$11,31,61$ sont premiers donc $2$ à $2$ premiers entre eux. Ainsi $20^{15}\equiv 1[11\cdot31\cdot61]\Leftrightarrow \begin{cases} 20^{15}\equiv1[11]\\ 20^{15}\equiv1[31]\\ 20^{15}\equiv1[61] \end{cases}$

En utilisant le petit théorème de Fermat, on obtient que, modulo $11$ : $20^{15}\equiv 20^{5}\equiv -2^{5}\equiv 1[11]$ .
$(20^{15})^{2}=20^{30}\equiv 1[31]$ . On en déduit que $20^{15}\equiv\pm1[31]$ . Comme $31\not\equiv1[4]$ , d’après le théorème de Wilson, $x^{2}=-1$ n’a pas de solution modulo $31$ , et donc $20^{15}\equiv1[31]$ . $20^{2}\equiv-3[31]$ est premier
$20^{15}\equiv(9^{2})^{15}\equiv3^{60}\equiv1[61]$

$1155=11\cdot7\cdot5\cdot3$ . De plus (petit théorème de Fermat) $2^{6754}\equiv 2^{4}\equiv5[11]$ . De même, $2^{6754}\equiv2^{4}\equiv2[7]$ , $2^{6754}\equiv2^{2}\equiv-1[5]$ , et $2^{6754}\equiv2^{0}\equiv1[3]$ . Or $\begin{cases} a\equiv5[11]\\ a\equiv2[ 7]\\ a\equiv4[ 5]\\ a\equiv1[ 3] \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a\equiv5[11]\\ a\equiv2[ 7]\\ a\equiv4[15] \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a\equiv5[11]\\ a\equiv-26[105] \end{cases} \Leftrightarrow a\equiv709[1155]\\$ Donc le reste de la division de $2^{6754}$ par $1155$ est $709$ .

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