$1\in I+J$ donc $\exists(x,y)\in I\times J, 1=x+y$ . En multipliant cette égalité par $x$ , on obtient $x^{2}+xy=x$ . On en déduit que $xy\in I$ , donc $\forall p\in\Nn~; x^{p}y\in I^{p}$ , et donc $\forall(p,q)\in\Nn^{2}, x^{p}y^{q}\in I^{p}$ . Par symétrie, on a aussi $\forall(p,q)\in\Nn^{2}, x^{p}y^{q}\in J^{q}$ .

Soit maintenant $(m,n)\in\Nn^{2}$ . Notons $N=2\sup(m,n)$ . Alors $1=1^{N}=(x+y)^{N}=\sum_{p+q=N}C^{p}_{N}x^{p}y^{q}$ . Comme : $(p+q=2N)\Rightarrow (p\geq n \text{ ou }q\geq m)$ , tous les termes de cette somme sont dans $I^{n}$ ou dans $J^{m}$ , et donc $1\in I^{n}+J^{m}$

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