n\\frac{1}{n}\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "XZIP", "titre": "File d'attente", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:24.747Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:24.747Z" }, "contenu": [ { "id": "0f733351-0e94-413a-b43a-570da2e7a6a2", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $X$ une variable aléatoire exponentielle de paramètre $\\lambda=1$. Donner une densité $f_X$ de $X$, son espérance et sa variance.", "html": "

Soit \$X\$ une variable aléatoire\nexponentielle de paramètre \$\\lambda=1\$. Donner une densité \$f_X\$ de \$X\$, son espérance et sa variance.

\n" } }, { "id": "9cc175a1-6e86-4a7e-86b1-4c03f9f22483", "type": "reponse", "value": { "latex": "$X\\sim \\mathcal{E}(1)$, \\hspace{2em} $f_X(t)=\\begin{cases} e^{-t} & \\text{ si } t\\geq 0 \\\\\n\t\t\t\t0 & \\text{ sinon}\n\t\t\t\\end{cases}$, \\hspace{2em}\n\t\t\t$\\E(X)=\\frac{1}{\\lambda}$ \\hspace{2em} et \\hspace{2em} $\\V(X)=\\frac{1}{\\lambda^2}$.", "html": "

\$X\\sim \\mathcal{E}(1)\$, \$f_X(t)=\\begin{cases} e^{-t} & \\text{ si }\nt\\geq 0 \\\\\n 0 & \\text{ sinon}\n \\end{cases}\$, \$\\E(X)=\\frac{1}{\\lambda}\$ et \$\\V(X)=\\frac{1}{\\lambda^2}\$.

\n" } }, { "id": "befdc59a-c88c-4c4d-9328-938a32b4949d", "type": "question", "value": { "latex": "Vérifier que $f_T$ est bien une densité de probabilité. Déterminer $\\E(T)$ et $\\V(T)$.", "html": "

Vérifier que \$f_T\$ est bien une\ndensité de probabilité. Déterminer \$\\E(T)\$ et \$\\V(T)\$.

\n" } }, { "id": "8536a162-487e-4e40-97df-085be9d249cf", "type": "reponse", "value": { "latex": "$f_T$ est une fonction positive sur $\\R$ et\n\t\t\t\\[ \\int_\\R f_T(x)\\dx=\\int_0^{+\\infty}xe^{-x}\\dx=\\left[-xe^{-x} \\right]_0^{+\\infty} +\\int_0^{+\\infty} e^{-x}\\dx = \\left[-e^{-x}\\right]_0^{+\\infty}=1.\\]\n\t\t\tDonc $f_T$ est bien une densité de probabilité. \\\\\n\t\t\t\n\t\t\t\n\t\t\tL'espérance de $T$ peut se calculer soit par intégrations par parties, soit en utilisant le rappel:\n\t\t\t\\[ \\E(T)=\\int_0^{+\\infty} x^2e^{-x}\\dx=\\left[ -x^2e^{-x}\\right]_0^{+\\infty} +\\int_0^{+\\infty} 2xe^{-x}\\dx=2\\int_0^{+\\infty}xe^{-x} \\dx=2.\\] \\\\\n\t\t\t\n\t\t\tDe même pour la variance de $T$: $\\V(T)=\\E(T^2)-\\E(T)^2$. Or\n\t\t\t\\[ \\E(T^2)=\\int_0^{+\\infty} x^3e^{-x}\\dx=6\\]\n\t\t\tdonc $\\V(T)=6-2^2=2$.", "html": "

\$f_T\$ est une fonction positive\nsur \$\\R\$ et \\[\\int_\\R\nf_T(x)\\dx=\\int_0^{+\\infty}xe^{-x}\\dx=\\left[-xe^{-x} \\right]_0^{+\\infty}\n+\\int_0^{+\\infty} e^{-x}\\dx =\n\\left[-e^{-x}\\right]_0^{+\\infty}=1.\\] Donc \$f_T\$ est bien une densité de\nprobabilité.
\nL’espérance de \$T\$ peut se calculer\nsoit par intégrations par parties, soit en utilisant le rappel: \\[\\E(T)=\\int_0^{+\\infty} x^2e^{-x}\\dx=\\left[\n-x^2e^{-x}\\right]_0^{+\\infty} +\\int_0^{+\\infty}\n2xe^{-x}\\dx=2\\int_0^{+\\infty}xe^{-x} \\dx=2.\\]
\nDe même pour la variance de \$T\$:\n\$\\V(T)=\\E(T^2)-\\E(T)^2\$. Or \\[\\E(T^2)=\\int_0^{+\\infty} x^3e^{-x}\\dx=6\\]\ndonc \$\\V(T)=6-2^2=2\$.

\n" } }, { "id": "63448f13-4eef-423e-bc12-2fe57bad3c17", "type": "question", "value": { "latex": "Démontrer que la fonction de répartition de $T$, notée $F_T$, est définie par:\n\t\t\\[\n\t\tF_T(x)=\n\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t0 \\text{ si } x<0, \\\\\n\t\t\t1-(1+x)e^{-x} \\text{ si } x \\geq 0.\n\t\t\\end{cases}\n\t\t\\]", "html": "

Démontrer que la fonction de répartition de \$T\$, notée \$F_T\$, est définie par: \\[F_T(x)=\n \\begin{cases}\n 0 \\text{ si } x<0, \\\\\n 1-(1+x)e^{-x} \\text{ si } x \\geq 0.\n \\end{cases}\\]

\n" } }, { "id": "0aada887-02e0-475d-b446-2adb67b4cee3", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par définition, \n\t\t\t$F_T(x)=\\int_{-\\infty}^x f_T(t)\\dx t$ donc si $x< 0$, $F_T(x)=0$ et si $x\\geq 0$,\n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\tF_T(x) & =\\int_0^x te^{-t}\\dx t\n\t\t\t\t= \\left[-te^{-t}\\right]_0^x + \\int_0^x e^{-t}\\dx t\n\t\t\t\t= -xe^{-x}+0+\\left[-e^{-t}\\right]_0^x \n\t\t\t\t=-xe^{-x}-e^{x}+e^0 \\\\\n\t\t\t\t&= 1-(1+x)e^{-x},\n\t\t\t\\end{align*}$$\n\t\t\tce qui correspond à la formule donnée dans l'énoncé.", "html": "

Par définition, \$F_T(x)=\\int_{-\\infty}^x\nf_T(t)\\dx t\$ donc si \$x<\n0\$, \$F_T(x)=0\$ et si \$x\\geq 0\$, \\[\\begin{align*}\n F_T(x) & =\\int_0^x te^{-t}\\dx t\n = \\left[-te^{-t}\\right]_0^x + \\int_0^x e^{-t}\\dx t\n = -xe^{-x}+0+\\left[-e^{-t}\\right]_0^x\n =-xe^{-x}-e^{x}+e^0 \\\\\n &= 1-(1+x)e^{-x},\n \\end{align*}\\] ce qui correspond à la formule donnée\ndans l’énoncé.

\n" } }, { "id": "5ab86984-e171-4b13-aa62-b56a155caf93", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que la probabilité que le temps de passage en caisse soit inférieur à deux unités de temps sachant qu'il est supérieur à une unité, est égale à $\\frac{2e-3}{2e}$.", "html": "

Montrer que la probabilité que le temps de passage en caisse soit\ninférieur à deux unités de temps sachant qu’il est supérieur à une\nunité, est égale à \$\\frac{2e-3}{2e}\$.

\n" } }, { "id": "8499882a-b8d0-45af-9589-f2907a17c7f8", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\\begin{align*}\n\t\t\t\t\\prob(T\\leq 2|T\\geq 1)\n\t\t\t\t&=\\frac{\\prob(\\{T\\leq 2\\}\\cap \\{T\\geq 1\\})}{\\prob(T\\geq 1)}\n\t\t\t\t=\\frac{\\prob(1\\leq T\\leq 2)}{1-\\prob(T\\leq 1)}\n\t\t\t\t= \\frac{F_T(2)-F_T(1)}{1-F_T(1)} \\\\\n\t\t\t\t&=\\frac{1-3e^{-2}-1+2e^{-1}}{1-1+2e^{-1}}\n\t\t\t\t=\\frac{2e^{-1}-3e^{-2}}{2e^{-1}}\n\t\t\t\t=\\frac{2e-3}{2e}\n\t\t\t\\end{align*}$$", "html": "

\\[\\begin{align*}\n \\prob(T\\leq 2|T\\geq 1)\n &=\\frac{\\prob(\\{T\\leq 2\\}\\cap \\{T\\geq\n1\\})}{\\prob(T\\geq 1)}\n =\\frac{\\prob(1\\leq T\\leq 2)}{1-\\prob(T\\leq 1)}\n = \\frac{F_T(2)-F_T(1)}{1-F_T(1)} \\\\\n &=\\frac{1-3e^{-2}-1+2e^{-1}}{1-1+2e^{-1}}\n =\\frac{2e^{-1}-3e^{-2}}{2e^{-1}}\n =\\frac{2e-3}{2e}\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "2d401beb-d7c4-46d9-be50-de2fd3e964c4", "type": "description", "value": { "latex": "Un jour donné, trois clients $A$, $B$ et $C$ se présentent simultanément devant deux caisses libres. Par courtoisie, $C$ décide de laisser passer $A$ et $B$ et de prendre la place du premier d'entre eux qui aura terminé. On suppose que les variable aléatoires $T_A$ et $T_B$ correspondant aux temps de passage en caisse de $A$ et de $B$ sont indépendantes.", "html": "

Un jour donné, trois clients \$A\$,\n\$B\$ et \$C\$ se présentent simultanément devant deux\ncaisses libres. Par courtoisie, \$C\$\ndécide de laisser passer \$A\$ et \$B\$ et de prendre la place du premier\nd’entre eux qui aura terminé. On suppose que les variable aléatoires\n\$T_A\$ et \$T_B\$ correspondant aux temps de passage en\ncaisse de \$A\$ et de \$B\$ sont indépendantes.

\n" } }, { "id": "3a2e0408-1e04-4c96-8f1b-f02e6a0db0cf", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $M$ la variable aléatoire égale au temps d'attente du client $C$. Exprimer l'événement $\\{M>x\\}$ en fonction des événements $\\{T_A>x\\}$ et $\\{T_B>x\\}$.", "html": "

Soit \$M\$ la variable aléatoire\négale au temps d’attente du client \$C\$. Exprimer l’événement \$\\{M>x\\}\$ en fonction des événements\n\$\\{T_A>x\\}\$ et \$\\{T_B>x\\}\$.

\n" } }, { "id": "0c0529d6-0616-422a-866b-0deec3e40023", "type": "reponse", "value": { "latex": "$\\{M>x\\}=\\{T_A>x\\}\\cap\\{T_B>x\\}$", "html": "

\$\\{M>x\\}=\\{T_A>x\\}\\cap\\{T_B>x\\}\$

\n" } }, { "id": "061abbd5-6d13-45ac-ba9f-7d810fcfa3af", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire une expression de la fonction de répartition $F_M$ de $M$, en fonction de $F_{T_A}$ et $F_{T_B}$.", "html": "

En déduire une expression de la fonction de répartition \$F_M\$ de \$M\$, en fonction de \$F_{T_A}\$ et \$F_{T_B}\$.

\n" } }, { "id": "64f68658-dcb0-4521-8670-8e01a4716f65", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour tout $t\\in \\R$,\n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\tF_M(t)\n\t\t\t\t&=\\prob(M\\leq t) \\\\\n\t\t\t\t&=1-\\prob(M>t) \\\\\n\t\t\t\t&=1-\\prob(\\{T_A>t\\}\\cap\\{T_B>t\\}) \\\\\n\t\t\t\t&=1-\\prob(T_A>t)\\prob(T_B>t) \\quad \\text{ par indépendance de $T_A$ et de $T_B$} \\\\\n\t\t\t\t&=1-(1-\\prob(T_A\\leq t))(1-\\prob(T_B\\leq t)) \\\\\n\t\t\t\t&= 1- (1-F_{T_A}(t))(1-F_{T_B}(t))\n\t\t\t\\end{align*}$$", "html": "

Pour tout \$t\\in \\R\$, \\[\\begin{align*}\n F_M(t)\n &=\\prob(M\\leq t) \\\\\n &=1-\\prob(M>t) \\\\\n &=1-\\prob(\\{T_A>t\\}\\cap\\{T_B>t\\}) \\\\\n &=1-\\prob(T_A>t)\\prob(T_B>t) \\quad \\text{ par\nindépendance de $T_A$ et de $T_B$} \\\\\n &=1-(1-\\prob(T_A\\leq t))(1-\\prob(T_B\\leq t)) \\\\\n &= 1- (1-F_{T_A}(t))(1-F_{T_B}(t))\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "640044e0-c528-4b8d-bde9-59bda58f81e0", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer explicitement une densité de $M$.", "html": "

Déterminer explicitement une densité de \$M\$.

\n" } }, { "id": "f585aa40-5203-4f9c-9d09-a679c4ef32b7", "type": "reponse", "value": { "latex": "Comme $T_A$ et $T_B$ suivent la même loi que $T$, on $F_{T_A}=F_{T_B}=F_T$. On obtient donc :\n\t\t\t\\begin{equation*}\n\t\t\t\tF_M (x)\n\t\t\t\t\\,=\\, 1-{(1-F_T(x))}^2 \\,=\\, \n\t\t\t\t\\begin{cases}\n\t\t\t\t\t1-(1+x)^2e^{-2x} & \\text{ si } x\\geq 0 \\\\\n\t\t\t\t\t0 \\text{ si } x<0.\n\t\t\t\t\\end{cases} \n\t\t\t\\end{equation*}\n\t\t\tAfin d'obtenir la densité de la variable aléatoire $M$, on dérive sa fonction de répartition en tous les points de continuité de sa densité :\n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\tf_M(t)&= \\begin{cases}\n\t\t\t\t\t-2(1+x)e^{-2x}+2(1+x)^2e^{-2x} & \\text{ si } x\\geq 0 \\\\\n\t\t\t\t\t0 \\text{ si } x<0\n\t\t\t\t\\end{cases} \\\\\n\t\t\t\t&= \\begin{cases}\n\t\t\t\t\t2x\\, (1+x)e^{-2x} & \\text{ si } x\\geq 0 \\\\\n\t\t\t\t\t0 \\text{ si } x<0\n\t\t\t\t\\end{cases}\n\t\t\t\\end{align*}$$", "html": "

Comme \$T_A\$ et \$T_B\$ suivent la même loi que \$T\$, on \$F_{T_A}=F_{T_B}=F_T\$. On obtient donc :\n\\[F_M (x)\n \\,=\\, 1-{(1-F_T(x))}^2 \\,=\\,\n \\begin{cases}\n 1-(1+x)^2e^{-2x} & \\text{ si } x\\geq 0 \\\\\n 0 \\text{ si } x<0.\n \\end{cases}\\] Afin d’obtenir la densité de la\nvariable aléatoire \$M\$, on dérive sa\nfonction de répartition en tous les points de continuité de sa densité :\n\\[\\begin{align*}\n f_M(t)&= \\begin{cases}\n -2(1+x)e^{-2x}+2(1+x)^2e^{-2x} & \\text{ si }\nx\\geq 0 \\\\\n 0 \\text{ si } x<0\n \\end{cases} \\\\\n &= \\begin{cases}\n 2x\\, (1+x)e^{-2x} & \\text{ si } x\\geq 0 \\\\\n 0 \\text{ si } x<0\n \\end{cases}\n \\end{align*}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "9hTr", "titre": "Files d'attente", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:00.825Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:00.825Z" }, "contenu": [ { "id": "a0a7965f-77e7-4623-ae08-e3e2a6160e46", "type": "description", "value": { "latex": "On considère deux files d'attente indépendantes. Deux personnes arrivent simultanément et se présentent respectivement aux deux files d'attente. On note $X$ le temps d'attente de la première personne, $Y$ le temps d'attente de la seconde personne, en minutes. On supposera que $X$ et $Y$ suivent chacune une loi exponentielle de paramètre $\\lambda =2$.", "html": "

On considère deux files d’attente indépendantes. Deux personnes\narrivent simultanément et se présentent respectivement aux deux files\nd’attente. On note \$X\$ le temps\nd’attente de la première personne, \$Y\$ le temps d’attente de la seconde\npersonne, en minutes. On supposera que \$X\$ et \$Y\$ suivent chacune une loi exponentielle\nde paramètre \$\\lambda =2\$.

\n" } }, { "id": "73850e36-c66d-406a-9c9f-95986519773f", "type": "question", "value": { "latex": "Quel est le temps d'attente moyen pour chaque personne ?", "html": "

Quel est le temps d’attente moyen pour chaque personne ?

\n" } }, { "id": "dc487cdf-1636-49d6-81a0-e769432f6dab", "type": "reponse", "value": { "latex": "Puisque $X$ et $Y$ suivent chacune une loi exponentielle de paramètre $\\lambda =2$, on a $\\mathbb{E}(X)=\\mathbb{E}(Y) = 0.5$ minutes, ce qui donne le temps d'attente moyen pour chaque personne.", "html": "

Puisque \$X\$ et \$Y\$ suivent chacune une loi exponentielle\nde paramètre \$\\lambda =2\$, on a \$\\mathbb{E}(X)=\\mathbb{E}(Y) = 0.5\$\nminutes, ce qui donne le temps d’attente moyen pour chaque personne.

\n" } }, { "id": "5d26ec7f-0cc0-43a9-b68b-2237d70082fa", "type": "question", "value": { "latex": "Quelle est la densité de la variable $X^2$ ? la variable $-Y$ ?", "html": "

Quelle est la densité de la variable \$X^2\$ ? la variable \$-Y\$ ?

\n" } }, { "id": "9c699015-be13-4f9c-a764-3c7f152dafbb", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour obtenir la loi de $X^2$, on cherche sa densité par identification. Soit $h$ une fonction continue bornée quelconque : \n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\mathbb{E}(h(X^2)) &= \\int_0^{+\\infty} h(x^2)2e^{-2x}dx \\\\\n\t\t\t&= \\int_0^{+\\infty} 2h(u)e^{-2\\sqrt{u}} \\frac{1}{2\\sqrt{u}} du\n\t\t\\end{align*}$$\t\n\t\tPar identification, on en déduit une densité de $X^2$ définie par $f_{X^2}(x) = \\frac{e^{-2\\sqrt{u}}}{\\sqrt{u}}1_{\\R_+}(x)$.\n\t\t\n\t\tOn procède de même pour obtenir la loi de $-Y$ : \n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\\mathbb{E}(h(-Y)) &= \\int_0^{+\\infty} h(-x)2e^{-2x}dx \\\\\n\t\t\t&= \\int_0^{-\\infty} 2h(u)e^{2{u}} \\times (-du) \\\\\n\t\t\t&= \\int_{-\\infty}^0 2h(u)e^{2{u}} du \\\\\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tPar identification, on en déduit une densité de $-Y$ définie par $f_{-Y}(y) = {2e^{2{y}}}1_{\\R_-}(y) = f_Y(-y)$.", "html": "

Pour obtenir la loi de \$X^2\$, on\ncherche sa densité par identification. Soit \$h\$ une fonction continue bornée quelconque\n: \\[\\begin{align*}\n \\mathbb{E}(h(X^2)) &= \\int_0^{+\\infty} h(x^2)2e^{-2x}dx\n\\\\\n &= \\int_0^{+\\infty} 2h(u)e^{-2\\sqrt{u}}\n\\frac{1}{2\\sqrt{u}} du\n \\end{align*}\\] Par identification, on en déduit une\ndensité de \$X^2\$ définie par \$f_{X^2}(x) =\n\\frac{e^{-2\\sqrt{u}}}{\\sqrt{u}}1_{\\R_+}(x)\$.

On procède de même pour obtenir la loi de \$-Y\$ : \\[\\begin{align*}\n \\mathbb{E}(h(-Y)) &= \\int_0^{+\\infty} h(-x)2e^{-2x}dx\n\\\\\n &= \\int_0^{-\\infty} 2h(u)e^{2{u}} \\times (-du) \\\\\n &= \\int_{-\\infty}^0 2h(u)e^{2{u}} du \\\\\n \\end{align*}\\] Par identification, on en déduit une\ndensité de \$-Y\$ définie par \$f_{-Y}(y) = {2e^{2{y}}}1_{\\R_-}(y) =\nf_Y(-y)\$.

\n" } }, { "id": "3221ac74-8b36-4d3a-b9e3-8a1b7ca72c30", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer la probabilité que la différence d'attente entre les deux personnes soit inférieure à 1 minute.", "html": "

Calculer la probabilité que la différence d’attente entre les deux\npersonnes soit inférieure à 1 minute.

\n" } }, { "id": "9e03aa47-2242-4bc1-b4fb-a4bd5bae8838", "type": "reponse", "value": { "latex": "On calcule $\\PP(|X-Y|<1) = \\PP(-10, y>0, -1On calcule \$\\PP(|X-Y|<1) =\n\\PP(-1<X-Y<1)\$ en utilisant la loi du couple \$(X,Y)\$. Par indépendance de \$X\$ et \$Y\$, le couple \$(X,Y)\$ admet pour densité \$g(x,y)=2e^{-2x}\\times\n2e^{-2y}1_{\\R_+^2}(x,y)\$. La probabilité cherchée est \\[\\PP(|X-Y|<1) = \\iint_D g(x,y)dxdy\\] où\n\$D=\\{(x,y) \\in \\mathbb{R}^2 \\, , \\, x>0,\ny>0, -1<x-y<1 \\} = \\{ y\\in[0;1], x \\in [0;1+y] \\} \\cup \\{\ny\\in]1;+\\infty, x \\in [-1+y;1+y] \\}\$.

On utilise cette décomposition du domaine \$D\$ pour écrire l’intégrale sous forme\nd’une somme : \\[\\begin{align*}\n \\iint_D g(x,y)dxdy &= \\int_0^1 \\int_0^{1+y}2e^{-2x}dx\n2e^{-2y}dy &+& \\int_1^{+\\infty} \\int_{y-1}^{y+1}2e^{-2x}dx\n2e^{-2y}dy \\\\\n &= \\int_0^1 2e^{-2y}(1-e^{-2(1+y)})dy\n&+& \\int_1^{+\\infty} (e^{-2(y-1)}-e^{-2(y+1)}) (1-e^{-2(1+y)})\n\\\\\n &= 1-\\frac{3}{2}e^{-2}+\\frac{1}{2}e^{-6} &+&\n\\frac{1}{2}e^{-2}-\\frac{1}{2}e^{-6} \\\\\n &= 1-e^{-2} &&\n \\end{align*}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "J4Ag", "titre": "Fonction caractéristique et loi de Poisson", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:10.978Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:10.978Z" }, "contenu": [ { "id": "d1d3c907-da34-4bbf-b049-768e03dc5754", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $X$ une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre $\\lambda$. Calculer sa fonction caractéristique.", "html": "

Soit \$X\$ une variable aléatoire de\nloi de Poisson de paramètre \$\\lambda\$. Calculer sa fonction\ncaractéristique.

\n" } }, { "id": "2f0e7ef5-3838-4cf0-b819-665ad37e5f76", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $t\\in\\mathbb{R}$.\n\t\t \t$$\\begin{align*}\n\t\t \t\\phi_X(t)=\\mathbb{E}(e^{itX})\n\t\t \t=\\sum_{k\\geq 0} e^{itk}\\p(X=k)\n\t\t \t=\\sum_{k\\geq 0} e^{itk}\\frac{\\lambda^k}{k!}e^{-\\lambda}\n\t\t \t=e^{-\\lambda}\\sum_{k\\geq 0} \\frac{(\\lambda e^{it})^k}{k!}\n\t\t \t=e^{\\lambda(e^{it}-1)}\n\t\t \t\\end{align*}$$", "html": "

Soit \$t\\in\\mathbb{R}\$. \\[\\begin{align*}\n \\phi_X(t)=\\mathbb{E}(e^{itX})\n =\\sum_{k\\geq 0} e^{itk}\\p(X=k)\n =\\sum_{k\\geq 0} e^{itk}\\frac{\\lambda^k}{k!}e^{-\\lambda}\n =e^{-\\lambda}\\sum_{k\\geq 0} \\frac{(\\lambda\ne^{it})^k}{k!}\n =e^{\\lambda(e^{it}-1)}\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "6108fd47-ace3-44e3-a285-2b2d0dcd32e9", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètres respectifs $\\lambda$ et $\\mu$. En utilisant la fonction caractéristique, montrer que la variable $X+Y$ suit une loi de Poisson de paramètre à déterminer.", "html": "

Soit \$X\$ et \$Y\$ deux variables aléatoires indépendantes\nde loi de Poisson de paramètres respectifs \$\\lambda\$ et \$\\mu\$. En utilisant la fonction\ncaractéristique, montrer que la variable \$X+Y\$ suit une loi de Poisson de paramètre\nà déterminer.

\n" } }, { "id": "e3fb017e-cea2-43e9-b026-541d17dcbf06", "type": "reponse", "value": { "latex": "Comme les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes, on a pour tout $t\\in\\mathbb{R}$,\n\t\t \t\\[ \\phi_{X+Y}(t)=\\phi_X(t) \\phi_Y(t)=e^{(\\lambda + \\mu)(e^{it}-1)},\\]\n\t\t \tce qui correspond à la fonction caractéristique d'une loi de Poisson de paramètre $\\lambda+\\mu$. Donc $X+Y \\sim \\mathcal{P}(\\lambda+\\mu)$.", "html": "

Comme les variables aléatoires \$X\$\net \$Y\$ sont indépendantes, on a pour\ntout \$t\\in\\mathbb{R}\$, \\[\\phi_{X+Y}(t)=\\phi_X(t) \\phi_Y(t)=e^{(\\lambda +\n\\mu)(e^{it}-1)},\\] ce qui correspond à la fonction\ncaractéristique d’une loi de Poisson de paramètre \$\\lambda+\\mu\$. Donc \$X+Y \\sim \\mathcal{P}(\\lambda+\\mu)\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "RsEy", "titre": "Fonction caractéristique et loi normale", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:20.052Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:20.052Z" }, "contenu": [ { "id": "b18d7bd3-186c-4da9-a9e5-2fcbe7b76a55", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $Z$ une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite. On rappelle que la fonction caractéristique de $ Z $ est définie pour tout réel $t$ par :\n$$\\phi_Z(t)=E(e^{itZ})=e^{-\\frac{t^2}{2}}.$$", "html": "

Soit \$Z\$ une variable aléatoire\nsuivant une loi normale centrée réduite. On rappelle que la fonction\ncaractéristique de \$Z\$ est définie\npour tout réel \$t\$ par : \\[\\phi_Z(t)=E(e^{itZ})=e^{-\\frac{t^2}{2}}.\\]

\n" } }, { "id": "89c646cf-2e33-49f4-876c-df2d79cbc615", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $\\mu$ un réel et $\\sigma$ un réel strictement positif. Sans justifier, donner la loi de $X=\\sigma Z+\\mu$, puis calculer la fonction caractéristique de $ X$.", "html": "

Soit \$\\mu\$ un réel et \$\\sigma\$ un réel strictement positif. Sans\njustifier, donner la loi de \$X=\\sigma\nZ+\\mu\$, puis calculer la fonction caractéristique de \$X\$.

\n" } }, { "id": "65aceb04-d6e1-4fe4-811e-815f06bd2ed3", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $(X_1,\\dots{},X_5)$ une suite de 5 variables aléatoires indépendantes et équidistribuées selon une loi normale de moyenne $\\mu=70$ et d’écart type $\\sigma=15$. Soit $S=\\displaystyle\\sum_{i=1}^{5}X_i$.", "html": "

Soit \$(X_1,\\dots{},X_5)\$ une suite\nde 5 variables aléatoires indépendantes et équidistribuées selon une loi\nnormale de moyenne \$\\mu=70\$ et\nd’écart type \$\\sigma=15\$. Soit \$S=\\displaystyle\\sum_{i=1}^{5}X_i\$.

\n" } }, { "id": "d49b1da4-f611-4c10-8354-f38c4b09f168", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer la fonction caractéristique de $S$ et en déduire la loi de $S$.", "html": "

Calculer la fonction caractéristique de \$S\$ et en déduire la loi de \$S\$.

\n" } }, { "id": "b3c78828-1423-4192-95e8-a281a498445c", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer la valeur de $P(S>450)$ à $10^{-2}$ près.", "html": "

Calculer la valeur de \$P(S>450)\$ à \$10^{-2}\$ près.

\n" } } ] }, { "uuid": "aaap", "titre": "Fonction caractéristique et loi normale", "theme": [ "Probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:28.813Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:28.813Z" }, "contenu": [ { "id": "2ba55d8e-8cda-4ec7-bf6c-a3ce0c8d2f99", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $Z$ une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite. On rappelle que la fonction caractéristique de $ Z $ est définie pour tout réel $t$ par :\n$$\\phi_Z(t)=E(e^{itZ})=e^{-\\frac{t^2}{2}}.$$", "html": "

\n" } } ] }, { "uuid": "Lmme", "titre": "Fonction de $n$ variables et laplacien nul", "theme": [ "calcul différentiel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:14.770Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:14.770Z" }, "contenu": [ { "id": "b564678e-8080-4b56-9a04-a51ef97519dc", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $g \\colon ]0;+\\infty[ \\to \\R$ une fonction de classe $\\mathcal{C}^2$. Soit un entier $n \\geq 2$ et $f \\colon \\R^n \\backslash \\{0\\} \\to \\R$ définie par $f(x_1,...,x_n) = g(\\sqrt{\\sum_{i=1}^n x_i^2})$. \n\nOn note $\\Delta f = \\sum\\limits_{i=1}^{n} \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_i^2}$ le laplacien de $f$. On pose $r=\\sqrt{\\sum\\limits_{i=1}^n x_i^2}$.", "html": "

Soit \$g \\colon ]0;+\\infty[ \\to \\R\$\nune fonction de classe \$\\mathcal{C}^2\$. Soit un entier \$n \\geq 2\$ et \$f\n\\colon \\R^n \\backslash \\{0\\} \\to \\R\$ définie par \$f(x_1,...,x_n) = g(\\sqrt{\\sum_{i=1}^n\nx_i^2})\$.

On note \$\\Delta f = \\sum\\limits_{i=1}^{n}\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_i^2}\$ le laplacien de \$f\$. On pose \$r=\\sqrt{\\sum\\limits_{i=1}^n x_i^2}\$.

\n" } }, { "id": "2e89886f-9dff-4bf5-b7ad-2309011c91ae", "type": "question", "value": { "latex": "Démontrer que pour tout $x=(x_1,...,x_n) \\in \\R^n \\backslash \\{0\\}$, $\\Delta f(x) = g''(r)+ \\frac{n-1}{r}g'(r)$.", "html": "

Démontrer que pour tout \$x=(x_1,...,x_n)\n\\in \\R^n \\backslash \\{0\\}\$, \$\\Delta\nf(x) = g''(r)+ \\frac{n-1}{r}g'(r)\$.

\n" } }, { "id": "86df90a8-e5a2-4cd9-adc5-92936e4df75f", "type": "reponse", "value": { "latex": "On applique la règle des chaînes en voyant $r$ comme une fonction de $n$ variables : \n\t \t$$\\frac{\\partial f}{\\partial x_i} = \\frac{x_i}{r}g'(r)$$\n\t \tpuis \n\t \t$$\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_i^2} = \\left(\\frac{1}{r}- \\frac{x_i}{r^2} \\frac{\\partial r}{\\partial x_i}\\right)g'(r) + \\frac{x_i^2}{r^2}g''(r) = \\frac{r^2-x_i^2}{r^3}g'(r) + \\frac{x_i^2}{r^2}g''(r) $$\n\t \tIl reste à sommer pour $i$ variant de $1$ à $n$ pour avoir le résultat.", "html": "

On applique la règle des chaînes en voyant \$r\$ comme une fonction de \$n\$ variables : \\[\\frac{\\partial f}{\\partial x_i} =\n\\frac{x_i}{r}g'(r)\\] puis \\[\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_i^2} =\n\\left(\\frac{1}{r}- \\frac{x_i}{r^2} \\frac{\\partial r}{\\partial\nx_i}\\right)g'(r) + \\frac{x_i^2}{r^2}g''(r) =\n\\frac{r^2-x_i^2}{r^3}g'(r) +\n\\frac{x_i^2}{r^2}g''(r)\\] Il reste à sommer pour \$i\$ variant de \$1\$ à \$n\$ pour avoir le résultat.

\n" } }, { "id": "fd59e442-6c1e-4c34-9c46-651aad486b50", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer l'ensemble des fonctions $g$ telles que $\\Delta f = 0$.", "html": "

Déterminer l’ensemble des fonctions \$g\$ telles que \$\\Delta f = 0\$.

\n" } }, { "id": "7cf1ecfe-a406-458a-8dc2-6510805a1703", "type": "reponse", "value": { "latex": "On en déduit que $\\Delta f =0$ si et seulement si $g'$ est solution de l'équation différentielle linéaire du premier ordre\n\t \t$$y'+ \\frac{n-1}{r}y = 0$$\n\t \td'où $g'(r) = \\frac{k_1}{r^{n-1}}$ (avec $k_1 \\in \\R$) d'où $g(r) = \\frac{k_1}{r^{n-2}}+k_2$ si $n \\geq 3$ et $g(r) = k_1\\ln(r) + k_2$ si $n=2$.", "html": "

On en déduit que \$\\Delta f =0\$ si\net seulement si \$g'\$ est solution\nde l’équation différentielle linéaire du premier ordre \\[y'+ \\frac{n-1}{r}y = 0\\] d’où \$g'(r) = \\frac{k_1}{r^{n-1}}\$ (avec\n\$k_1 \\in \\R\$) d’où \$g(r) = \\frac{k_1}{r^{n-2}}+k_2\$ si \$n \\geq 3\$ et \$g(r) = k_1\\ln(r) + k_2\$ si \$n=2\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "mH1D", "titre": "Fonction de deux variables et surface représentative", "theme": [ "fonctions de plusieurs variables" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:43.761Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:43.761Z" }, "contenu": [] }, { "uuid": "X3XR", "titre": "Fonction de répartition", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:23.827Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:23.827Z" }, "contenu": [ { "id": "5ecd2ae9-ab5d-4247-977a-85c0bfebdea2", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $\\lambda>0$ et $X$ une variable aléatoire admettant pour densité $f(x)=\\lambda e^{-\\lambda x}1_{[0;+\\infty[}(x)$.", "html": "

Soit \$\\lambda>0\$ et \$X\$ une variable aléatoire admettant pour\ndensité \$f(x)=\\lambda e^{-\\lambda\nx}1_{[0;+\\infty[}(x)\$.

\n" } }, { "id": "6948d777-5a23-4f0e-a166-b093d160ffa5", "type": "question", "value": { "latex": "Vérifier que $f$ définit bien une fonction densité, puis déterminer la fonction de répartition $F_X$ de $X$.", "html": "

Vérifier que \$f\$ définit bien une\nfonction densité, puis déterminer la fonction de répartition \$F_X\$ de \$X\$.

\n" } }, { "id": "f081a7d4-9751-4b70-9d53-3d2ce756b443", "type": "reponse", "value": { "latex": "Il suffit de vérifier que $f(x) \\geq 0$ pour tout $x \\in \\R$ puis de calculer :\n \t$$\\begin{align*}\n \t\\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(x)dx &= \\int_0^{+\\infty} \\lambda e^{-\\lambda x} dx \\\\\n \t &= \\left[-e^{-\\lambda x}\\right]_0^{+\\infty} \\\\\n \t &= 1\n \t\\end{align*}$$\nOn détermine maintenant la fonction de répartition : soit $t \\in \\R$ ;\n\\begin{itemize}\n\t\\item si $t<0$, alors $F_X(t) = \\int_{-\\infty}^t f(x)dx = \\int_{-\\infty}^t 0 dx = 0$ ;\n\t\\item si $t \\geq 0$, alors $F_X(t) = \\int_{-\\infty}^t f(x)dx = \\int_{-\\infty}^0 0 dx + \\int_0^t \\lambda e^{-\\lambda x} dx = 0 + \\left[-e^{-\\lambda x}\\right]_0^t = 1 - e^{-\\lambda t}$.\n\\end{itemize}", "html": "

Il suffit de vérifier que \$f(x) \\geq\n0\$ pour tout \$x \\in \\R\$ puis\nde calculer : \\[\\begin{align*}\n \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(x)dx &= \\int_0^{+\\infty} \\lambda\ne^{-\\lambda x} dx \\\\\n &= \\left[-e^{-\\lambda\nx}\\right]_0^{+\\infty} \\\\\n &= 1\n \\end{align*}\\] On détermine maintenant la fonction de\nrépartition : soit \$t \\in \\R\$ ;

si \$t<0\$, alors \$F_X(t) = \\int_{-\\infty}^t f(x)dx =\n\\int_{-\\infty}^t 0 dx = 0\$ ;
si \$t \\geq 0\$, alors \$F_X(t) = \\int_{-\\infty}^t f(x)dx =\n\\int_{-\\infty}^0 0 dx + \\int_0^t \\lambda e^{-\\lambda x} dx = 0 +\n\\left[-e^{-\\lambda x}\\right]_0^t = 1 - e^{-\\lambda t}\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "gsn9", "titre": "Fonction de répartition", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:36.944Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:36.944Z" }, "contenu": [ { "id": "bd6b416b-a4be-4a32-8ccb-028b32f0e8c3", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $\\lambda>0$ et $X$ une variable aléatoire admettant pour densité $f(x)=\\lambda e^{-\\lambda x}1_{[0;+\\infty[}(x)$.", "html": "

Soit \$\\lambda>0\$ et \$X\$ une variable aléatoire admettant pour\ndensité \$f(x)=\\lambda e^{-\\lambda\nx}1_{[0;+\\infty[}(x)\$.

\n" } }, { "id": "b79c72d7-b8e9-433c-83d5-f28574d0f565", "type": "question", "value": { "latex": "Vérifier que $f$ définit bien une fonction densité, puis déterminer la fonction de répartition $F_X$ de $X$.", "html": "

Vérifier que \$f\$ définit bien une\nfonction densité, puis déterminer la fonction de répartition \$F_X\$ de \$X\$.

\n" } }, { "id": "7189e5dc-3112-4e55-aec1-7b9eb9a955c9", "type": "reponse", "value": { "latex": "Il suffit de vérifier que $f(x) \\geq 0$ pour tout $x \\in \\R$ puis de calculer :\n $$\\begin{align*}\n \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(x)dx &= \\int_0^{+\\infty} \\lambda e^{-\\lambda x} dx \\\\\n &= \\left[-e^{-\\lambda x}\\right]_0^{+\\infty} \\\\\n &= 1\n \\end{align*}$$\n On détermine maintenant la fonction de répartition : soit $t \\in \\R$ ;\n \\begin{itemize}\n \\item si $t<0$, alors $F_X(t) = \\int_{-\\infty}^t f(x)dx = \\int_{-\\infty}^t 0 dx = 0$ ;\n \\item si $t \\geq 0$, alors $F_X(t) = \\int_{-\\infty}^t f(x)dx = \\int_{-\\infty}^0 0 dx + \\int_0^t \\lambda e^{-\\lambda x} dx = 0 + \\left[-e^{-\\lambda x}\\right]_0^t = 1 - e^{-\\lambda t}$.\n \\end{itemize}", "html": "

si \$t<0\$, alors \$F_X(t) = \\int_{-\\infty}^t f(x)dx =\n\\int_{-\\infty}^t 0 dx = 0\$ ;
si \$t \\geq 0\$, alors \$F_X(t) = \\int_{-\\infty}^t f(x)dx =\n\\int_{-\\infty}^0 0 dx + \\int_0^t \\lambda e^{-\\lambda x} dx = 0 +\n\\left[-e^{-\\lambda x}\\right]_0^t = 1 - e^{-\\lambda t}\$.

\n" } }, { "id": "191e2bc6-e692-48f8-97ee-10c41a8382ea", "type": "question", "value": { "latex": "Exprimer $\\prob(-1 \\leq X \\leq 1)$ en fonction de $F_X$ et en déduire une valeur numérique.", "html": "

Exprimer \$\\prob(-1 \\leq X \\leq 1)\$\nen fonction de \$F_X\$ et en déduire\nune valeur numérique.

\n" } }, { "id": "6a7d86e6-daeb-4a2c-bac5-c2b5227790ff", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\\begin{align*}\n \\prob(-1 \\leq X \\leq 1) &= F_X(1) - F_X(-1) \\\\\n &= (1-e^{-\\lambda}) - 0 \\\\\n &= 1-e^{-\\lambda}\n \\end{align*}$$", "html": "

\\[\\begin{align*}\n \\prob(-1 \\leq X \\leq 1) &= F_X(1) - F_X(-1) \\\\\n &= (1-e^{-\\lambda}) - 0 \\\\\n &= 1-e^{-\\lambda}\n \\end{align*}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "jI8R", "titre": "Fonction de répartition, démonstration de cours", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:40.151Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:40.151Z" }, "contenu": [ { "id": "d4e43e16-1601-4730-9595-02f310c038af", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $F$ la fonction de répartition d'une variable aléatoire $X$ quelconque.", "html": "

Soit \$F\$ la fonction de\nrépartition d’une variable aléatoire \$X\$ quelconque.

\n" } }, { "id": "7f8c52b6-46cd-4a2a-bad0-14571d5dad56", "type": "question", "value": { "latex": "Démontrer que $F$ est une fonction croissante et continue à droite sur $\\R$.", "html": "

Démontrer que \$F\$ est une fonction\ncroissante et continue à droite sur \$\\R\$.

\n" } }, { "id": "d53431c8-71a7-4850-9b81-ebeffef5ff76", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $X$ une variable aléatoire : alors si $x \\leq y$, on a l'inclusion d'événements $]-\\infty;x] \\subset ]-\\infty;y]$ puis par croissance d'une mesure de probabilité, $\\PP(]-\\infty;x]) \\leq \\PP(]-\\infty;y])$ soit $F_X(x) \\leq F_X(y)$. Le point 1 est démontré.\n \t\n \tSoit $t \\in \\R$ et une suite $(h_n)$ qui converge vers $0$ et telle que pour tout $n \\in \\N$, $h_n \\geq 0$. Quitte à extraire une sous-suite décroissante, on suppose que la suite $(h_n)$ est décroissante. Alors $F_X(t+h_n)-F_X(t) = \\PP(X \\in ]t ; t+h_n]$. Or la suite d'événements $(A_n)$ définie par $A_n = \\{X \\in ]t ; t+h_n]\\}$ est décroissante donc d'après le théorème de continuité décroissante, $\\PP(A_n) \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{} \\PP(\\bigcap A_n) = \\PP(\\emptyset) = 0$. Le point 2 est démontré.", "html": "

Soit \$X\$ une variable aléatoire :\nalors si \$x \\leq y\$, on a l’inclusion\nd’événements \$]-\\infty;x] \\subset\n]-\\infty;y]\$ puis par croissance d’une mesure de probabilité,\n\$\\PP(]-\\infty;x])\n\\leq \\PP(]-\\infty;y])\$ soit \$F_X(x)\n\\leq F_X(y)\$. Le point 1 est démontré.

Soit \$t \\in \\R\$ et une suite \$(h_n)\$ qui converge vers \$0\$ et telle que pour tout \$n \\in \\N\$, \$h_n\n\\geq 0\$. Quitte à extraire une sous-suite décroissante, on\nsuppose que la suite \$(h_n)\$ est\ndécroissante. Alors \$F_X(t+h_n)-F_X(t) =\n\\PP(X \\in ]t ; t+h_n]\$. Or la suite d’événements \$(A_n)\$ définie par \$A_n = \\{X \\in ]t ; t+h_n]\\}\$ est\ndécroissante donc d’après le théorème de continuité décroissante, \$\\PP(A_n) \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{} \\PP(\\bigcap\nA_n) = \\PP(\\emptyset) = 0\$. Le point 2 est démontré.

\n" } } ] }, { "uuid": "wjwa", "titre": "Fonction de répartition, démonstration de cours", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:55.810Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:55.810Z" }, "contenu": [ { "id": "b65da221-95e2-4d6f-8eb1-bd93a9a8fa5f", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $F_X$ une fonction de répartition admettant un point de discontinuité en $x_0 \\in \\R$.", "html": "

Soit \$F_X\$ une fonction de\nrépartition admettant un point de discontinuité en \$x_0 \\in \\R\$.

\n" } }, { "id": "ed47ee15-20d3-41f5-b71f-38beb3522da3", "type": "question", "value": { "latex": "Démontrer que le saut $p_0 = F_X(x_0)-F_X(x_0^-)$ est égal à $\\PP(X=x_0)$.", "html": "

Démontrer que le saut \$p_0 =\nF_X(x_0)-F_X(x_0^-)\$ est égal à \$\\PP(X=x_0)\$.

\n" } }, { "id": "87607d9f-5e22-4405-8128-7a86bba926ca", "type": "reponse", "value": { "latex": "La limite à gauche se traduit par $F_X(x_0^-) = \\lim\\limits_{h_n \\to 0, h_n >0} F_X(x_0-h_n) = \\lim\\limits_{h_n \\to 0, h_n >0}\\PP(X \\leq x_0-h_n)$ donc $p_0 = \\lim_{h_n \\to 0, h_n >0} \\PP(X \\in ]x_0-h_n ; x_0])$. \n \t\n \tOr la suite d'événements $(B_n)$ définie par $B_n = \\{X \\in ]x_0-h_n ; x_0]\\}$ est décroissante donc d'après le théorème de continuité décroissante, $\\PP(B_n) \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{} \\PP(\\bigcap B_n) = \\PP(\\{x_0\\})$.", "html": "

La limite à gauche se traduit par \$F_X(x_0^-) = \\lim\\limits_{h_n \\to 0, h_n >0}\nF_X(x_0-h_n) = \\lim\\limits_{h_n \\to 0, h_n >0}\\PP(X \\leq\nx_0-h_n)\$ donc \$p_0 = \\lim_{h_n \\to\n0, h_n >0} \\PP(X \\in ]x_0-h_n ; x_0])\$.

Or la suite d’événements \$(B_n)\$\ndéfinie par \$B_n = \\{X \\in ]x_0-h_n ;\nx_0]\\}\$ est décroissante donc d’après le théorème de continuité\ndécroissante, \$\\PP(B_n) \\xrightarrow[n \\to\n+\\infty]{} \\PP(\\bigcap B_n) = \\PP(\\{x_0\\})\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "Opt101", "titre": "Fonction deux variables", "theme": [ "Optimisation" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Jean-François Culus", "createdAt": "2024-11-06T20:22:16.689Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:16.689Z" }, "contenu": [ { "id": "d596dd73-ea5f-4de2-88a2-54e0401f747c", "type": "description", "value": { "latex": "On considère la fonction $f(x,y)=x^3+3x^2y+y^3$.\n\n\\begin{enumerate}\n\\item \n\\question{Calculer les dérivées partielles de cette fonction.}\n\\reponse{\nLes dérivées partielles de \$ f(x, y) \$ sont :\n\n\\[\n\\frac{\\partial f}{\\partial x} = 3x^2 - 6xy\n\\]\n\n\\[\n\\frac{\\partial f}{\\partial y} = -3x^2 + 3y^2\n\\]\n}\n\n\\item \\question{Rechercher alors les points critiques de cette fonction.}\n\\reponse{Les points critiques sont obtenus en résolvant le système d'équations suivant :\n\n\\[\n3x^2 - 6xy = 0 \\quad \\text{(1)}\n\\]\n\\[\n-3x^2 + 3y^2 = 0 \\quad \\text{(2)}\n\\]\n\nRésolvons ce système: De l'équation (1): \$ 3x(x - 2y) = 0 \$ nous déduisons que\n\$ x = 0 \$ ou \$ x = 2y \$.\n\\\\ De l'équation (2): \$-3x^2 + 3y^2 = 0 \$, nous obtenons \$ x^2 = y^2 \$.\nEtudions alors différents cas: \n\\\\ Cas 1 : \$ x = 0 \$ alors de \$ x^2 = y^2 \$, nous obtenons \$ y = 0 \$, d'où $(0,0)$ est un point critique.\n\\\\ Cas 2 : \$ x = 2y \$: alors de \$ (2y)^2 = y^2 \$, nous obtenons \$ 4y^2 = y^2 \$ donc \$ y = 0 \$.\nNous obtenons encore \$(0, 0)\$ pour point critique. \n\\\\ Ainsi, l'unique point critique de cette fonction est \$(0, 0)\$.\n}\n\n\n\\item \\question{Calculer la Hessienne: pouvez-vous alors conclure à la nature du ou des points critiques de cette fonction ?} \n\\reponse{\nPour déterminer si le point critique \$(0, 0)\$ est un maximum, minimum ou un point selle, nous utilisons le critère de la matrice Hessienne.\nLa matrice Hessienne de \$ f \$ est donnée par :\n\n\\[\nH = \\begin{bmatrix}\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2} & \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y} \\\\\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x} & \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}\n\\end{bmatrix}\n=\n\\begin{bmatrix}\n6x - 6y & -6x \\\\\n-6x & 6y\n\\end{bmatrix}\n\\]\n\nAu point critique \$(0, 0)\$, la matrice Hessienne devient :\n\n\\[\nH(0, 0) = \\begin{bmatrix}\n0 & 0 \\\\\n0 & 0\n\\end{bmatrix}\n\\]\n\nCette matrice est dégénérée, ce qui signifie que nous ne pouvons pas conclure directement sur la nature du point critique en utilisant les dérivées secondes.}\n\n\n\\item \\question{En étudiant $f(x,x)$, montrer que $f$ n'admet aucun extremum local.}\n\\reponse{Nous avons $f(x,x) = 5x^3$: ainsi, $f$ change de signe autour de $(0;0)$, et donc $f$ n'admet pas d'extremum local en $(0,0)$.\nAinsi, la fonction \$ f(x, y) = x^3 - 3x^2y + y^3 \$ a un point critique en \$(0, 0)\$, qui est un point selle et non un extremum local (ni maximum ni minimum).\n\n\\begin{tikzpicture}\n \\begin{axis}[\n view={30}{30}, \n colormap/cool, \n domain=-3:3, \n samples=40, \n xlabel=$x$, \n ylabel=$y$, \n zlabel={$f(x,y)$}, \n zmax=20, \n zmin=-20 \n ]\n \\addplot3[\n surf, \n ]\n {x^3 - 3*x^2*y + y^3}; \n \\end{axis}\n\\end{tikzpicture} }\n\\end{enumerate}", "html": "

On considère la fonction \$f(x,y)=x^3+3x^2y+y^3\$.

\n" } }, { "id": "4271721f-30a3-45ef-a6e5-b5408936c9f2", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer les dérivées partielles de cette fonction.", "html": "

Calculer les dérivées partielles de cette fonction.

\n" } }, { "id": "87dfbd53-cd71-4d80-84b4-db581ee7b587", "type": "reponse", "value": { "latex": "Les dérivées partielles de \$ f(x, y) \$ sont :\n\n\\[\n\\frac{\\partial f}{\\partial x} = 3x^2 - 6xy\n\\]\n\n\\[\n\\frac{\\partial f}{\\partial y} = -3x^2 + 3y^2\n\\]", "html": "

Les dérivées partielles de \$f(x,\ny)\$ sont :

\\[\\frac{\\partial f}{\\partial x} = 3x^2 -\n6xy\\]

\\[\\frac{\\partial f}{\\partial y} = -3x^2 +\n3y^2\\]

\n" } }, { "id": "89d9c66a-617b-4c3b-8134-70aa732dc919", "type": "question", "value": { "latex": "Rechercher alors les points critiques de cette fonction.", "html": "

Rechercher alors les points critiques de cette fonction.

\n" } }, { "id": "1a5a91fc-18c6-419d-91f6-5ff9f152a12c", "type": "reponse", "value": { "latex": "Les points critiques sont obtenus en résolvant le système d'équations suivant :\n\n\\[\n3x^2 - 6xy = 0 \\quad \\text{(1)}\n\\]\n\\[\n-3x^2 + 3y^2 = 0 \\quad \\text{(2)}\n\\]\n\nRésolvons ce système: De l'équation (1): \$ 3x(x - 2y) = 0 \$ nous déduisons que\n\$ x = 0 \$ ou \$ x = 2y \$.\n\\\\ De l'équation (2): \$-3x^2 + 3y^2 = 0 \$, nous obtenons \$ x^2 = y^2 \$.\nEtudions alors différents cas: \n\\\\ Cas 1 : \$ x = 0 \$ alors de \$ x^2 = y^2 \$, nous obtenons \$ y = 0 \$, d'où $(0,0)$ est un point critique.\n\\\\ Cas 2 : \$ x = 2y \$: alors de \$ (2y)^2 = y^2 \$, nous obtenons \$ 4y^2 = y^2 \$ donc \$ y = 0 \$.\nNous obtenons encore \$(0, 0)\$ pour point critique. \n\\\\ Ainsi, l'unique point critique de cette fonction est \$(0, 0)\$.", "html": "

Les points critiques sont obtenus en résolvant le système d’équations\nsuivant :

\\[3x^2 - 6xy = 0 \\quad \\text{(1)}\\]\n\\[-3x^2 + 3y^2 = 0 \\quad\n\\text{(2)}\\]

Résolvons ce système: De l’équation (1): \$3x(x - 2y) = 0\$ nous déduisons que \$x = 0\$ ou \$x =\n2y\$.
\nDe l’équation (2): \$-3x^2 + 3y^2 =\n0\$, nous obtenons \$x^2 =\ny^2\$. Etudions alors différents cas:
\nCas 1 : \$x = 0\$ alors de \$x^2 = y^2\$, nous obtenons \$y = 0\$, d’où \$(0,0)\$ est un point critique.
\nCas 2 : \$x = 2y\$: alors de \$(2y)^2 = y^2\$, nous obtenons \$4y^2 = y^2\$ donc \$y = 0\$. Nous obtenons encore \$(0, 0)\$ pour point critique.
\nAinsi, l’unique point critique de cette fonction est \$(0, 0)\$.

\n" } }, { "id": "f37212e4-138a-4614-9f6b-335f186f7d9a", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer la Hessienne: pouvez-vous alors conclure à la nature du ou des points critiques de cette fonction ?", "html": "

Calculer la Hessienne: pouvez-vous alors conclure à la nature du ou\ndes points critiques de cette fonction ?

\n" } }, { "id": "3739fefb-e969-4a0f-96f8-75010483cb67", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour déterminer si le point critique \$(0, 0)\$ est un maximum, minimum ou un point selle, nous utilisons le critère de la matrice Hessienne.\nLa matrice Hessienne de \$ f \$ est donnée par :\n\n\\[\nH = \\begin{bmatrix}\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2} & \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y} \\\\\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x} & \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}\n\\end{bmatrix}\n=\n\\begin{bmatrix}\n6x - 6y & -6x \\\\\n-6x & 6y\n\\end{bmatrix}\n\\]\n\nAu point critique \$(0, 0)\$, la matrice Hessienne devient :\n\n\\[\nH(0, 0) = \\begin{bmatrix}\n0 & 0 \\\\\n0 & 0\n\\end{bmatrix}\n\\]\n\nCette matrice est dégénérée, ce qui signifie que nous ne pouvons pas conclure directement sur la nature du point critique en utilisant les dérivées secondes.", "html": "

Pour déterminer si le point critique \$(0,\n0)\$ est un maximum, minimum ou un point selle, nous utilisons le\ncritère de la matrice Hessienne. La matrice Hessienne de \$f\$ est donnée par :

\\[H = \\begin{bmatrix}\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2} & \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x\n\\partial y} \\\\\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x} & \\frac{\\partial^2\nf}{\\partial y^2}\n\\end{bmatrix}\n=\n\\begin{bmatrix}\n6x - 6y & -6x \\\\\n-6x & 6y\n\\end{bmatrix}\\]

Au point critique \$(0, 0)\$, la\nmatrice Hessienne devient :

\\[H(0, 0) = \\begin{bmatrix}\n0 & 0 \\\\\n0 & 0\n\\end{bmatrix}\\]

Cette matrice est dégénérée, ce qui signifie que nous ne pouvons pas\nconclure directement sur la nature du point critique en utilisant les\ndérivées secondes.

\n" } }, { "id": "4e41e253-9bb8-4547-a1af-357ebb3b1807", "type": "question", "value": { "latex": "En étudiant $f(x,x)$, montrer que $f$ n'admet aucun extremum local.", "html": "

En étudiant \$f(x,x)\$, montrer que\n\$f\$ n’admet aucun extremum local.

\n" } }, { "id": "f33c55bf-2e8b-4c23-ae61-211df35851a8", "type": "reponse", "value": { "latex": "Nous avons $f(x,x) = 5x^3$: ainsi, $f$ change de signe autour de $(0;0)$, et donc $f$ n'admet pas d'extremum local en $(0,0)$.\nAinsi, la fonction \$ f(x, y) = x^3 - 3x^2y + y^3 \$ a un point critique en \$(0, 0)\$, qui est un point selle et non un extremum local (ni maximum ni minimum).\n\n\\begin{tikzpicture}\n \\begin{axis}[\n view={30}{30}, \n colormap/cool, \n domain=-3:3, \n samples=40, \n xlabel=$x$, \n ylabel=$y$, \n zlabel={$f(x,y)$}, \n zmax=20, \n zmin=-20 \n ]\n \\addplot3[\n surf, \n ]\n {x^3 - 3*x^2*y + y^3}; \n \\end{axis}\n\\end{tikzpicture}", "html": "

Nous avons \$f(x,x) = 5x^3\$: ainsi,\n\$f\$ change de signe autour de \$(0;0)\$, et donc \$f\$ n’admet pas d’extremum local en \$(0,0)\$. Ainsi, la fonction \$f(x, y) = x^3 - 3x^2y + y^3\$ a un point\ncritique en \$(0, 0)\$, qui est un\npoint selle et non un extremum local (ni maximum ni minimum).

\n" } } ] }, { "uuid": "Opt102", "titre": "Fonction deux variables", "theme": [ "Optimisation" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Jean-François Culus", "createdAt": "2024-11-06T20:22:16.806Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:16.806Z" }, "contenu": [ { "id": "dad7c6f0-a183-4b01-93ed-3c3882428676", "type": "description", "value": { "latex": "Déterminer les extrémums locaux des applications suivantes définies sur $\\R^2$:\n\n\n\\begin{enumerate}\n\\item \n\\question{$f(x,y)= 4x + 2y - x^2- y^2 - 2x^3$}\n\\reponse{\nLes dérivées partielles de \$ f(x, y) \$ sont :\n\n\\[\n\\frac{\\partial f}{\\partial x} = 4-2x-6x^2\n\\]\n\n\\[\n\\frac{\\partial f}{\\partial y} = 2-2y\n\\]\n\nAinsi, recherchons les points critiques, c'est-à-dire vérifiant $\\frac{\\partial f}{\\partial x} (x,y)=\\frac{\\partial f}{\\partial y} (x;y)=0$.\n\\\\ Nous obtenons alors que $6x^2+2x-4=0$ soit $3x^2+x-2=0$. En calculant le discriminant, nous obtenons que \n$\\Delta=25$, donc que les racines de cette équation d'ordre $2$ sont $x=-1$ et $x=2/3$.\nLa seconde condition portant sur $y$ donne $y=1$: ainsi, il y a deux points critiques, \n$A:(-1;1)$ et $B:(2/3;1)$. \n\\\\ Nous savons que si $f$ admet un extremum local, comme $f$ est de classe $\\mathcal{C}^1$ sur $\\R^2$ (c'est une fonction polynomiale en $(x,y)$), celui ci est nécessairement un point critique. \n\nPour déterminer la nature du point critique, calculons la matrice Hessienne: \n\\[\nH(x,y) = \\begin{bmatrix}\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2} & \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y} \\\\\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x} & \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}\n\\end{bmatrix}\n=\n\\begin{bmatrix}\n-2-12x & 0 \\\\\n0 & -2\n\\end{bmatrix}\n\\]\n\nPour le point $A$, nous obtenons alors $H(-1;1)= \\begin{pmatrix} 10 & 0 \\\\ 0 & -2\\end{pmatrix}$ de déterminant \n$-20$. Ainsi, le déterminant étant négatif, $A$ est un point selle. \n\nPour le point $B$, nous obtenons \n$H(2/3;1) = \\begin{pmatrix} -10 & 0 \\\\ 0 & -2\\end{pmatrix}$, de déterminant $20>0$ donc cette fonction admet un extrémum en $B$. Comme $\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}<0$, nous en déduisons que c'est un maximum. \n\n\nAinsi, $f$ admet un maximum local en $B$.\n\n\\begin{tikzpicture}\n \\begin{axis}[\n view={60}{30}, \n colormap/viridis, \n domain=-2:2, \n samples=40, \n xlabel=$x$, \n ylabel=$y$, \n zlabel={$f(x,y)$}, \n zmax=10, \n zmin=-20 \n ]\n \\addplot3[\n surf, \n ]\n {4*x + 2*y - x^2 - y^2 - 2*x^3*y^2}; \n \\end{axis}\n\\end{tikzpicture}\n\n}\n\n\\item \\question{$g(x,y)=xy+x^3y^2$}\n\\reponse{\nLes dérivées partielles de \$ g(x, y) \$ sont :\n\n\\[\n\\frac{\\partial f}{\\partial x} = y+3x^2y^2 \\]\n\\[\n\\frac{\\partial g}{\\partial y} = x+2x^3y \\]\n\nAinsi, recherchons les points critiques, c'est-à-dire vérifiant $\\frac{\\partial g}{\\partial x} (x,y)=\\frac{\\partial g}{\\partial y} (x;y)=0$.\n\\\\ Nous obtenons alors que $y(1+3x^2y)=0$ et $x(1+2x^2y^2)=0$. \n\nRaisonnons alors par disjonction des cas: si $y=0$ (1ere équation), alors nécessairement $x=0$ (seconde équation). \n\\\\ Si $1+3x^2y=0$, alors si $x=0$ ce qui est absurde ($1=0$), soit c'est $1+2x^2y=0$.\nCela conduit alors à $x^2y=0$, d'où $x=0$ ou $y=0$, ce qui est ici absurde (hypothèse $1+3x^2y=0$).\n\nNous en déduisons donc que l'unique point critique de la fonction $g$ est le point $(0;0)$.\n\nReste à étudier si ce point est un extrémum local ou non. \nPour ce faire, calculons la Hessienne de cette fonction. Nous obtenons:\n\n\\[\nH(x,y) = \\begin{bmatrix}\n\\frac{\\partial^2 g}{\\partial x^2} & \\frac{\\partial^2 g}{\\partial x \\partial y} \\\\\n\\frac{\\partial^2 g}{\\partial y \\partial x} & \\frac{\\partial^2 g}{\\partial y^2}\n\\end{bmatrix}\n=\n\\begin{bmatrix}\n6xy^2 & 1+6x^2y \\\\\n1+6xy & 2x^3 \n\\end{bmatrix}\n\\]\n\nAinsi, l'évaluation de la Hessienne au point critique $(0,0)$ donne $H(0,0)=\\begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1&0\\end{pmatrix}$. Son déterminant est négatif, d'où $(0,0)$ est un point selle. \nLa fonction $g$ n'admet donc ni minimum ni maximum local. \n\nPour le point $A$, nous obtenons alors $H(-1;1)= \\begin{pmatrix} 10 & 0 \\\\ 0 & -2\\end{pmatrix}$ de déterminant \n$-20$. Ainsi, le déterminant étant négatif, $A$ est un point selle. \n\nPour le point $B$, nous obtenons \n$H(2/3;1) = \\begin{pmatrix} -10 & 0 \\\\ 0 & -2\\end{pmatrix}$, de déterminant $20>0$ donc cette fonction admet un extrémum en $B$. Comme $\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}<0$, nous en déduisons que c'est un maximum. \n\n\n\\begin{tikzpicture}\n \\begin{axis}[\n view={60}{30}, \n colormap/viridis, \n domain=-2:2, \n samples=40, \n xlabel=$x$, \n ylabel=$y$, \n zlabel={$g(x,y)$}, \n zmax=10, \n zmin=-10 \n ]\n \\addplot3[\n surf, \n shader=interp, \n ]\n {x*y + x^3*y^2}; \n \\end{axis}\n\\end{tikzpicture}\n\n}\n\\end{enumerate}", "html": "

Déterminer les extrémums locaux des applications suivantes définies\nsur \$\\R^2\$:

\n" } }, { "id": "ee2fadec-b1cd-4096-9ba6-4126ccf517ce", "type": "question", "value": { "latex": "$f(x,y)= 4x + 2y - x^2- y^2 - 2x^3$", "html": "

\$f(x,y)= 4x + 2y - x^2- y^2 -\n2x^3\$

\n" } }, { "id": "8c97588d-6d19-4fe0-9cbc-a6ffda11304b", "type": "reponse", "value": { "latex": "Les dérivées partielles de \$ f(x, y) \$ sont :\n\n\\[\n\\frac{\\partial f}{\\partial x} = 4-2x-6x^2\n\\]\n\n\\[\n\\frac{\\partial f}{\\partial y} = 2-2y\n\\]\n\nAinsi, recherchons les points critiques, c'est-à-dire vérifiant $\\frac{\\partial f}{\\partial x} (x,y)=\\frac{\\partial f}{\\partial y} (x;y)=0$.\n\\\\ Nous obtenons alors que $6x^2+2x-4=0$ soit $3x^2+x-2=0$. En calculant le discriminant, nous obtenons que \n$\\Delta=25$, donc que les racines de cette équation d'ordre $2$ sont $x=-1$ et $x=2/3$.\nLa seconde condition portant sur $y$ donne $y=1$: ainsi, il y a deux points critiques, \n$A:(-1;1)$ et $B:(2/3;1)$. \n\\\\ Nous savons que si $f$ admet un extremum local, comme $f$ est de classe $\\mathcal{C}^1$ sur $\\R^2$ (c'est une fonction polynomiale en $(x,y)$), celui ci est nécessairement un point critique. \n\nPour déterminer la nature du point critique, calculons la matrice Hessienne: \n\\[\nH(x,y) = \\begin{bmatrix}\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2} & \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y} \\\\\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x} & \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}\n\\end{bmatrix}\n=\n\\begin{bmatrix}\n-2-12x & 0 \\\\\n0 & -2\n\\end{bmatrix}\n\\]\n\nPour le point $A$, nous obtenons alors $H(-1;1)= \\begin{pmatrix} 10 & 0 \\\\ 0 & -2\\end{pmatrix}$ de déterminant \n$-20$. Ainsi, le déterminant étant négatif, $A$ est un point selle. \n\nPour le point $B$, nous obtenons \n$H(2/3;1) = \\begin{pmatrix} -10 & 0 \\\\ 0 & -2\\end{pmatrix}$, de déterminant $20>0$ donc cette fonction admet un extrémum en $B$. Comme $\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}<0$, nous en déduisons que c'est un maximum. \n\n\nAinsi, $f$ admet un maximum local en $B$.\n\n\\begin{tikzpicture}\n \\begin{axis}[\n view={60}{30}, \n colormap/viridis, \n domain=-2:2, \n samples=40, \n xlabel=$x$, \n ylabel=$y$, \n zlabel={$f(x,y)$}, \n zmax=10, \n zmin=-20 \n ]\n \\addplot3[\n surf, \n ]\n {4*x + 2*y - x^2 - y^2 - 2*x^3*y^2}; \n \\end{axis}\n\\end{tikzpicture}", "html": "

Les dérivées partielles de \$f(x,\ny)\$ sont :

\\[\\frac{\\partial f}{\\partial x} =\n4-2x-6x^2\\]

\\[\\frac{\\partial f}{\\partial y} =\n2-2y\\]

Ainsi, recherchons les points critiques, c’est-à-dire vérifiant \$\\frac{\\partial f}{\\partial x} (x,y)=\\frac{\\partial\nf}{\\partial y} (x;y)=0\$.
\nNous obtenons alors que \$6x^2+2x-4=0\$\nsoit \$3x^2+x-2=0\$. En calculant le\ndiscriminant, nous obtenons que \$\\Delta=25\$, donc que les racines de cette\néquation d’ordre \$2\$ sont \$x=-1\$ et \$x=2/3\$. La seconde condition portant sur\n\$y\$ donne \$y=1\$: ainsi, il y a deux points critiques,\n\$A:(-1;1)\$ et \$B:(2/3;1)\$.
\nNous savons que si \$f\$ admet un\nextremum local, comme \$f\$ est de\nclasse \$\\mathcal{C}^1\$ sur \$\\R^2\$ (c’est une fonction polynomiale en\n\$(x,y)\$), celui ci est nécessairement\nun point critique.

Pour déterminer la nature du point critique, calculons la matrice\nHessienne: \\[H(x,y) = \\begin{bmatrix}\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2} & \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x\n\\partial y} \\\\\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x} & \\frac{\\partial^2\nf}{\\partial y^2}\n\\end{bmatrix}\n=\n\\begin{bmatrix}\n-2-12x & 0 \\\\\n0 & -2\n\\end{bmatrix}\\]

Pour le point \$A\$, nous obtenons\nalors \$H(-1;1)= \\begin{pmatrix} 10 & 0 \\\\\n0 & -2\\end{pmatrix}\$ de déterminant \$-20\$. Ainsi, le déterminant étant négatif,\n\$A\$ est un point selle.

Pour le point \$B\$, nous obtenons\n\$H(2/3;1) = \\begin{pmatrix} -10 & 0 \\\\ 0\n& -2\\end{pmatrix}\$, de déterminant \$20>0\$ donc cette fonction admet un\nextrémum en \$B\$. Comme \$\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}<0\$,\nnous en déduisons que c’est un maximum.

Ainsi, \$f\$ admet un maximum local\nen \$B\$.

\n" } }, { "id": "9a5114f1-2b70-4971-8303-4ccaeefd89d7", "type": "question", "value": { "latex": "$g(x,y)=xy+x^3y^2$", "html": "

\$g(x,y)=xy+x^3y^2\$

\n" } }, { "id": "f490c69d-68cf-4706-8cca-21762dad575b", "type": "reponse", "value": { "latex": "Les dérivées partielles de \$ g(x, y) \$ sont :\n\n\\[\n\\frac{\\partial f}{\\partial x} = y+3x^2y^2 \\]\n\\[\n\\frac{\\partial g}{\\partial y} = x+2x^3y \\]\n\nAinsi, recherchons les points critiques, c'est-à-dire vérifiant $\\frac{\\partial g}{\\partial x} (x,y)=\\frac{\\partial g}{\\partial y} (x;y)=0$.\n\\\\ Nous obtenons alors que $y(1+3x^2y)=0$ et $x(1+2x^2y^2)=0$. \n\nRaisonnons alors par disjonction des cas: si $y=0$ (1ere équation), alors nécessairement $x=0$ (seconde équation). \n\\\\ Si $1+3x^2y=0$, alors si $x=0$ ce qui est absurde ($1=0$), soit c'est $1+2x^2y=0$.\nCela conduit alors à $x^2y=0$, d'où $x=0$ ou $y=0$, ce qui est ici absurde (hypothèse $1+3x^2y=0$).\n\nNous en déduisons donc que l'unique point critique de la fonction $g$ est le point $(0;0)$.\n\nReste à étudier si ce point est un extrémum local ou non. \nPour ce faire, calculons la Hessienne de cette fonction. Nous obtenons:\n\n\\[\nH(x,y) = \\begin{bmatrix}\n\\frac{\\partial^2 g}{\\partial x^2} & \\frac{\\partial^2 g}{\\partial x \\partial y} \\\\\n\\frac{\\partial^2 g}{\\partial y \\partial x} & \\frac{\\partial^2 g}{\\partial y^2}\n\\end{bmatrix}\n=\n\\begin{bmatrix}\n6xy^2 & 1+6x^2y \\\\\n1+6xy & 2x^3 \n\\end{bmatrix}\n\\]\n\nAinsi, l'évaluation de la Hessienne au point critique $(0,0)$ donne $H(0,0)=\\begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1&0\\end{pmatrix}$. Son déterminant est négatif, d'où $(0,0)$ est un point selle. \nLa fonction $g$ n'admet donc ni minimum ni maximum local. \n\nPour le point $A$, nous obtenons alors $H(-1;1)= \\begin{pmatrix} 10 & 0 \\\\ 0 & -2\\end{pmatrix}$ de déterminant \n$-20$. Ainsi, le déterminant étant négatif, $A$ est un point selle. \n\nPour le point $B$, nous obtenons \n$H(2/3;1) = \\begin{pmatrix} -10 & 0 \\\\ 0 & -2\\end{pmatrix}$, de déterminant $20>0$ donc cette fonction admet un extrémum en $B$. Comme $\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}<0$, nous en déduisons que c'est un maximum. \n\n\n\\begin{tikzpicture}\n \\begin{axis}[\n view={60}{30}, \n colormap/viridis, \n domain=-2:2, \n samples=40, \n xlabel=$x$, \n ylabel=$y$, \n zlabel={$g(x,y)$}, \n zmax=10, \n zmin=-10 \n ]\n \\addplot3[\n surf, \n shader=interp, \n ]\n {x*y + x^3*y^2}; \n \\end{axis}\n\\end{tikzpicture}", "html": "

Les dérivées partielles de \$g(x,\ny)\$ sont :

\\[\\frac{\\partial f}{\\partial x} =\ny+3x^2y^2\\] \\[\\frac{\\partial\ng}{\\partial y} = x+2x^3y\\]

Ainsi, recherchons les points critiques, c’est-à-dire vérifiant \$\\frac{\\partial g}{\\partial x} (x,y)=\\frac{\\partial\ng}{\\partial y} (x;y)=0\$.
\nNous obtenons alors que \$y(1+3x^2y)=0\$ et \$x(1+2x^2y^2)=0\$.

Raisonnons alors par disjonction des cas: si \$y=0\$ (1ere équation), alors nécessairement\n\$x=0\$ (seconde équation).
\nSi \$1+3x^2y=0\$, alors si \$x=0\$ ce qui est absurde (\$1=0\$), soit c’est \$1+2x^2y=0\$. Cela conduit alors à \$x^2y=0\$, d’où \$x=0\$ ou \$y=0\$, ce qui est ici absurde (hypothèse\n\$1+3x^2y=0\$).

Nous en déduisons donc que l’unique point critique de la fonction\n\$g\$ est le point \$(0;0)\$.

Reste à étudier si ce point est un extrémum local ou non. Pour ce\nfaire, calculons la Hessienne de cette fonction. Nous obtenons:

\\[H(x,y) = \\begin{bmatrix}\n\\frac{\\partial^2 g}{\\partial x^2} & \\frac{\\partial^2 g}{\\partial x\n\\partial y} \\\\\n\\frac{\\partial^2 g}{\\partial y \\partial x} & \\frac{\\partial^2\ng}{\\partial y^2}\n\\end{bmatrix}\n=\n\\begin{bmatrix}\n6xy^2 & 1+6x^2y \\\\\n1+6xy & 2x^3 \n\\end{bmatrix}\\]

Ainsi, l’évaluation de la Hessienne au point critique \$(0,0)\$ donne \$H(0,0)=\\begin{pmatrix} 0 & 1\\\\\n1&0\\end{pmatrix}\$. Son déterminant est négatif, d’où \$(0,0)\$ est un point selle. La fonction\n\$g\$ n’admet donc ni minimum ni\nmaximum local.

\n" } } ] }, { "uuid": "o5At", "titre": "Fonction deux variables", "theme": [ "Optimisation" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Jean-François Culus", "createdAt": "2024-11-06T20:22:45.308Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:45.308Z" }, "contenu": [ { "id": "20abef79-d72d-4ec6-b613-d6c66898e2ff", "type": "description", "value": { "latex": "Déterminer les extrémums locaux des applications suivantes définies sur $\\R^2$:", "html": "

Déterminer les extrémums locaux des applications suivantes définies\nsur \$\\R^2\$:

\n" } }, { "id": "7a23afee-65e1-4c67-a35a-d830f1e272e0", "type": "question", "value": { "latex": "$f(x,y)= 4x + 2y - x^2- y^2 - 2x^3$", "html": "

\$f(x,y)= 4x + 2y - x^2- y^2 -\n2x^3\$

\n" } }, { "id": "3a2ce995-6e25-434e-b219-f559d644508e", "type": "reponse", "value": { "latex": "Les dérivées partielles de \$ f(x, y) \$ sont :\n\n\\[\n\\frac{\\partial f}{\\partial x} = 4-2x-6x^2\n\\]\n\n\\[\n\\frac{\\partial f}{\\partial y} = 2-2y\n\\]\n\nAinsi, recherchons les points critiques, c'est-à-dire vérifiant $\\frac{\\partial f}{\\partial x} (x,y)=\\frac{\\partial f}{\\partial y} (x;y)=0$.\n\\\\ Nous obtenons alors que $6x^2+2x-4=0$ soit $3x^2+x-2=0$. En calculant le discriminant, nous obtenons que \n$\\Delta=25$, donc que les racines de cette équation d'ordre $2$ sont $x=-1$ et $x=2/3$.\nLa seconde condition portant sur $y$ donne $y=1$: ainsi, il y a deux points critiques, \n$A:(-1;1)$ et $B:(2/3;1)$. \n\\\\ Nous savons que si $f$ admet un extremum local, comme $f$ est de classe $\\mathcal{C}^1$ sur $\\R^2$ (c'est une fonction polynomiale en $(x,y)$), celui ci est nécessairement un point critique. \n\nPour déterminer la nature du point critique, calculons la matrice Hessienne: \n\\[\nH(x,y) = \\begin{bmatrix}\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2} & \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y} \\\\\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x} & \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}\n\\end{bmatrix}\n=\n\\begin{bmatrix}\n-2-12x & 0 \\\\\n0 & -2\n\\end{bmatrix}\n\\]\n\nPour le point $A$, nous obtenons alors $H(-1;1)= \\begin{pmatrix} 10 & 0 \\\\ 0 & -2\\end{pmatrix}$ de déterminant \n$-20$. Ainsi, le déterminant étant négatif, $A$ est un point selle. \n\nPour le point $B$, nous obtenons \n$H(2/3;1) = \\begin{pmatrix} -10 & 0 \\\\ 0 & -2\\end{pmatrix}$, de déterminant $20>0$ donc cette fonction admet un extrémum en $B$. Comme $\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}<0$, nous en déduisons que c'est un maximum. \n\n\nAinsi, $f$ admet un maximum local en $B$.\n\n\\begin{tikzpicture}\n \\begin{axis}[\n view={60}{30}, \n colormap/viridis, \n domain=-2:2, \n samples=40, \n xlabel=$x$, \n ylabel=$y$, \n zlabel={$f(x,y)$}, \n zmax=10, \n zmin=-20 \n ]\n \\addplot3[\n surf, \n ]\n {4*x + 2*y - x^2 - y^2 - 2*x^3*y^2}; \n \\end{axis}\n\\end{tikzpicture}", "html": "

Les dérivées partielles de \$f(x,\ny)\$ sont :

\\[\\frac{\\partial f}{\\partial x} =\n4-2x-6x^2\\]

\\[\\frac{\\partial f}{\\partial y} =\n2-2y\\]

Ainsi, \$f\$ admet un maximum local\nen \$B\$.

\n" } }, { "id": "ccbba1c8-4424-4caf-a589-8d82cde24773", "type": "question", "value": { "latex": "$g(x,y)=xy+x^3y^2$", "html": "

\$g(x,y)=xy+x^3y^2\$

\n" } }, { "id": "5c73b4e3-89b3-4580-a8db-16dedf4d5f69", "type": "reponse", "value": { "latex": "Les dérivées partielles de \$ g(x, y) \$ sont :\n\n\\[\n\\frac{\\partial f}{\\partial x} = y+3x^2y^2 \\]\n\\[\n\\frac{\\partial g}{\\partial y} = x+2x^3y \\]\n\nAinsi, recherchons les points critiques, c'est-à-dire vérifiant $\\frac{\\partial g}{\\partial x} (x,y)=\\frac{\\partial g}{\\partial y} (x;y)=0$.\n\\\\ Nous obtenons alors que $y(1+3x^2y)=0$ et $x(1+2x^2y^2)=0$. \n\nRaisonnons alors par disjonction des cas: si $y=0$ (1ere équation), alors nécessairement $x=0$ (seconde équation). \n\\\\ Si $1+3x^2y=0$, alors si $x=0$ ce qui est absurde ($1=0$), soit c'est $1+2x^2y=0$.\nCela conduit alors à $x^2y=0$, d'où $x=0$ ou $y=0$, ce qui est ici absurde (hypothèse $1+3x^2y=0$).\n\nNous en déduisons donc que l'unique point critique de la fonction $g$ est le point $(0;0)$.\n\nReste à étudier si ce point est un extrémum local ou non. \nPour ce faire, calculons la Hessienne de cette fonction. Nous obtenons:\n\n\\[\nH(x,y) = \\begin{bmatrix}\n\\frac{\\partial^2 g}{\\partial x^2} & \\frac{\\partial^2 g}{\\partial x \\partial y} \\\\\n\\frac{\\partial^2 g}{\\partial y \\partial x} & \\frac{\\partial^2 g}{\\partial y^2}\n\\end{bmatrix}\n=\n\\begin{bmatrix}\n6xy^2 & 1+6x^2y \\\\\n1+6xy & 2x^3 \n\\end{bmatrix}\n\\]\n\nAinsi, l'évaluation de la Hessienne au point critique $(0,0)$ donne $H(0,0)=\\begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1&0\\end{pmatrix}$. Son déterminant est négatif, d'où $(0,0)$ est un point selle. \nLa fonction $g$ n'admet donc ni minimum ni maximum local. \n\nPour le point $A$, nous obtenons alors $H(-1;1)= \\begin{pmatrix} 10 & 0 \\\\ 0 & -2\\end{pmatrix}$ de déterminant \n$-20$. Ainsi, le déterminant étant négatif, $A$ est un point selle. \n\nPour le point $B$, nous obtenons \n$H(2/3;1) = \\begin{pmatrix} -10 & 0 \\\\ 0 & -2\\end{pmatrix}$, de déterminant $20>0$ donc cette fonction admet un extrémum en $B$. Comme $\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}<0$, nous en déduisons que c'est un maximum. \n\n\n\\begin{tikzpicture}\n \\begin{axis}[\n view={60}{30}, \n colormap/viridis, \n domain=-2:2, \n samples=40, \n xlabel=$x$, \n ylabel=$y$, \n zlabel={$g(x,y)$}, \n zmax=10, \n zmin=-10 \n ]\n \\addplot3[\n surf, \n shader=interp, \n ]\n {x*y + x^3*y^2}; \n \\end{axis}\n\\end{tikzpicture}", "html": "

Les dérivées partielles de \$g(x,\ny)\$ sont :

\\[\\frac{\\partial f}{\\partial x} =\ny+3x^2y^2\\] \\[\\frac{\\partial\ng}{\\partial y} = x+2x^3y\\]

Nous en déduisons donc que l’unique point critique de la fonction\n\$g\$ est le point \$(0;0)\$.

Reste à étudier si ce point est un extrémum local ou non. Pour ce\nfaire, calculons la Hessienne de cette fonction. Nous obtenons:

\n" } } ] }, { "uuid": "qGRj", "titre": "Fonction deux variables", "theme": [ "Optimisation" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Jean-François Culus", "createdAt": "2024-11-06T20:22:47.225Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:47.225Z" }, "contenu": [ { "id": "75004e2e-1a8b-4736-9066-bee5c62e9d33", "type": "description", "value": { "latex": "On considère la fonction $f(x,y)=x^3-3x^2y+y^3$.", "html": "

On considère la fonction \$f(x,y)=x^3-3x^2y+y^3\$.

\n" } }, { "id": "6801f663-c889-48dc-aee0-efe3ca156d1a", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer les dérivées partielles de cette fonction.", "html": "

Calculer les dérivées partielles de cette fonction.

\n" } }, { "id": "ecd8d1f3-3485-4e96-baee-42666b1f2b41", "type": "reponse", "value": { "latex": "Les dérivées partielles de \$ f(x, y) \$ sont :\n\n\\[\n\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) = 3x^2 - 6xy \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) = -3x^2 + 3y^2\n\\]", "html": "

Les dérivées partielles de \$f(x,\ny)\$ sont :

\\[\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) =\n3x^2 - 6xy \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) = -3x^2 +\n3y^2\\]

\n" } }, { "id": "c280b096-78eb-473d-88a9-496843568c49", "type": "question", "value": { "latex": "Rechercher alors les points critiques de cette fonction.", "html": "

Rechercher alors les points critiques de cette fonction.

\n" } }, { "id": "3292da1c-6b71-4e67-a563-9fff031ea157", "type": "reponse", "value": { "latex": "Les points critiques sont obtenus en résolvant le système d'équations suivant :\n\\[\n\\begin{cases}\n3x^2 - 6xy = 0 & \\quad \\text{(1)} \\\\\n-3x^2 + 3y^2 = 0 & \\quad \\text{(2)}\n\\end{cases}\n\\]\n\nRésolvons ce système: De l'équation (1): \$ 3x(x - 2y) = 0 \$ nous déduisons que\n\$ x = 0 \$ ou \$ x = 2y \$.\n\\\\ De l'équation (2): \$-3x^2 + 3y^2 = 0 \$, nous obtenons \$ x^2 = y^2 \$.\nEtudions alors différents cas: \n\\\\ Cas 1 : \$ x = 0 \$ alors de \$ x^2 = y^2 \$, nous obtenons \$ y = 0 \$, d'où $(0,0)$ est un point critique.\n\\\\ Cas 2 : \$ x = 2y \$: alors de \$ (2y)^2 = y^2 \$, nous obtenons \$ 4y^2 = y^2 \$ donc \$ y = 0 \$.\nNous obtenons encore \$(0, 0)\$ pour point critique. \n\\\\ Ainsi, l'unique point critique de cette fonction est \$(0, 0)\$.", "html": "

Les points critiques sont obtenus en résolvant le système d’équations\nsuivant : \\[\\begin{cases}\n3x^2 - 6xy = 0 & \\quad \\text{(1)} \\\\\n-3x^2 + 3y^2 = 0 & \\quad \\text{(2)}\n\\end{cases}\\]

\n" } }, { "id": "82658bbc-8cc1-49f7-8221-832338f0b28e", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer la Hessienne: pouvez-vous alors conclure à la nature du ou des points critiques de cette fonction ?", "html": "

Calculer la Hessienne: pouvez-vous alors conclure à la nature du ou\ndes points critiques de cette fonction ?

\n" } }, { "id": "174ea157-e8b4-4d35-882a-9fa35cc5cde2", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour déterminer si le point critique \$(0, 0)\$ est un maximum, minimum ou un point selle, nous utilisons le critère de la matrice Hessienne.\nLa matrice Hessienne de \$ f \$ est donnée par :\n\n\\[\nH = \\begin{bmatrix}\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2} & \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y} \\\\\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x} & \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}\n\\end{bmatrix}\n=\n\\begin{bmatrix}\n6x - 6y & -6x \\\\\n-6x & 6y\n\\end{bmatrix}\n\\]\n\nAu point critique \$(0, 0)\$, la matrice Hessienne devient :\n\n\\[\nH(0, 0) = \\begin{bmatrix}\n0 & 0 \\\\\n0 & 0\n\\end{bmatrix}\n\\]\n\nCette matrice est dégénérée, ce qui signifie que nous ne pouvons pas conclure directement sur la nature du point critique en utilisant les dérivées secondes.", "html": "

Pour déterminer si le point critique \$(0,\n0)\$ est un maximum, minimum ou un point selle, nous utilisons le\ncritère de la matrice Hessienne. La matrice Hessienne de \$f\$ est donnée par :

Au point critique \$(0, 0)\$, la\nmatrice Hessienne devient :

\\[H(0, 0) = \\begin{bmatrix}\n0 & 0 \\\\\n0 & 0\n\\end{bmatrix}\\]

Cette matrice est dégénérée, ce qui signifie que nous ne pouvons pas\nconclure directement sur la nature du point critique en utilisant les\ndérivées secondes.

\n" } }, { "id": "8cb6d502-c90d-4fbd-8b48-822818870f01", "type": "question", "value": { "latex": "En étudiant $f(x,x)$, montrer que $f$ n'admet aucun extremum local.", "html": "

En étudiant \$f(x,x)\$, montrer que\n\$f\$ n’admet aucun extremum local.

\n" } }, { "id": "f53ffd36-40ce-4471-9339-871920b9e8cd", "type": "reponse", "value": { "latex": "Nous avons $f(x,x) = -x^3$: ainsi, $f$ change de signe autour de $(0;0)$, et donc $f$ n'admet pas d'extremum local en $(0,0)$.\nAinsi, la fonction \$ f(x, y) = x^3 - 3x^2y + y^3 \$ a un point critique en \$(0, 0)\$, qui est un point selle et non un extremum local (ni maximum ni minimum).\n\n\\href{https://www.geogebra.org/3d/mtssxpfd}{https://www.geogebra.org/3d/mtssxpfd}\n\n\\begin{tikzpicture}\n \\begin{axis}[\n view={30}{30}, \n colormap/cool, \n domain=-3:3, \n samples=40, \n xlabel=$x$, \n ylabel=$y$, \n zlabel={$f(x,y)$}, \n zmax=20, \n zmin=-20 \n ]\n \\addplot3[\n surf, \n ]\n {x^3 - 3*x^2*y + y^3}; \n \\end{axis}\n\\end{tikzpicture}", "html": "

Nous avons \$f(x,x) = -x^3\$: ainsi,\n\$f\$ change de signe autour de \$(0;0)\$, et donc \$f\$ n’admet pas d’extremum local en \$(0,0)\$. Ainsi, la fonction \$f(x, y) = x^3 - 3x^2y + y^3\$ a un point\ncritique en \$(0, 0)\$, qui est un\npoint selle et non un extremum local (ni maximum ni minimum).

https://www.geogebra.org/3d/mtssxpfd

\n" } } ] }, { "uuid": "8SbE", "titre": "Fonction périodique et série de Fourier", "theme": [ "séries de fourier" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:59.924Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:59.924Z" }, "contenu": [ { "id": "b92bb3b2-5b36-4b2a-b086-3eab76780e4a", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer la série de Fourier trigonométrique de $f$.", "html": "

Calculer la série de Fourier trigonométrique de \$f\$.

\n" } }, { "id": "624a3318-8b8a-4bcb-a8db-6cebc68ebf97", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $f$ étant paire, les coefficients de Fourier $b_n(f)$ sont nuls et pour tout $n \\geq 1$ : \n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\ta_n(f) &= \\frac{2}{\\pi} \\int_0^{\\pi} (\\pi-t)\\cos(nt)\\mathrm{d}t \\\\\n\t\t\t&= 0 - \\frac{2}{\\pi} \\int_0^{\\pi} t\\cos(nt)\\mathrm{d}t \\\\\n\t\t\t&= -\\frac{2}{\\pi} \\left[\\frac{t}{n}\\sin(nt)\\right]_0^{\\pi} + \\frac{2}{\\pi} \\int_0^\\pi \\frac{1}{n}\\sin(nt)\\mathrm{d}t \\\\\n\t\t\t&= 0 + \\frac{2}{n\\pi}\\left[\\frac{-1}{n}\\cos(nt)\\right]_0^{\\pi} \\\\\n\t\t\t&= \\frac{2}{n^2\\pi}(1-(-1)^n) \\\\\n\t\t\t&= \\begin{cases}\n\t\t\t\t0 & \\text{si $n$ pair} \\\\\n\t\t\t\t\\frac{4}{n^2\\pi} & \\text{si $n$ impair} \n\t\t\t\\end{cases} \n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tDe plus, $a_0(f) = \\frac{2}{\\pi}\\int_0^{\\pi} (\\pi-t) \\mathrm{d}t = \t\\pi$. \n\t\tDonc la série de Fourier est $\\displaystyle S_n(f) = \\frac{\\pi}{2} + \\sum_{n \\geq 0} \\frac{4}{(2n+1)^2\\pi} \\cos((2n+1)x)$.", "html": "

La fonction \$f\$ étant paire, les\ncoefficients de Fourier \$b_n(f)\$ sont\nnuls et pour tout \$n \\geq 1\$ : \\[\\begin{align*}\n a_n(f) &= \\frac{2}{\\pi} \\int_0^{\\pi}\n(\\pi-t)\\cos(nt)\\mathrm{d}t \\\\\n &= 0 - \\frac{2}{\\pi} \\int_0^{\\pi} t\\cos(nt)\\mathrm{d}t\n\\\\\n &= -\\frac{2}{\\pi}\n\\left[\\frac{t}{n}\\sin(nt)\\right]_0^{\\pi} + \\frac{2}{\\pi} \\int_0^\\pi\n\\frac{1}{n}\\sin(nt)\\mathrm{d}t \\\\\n &= 0 +\n\\frac{2}{n\\pi}\\left[\\frac{-1}{n}\\cos(nt)\\right]_0^{\\pi} \\\\\n &= \\frac{2}{n^2\\pi}(1-(-1)^n) \\\\\n &= \\begin{cases}\n 0 & \\text{si $n$ pair} \\\\\n \\frac{4}{n^2\\pi} & \\text{si $n$ impair}\n \\end{cases}\n \\end{align*}\\] De plus, \$a_0(f) = \\frac{2}{\\pi}\\int_0^{\\pi} (\\pi-t)\n\\mathrm{d}t = \\pi\$. Donc la série de Fourier est \$\\displaystyle S_n(f) = \\frac{\\pi}{2} + \\sum_{n\n\\geq 0} \\frac{4}{(2n+1)^2\\pi} \\cos((2n+1)x)\$.

\n" } }, { "id": "86de35fd-626c-4eb3-ae03-3d29b93e55cb", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire la valeur de la somme $\\displaystyle \\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{1}{(2n+1)^2}$.", "html": "

En déduire la valeur de la somme \$\\displaystyle \\sum_{n=0}^{+\\infty}\n\\frac{1}{(2n+1)^2}\$.

\n" } }, { "id": "21a62164-90d7-4310-8765-a52ff0a4be01", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $f$ est continue sur $\\R$ donc d'après le théorème de Dirichlet, pour tout $x \\in \\R$, $$f(x) = \\frac{\\pi}{2} + \\sum_{n = 0}^{+\\infty} \\frac{4}{(2n+1)^2\\pi} \\cos((2n+1)x)$$\n\t\tDonc en particulier pour $x = 0$, on a \n\t\t$$f(0) = \\sum_{n = 0}^{+\\infty} \\frac{4}{(2n+1)^2\\pi}$$\n\t\tOr $f(0) = \\pi$ donc \n\t\t$$\\pi = \\frac{\\pi}{2} + \\sum_{n = 0}^{+\\infty} \\frac{4}{(2n+1)^2\\pi}$$\n\t\tdonc $$\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{1}{(2n+1)^2} = \\frac{\\pi^2}{8}$$", "html": "

La fonction \$f\$ est continue sur\n\$\\R\$ donc d’après le théorème de\nDirichlet, pour tout \$x \\in \\R\$,\n\\[f(x) = \\frac{\\pi}{2} + \\sum_{n =\n0}^{+\\infty} \\frac{4}{(2n+1)^2\\pi} \\cos((2n+1)x)\\] Donc en\nparticulier pour \$x = 0\$, on a \\[f(0) = \\sum_{n = 0}^{+\\infty}\n\\frac{4}{(2n+1)^2\\pi}\\] Or \$f(0) =\n\\pi\$ donc \\[\\pi = \\frac{\\pi}{2} +\n\\sum_{n = 0}^{+\\infty} \\frac{4}{(2n+1)^2\\pi}\\] donc \\[\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{1}{(2n+1)^2} =\n\\frac{\\pi^2}{8}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "Louq", "titre": "Fonctions de répartition et changement de variable", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:14.958Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:14.958Z" }, "contenu": [ { "id": "f216e672-5b04-4a36-b0cb-924578c4a69b", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $[0;1]$. On rappelle que $X$ admet pour densité : $$f(x)=\\textbf{1}_{[0;1]}(x)$$", "html": "

Soit \$X\$ une variable aléatoire\nsuivant une loi uniforme sur \$[0;1]\$.\nOn rappelle que \$X\$ admet pour\ndensité : \\[f(x)=\\textbf{1}_{[0;1]}(x)\\]

\n" } }, { "id": "3c5bd381-e309-4851-8e15-9315cec3c35f", "type": "question", "value": { "latex": "A l'aide d'une fonction de répartition, déterminer la loi de la variable aléatoire $2X$.", "html": "

A l’aide d’une fonction de répartition, déterminer la loi de la\nvariable aléatoire \$2X\$.

\n" } }, { "id": "72a3a7c5-0544-40c5-8746-9e4a591249de", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $t \\in \\R$ et $F_{2X}$ la fonction de répartition de la variable aléatoire $2X$ : alors\n $$\\begin{align*}\n F_{2X}(t) &= \\PP(2X \\leq t) \\\\\n &= \\PP\\left(X \\leq \\frac{t}{2}\\right)\\\\\n &= \\int_{-\\infty}^{\\frac{t}{2}} 1_{[0;1]}(x) dx\\\\\n &=\\begin{cases}\n 0& \\text{ si } t \\leq 0 \\\\\n \\frac{t}{2} & \\text{ si } 0 < t \\leq 2 \\\\\n 1 & \\text{ si } t \\geq 2\n \\end{cases}\n \\end{align*}$$\t\nLa fonction $F_{2X}$ est dérivable presque partout (sauf en ${0}$ et en $2$). Sa dérivée coïncide donc presque partout avec une fonction densité $g$ de la variable $2X$. On peut donc poser \n$$g(x)=\\frac{1}{2}\\textbf{1}_{[0;2]}(x)$$\net on conclut que $2X$ suit une loi uniforme sur $[0;2]$.", "html": "

Soit \$t \\in \\R\$ et \$F_{2X}\$ la fonction de répartition de la\nvariable aléatoire \$2X\$ : alors \\[\\begin{align*}\nF_{2X}(t) &= \\PP(2X \\leq t) \\\\\n &= \\PP\\left(X \\leq \\frac{t}{2}\\right)\\\\\n &= \\int_{-\\infty}^{\\frac{t}{2}} 1_{[0;1]}(x) dx\\\\\n &=\\begin{cases}\n 0& \\text{ si } t \\leq 0 \\\\\n \\frac{t}{2} & \\text{ si } 0 < t \\leq 2 \\\\\n 1 & \\text{ si } t \\geq 2\n \\end{cases}\n\\end{align*}\\] La fonction \$F_{2X}\$ est dérivable presque partout\n(sauf en \${0}\$ et en \$2\$). Sa dérivée coïncide donc presque\npartout avec une fonction densité \$g\$\nde la variable \$2X\$. On peut donc\nposer \\[g(x)=\\frac{1}{2}\\textbf{1}_{[0;2]}(x)\\] et\non conclut que \$2X\$ suit une loi\nuniforme sur \$[0;2]\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "tNNT", "titre": "Fonctions de répartition et changement de variable", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:50.989Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:50.989Z" }, "contenu": [ { "id": "7ada9b20-5541-4182-91e4-4c079dd8a36b", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $f$ une fonction réelle définie par \n $$f(x)=\\begin{cases}\n xe^{-\\frac{x^2}{2}}& \\text{ si } x \\geq 0 \\\\\n 0 & \\text{ si } x < 0\n \\end{cases}$$", "html": "

Soit \$f\$ une fonction réelle\ndéfinie par \\[f(x)=\\begin{cases}\nxe^{-\\frac{x^2}{2}}& \\text{ si } x \\geq 0 \\\\\n0 & \\text{ si } x < 0\n\\end{cases}\\]

\n" } }, { "id": "9ce559cc-47a7-4caa-a785-6863c1b7cd97", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que $f$ est une densité de probabilité. On définit $X$ une variable aléatoire admettant $f$ comme densité.", "html": "

Montrer que \$f\$ est une densité de\nprobabilité. On définit \$X\$ une\nvariable aléatoire admettant \$f\$\ncomme densité.

\n" } }, { "id": "fe1addfe-0597-4e32-af27-7f14c88e26e5", "type": "reponse", "value": { "latex": "Il suffit de vérifier que $f(x) \\geq 0$ pour tout $x \\in \\R$ puis de calculer :\n \t\t$$\\begin{align*}\n \t\t\\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(x)dx &= \\int_0^{+\\infty} xe^{-\\frac{x^2}{2}} dx \\\\\n \t\t&= \\left[-e^{-\\frac{x^2}{2}}\\right]_0^{+\\infty} \\\\\n \t\t&= 1\n \t\t\\end{align*}$$", "html": "

Il suffit de vérifier que \$f(x) \\geq\n0\$ pour tout \$x \\in \\R\$ puis\nde calculer : \\[\\begin{align*}\n \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(x)dx &= \\int_0^{+\\infty}\nxe^{-\\frac{x^2}{2}} dx \\\\\n &= \\left[-e^{-\\frac{x^2}{2}}\\right]_0^{+\\infty} \\\\\n &= 1\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "c077fb7a-ba47-4cca-a5ad-9565c43e647e", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la fonction de répartition $F$ de la variable aléatoire $Y=X^2$ en fonction de celle de $X$. En déduire la densité de la variable $Y$.", "html": "

Déterminer la fonction de répartition \$F\$ de la variable aléatoire \$Y=X^2\$ en fonction de celle de \$X\$. En déduire la densité de la variable\n\$Y\$.

\n" } }, { "id": "58b26095-bf22-44b4-949e-4a56a1a4f18c", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $t \\in \\R$ et $F_{X^2}$ la fonction de répartition de la variable aléatoire $X^2$ : alors \n $$\\begin{align*}\n F_{X^2}(t) &= \\PP(X^2 \\leq t) \\\\\n &= \\begin{cases}\n \\PP\\left(-\\sqrt{t} \\leq X \\leq \\sqrt{t}\\right) & \\text{ si } t \\geq 0 \\\\\n 0 & \\text{ si } t < 0\n \\end{cases} \\\\\n &= \\begin{cases}\n \\int_{-\\sqrt{t}}^{\\sqrt{t}} f(x) dx & \\text{ si } t \\geq 0 \\\\\n 0 & \\text{ si } t < 0\n \\end{cases} \\\\\n &= \\begin{cases}\n\\int_{0}^{\\sqrt{t}} xe^{-\\frac{x^2}{2}} dx & \\text{ si } t \\geq 0 \\\\\n0 & \\text{ si } t < 0\n\\end{cases} \\\\\n &= \\begin{cases}\n\\left[-e^{-\\frac{x^2}{2}}\\right]_0^{\\sqrt{t}} & \\text{ si } t \\geq 0 \\\\\n0 & \\text{ si } t < 0\n\\end{cases} \\\\\n&= \\left(1-e^{-\\frac{t}{2}}\\right)\\textbf{1}_{[0;+\\infty[}(t)\n \\end{align*}$$\t\n \nLa fonction $F_{X^2}$ est dérivable presque partout (sauf en ${0}$). Sa dérivée coïncide donc presque partout avec une fonction densité $g$ de la variable $X^2$. On peut donc poser \n$$g(x)=\\frac{1}{2}e^{-\\frac{t}{2}}\\textbf{1}_{[0;+\\infty[}(x)$$\net on conclut que $X^2$ suit une loi exponentielle de paramètre $\\lambda = \\frac{1}{2}$.", "html": "

Soit \$t \\in \\R\$ et \$F_{X^2}\$ la fonction de répartition de la\nvariable aléatoire \$X^2\$ : alors\n\\[\\begin{align*}\nF_{X^2}(t) &= \\PP(X^2 \\leq t) \\\\\n&= \\begin{cases}\n \\PP\\left(-\\sqrt{t} \\leq X \\leq \\sqrt{t}\\right) & \\text{ si } t\n\\geq 0 \\\\\n 0 & \\text{ si } t < 0\n\\end{cases} \\\\\n&= \\begin{cases}\n\\int_{-\\sqrt{t}}^{\\sqrt{t}} f(x) dx & \\text{ si } t \\geq 0 \\\\\n0 & \\text{ si } t < 0\n\\end{cases} \\\\\n&= \\begin{cases}\n\\int_{0}^{\\sqrt{t}} xe^{-\\frac{x^2}{2}} dx & \\text{ si } t \\geq 0 \\\\\n0 & \\text{ si } t < 0\n\\end{cases} \\\\\n&= \\begin{cases}\n\\left[-e^{-\\frac{x^2}{2}}\\right]_0^{\\sqrt{t}} & \\text{ si } t \\geq 0\n\\\\\n0 & \\text{ si } t < 0\n\\end{cases} \\\\\n&= \\left(1-e^{-\\frac{t}{2}}\\right)\\textbf{1}_{[0;+\\infty[}(t)\n\\end{align*}\\]

La fonction \$F_{X^2}\$ est\ndérivable presque partout (sauf en \${0}\$). Sa dérivée coïncide donc presque\npartout avec une fonction densité \$g\$\nde la variable \$X^2\$. On peut donc\nposer \\[g(x)=\\frac{1}{2}e^{-\\frac{t}{2}}\\textbf{1}_{[0;+\\infty[}(x)\\]\net on conclut que \$X^2\$ suit une loi\nexponentielle de paramètre \$\\lambda =\n\\frac{1}{2}\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "4CI9", "titre": "Fonctions homogènes", "theme": [ "calcul différentiel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:54.090Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:54.090Z" }, "contenu": [ { "id": "3fc09a7c-8a92-4e07-9a17-9f19132bb7ba", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $\\alpha \\in \\R$. Soit $f \\colon \\R^* \\times \\R^* \\to \\R$ de classe $\\mathcal{C}^1$. On dit que $f$ est homogène de degré $\\alpha$ si pour tout $(x,y,t) \\in \\left(\\R^*\\right)^3$ :\n$$f(tx,ty) = t^\\alpha f(x,y)$$", "html": "

Soit \$\\alpha \\in \\R\$. Soit \$f \\colon \\R^* \\times \\R^* \\to \\R\$ de\nclasse \$\\mathcal{C}^1\$. On dit que\n\$f\$ est homogène de degré \$\\alpha\$ si pour tout \$(x,y,t) \\in \\left(\\R^*\\right)^3\$ : \\[f(tx,ty) = t^\\alpha f(x,y)\\]

\n" } }, { "id": "a1ec41b7-0a33-4c7c-a1f5-271c472b7a30", "type": "question", "value": { "latex": "Donner un exemple de fonction de deux variables homogène de degré 2 et vérifier que ses dérivées partielles sont homogènes de degré 1.", "html": "

Donner un exemple de fonction de deux variables homogène de degré 2\net vérifier que ses dérivées partielles sont homogènes de degré 1.

\n" } }, { "id": "15a4b7da-2da5-4e66-9c3a-08307b5a4c40", "type": "reponse", "value": { "latex": "Posons par exemple $f(x,y) = x^2+xy+y^2$ : on observe que que pour tout $t \\in \\R^*$, $f(tx,ty) = t^2x^2+t^2xy+t^2y^2 = t^2(x^2+xy+y^2) = t^2f(x,y)$ ce qui prouve que $f$ est homogène de degré 2.", "html": "

Posons par exemple \$f(x,y) =\nx^2+xy+y^2\$ : on observe que que pour tout \$t \\in \\R^*\$, \$f(tx,ty) = t^2x^2+t^2xy+t^2y^2 = t^2(x^2+xy+y^2) =\nt^2f(x,y)\$ ce qui prouve que \$f\$ est homogène de degré 2.

\n" } }, { "id": "94bb6ced-a7b5-4d9f-b35b-c81fa8b35c96", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $f \\colon \\R^* \\times \\R^* \\to \\R$ de classe $\\mathcal{C}^1$ et $t \\in \\R^*$. Pour tout $(x,y) \\in \\R^* \\times \\R^*$, on pose $g_t(x,y) = f(tx,ty)$. En calculant les dérivées partielles de $g$ de deux manières différentes, montrer que si $f$ est homogène de degré $\\alpha$ alors $\\frac{\\partial f}{\\partial x}$ et $\\frac{\\partial f}{\\partial y}$ sont homogènes de degré $\\alpha-1$.", "html": "

Soit \$f \\colon \\R^* \\times \\R^* \\to\n\\R\$ de classe \$\\mathcal{C}^1\$\net \$t \\in \\R^*\$. Pour tout \$(x,y) \\in \\R^* \\times \\R^*\$, on pose \$g_t(x,y) = f(tx,ty)\$. En calculant les\ndérivées partielles de \$g\$ de deux\nmanières différentes, montrer que si \$f\$ est homogène de degré \$\\alpha\$ alors \$\\frac{\\partial f}{\\partial x}\$ et \$\\frac{\\partial f}{\\partial y}\$ sont\nhomogènes de degré \$\\alpha-1\$.

\n" } }, { "id": "140d892d-42f9-47c8-aa87-045b6f70631d", "type": "reponse", "value": { "latex": "On dérive l'expression qui caractérise les fonctions homogènes pour faire apparaître des relations mettant en jeu les dérivées partielles de $f$. D'une part, on a en vertu de la règle des chaînes :\n\t\t$$\\frac{\\partial}{\\partial x}\\left( f(tx,ty) \\right) = t\\frac{\\partial f}{\\partial x}(tx,ty)$$\n\t\tD'autre part, on a \n\t\t$$\\frac{\\partial}{\\partial x}\\left( t^\\alpha f(x,y) \\right) = t^\\alpha\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y)$$\n\t\tSi $f$ est homogène de degré $\\alpha$, alors on peut égaliser ces deux expressions, ce qui donne \n\t\t$$t\\frac{\\partial f}{\\partial x}(tx,ty) = t^\\alpha\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y)$$\n\t\tComme $t$ est supposé non nul, on en déduit que \n\t\t$$\\frac{\\partial f}{\\partial x}(tx,ty) = t^{\\alpha-1}\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y)$$\n\t\tCeci étant vrai pour tout $(x,y,t) \\in \\left(\\R^*\\right)^3$, on en déduit que $\\frac{\\partial f}{\\partial x}$ est bien une fonction homogène de degré $\\alpha-1$.\n\t\t\n\t\tDe même, on démontre que $\\frac{\\partial f}{\\partial y}$ est bien une fonction homogène de degré $\\alpha-1$.", "html": "

On dérive l’expression qui caractérise les fonctions homogènes pour\nfaire apparaître des relations mettant en jeu les dérivées partielles de\n\$f\$. D’une part, on a en vertu de la\nrègle des chaînes : \\[\\frac{\\partial}{\\partial x}\\left( f(tx,ty)\n\\right) = t\\frac{\\partial f}{\\partial x}(tx,ty)\\] D’autre part,\non a \\[\\frac{\\partial}{\\partial x}\\left(\nt^\\alpha f(x,y) \\right) = t^\\alpha\\frac{\\partial f}{\\partial\nx}(x,y)\\] Si \$f\$ est homogène\nde degré \$\\alpha\$, alors on peut\négaliser ces deux expressions, ce qui donne \\[t\\frac{\\partial f}{\\partial x}(tx,ty) =\nt^\\alpha\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y)\\] Comme \$t\$ est supposé non nul, on en déduit que\n\\[\\frac{\\partial f}{\\partial x}(tx,ty) =\nt^{\\alpha-1}\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y)\\] Ceci étant vrai\npour tout \$(x,y,t) \\in\n\\left(\\R^*\\right)^3\$, on en déduit que \$\\frac{\\partial f}{\\partial x}\$ est bien\nune fonction homogène de degré \$\\alpha-1\$.

De même, on démontre que \$\\frac{\\partial\nf}{\\partial y}\$ est bien une fonction homogène de degré \$\\alpha-1\$.

\n" } }, { "id": "0ef891fb-1a2f-49c8-92d3-231cccbf1a7a", "type": "question", "value": { "latex": "Démontrer que si $f$ est homogène de degré $\\alpha$ alors $f$ vérifie la relation d'Euler :\n\t$$\\forall (x,y) \\in \\R^* \\times \\R^* \\qquad x \\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) + y \\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) = \\alpha f(x,y)$$", "html": "

Démontrer que si \$f\$ est homogène\nde degré \$\\alpha\$ alors \$f\$ vérifie la relation d’Euler : \\[\\forall (x,y) \\in \\R^* \\times \\R^* \\qquad x\n\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) + y \\frac{\\partial f}{\\partial\ny}(x,y) = \\alpha f(x,y)\\]

\n" } }, { "id": "8471048f-e2ac-4831-a77a-823d7f7a531f", "type": "reponse", "value": { "latex": "On dérive cette fois-ci par rapport à $t$ : d'après la règle des chaînes, on obtient d'une part :\n\t\t$$\\frac{\\partial}{\\partial t}\\left( f(tx,ty) \\right) = x\\frac{\\partial f}{\\partial x}(tx,ty) +y\\frac{\\partial f}{\\partial y}(tx,ty) $$\n\t\tet d'autre part :\n\t\t$$\\frac{\\partial}{\\partial t}\\left( t^\\alpha f(x,y) \\right) = \\alpha t^{\\alpha-1}f(x,y)$$\n\t\tSupposons que $f$ est homogène de degré $\\alpha$, alors ces deux expressions sont égales pour tout $(x,y,t) \\in \\left(\\R^*\\right)^3$ :\n\t\t$$x\\frac{\\partial f}{\\partial x}(tx,ty) +y\\frac{\\partial f}{\\partial y}(tx,ty) = \\alpha t^{\\alpha-1}f(x,y)$$\n\t\tD'après la question précédente, on sait que les dérivées partielles sont homogènes de degré $\\alpha-1$ donc par définition :\n\t\t$$xt^{\\alpha-1}\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) +yt^{\\alpha-1}\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) = \\alpha t^{\\alpha-1}f(x,y)$$\n\t\tOn divise par $t^{\\alpha-1} \\neq 0$ et on obtient la relation d'Euler attendue.", "html": "

On dérive cette fois-ci par rapport à \$t\$ : d’après la règle des chaînes, on\nobtient d’une part : \\[\\frac{\\partial}{\\partial t}\\left( f(tx,ty)\n\\right) = x\\frac{\\partial f}{\\partial x}(tx,ty) +y\\frac{\\partial\nf}{\\partial y}(tx,ty)\\] et d’autre part : \\[\\frac{\\partial}{\\partial t}\\left( t^\\alpha f(x,y)\n\\right) = \\alpha t^{\\alpha-1}f(x,y)\\] Supposons que \$f\$ est homogène de degré \$\\alpha\$, alors ces deux expressions sont\négales pour tout \$(x,y,t) \\in\n\\left(\\R^*\\right)^3\$ : \\[x\\frac{\\partial f}{\\partial x}(tx,ty)\n+y\\frac{\\partial f}{\\partial y}(tx,ty) = \\alpha\nt^{\\alpha-1}f(x,y)\\] D’après la question précédente, on sait que\nles dérivées partielles sont homogènes de degré \$\\alpha-1\$ donc par définition : \\[xt^{\\alpha-1}\\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y)\n+yt^{\\alpha-1}\\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) = \\alpha\nt^{\\alpha-1}f(x,y)\\] On divise par \$t^{\\alpha-1} \\neq 0\$ et on obtient la\nrelation d’Euler attendue.

\n" } }, { "id": "9fd50c31-0125-4691-a4db-1c6ca70fe226", "type": "question", "value": { "latex": "Démontrer que si $f$ est de classe $\\mathcal{C}^2$ et homogène de degré $\\alpha$ alors \n\t$$\\forall (x,y) \\in \\R^* \\times \\R^* \\qquad x^2 \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x,y) + 2xy \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y) + y^2 \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}(x,y) = \\alpha (\\alpha-1) f(x,y)$$", "html": "

Démontrer que si \$f\$ est de classe\n\$\\mathcal{C}^2\$ et homogène de degré\n\$\\alpha\$ alors \\[\\forall (x,y) \\in \\R^* \\times \\R^* \\qquad x^2\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x,y) + 2xy \\frac{\\partial^2\nf}{\\partial x \\partial y}(x,y) + y^2 \\frac{\\partial^2 f}{\\partial\ny^2}(x,y) = \\alpha (\\alpha-1) f(x,y)\\]

\n" } }, { "id": "4864a1c5-1f24-4941-b303-b30e9d3b0185", "type": "reponse", "value": { "latex": "On exploite les questions précédentes : on sait désormais que $\\frac{\\partial f}{\\partial x}$ est une fonction homogène de degré $\\alpha-1$, on en déduit que $\\frac{\\partial f}{\\partial x}$ vérifie la relation d'Euler :\n\t\t$$ x \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x,y) + y \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x}(x,y) = (\\alpha-1) \\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y)$$\n\t\tDe même, $\\frac{\\partial f}{\\partial y}$ vérifie la relation d'Euler :\n\t\t$$ x \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y) + y \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}(x,y) = (\\alpha-1) \\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y)$$\n\t\tOr $f$ vérifie également la relation d'Euler et en multipliant celle-ci par $(\\alpha-1)$ on obtient :\n\t\t$$(\\alpha-1)x \\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) + (\\alpha-1)y \\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) = (\\alpha-1)\\alpha f(x,y)$$\n\t\tEn y substituant les égalités précédentes, on obtient :\n\t\t$$x^2 \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x,y) + xy \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x}(x,y) + yx \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y) + y^2 \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}(x,y)$$\n\t\tOr $xy=yx$ et d'après le théorème de Schwarz (Th 2.10 du cours) : $\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x}(x,y) = \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y)$ d'où l'égalité attendue :\n\t\t$$x^2 \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x,y) + 2xy \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y) + y^2 \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}(x,y) = \\alpha (\\alpha-1) f(x,y)$$", "html": "

On exploite les questions précédentes : on sait désormais que \$\\frac{\\partial f}{\\partial x}\$ est une\nfonction homogène de degré \$\\alpha-1\$, on en déduit que \$\\frac{\\partial f}{\\partial x}\$ vérifie la\nrelation d’Euler : \\[x \\frac{\\partial^2\nf}{\\partial x^2}(x,y) + y \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial\nx}(x,y) = (\\alpha-1) \\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y)\\] De\nmême, \$\\frac{\\partial f}{\\partial y}\$\nvérifie la relation d’Euler : \\[x\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y) + y \\frac{\\partial^2\nf}{\\partial y^2}(x,y) = (\\alpha-1) \\frac{\\partial f}{\\partial\ny}(x,y)\\] Or \$f\$ vérifie\négalement la relation d’Euler et en multipliant celle-ci par \$(\\alpha-1)\$ on obtient : \\[(\\alpha-1)x \\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) +\n(\\alpha-1)y \\frac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) = (\\alpha-1)\\alpha\nf(x,y)\\] En y substituant les égalités précédentes, on obtient :\n\\[x^2 \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x,y)\n+ xy \\frac{\\partial^2 f}{\\partial y \\partial x}(x,y) + yx\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y) + y^2 \\frac{\\partial^2\nf}{\\partial y^2}(x,y)\\] Or \$xy=yx\$ et d’après le théorème de Schwarz\n(Th 2.10 du cours) : \$\\frac{\\partial^2\nf}{\\partial y \\partial x}(x,y) = \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial\ny}(x,y)\$ d’où l’égalité attendue : \\[x^2 \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}(x,y) + 2xy\n\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}(x,y) + y^2 \\frac{\\partial^2\nf}{\\partial y^2}(x,y) = \\alpha (\\alpha-1) f(x,y)\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "DITh", "titre": "Fonctions périodiques", "theme": [ "fonctions de plusieurs variables" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:05.077Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:05.077Z" }, "contenu": [ { "id": "3ac19829-6de4-4627-809f-7808aa191658", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $f \\colon \\mathbb{R}^2 \\to \\mathbb{R}$ une fonction différentiable telle que pour tout $t \\in \\mathbb{R}$ et pour tout $(x,y) \\in \\mathbb{R}^2$, \n\t$$f(x+t,y+t) = f(x,y)$$", "html": "

Soit \$f \\colon \\mathbb{R}^2 \\to\n\\mathbb{R}\$ une fonction différentiable telle que pour tout\n\$t \\in \\mathbb{R}\$ et pour tout \$(x,y) \\in \\mathbb{R}^2\$, \\[f(x+t,y+t) = f(x,y)\\]

\n" } }, { "id": "c1f55af5-7950-422e-8c72-3a30e8f77853", "type": "question", "value": { "latex": "On fixe $(x,y) \\in \\mathbb{R}^2$ et pour tout $t \\in \\mathbb{R}$ on pose $g(t) = f(x+t,y+t)$. Calculer $g'(t)$ pour tout $t \\in \\mathbb{R}$, en l'exprimant en fonction de $\\dfrac{\\partial f}{\\partial x}(x,y)$ et $\\dfrac{\\partial f}{\\partial y}(x,y)$.", "html": "

On fixe \$(x,y) \\in \\mathbb{R}^2\$\net pour tout \$t \\in \\mathbb{R}\$ on\npose \$g(t) = f(x+t,y+t)\$. Calculer\n\$g'(t)\$ pour tout \$t \\in \\mathbb{R}\$, en l’exprimant en\nfonction de \$\\dfrac{\\partial f}{\\partial\nx}(x,y)\$ et \$\\dfrac{\\partial\nf}{\\partial y}(x,y)\$.

\n" } }, { "id": "d69fc5cc-c87b-4f1e-94d3-368b49d733b8", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par la règle des chaînes, $g$ est dérivable sur $\\mathbb{R}$ et $g'(t) = 1 \\times \\dfrac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) + 1 \\times \\dfrac{\\partial f}{\\partial y}(x,y)$.", "html": "

Par la règle des chaînes, \$g\$ est\ndérivable sur \$\\mathbb{R}\$ et \$g'(t) = 1 \\times \\dfrac{\\partial f}{\\partial\nx}(x,y) + 1 \\times \\dfrac{\\partial f}{\\partial y}(x,y)\$.

\n" } }, { "id": "12fe3bce-ddef-41c5-9f3a-61b36d114deb", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire que $\\dfrac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) + \\dfrac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) = 0$.", "html": "

En déduire que \$\\dfrac{\\partial\nf}{\\partial x}(x,y) + \\dfrac{\\partial f}{\\partial y}(x,y) =\n0\$.

\n" } }, { "id": "9fd34a02-261e-4052-9f40-74e1c5f565d7", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par hypothèse sur la fonction $f$, $g(t) = f(x,y)$ donc $g$ est constante par rapport à $t$ donc $g'(t) = 0$. D'où l'égalité demandée.", "html": "

Par hypothèse sur la fonction \$f\$,\n\$g(t) = f(x,y)\$ donc \$g\$ est constante par rapport à \$t\$ donc \$g'(t) = 0\$. D’où l’égalité\ndemandée.

\n" } }, { "id": "4cd2aebf-24f9-4135-a49c-355e468d5a2e", "type": "question", "value": { "latex": "En utilisant la règle des chaînes, exprimer la dérivée partielle $\\frac{\\partial h}{\\partial u}(u,v)$, en fonction des dérivées partielles de $f$.", "html": "

En utilisant la règle des chaînes, exprimer la dérivée partielle\n\$\\frac{\\partial h}{\\partial u}(u,v)\$,\nen fonction des dérivées partielles de \$f\$.

\n" } }, { "id": "d4c1ca16-af49-497c-a5dd-cb4308c1fe75", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par la règle des chaînes, $h$ admet des dérivées partielles en tout point $(u,v) \\in \\mathbb{R}^2$ et on a :\n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\t\\frac{\\partial h}{\\partial u}(u,v) & = \\frac{\\partial f}{\\partial x}\\left(\\dfrac{u+v}{2}, \\dfrac{u-v}{2}\\right) \\times \\frac{1}{2} + \\frac{\\partial f}{\\partial y}\\left(\\dfrac{u+v}{2}, \\dfrac{u-v}{2}\\right) \\times \\frac{1}{2} \\\\\n\t\t\t\t& = \\frac{1}{2}\\left(\\frac{\\partial f}{\\partial x}\\left(\\dfrac{u+v}{2}, \\dfrac{u-v}{2}\\right) + \\frac{\\partial f}{\\partial y}\\left(\\dfrac{u+v}{2}, \\dfrac{u-v}{2}\\right)\\right).\n\t\t\t\\end{align*}$$", "html": "

Par la règle des chaînes, \$h\$\nadmet des dérivées partielles en tout point \$(u,v) \\in \\mathbb{R}^2\$ et on a : \\[\\begin{align*}\n \\frac{\\partial h}{\\partial u}(u,v) & =\n\\frac{\\partial f}{\\partial x}\\left(\\dfrac{u+v}{2}, \\dfrac{u-v}{2}\\right)\n\\times \\frac{1}{2} + \\frac{\\partial f}{\\partial y}\\left(\\dfrac{u+v}{2},\n\\dfrac{u-v}{2}\\right) \\times \\frac{1}{2} \\\\\n & = \\frac{1}{2}\\left(\\frac{\\partial f}{\\partial\nx}\\left(\\dfrac{u+v}{2}, \\dfrac{u-v}{2}\\right) + \\frac{\\partial\nf}{\\partial y}\\left(\\dfrac{u+v}{2}, \\dfrac{u-v}{2}\\right)\\right).\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "299fe501-b833-4e3f-925a-59f7066c9985", "type": "question", "value": { "latex": "En utilisant une question précédente, en déduire que $\\frac{\\partial h}{\\partial u}(u,v) = 0$", "html": "

En utilisant une question précédente, en déduire que \$\\frac{\\partial h}{\\partial u}(u,v) =\n0\$

\n" } }, { "id": "fb52a83e-abef-48c1-9695-97b1d057d951", "type": "reponse", "value": { "latex": "D'après la question 2 de la partie A, on a $\\dfrac{\\partial f}{\\partial x}\\left(\\dfrac{u+v}{2}, \\dfrac{u-v}{2}\\right) + \\dfrac{\\partial f}{\\partial y}\\left(\\dfrac{u+v}{2}, \\dfrac{u-v}{2}\\right) = 0$. Donc, $\\frac{\\partial h}{\\partial u}(u,v) = 0$.", "html": "

D’après la question 2 de la partie A, on a \$\\dfrac{\\partial f}{\\partial\nx}\\left(\\dfrac{u+v}{2}, \\dfrac{u-v}{2}\\right) + \\dfrac{\\partial\nf}{\\partial y}\\left(\\dfrac{u+v}{2}, \\dfrac{u-v}{2}\\right) = 0\$.\nDonc, \$\\frac{\\partial h}{\\partial u}(u,v) =\n0\$.

\n" } }, { "id": "c47ddc94-a118-480d-8c87-58c72d9946c0", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire qu'il existe une fonction $k \\colon \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}$ telle que pour tout $(x,y) \\in \\R^2$, $$f(x,y) = k(x-y).$$", "html": "

En déduire qu’il existe une fonction \$k\n\\colon \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}\$ telle que pour tout \$(x,y) \\in \\R^2\$, \\[f(x,y) = k(x-y).\\]

\n" } }, { "id": "65a49df7-19c2-4dd1-914b-4680225e0472", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a démontré à la question précédente que $\\frac{\\partial h}{\\partial u}(u,v) = 0$. Donc, $h$ est constante par rapport à $u = x+y$. Il existe donc une fonction $k \\colon \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}$ telle que pour tout $(x,y) \\in \\R^2$, $f(x,y) = k(x-y)$.", "html": "

On a démontré à la question précédente que \$\\frac{\\partial h}{\\partial u}(u,v) = 0\$.\nDonc, \$h\$ est constante par rapport à\n\$u = x+y\$. Il existe donc une\nfonction \$k \\colon \\mathbb{R} \\to\n\\mathbb{R}\$ telle que pour tout \$(x,y) \\in \\R^2\$, \$f(x,y) = k(x-y)\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "EXyV", "titre": "Fonctions périodiques et coefficients de Fourier", "theme": [ "séries de fourier" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:05.817Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:05.817Z" }, "contenu": [ { "id": "c6d09cba-dcf1-4aa8-bc7a-3c650d62ebe8", "type": "description", "value": { "latex": "On considère les fonctions $f$ et $g$ comme dessinées ci-dessous, que l'on étend à des fonctions de $\\R$ dans $\\R$ qui sont impaires et $2\\pi$-périodiques. \n\n\\begin{center}\n\t\\begin{tikzpicture}\n\t\t\\begin{axis}[\n\t\t\twidth=5cm, height=4cm,\n\t\t\taxis x line=center, xlabel={$x$},\n\t\t\taxis y line=middle, \n\t\t\t\n\t\t\tlegend style={draw=none,at={(1,1)},anchor=north west },\n\t\t\tsamples=100,\n\t\t\tymin=-1, ymax=3,\n\t\t\txmin=-1, xmax=8,\n\t\t\txtick={\n\t\t\t\t0 ,\n\t\t\t\t3, 7\n\t\t\t},\n\t\t\txticklabels={\n\t\t\t\t$0$, $\\frac{\\pi}{k_0}$,$\\pi$ },\n\t\t\tytick={2},\n\t\t\tyticklabels={1 }\n\t\t\t]\n\t\t\t\\addplot [mark=none, very thick, red,domain=0:3] {2};\n\t\t\t\\addplot [mark=none, very thick, red,domain=3:7] {0};\n\t\t\t\\legend{$f$ },\n\t\t\\end{axis}\n\t\\end{tikzpicture}\n\t\\hspace{8em}\n\t\\begin{tikzpicture}\n\t\t\\begin{axis}[\n\t\t\twidth=5cm, height=4cm,\n\t\t\taxis x line=center, xlabel={$x$},\n\t\t\taxis y line=middle, \n\t\t\t\n\t\t\tlegend style={draw=none,at={(1,1)},anchor=north west },\n\t\t\tsamples=100,\n\t\t\tymin=-1, ymax=3,\n\t\t\txmin=-1, xmax=8,\n\t\t\txtick={\n\t\t\t\t0 ,\n\t\t\t\t3.5, 7\n\t\t\t},\n\t\t\txticklabels={\n\t\t\t\t$0$, $\\frac{\\pi}{2}$,$\\pi$ },\n\t\t\tytick={2},\n\t\t\tyticklabels={1}\n\t\t\t]\n\t\t\t\\addplot [mark=none, very thick, red,domain=0:3.5] {x*2/3.5};\n\t\t\t\\addplot [mark=none, very thick, red,domain=3.5:7] {4-2*x/3.5};\n\t\t\t\\legend{$g$ },\n\t\t\\end{axis}\n\t\\end{tikzpicture}\n\\end{center}", "html": "

On considère les fonctions \$f\$ et\n\$g\$ comme dessinées ci-dessous, que\nl’on étend à des fonctions de \$\\R\$\ndans \$\\R\$ qui sont impaires et \$2\\pi\$-périodiques.

\n\n

\n" } }, { "id": "12e74fd4-1b6b-4c6f-b20a-a9dafb42fa92", "type": "question", "value": { "latex": "Soit un entier $k_0 \\geq 2$. Donner l'expression de $f(x)$ et de $g(x)$ en fonction de $x\\in[0;\\pi]$.", "html": "

Soit un entier \$k_0 \\geq 2\$.\nDonner l’expression de \$f(x)\$ et de\n\$g(x)\$ en fonction de \$x\\in[0;\\pi]\$.

\n" } }, { "id": "e52d270a-e5ae-48f0-b479-ed712bb6ba63", "type": "reponse", "value": { "latex": "On définit :\n\t\t$$f \\colon x \\mapsto \\begin{cases}\n\t\t\t1&\\text{si $x \\leq \\frac{\\pi}{k_0}$}\\\\\n\t\t\t0&\\text{si $x > \\frac{\\pi}{k_0}$}\n\t\t\\end{cases}\t\\quad \\text{et} \\quad g \\colon x \\mapsto \\begin{cases}\n\t\t\t\\frac{2x}{\\pi}&\\text{si $x \\leq \\frac{\\pi}{2}$}\\\\\n\t\t\t2 - \\frac{2x}{\\pi} &\\text{si $x > \\frac{\\pi}{2}$}\n\t\t\\end{cases} $$", "html": "

On définit : \\[f \\colon x \\mapsto\n\\begin{cases}\n 1&\\text{si $x \\leq \\frac{\\pi}{k_0}$}\\\\\n 0&\\text{si $x > \\frac{\\pi}{k_0}$}\n \\end{cases} \\quad \\text{et} \\quad g \\colon x \\mapsto\n\\begin{cases}\n \\frac{2x}{\\pi}&\\text{si $x \\leq \\frac{\\pi}{2}$}\\\\\n 2 - \\frac{2x}{\\pi} &\\text{si $x > \\frac{\\pi}{2}$}\n \\end{cases}\\]

\n" } }, { "id": "96e4e337-bd79-45d7-bbb6-395b73603584", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer les coefficients de Fourier de $f$ puis exprimer la série de Fourier de $f$.", "html": "

Calculer les coefficients de Fourier de \$f\$ puis exprimer la série de Fourier de\n\$f\$.

\n" } }, { "id": "67b1d083-7c07-4278-be31-388953f3806a", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $f$ étant impaire, les coefficients de Fourier $a_n(f)$ sont nuls et : \n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\tb_n(f) &= \\frac{2}{\\pi} \\int_0^{\\pi} f(t)\\sin(nt)\\mathrm{d}t \\\\\n\t\t\t&= \\frac{2}{\\pi} \\int_0^{ \\frac{\\pi}{k_0}} \\sin(nt)\\mathrm{d}t + 0 \\\\\n\t\t\t&= \\frac{2}{\\pi} \\left[-\\frac{1}{n}\\cos(nt)\\right]_0^{ \\frac{\\pi}{k_0}} \\\\\n\t\t\t&= \\frac{2}{n\\pi}\\left(1-\\cos\\left(\\frac{n\\pi}{k_0}\\right)\\right)\n\t\t\\end{align*}$$\t\n\t\tLa série de Fourier est donc $\\displaystyle S_n(f) = \\sum_{n\\geq 1} \\frac{2}{n\\pi}\\left(1-\\cos\\left(\\frac{n\\pi}{k_0}\\right)\\right) \\sin(nx)$. \n\t\tVoir une illustration ici \\url{https://replit.com/@ngmaxime/Coef-de-Fourier}", "html": "

La fonction \$f\$ étant impaire, les\ncoefficients de Fourier \$a_n(f)\$ sont\nnuls et : \\[\\begin{align*}\n b_n(f) &= \\frac{2}{\\pi} \\int_0^{\\pi}\nf(t)\\sin(nt)\\mathrm{d}t \\\\\n &= \\frac{2}{\\pi} \\int_0^{ \\frac{\\pi}{k_0}}\n\\sin(nt)\\mathrm{d}t + 0 \\\\\n &= \\frac{2}{\\pi} \\left[-\\frac{1}{n}\\cos(nt)\\right]_0^{\n\\frac{\\pi}{k_0}} \\\\\n &=\n\\frac{2}{n\\pi}\\left(1-\\cos\\left(\\frac{n\\pi}{k_0}\\right)\\right)\n \\end{align*}\\] La série de Fourier est donc \$\\displaystyle S_n(f) = \\sum_{n\\geq 1}\n\\frac{2}{n\\pi}\\left(1-\\cos\\left(\\frac{n\\pi}{k_0}\\right)\\right)\n\\sin(nx)\$. Voir une illustration ici https://replit.com/@ngmaxime/Coef-de-Fourier

\n" } } ] }, { "uuid": "5sHJ", "titre": "Gain au loto", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:56.405Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:56.405Z" }, "contenu": [ { "id": "6493089a-1fbb-42d6-92c3-d04f5eb404f8", "type": "description", "value": { "latex": "Le loto est un jeu consistant à choisir six numéros différents compris entre 1 et 49.\nAu dernier tirage, il fallait jouer les numéros: $4$, $8$, $21$, $23$, $42$ et $49$. Le gain était de $\\nombre{700000}$ euros avec les six bons numéros, de $\\nombre{1100}$ euros avec cinq bons numéros, de $20$ euros avec quatre bons numéros et de $1$ euro avec trois bons numéros.", "html": "

Le loto est un jeu consistant à choisir six numéros différents\ncompris entre 1 et 49. Au dernier tirage, il fallait jouer les numéros:\n\$4\$, \$8\$, \$21\$, \$23\$, \$42\$ et \$49\$. Le gain était de \$\\nombre{700000}\$ euros avec les six bons\nnuméros, de \$\\nombre{1100}\$ euros\navec cinq bons numéros, de \$20\$ euros\navec quatre bons numéros et de \$1\$\neuro avec trois bons numéros.

\n" } }, { "id": "cfafb279-e1c1-4d56-b086-071a31761a78", "type": "question", "value": { "latex": "Pour un jeu simple, calculer l'espérance de gain.", "html": "

Pour un jeu simple, calculer l’espérance de gain.

\n" } }, { "id": "8962570f-407e-400f-bd2e-b49fc3790780", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $X$ le nombre de bons numéros trouvés par le joueur. Alors $X$ suit une loi hypergéométrique de paramètres: $\\mathcal{H}(6,\\frac{1}{46},49)$. Une loi hypergéométrique de paramètres $(N,p,n)$ est une loi de probabilité sur $\\{0,1,\\ldots,N\\}$ dont la loi de probabilité e est donnée par : \n \\[ \\forall k \\in \\{0,1,\\ldots,N\\}, \\prob(X=k)=\\frac{\\binom{n}{k}\\binom{N-n}{n-k}}{\\binom{N}{n}}.\\]\n Elle permet de modéliser le tirage sans remise de $n$ boules parmi $N$ boules dont $n$ sont marquées. Ici, $N=49$, $n=6$ et $p=\\frac{1}{46}$.\n \n Soit $Y$ le gain du joueur. Alors on a\n\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\n \\hline\n $k$ & 0 & 0 & 0 & 1 & 20 & 1100 & $700\\ 000$ \\\\\n \\hline\n $\\prob(Y=k)$ & $\\prob(X=0)$ & $\\prob(X=1)$ & $\\prob(X=2)$ & $\\prob(X=3)$ & $\\prob(X=4)$ & $\\prob(X=5)$ & $\\prob(X=6)$ \\\\\n \\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}\nOn a donc\n\\[ \\E(Y)=\\prob(X=3)+20\\times \\prob(X=4)+\\nombre{1100}\\times \\prob(X=5) + {700000}\\times \\prob(X=6).\\]\nOr\n$$\\begin{align*}\n & \\prob(X=3)=\\frac{\\binom{6}{3}\\binom{43}{3}}{\\binom{49}{6}}= \\frac{246\\ 820}{13\\ 983\\ 816} \\\\\n & \\prob(X=4)=\\frac{\\binom{6}{4}\\binom{43}{2}}{\\binom{49}{6}}= \\frac{13\\ 545}{13\\ 983\\ 816} \\\\\n & \\prob(X=5)=\\frac{\\binom{6}{5}\\binom{6}{1}}{\\binom{49}{6}}= \\frac{258}{13\\ 983\\ 816} \\\\\n & \\prob(X=6)=\\frac{\\binom{6}{6}\\binom{43}{0}}{\\binom{49}{6}}= \\frac{1}{13\\ 983\\ 816} \n\\end{align*}$$\ndonc \n\\[ \\E(Y)=\\frac{1}{13\\ 983\\ 816} (246\\ 820+ 20\\times 13\\ 545+ 1\\ 100\\times 258+700\\ 000)\n =\\frac{1\\ 501 520}{13\\ 983\\ 816}\n \\simeq 0.1074\n\\]\nL'espérance du gain du joueur (sans compter sa mise de départ) est d'environ $0.11$ euros.", "html": "

Soit \$X\$ le nombre de bons numéros\ntrouvés par le joueur. Alors \$X\$ suit\nune loi hypergéométrique de paramètres: \$\\mathcal{H}(6,\\frac{1}{46},49)\$. Une loi\nhypergéométrique de paramètres \$(N,p,n)\$ est une loi de probabilité sur\n\$\\{0,1,\\ldots,N\\}\$ dont la loi de\nprobabilité e est donnée par : \\[\\forall k\n\\in \\{0,1,\\ldots,N\\},\n\\prob(X=k)=\\frac{\\binom{n}{k}\\binom{N-n}{n-k}}{\\binom{N}{n}}.\\]\nElle permet de modéliser le tirage sans remise de \$n\$ boules parmi \$N\$ boules dont \$n\$ sont marquées. Ici, \$N=49\$, \$n=6\$ et \$p=\\frac{1}{46}\$.

Soit \$Y\$ le gain du joueur. Alors\non a

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

\$k\$	0	0	0	1	20	1100	\$700\\\n000\$
\$\\prob(Y=k)\$	\$\\prob(X=0)\$	\$\\prob(X=1)\$	\$\\prob(X=2)\$	\$\\prob(X=3)\$	\$\\prob(X=4)\$	\$\\prob(X=5)\$	\$\\prob(X=6)\$

On a donc \\[\\E(Y)=\\prob(X=3)+20\\times\n\\prob(X=4)+\\nombre{1100}\\times \\prob(X=5) + {700000}\\times\n\\prob(X=6).\\] Or \\[\\begin{align*}\n& \\prob(X=3)=\\frac{\\binom{6}{3}\\binom{43}{3}}{\\binom{49}{6}}=\n\\frac{246\\ 820}{13\\ 983\\ 816} \\\\\n& \\prob(X=4)=\\frac{\\binom{6}{4}\\binom{43}{2}}{\\binom{49}{6}}=\n\\frac{13\\ 545}{13\\ 983\\ 816} \\\\\n& \\prob(X=5)=\\frac{\\binom{6}{5}\\binom{6}{1}}{\\binom{49}{6}}=\n\\frac{258}{13\\ 983\\ 816} \\\\\n& \\prob(X=6)=\\frac{\\binom{6}{6}\\binom{43}{0}}{\\binom{49}{6}}=\n\\frac{1}{13\\ 983\\ 816}\n\\end{align*}\\] donc \\[\\E(Y)=\\frac{1}{13\\ 983\\ 816} (246\\ 820+ 20\\times\n13\\ 545+ 1\\ 100\\times 258+700\\ 000)\n=\\frac{1\\ 501 520}{13\\ 983\\ 816}\n\\simeq 0.1074\\] L’espérance du gain du joueur (sans compter sa\nmise de départ) est d’environ \$0.11\$\neuros.

\n" } } ] }, { "uuid": "r3ax", "titre": "Identification de lois usuelles", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:48.960Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:48.960Z" }, "contenu": [ { "id": "ad4f0220-b4c6-442e-8987-f4b4efa7e02b", "type": "description", "value": { "latex": "Pour chacune des situations suivantes, déterminer la loi de la variable aléatoire $X$ et donner son espérance.", "html": "

Pour chacune des situations suivantes, déterminer la loi de la\nvariable aléatoire \$X\$ et donner son\nespérance.

\n" } }, { "id": "005f762e-0583-463c-9868-9fdd37ca91e4", "type": "question", "value": { "latex": "On lance un dé équilibré 100 fois de suite et on note $X$ le nombre d'apparitions du chiffre \\og 2 \\fg{}.", "html": "

On lance un dé équilibré 100 fois de suite et on note \$X\$ le nombre d’apparitions du chiffre\n.

\n" } }, { "id": "8de80b17-edcb-4a85-b1cb-b6699eeb845c", "type": "reponse", "value": { "latex": "La variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=\\frac{1}{6}$. Son espérance est $\\E(X)=n\\times p = \\frac{50}{3}$.", "html": "

La variable aléatoire \$X\$ suit une\nloi binomiale de paramètres \$n=100\$\net \$p=\\frac{1}{6}\$. Son espérance est\n\$\\E(X)=n\\times p = \\frac{50}{3}\$.

\n" } }, { "id": "d8ed0f28-0c41-45ad-a9a9-219bc5c67498", "type": "description", "value": { "latex": "Deux personnes lancent chacune une pièce équilibrée. On dit que l'expérience est un succès si elles obtiennent toutes les deux \\og face \\fg{}.", "html": "

Deux personnes lancent chacune une pièce équilibrée. On dit que\nl’expérience est un succès si elles obtiennent toutes les deux face\n.

\n" } }, { "id": "c7bbfc85-4ce4-47a8-b202-0b7ce70a4db3", "type": "question", "value": { "latex": "Ces personnes répètent l'expérience 8 fois. On note $X$ le nombre de succès.", "html": "

Ces personnes répètent l’expérience 8 fois. On note \$X\$ le nombre de succès.

\n" } }, { "id": "0cb6ef4e-0ef7-43ad-ab3e-cfe00b0d4415", "type": "reponse", "value": { "latex": "La variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=\\frac{1}{4}$. Son espérance est $\\E(X)=n\\times p = 2$.", "html": "

La variable aléatoire \$X\$ suit une\nloi binomiale de paramètres \$n=8\$ et\n\$p=\\frac{1}{4}\$. Son espérance est\n\$\\E(X)=n\\times p = 2\$.

\n" } }, { "id": "cfcea1e7-ee9e-4f07-9105-46908b085f73", "type": "question", "value": { "latex": "Ces personnes répètent l'expérience jusqu'à ce qu'elles obtiennent un succès. On note $X$ le nombre de lancers.", "html": "

Ces personnes répètent l’expérience jusqu’à ce qu’elles obtiennent un\nsuccès. On note \$X\$ le nombre de\nlancers.

\n" } }, { "id": "99d8baa8-0c93-4c49-bcb2-f2b0f63d92c2", "type": "reponse", "value": { "latex": "La variable aléatoire $X$ suit une loi géométrique de paramètre $p=\\frac{1}{4}$. Son espérance est $\\E(X) = \\frac{1}{p} = \\frac{1}{4}$.", "html": "

La variable aléatoire \$X\$ suit une\nloi géométrique de paramètre \$p=\\frac{1}{4}\$. Son espérance est \$\\E(X) = \\frac{1}{p} = \\frac{1}{4}\$.

\n" } }, { "id": "99e8333b-f844-4357-946a-ea76adaeccab", "type": "description", "value": { "latex": "Une agence de location de voitures propose à ses clients 3 catégories de voitures : $A$, $B$ et $C$. Elle a constaté que dans une journée, $40\\%$ des demandes sont pour $A$, $50\\%$ des demandes sont pour $B$, $10\\%$ des demandes sont pour $C$. Les demandes de location sont supposées indépendantes.", "html": "

Une agence de location de voitures propose à ses clients 3 catégories\nde voitures : \$A\$, \$B\$ et \$C\$. Elle a constaté que dans une journée,\n\$40\\%\$ des demandes sont pour \$A\$, \$50\\%\$ des demandes sont pour \$B\$, \$10\\%\$ des demandes sont pour \$C\$. Les demandes de location sont\nsupposées indépendantes.

\n" } }, { "id": "31edc29e-6b0b-4027-98cb-e15d8b37222b", "type": "question", "value": { "latex": "Un jour donné, l'agence a reçu 12 demandes de location. On note $X$ le nombre de catégories $A$ demandées.", "html": "

Un jour donné, l’agence a reçu 12 demandes de location. On note \$X\$ le nombre de catégories \$A\$ demandées.

\n" } }, { "id": "5fdc2054-39ef-43a9-b0f3-ebf13f592adc", "type": "reponse", "value": { "latex": "La variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=12$ et $p=0.4$. Son espérance est $\\E(X) = 4{,}8$.", "html": "

La variable aléatoire \$X\$ suit une\nloi binomiale de paramètres \$n=12\$ et\n\$p=0.4\$. Son espérance est \$\\E(X) = 4{,}8\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "UDat", "titre": "Indépendance", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:22.189Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:22.189Z" }, "contenu": [ { "id": "d10a9929-275d-4848-b548-0394c0c598f3", "type": "description", "value": { "latex": "Soient $A_1, \\ldots, A_n$ une suite de $n$ événements d'un espace probabilisé $(\\Omega, P)$. On les suppose mutuellement indépendants et de probabilités respectives $p_i=P\\left(A_i\\right)$.", "html": "

Soient \$A_1, \\ldots, A_n\$ une\nsuite de \$n\$ événements d’un espace\nprobabilisé \$(\\Omega, P)\$. On les\nsuppose mutuellement indépendants et de probabilités respectives \$p_i=P\\left(A_i\\right)\$.

\n" } }, { "id": "e22f41f9-8fb2-4fce-b509-8b6cc4dba0fb", "type": "question", "value": { "latex": "Donner une expression simple de $P\\left(A_1 \\cup \\cdots \\cup A_n\\right)$ en fonction de $p_1, \\ldots, p_n$.", "html": "

Donner une expression simple de \$P\\left(A_1 \\cup \\cdots \\cup A_n\\right)\$ en\nfonction de \$p_1, \\ldots, p_n\$.

\n" } }, { "id": "ba522ef6-b548-4db1-b439-adc2937d150b", "type": "reponse", "value": { "latex": "Si les événements $A_1, \\ldots, A_n$ sont mutuellement indépendants, les événements complémentaires $\\overline{A_1}, \\ldots, \\overline{A_n}$ le sont aussi. On en déduit que\n$$\n\\begin{aligned}\n\tP\\left(A_1 \\cup \\cdots \\cup A_n\\right) & =1-P\\left(\\overline{A_1} \\cap \\cdots \\cap \\overline{A_n}\\right) \\\\\n\t& =1-\\prod_{i=1}^n P\\left(\\overline{A_i}\\right) \\\\\n\t& =1-\\prod_{i=1}^n\\left(1-p_i\\right) .\n\\end{aligned}\n$$", "html": "

Si les événements \$A_1, \\ldots,\nA_n\$ sont mutuellement indépendants, les événements\ncomplémentaires \$\\overline{A_1}, \\ldots,\n\\overline{A_n}\$ le sont aussi. On en déduit que \\[\\begin{aligned}\n P\\left(A_1 \\cup \\cdots \\cup A_n\\right) &\n=1-P\\left(\\overline{A_1} \\cap \\cdots \\cap \\overline{A_n}\\right) \\\\\n & =1-\\prod_{i=1}^n P\\left(\\overline{A_i}\\right) \\\\\n & =1-\\prod_{i=1}^n\\left(1-p_i\\right) .\n\\end{aligned}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "vbYr", "titre": "Indépendance", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:54.672Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:54.672Z" }, "contenu": [ { "id": "0d3f43a7-57ac-4304-ad27-6fae24efdbc6", "type": "question", "value": { "latex": "Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12 . On en tire une hasard, et on considère les événements\n$$\n\\begin{aligned}\n\t& A=\\text { \"tirage d'un nombre pair\", } \\\\\n\t& B=\\text { \"tirage d'un multiple de } 3 \" .\n\\end{aligned}\n$$\nLes événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants?", "html": "

Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12 . On en tire une\nhasard, et on considère les événements \\[\\begin{aligned}\n & A=\\text { "tirage d'un nombre pair", } \\\\\n & B=\\text { "tirage d'un multiple de } 3 " .\n\\end{aligned}\\] Les événements \$A\$ et \$B\$ sont-ils indépendants?

\n" } }, { "id": "42db70b7-abc4-4ed6-a3ca-c8ee3af06316", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a :\n\t$$\n\t\\begin{gathered}\n\t\tA=\\{2,4,6,8,10,12\\} \\\\\n\t\tB=\\{3,6,9,12\\} \\\\\n\t\tA \\cap B=\\{6,12\\}\n\t\\end{gathered}\n\t$$\n\tOn a donc $P(A)=1 / 2, P(B)=1 / 3$ et $P(A \\cap B)=1 / 6=P(A) P(B)$. Les événements $A$ et $B$ sont indépendants.", "html": "

On a : \\[\\begin{gathered}\n A=\\{2,4,6,8,10,12\\} \\\\\n B=\\{3,6,9,12\\} \\\\\n A \\cap B=\\{6,12\\}\n \\end{gathered}\\] On a donc \$P(A)=1\n/ 2, P(B)=1 / 3\$ et \$P(A \\cap B)=1 /\n6=P(A) P(B)\$. Les événements \$A\$ et \$B\$ sont indépendants.

\n" } }, { "id": "5c1c8836-d35d-4a07-a3af-ab7d84a3247f", "type": "question", "value": { "latex": "Reprendre la question avec une urne contenant 13 boules.", "html": "

Reprendre la question avec une urne contenant 13 boules.

\n" } }, { "id": "46faa33a-056a-4ba3-a17a-655e91969053", "type": "reponse", "value": { "latex": "Les événements $A, B$ et $A \\cap B$ s'écrivent encore exactement de la même façon. Mais cette fois, on a : $P(A)=6 / 13, P(B)=4 / 13$ et $P(A \\cap B)=2 / 13 \\neq 24 / 169$. Les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants. C'est conforme à l'intuition. Il n'y a plus la même répartition de boules paires et de boules impaires, et dans les multiples de 3 compris entre 1 et 13, la répartition des nombres pairs et impairs est restée inchangée.", "html": "

Les événements \$A, B\$ et \$A \\cap B\$ s’écrivent encore exactement de\nla même façon. Mais cette fois, on a : \$P(A)=6 / 13, P(B)=4 / 13\$ et \$P(A \\cap B)=2 / 13 \\neq 24 / 169\$. Les\névénements \$A\$ et \$B\$ ne sont pas indépendants. C’est\nconforme à l’intuition. Il n’y a plus la même répartition de boules\npaires et de boules impaires, et dans les multiples de 3 compris entre 1\net 13, la répartition des nombres pairs et impairs est restée\ninchangée.

\n" } } ] }, { "uuid": "UbhS", "titre": "Indépendance de variables aléatoires", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:22.323Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:22.323Z" }, "contenu": [ { "id": "d252a6cb-82b5-4b07-9a28-a4c07f823e36", "type": "description", "value": { "latex": "Dans une boîte, il y a 6 boules rouges et 8 boules jaunes. On tire au hasard 3 boules de la boîte, sans remise. \n\tParmi les 3 boules tirées, on note $X$ le nombre de boules rouges et $Y$ le nombre de boules jaunes.", "html": "

Dans une boîte, il y a 6 boules rouges et 8 boules jaunes. On tire au\nhasard 3 boules de la boîte, sans remise. Parmi les 3 boules tirées, on\nnote \$X\$ le nombre de boules rouges\net \$Y\$ le nombre de boules\njaunes.

\n" } }, { "id": "a5cf042e-0434-4f5b-a6e3-f35ecd05cdc3", "type": "question", "value": { "latex": "Expliciter la loi de $X$.", "html": "

Expliciter la loi de \$X\$.

\n" } }, { "id": "e9b4d62a-11ac-4a2c-a6ca-b0ab9e8bff09", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer l'espérance de $X$, de $Y$ et la variance de $Y$.", "html": "

Calculer l’espérance de \$X\$, de\n\$Y\$ et la variance de \$Y\$.

\n" } }, { "id": "a74307fb-8752-4db5-89e7-adf03ec8d7ca", "type": "question", "value": { "latex": "Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ? Justifier.", "html": "

Les variables \$X\$ et \$Y\$ sont-elles indépendantes ?\nJustifier.

\n" } } ] }, { "uuid": "4Idt", "titre": "Inégalités et loi de Poisson", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime Nguyen", "createdAt": "2024-11-06T20:21:54.246Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:54.246Z" }, "contenu": [ { "id": "74a8a4a7-f4c6-45a9-9776-33df4b7af997", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $X$ une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre $\\lambda>0$.", "html": "

Soit \$X\$ une variable aléatoire de\nloi de Poisson de paramètre \$\\lambda>0\$.

\n" } }, { "id": "a785a3a8-41f7-4c7a-9970-10e86c1856db", "type": "question", "value": { "latex": "En utilisant l'inégalité de Markov, montrer que: $\\prob(X\\geq 2\\lambda)\\leq\\frac{1}{2}$.", "html": "

En utilisant l’inégalité de Markov, montrer que: \$\\prob(X\\geq 2\\lambda)\\leq\\frac{1}{2}\$.

\n" } }, { "id": "68e220c1-bd32-473a-adc2-910120ff71d1", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par l'inégalité de Markov, on a:\n\t\t\\[ \\prob(|X|\\geq 2\\lambda)\\leq \\frac{\\E(|X|)}{2\\lambda}\\]\n\t\tor $X\\sim\\mathcal{P}(\\lambda)$ donc $X(\\Omega)=\\N$ et on a\n\t\t\\[ \\prob(X\\leq 2\\lambda) \\geq \\frac{\\E(X)}{2\\lambda}=\\frac{\\lambda}{2\\lambda}=\\frac{1}{2}.\\]", "html": "

Par l’inégalité de Markov, on a: \\[\\prob(|X|\\geq 2\\lambda)\\leq\n\\frac{\\E(|X|)}{2\\lambda}\\] or \$X\\sim\\mathcal{P}(\\lambda)\$ donc \$X(\\Omega)=\\N\$ et on a \\[\\prob(X\\leq 2\\lambda) \\geq\n\\frac{\\E(X)}{2\\lambda}=\\frac{\\lambda}{2\\lambda}=\\frac{1}{2}.\\]

\n" } }, { "id": "622f4b25-84b8-4c76-85cd-5b70fb4dbb36", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que $\\prob(|X-\\lambda| \\geq \\lambda) \\leq \\frac{1}{\\lambda}$ et en déduire que $\\prob(X\\geq 2\\lambda)\\leq \\frac{1}{\\lambda}$.", "html": "

Montrer que \$\\prob(|X-\\lambda| \\geq\n\\lambda) \\leq \\frac{1}{\\lambda}\$ et en déduire que \$\\prob(X\\geq 2\\lambda)\\leq\n\\frac{1}{\\lambda}\$.

\n" } }, { "id": "7025ec18-96ff-4875-ac69-d52186d55552", "type": "reponse", "value": { "latex": "Par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a\n\t\t\\[ \\prob(|X-\\E(X)|\\geq \\lambda)\\leq \\frac{\\sigma^2(X)}{\\lambda^2}=\\frac{\\lambda}{\\lambda^2}=\\frac{1}{\\lambda}\\]\n\t\tdonc\n\t\t\\[ \\prob(|X-\\lambda|)\\geq \\frac{1}{\\lambda}.\\]\n\t\tOr\n\t\t\\[ \\prob(X\\geq 2\\lambda)=\\prob(X-\\lambda \\geq \\lambda)\n\t\t\\leq \\prob(|X-\\lambda|\\geq \\lambda)\\leq \\frac{1}{\\lambda},\n\t\t\\]\n\t\td'où\n\t\t\\[ \\prob(X\\geq 2\\lambda) \\leq \\frac{1}{\\lambda}.\\]", "html": "

Par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a \\[\\prob(|X-\\E(X)|\\geq \\lambda)\\leq\n\\frac{\\sigma^2(X)}{\\lambda^2}=\\frac{\\lambda}{\\lambda^2}=\\frac{1}{\\lambda}\\]\ndonc \\[\\prob(|X-\\lambda|)\\geq\n\\frac{1}{\\lambda}.\\] Or \\[\\prob(X\\geq\n2\\lambda)=\\prob(X-\\lambda \\geq \\lambda)\n \\leq \\prob(|X-\\lambda|\\geq \\lambda)\\leq\n\\frac{1}{\\lambda},\\] d’où \\[\\prob(X\\geq 2\\lambda) \\leq\n\\frac{1}{\\lambda}.\\]

\n" } }, { "id": "56db1dd1-4fa1-48c1-968d-f7c64f5da2ba", "type": "question", "value": { "latex": "Pour $\\lambda$ assez grand, laquelle des deux inégalités est la meilleure ?", "html": "

Pour \$\\lambda\$ assez grand,\nlaquelle des deux inégalités est la meilleure ?

\n" } }, { "id": "80eb32e9-824a-496d-9375-f15820ae822f", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour $\\lambda \\geq 2$, $\\frac{1}{\\lambda}\\leq \\frac{1}{2}$ donc l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est meilleure que celle de Markov.", "html": "

Pour \$\\lambda \\geq 2\$, \$\\frac{1}{\\lambda}\\leq \\frac{1}{2}\$ donc\nl’inégalité de Bienaymé-Tchebychev est meilleure que celle de\nMarkov.

\n" } } ] }, { "uuid": "iboj", "titre": "Intervalle de confiance pour une proportion", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime NGUYEN", "createdAt": "2024-11-06T20:22:38.668Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:38.668Z" }, "contenu": [ { "id": "d9f37598-6566-4a88-a656-08d1f75d0469", "type": "description", "value": { "latex": "On effectue un contrôle de fabrication sur des pièces dont la proportion $p$ est défectueuse.", "html": "

On effectue un contrôle de fabrication sur des pièces dont la\nproportion \$p\$ est défectueuse.

\n" } }, { "id": "8ae6d853-2e4d-4d8f-8f66-18d51c4a5793", "type": "question", "value": { "latex": "On contrôle un lot de 200 pièces et on trouve $n=24$ pièces défectueuses. Donner les intervalles de confiance pour l'estimation de $p$, au risque $\\alpha=0.05$.", "html": "

On contrôle un lot de 200 pièces et on trouve \$n=24\$ pièces défectueuses. Donner les\nintervalles de confiance pour l’estimation de \$p\$, au risque \$\\alpha=0.05\$.

\n" } }, { "id": "69a30f8c-e6c2-4e68-a323-e4db7db2efc7", "type": "question", "value": { "latex": "Combien faudrait-il contrôler de pièces pour que, au risque $\\alpha=0.05$, l'intervalle de confiance centré soit d'amplitude $0.04$ ?", "html": "

Combien faudrait-il contrôler de pièces pour que, au risque \$\\alpha=0.05\$, l’intervalle de confiance\ncentré soit d’amplitude \$0.04\$ ?

\n" } } ] }, { "uuid": "5cbY", "titre": "Intervalles de confiance", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime NGUYEN", "createdAt": "2024-11-06T20:21:56.037Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:56.037Z" }, "contenu": [ { "id": "410da96e-04fc-4a9b-9441-576a0ffb5391", "type": "description", "value": { "latex": "Pour étudier le degré de pollution des eaux d'une rivière par les déchets d'une usine, on mesure la teneur en milligrammes d'un certain polluant par litre d'eau.", "html": "

Pour étudier le degré de pollution des eaux d’une rivière par les\ndéchets d’une usine, on mesure la teneur en milligrammes d’un certain\npolluant par litre d’eau.

\n" } }, { "id": "b619d486-a12a-41fa-a911-5114619f125d", "type": "question", "value": { "latex": "On effectue 17 mesures pour lesquelles les valeurs observées des teneurs en polluant ont une moyenne de 5.2~mg/L et un écart-type de 1.2~mg/L. \n \t\\begin{enumerate}\n \t\t\\item Donner une estimation sans biais de la moyenne et de l'écart type de la teneur en polluant dans cette rivière.\n\n \t\t\\item Donner un intervalle de confiance au seuil de 5\\% pour la teneur moyenne en polluant de cette rivière.\n \t\t\\item A partir de ces résultats, peut-on considérer que l'usine respecte la législation en vigueur selon laquelle cette teneur moyenne en polluant ne doit pas dépasser 7~mg/ ?\n \t\\end{enumerate}", "html": "

On effectue 17 mesures pour lesquelles les valeurs observées des\nteneurs en polluant ont une moyenne de 5.2 mg/L et un écart-type de\n1.2 mg/L.

Donner une estimation sans biais de la moyenne et de l’écart type\nde la teneur en polluant dans cette rivière.
Donner un intervalle de confiance au seuil de 5% pour la teneur\nmoyenne en polluant de cette rivière.
A partir de ces résultats, peut-on considérer que l’usine\nrespecte la législation en vigueur selon laquelle cette teneur moyenne\nen polluant ne doit pas dépasser 7 mg/ ?

\n" } }, { "id": "86b5f658-0e81-4e91-a98f-6c1ed8ca7f64", "type": "reponse", "value": { "latex": "La moyenne observée dans l'échantillon est une estimation sans biais de la moyenne de la teneur dans la rivière, on obtient $\\overline{x}=5.2$. L'écart type observé donne une estimation biaisée de l'écart type de la teneur en polluant dans la rivière, on calcule donc la variance observée $\\tilde{S}^2 = 1.2^2 = 1.44$ puis la variance corrigée $S^2 = \\frac{17}{16} \\tilde{S}^2 \\approx 1.53$ d'où une estimation non biaisée $s \\approx 1.24$ de l'écart type. \n \t\n \tL'échantillon étant petit ($n=17$), on doit supposer de surcroit que la distribution des mesures est normale. De là, on tire un intervalle de confiance à l'aide de la loi de Student $St(16)$ : $[4.58;5.82]$.", "html": "

La moyenne observée dans l’échantillon est une estimation sans biais\nde la moyenne de la teneur dans la rivière, on obtient \$\\overline{x}=5.2\$. L’écart type observé\ndonne une estimation biaisée de l’écart type de la teneur en polluant\ndans la rivière, on calcule donc la variance observée \$\\tilde{S}^2 = 1.2^2 = 1.44\$ puis la\nvariance corrigée \$S^2 = \\frac{17}{16}\n\\tilde{S}^2 \\approx 1.53\$ d’où une estimation non biaisée \$s \\approx 1.24\$ de l’écart type.

L’échantillon étant petit (\$n=17\$), on doit supposer de surcroit que\nla distribution des mesures est normale. De là, on tire un intervalle de\nconfiance à l’aide de la loi de Student \$St(16)\$ : \$[4.58;5.82]\$.

\n" } }, { "id": "b59b8c82-033a-4c3d-b6db-29f79565ba92", "type": "question", "value": { "latex": "Combien de mesures devrait-on faire pour estimer la teneur moyenne en polluant avec une précision de 0.1~mg/L au niveau de confiance 95\\% ?", "html": "

Combien de mesures devrait-on faire pour estimer la teneur moyenne en\npolluant avec une précision de 0.1 mg/L au niveau de confiance 95% ?

\n" } }, { "id": "962fd9f0-cb64-42de-a654-14535eb88ed9", "type": "reponse", "value": { "latex": "En supposant que l'écart type de l'échantillon reste le même, la précision de l'intervalle de confiance est donné par sa longueur qui est $2\\times t_{\\alpha/2}\\sqrt{\\frac{s^2}{n}}$. Dans la question précédente, cette longueur vaut environ $1.23$. \n\nOn cherche $n$ tel que $2\\times t_{\\alpha/2}\\sqrt{\\frac{s^2}{n}} = \\leq 0.1$. On peut supposer que $n$ sera plus grand que $30$, donc on remplace $t_{\\alpha/2}$ (quantile d'une loi de Student) par $u_{\\alpha/2}$ en lecture de table de la loi normale centrée réduite. En supposant que l'estimation de variance reste la même, on obtient $2\\times 1.96 \\times\\frac{1.24}{\\sqrt{n}} \\leq 0.1$ soit $\\sqrt{n} \\geq 48.608$ soit \\fbox{$n \\geq 2363$}. \n\n\\href{https://stcyrterrenetdefensegouvf-my.sharepoint.com/:x:/g/personal/maxime_nguyen_st-cyr_terre-net_defense_gouv_fr/Ec9ve_iQd-pNn_Tf86GSa8EBJUrDEkRpISpMW4xkp23PeQ?e=oOly0h}{Détail des calculs sur tableur}", "html": "

En supposant que l’écart type de l’échantillon reste le même, la\nprécision de l’intervalle de confiance est donné par sa longueur qui est\n\$2\\times\nt_{\\alpha/2}\\sqrt{\\frac{s^2}{n}}\$. Dans la question précédente,\ncette longueur vaut environ \$1.23\$.

On cherche \$n\$ tel que \$2\\times t_{\\alpha/2}\\sqrt{\\frac{s^2}{n}} = \\leq\n0.1\$. On peut supposer que \$n\$ sera plus grand que \$30\$, donc on remplace \$t_{\\alpha/2}\$ (quantile d’une loi de\nStudent) par \$u_{\\alpha/2}\$ en\nlecture de table de la loi normale centrée réduite. En supposant que\nl’estimation de variance reste la même, on obtient \$2\\times 1.96 \\times\\frac{1.24}{\\sqrt{n}} \\leq\n0.1\$ soit \$\\sqrt{n} \\geq\n48.608\$ soit .

Détail\ndes calculs sur tableur

\n" } } ] }, { "uuid": "gk1A", "titre": "Intervalles de confiance", "theme": [ "statistiques" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "Maxime NGUYEN", "createdAt": "2024-11-06T20:22:36.606Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:36.606Z" }, "contenu": [ { "id": "3aad6cd1-71f7-4118-bf3a-211d50c0b1ea", "type": "description", "value": { "latex": "Une association de consommateurs a effectué une enquête sur le prix d'un produit dans le supermarchés. Pour ce produit, les prix suivants (en euros) ont été relevés dans 7 supermarchés différents :\n $$52 \\qquad 52 \\qquad 43 \\qquad 51 \\qquad 69 \\qquad 55 \\qquad 49$$", "html": "

Une association de consommateurs a effectué une enquête sur le prix\nd’un produit dans le supermarchés. Pour ce produit, les prix suivants\n(en euros) ont été relevés dans 7 supermarchés différents : \\[52 \\qquad 52 \\qquad 43 \\qquad 51 \\qquad 69 \\qquad\n55 \\qquad 49\\]

\n" } }, { "id": "7bc5ed4b-98ce-48db-b7b3-185ac2cc11e7", "type": "question", "value": { "latex": "En supposant que le prix $X$ de ce produit est distribué selon une loi normale $\\mathcal{N}(\\mu,\\sigma^2)$, calculer une estimation $\\overline{x}$ de l'espérance $\\EX$ et une estimation $s$ de l'écart-type $\\sigma(X)$. On précisera les estimateurs choisis et on en donnera les propriétés.", "html": "

En supposant que le prix \$X\$ de ce\nproduit est distribué selon une loi normale \$\\mathcal{N}(\\mu,\\sigma^2)\$, calculer une\nestimation \$\\overline{x}\$ de\nl’espérance \$\\EX\$ et une estimation\n\$s\$ de l’écart-type \$\\sigma(X)\$. On précisera les estimateurs\nchoisis et on en donnera les propriétés.

\n" } }, { "id": "817adf5e-f044-4271-8889-c997302fc8a4", "type": "reponse", "value": { "latex": "Avec l'estimateur usuel $\\overline{X}$, on obtient à partir de la réalisation de cet échantillon de taille $7$ une estimation $\\overline{x} = 53$. Avec l'estimateur de variance corrigée $S^2$, on obtient une estimation de la variance $s^2 \\approx 63{,}667$ d'où une estimation de l'écart type de $7.98$.", "html": "

Avec l’estimateur usuel \$\\overline{X}\$, on obtient à partir de la\nréalisation de cet échantillon de taille \$7\$ une estimation \$\\overline{x} = 53\$. Avec l’estimateur de\nvariance corrigée \$S^2\$, on obtient\nune estimation de la variance \$s^2 \\approx\n63{,}667\$ d’où une estimation de l’écart type de \$7.98\$.

\n" } }, { "id": "2d14e077-b2ea-418a-8514-760e5e8c10f0", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer les intervalles de confiances symétriques au seuil de $90\\%$ et $99\\%$ centrés en $\\mu = \\EX$.", "html": "

Déterminer les intervalles de confiances symétriques au seuil de\n\$90\\%\$ et \$99\\%\$ centrés en \$\\mu = \\EX\$.

\n" } }, { "id": "a464dd3c-dfed-4292-82df-5908033f9347", "type": "reponse", "value": { "latex": "Au vu de la taille de l'échantillon, la variable mère est supposée suivre une loi normale donc on utilise une loi de Student $St(6)$ pour calculer la réalisation de l'intervalle de confiance avec la formule du cours : \n \t\t\n \t\tAu seuil de $90\\%$, on obtient l'intervalle $[47.1;58.9]$ ;\n \t\t\n \t\tAu seuil de $99\\%$, on obtient l'intervalle $[41.8;64.2]$.\n \t\n \t\\href{https://stcyrterrenetdefensegouvf-my.sharepoint.com/:x:/g/personal/maxime_nguyen_st-cyr_terre-net_defense_gouv_fr/EaiHx79BvjVEmoQdi_Bixd0BwrtFrlxQpaAxywubog-BcA?e=brgT78}{Détail des calculs sur tableur}", "html": "

Au vu de la taille de l’échantillon, la variable mère est supposée\nsuivre une loi normale donc on utilise une loi de Student \$St(6)\$ pour calculer la réalisation de\nl’intervalle de confiance avec la formule du cours :

Au seuil de \$90\\%\$, on obtient\nl’intervalle \$[47.1;58.9]\$ ;

Au seuil de \$99\\%\$, on obtient\nl’intervalle \$[41.8;64.2]\$.

Détail\ndes calculs sur tableur

\n" } } ] }, { "uuid": "3WGA", "titre": "Introduction à la loi binomiale", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:21:53.599Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:21:53.599Z" }, "contenu": [ { "id": "7fa84da3-a287-46e0-baaa-cb5a3dac430a", "type": "description", "value": { "latex": "Une urne contient 2 boules noires et 8 boules blanches.", "html": "

Une urne contient 2 boules noires et 8 boules blanches.

\n" } }, { "id": "c332545f-b21a-4457-9799-e75516a21821", "type": "description", "value": { "latex": "Un joueur tire successivement 5 boules en remettant la boule dans l'urne après chaque tirage. S'il tire une boule blanche il gagne 2 points dans le cas contraire il perd trois points. Soit $X$ le nombre de points obtenus par le joueur en une partie.", "html": "

Un joueur tire successivement 5 boules en remettant la boule dans\nl’urne après chaque tirage. S’il tire une boule blanche il gagne 2\npoints dans le cas contraire il perd trois points. Soit \$X\$ le nombre de points obtenus par le\njoueur en une partie.

\n" } }, { "id": "15ca5d86-0c78-4bc8-bd03-9fbde89463d7", "type": "question", "value": { "latex": "Dresser le tableau définissant la loi de $X$.", "html": "

Dresser le tableau définissant la loi de \$X\$.

\n" } }, { "id": "5e8b6311-4ed6-4e9d-b4fe-9bfabc422cfb", "type": "reponse", "value": { "latex": "On peut dénombrer les cas possibles en regardant le nombre de boules blanches au sein d'un tirage de 5 boules : \\\\\n\t\t\t\t0 boule blanche : $X=5 \\times (-3) = -15$ pts \\\\\n\t\t\t\t1 boule blanche : $X = 2 + 4 \\times (-3) = -11$ pts \\\\\n\t\t\t\t2 boules blanches : $X = 2 \\times 2 + 3 \\times (-3) = -5$ pts \\\\\n\t\t\t\t3 boules blanches : $X = 3 \\times 2 + 2 \\times (-3) = 0$ pts \\\\\n\t\t\t\t4 boules blanches : $X = 4 \\times 2 + 1 \\times (-3) = 5$ pts \\\\\n\t\t\t\t5 boules blanches : $X = 5 \\times 2 = 10$ pts \\\\\n\t\t\t\t\n\t\t\t\tA chaque tirage, la probabilité d'avoir une boule noire est $0.2$ et la probabilité d'avoir une boule blanche est $0.8$ car il y a remise. La probabilité d'avoir un certain tirage contenant $k$ boules blanches et $5-k$ boules noires est donc $(0.8)^k \\times (0.2)^{5-k}$. Sur un tirage de 5 boules, il y a $\\binom{5}{k}$ combinaisons possibles pour avoir $k$ boules blanches parmi ces 5 boules. Au final, on a une probabilité d'avoir $k$ boules blanches : $\\binom{5}{k} \\times (0.8)^k \\times (0.2)^{5-k}$.\n\t\t\t\t\n\t\t\t\tPour $k=2$ par exemple, on a une probabilité de $0.0512$. Le nombre de points $X$ étant déterminé par le nombre de boules blanches, on en déduit directement la loi de la variable $X$ : \n\t\t\t\t\\begin{center}\n\t\t\t\t\t\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\n\t\t\t\t\t\t\\hline $k$ & -15 & -11 & -5 & 0 & 5 & 10 \\\\ \n\t\t\t\t\t\t\\hline $\\PP(X=k)$ & 0{,}00032 & 0{,}0064 & 0{,}0512 & 0{,}2048 & 0{,}4096 & 0{,}32768 \\\\ \n\t\t\t\t\t\t\\hline \n\t\t\t\t\t\\end{tabular} \n\t\t\t\\end{center}", "html": "

On peut dénombrer les cas possibles en regardant le nombre de boules\nblanches au sein d’un tirage de 5 boules :
\n0 boule blanche : \$X=5 \\times (-3) =\n-15\$ pts
\n1 boule blanche : \$X = 2 + 4 \\times (-3) =\n-11\$ pts
\n2 boules blanches : \$X = 2 \\times 2 + 3\n\\times (-3) = -5\$ pts
\n3 boules blanches : \$X = 3 \\times 2 + 2\n\\times (-3) = 0\$ pts
\n4 boules blanches : \$X = 4 \\times 2 + 1\n\\times (-3) = 5\$ pts
\n5 boules blanches : \$X = 5 \\times 2 =\n10\$ pts
\nA chaque tirage, la probabilité d’avoir une boule noire est \$0.2\$ et la probabilité d’avoir une boule\nblanche est \$0.8\$ car il y a remise.\nLa probabilité d’avoir un certain tirage contenant \$k\$ boules blanches et \$5-k\$ boules noires est donc \$(0.8)^k \\times (0.2)^{5-k}\$. Sur un tirage\nde 5 boules, il y a \$\\binom{5}{k}\$\ncombinaisons possibles pour avoir \$k\$\nboules blanches parmi ces 5 boules. Au final, on a une probabilité\nd’avoir \$k\$ boules blanches : \$\\binom{5}{k} \\times (0.8)^k \\times\n(0.2)^{5-k}\$.

Pour \$k=2\$ par exemple, on a une\nprobabilité de \$0.0512\$. Le nombre de\npoints \$X\$ étant déterminé par le\nnombre de boules blanches, on en déduit directement la loi de la\nvariable \$X\$ :

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

\$k\$	-15	-11	-5	0	5	10
\$\\PP(X=k)\$	0,00032	0,0064	0,0512	0,2048	0,4096	0,32768

\n" } }, { "id": "41a391c7-76eb-4f6d-8b63-205f17c449f8", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer l'espérance et la variance de $X$.", "html": "

Calculer l’espérance et la variance de \$X\$.

\n" } }, { "id": "a8d11d14-6a0a-4aa3-ac46-f98a541fe446", "type": "reponse", "value": { "latex": "L'espérance de $X$ se calcule à partir du tableau et on trouve $\\EX = 4$ : c'est le nombre de points que l'on peut obtenir en moyenne à ce jeu.", "html": "

L’espérance de \$X\$ se calcule à\npartir du tableau et on trouve \$\\EX =\n4\$ : c’est le nombre de points que l’on peut obtenir en moyenne\nà ce jeu.

\n" } }, { "id": "c53ba827-903e-4f1b-ae99-c5db4af0a819", "type": "question", "value": { "latex": "Le joueur tire 5 boules simultanément, les 10 boules de l'urne étant numérotées de 1 à 10. \tSoit $Y$ le plus grand des numéros tirés. Déterminer la loi de probabilité de $Y$ et calculer son espérance.", "html": "

Le joueur tire 5 boules simultanément, les 10 boules de l’urne étant\nnumérotées de 1 à 10. Soit \$Y\$ le\nplus grand des numéros tirés. Déterminer la loi de probabilité de \$Y\$ et calculer son espérance.

\n" } }, { "id": "8ab2b76c-f829-472d-8075-4e0f2a39ee67", "type": "reponse", "value": { "latex": "La variable $Y$ est le plus grand des numéros tirés sur les 5 boules. Sur 5 boules tirées, la plus grande valeur est nécessairement supérieure ou égale à 5. Ainsi, les valeurs possibles prises par $Y$ sont $\\{5,6,7,8,9,10\\}$.\n\t\t\n\t\tIl y a $\\binom{10}{5}$ tirages possibles, ils sont équiprobables. \n\t\t\n\t\tPour obtenir $Y=5$, il n'y a qu'un seul tirage possible : 5 boules parmi les 5 plus petits numéros. \\\\\n\t\tPour obtenir $Y \\leq 6$, il y a $\\binom{6}{5}$ tirages possibles : 5 boules parmi les 6 plus petits numéros. \\\\\n\t\tOn généralise : pour obtenir $Y \\leq k$, il y a $\\binom{k}{5}$ tirages possibles : 5 boules parmi les k plus petits numéros (avec $k$ compris entre $5$ et $10$). On en déduit la fonction de répartition de $Y$ : $$\\PP(Y \\leq k) = \\frac{\\binom{k}{5}}{\\binom{10}{5}}$$\n\t\tpuis on obtient $\\PP(Y=k) = \\PP(Y \\leq k) - \\PP(Y \\leq k-1)$.\n\t\tNumériquement, cela donne :\n\t\t\\begin{center}\n\t\t\t\\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\n\t\t\t\t\\hline $k$ & 5 & 6 & -7 & 8 & 9 & 10 \\\\ \n\t\t\t\t\\hline $\\PP(Y \\leq k)$ & 0{,}003968 & 0{,}0238095 & 0{,}083333 & 0{,}222222 & 0{,}5 & 1 \\\\ \n\t\t\t\t\\hline $\\PP(Y=k)$ & 0{,}003968 & 0{,}019841 & 0{,}059524 & 0{,}138889 & 0{,}277778 & 0{,}5 \\\\\n\t\t\t\t\\hline\n\t\t\t\\end{tabular} \n\t\\end{center}", "html": "

La variable \$Y\$ est le plus grand\ndes numéros tirés sur les 5 boules. Sur 5 boules tirées, la plus grande\nvaleur est nécessairement supérieure ou égale à 5. Ainsi, les valeurs\npossibles prises par \$Y\$ sont \$\\{5,6,7,8,9,10\\}\$.

Il y a \$\\binom{10}{5}\$ tirages\npossibles, ils sont équiprobables.

Pour obtenir \$Y=5\$, il n’y a qu’un\nseul tirage possible : 5 boules parmi les 5 plus petits numéros.
\nPour obtenir \$Y \\leq 6\$, il y a \$\\binom{6}{5}\$ tirages possibles : 5 boules\nparmi les 6 plus petits numéros.
\nOn généralise : pour obtenir \$Y \\leq\nk\$, il y a \$\\binom{k}{5}\$\ntirages possibles : 5 boules parmi les k plus petits numéros (avec \$k\$ compris entre \$5\$ et \$10\$). On en déduit la fonction de\nrépartition de \$Y\$ : \\[\\PP(Y \\leq k) =\n\\frac{\\binom{k}{5}}{\\binom{10}{5}}\\] puis on obtient \$\\PP(Y=k) = \\PP(Y \\leq k) - \\PP(Y \\leq\nk-1)\$. Numériquement, cela donne :

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

\$k\$	5	6	-7	8	9	10
\$\\PP(Y \\leq\nk)\$	0,003968	0,0238095	0,083333	0,222222	0,5	1
\$\\PP(Y=k)\$	0,003968	0,019841	0,059524	0,138889	0,277778	0,5

\n" } } ] }, { "uuid": "r1il", "titre": "Inverse de matrice", "theme": [ "calcul matriciel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:48.712Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:48.712Z" }, "contenu": [ { "id": "b6cad2b5-18b4-40e2-a5f7-d722b565afb0", "type": "description", "value": { "latex": "Soient les matrices $A=\\begin{pmatrix}1 & 4 & -3 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 3 & -2\\end{pmatrix}$ et $B=\\begin{pmatrix}1 & -a & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & -a & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & -a \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\end{pmatrix}$.", "html": "

Soient les matrices \$A=\\begin{pmatrix}1\n& 4 & -3 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 3 &\n-2\\end{pmatrix}\$ et \$B=\\begin{pmatrix}1 & -a & 0 & 0 \\\\ 0\n& 1 & -a & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & -a \\\\ 0 & 0\n& 0 & 1\\end{pmatrix}\$.

\n" } }, { "id": "33b6bd6e-e89c-44c0-8fd4-47a2c8e77c9c", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $A^{-1}$ et $B^{-1}$.", "html": "

Calculer \$A^{-1}\$ et \$B^{-1}\$.

\n" } }, { "id": "3281698f-6182-4f8a-9cc8-66b788bfb2bb", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soient :\n\t$$\n\tA=\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t1 & 4 & -3 \\\\\n\t\t2 & 1 & 2 \\\\\n\t\t1 & 3 & -2\n\t\\end{array}\\right) \\quad I_3=\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t1 & 0 & 0 \\\\\n\t\t0 & 1 & 0 \\\\\n\t\t0 & 0 & 1\n\t\\end{array}\\right)\n\t$$\n\t\n\t\n\tRetranchons à la deuxième ligne 2 fois la première et à la troisième ligne 1 fois la première :\n\t$$\n\t\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t1 & 4 & -3 \\\\\n\t\t0 & -7 & 8 \\\\\n\t\t0 & -1 & 1\n\t\\end{array}\\right) \\quad\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t1 & 0 & 0 \\\\\n\t\t-2 & 1 & 0 \\\\\n\t\t-1 & 0 & 1\n\t\\end{array}\\right)\n\t$$\n\tChangeons le signe de la deuxième et de la troisième ligne et permutons les lignes 2 et 3 :\n\t$$\n\t\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t1 & 4 & -3 \\\\\n\t\t0 & 1 & -1 \\\\\n\t\t0 & 7 & -8\n\t\\end{array}\\right) \\quad\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t1 & 0 & 0 \\\\\n\t\t1 & 0 & -1 \\\\\n\t\t2 & -1 & 0\n\t\\end{array}\\right)\n\t$$\n\tRetranchons à la troisième ligne 7 fois la première :\n\t$$\n\t\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t1 & 4 & -3 \\\\\n\t\t0 & 1 & -1 \\\\\n\t\t0 & 0 & -1\n\t\\end{array}\\right) \\quad\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t1 & 0 & 0 \\\\\n\t\t1 & 0 & -1 \\\\\n\t\t-5 & -1 & 7\n\t\\end{array}\\right)\n\t$$\n\tChangeons le signe de la troisième ligne :\n\t$$\n\t\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t1 & 4 & -3 \\\\\n\t\t0 & 1 & -1 \\\\\n\t\t0 & 0 & 1\n\t\\end{array}\\right) \\quad\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t1 & 0 & 0 \\\\\n\t\t1 & 0 & -1 \\\\\n\t\t5 & 1 & -7\n\t\\end{array}\\right)\n\t$$\n\tAjoutons à la première ligne 3 fois la troisième ligne et ajoutons à la deuxième ligne la troisième :\n\t$$\n\t\\left(\\begin{array}{lll}\n\t\t1 & 4 & 0 \\\\\n\t\t0 & 1 & 0 \\\\\n\t\t0 & 0 & 1\n\t\\end{array}\\right) \\quad\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t16 & 3 & -21 \\\\\n\t\t6 & 1 & -8 \\\\\n\t\t5 & 1 & -7\n\t\\end{array}\\right)\n\t$$\n\tRetranchons à la première ligne 4 fois la deuxième ligne :\n\t$$\n\tI_3=\\left(\\begin{array}{lll}\n\t\t1 & 0 & 0 \\\\\n\t\t0 & 1 & 0 \\\\\n\t\t0 & 0 & 1\n\t\\end{array}\\right)\n\t$$\n\t$$\n\tA^{-1}=\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t-8 & -1 & 11 \\\\\n\t\t6 & 1 & -8 \\\\\n\t\t5 & 1 & -7\n\t\\end{array}\\right)\n\t$$\n\t\n\tSoient :\n\t$$\n\tB=\\left(\\begin{array}{cccc}\n\t\t1 & -a & 0 & 0 \\\\\n\t\t0 & 1 & -a & 0 \\\\\n\t\t0 & 0 & 1 & -a \\\\\n\t\t0 & 0 & 0 & 1\n\t\\end{array}\\right) \\quad I_4=\\left(\\begin{array}{cccc}\n\t\t1 & 0 & 0 & 0 \\\\\n\t\t0 & 1 & 0 & 0 \\\\\n\t\t0 & 0 & 1 & 0 \\\\\n\t\t0 & 0 & 0 & 1\n\t\\end{array}\\right)\n\t$$\n\tAjoutons à la troisième ligne $a$ fois la quatrième :\n\t$$\n\t\\left(\\begin{array}{cccc}\n\t\t1 & -a & 0 & 0 \\\\\n\t\t0 & 1 & -a & 0 \\\\\n\t\t0 & 0 & 1 & 0 \\\\\n\t\t0 & 0 & 0 & 1\n\t\\end{array}\\right) \\quad\\left(\\begin{array}{llll}\n\t\t1 & 0 & 0 & 0 \\\\\n\t\t0 & 1 & 0 & 0 \\\\\n\t\t0 & 0 & 1 & a \\\\\n\t\t0 & 0 & 0 & 1\n\t\\end{array}\\right)\n\t$$\n\tAjoutons à la deuxième ligne $a$ fois la troisième :\n\t$$\n\t\\left(\\begin{array}{cccc}\n\t\t1 & -a & 0 & 0 \\\\\n\t\t0 & 1 & 0 & 0 \\\\\n\t\t0 & 0 & 1 & 0 \\\\\n\t\t0 & 0 & 0 & 1\n\t\\end{array}\\right) \\quad\\left(\\begin{array}{cccc}\n\t\t1 & 0 & 0 & 0 \\\\\n\t\t0 & 1 & a & a^2 \\\\\n\t\t0 & 0 & 1 & a \\\\\n\t\t0 & 0 & 0 & 1\n\t\\end{array}\\right)\n\t$$\n\tAjoutons à la première ligne $a$ fois la deuxième :\n\t$$\n\tI_4=\\left(\\begin{array}{cccc}\n\t\t1 & 0 & 0 & 0 \\\\\n\t\t0 & 1 & 0 & 0 \\\\\n\t\t0 & 0 & 1 & 0 \\\\\n\t\t0 & 0 & 0 & 1\n\t\\end{array}\\right) \\quad B^{-1}=\\left(\\begin{array}{cccc}\n\t\t1 & a & a^2 & a^3 \\\\\n\t\t0 & 1 & a & a^2 \\\\\n\t\t0 & 0 & 1 & a \\\\\n\t\t0 & 0 & 0 & 1\n\t\\end{array}\\right)\n\t$$", "html": "

Soient : \\[A=\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & 4 & -3 \\\\\n 2 & 1 & 2 \\\\\n 1 & 3 & -2\n \\end{array}\\right) \\quad I_3=\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & 0 & 0 \\\\\n 0 & 1 & 0 \\\\\n 0 & 0 & 1\n \\end{array}\\right)\\]

Retranchons à la deuxième ligne 2 fois la première et à la troisième\nligne 1 fois la première : \\[\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & 4 & -3 \\\\\n 0 & -7 & 8 \\\\\n 0 & -1 & 1\n \\end{array}\\right) \\quad\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & 0 & 0 \\\\\n -2 & 1 & 0 \\\\\n -1 & 0 & 1\n \\end{array}\\right)\\] Changeons le signe de la deuxième et de\nla troisième ligne et permutons les lignes 2 et 3 : \\[\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & 4 & -3 \\\\\n 0 & 1 & -1 \\\\\n 0 & 7 & -8\n \\end{array}\\right) \\quad\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & 0 & 0 \\\\\n 1 & 0 & -1 \\\\\n 2 & -1 & 0\n \\end{array}\\right)\\] Retranchons à la troisième ligne 7 fois\nla première : \\[\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & 4 & -3 \\\\\n 0 & 1 & -1 \\\\\n 0 & 0 & -1\n \\end{array}\\right) \\quad\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & 0 & 0 \\\\\n 1 & 0 & -1 \\\\\n -5 & -1 & 7\n \\end{array}\\right)\\] Changeons le signe de la troisième ligne\n: \\[\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & 4 & -3 \\\\\n 0 & 1 & -1 \\\\\n 0 & 0 & 1\n \\end{array}\\right) \\quad\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & 0 & 0 \\\\\n 1 & 0 & -1 \\\\\n 5 & 1 & -7\n \\end{array}\\right)\\] Ajoutons à la première ligne 3 fois la\ntroisième ligne et ajoutons à la deuxième ligne la troisième : \\[\\left(\\begin{array}{lll}\n 1 & 4 & 0 \\\\\n 0 & 1 & 0 \\\\\n 0 & 0 & 1\n \\end{array}\\right) \\quad\\left(\\begin{array}{ccc}\n 16 & 3 & -21 \\\\\n 6 & 1 & -8 \\\\\n 5 & 1 & -7\n \\end{array}\\right)\\] Retranchons à la première ligne 4 fois\nla deuxième ligne : \\[I_3=\\left(\\begin{array}{lll}\n 1 & 0 & 0 \\\\\n 0 & 1 & 0 \\\\\n 0 & 0 & 1\n \\end{array}\\right)\\] \\[A^{-1}=\\left(\\begin{array}{ccc}\n -8 & -1 & 11 \\\\\n 6 & 1 & -8 \\\\\n 5 & 1 & -7\n \\end{array}\\right)\\]

Soient : \\[B=\\left(\\begin{array}{cccc}\n 1 & -a & 0 & 0 \\\\\n 0 & 1 & -a & 0 \\\\\n 0 & 0 & 1 & -a \\\\\n 0 & 0 & 0 & 1\n \\end{array}\\right) \\quad I_4=\\left(\\begin{array}{cccc}\n 1 & 0 & 0 & 0 \\\\\n 0 & 1 & 0 & 0 \\\\\n 0 & 0 & 1 & 0 \\\\\n 0 & 0 & 0 & 1\n \\end{array}\\right)\\] Ajoutons à la troisième ligne \$a\$ fois la quatrième : \\[\\left(\\begin{array}{cccc}\n 1 & -a & 0 & 0 \\\\\n 0 & 1 & -a & 0 \\\\\n 0 & 0 & 1 & 0 \\\\\n 0 & 0 & 0 & 1\n \\end{array}\\right) \\quad\\left(\\begin{array}{llll}\n 1 & 0 & 0 & 0 \\\\\n 0 & 1 & 0 & 0 \\\\\n 0 & 0 & 1 & a \\\\\n 0 & 0 & 0 & 1\n \\end{array}\\right)\\] Ajoutons à la deuxième ligne \$a\$ fois la troisième : \\[\\left(\\begin{array}{cccc}\n 1 & -a & 0 & 0 \\\\\n 0 & 1 & 0 & 0 \\\\\n 0 & 0 & 1 & 0 \\\\\n 0 & 0 & 0 & 1\n \\end{array}\\right) \\quad\\left(\\begin{array}{cccc}\n 1 & 0 & 0 & 0 \\\\\n 0 & 1 & a & a^2 \\\\\n 0 & 0 & 1 & a \\\\\n 0 & 0 & 0 & 1\n \\end{array}\\right)\\] Ajoutons à la première ligne \$a\$ fois la deuxième : \\[I_4=\\left(\\begin{array}{cccc}\n 1 & 0 & 0 & 0 \\\\\n 0 & 1 & 0 & 0 \\\\\n 0 & 0 & 1 & 0 \\\\\n 0 & 0 & 0 & 1\n \\end{array}\\right) \\quad B^{-1}=\\left(\\begin{array}{cccc}\n 1 & a & a^2 & a^3 \\\\\n 0 & 1 & a & a^2 \\\\\n 0 & 0 & 1 & a \\\\\n 0 & 0 & 0 & 1\n \\end{array}\\right)\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "Sclr", "titre": "Inverse de matrice et application", "theme": [ "calcul matriciel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:20.449Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:20.449Z" }, "contenu": [ { "id": "7e2e84c2-611f-43f1-9d98-6c3135eb33f7", "type": "description", "value": { "latex": "Soient les matrices $A=\\begin{pmatrix}1 & 4 & -4 \\\\ -6 & -13 & 12 \\\\ -6 & -12 & 11\\end{pmatrix}$ et $P=\\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\\\ -3 & 4 & 1 \\\\ -3 & 3 & 1\\end{pmatrix}$.", "html": "

Soient les matrices \$A=\\begin{pmatrix}1\n& 4 & -4 \\\\ -6 & -13 & 12 \\\\ -6 & -12 &\n11\\end{pmatrix}\$ et \$P=\\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\\\ -3 & 4\n& 1 \\\\ -3 & 3 & 1\\end{pmatrix}\$.

\n" } }, { "id": "80a57a72-32fa-4a9d-bbb6-d926f98960e9", "type": "question", "value": { "latex": "Parmi les trois matrices suivantes, dire laquelle est l'inverse de $P$ en justifiant.\n\t\t$$\n\t\tB=\\begin{pmatrix}\n\t\t\t1 & 2 & -2 \\\\\n\t\t\t0 & 1 & -1 \\\\\n\t\t\t2 & 0 & -2\n\t\t\\end{pmatrix} \\quad C=\\begin{pmatrix}\n\t\t\t1 & 2 & -2 \\\\\n\t\t\t0 & 1 & -1 \\\\\n\t\t\t3 & 3 & -2\n\t\t\\end{pmatrix} \\quad D=\\begin{pmatrix}\n\t\t\t1 & 2 & 0 \\\\\n\t\t\t0 & 1 & 1 \\\\\n\t\t\t2 & 1 & 2\n\t\t\\end{pmatrix}\n\t\t$$", "html": "

Parmi les trois matrices suivantes, dire laquelle est l’inverse de\n\$P\$ en justifiant. \\[B=\\begin{pmatrix}\n 1 & 2 & -2 \\\\\n 0 & 1 & -1 \\\\\n 2 & 0 & -2\n \\end{pmatrix} \\quad C=\\begin{pmatrix}\n 1 & 2 & -2 \\\\\n 0 & 1 & -1 \\\\\n 3 & 3 & -2\n \\end{pmatrix} \\quad D=\\begin{pmatrix}\n 1 & 2 & 0 \\\\\n 0 & 1 & 1 \\\\\n 2 & 1 & 2\n \\end{pmatrix}\\]

\n" } }, { "id": "b30e4058-dc84-402a-954e-235970c680bf", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a :\n\t\t$$\n\t\tP \\cdot B=\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t\t1 & -2 & 0 \\\\\n\t\t\t-3 & 4 & 1 \\\\\n\t\t\t-3 & 3 & 1\n\t\t\\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t\t1 & 2 & -2 \\\\\n\t\t\t0 & 1 & -1 \\\\\n\t\t\t2 & 0 & -2\n\t\t\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t\t1 & 0 & 0 \\\\\n\t\t\t-1 & -2 & 0 \\\\\n\t\t\t-1 & -3 & 1\n\t\t\\end{array}\\right) \\neq I d\n\t\t$$\n\t\tdonc $P^{-1} \\neq B$\n\t\t$$\n\t\tP \\cdot C=\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t\t1 & -2 & 0 \\\\\n\t\t\t-3 & 4 & 1 \\\\\n\t\t\t-3 & 3 & 1\n\t\t\\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t\t1 & 2 & -2 \\\\\n\t\t\t0 & 1 & -1 \\\\\n\t\t\t3 & 3 & -2\n\t\t\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{lll}\n\t\t\t1 & 0 & 0 \\\\\n\t\t\t0 & 1 & 0 \\\\\n\t\t\t0 & 0 & 1\n\t\t\\end{array}\\right)=I d\n\t\t$$\n\t\tet $P^{-1}=C$\n\t\tPar unicité de la matrice inverse, sans calcul, on peut affirmer $P^{-1} \\neq D$.", "html": "

On a : \\[P \\cdot\nB=\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & -2 & 0 \\\\\n -3 & 4 & 1 \\\\\n -3 & 3 & 1\n \\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & 2 & -2 \\\\\n 0 & 1 & -1 \\\\\n 2 & 0 & -2\n \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & 0 & 0 \\\\\n -1 & -2 & 0 \\\\\n -1 & -3 & 1\n \\end{array}\\right) \\neq I d\\] donc \$P^{-1} \\neq B\$ \\[P \\cdot C=\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & -2 & 0 \\\\\n -3 & 4 & 1 \\\\\n -3 & 3 & 1\n \\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & 2 & -2 \\\\\n 0 & 1 & -1 \\\\\n 3 & 3 & -2\n \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{lll}\n 1 & 0 & 0 \\\\\n 0 & 1 & 0 \\\\\n 0 & 0 & 1\n \\end{array}\\right)=I d\\] et \$P^{-1}=C\$ Par unicité de la matrice\ninverse, sans calcul, on peut affirmer \$P^{-1} \\neq D\$.

\n" } }, { "id": "2700c772-ac66-4c5b-b65d-9adb5d3d060c", "type": "description", "value": { "latex": "Calculer $D = P^{-1} \\cdot A \\cdot P$.", "html": "

Calculer \$D = P^{-1} \\cdot A \\cdot\nP\$.

\n" } }, { "id": "33f41f4c-4530-4890-bef7-56609270f5fd", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\n\t\tP^{-1} \\cdot A \\cdot P=\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t\t1 & 2 & -2 \\\\\n\t\t\t0 & 1 & -1 \\\\\n\t\t\t3 & 3 & -2\n\t\t\\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t\t1 & 4 & -4 \\\\\n\t\t\t-6 & -13 & 12 \\\\\n\t\t\t-6 & -12 & 11\n\t\t\\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t\t1 & -2 & 0 \\\\\n\t\t\t-3 & 4 & 1 \\\\\n\t\t\t-3 & 3 & 1\n\t\t\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t\t1 & 0 & 0 \\\\\n\t\t\t0 & -1 & 0 \\\\\n\t\t\t0 & 0 & -1\n\t\t\\end{array}\\right)=D\n\t\t$$", "html": "

\\[P^{-1} \\cdot A \\cdot\nP=\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & 2 & -2 \\\\\n 0 & 1 & -1 \\\\\n 3 & 3 & -2\n \\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & 4 & -4 \\\\\n -6 & -13 & 12 \\\\\n -6 & -12 & 11\n \\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & -2 & 0 \\\\\n -3 & 4 & 1 \\\\\n -3 & 3 & 1\n \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & 0 & 0 \\\\\n 0 & -1 & 0 \\\\\n 0 & 0 & -1\n \\end{array}\\right)=D\\]

\n" } }, { "id": "4a60e0d0-3333-432c-9df0-0b7b0708c4ba", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire $A^{-1}, A^{2 n}$ et $A^{2 n+1}$, pour $n \\in \\mathbb{N}$.", "html": "

En déduire \$A^{-1}, A^{2 n}\$ et\n\$A^{2 n+1}\$, pour \$n \\in \\mathbb{N}\$.

\n" } }, { "id": "64174673-147e-422f-9ac8-66a35942512d", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a :\n\t\t$$\n\t\t\\begin{gathered}\n\t\t\tD^2=D \\cdot D=I \\Rightarrow F^{-1}=F \\\\\n\t\t\t\\left(P^{-1} \\cdot A \\cdot P\\right)^{-1}=P^{-1} \\cdot A^{-1} \\cdot P=P^{-1} \\cdot A \\cdot P \\\\\n\t\t\t\\Rightarrow A^{-1} \\cdot P=P \\cdot P^{-1} \\cdot A \\cdot P=A \\cdot P \\\\\n\t\t\t\\Rightarrow A^{-1}=A \\cdot P \\cdot P^{-1}=A\n\t\t\\end{gathered}\n\t\t$$\n\t\tDonc $A^{-1}=A$ d'où $A^2 = I$ et pour tout $n \\in \\N$, on déduit par récurrence que $A^{2n} = I$ et $A^{2n+1} = A$.", "html": "

On a : \\[\\begin{gathered}\n D^2=D \\cdot D=I \\Rightarrow F^{-1}=F \\\\\n \\left(P^{-1} \\cdot A \\cdot P\\right)^{-1}=P^{-1} \\cdot A^{-1}\n\\cdot P=P^{-1} \\cdot A \\cdot P \\\\\n \\Rightarrow A^{-1} \\cdot P=P \\cdot P^{-1} \\cdot A \\cdot P=A\n\\cdot P \\\\\n \\Rightarrow A^{-1}=A \\cdot P \\cdot P^{-1}=A\n \\end{gathered}\\] Donc \$A^{-1}=A\$ d’où \$A^2 = I\$ et pour tout \$n \\in \\N\$, on déduit par récurrence que\n\$A^{2n} = I\$ et \$A^{2n+1} = A\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "sPl1", "titre": "Inversibilité de matrices", "theme": [ "calcul matriciel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:50.209Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:50.209Z" }, "contenu": [ { "id": "7501f385-d3dc-4854-bf84-a4e437c0ffe9", "type": "description", "value": { "latex": "Soit la matrice $A=\\left(\\begin{array}{ccc}3 & 2 & -2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0\\end{array}\\right)$.", "html": "

Soit la matrice \$A=\\left(\\begin{array}{ccc}3 & 2 & -2 \\\\ -1\n& 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0\\end{array}\\right)\$.

\n" } }, { "id": "86496c90-dd35-4e50-ae61-ea69a6679190", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $A^3-3 \\cdot A^2+3 \\cdot A$ et en déduire la matrice $A^{-1}$.", "html": "

Calculer \$A^3-3 \\cdot A^2+3 \\cdot\nA\$ et en déduire la matrice \$A^{-1}\$.

\n" } }, { "id": "f3590e5d-83ea-4506-a06a-64f7b0642760", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\n\t\\begin{aligned}\n\t\t& A=\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t\t3 & 2 & -2 \\\\\n\t\t\t-1 & 0 & 1 \\\\\n\t\t\t1 & 1 & 0\n\t\t\\end{array}\\right) \\\\\n\t\t& A^2=A \\cdot A=\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t\t3 & 2 & -2 \\\\\n\t\t\t-1 & 0 & 1 \\\\\n\t\t\t1 & 1 & 0\n\t\t\\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t\t3 & 2 & -2 \\\\\n\t\t\t-1 & 0 & 1 \\\\\n\t\t\t1 & 1 & 0\n\t\t\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t\t5 & 4 & -4 \\\\\n\t\t\t-2 & -1 & 2 \\\\\n\t\t\t2 & 2 & -1\n\t\t\\end{array}\\right) \\\\\n\t\t& A^3=A^2 \\cdot A=\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t\t5 & 4 & -4 \\\\\n\t\t\t-2 & -1 & 2 \\\\\n\t\t\t2 & 2 & -1\n\t\t\\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t\t3 & 2 & -2 \\\\\n\t\t\t-1 & 0 & 1 \\\\\n\t\t\t1 & 1 & 0\n\t\t\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t\t7 & 6 & -6 \\\\\n\t\t\t-3 & -2 & 3 \\\\\n\t\t\t3 & 3 & -2\n\t\t\\end{array}\\right) \\\\\n\t\t& A^3-3 \\cdot A^2+3 \\cdot A=\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t\t7 & 6 & -6 \\\\\n\t\t\t-3 & -2 & 3 \\\\\n\t\t\t3 & 3 & -2\n\t\t\\end{array}\\right)-3\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t\t5 & 4 & -4 \\\\\n\t\t\t-2 & -1 & 2 \\\\\n\t\t\t2 & 2 & -1\n\t\t\\end{array}\\right)+3\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t\t3 & 2 & -2 \\\\\n\t\t\t-1 & 0 & 1 \\\\\n\t\t\t1 & 1 & 0\n\t\t\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{lll}\n\t\t\t1 & 0 & 0 \\\\\n\t\t\t0 & 1 & 0 \\\\\n\t\t\t0 & 0 & 1\n\t\t\\end{array}\\right)=I_3\n\t\\end{aligned}\n\t$$\n\tOn en déduit :\n\t$$\n\t\\begin{gathered}\n\t\tA^3-3 \\cdot A^2+3 \\cdot A=I_3 \\Leftrightarrow A \\cdot \\underbrace{\\left(A^2-3 \\cdot A+3 \\cdot I_3\\right)}_{=A^{-1}}=I_3 \\\\\n\t\t\\Rightarrow A^{-1}=A^2-3 \\cdot A+3 \\cdot I_3\n\t\\end{gathered}\n\t$$", "html": "

\\[\\begin{aligned}\n & A=\\left(\\begin{array}{ccc}\n 3 & 2 & -2 \\\\\n -1 & 0 & 1 \\\\\n 1 & 1 & 0\n \\end{array}\\right) \\\\\n & A^2=A \\cdot A=\\left(\\begin{array}{ccc}\n 3 & 2 & -2 \\\\\n -1 & 0 & 1 \\\\\n 1 & 1 & 0\n \\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{ccc}\n 3 & 2 & -2 \\\\\n -1 & 0 & 1 \\\\\n 1 & 1 & 0\n \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{ccc}\n 5 & 4 & -4 \\\\\n -2 & -1 & 2 \\\\\n 2 & 2 & -1\n \\end{array}\\right) \\\\\n & A^3=A^2 \\cdot A=\\left(\\begin{array}{ccc}\n 5 & 4 & -4 \\\\\n -2 & -1 & 2 \\\\\n 2 & 2 & -1\n \\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{ccc}\n 3 & 2 & -2 \\\\\n -1 & 0 & 1 \\\\\n 1 & 1 & 0\n \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{ccc}\n 7 & 6 & -6 \\\\\n -3 & -2 & 3 \\\\\n 3 & 3 & -2\n \\end{array}\\right) \\\\\n & A^3-3 \\cdot A^2+3 \\cdot A=\\left(\\begin{array}{ccc}\n 7 & 6 & -6 \\\\\n -3 & -2 & 3 \\\\\n 3 & 3 & -2\n \\end{array}\\right)-3\\left(\\begin{array}{ccc}\n 5 & 4 & -4 \\\\\n -2 & -1 & 2 \\\\\n 2 & 2 & -1\n \\end{array}\\right)+3\\left(\\begin{array}{ccc}\n 3 & 2 & -2 \\\\\n -1 & 0 & 1 \\\\\n 1 & 1 & 0\n \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{lll}\n 1 & 0 & 0 \\\\\n 0 & 1 & 0 \\\\\n 0 & 0 & 1\n \\end{array}\\right)=I_3\n \\end{aligned}\\] On en déduit : \\[\\begin{gathered}\n A^3-3 \\cdot A^2+3 \\cdot A=I_3 \\Leftrightarrow A \\cdot\n\\underbrace{\\left(A^2-3 \\cdot A+3 \\cdot I_3\\right)}_{=A^{-1}}=I_3 \\\\\n \\Rightarrow A^{-1}=A^2-3 \\cdot A+3 \\cdot I_3\n \\end{gathered}\\]

\n" } } ] }, { "uuid": "z0hC", "titre": "Inversibilité de matrices", "theme": [ "calcul matriciel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:58.006Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:58.006Z" }, "contenu": [ { "id": "42723a28-0b26-49e3-9026-27d4d9d3cdf7", "type": "description", "value": { "latex": "On considère les matrices: $A=\\left(\\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 3 & 1 & 1\\end{array}\\right), B=\\left(\\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0\\end{array}\\right)$ et $C=\\left(\\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & -1 & -1\\end{array}\\right)$.", "html": "

On considère les matrices: \$A=\\left(\\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0\n& 1 & 1 \\\\ 3 & 1 & 1\\end{array}\\right),\nB=\\left(\\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1\n& 0 & 0\\end{array}\\right)\$ et \$C=\\left(\\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\\\ 1\n& 2 & 1 \\\\ 0 & -1 & -1\\end{array}\\right)\$.

\n" } }, { "id": "71bd6b0a-8bc8-485b-aace-5adcfd3ebd8f", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer les produits $AB$ et $AC$. Que constate-t-on ?", "html": "

Calculer les produits \$AB\$ et\n\$AC\$. Que constate-t-on ?

\n" } }, { "id": "fdf97ad6-f360-4b27-8691-8bb83c4a199d", "type": "question", "value": { "latex": "La matrice $A$ est-elle inversible ?", "html": "

La matrice \$A\$ est-elle inversible\n?

\n" } }, { "id": "e28c99e8-f9b5-4ca9-8dbf-9808c3acad6d", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a :\n\t$$\n\t\\begin{aligned}\n\t\t& A \\cdot B=\\left(\\begin{array}{lll}\n\t\t\t1 & 0 & 0 \\\\\n\t\t\t0 & 1 & 1 \\\\\n\t\t\t3 & 1 & 1\n\t\t\\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t\t1 & 1 & 1 \\\\\n\t\t\t0 & 1 & 0 \\\\\n\t\t\t1 & 0 & 0\n\t\t\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{lll}\n\t\t\t1 & 1 & 1 \\\\\n\t\t\t1 & 1 & 0 \\\\\n\t\t\t4 & 4 & 3\n\t\t\\end{array}\\right) \\\\\n\t\t& A \\cdot C=\\left(\\begin{array}{lll}\n\t\t\t1 & 0 & 0 \\\\\n\t\t\t0 & 1 & 1 \\\\\n\t\t\t3 & 1 & 1\n\t\t\\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{ccc}\n\t\t\t1 & 1 & 1 \\\\\n\t\t\t1 & 2 & 1 \\\\\n\t\t\t0 & -1 & -1\n\t\t\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{lll}\n\t\t\t1 & 1 & 1 \\\\\n\t\t\t1 & 1 & 0 \\\\\n\t\t\t4 & 4 & 3\n\t\t\\end{array}\\right)\n\t\\end{aligned}\n\t$$\n\tOn remarque que :\n\t$$\n\tA \\cdot B=A \\cdot C\n\t$$\n\tMontrons que la matrice $A$ n'est pas inversible.\n\t(Démonstration par l'absurde.)\n\tSupposons que $A$ soit inversible, notons $A^{-1}$ son inverse.\n\tOn aurait :\n\t$$\n\tA^{-1} \\cdot A \\cdot B=A^{-1} \\cdot A \\cdot C \\Leftrightarrow B=C\n\t$$\n\tOr $B \\neq C$. Donc $A$ n'est pas inversible.", "html": "

On a : \\[\\begin{aligned}\n & A \\cdot B=\\left(\\begin{array}{lll}\n 1 & 0 & 0 \\\\\n 0 & 1 & 1 \\\\\n 3 & 1 & 1\n \\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & 1 & 1 \\\\\n 0 & 1 & 0 \\\\\n 1 & 0 & 0\n \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{lll}\n 1 & 1 & 1 \\\\\n 1 & 1 & 0 \\\\\n 4 & 4 & 3\n \\end{array}\\right) \\\\\n & A \\cdot C=\\left(\\begin{array}{lll}\n 1 & 0 & 0 \\\\\n 0 & 1 & 1 \\\\\n 3 & 1 & 1\n \\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{ccc}\n 1 & 1 & 1 \\\\\n 1 & 2 & 1 \\\\\n 0 & -1 & -1\n \\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{lll}\n 1 & 1 & 1 \\\\\n 1 & 1 & 0 \\\\\n 4 & 4 & 3\n \\end{array}\\right)\n \\end{aligned}\\] On remarque que : \\[A \\cdot B=A \\cdot C\\] Montrons que la\nmatrice \$A\$ n’est pas inversible.\n(Démonstration par l’absurde.) Supposons que \$A\$ soit inversible, notons \$A^{-1}\$ son inverse. On aurait : \\[A^{-1} \\cdot A \\cdot B=A^{-1} \\cdot A \\cdot C\n\\Leftrightarrow B=C\\] Or \$B \\neq\nC\$. Donc \$A\$ n’est pas\ninversible.

\n" } } ] }, { "uuid": "vt62", "titre": "Inversiblité de matrice", "theme": [ "calcul matriciel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:55.116Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:55.116Z" }, "contenu": [ { "id": "469cce0c-51c6-4cd7-94f8-6b2ada769ee5", "type": "description", "value": { "latex": "VRAI-FAUX - Soit $A$ une matrice carrée. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?", "html": "

VRAI-FAUX - Soit \$A\$ une matrice\ncarrée. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies,\nlesquelles sont fausses, et pourquoi ?

\n" } }, { "id": "271d0292-d38f-42d3-b048-159d8839518c", "type": "question", "value": { "latex": "Si $A$ est inversible, alors $A .\\left({ }^t A\\right)=\\left({ }^t A\\right) \\cdot A$.", "html": "

Si \$A\$ est inversible, alors \$A .\\left({ }^t A\\right)=\\left({ }^t A\\right) \\cdot\nA\$.

\n" } }, { "id": "16038b99-a913-496c-b79d-a3a43ef1c148", "type": "reponse", "value": { "latex": "FAUX : $A=\\left(\\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 1\\end{array}\\right)$ est inversible. $A \\cdot\\left({ }^t A\\right)=\\left(\\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 1\\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 2\\end{array}\\right) \\quad$ alors que $\\left({ }^t A\\right) \\cdot A=\\left(\\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 1\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 1\\end{array}\\right)$", "html": "

FAUX : \$A=\\left(\\begin{array}{ll}1 & 0\n\\\\ 1 & 1\\end{array}\\right)\$ est inversible. \$A \\cdot\\left({ }^t\nA\\right)=\\left(\\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 1\\end{array}\\right)\n\\cdot\\left(\\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 &\n1\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 &\n2\\end{array}\\right) \\quad\$ alors que \$\\left({ }^t A\\right) \\cdot\nA=\\left(\\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\\end{array}\\right)\n\\cdot\\left(\\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 &\n1\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 &\n1\\end{array}\\right)\$

\n" } }, { "id": "20966301-42b2-430d-9a3a-542d4e57ae69", "type": "question", "value": { "latex": "Si $A$ est inversible, alors $A .\\left({ }^t A\\right)$ est inversible ;", "html": "

Si \$A\$ est inversible, alors \$A .\\left({ }^t A\\right)\$ est inversible\n;

\n" } }, { "id": "7d574c36-feab-42cf-a51f-8ca19bf3805f", "type": "reponse", "value": { "latex": "VRAI : Si $A$ est inversible, alors $\\left({ }^t A\\right)$ est aussi inversible avec $\\left({ }^t A\\right)^{-1}={ }^t(A)^{-1}$. Et le produit de deux matrices inversibles est inversible, donc $A .\\left({ }^t A\\right)$ est aussi inversible.", "html": "

VRAI : Si \$A\$ est inversible,\nalors \$\\left({ }^t A\\right)\$ est\naussi inversible avec \$\\left({ }^t\nA\\right)^{-1}={ }^t(A)^{-1}\$. Et le produit de deux matrices\ninversibles est inversible, donc \$A .\\left({\n}^t A\\right)\$ est aussi inversible.

\n" } }, { "id": "02923574-7e1d-4cb2-9235-b5fd197b77e6", "type": "question", "value": { "latex": "Si $A$ est inversible, alors $A+\\left({ }^t A\\right)$ est inversible.", "html": "

Si \$A\$ est inversible, alors \$A+\\left({ }^t A\\right)\$ est\ninversible.

\n" } }, { "id": "b425e0fb-dd0d-4877-95ff-fa6e4ba0a9aa", "type": "reponse", "value": { "latex": "FAUX : $A=\\left(\\begin{array}{cc}0 & -1 \\\\ 1 & 0\\end{array}\\right)$ est inversible, alors que $A+\\left({ }^t A\\right)=\\left(\\begin{array}{cc}0 & -1 \\\\ 1 & 0\\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -1 & 0\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 0\\end{array}\\right)$ ne l'est pas.", "html": "

FAUX : \$A=\\left(\\begin{array}{cc}0 &\n-1 \\\\ 1 & 0\\end{array}\\right)\$ est inversible, alors que\n\$A+\\left({ }^t\nA\\right)=\\left(\\begin{array}{cc}0 & -1 \\\\ 1 &\n0\\end{array}\\right)+\\left(\\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -1 &\n0\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 &\n0\\end{array}\\right)\$ ne l’est pas.

\n" } }, { "id": "4b4f34c7-bf86-49a6-805b-9feb69ca9bb4", "type": "question", "value": { "latex": "Si $A$ est inversible, alors $A$ est semblable à la matrice identité.", "html": "

Si \$A\$ est inversible, alors \$A\$ est semblable à la matrice\nidentité.

\n" } }, { "id": "6a998ad0-0b4f-424f-a3c5-d1f881502ef7", "type": "reponse", "value": { "latex": "FAUX : $A$ est semblable à la matrice identité signifie qu'il existe une matrice inversible $P$ telle que : $P^{-1} . A . P=I d \\Leftrightarrow A=P . Id . P^{-1}=I d$. Donc, si $A$ est inversible et $A \\neq Id, A$ n'est semblable à la matrice identité.\n\t\tLa seule matrice semblable à l'identité est elle-même !", "html": "

FAUX : \$A\$ est semblable à la\nmatrice identité signifie qu’il existe une matrice inversible \$P\$ telle que : \$P^{-1} . A . P=I d \\Leftrightarrow A=P . Id .\nP^{-1}=I d\$. Donc, si \$A\$ est\ninversible et \$A \\neq Id, A\$ n’est\nsemblable à la matrice identité. La seule matrice semblable à l’identité\nest elle-même !

\n" } } ] }, { "uuid": "QqHC", "titre": "Jeu de boules", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:19.055Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:19.055Z" }, "contenu": [ { "id": "5e2885be-b919-4833-8249-0f8d12cf6a99", "type": "description", "value": { "latex": "Une urne contient $n$ boules blanches numérotées de $1$ à $n$, où $n\\in\\N^*$ et deux boules noires numérotées $1$ et $2$. On effectue le tirage de toutes les boules de l'urne, une à une et sans remise. On appelle $X$ le rang d'apparition de la première boule blanche et $Y$ celui du premier numéro $1$.", "html": "

Une urne contient \$n\$ boules\nblanches numérotées de \$1\$ à \$n\$, où \$n\\in\\N^*\$ et deux boules noires numérotées\n\$1\$ et \$2\$. On effectue le tirage de toutes les\nboules de l’urne, une à une et sans remise. On appelle \$X\$ le rang d’apparition de la première\nboule blanche et \$Y\$ celui du premier\nnuméro \$1\$.

\n" } }, { "id": "0e34fa7f-159d-45e6-a19e-7367ab36d7c3", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la loi de $X$.", "html": "

Déterminer la loi de \$X\$.

\n" } }, { "id": "1d74cbd4-7f98-4965-929e-ff346bfc7984", "type": "reponse", "value": { "latex": "$X$ étant le rang d'apparition de la première boule blanche et l'urne contenant $n$ boules blanches et $2$ boules noires, les valeurs prises par $X$ sont les suivantes\n \\[ X(\\Omega)=\\{1,2,3\\}.\\]\n Déterminons les probabilités de chaque issue :\n $$\\begin{align*}\n \\prob(X=1)&=\\prob(\\text{''On obtient une boule blanche au premier tirage``})\\\\\n &=\\frac{n}{n+2} \\\\\n \\prob(X=2)&=\\prob(\\text{''On obtient une boule noire puis une boule blanche``})\\\\\n &=\\frac{2}{n+2}\\times\\frac{n}{n+1} \\\\\n \\prob(X=3)&=\\prob(\\text{''On obtient deux boules noires puis une boule blanche``}) \\\\ &=\\frac{2}{n+2}\\times \\frac{1}{n+1}\\times \\frac{n}{n}\\\\\n &=\\frac{2}{(n+2)(n+2)}.\n \\end{align*}$$\n On peut vérifier que $\\prob(X=1)+\\prob(X=2)+\\prob(X=3)=1$. On a ainsi déterminer la loi de $X$, que l'on peut résumer dans le tableau ci-dessous:\n \\begin{center}\n \\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\n \\hline\n $k$ & $1$ & $2$ & $3$ \\\\\n \\hline\n $\\prob(X=k)$ & $\\frac{n}{n+2}$ & $\\frac{2n}{(n+2)(n+1)}$ & $\\frac{2}{(n+2)(n+1)}$ \\\\\n \\hline\n \\end{tabular}\n \\end{center}", "html": "

\$X\$ étant le rang d’apparition de\nla première boule blanche et l’urne contenant \$n\$ boules blanches et \$2\$ boules noires, les valeurs prises par\n\$X\$ sont les suivantes \\[X(\\Omega)=\\{1,2,3\\}.\\] Déterminons les\nprobabilités de chaque issue : \\[\\begin{align*}\n \\prob(X=1)&=\\prob(\\text{''On obtient une boule blanche au\npremier tirage``})\\\\\n &=\\frac{n}{n+2} \\\\\n \\prob(X=2)&=\\prob(\\text{''On obtient une boule noire puis\nune boule blanche``})\\\\\n &=\\frac{2}{n+2}\\times\\frac{n}{n+1} \\\\\n \\prob(X=3)&=\\prob(\\text{''On obtient deux boules noires\npuis une boule blanche``}) \\\\ &=\\frac{2}{n+2}\\times\n\\frac{1}{n+1}\\times \\frac{n}{n}\\\\\n &=\\frac{2}{(n+2)(n+2)}.\n\\end{align*}\\] On peut vérifier que \$\\prob(X=1)+\\prob(X=2)+\\prob(X=3)=1\$. On a\nainsi déterminer la loi de \$X\$, que\nl’on peut résumer dans le tableau ci-dessous:

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

\$k\$	\$1\$	\$2\$	\$3\$
\$\\prob(X=k)\$	\$\\frac{n}{n+2}\$	\$\\frac{2n}{(n+2)(n+1)}\$	\$\\frac{2}{(n+2)(n+1)}\$

\n" } }, { "id": "14266140-6c4d-4ff8-8687-70813d149456", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que les événements $\\{X=1\\}$ et $\\{Y=1\\}$ sont indépendants si et seulement si $n=2$.", "html": "

Montrer que les événements \$\\{X=1\\}\$ et \$\\{Y=1\\}\$ sont indépendants si et seulement\nsi \$n=2\$.

\n" } }, { "id": "b4314664-b936-42b3-a3d0-a7a28dcedfdf", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a:\n \\begin{itemize}\n \\item $\\prob(X=1,Y=1)=\\prob(\\text{''On obtient la boule blanche numérotée $1$ au premier tirage``})=\\frac{1}{n+2}$.\n \\item $\\prob(X=1)\\prob(Y=1)=\\frac{n}{n+2}\\times \\frac{2}{n+2}$\n \\item $\\{X=1\\}$ et $\\{Y=1\\}$ sont indépendants si et seulement si\n $$\\begin{align*}\n \\prob(X=1,Y=1)=\\prob(X=1)\\prob(Y=1) \\quad\n & \\Leftrightarrow \\quad \\frac{1}{n+2}=\\frac{2n}{(n+2)^2} \\\\\n & \\Leftrightarrow \\quad 2n=n+2 \\\\\n & \\Leftrightarrow \\quad n=2.\n \\end{align*}$$\n \\end{itemize}", "html": "

On a:

\$\\prob(X=1,Y=1)=\\prob(\\text{''On obtient la\nboule blanche numérotée $1$ au premier\ntirage``})=\\frac{1}{n+2}\$.
\$\\prob(X=1)\\prob(Y=1)=\\frac{n}{n+2}\\times\n\\frac{2}{n+2}\$
\$\\{X=1\\}\$ et \$\\{Y=1\\}\$ sont indépendants si et seulement\nsi \\[\\begin{align*}\n \\prob(X=1,Y=1)=\\prob(X=1)\\prob(Y=1) \\quad\n & \\Leftrightarrow \\quad \\frac{1}{n+2}=\\frac{2n}{(n+2)^2} \\\\\n & \\Leftrightarrow \\quad 2n=n+2 \\\\\n & \\Leftrightarrow \\quad n=2.\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "c31cb9c5-7ed5-4484-85b4-cd3ae16e84fd", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que les variables aléatoires $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.", "html": "

Montrer que les variables aléatoires \$X\$ et \$Y\$ ne sont pas indépendantes.

\n" } }, { "id": "8e36f1d9-f8f5-493c-8531-a386c46654f5", "type": "reponse", "value": { "latex": "Pour $n\\neq 2$, on a montré, par la question précédente, que les événements $\\{X=1\\}$ et $\\{Y=1\\}$ n'étaient pas indépendants, ce qui montre que les variables $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.\n \n Pour $n=2$, on a alors $2$ boules blanches et $2$ boules noires dans l'urne. Ainsi,\n \\[ \\prob(X=2,Y=2)=\\frac{1}{4}\\times \\frac{1}{3}=\\frac{1}{12}\\]\n et $\\prob(X=2)=\\frac{1}{3}$ et $\\prob(Y=2)=\\frac{1}{3}$. Par conséquent, $\\prob(X=2,Y=2)\\neq \\prob(X=2)\\prob(Y=2)$, ce qui implique que les variables aléatoires $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.", "html": "

Pour \$n\\neq 2\$, on a montré, par\nla question précédente, que les événements \$\\{X=1\\}\$ et \$\\{Y=1\\}\$ n’étaient pas indépendants, ce\nqui montre que les variables \$X\$ et\n\$Y\$ ne sont pas indépendantes.

Pour \$n=2\$, on a alors \$2\$ boules blanches et \$2\$ boules noires dans l’urne. Ainsi, \\[\\prob(X=2,Y=2)=\\frac{1}{4}\\times\n\\frac{1}{3}=\\frac{1}{12}\\] et \$\\prob(X=2)=\\frac{1}{3}\$ et \$\\prob(Y=2)=\\frac{1}{3}\$. Par conséquent,\n\$\\prob(X=2,Y=2)\\neq\n\\prob(X=2)\\prob(Y=2)\$, ce qui implique que les variables\naléatoires \$X\$ et \$Y\$ ne sont pas indépendantes.

\n" } }, { "id": "a41bad27-ee0c-4fa4-9aad-a467f03cd4cf", "type": "description", "value": { "latex": "On suppose maintenant que $n=2$.", "html": "

On suppose maintenant que \$n=2\$.

\n" } }, { "id": "35f2ec25-ace7-40ed-aa7b-ac440898b03e", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que $X$ et $Y$ ont même loi.", "html": "

Montrer que \$X\$ et \$Y\$ ont même loi.

\n" } }, { "id": "c7c79c55-2772-49d1-b585-0b70214101e1", "type": "reponse", "value": { "latex": "La loi de $X$ a été déterminée à la question $1$. Pour $Y$, on a $Y(\\Omega)=\\{1,2,3\\}$ et\n $$\\begin{align*}\n &\\prob(Y=1)=\\frac{2}{4}=\\frac{1}{2}=\\prob(X=1) \\\\\n &\\prob(Y=2)=\\frac{1}{3}=\\prob(X=2) \\\\\n &\\prob(Y=3)=\\frac{2}{4}\\times \\frac{1}{3}\\times 1 = \\frac{1}{6}=\\prob(X=3)\n \\end{align*}$$\ndonc $X$ et $Y$ ont même loi.", "html": "

La loi de \$X\$ a été déterminée à\nla question \$1\$. Pour \$Y\$, on a \$Y(\\Omega)=\\{1,2,3\\}\$ et \\[\\begin{align*}\n &\\prob(Y=1)=\\frac{2}{4}=\\frac{1}{2}=\\prob(X=1) \\\\\n &\\prob(Y=2)=\\frac{1}{3}=\\prob(X=2) \\\\\n &\\prob(Y=3)=\\frac{2}{4}\\times \\frac{1}{3}\\times 1 =\n\\frac{1}{6}=\\prob(X=3)\n \\end{align*}\\] donc \$X\$ et\n\$Y\$ ont même loi.

\n" } }, { "id": "698e903e-09fb-45b0-b4ed-d9b4472b544c", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la loi du couple $(X,Y)$.", "html": "

Déterminer la loi du couple \$(X,Y)\$.

\n" } }, { "id": "48ae7228-f8dd-45ca-9c4c-6dc9332a5633", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\begin{center}\n\\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}\n\\hline\n $Y \\backslash X$ & $1$ & $2$ & $3$ & $\\prob_{Y}$ (loi de $Y$) \\\\\n \\hline\n $1$ & $\\frac{1}{4}$ & $\\frac{1}{6}$ & $\\frac{1}{12}$ & $\\frac{1}{2}$ \\\\\n \\hline\n $2$ & $\\frac{1}{6}$ & $\\frac{1}{12}$ & $\\frac{1}{12}$ & $\\frac{1}{3}$ \\\\\n \\hline\n $3$ & $\\frac{1}{12}$ & $\\frac{1}{12}$ & $0$ & $\\frac{1}{6}$ \\\\\n \\hline\n \\hline\n $\\prob_{X}$ (loi de $X$) & $\\frac{1}{2}$ & $\\frac{1}{3}$ & $\\frac{1}{6}$ & $1$ \\\\\n \\hline\n\\end{tabular}\n\\end{center}", "html": "

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

\$Y \\backslash\nX\$	\$1\$	\$2\$	\$3\$	\$\\prob_{Y}\$ (loi de \$Y\$)
\$1\$	\$\\frac{1}{4}\$	\$\\frac{1}{6}\$	\$\\frac{1}{12}\$	\$\\frac{1}{2}\$
\$2\$	\$\\frac{1}{6}\$	\$\\frac{1}{12}\$	\$\\frac{1}{12}\$	\$\\frac{1}{3}\$
\$3\$	\$\\frac{1}{12}\$	\$\\frac{1}{12}\$	\$0\$	\$\\frac{1}{6}\$
\$\\prob_{X}\$ (loi de \$X\$)	\$\\frac{1}{2}\$	\$\\frac{1}{3}\$	\$\\frac{1}{6}\$	\$1\$

\n" } } ] }, { "uuid": "jK62", "titre": "Jeu de boules", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:40.360Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:40.360Z" }, "contenu": [ { "id": "b7726e83-c196-41bb-a308-f84fec47adf8", "type": "description", "value": { "latex": "On tire $4$ boules avec remise dans une urne contenant des boules numérotées de $1$ à $5$. On dit que $i\\in{1,2,3,4,5}$ est une valeur gagnante si la boule numéro $i$ est tirée au moins une fois.", "html": "

On tire \$4\$ boules avec remise\ndans une urne contenant des boules numérotées de \$1\$ à \$5\$. On dit que \$i\\in{1,2,3,4,5}\$ est une valeur gagnante\nsi la boule numéro \$i\$ est tirée au\nmoins une fois.

\n" } }, { "id": "a618fbe8-56e8-4296-a136-0020884e76af", "type": "question", "value": { "latex": "Pour $i=1,...,5$, soit $X_i$ la variable aléatoire qui est égale à $1$ si le numéro $i$ est une valeur gagnante, et $0$ sinon. Trouver $\\prob(X_i=0)$. Déterminer la loi, l'espérance et la variance de $X_i$ pour $i=1,...,5$.", "html": "

Pour \$i=1,...,5\$, soit \$X_i\$ la variable aléatoire qui est égale à\n\$1\$ si le numéro \$i\$ est une valeur gagnante, et \$0\$ sinon. Trouver \$\\prob(X_i=0)\$. Déterminer la loi,\nl’espérance et la variance de \$X_i\$\npour \$i=1,...,5\$.

\n" } }, { "id": "aeecf90f-096b-4615-8a6b-e9ae6b3f1fe0", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a \\qquad $X_i=\\begin{cases} 1 & \\text{ si } i \\text{ valeur gagnante} \\\\\n\t\t0 & \\text{ sinon}\n\t\t\\end{cases}$ \\qquad \n\t\tdonc \n\t\t\\[ \\prob(X_i=0)=\\prob(\\text{''La boule numérotée $i$ n'a jamais été tirée``})=\\left(\\frac{4}{5}\\right)^4.\\]\n\t\tComme $X_i$ ne peut prendre que deux valeurs: $0$ ou $1$, on en déduit:\n\t\t\\[ \\prob(X_i=1)=1-\\prob(X_i=0)=1-\\left(\\frac{4}{5}\\right)^4=\\frac{369}{625},\\]\n\t\tce qui revient à dire que $X_i\\sim \\mathcal{B}\\left(1-\\left(\\frac{4}{5}\\right)^4\\right)$. Ainsi, on a\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\\E(X_i)&=1-\\left(\\frac{4}{5}\\right)^4=\\frac{369}{625}, \\\\\n\t\t\\V(X_i)&=\\left(1-\\left(\\frac{4}{5}\\right)^4\\right)\\times \\left(\\frac{4}{5}\\right)^4=\\frac{94\\ 464}{390\\ 625}.\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

On a \$X_i=\\begin{cases} 1 & \\text{ si\n} i \\text{ valeur gagnante} \\\\\n 0 & \\text{ sinon}\n \\end{cases}\$ donc \\[\\prob(X_i=0)=\\prob(\\text{''La boule\nnumérotée $i$ n'a jamais été\ntirée``})=\\left(\\frac{4}{5}\\right)^4.\\] Comme \$X_i\$ ne peut prendre que deux valeurs:\n\$0\$ ou \$1\$, on en déduit: \\[\\prob(X_i=1)=1-\\prob(X_i=0)=1-\\left(\\frac{4}{5}\\right)^4=\\frac{369}{625},\\]\nce qui revient à dire que \$X_i\\sim\n\\mathcal{B}\\left(1-\\left(\\frac{4}{5}\\right)^4\\right)\$. Ainsi, on\na \\[\\begin{align*}\n \\E(X_i)&=1-\\left(\\frac{4}{5}\\right)^4=\\frac{369}{625}, \\\\\n \\V(X_i)&=\\left(1-\\left(\\frac{4}{5}\\right)^4\\right)\\times\n\\left(\\frac{4}{5}\\right)^4=\\frac{94\\ 464}{390\\ 625}.\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "1c4770f6-4ea0-415d-b08c-6a8a984d0d6e", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\prob((X_1=0)\\cap(X_2=0))$. Les variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ sont-elles indépendantes ?", "html": "

Calculer \$\\prob((X_1=0)\\cap(X_2=0))\$. Les variables\naléatoires \$X_1\$ et \$X_2\$ sont-elles indépendantes ?

\n" } }, { "id": "fef84daa-e45b-463a-8580-f0158099c7ae", "type": "reponse", "value": { "latex": "$$\\begin{align*}\n\t\t\\prob((X_1=0)\\cap(X_2=0))&=\\prob(\\text{''Les boules numérotées $1$ et $2$ n'ont jamais été tirées``}) \\\\\n\t\t&= \\left(\\frac{3}{5}\\right)^4=\\frac{81}{625}\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tor $\\prob(X_1=0)\\prob(X_2=0)=\\left(\\frac{4}{5}\\right)^4 \\times \\left(\\frac{4}{5}\\right)^4$ donc $\\prob((X_1=0)\\cap(X_2=0)) \\neq \\prob(X_1=0)\\prob(X_2=0)$. On en conclut que les variables $X_1$ et $X_2$ ne sont pas indépendantes.", "html": "

\\[\\begin{align*}\n \\prob((X_1=0)\\cap(X_2=0))&=\\prob(\\text{''Les boules\nnumérotées $1$ et $2$ n'ont jamais été tirées``}) \\\\\n &= \\left(\\frac{3}{5}\\right)^4=\\frac{81}{625}\n \\end{align*}\\] or \$\\prob(X_1=0)\\prob(X_2=0)=\\left(\\frac{4}{5}\\right)^4\n\\times \\left(\\frac{4}{5}\\right)^4\$ donc \$\\prob((X_1=0)\\cap(X_2=0)) \\neq\n\\prob(X_1=0)\\prob(X_2=0)\$. On en conclut que les variables \$X_1\$ et \$X_2\$ ne sont pas indépendantes.

\n" } }, { "id": "2b058363-9553-4b3e-a12f-958a4bdcef69", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer la loi jointe de $(X_1,X_2)$.", "html": "

Déterminer la loi jointe de \$(X_1,X_2)\$.

\n" } }, { "id": "1920f523-7dee-4fba-85ff-08148f453cf2", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\begin{center}\n\t\t\t\\begin{tabular}{|c|c|c||c|}\n\t\t\t\t\\hline\n\t\t\t\t$X \\backslash Y$ & $0$ & $1$ & $\\prob_{X_2}$ (loi de $X_2$) \\\\\n\t\t\t\t\\hline\n\t\t\t\t$0$ & $\\frac{81}{625}$ & $\\frac{175}{625}$ & $\\frac{256}{625}$ \\\\\n\t\t\t\t\\hline\n\t\t\t\t$1$ & $\\frac{175}{625}$ & $\\frac{194}{625}$ & $\\frac{369}{625}$ \\\\\n\t\t\t\t\\hline\n\t\t\t\t\\hline\n\t\t\t\t$\\prob_{X_1}$ (loi de $X_1$) & $\\frac{256}{625}$ & $\\frac{369}{625}$ & $1$ \\\\\n\t\t\t\t\\hline\n\t\t\t\\end{tabular}\n\t\t\\end{center}", "html": "

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

\$X \\backslash\nY\$	\$0\$	\$1\$	\$\\prob_{X_2}\$ (loi de \$X_2\$)
\$0\$	\$\\frac{81}{625}\$	\$\\frac{175}{625}\$	\$\\frac{256}{625}\$
\$1\$	\$\\frac{175}{625}\$	\$\\frac{194}{625}\$	\$\\frac{369}{625}\$
\$\\prob_{X_1}\$ (loi de \$X_1\$)	\$\\frac{256}{625}\$	\$\\frac{369}{625}\$	\$1\$

\n" } }, { "id": "76097682-74ef-488d-a77e-1fe8bf12e6b6", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de valeurs gagnantes. Exprimer $X$ en fonction de $X_1$,...,$X_5$. Déterminer l'espérance de $X$.", "html": "

Soit \$X\$ la variable aléatoire\négale au nombre de valeurs gagnantes. Exprimer \$X\$ en fonction de \$X_1\$,...,\$X_5\$. Déterminer l’espérance de \$X\$.

\n" } }, { "id": "e33b1ad6-1753-493b-a141-3209fdee7ebb", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $X=X_1+X_2+X_3+X_4+X_5$. Comme les variables aléatoires $X_i$ sont de même loi, on obtient\n\t\t\\[ \\E(X)=\\sum_{i=1}^5 \\E(X_i)=5\\E(X_1)=5\\times \\frac{369}{625}=\\frac{369}{125}\\simeq 2.95.\\]\n\t\tEn moyenne, on aura quasiment $3$ valeurs gagnantes par jeu.", "html": "

On a \$X=X_1+X_2+X_3+X_4+X_5\$.\nComme les variables aléatoires \$X_i\$\nsont de même loi, on obtient \\[\\E(X)=\\sum_{i=1}^5 \\E(X_i)=5\\E(X_1)=5\\times\n\\frac{369}{625}=\\frac{369}{125}\\simeq 2.95.\\] En moyenne, on aura\nquasiment \$3\$ valeurs gagnantes par\njeu.

\n" } } ] }, { "uuid": "f63Q", "titre": "Jeu et suite", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:35.140Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:35.140Z" }, "contenu": [ { "id": "adf4793c-07a6-44e5-b11f-678303058c4a", "type": "description", "value": { "latex": "Un débutant à un jeu effectue plusieurs parties successives. Pour la première partie, il a une probabilité de $\\frac{1}{2}$ de gagner. Pour les parties suivantes, on suppose que : \n \\begin{itemize}\n \\item s'il a gagné la partie précédente, il a une probabilité de $0.6$ de gagner la partie suivante ;\n \\item s'il a perdu la partie précédente, il a une probabilité de $0.7$ de perdre la partie suivante.\n \\end{itemize}\n\n Soit $G_n$ l'événement \\og le joueur a gagné la $n$-ième partie \\fg{} et on note $u_n = \\prob(G_n)$. On note également $v_n = \\prob(\\overline{G_n})$.", "html": "

Un débutant à un jeu effectue plusieurs parties successives. Pour la\npremière partie, il a une probabilité de \$\\frac{1}{2}\$ de gagner. Pour les parties\nsuivantes, on suppose que :

s’il a gagné la partie précédente, il a une probabilité de \$0.6\$ de gagner la partie suivante\n;
s’il a perdu la partie précédente, il a une probabilité de \$0.7\$ de perdre la partie\nsuivante.

Soit \$G_n\$ l’événement le joueur a\ngagné la \$n\$-ième partie et on note\n\$u_n = \\prob(G_n)\$. On note également\n\$v_n = \\prob(\\overline{G_n})\$.

\n" } }, { "id": "fc18a215-3ae7-499d-8c07-84df97232988", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $u_1$, $v_1$, $u_2$, $v_2$.", "html": "

Calculer \$u_1\$, \$v_1\$, \$u_2\$, \$v_2\$.

\n" } }, { "id": "087cc9c3-b97f-4a08-a580-32b3ba6103cb", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a $u_1 = \\prob(G_1) = \\frac{1}{2}$ et $v_1 = \\prob(\\overline{G_1}) = \\frac{1}{2}$. De plus, on a :\n\n $$\\begin{align*}\n u_2 &= \\prob(G_2) \\\\\n &= \\prob(G_2 \\cap G_1) + \\prob(G_2 \\cap \\overline{G_1}) \\\\\n &= \\prob(G_1) \\times \\prob(G_2 | G_1) + \\prob(\\overline{G_1}) \\times \\prob(G_2 | \\overline{G_1}) \\\\\n &= \\frac{1}{2} \\times 0.6 + \\frac{1}{2} \\times 0.3 \\\\\n &= 0.45.\n \\end{align*}$$\n\n De même, on a :\n\n $$\\begin{align*}\n v_2 &= \\prob(\\overline{G_2}) \\\\\n &= \\prob(\\overline{G_2} \\cap G_1) + \\prob(\\overline{G_2} \\cap \\overline{G_1}) \\\\\n &= \\prob(G_1) \\times \\prob(\\overline{G_2} | G_1) + \\prob(\\overline{G_1}) \\times \\prob(\\overline{G_2} | \\overline{G_1}) \\\\\n &= \\frac{1}{2} \\times 0.4 + \\frac{1}{2} \\times 0.7 \\\\\n &= 0.55.\n \\end{align*}$$", "html": "

On a \$u_1 = \\prob(G_1) =\n\\frac{1}{2}\$ et \$v_1 =\n\\prob(\\overline{G_1}) = \\frac{1}{2}\$. De plus, on a :

\\[\\begin{align*}\n u_2 &= \\prob(G_2) \\\\\n &= \\prob(G_2 \\cap G_1) + \\prob(G_2 \\cap \\overline{G_1})\n\\\\\n &= \\prob(G_1) \\times \\prob(G_2 | G_1) +\n\\prob(\\overline{G_1}) \\times \\prob(G_2 | \\overline{G_1}) \\\\\n &= \\frac{1}{2} \\times 0.6 + \\frac{1}{2} \\times 0.3 \\\\\n &= 0.45.\n \\end{align*}\\]

De même, on a :

\\[\\begin{align*}\n v_2 &= \\prob(\\overline{G_2}) \\\\\n &= \\prob(\\overline{G_2} \\cap G_1) + \\prob(\\overline{G_2}\n\\cap \\overline{G_1}) \\\\\n &= \\prob(G_1) \\times \\prob(\\overline{G_2} | G_1) +\n\\prob(\\overline{G_1}) \\times \\prob(\\overline{G_2} | \\overline{G_1}) \\\\\n &= \\frac{1}{2} \\times 0.4 + \\frac{1}{2} \\times 0.7 \\\\\n &= 0.55.\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "b73c0167-29e7-4e7a-8c26-864b12e7fc66", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que pour tout entier $n \\geqslant 1$, on a $u_{n+1} = 0.6 u_n + 0.3 v_n$. En déduire une relation matricielle entre $\\begin{pmatrix} u_{n+1} \\\\ v_{n+1} \\end{pmatrix}$ et $\\begin{pmatrix} u_n \\\\ v_n \\end{pmatrix}$.", "html": "

Montrer que pour tout entier \$n \\geqslant\n1\$, on a \$u_{n+1} = 0.6 u_n + 0.3\nv_n\$. En déduire une relation matricielle entre \$\\begin{pmatrix} u_{n+1} \\\\ v_{n+1}\n\\end{pmatrix}\$ et \$\\begin{pmatrix}\nu_n \\\\ v_n \\end{pmatrix}\$.

\n" } }, { "id": "aa970741-e6af-45cd-9134-a81c31d0a34e", "type": "reponse", "value": { "latex": "D'après le théorème des probabilités totales, on a : \n\n $$\\begin{align*}\n u_{n+1} &= \\prob(G_{n+1}) \\\\\n &= \\prob(G_{n+1} \\cap G_n) + \\prob(G_{n+1} \\cap \\overline{G_n}) \\\\\n &= \\prob(G_n) \\times \\prob(G_{n+1} | G_n) + \\prob(\\overline{G_n}) \\times \\prob(G_{n+1} | \\overline{G_n}) \\\\\n &= 0.6 u_n + 0.3 v_n.\n \\end{align*}$$\n\n De même, on a :\n\n $$\\begin{align*}\n v_{n+1} &= \\prob(\\overline{G_{n+1}}) \\\\\n &= \\prob(\\overline{G_{n+1}} \\cap G_n) + \\prob(\\overline{G_{n+1}} \\cap \\overline{G_n}) \\\\\n &= \\prob(G_n) \\times \\prob(\\overline{G_{n+1}} | G_n) + \\prob(\\overline{G_n}) \\times \\prob(\\overline{G_{n+1}} | \\overline{G_n}) \\\\\n &= 0.4 u_n + 0.7 v_n.\n \\end{align*}$$\n \n On a donc pour tout $n \\geqslant 1$,\n\n $$\\begin{pmatrix} u_{n+1} \\\\ v_{n+1} \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0.6 & 0.3 \\\\ 0.4 & 0.7 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} u_n \\\\ v_n \\end{pmatrix}.$$", "html": "

D’après le théorème des probabilités totales, on a :

\\[\\begin{align*}\n u_{n+1} &= \\prob(G_{n+1}) \\\\\n &= \\prob(G_{n+1} \\cap G_n) + \\prob(G_{n+1} \\cap\n\\overline{G_n}) \\\\\n &= \\prob(G_n) \\times \\prob(G_{n+1} | G_n) +\n\\prob(\\overline{G_n}) \\times \\prob(G_{n+1} | \\overline{G_n}) \\\\\n &= 0.6 u_n + 0.3 v_n.\n \\end{align*}\\]

De même, on a :

\\[\\begin{align*}\n v_{n+1} &= \\prob(\\overline{G_{n+1}}) \\\\\n &= \\prob(\\overline{G_{n+1}} \\cap G_n) +\n\\prob(\\overline{G_{n+1}} \\cap \\overline{G_n}) \\\\\n &= \\prob(G_n) \\times \\prob(\\overline{G_{n+1}} | G_n)\n+ \\prob(\\overline{G_n}) \\times \\prob(\\overline{G_{n+1}} |\n\\overline{G_n}) \\\\\n &= 0.4 u_n + 0.7 v_n.\n \\end{align*}\\]

On a donc pour tout \$n \\geqslant\n1\$,

\\[\\begin{pmatrix} u_{n+1} \\\\ v_{n+1}\n\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0.6 & 0.3 \\\\ 0.4 & 0.7\n\\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} u_n \\\\ v_n \\end{pmatrix}.\\]

\n" } }, { "id": "04676dc9-8120-42e4-8d8d-2459e88cc5ee", "type": "question", "value": { "latex": "Montrer que la suite de terme général $u_n - \\frac{3}{7}$ est une suite géométrique de raison $0.3$ et en déduire une expression de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$ ainsi que leur limite quand $n \\to +\\infty$.", "html": "

Montrer que la suite de terme général \$u_n\n- \\frac{3}{7}\$ est une suite géométrique de raison \$0.3\$ et en déduire une expression de \$u_n\$ et \$v_n\$ en fonction de \$n\$ ainsi que leur limite quand \$n \\to +\\infty\$.

\n" } }, { "id": "caac2504-5f7b-47cb-ac1a-85e81337ae8b", "type": "reponse", "value": { "latex": "On a pour tout $n \\geqslant 1$, $u_{n+1} = 0.6 u_n + 0.3(1-u_n) = 0.3 + 0.3 u_n$. Ainsi, la suite de terme général $u_n - \\frac{3}{7}$ est une suite géométrique de raison $0.3$ et de premier terme $u_1 - \\frac{3}{7} = \\frac{1}{2} - \\frac{3}{7} = \\frac{1}{14}$. On a donc pour tout $n \\geqslant 1$, $u_n - \\frac{3}{7} = \\left(\\frac{1}{14}\\right) \\times 0.3^{n-1}$ et donc $u_n = \\frac{3}{7} + \\left(\\frac{1}{14}\\right) \\times 0.3^{n-1}$.\n\n Donc $v_n = 1 - u_n = 1 - \\frac{3}{7} - \\left(\\frac{1}{14}\\right) \\times 0.3^{n-1} = \\frac{4}{7} - \\left(\\frac{1}{14}\\right) \\times 0.3^{n-1}$.\n\n On a donc $\\lim_{n \\to +\\infty} u_n = \\frac{3}{7}$ et $\\lim_{n \\to +\\infty} v_n = \\frac{4}{7}$. Cela signifie que sur un grand nombre de parties, la probabilité de gagner du joueur tend vers $\\frac{3}{7}$.", "html": "

On a pour tout \$n \\geqslant 1\$,\n\$u_{n+1} = 0.6 u_n + 0.3(1-u_n) = 0.3 + 0.3\nu_n\$. Ainsi, la suite de terme général \$u_n - \\frac{3}{7}\$ est une suite\ngéométrique de raison \$0.3\$ et de\npremier terme \$u_1 - \\frac{3}{7} =\n\\frac{1}{2} - \\frac{3}{7} = \\frac{1}{14}\$. On a donc pour tout\n\$n \\geqslant 1\$, \$u_n - \\frac{3}{7} = \\left(\\frac{1}{14}\\right)\n\\times 0.3^{n-1}\$ et donc \$u_n =\n\\frac{3}{7} + \\left(\\frac{1}{14}\\right) \\times 0.3^{n-1}\$.

Donc \$v_n = 1 - u_n = 1 - \\frac{3}{7} -\n\\left(\\frac{1}{14}\\right) \\times 0.3^{n-1} = \\frac{4}{7} -\n\\left(\\frac{1}{14}\\right) \\times 0.3^{n-1}\$.

On a donc \$\\lim_{n \\to +\\infty} u_n =\n\\frac{3}{7}\$ et \$\\lim_{n \\to +\\infty}\nv_n = \\frac{4}{7}\$. Cela signifie que sur un grand nombre de\nparties, la probabilité de gagner du joueur tend vers \$\\frac{3}{7}\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "8mM7", "titre": "Lancers de dé", "theme": [ "probabilités" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:00.177Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:00.177Z" }, "contenu": [ { "id": "a0588e89-33da-4164-aecd-cdfb856912ed", "type": "description", "value": { "latex": "On lance $720$ fois un dé équilibré.", "html": "

On lance \$720\$ fois un dé\néquilibré.

\n" } }, { "id": "bc3242de-f385-47d7-8ff2-9178a115722d", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $X$ le nombre de fois où le nombre $6$ est apparu sur les $720$ lancers. La \\va $X$ suit donc la loi $\\mathcal{B}(720,\\frac{1}{6})$. En particulier, $\\E(X)=720\\times \\frac{1}{6}=120$ et $\\V(X)=720\\times \\frac{1}{6}\\times (1-\\frac{1}{6})=100$.", "html": "

Soit \$X\$ le nombre de fois où le\nnombre \$6\$ est apparu sur les \$720\$ lancers. La \$X\$ suit donc la loi \$\\mathcal{B}(720,\\frac{1}{6})\$. En\nparticulier, \$\\E(X)=720\\times\n\\frac{1}{6}=120\$ et \$\\V(X)=720\\times\n\\frac{1}{6}\\times (1-\\frac{1}{6})=100\$.

\n" } }, { "id": "72f3b38e-1d4a-4772-b916-9e25278fc588", "type": "question", "value": { "latex": "En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebytchev, que peut-on dire de la probabilité que le nombre $6$ soit apparu entre $100$ et $140$ fois ?", "html": "

En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebytchev, que peut-on dire de\nla probabilité que le nombre \$6\$ soit\napparu entre \$100\$ et \$140\$ fois ?

\n" } }, { "id": "5f81ad98-3c2b-413f-9886-2dd6f77bed7a", "type": "reponse", "value": { "latex": "En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebytchev, on a\n\t\t\t\\[ \\p(|X-\\E(X)|\\geq 20)\\leq \\frac{\\V(X)}{20^2}=\\frac{100}{400}=\\frac{1}{4}.\\]\n\t\t\tOn en conclut\n\t\t\t\\[ \\p(100\\leq X\\leq 140)=\\p(|X-120|\\leq 20)=1-\\p(|X-120|>20)\\geq 1-\\frac{1}{4}=\\frac{3}{4}.\\]", "html": "

En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebytchev, on a \\[\\p(|X-\\E(X)|\\geq 20)\\leq\n\\frac{\\V(X)}{20^2}=\\frac{100}{400}=\\frac{1}{4}.\\] On en conclut\n\\[\\p(100\\leq X\\leq 140)=\\p(|X-120|\\leq\n20)=1-\\p(|X-120|>20)\\geq 1-\\frac{1}{4}=\\frac{3}{4}.\\]

\n" } }, { "id": "bdf012cb-0e59-4b4f-a700-84f93185439a", "type": "question", "value": { "latex": "Que peut-on dire de cette même probabilité en utilisant une approximation par la loi Normale ?", "html": "

Que peut-on dire de cette même probabilité en utilisant une\napproximation par la loi Normale ?

\n" } }, { "id": "c20becc2-6ffa-4d95-bbbc-97175dc1d04f", "type": "reponse", "value": { "latex": "On approxime la loi de $X$ par la loi $\\mathcal{N}(120,\\sigma^2=10^2)$. Alors\n\t\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\t\t\\p(100\\leq X\\leq 140)&=\\p(-2\\leq \\frac{X-120}{10}\\leq 2) \\\\\n\t\t\t\t&\\simeq \\p(-2\\leq Z\\leq 2), \\quad \\text{où} \\ Z\\sim \\mathcal{N}(0,1) \\\\\n\t\t\t\t&\\simeq 2\\p(Z\\leq 2)-1 \\\\\n\t\t\t\t&\\simeq 2* 0.9772-1, \\quad \\text{par lecture de la table de loi } \\mathcal{N}(0,1) \\\\\n\t\t\t\t& \\simeq 0.9544.\n\t\t\\end{align*}$$", "html": "

On approxime la loi de \$X\$ par la\nloi \$\\mathcal{N}(120,\\sigma^2=10^2)\$.\nAlors \\[\\begin{align*}\n \\p(100\\leq X\\leq 140)&=\\p(-2\\leq\n\\frac{X-120}{10}\\leq 2) \\\\\n &\\simeq \\p(-2\\leq Z\\leq 2), \\quad \\text{où} \\ Z\\sim\n\\mathcal{N}(0,1) \\\\\n &\\simeq 2\\p(Z\\leq 2)-1 \\\\\n &\\simeq 2* 0.9772-1, \\quad \\text{par lecture de la\ntable de loi } \\mathcal{N}(0,1) \\\\\n & \\simeq 0.9544.\n \\end{align*}\\]

\n" } }, { "id": "60f55fbe-9888-4c99-a4c3-b774e467f0ec", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $\\mathbb{P}(|X-120|\\leq n)\\geq 0.9$, où $X$ est la variable aléatoire égale au nombre d'apparition du $6$ sur $720$ lancers, que l'on puisse obtenir:\n\t\t\\begin{enumerate}\n\t\t\t\\item par l'inégalité de Bienaymé-Tchebytchev,\n\t\t\t\\item par le théorème central-limite.\n\t\\end{enumerate}", "html": "

Déterminer le plus petit entier \$n\$ tel que \$\\mathbb{P}(|X-120|\\leq n)\\geq 0.9\$, où\n\$X\$ est la variable aléatoire égale\nau nombre d’apparition du \$6\$ sur\n\$720\$ lancers, que l’on puisse\nobtenir:

par l’inégalité de Bienaymé-Tchebytchev,
par le théorème central-limite.

\n" } }, { "id": "204c800c-dc10-4b30-8f5f-638f9da6ae84", "type": "reponse", "value": { "latex": "\\begin{enumerate}\n\t\t\t\\item Par l'inégalité de Bienaymé-Tchebytchev, on a \n\t\t\t\\[\\p(|X-120|\\geq n) \\leq \\frac{100}{n^2}.\\]\n\t\t\tSi on impose $\\frac{100}{n^2}<0.1$, alors on a bien l'inégalité recherchée, à savoir $ \\p(|X-120|\\leq n) \\geq 0.9$.\n\t\t\tOr \n\t\t\t\\[ \\frac{100}{n^2}<0.1 \\Leftrightarrow n>\\sqrt{1000}\\simeq 31.62.\\]\n\t\t\tLa valeur minimale de $n$ obtenue est donc $n=32$.\n\t\t\t\\item $\\p(|X-120|\\leq n)=\\p(|\\frac{X-120}{10}|\\leq \\frac{n}{10})\\simeq \\p(Z\\leq \\frac{n}{10})-1$, où $Z\\sim \\mathcal{N}(0,1)$.\n\t\t\tAinsi la condition $ \\p(|X-120|\\leq n) \\geq 0.9$ devient $\\p(Z\\leq \\frac{n}{10})\\leq 0.95$, c'est-à-dire \n\t\t\t$\\frac{n}{10}\\geq 1.64$. La valeur minimale de $n$ obtenue est donc $n=17$.\n\t\\end{enumerate}", "html": "

Par l’inégalité de Bienaymé-Tchebytchev, on a \\[\\p(|X-120|\\geq n) \\leq \\frac{100}{n^2}.\\]\nSi on impose \$\\frac{100}{n^2}<0.1\$, alors on a bien\nl’inégalité recherchée, à savoir \$\\p(|X-120|\\leq n) \\geq 0.9\$. Or \\[\\frac{100}{n^2}<0.1 \\Leftrightarrow\nn>\\sqrt{1000}\\simeq 31.62.\\] La valeur minimale de \$n\$ obtenue est donc \$n=32\$.
\$\\p(|X-120|\\leq\nn)=\\p(|\\frac{X-120}{10}|\\leq \\frac{n}{10})\\simeq \\p(Z\\leq\n\\frac{n}{10})-1\$, où \$Z\\sim\n\\mathcal{N}(0,1)\$. Ainsi la condition \$\\p(|X-120|\\leq n) \\geq 0.9\$ devient \$\\p(Z\\leq \\frac{n}{10})\\leq 0.95\$,\nc’est-à-dire \$\\frac{n}{10}\\geq 1.64\$.\nLa valeur minimale de \$n\$ obtenue est\ndonc \$n=17\$.

\n" } }, { "id": "74f231f4-0d26-4d91-9092-26c59a44cad4", "type": "question", "value": { "latex": "Commenter les résultats.", "html": "

Commenter les résultats.

\n" } }, { "id": "906d0c05-2aae-4cd2-b6cd-d8c026d81001", "type": "reponse", "value": { "latex": "Le théorème central-limite est plus efficace que l'inégalité de Bienaymé-Tchebytchev.", "html": "

Le théorème central-limite est plus efficace que l’inégalité de\nBienaymé-Tchebytchev.

\n" } } ] }, { "uuid": "hCfF", "titre": "Lignes de niveau d'un polynôme", "theme": [ "calcul différentiel" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:37.065Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:37.065Z" }, "contenu": [ { "id": "6661549e-ef15-45ca-a5d7-2b31be0971f3", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $f\\ : \\R^{2} \\to \\R$ définie par $f(x,y) = x^{2}-4x +y^{2}+6y$.", "html": "

Soit \$f\\ : \\R^{2} \\to \\R\$ définie\npar \$f(x,y) = x^{2}-4x\n+y^{2}+6y\$.

\n" } }, { "id": "c082606e-fdf8-4bd9-aeb6-4685adefa149", "type": "question", "value": { "latex": "Trouver une écriture de la forme\n\t\n\t$$ f(x,y) = (x+a)^{2} + (y+b)^{2} + c $$ \n\t\n\toù $a,b,c$ sont trois réels que l'on explicitera.", "html": "

Trouver une écriture de la forme

\\[f(x,y) = (x+a)^{2} + (y+b)^{2} +\nc\\]

où \$a,b,c\$ sont trois réels que\nl’on explicitera.

\n" } }, { "id": "51fb3f49-0dd9-4859-ac84-6247e85ae562", "type": "reponse", "value": { "latex": "Obtenir cette écriture est un des classiques de manipulation du trinôme du second degré~: on écrit $x^2-4x = x^2 - 2 \\cdot 2x + 2^2 - 2^2 = (x-2)^2 - 4$. De même $y^{2}+6y = (y+3)^2-9$. Ainsi $f(x,y) = (x-2)^2 + (y+3)^2 - 13$ ce qui donne la forme voulue avec $a = 2, b=-3, c=-13$", "html": "

Obtenir cette écriture est un des classiques de manipulation du\ntrinôme du second degré : on écrit \$x^2-4x =\nx^2 - 2 \\cdot 2x + 2^2 - 2^2 = (x-2)^2 - 4\$. De même \$y^{2}+6y = (y+3)^2-9\$. Ainsi \$f(x,y) = (x-2)^2 + (y+3)^2 - 13\$ ce qui\ndonne la forme voulue avec \$a = 2, b=-3,\nc=-13\$

\n" } }, { "id": "145da709-3a8f-4b4c-b6d3-85d80bfd0709", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire une équation et la nature de la ligne de niveau $k$ de $f$, pour $k\\in \\R$ (on peut distinguer selon la valeur de $k$).", "html": "

En déduire une équation et la nature de la ligne de niveau \$k\$ de \$f\$, pour \$k\\in\n\\R\$ (on peut distinguer selon la valeur de \$k\$).

\n" } }, { "id": "413939c4-ad28-4f82-9bfc-7a4a1eb525e0", "type": "reponse", "value": { "latex": "La ligne de niveau $k$ de $g$ a pour équation $f(x,y) = k$, donc d'après la question 1 \n\t\t$$ (x-2)^2 + (y+3)^2 = k+13 $$. \n\t\t\n\t\tIl s'agit de l'équation d'un cercle de centre $(2, -3)$ à condition que $k+13 \\geq 0$. Sinon c'est l'ensemble vide. Si $k+13 =0$, le cercle est de rayon $0$ et est donc réduit à un point (son centre), et si $k+13 >0$ c'est un cercle de rayon $\\sqrt{k+13}$ de centre $(2,-3)$.", "html": "

La ligne de niveau \$k\$ de \$g\$ a pour équation \$f(x,y) = k\$, donc d’après la question 1\n\\[(x-2)^2 + (y+3)^2 = k+13\\].

Il s’agit de l’équation d’un cercle de centre \$(2, -3)\$ à condition que \$k+13 \\geq 0\$. Sinon c’est l’ensemble vide.\nSi \$k+13 =0\$, le cercle est de rayon\n\$0\$ et est donc réduit à un point\n(son centre), et si \$k+13 >0\$\nc’est un cercle de rayon \$\\sqrt{k+13}\$ de centre \$(2,-3)\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "wlXF", "titre": "Limite d'une fonction définie sur $\\R^2$", "theme": [ "fonctions de plusieurs variables" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:56.076Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:56.076Z" }, "contenu": [ { "id": "c188984e-98d1-4efd-a556-0bd68dcc0836", "type": "description", "value": { "latex": "Soit $f \\colon \\R^2 \\to \\R$,\n$$ (x,y) \\mapsto \\dfrac{x^2 y^2}{x^2 y^2 + (x-y)^2} $$", "html": "

Soit \$f \\colon \\R^2 \\to \\R\$, \\[(x,y) \\mapsto \\dfrac{x^2 y^2}{x^2 y^2 +\n(x-y)^2}\\]

\n" } }, { "id": "f5e8123e-0a02-4315-8d99-384eb0d7e591", "type": "question", "value": { "latex": "Donner l'ensemble de définition de $f$.", "html": "

Donner l’ensemble de définition de \$f\$.

\n" } }, { "id": "8bf61ada-4c3e-483d-ad18-9e21cad915bd", "type": "reponse", "value": { "latex": "La fonction $f$ est définie pour tout $(x,y)\\in \\R^2$ tels que $x^2 y^2 + (x-y)^2 \\neq 0 $. Or $x^2y^2 + (x-y)^2 = 0 \\iff xy = 0 \\text{ et } x=y \\iff x=y=0$ donc $f$ est définie sur $\\R^2 \\backslash \\{(0,0)\\}$.", "html": "

La fonction \$f\$ est définie pour\ntout \$(x,y)\\in \\R^2\$ tels que \$x^2 y^2 + (x-y)^2 \\neq 0\$. Or \$x^2y^2 + (x-y)^2 = 0 \\iff xy = 0 \\text{ et } x=y\n\\iff x=y=0\$ donc \$f\$ est\ndéfinie sur \$\\R^2 \\backslash\n\\{(0,0)\\}\$.

\n" } }, { "id": "638cc805-fe05-4042-a8d6-c6f4d5f29cab", "type": "question", "value": { "latex": "Pour $x$ fixé, calculer $g(x) = \\lim\\limits_{y \\to 0} f(x,y)$.", "html": "

Pour \$x\$ fixé, calculer \$g(x) = \\lim\\limits_{y \\to 0} f(x,y)\$.

\n" } }, { "id": "aa360a52-bd7c-4d76-a57a-6661dbd0fb50", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $x \\in \\R$ : si $x=0$, $f(0,y) = 0$ et si $x \\neq 0$, $f(x,y) \\xrightarrow[y \\to 0]{} \\frac{0}{x^2} = 0$", "html": "

Soit \$x \\in \\R\$ : si \$x=0\$, \$f(0,y) =\n0\$ et si \$x \\neq 0\$, \$f(x,y) \\xrightarrow[y \\to 0]{} \\frac{0}{x^2} =\n0\$

\n" } }, { "id": "adde9c8a-6764-407e-808b-f9ae8cfa899a", "type": "question", "value": { "latex": "Pour $y$ fixé, calculer $h(y) = \\lim\\limits_{x \\to 0} f(x,y)$.", "html": "

Pour \$y\$ fixé, calculer \$h(y) = \\lim\\limits_{x \\to 0} f(x,y)\$.

\n" } }, { "id": "e6906a9b-9f7a-4f2e-9178-5c397ef9b272", "type": "reponse", "value": { "latex": "De même, $h(y) = 0$.", "html": "

De même, \$h(y) = 0\$.

\n" } }, { "id": "0a8cfe49-f282-477f-a079-9fcb6ed9c951", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\lim\\limits_{x \\to 0} g(x)$.", "html": "

Calculer \$\\lim\\limits_{x \\to 0}\ng(x)\$.

\n" } }, { "id": "e17abac6-fe80-4d23-b1d6-14ba608a50c9", "type": "reponse", "value": { "latex": "On en déduit que $\\lim\\limits_{x \\to 0} g(x) = 0$", "html": "

On en déduit que \$\\lim\\limits_{x \\to 0}\ng(x) = 0\$

\n" } }, { "id": "c7956ae2-1c0f-4b61-9d68-51b8b61cec9e", "type": "question", "value": { "latex": "Calculer $\\lim\\limits_{y \\to 0} h(y)$.", "html": "

Calculer \$\\lim\\limits_{y \\to 0}\nh(y)\$.

\n" } }, { "id": "1761c487-d349-4080-ad30-51dd373ff3a5", "type": "reponse", "value": { "latex": "De même $\\lim\\limits_{y \\to 0} h(y) = 0$", "html": "

De même \$\\lim\\limits_{y \\to 0} h(y) =\n0\$

\n" } }, { "id": "5e03c6a2-f7f0-445b-9867-e4bb8e45ad24", "type": "question", "value": { "latex": "La fonction $f$ admet-elle une limite quand $(x,y) \\to (0,0)$~?", "html": "

La fonction \$f\$ admet-elle une\nlimite quand \$(x,y) \\to (0,0)\$ ?

\n" } }, { "id": "5aae16a1-402d-4ee9-aae0-bfe4410a8244", "type": "reponse", "value": { "latex": "Non car $f(x,x) = 1 \\xrightarrow[x \\to 0]{} 1$ et $f(x,0) = 0 \\xrightarrow[x \\to 0]{} 0 \\neq 1$ : on a deux chemins qui donnent deux limites différentes.", "html": "

Non car \$f(x,x) = 1 \\xrightarrow[x \\to\n0]{} 1\$ et \$f(x,0) = 0 \\xrightarrow[x\n\\to 0]{} 0 \\neq 1\$ : on a deux chemins qui donnent deux limites\ndifférentes.

\n" } } ] }, { "uuid": "hpqO", "titre": "Limite d'une suite dans $\\R^2$", "theme": [ "topologie" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:38.009Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:38.009Z" }, "contenu": [ { "id": "095c8850-dfcb-468a-9575-466e453e92e9", "type": "description", "value": { "latex": "Pour tout $k \\in \\N$, on pose \n$$X_k = \\left(\\frac{2}{1+k} , 1+e^{-k} \\right) \\in \\R^2$$", "html": "

Pour tout \$k \\in \\N\$, on pose\n\\[X_k = \\left(\\frac{2}{1+k} , 1+e^{-k}\n\\right) \\in \\R^2\\]

\n" } }, { "id": "8fce2b35-8a38-4135-919c-1739926fa4e4", "type": "question", "value": { "latex": "Soit $\\ell = (0,1)$. Calculer $||X_k-\\ell||_{2}$ où $||.||_{2}$ est la norme euclidienne.", "html": "

Soit \$\\ell = (0,1)\$. Calculer\n\$||X_k-\\ell||_{2}\$ où \$||.||_{2}\$ est la norme euclidienne.

\n" } }, { "id": "ddce23f6-5673-492c-b6e5-c529761e0dcd", "type": "reponse", "value": { "latex": "$||X_k-\\ell||_{2} = \\sqrt{\\left(\\frac{2}{1+k}\\right)^2 + \\left(e^{-k}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{4}{(1+k)^2} + e^{-2k} }$", "html": "

\$||X_k-\\ell||_{2} =\n\\sqrt{\\left(\\frac{2}{1+k}\\right)^2 + \\left(e^{-k}\\right)^2} =\n\\sqrt{\\frac{4}{(1+k)^2} + e^{-2k} }\$

\n" } }, { "id": "0fd9878b-3a5f-49e7-834e-6c1aa31e0243", "type": "question", "value": { "latex": "En déduire la convergence de la suite $(X_k)$ dans $\\R^2$.", "html": "

En déduire la convergence de la suite \$(X_k)\$ dans \$\\R^2\$.

\n" } }, { "id": "15655845-aeb6-4d3a-86e8-e0e067fb6709", "type": "reponse", "value": { "latex": "$||X_k-\\ell||_{2} \\xrightarrow[k \\to +\\infty]{}0$ donc $X_k \\xrightarrow[k \\to +\\infty]{}\\ell$.", "html": "

\$||X_k-\\ell||_{2} \\xrightarrow[k \\to\n+\\infty]{}0\$ donc \$X_k \\xrightarrow[k\n\\to +\\infty]{}\\ell\$.

\n" } } ] }, { "uuid": "s2lI", "titre": "Limite et continuité", "theme": [ "fonctions de plusieurs variables" ], "niveau": "", "metadata": { "auteur": "", "createdAt": "2024-11-06T20:22:50.006Z", "organisation": "AMSCC", "updatedAt": "2024-11-06T20:22:50.006Z" }, "contenu": [ { "id": "10cce96f-25c9-4515-9156-bc321db0ea52", "type": "description", "value": { "latex": "Soit la fonction $g \\colon \\R^2 \\to \\R$ définie par : \n$$g(x,y) = \\frac{x^2+ 3y^3}{|x| + |y|}\\,.$$", "html": "

Soit la fonction \$g \\colon \\R^2 \\to\n\\R\$ définie par : \\[g(x,y) =\n\\frac{x^2+ 3y^3}{|x| + |y|}\\,.\\]

\n" } }, { "id": "7358256b-94bf-424b-8935-74d42850c831", "type": "question", "value": { "latex": "Déterminer l'ensemble de définition de $g$.", "html": "

Déterminer l’ensemble de définition de \$g\$.

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Soit \$(x,y) \\in \\R^2\$. On a \$|x| + |y| \\neq 0\$ si et seulement si \$x \\neq 0\$ ou \$y\n\\neq 0\$. Ainsi, l’ensemble de définition de \$g\$ est \$\\R^2\n\\setminus \\{(0,0)\\}\$.

\n" } }, { "id": "051ce97b-6f38-488e-ac5b-a6a5f7bf92c4", "type": "question", "value": { "latex": "Démontrer que $\\lim\\limits_{h \\to 0} g(h, 0) = \\lim\\limits_{h \\to 0} g(0, h) =\\lim\\limits_{h \\to 0} g(h, h)$.", "html": "

Démontrer que \$\\lim\\limits_{h \\to 0} g(h,\n0) = \\lim\\limits_{h \\to 0} g(0, h) =\\lim\\limits_{h \\to 0} g(h,\nh)\$.

\n" } }, { "id": "435b6eb4-d00e-466c-8433-63541868a326", "type": "reponse", "value": { "latex": "Soit $h \\in \\R$. On a :\n\t\t$$\\begin{align*}\n\t\t\tg(h,0) &= \\frac{h^2}{|h|} = |h|, \\\\\n\t\t\tg(0,h) &= \\frac{3h^3}{|h|} = 3|h|^2, \\\\\n\t\t\tg(h,h) &= \\frac{h^2 + 3h^3}{2|h|} = \\frac{h^2(1 + 3h)}{2|h|} = \\frac{h(1 + 3h)}{2}.\n\t\t\\end{align*}$$\n\t\tDonc, $\\lim\\limits_{h \\to 0} g(h,0) = \\lim\\limits_{h \\to 0} g(0,h) = \\lim\\limits_{h \\to 0} g(h,h) = 0$.", "html": "

Soit \$h \\in \\R\$. On a : \\[\\begin{align*}\n g(h,0) &= \\frac{h^2}{|h|} = |h|, \\\\\n g(0,h) &= \\frac{3h^3}{|h|} = 3|h|^2, \\\\\n g(h,h) &= \\frac{h^2 + 3h^3}{2|h|} = \\frac{h^2(1 +\n3h)}{2|h|} = \\frac{h(1 + 3h)}{2}.\n \\end{align*}\\] Donc, \$\\lim\\limits_{h \\to 0} g(h,0) = \\lim\\limits_{h \\to\n0} g(0,h) = \\lim\\limits_{h \\to 0} g(h,h) = 0\$.

\n" } }, { "id": "41ba655f-307c-45f7-a67f-3138db064d5a", "type": "question", "value": { "latex": "On admet que pour tout $ \\theta \\in \\R$, $|\\cos(\\theta)| + |\\sin(\\theta)| \\geq 1$. \\\\ Déterminer une fonction $m$ ne dépendant pas de $\\theta$ telle que pour tout $r > 0$ et $\\theta \\in \\R$, on ait :\n\t$$\\frac{1}{r|\\cos(\\theta)| + r|\\sin(\\theta)|} \\leq m(r)$$", "html": "

On admet que pour tout \$\\theta \\in\n\\R\$, \$|\\cos(\\theta)| + |\\sin(\\theta)|\n\\geq 1\$.
\nDéterminer une fonction \$m\$ ne\ndépendant pas de \$\\theta\$ telle que\npour tout

taux de cholestérol en cg:(centre\nclasse)	effectif d’employés:
\\(120\\)	\\(9\\)
\\(160\\)	\\(22\\)
\\(200\\)	\\(25\\)
\\(240\\)	\\(21\\)
\\(280\\)	\\(16\\)
\\(320\\)	\\(7\\)

\\(X^4-3 X^3+4\nX^2-6 X+8\\)	\\(X-1\\)
2 - 2 \\(-\\left(X^4-X^3\\right)\\)	\\(X^3-2 X^2+2\nX-4\\)
\\(-2 X^3+4\nX^2-6 X+8\\)
\\(-\\left(-2\nX^3+2 X^2\\right)\\)
\\(2 X^2-6\nX+8\\)
\\(-\\left(2\nX^2-2 X\\right)\\)
\\(-4\nX+8\\)
\\(-(-4\nX+4)\\)	4

	\\(Y=-1\\)	\\(Y=0\\)	\\(Y=2\\)
\\(X=1\\)	\\(\\frac{1}{36}\\)	\\(\\frac{2}{36}\\)	\\(\\frac{3}{36}\\)
\\(X=0\\)	\\(\\frac{15}{36}\\)	\\(\\frac{10}{36}\\)	\\(\\frac{5}{36}\\)

\\(Y \\backslash\nX\\)	\\(1\\)	\\(2\\)	\\(3\\)	\\(\\prob_{Y}\\) (loi de \\(Y\\))
\\(1\\)	\\(\\frac{1}{4}\\)	\\(\\frac{1}{6}\\)	\\(\\frac{1}{12}\\)	\\(\\frac{1}{2}\\)
\\(2\\)	\\(\\frac{1}{6}\\)	\\(\\frac{1}{12}\\)	\\(\\frac{1}{12}\\)	\\(\\frac{1}{3}\\)
\\(3\\)	\\(\\frac{1}{12}\\)	\\(\\frac{1}{12}\\)	\\(0\\)	\\(\\frac{1}{6}\\)
\\(\\prob_{X}\\) (loi de \\(X\\))	\\(\\frac{1}{2}\\)	\\(\\frac{1}{3}\\)	\\(\\frac{1}{6}\\)	\\(1\\)

\\(X \\backslash\nY\\)	\\(0\\)	\\(1\\)	\\(\\prob_{X_2}\\) (loi de \\(X_2\\))
\\(0\\)	\\(\\frac{81}{625}\\)	\\(\\frac{175}{625}\\)	\\(\\frac{256}{625}\\)
\\(1\\)	\\(\\frac{175}{625}\\)	\\(\\frac{194}{625}\\)	\\(\\frac{369}{625}\\)
\\(\\prob_{X_1}\\) (loi de \\(X_1\\))	\\(\\frac{256}{625}\\)	\\(\\frac{369}{625}\\)	\\(1\\)

\\(c \\backslash\na\\)	1	2	3	4	5	6
1	4	8	12	16	20	24
2	8	16	24	32	40	48
3	12	24	36	48	60	72
4	16	32	48	64	80	96
5	20	40	60	80	100	120
6	24	48	72	96	120	144

	taille échantillon	moyenne	écart type
souris témoins	20	7.075 cm\\(^2\\)	0.576 cm\\(^2\\)
souris traitées	18	5.850 cm\\(^2\\)	0.614 cm\\(^2\\)

Fraction rationnelle	Oui	Non	Fraction rationnelle	Oui	Non
\\(F_1(X)=\\frac{1}{(X+1)}\\)			\\(F_4(X)=\\frac{X-1}{\\left(X^2+1\\right)}\\)
\\(F_2(X)=\\frac{1}{\\left(X^2+1\\right)}\\)			\\(F_5(X)=\\frac{X-1}{(X+1)^2}\\)
\\(F_3(X)=\\frac{1}{(X+1)^3}\\)			\\(F_6(X)=\\frac{X^2+X+1}{\\left(X^3+1\\right)}\\)

\\(n\\)	1	3	5	10	15	20
\\(t_n\\)	0.2	0.6	1	2	3	4
\\(y(t_n)\\)	0.9802	0.8353	0.6065	0.1353	0.1111	0.0003
Euler	1	0.8832	0.6529	0.1244	0.0046	0.00001
Euler améliorée	0.9801	0.8323	0.5961	0.1167	0.0065	0.00009

\\(k\\)	5	6	-7	8	9	10
\\(\\PP(Y \\leq\nk)\\)	0,003968	0,0238095	0,083333	0,222222	0,5	1
\\(\\PP(Y=k)\\)	0,003968	0,019841	0,059524	0,138889	0,277778	0,5

Faces \\(x_i\\)	1	2	3	4	5	6
Effectifs \\(n_i\\)	15	7	4	11	6	17
Effectifs \\(e_i\\)	10	10	10	10	10	10

\\(c \\backslash\na\\)	1	2	3	4	5	6
1	4	8	12	16	20	24
2	8	16	24	32	40	48
3	12	24	36	48	60	72
4	16	32	48	64	80	96
5	20	40	60	80	100	120
6	24	48	72	96	120	144

\\(c \\backslash\na\\)	1	2	3	4	5	6
1	4	8	12	16	20	24
2	8	16	24	32	40	48
3	12	24	36	48	60	72
4	16	32	48	64	80	96
5	20	40	60	80	100	120
6	24	48	72	96	120	144

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