Soit \(\mathcal{J}\) un idéal de \(A/I\). Soit \(\pi\) la projection canonique \(A\to A/I\), et \(J=\pi^{-1}(\mathcal{J})\). \(J\) est un idéal de \(A\) qui est principal donc \(\exists a\in A, J=(a)\). Montrons que \(\mathcal{J}=(\pi(a))\).

On a \(\pi(a)\in\mathcal{J}\) donc \((\pi(a))\subset\mathcal{J}\). Soit \(\alpha\in\mathcal{J}\), et \(b\) un représentant de \(\alpha\), i.e. \(b\in A\) et \(\pi(b)=\alpha\). Alors \(b\in J=(a)\), donc \(\exists k\in A, b=ka\). Alors \(\pi(b)=\pi(ka)=\pi(k)\pi(a)\), donc \(\pi(b)\in(\pi(a))\). Donc \(\mathcal{J}\subset(\pi(a))\).

Finalement, \(\mathcal{J}=(\pi(a))\). On en déduit que \(A/I\) est principal.

\(\Zz/n\Zz\) : Soit \(I\) un idéal de \(\Zz/n\Zz\). \(I\) est principal, donc \(\exists a\in\Zz, I=(\bar{a})\). Or \((\bar{a}) = \{\alpha\bar{a},\alpha\in\Zz/n\Zz\} = \{\bar{p}\bar{a},p\in\Zz\} = \{\overline{pa},p\in\Zz\}\). Donc \(\pi^{-1}(I)= \{pa+qn,(p,q)\in\Zz^{2}\}\) est l’idéal engendré sur \(\Zz\) par \(a\) et \(n\) donc l’idéal engendré par \(d=(\pgcd(n,a))\). On en déduit que \(I=(\bar{d})\). En particulier, \(I\) est engendré par un diviseur de \(n\).

Soit maintenant \(d_{1}\) et \(d_{2}\) deux diviseurs (positifs) de \(n\) tels que \((\bar{d_{1}})=(\bar{d_{2}})\). On a \(\pi^{-1}((d_{1}))=d_{1}\Zz=d_{2}\Zz\) donc \(d_{1}=d_{2}\).

Ainsi, les idéaux de \(\Zz/n\Zz\) sont engendrés par les diviseurs de \(n\), et deux diviseurs distincts engendrent deux idéaux distincts : il y a donc autant d’idéaux dans \(\Zz/n\Zz\) que de diviseurs de \(n\). \(\Qq[X]/(f)\) : On raisonne de la même manière : la remarque clef étant si \(I=(\bar{g})\) est un idéal de \(\Qq[X]/(f)\), alors \(\pi^{-1}(I)=(f,g)=(\pgcd(f,g))\).

Les idéaux maximaux sont ceux pour lesquels le quotient est un corps, (donc aussi ceux pour lesquels le quotient est intègre puisque \(\Zz/n\Zz\) est fini). On a le diagramme suivant (\(I=(\bar{d})\)) : \[\xymatrix{ \Zz \ar[r]^{\pi_{1}}\ar[d]^{\pi}\ar@(ur,ul)[rr]^{\pi_{2}\circ\pi_{1}} & \Zz/n\Zz \ar[r]^{\pi_{2}}&(\Zz/n\Zz)/I \\ \Zz/d\Zz \ar[urr]_{\sim} }\] En effet, \(\pi_{1}\) et \(\pi_{2}\) sont des morphismes d’anneaux, et \(\ker(\pi_{2}\circ\pi_{1})=d\Zz\). Donc \((\Zz/n\Zz)/I\) est un corps ssi \(d\) est premier.

De même, \((\Qq[X]/(f))/I\) est un corps ssi \(I=(\bar{g})\) où \(g\) est un facteur premier de \(f\).

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