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Soit $\sqrt{d}$ non rationel. Dans l’anneau $${\mathbb{Z}}[\sqrt{d}]=\{n+m\sqrt{d}\,|\,n,m\in \mathbb{Z}\}$$ on definit la “conjugaison" $\bar{z}$ :

si $z=n+m\sqrt{d}$, alors $\bar{z}=n-m\sqrt{d}$.

On peut aussi définir la norme $N_d:{\mathbb Z}[\sqrt{d}] \rightarrow{\mathbb Z}$ par $N_d(z) = z\bar{z}=(n+m\sqrt{d})(n-m\sqrt{d})$.

0. Montrer que les aplications $\bar{z}$ et $N(z)$ sont multiplicatives : $$\overline{z_1\cdot z_2}=\bar{z_1}\cdot \bar{z_2}, \qquad N_d(z_1\cdot z_2)=N_d(z_1)\cdot N_d(z_2).$$