Montrer que l’anneau quotient \(\mathbb{F}_3[X]/X^2+1\) est un corps que l’on notera \(\mathbb{F}_{9}\). On notera \(\xi:=[X]\) la classe du polynôme \(X\). Montrer que \((1,\xi)\) est une base de \(\mathbb{F}_{9}\) comme \(\mathbb{F}_{3}\)-espace vectoriel. On définit les applications \(\ell_i : \mathbb{F}_{9} \rightarrow \mathbb{F}_{3}\) pour \(i=1,2\) par la condition \[\forall \lambda \in \mathbb{F}_{9},\ \ \ \lambda=\ell_1(\lambda)+\ell_2(\lambda)\xi.\]
Soit \(\sigma : \mathbb{F}_{9}\mapsto\mathbb{F}_{9}\) défini par \(\sigma(x)=x^3\). Montrer que \(\sigma\) est un automorphisme de corps de \(\mathbb{F}_{9}\) d’ordre \(2\). Calculer \(\sigma(\xi)\).
Montrer que, pour tout \(\lambda \in \mathbb{F}_{9}\), \[\begin{aligned} \ell_2(\lambda)&=&-\ell_1(\xi\lambda)\\ 2\ell_1(\lambda)&=&\lambda+\sigma(\lambda) \\ 2\xi \ell_2(\lambda)&=&\lambda-\sigma(\lambda).\end{aligned}\]
(Polarisation) Soit \(E\) un \(\mathbb{F}_{9}\)-espace vectoriel. Soit \(h\) une forme \(\sigma\)-hermitienne sur \(E\). Soit \(q\) la forme quadratique associée (i.e. pour \(x\in E\), \(q(x)=h(x,x)\)). Soit \((x,y)\in E^2\). Calculer \(\ell_1(f(x,y))\) en fonction de \(q\) et en déduire \(f(x,y)\) en fonction de \(q\).
En déduire que les sous-espaces totalement isotropes pour \(h\) sont exactement les sous-espaces vectoriels de \(E\) contenus dans le cône isotrope de \(h\).