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Soit \(\sqrt{d}\) non rationel. Dans l’anneau \[{\mathbb{Z}}[\sqrt{d}]=\{n+m\sqrt{d}\,|\,n,m\in \mathbb{Z}\}\] on definit la “conjugaison" \(\bar{z}\) :
si \(z=n+m\sqrt{d}\), alors \(\bar{z}=n-m\sqrt{d}\).
On peut aussi définir la norme \(N_d:{\mathbb Z}[\sqrt{d}] \rightarrow{\mathbb Z}\) par \(N_d(z) = z\bar{z}=(n+m\sqrt{d})(n-m\sqrt{d})\).
0. Montrer que les aplications \(\bar{z}\) et \(N(z)\) sont multiplicatives : \[\overline{z_1\cdot z_2}=\bar{z_1}\cdot \bar{z_2}, \qquad N_d(z_1\cdot z_2)=N_d(z_1)\cdot N_d(z_2).\]