Soit \(p\) un nombre premier impair. Notons \(p=2m+1\). On a \[(m!)^{2}\equiv(-1)^{m+1} [p]\] en effet, (modulo \(p\)) : \[\begin{align*} (p-1)! &=\prod_{k=1}^{2m}k=m!\prod_{k=1}^{m}(m+k)\\ &=m!\prod_{k=1}^{m}(m+k-p)=m!\prod_{k=1}^{m}(-k)\\ &=(-1)^{m}(m!)^{2} \end{align*}\] Or, dans \(\Zz_{p}[x]\), \(1^{-1}=1\) et \((p-1)^{-1}=p-1\), donc \(\forall k\in\{2,...,p-2\}\), \(k^{-1}\in\{2,...,p-2\}\). Ainsi, \(\prod_{k=2}^{p-1}k\equiv1 [p]\), et donc \((p-1)!\equiv -1 [p]\). D’où le résultat.

Si \(p\equiv 1[4]\), \((-1)^{m+1}=-1\), et donc \(m!\) est une solution de \(x^{2}\equiv-1[p]\).
Si cette équation a une solution, alors \(x^{2m}\equiv 1[p]\), et comme \(x^{p-1}\equiv 1[p]\), \(1\equiv (-1)^{m}[p]\). On en déduit que \(m\) est pair, donc \(p\equiv1[4]\).

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