\(11,31,61\) sont premiers donc \(2\) à \(2\) premiers entre eux. Ainsi \(20^{15}\equiv 1[11\cdot31\cdot61]\Leftrightarrow \begin{cases} 20^{15}\equiv1[11]\\ 20^{15}\equiv1[31]\\ 20^{15}\equiv1[61] \end{cases}\)

En utilisant le petit théorème de Fermat, on obtient que, modulo \(11\) : \(20^{15}\equiv 20^{5}\equiv -2^{5}\equiv 1[11]\). \((20^{15})^{2}=20^{30}\equiv 1[31]\). On en déduit que \(20^{15}\equiv\pm1[31]\). Comme \(31\not\equiv1[4]\), d’après le théorème de Wilson, \(x^{2}=-1\) n’a pas de solution modulo \(31\), et donc \(20^{15}\equiv1[31]\). \(20^{2}\equiv-3[31]\) est premier \(20^{15}\equiv(9^{2})^{15}\equiv3^{60}\equiv1[61]\)

\(1155=11\cdot7\cdot5\cdot3\). De plus (petit théorème de Fermat) \(2^{6754}\equiv 2^{4}\equiv5[11]\). De même, \(2^{6754}\equiv2^{4}\equiv2[7]\), \(2^{6754}\equiv2^{2}\equiv-1[5]\), et \(2^{6754}\equiv2^{0}\equiv1[3]\). Or \[\begin{cases} a\equiv5[11]\\ a\equiv2[ 7]\\ a\equiv4[ 5]\\ a\equiv1[ 3] \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a\equiv5[11]\\ a\equiv2[ 7]\\ a\equiv4[15] \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a\equiv5[11]\\ a\equiv-26[105] \end{cases} \Leftrightarrow a\equiv709[1155]\\ \] Donc le reste de la division de \(2^{6754}\) par \(1155\) est \(709\).

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