exo7 2280

Etant donné $f\in \Qq[x]$, alors $f=\alpha \cdot f_0$ où $f_0\in \Zz[x]$ est un polynôme primitif et $\alpha\in \Qq$.

Soit $g\in \Zz[x]$ un polynôme primitif, $\alpha\in \Qq$ tel que $\alpha \cdot g\in \Zz[x]$. Alors $\alpha\in \Zz$.

Considèrons deux polynômes $d$, $f$ sur $\Zz$. Si $d$ est primitif et $d$ divise $f$ dans $\Qq[x]$ alors $d$ divise $f$ dans $\Zz[x]$.

Supposons que $d=\pgcd_{\Qq[x]}(f,g)$ soit le p.g.c.d. dans l’anneau $\Qq[x]$ de deux polynômes primitifs $f$ et $g$ de $\Zz[x]$. Soit $d=\alpha\cdot d_0$ sa représentation de type 1). Montrer que : $d_0=\pgcd_{\Zz[x]}(f,g)$ dans l’anneau $\Zz[x]$.

Soient $f$, $g\in \Zz[x]$, $f=c(f)f_0$, $g=c(g)g_0$. Alors $$\pgcd_{\Zz[x]}(f,g)=\pgcd_{\Zz}(c(f),c(g))\cdot\pgcd_{\Zz[x]}(f_0,g_0).$$