Dans le cours nous avons déjà montré que le produit de polynômes primitifs est aussi primitif et que \[c(f\cdot g)=c(f)\cdot c(g)\qquad \forall\ f,g\in \Zz[x].\]
Etant donné \(f\in \Qq[x]\), alors \(f=\alpha \cdot f_0\) où \(f_0\in \Zz[x]\) est un polynôme primitif et \(\alpha\in \Qq\).
Soit \(g\in \Zz[x]\) un polynôme primitif, \(\alpha\in \Qq\) tel que \(\alpha \cdot g\in \Zz[x]\). Alors \(\alpha\in \Zz\).
Considèrons deux polynômes \(d\), \(f\) sur \(\Zz\). Si \(d\) est primitif et \(d\) divise \(f\) dans \(\Qq[x]\) alors \(d\) divise \(f\) dans \(\Zz[x]\).
Supposons que \(d=\pgcd_{\Qq[x]}(f,g)\) soit le p.g.c.d. dans l’anneau \(\Qq[x]\) de deux polynômes primitifs \(f\) et \(g\) de \(\Zz[x]\). Soit \(d=\alpha\cdot d_0\) sa représentation de type 1). Montrer que : \(d_0=\pgcd_{\Zz[x]}(f,g)\) dans l’anneau \(\Zz[x]\).
Soient \(f\), \(g\in \Zz[x]\), \(f=c(f)f_0\), \(g=c(g)g_0\). Alors \[\pgcd_{\Zz[x]}(f,g)=\pgcd_{\Zz}(c(f),c(g))\cdot\pgcd_{\Zz[x]}(f_0,g_0).\]