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Soient $I$, $J$ deux idéaux d’un anneau $A$. Montrer que $$I\cap J,\qquad I+J=\{x+y\,|\,x\in I, y\in J\}$$ sont des idéaux de $A$.

Montrer que $I+J$ est le plus petit idéal de $A$ contenant $I$ et $J$.

Soit $n,m\in \Zz$, $I=(n)=n\Zz$, $J=(m)=m\Zz$. Trouver $I\cap J$ et $I+J$.

Montrer que $$I\cdot J=\{x_1y_1+x_2y_2+\dots x_ny_n\,|\ n\in \Nn,\ x_k\in I,\ y_k\in J\ \text{pour\ }\ 1\le k\le n\}$$ est un idéal. Il s’appelle produit des idéaux $I$ et $J$.

On considère les idéaux $I=(x_1,\dots x_n)= Ax_1+\dots+ Ax_n$ et $J=(y_1,\dots y_m)= Ay_1+\dots+ Ay_m$. Décrire les idéaux $I+J$, $I\cdot J$, $I^2$ en fonction de $x_k$, $y_l$.