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Montrer que $p\cdot a=0$ pour tout $a\in A$.

Montrer que $p| C^k_p,\; \forall k=1,\dots p-1$, et en déduire que l’application $F_p :A\to A,\; F_p(a)=a^p$, est un endomorphisme d’anneaux. On appelle $F_p$ l’endomorphisme de Frobenius.

Montrer que $F_p(a)=a$ pour tout $a$ dans le plus petit sous-anneau $A_0$ de $A$ contenant $1$.

Montrer que $F_p$ est un automorphisme si $A$ est fini.

Montrer que $(\Sigma a_ib_i)^{p^k}=\Sigma a_i^{p^k}b_i^{p^k},\; \forall a_i,\; b_i\in A,\; k\in \N^*$.