L3 Algèbre et théorie des nombres Anneau, corps 5 questions

exo7 2314

Soient f=x6+x5+x4+x3+1∈Z2[x] f=x^6+x^5+x^4+x^3+1\in \Zz_2[x]\ , g=x3+x2+1∈Z2[x]g=x^3+x^2+1 \in \Zz_2[x] deux polynômes sur le corps Z2\Zz_2.

1

En utilisant l’algorithme d’Euclide trouver le p.g.c.d. de ff et gg et sa représentation linéaire.

2

Les polynômes ff et gg sont-ils irréductibles ?

3

Soit (g)(g) l’idéal principal engendré par gg. Combien d’éléments contient l’anneau quotient A=Z2[x]/(g)A=\Zz_2[x]/(g) ?

4

Soit π : Z2[x]→A\pi\,:\,\Zz_2[x]\to A la projection canonique. On pose π(x)=xˉ∈A\pi(x)=\bar x\in A. Trouver l’inverse de l’élément π(f)\pi(f) dans l’anneau quotient AA.

5

L’anneau quotient B=Z2[x]/(f)B=\Zz_2[x]/(f) est-il un corps ? Justifier la réponse, i.e. donner une démonstration si BB est un corps ou trouver un élément non-inversible dans BB dans le cas contraire.

Exercice dYnM

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