Soient \(f=x^6+x^5+x^4+x^3+1\in \Zz_2[x]\ \), \(g=x^3+x^2+1 \in \Zz_2[x]\) deux polynômes sur le corps \(\Zz_2\).
1
En utilisant l’algorithme d’Euclide trouver le p.g.c.d. de \(f\) et \(g\) et sa représentation linéaire.
2
Les polynômes \(f\) et \(g\) sont-ils irréductibles ?
3
Soit \((g)\) l’idéal principal engendré par \(g\). Combien d’éléments contient l’anneau quotient \(A=\Zz_2[x]/(g)\) ?
4
Soit \(\pi\,:\,\Zz_2[x]\to A\) la projection canonique. On pose \(\pi(x)=\bar x\in A\). Trouver l’inverse de l’élément \(\pi(f)\) dans l’anneau quotient \(A\).
5
L’anneau quotient \(B=\Zz_2[x]/(f)\) est-il un corps ? Justifier la réponse, i.e. donner une démonstration si \(B\) est un corps ou trouver un élément non-inversible dans \(B\) dans le cas contraire.