Soit \(p\) un nombre premier et \(A\) un anneau intègre de caractéristique \(p\).
1
Montrer que \(p\cdot a=0\) pour tout \(a\in A\).
2
Montrer que \(p| C^k_p,\; \forall k=1,\dots p-1\), et en déduire que l’application \(F_p :A\to A,\; F_p(a)=a^p\), est un endomorphisme d’anneaux. On appelle \(F_p\) l’endomorphisme de Frobenius.
3
Montrer que \(F_p(a)=a\) pour tout \(a\) dans le plus petit sous-anneau \(A_0\) de \(A\) contenant \(1\).
4
Montrer que \(F_p\) est un automorphisme si \(A\) est fini.
5
Montrer que \((\Sigma a_ib_i)^{p^k}=\Sigma a_i^{p^k}b_i^{p^k},\; \forall a_i,\; b_i\in A,\; k\in \N^*\).