Soit $p$ un nombre premier impair. Notons $p=2m+1$ . On a $(m!)^{2}\equiv(-1)^{m+1} [p]$ en effet, (modulo $p$ ) : $\begin{align*} (p-1)! &=\prod_{k=1}^{2m}k=m!\prod_{k=1}^{m}(m+k)\\ &=m!\prod_{k=1}^{m}(m+k-p)=m!\prod_{k=1}^{m}(-k)\\ &=(-1)^{m}(m!)^{2} \end{align*}$ Or, dans $\Zz_{p}[x]$ , $1^{-1}=1$ et $(p-1)^{-1}=p-1$ , donc $\forall k\in\{2,...,p-2\}$ , $k^{-1}\in\{2,...,p-2\}$ . Ainsi, $\prod_{k=2}^{p-1}k\equiv1 [p]$ , et donc $(p-1)!\equiv -1 [p]$ . D’où le résultat.

Si $p\equiv 1[4]$ , $(-1)^{m+1}=-1$ , et donc $m!$ est une solution de $x^{2}\equiv-1[p]$ .
Si cette équation a une solution, alors $x^{2m}\equiv 1[p]$ , et comme $x^{p-1}\equiv 1[p]$ , $1\equiv (-1)^{m}[p]$ . On en déduit que $m$ est pair, donc $p\equiv1[4]$ .

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