Soit \(E\) un \(\mathbb{F}_{3^2}\) espace vectoriel. Soit \(\sigma : \mathbb{F}_{3^2} \mapsto \mathbb{F}_{3^2}\) défini par \(\sigma(x)=x^3\).
Montrer que \(\sigma\) est un automorphisme de corps de \(\mathbb{F}_{3^2}\) d’ordre \(2\).
Soit \(h\) une forme \(\sigma\)-hermitienne sur \(E\).
Montrer qu’il existe un élément \(\xi \in \mathbb{F}_{3^2}\) tel que \(\xi^2+1=0\) et \(\mathbb{F}_{3^2}=\mathbb{F}_{3}[\xi]\).
Montrer \(\xi^3=-\xi\).
On définit les applications \(\ell_i : \mathbb{F}_{3^2} \rightarrow \mathbb{F}_{3}\) pour \(i=1,2\) par la condition \[\forall x \in \mathbb{F}_{3^2}, x=\ell_1(x)+\ell_2(x)\xi.\]
Montrer que, pour tout \(x \in \mathbb{F}_{3^2}\), \(x+\sigma(x)=\ell_1(x)\) et \(x-\sigma(x)=\xi \ell_2(x)\).
Soit \(W\) un sous-espace vectoriel de \(E\). Soient \(x, y \in W\).
(Polarisation) Décrire \(h(x,y)\) comme polynôme à coefficients dans \(\mathbb{F}_{3^2}\) en les \((h(u,u))_{u \in W}\).
En déduire que les sous-espaces totalement isotropes pour \(h\) sont exactement les sous-espaces vectoriels de \(E\) contenus dans le cône isotrope de \(h\).