Soit $\mathcal{J}$ un idéal de $A/I$ . Soit $\pi$ la projection canonique $A\to A/I$ , et $J=\pi^{-1}(\mathcal{J})$ . $J$ est un idéal de $A$ qui est principal donc $\exists a\in A, J=(a)$ . Montrons que $\mathcal{J}=(\pi(a))$ .

On a $\pi(a)\in\mathcal{J}$ donc $(\pi(a))\subset\mathcal{J}$ . Soit $\alpha\in\mathcal{J}$ , et $b$ un représentant de $\alpha$ , i.e. $b\in A$ et $\pi(b)=\alpha$ . Alors $b\in J=(a)$ , donc $\exists k\in A, b=ka$ . Alors $\pi(b)=\pi(ka)=\pi(k)\pi(a)$ , donc $\pi(b)\in(\pi(a))$ . Donc $\mathcal{J}\subset(\pi(a))$ .

Finalement, $\mathcal{J}=(\pi(a))$ . On en déduit que $A/I$ est principal.

$\Zz/n\Zz$ : Soit $I$ un idéal de $\Zz/n\Zz$ . $I$ est principal, donc $\exists a\in\Zz, I=(\bar{a})$ . Or $(\bar{a}) = \{\alpha\bar{a},\alpha\in\Zz/n\Zz\} = \{\bar{p}\bar{a},p\in\Zz\} = \{\overline{pa},p\in\Zz\}$ . Donc $\pi^{-1}(I)= \{pa+qn,(p,q)\in\Zz^{2}\}$ est l’idéal engendré sur $\Zz$ par $a$ et $n$ donc l’idéal engendré par $d=(\pgcd(n,a))$ . On en déduit que $I=(\bar{d})$ . En particulier, $I$ est engendré par un diviseur de $n$ .

Soit maintenant $d_{1}$ et $d_{2}$ deux diviseurs (positifs) de $n$ tels que $(\bar{d_{1}})=(\bar{d_{2}})$ . On a $\pi^{-1}((d_{1}))=d_{1}\Zz=d_{2}\Zz$ donc $d_{1}=d_{2}$ .

Ainsi, les idéaux de $\Zz/n\Zz$ sont engendrés par les diviseurs de $n$ , et deux diviseurs distincts engendrent deux idéaux distincts : il y a donc autant d’idéaux dans $\Zz/n\Zz$ que de diviseurs de $n$ .
$\Qq[X]/(f)$ : On raisonne de la même manière : la remarque clef étant si $I=(\bar{g})$ est un idéal de $\Qq[X]/(f)$ , alors $\pi^{-1}(I)=(f,g)=(\pgcd(f,g))$ .

Les idéaux maximaux sont ceux pour lesquels le quotient est un corps, (donc aussi ceux pour lesquels le quotient est intègre puisque $\Zz/n\Zz$ est fini). On a le diagramme suivant ( $I=(\bar{d})$ ) : $\xymatrix{ \Zz \ar[r]^{\pi_{1}}\ar[d]^{\pi}\ar@(ur,ul)[rr]^{\pi_{2}\circ\pi_{1}} & \Zz/n\Zz \ar[r]^{\pi_{2}}&(\Zz/n\Zz)/I \\ \Zz/d\Zz \ar[urr]_{\sim} }$ En effet, $\pi_{1}$ et $\pi_{2}$ sont des morphismes d’anneaux, et $\ker(\pi_{2}\circ\pi_{1})=d\Zz$ . Donc $(\Zz/n\Zz)/I$ est un corps ssi $d$ est premier.

De même, $(\Qq[X]/(f))/I$ est un corps ssi $I=(\bar{g})$ où $g$ est un facteur premier de $f$ .

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