1
Soient \(I\), \(J\) deux idéaux d’un anneau \(A\). Montrer que \[I\cap J,\qquad I+J=\{x+y\,|\,x\in I, y\in J\}\] sont des idéaux de \(A\).
2
Montrer que \(I+J\) est le plus petit idéal de \(A\) contenant \(I\) et \(J\).
3
Soit \(n,m\in \Zz\), \(I=(n)=n\Zz\), \(J=(m)=m\Zz\). Trouver \(I\cap J\) et \(I+J\).
4
Montrer que \[I\cdot J=\{x_1y_1+x_2y_2+\dots x_ny_n\,|\ n\in \Nn,\ x_k\in I,\ y_k\in J\ \text{pour\ }\ 1\le k\le n\}\] est un idéal. Il s’appelle produit des idéaux \(I\) et \(J\).
5
On considère les idéaux \(I=(x_1,\dots x_n)= Ax_1+\dots+ Ax_n\) et \(J=(y_1,\dots y_m)= Ay_1+\dots+ Ay_m\). Décrire les idéaux \(I+J\), \(I\cdot J\), \(I^2\) en fonction de \(x_k\), \(y_l\).