Soit \(A\) un anneau commutatif et soit \[Nil\; (A):=\{a\in A \mid \exists n\in N,\; a^n=0 \}\; .\]
1
Montrer que \(Nil\; (A)\) est un idéal de \(A\).
2
Montrer que si \(P\) est un idéal premier de \(A\), alors \(Nil\; (A)\subset P\).
3
Montrer que pour tout \(x\not\in Nil\; (A)\) il existe un idéal premier \(P\) tel que \(x\not\in P\) (Indication: Utiliser le théorème de Zorn).
4
En déduire que \[Nil\; (A)=\bigcap_{P\mbox{ premier }}P\; .\]