\(A\) est l’ensemble des nombres dont le développement décimal s’arrête (“nombre fini de chiffres après la virgule”).

Stabilité par addition : Soit \(x=10^{-n}a\) et \(y=10^{-m}b\). Supposons par exemple que \(n\geq m\). Alors \(x+y=10^{-n}(a+10^{n-m}b)\) et \(a+10^{n-m}b\in\Zz\) donc \(x+y\in A\). Les autres vérifications sont analogues.

Ce n’est pas un corps : \(3\) n’est pas inversible, puisque si \(3\cdot10^{-n}a=1\), alors \(3a=10^{n}\) donc \(3|10^{n}\) ce qui est impossible. Un élément est inversible ssi il est de la forme \(10^{-n}2^{\alpha}5^{\beta}\), \(\alpha,\beta\in\Nn\). Stabilité par addition : Soit \(x=\frac{a}{b}\in A\) et \(y=\frac{c}{d}\in A\), avec \(\pgcd(a,b)=\pgcd(c,d)=\pgcd(p,b)=\pgcd(p,d)=1\). Alors \(x+y=\frac{ad+bc}{bd}\).

Ce n’est pas un corps : \(p\) n’est pas inversible. Un élément est inversible ssi ce n’est pas un multiple de \(p\). N’est pas un corps : \(2\) n’est pas inversible. Les seuls éléments inversibles sont \(1,-1,i,-i\). En effet, si \(z\in A^{\times}\), alors \(|z|\geq 1\) et \(|z^{-1}|\geq 1\). Donc \(|z|=1\) et \(z\in\{\pm1,\pm i\}\). Réciproquement, ces éléments sont bien tous inversibles.

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