exo7 2306

Déterminér la structure des anneaux quotients suivants: $$\Zz_2[x]/(x^3+x^2+x+1),\quad\Zz[x]/(x^2-1),\quad \Qq[x]/(x^8-1).$$

Considérons l’anneau quotient $K[x]/(f^ng^m)$ où $f$ et $g$ sont deux polynômes distincts irréductibles sur le corps $K$. Décrirer les diviseurs de zéro et les éléments nilpotents de l’anneau $K[x]/(f^ng^m)$.

Quels idéaux a-t-il cet anneau ?

Soit $K$ le corps fini à $p$ éléments. Trouver le nombre des éléments du groupe multiplicatif de l’anneau $K[x]/(f^mg^l)$.

Donner une généralisation de la question 4) dans le cas du produit de $n$ polynômes irréductibles sur un corps fini $K$ à $q$ éléments.