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Montrer que $\sigma$ est un automorphisme de corps de $\mathbb{F}_{3^2}$ d’ordre $2$.

Soit $h$ une forme $\sigma$-hermitienne sur $E$.

Montrer qu’il existe un élément $\xi \in \mathbb{F}_{3^2}$ tel que $\xi^2+1=0$ et $\mathbb{F}_{3^2}=\mathbb{F}_{3}[\xi]$.

Montrer $\xi^3=-\xi$.

On définit les applications $\ell_i : \mathbb{F}_{3^2} \rightarrow \mathbb{F}_{3}$ pour $i=1,2$ par la condition $$\forall x \in \mathbb{F}_{3^2}, x=\ell_1(x)+\ell_2(x)\xi.$$

Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{F}_{3^2}$, $x+\sigma(x)=\ell_1(x)$ et $x-\sigma(x)=\xi \ell_2(x)$.

Soit $W$ un sous-espace vectoriel de $E$. Soient $x, y \in W$.

(Polarisation) Décrire $h(x,y)$ comme polynôme à coefficients dans $\mathbb{F}_{3^2}$ en les $(h(u,u))_{u \in W}$.

En déduire que les sous-espaces totalement isotropes pour $h$ sont exactement les sous-espaces vectoriels de $E$ contenus dans le cône isotrope de $h$.