On rappelle que le produit de deux idéaux $I$ et $J$ est l’idéal engendré par les produits de la forme $ab$ avec $a\in I$ , $b\in J$ : $I\cdot J=\{\sum_{i=0}^{N}a_{i}b_{i}, N\in\Nn, a_{i}\in I, b_{i}\in J\}$

Si $I$ est un idéal premier : Soient $J$ et $K$ deux idéaux tels que $J\cdot K\subset I$ . Alors si $J\not\subset I$ , $\exists a\in x \setminus I$ . Soit $y\in K$ . On a $xy\in J\cdot K$ donc $xy\in I$ . Comme $I$ est premier, $x\in I$ ou $y\in I$ . Mais $x\notin I$ donc $y\in I$ . Ainsi $\forall y\in K, y\in I$ : on a montré que : $J\not\subset I\Rightarrow K\subset I$ . On a donc bien $J\subset I$ ou $K\subset I$ .
Si $\forall J,K \text{ idéaux},( J\cdot K\subset I\Rightarrow J\subset I \text{ ou }K\subset I)$ : Soit $a,b\in A$ avec $ab\in I$ . Alors $(a)\cdot(b)=(ab)$ donc $(a)\subset I$ ou $(b)\subset I$ et donc $a\in I$ ou $b\in I$ . $I$ est donc premier.

On a $M^{n}=M\cdot M^{n-1}$ . Donc si $I$ est premier et contient $M^{n}$ alors $I$ contient $M$ ou $M^{n-1}$ , et par une récurrence finie, on obtient que $I$ contient $M$ . Ainsi : $M\subset I\subsetneq A$ . Comme $M$ est maximal on en déduit que $M=I$ .

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