$A$ est l’ensemble des nombres dont le développement décimal s’arrête (“nombre fini de chiffres après la virgule”).

Stabilité par addition : Soit $x=10^{-n}a$ et $y=10^{-m}b$ . Supposons par exemple que $n\geq m$ . Alors $x+y=10^{-n}(a+10^{n-m}b)$ et $a+10^{n-m}b\in\Zz$ donc $x+y\in A$ . Les autres vérifications sont analogues.

Ce n’est pas un corps : $3$ n’est pas inversible, puisque si $3\cdot10^{-n}a=1$ , alors $3a=10^{n}$ donc $3|10^{n}$ ce qui est impossible. Un élément est inversible ssi il est de la forme $10^{-n}2^{\alpha}5^{\beta}$ , $\alpha,\beta\in\Nn$ . Stabilité par addition : Soit $x=\frac{a}{b}\in A$ et $y=\frac{c}{d}\in A$ , avec $\pgcd(a,b)=\pgcd(c,d)=\pgcd(p,b)=\pgcd(p,d)=1$ . Alors $x+y=\frac{ad+bc}{bd}$ .

Ce n’est pas un corps : $p$ n’est pas inversible. Un élément est inversible ssi ce n’est pas un multiple de $p$ . N’est pas un corps : $2$ n’est pas inversible. Les seuls éléments inversibles sont $1,-1,i,-i$ . En effet, si $z\in A^{\times}$ , alors $|z|\geq 1$ et $|z^{-1}|\geq 1$ . Donc $|z|=1$ et $z\in\{\pm1,\pm i\}$ . Réciproquement, ces éléments sont bien tous inversibles.

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