On rappelle que le produit de deux idéaux \(I\) et \(J\) est l’idéal engendré par les produits de la forme \(ab\) avec \(a\in I\), \(b\in J\) : \[I\cdot J=\{\sum_{i=0}^{N}a_{i}b_{i}, N\in\Nn, a_{i}\in I, b_{i}\in J\}\]

Si \(I\) est un idéal premier : Soient \(J\) et \(K\) deux idéaux tels que \(J\cdot K\subset I\). Alors si \(J\not\subset I\), \(\exists a\in x \setminus I\). Soit \(y\in K\). On a \(xy\in J\cdot K\) donc \(xy\in I\). Comme \(I\) est premier, \(x\in I\) ou \(y\in I\). Mais \(x\notin I\) donc \(y\in I\). Ainsi \(\forall y\in K, y\in I\) : on a montré que : \(J\not\subset I\Rightarrow K\subset I\). On a donc bien \(J\subset I\) ou \(K\subset I\).
Si \(\forall J,K \text{ idéaux},( J\cdot K\subset I\Rightarrow J\subset I \text{ ou }K\subset I)\) : Soit \(a,b\in A\) avec \(ab\in I\). Alors \((a)\cdot(b)=(ab)\) donc \((a)\subset I\) ou \((b)\subset I\) et donc \(a\in I\) ou \(b\in I\). \(I\) est donc premier.

On a \(M^{n}=M\cdot M^{n-1}\). Donc si \(I\) est premier et contient \(M^{n}\) alors \(I\) contient \(M\) ou \(M^{n-1}\), et par une récurrence finie, on obtient que \(I\) contient \(M\). Ainsi : \(M\subset I\subsetneq A\). Comme \(M\) est maximal on en déduit que \(M=I\).

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