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Montrer que l’image réciproque d’un idéal premier est aussi un idéal premier. Cette proposition est-elle vraie pour idéaux maximaux ?

Montrer par un exemple, que l’image $f(I)$ d’un idéal $I$ de $A$ n’est pas forcément un idéal de $B$. Démontrer cependant que si $f$ est surjectif, alors $f(I)$ est un idéal pour tout idéal $I$ de $A$. (Voir le cours.)

Toujours sous l’hypothèse que $f$ est surjective, montrer que l’image d’un idéal maximal par $f$ est soit $B$ tout entier, soit un idéal maximal de $B$.

Considérons la reduction de polynômes sur $\Zz$ modulo $m$ : $r_m\,:\,\Zz[x]\to \Zz_m[x]$ et deux idéaux premiers principaux $(x)$ et $(x^2+1)$. Les idéaux $r_6((x))$ et $r_2((x^2+1))$ sont-ils premiers ?