Soit \(A\) un anneau intègre. On appelle élément premier de \(A\) un élément qui engendre un idéal principal premier.
1
Montrer que un élément premier est irréductible.
2
D’après le cours tout élément irréductible dans un anneau factoriel est premier. Montrer que dans un anneau factoriel, tout idéal premier non nul contient un élément irréductible.
3
Nous avons vu que l’élément \(3\in \Zz[\sqrt{-5}]\) est irréductible. Montrer que \(3\) n’est pas premier dans \(\Zz[\sqrt{-5}]\).
4
L’élément \(2\) est-il irréductible dans l’anneau \(\Zz[\sqrt{-5}]\) ?