Soit \(f\) un morphisme de l’anneau \(A\) vers l’anneau \(B\).
Montrer que l’image réciproque d’un idéal premier est aussi un idéal premier. Cette proposition est-elle vraie pour idéaux maximaux ?
Montrer par un exemple, que l’image \(f(I)\) d’un idéal \(I\) de \(A\) n’est pas forcément un idéal de \(B\). Démontrer cependant que si \(f\) est surjectif, alors \(f(I)\) est un idéal pour tout idéal \(I\) de \(A\). (Voir le cours.)
Toujours sous l’hypothèse que \(f\) est surjective, montrer que l’image d’un idéal maximal par \(f\) est soit \(B\) tout entier, soit un idéal maximal de \(B\).
Considérons la reduction de polynômes sur \(\Zz\) modulo \(m\) : \(r_m\,:\,\Zz[x]\to \Zz_m[x]\) et deux idéaux premiers principaux \((x)\) et \((x^2+1)\). Les idéaux \(r_6((x))\) et \(r_2((x^2+1))\) sont-ils premiers ?