On considère l’application \(\sigma~:~\mathbb{F}_{25}\to \mathbb{F}_{25}, \lambda\mapsto\lambda^5\). Montrer que c’est un automorphisme involutif du corps \(\mathbb{F}_{25}\).
Les formes suivantes sur \(\mathbb{F}_{25}^3\) sont-elles \(\sigma\)-sesquilinéaires ? \[\begin{aligned} f_1( \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}x'\\ y'\\ z'\end{array}\right) ) &=&x(x')^5+3z(y')^5+3y(z')^5.\\ f_2( \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}x'\\ y'\\ z'\end{array}\right) ) &=&x^5(x')^5+x^5(y')^5+y^5(x')^5.\\ f_3( \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}x'\\ y'\\ z'\end{array}\right) ) &=&3x(x')^5+z(y')^5+y(z')^5.\end{aligned}\]
Parmi les formes \(\sigma\)-sesquilinéaires précédentes, lesquelles sont équivalentes ?