Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
Algèbre linéaire 4 – Applications linéaires et matrices
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Texte officiel du programme
On travaille sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ le plus souvent en pratique, occasionnellement sur $\mathbb{K} = \mathbb{C}$.
On ne confondra pas matrices (ou vecteurs) lignes et matrices (ou vecteurs) colonnes.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Définition d’une application linéaire de $\mathbb{K}^p$ dans $\mathbb{K}^n$. | On pourra faire remarquer que certaines applications rencontrées dans d’autres chapitres (dérivation, intégration, espérance, applications du plan dans lui-même ou de l’espace dans lui-même, etc.) possèdent aussi la propriété de linéarité, sans pour autant aller plus loin. |
Opérations sur les applications linéaires : addition, multiplication par un scalaire, composition, réciproque. Propriétés de ces opérations. Noyau, image. Lien avec : $f$ injective, $f$ surjective, $f$ bijective. Détermination d’une application linéaire par l’image des vecteurs d’une base. Matrice d’une application linéaire dans des bases. Matrice de la somme de deux applications linéaires, du produit par un scalaire d’une application linéaire, de la composée de deux applications linéaires, de l’application réciproque. | |
Rang d’une application linéaire. | On fait le lien entre les différentes notions de rang, vues à propos des systèmes, des familles de vecteurs, des matrices et des applications linéaires. |
Théorème du rang. | La démonstration n’est pas exigible. |
Étude d'une application linéaire
On considère l’application linéaire \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) définie par ...
Étude d'une application linéaire
On considère l’application linéaire \(f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\) définie par
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